2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测 模块综合检测 Word版含解析
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练 模块综合检测
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上) 1．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b.给出下列4个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③ p ；④ q . 其中真命题的序号是__________．解析：∵x 2＋y 2＝0，∴x ＝y ＝0，∴p 真；∵a >b 1a <1b ，当a >0>b 时，1a >0，1b <0，∴1a >1b ，∴q 假．∴①③假，②④真．答案：②④2．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0≤1，则 p 为__________． 解析：存在性命题的否定是全称命题． 答案：∀x ∈R ，sin x >13．双曲线的渐近线为y ＝±22x ，且过点M (2，－1)，则双曲线的方程为__________．解析：依题设双曲线为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点M 代入，得λ＝1.答案：x22－y 2＝14．下列命题的否定是真命题的有__________个．①p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋14≥0；②q ：所有的正方形都是菱形； ③r ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋2≤0；④s ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0.解析：因为p 、q 均为真命题，所以 p、 q 都是假命题．又因为r 、s 均为假命题，所以 r 、 s 都是真命题．答案：25．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值是__________．解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，所以DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝(1，－12，0)．故cos 〈DB ′→，CM →〉＝1×1＋1×(－12)＋1×012＋12＋12·12＋(－12)2＋02＝1515，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.答案：210156．已知M 是抛物线x 2＝8y 上一点，若以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过抛物线顶点，则该圆的周长是__________．解析：由抛物线定义可知，圆M 过焦点F (0,2)，故其圆心M 又在直线y ＝1上，所以圆心坐标为M (±22，1)，半径r ＝3，圆M 的周长为6π.答案：6π7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为__________．解析：椭圆的离心率e 1＝ 1－b 2a 2＝32，所以b 2a 2＝14，故双曲线的离心率e 2＝ 1＋b 2a2＝52. 答案：528．已知正四棱锥P －ABCD 的体积为12，底面边长为23，则侧面与底面所成二面角的大小为__________．解析：设正四棱锥底面中心为O ，取AB 的中点E ，连结OE 、PE 、PO (图略)，则∠PEO为所求二面角的平面角，由已知可得PO ＝3，OE ＝3，tan ∠PEO ＝POOE＝3，∴∠PEO ＝60°.答案：60°9．已知点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，若P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为__________．解析：由已知设OP →＝a OA →＋b OB →＋c OC →，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋3c ＝xa ＋3b ＋7c ＝－13a ＋b －5c ＝3a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－4c ＝1x ＝11.答案：1110．给出以下结论：①“x ≠0或y ≠0”是“x 2＋y 2≠0”的充要条件； ②q ∨p 为真命题是“p ∧q ”为真命题的必要条件；③命题“a 、b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题是“a 、b 都是偶数，则a ＋b 不是偶数”．其中正确结论的序号是__________． 答案：①②11．已知抛物线y 2＝ax 与直线y ＝1－x 有惟一公共点，则该抛物线的焦点到准线的距离为__________．解析：将x ＝1－y 代入抛物线方程，得y 2＋ay －a ＝0，依题意有Δ＝a 2＋4a ＝0，所以a ＝－4，抛物线方程为y 2＝－4x .故焦点到准线距离为：p ＝2.答案：212．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．解析：由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1⇒sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c ＝|PF 2||PF 1|>1，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2ac a ＋c ，|PF 2|＝2a 2a ＋c .又∵|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|， 即2a 2a ＋c －2ac a ＋c <2c ， ∴c 2＋2ac －a 2>0， ∴e 2＋2e －1>0， ∴2－1<e <1. 答案：(2－1,1) 13.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成角的大小是__________．解析：建立如图所示的坐标系，O 为BC 中点，设三棱柱的棱长为2a ，则点A (3a,0,0)，B (0，a,0)，B 1(0，a,2a )，M (0，－a ，a ) 则AB 1→＝(－3a ，a,2a )，BM →＝(0，－2a ，a ) AB 1→·BM →＝0－2a 2＋2a 2＝0， 所以异面直线AB 1与BM 所成的角为90°. 答案：90°14．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为__________．解析：由已知AB →＝DC →＝(1,1)，得四边形ABCD 为平行四边形，且平行四边形ABCD 为菱形，其中锐角为60°，边长为2，所以四边形ABCD 的面积为2·2sin60°＝ 3. 答案： 3二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式． (1)AB →＋DD 1→＋B 1C 1→； (2)AA 1→＋BC →； (3)AB →＋12(CC 1→＋A 1D 1→＋CD →)．解：(1)AB →＋DD 1→＋B 1C 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→. (2)AA 1→＋BC →＝AA 1→＋A 1D 1→＝AD 1→. (3)AB →＋12(CC 1→＋A 1D 1→＋CD →)＝AB →＋12(BB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→)＝AB →＋12BD 1→＝AO →(O 为正方体中心)．16．(本小题满分14分)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上两个不同点，若x 1x 2＝－12，且A 、B 两点关于直线y ＝x ＋m 对称，试求m 的值．解：由已知得k AB ＝－1，且AB 的中点C (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上，设直线AB 的方程为y ＝－x ＋n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋ny ＝2x 2，消去y 并整理得2x 2＋x －n ＝0，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋8n >0x 1x 2＝－n 2＝－12，∴n ＝1.又x 1＋x 2＝－12，∴x 0＝－14，y 0＝－x 0＋1＝54.∵C (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上， ∴54＝－14＋m ，∴m ＝32. 17．(本小题满分14分)已知命题p ：函数f (x )＝log 2m (x ＋1)是定义域上的增函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0.(1)写出命题q 的否定 q ；并求出m 的取值范围，使得命题 q 为真命题； (2)如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得 q ：∃x 0∈R ，x 2＋mx ＋1<0. 若 q 为真命题，则Δ＝m 2－4>0， ∴m <－2或m >2.即m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)由已知得，p 为真命题时， m >12，即A ＝{m |m >12}． q 为真命题时，Δ＝m 2－4≤0， ∴－2≤m ≤2，即B ＝{m |－2≤m ≤2}． 若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p 与q 一真一假． ∴m ∈A ∩∁R B ＝{m |m >2}或m ∈B ∩∁R A ＝{m |－2≤m ≤12}．故m 的取值范围是[－2，12]∪(2，＋∞)．18．(本小题满分16分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点． (1)求证：AC 1∥平面CDB 1； (2)求点B 到平面CDB 1的距离； (3)求二面角B －B 1C －D 的余弦值． 解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,1,0)． 设平面CDB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z ) 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥CD→n ⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(1，1，0)＝x ＋y ＝0(x ，y ，z )·(0，2，2)＝2y ＋2z ＝0.取z ＝1，得n ＝(1，－1,1)．又AC 1→＝(－2,0,2)， ∴AC 1→·n ＝－2＋0＋2＝0， ∴AC 1→⊥n .∵AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.(2)设B 到平面CDB 1的距离为h ，则h ＝|n ·CB →||n |＝23＝233.(3)显然平面BCB 1的一个法向量为CA →＝(2,0,0)，∴cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA →|n ||CA →|＝23×2＝33，∴二面角B －B 1C －D 的余弦值为33.19．(本小题满分16分)在△ABC 中，已知B (－3,0)，C (3,0)，D 为直线BC 上的一个点，AD →·BC →＝0，△ABC 的垂心为H ，且AH →＝3HD →.(1)求点H 的轨迹M 的方程；(2)若过点C 且斜率为－12的直线与轨迹M 交于点P ，设Q (t,0)点是x 轴上任意一点，求当△CPQ 为锐角三角形时t 的取值范围．解：(1)设H (x ，y )是曲线上任意一点． ∵AD →·BC →＝0，∴AD ⊥BC .∴点H 在线段AD 上，又∵AH →＝3 HD →， AD →＝4 HD →，∴A 点的坐标为(x,4y )．∵H 为△ABC 的垂心，所以AC →⊥BH →，AC →·BH →＝0. AC →＝(3－x ，－4y )，BH →＝(x ＋3，y )，∴(3－x ，－4y )·(x ＋3，y )＝0.化简整理得x 29＋4y 29＝1.所以H 点的轨迹方程为x 29＋4y 29＝1(y ≠0)．(2)过点C 且斜率为－12的直线方程为y ＝－12(x －3)，由⎩⎨⎧y ＝－12(x －3)x 29＋4y 29＝1(y ≠0)，得P (0，32)．要使△CPQ 为锐角三角形，则三个内角均为锐角，所以PQ →·PC →>0，QP →·QC →>0，CP →·CQ →>0三式同时成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧(t ，－32)·(3，－32)＝3t ＋94>0(－t ，32)·(3－t ，0)＝t 2－3t >0(－3，32)·(t －3，0)＝9－3t >0，解得t 的取值范围为(－34，0)．20．(本小题满分16分)已知椭圆E 的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其左顶点为(－2,0)，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程； (2)已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，若椭圆上存在一点P ，使OP →＝λ(OA →＋OB →)，试求λ的值．解：(1)由已知得a ＝2， e ＝c a ＝12，∴c ＝1，b ＝3， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得右焦点F (1,0)， 因此直线l 的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程并整理得7x 2－8x －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝87，∴y 1＋y 2＝(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2＝－67.∴OP →＝λ(OA →＋OB →) ＝λ(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝λ(87，－67)，∴P 点坐标为(8λ7，－6λ7)，代入椭圆方程得：14×64λ249＋13×36λ249＝1. ∴λ2＝74，∴λ＝±72.。
苏教版数学选修2-1：模块综合检测
(时间：120分钟；满分：160分)模块综合检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1<0，则命题﹁p 是________． 解析：全称命题的否定是存在性命题． 答案：∃x ∈R ，x 2＋x －1≥02.已知点A (1，－2，0)和向量a ＝(－3，4，12)，若AB →＝2a ，则点B 的坐标为________．解析：设B (x ，y ，z )，则AB →＝(x －1，y ＋2，z )，又AB →＝2a ，解得x ＝－5，y ＝6，z ＝24，所以B 点坐标为(－5，6，24)．答案：(－5，6，24)3.若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________．解析：c －a ＝(0，0，1－x )，(c －a )·(2b )＝2(0，0，1－x )·(1，2，1)＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.答案：24.已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．解析：由1a <12可得a －22a >0，即得a >2或a <0，∴“a >2”是“1a <12”的充分不必要条件．答案：充分不必要5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为________．解析：根据椭圆方程可得c ＝25－9＝4，又椭圆与双曲线焦点相同，故其焦点坐标为(±4，0)，又据已知得：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，c ＝4，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，故其渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .答案：3x ±y ＝06.双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P 点到左焦点的距离为________．解析：由a ＝4，b ＝3，得c ＝5.设左焦点为F 1，右焦点为F 2，则|PF 2|＝12(a ＋c ＋c －a )＝c ＝5，由双曲线的定义得：|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝8＋5＝13.答案：137.已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的____________条件．解析：当k ＝0时，直线y ＝1与抛物线C ：y 2＝x 只有一个交点；所以直线l 与抛物线C有两个不同交点必须k ≠0；当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝－4k ＋1，则Δ不一定大于零，此时直线l 与抛物线C ，可能没有交点，可能有一个交点，也可能有两个交点，所以“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”必要不充分条件．答案：必要不充分8.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，故当m ＝23时，取得最小值为43.答案：439.已知G 是△ABC 的重心，O 是平面ABC 外的一点，若λOG →＝OA →＋OB →＋OC →，则λ＝________．解析：如图，正方体中，OA →＋OB →＋OC →＝3OG →，所以λ＝3. 答案：310.若点P (2，0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．解析：设过第一象限的渐近线倾斜角为α⇒sin α＝22⇒α＝45°⇒k ＝1；所以y ＝±bax＝±x ⇒a ＝b ，因此c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.答案： 211.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为(a 4，0)，则直线l 的方程为y ＝2(x －a4)，它与y 轴的交点为A (0，－a 2)，所以△OAF 的面积为12|a 4|·|a2|＝4，解得a ＝±8，所以抛物线方程为y 2＝±8x .答案：y 2＝±8x12.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →²FP →的最大值为________．解析：由题意，F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3(1－x 204)，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.答案：613.如图在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A ＝6，M 是CC 1的中点，则二面角B －AM －C 的大小为________．解析：以点C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1，0，0)，A (0，3，0)，A 1(0，3，6)，M (0，0，62)，所以A 1B →＝(1，－3，－6)，AM →＝(0，－3，62)，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，所以CC 1⊥面ABC ，所以CC 1⊥BC ， 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， 所以BC ⊥平面ACC 1， 即BC ⊥面AMC ，所以CB →＝(1，0，0)是平面AMC 的一个法向量， 设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA →＝(－1，3，0)，BM →＝(－1，0，62)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0n ·BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0－x ＋62z ＝0， 取z ＝2，得n ＝(6，2，2)，因为|CB →|＝1，|n |＝23，所以cos 〈CB →，n 〉＝623＝22，又二面角B －AM －C 的平面角是锐角， 因此二面角B －AM －C 的大小为45°. 答案：45°14.设x 1，x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，若x ≥0，则动点P (x ，x *a )的轨迹是________．解析：因为x 1*x 2＝(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2，所以x *a ＝（x ＋a ）2－（x －a ）2＝2ax ， 则P (x ，2ax )，设P (x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝xy 1＝2ax ，消去x 得y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)， 故点P 的轨迹为抛物线的一部分． 答案：抛物线的一部分二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知p ：(x ＋2)(x －10)≤0，q ：[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件， 则p 是q 的充分不必要条件，由p ：(x ＋2)(x －10)≤0可得－2≤x ≤10， 由q ：[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)， 可得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－21＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为m ≥9.16.(本小题满分14分)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．解：如图所示，以点B 为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意，得A (22，0，0)，B (0，0，0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0，22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0，0)，因为cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →||A 1B 1→|＝43³22＝23.所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23.(2)易知AA 1→＝(0，22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)． 设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧－2x 1－2y 1＋5z 1＝0，22y 1＝0.不妨令x 1＝5，可得z 1＝2，即m ＝(5，0，2)． 同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎨⎧－2x 2－2y 2＋5z 2＝0，－22x 2＝0.不妨令y 2＝5，可得z 2＝2，即n ＝(0，5，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝27³7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357.所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N (22，322，52)．设M (a ，b ，0)，则MN →＝(22－a ，322－b ，52)．由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN →·A 1C 1→＝0.即⎩⎨⎧（22－a ）·（－22）＝0，（22－a ）·（－2）＋（322－b ）·（－2）＋52³5＝0.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝24.故M (22，24，0)．因此BM →＝(22，24，0)，所以线段BM 的长为|BM →|＝104.17.(本小题满分14分)已知椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1共焦点，且过(2，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．解：(1)依题意得，将双曲线方程标准化为x 212－y 212＝1，则c ＝1.∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，∵椭圆过(2，0)，∴2a 2＋0a 2－1＝1，即a 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y ＝2x ＋b ，弦的中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b x 22＋y 2＝1得9x 2＋8bx ＋2b 2－2＝0， ∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8b 9，y 1＋y 2＝2b 9.即⎩⎨⎧x ＝－4b9，y ＝b9，∴y ＝－14x .令Δ＝0，64b 2－36(2b 2－2)＝0，即b ＝±3， 所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ±3，即当x ＝±43时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦的中点轨迹方程为：y ＝－14x (－43≤x ≤43)．18.(本小题满分16分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点．(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1和平面A 1BC 所成角的大小．解：(1)据题意CA 、CB 、CC 1两两垂直，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则B (0，a ，0)，B 1(0，a ，a )，A (a ，0，0)，C (0，0，0)，C 1(0，0，a )，A 1(a ，0，a )，M (a 2，a 2，a 2)，N (0，a2，a )． 所以BA 1→＝(a ，－a ，a )，CA 1→＝(a ，0，a )，MN →＝(－a 2，0，a 2)．所以MN →·BA 1→＝0，MN →·CA 1→＝0， 即MN ⊥BA 1，MN ⊥CA 1. 又BA 1∩CA 1＝A 1， 故MN ⊥平面A 1BC .(2)因为MN ⊥平面A 1BC ， 则MN →为平面A 1BC 的法向量， 又BC 1→＝(0，－a ，a )，则cos 〈BC 1→，MN →〉＝BC 1→·MN →|BC 1→||MN →|＝a 222a ³22a＝12，所以〈BC 1，MN →〉＝60°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°.19.(本小题满分16分)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →²FN →＝0，求MN 的最小值．解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有（x －2）2＋y 2|x －22|＝22，整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0， ∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0，则6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，则y 1>0，y 2<0.∴MN ＝y 1－y 2＝y1＋6y 1≥2y 1²6y 1＝2 6.当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立， 故MN 的最小值为2 6.20.(本小题满分16分)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解：(1)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(－2pk ，－2pk 2－4)．因为OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线为x 2＝－2y .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y 得，x 2＋4x －4＝0.所以AB ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋22³（－4）2－4³（－4）＝410.设点P (t ，－12t 2)(－2－22<t <－2＋22)，点P 到直线l 的距离为d ，则d ＝|2t ＋12t 2－2|22＋（－1）2＝|（t ＋2）2－8|25(－2－22<t <－2＋22)，当t ＝－2时，d max ＝455， 此时点P (－2，－2)．故△ABP 面积的最大值12·AB ·d ＝12³410³455＝8 2.。
2018_2019学年高中数学阶段质量检测(四)模块综合检测(含解析)苏教版选修2_1
阶段质量检测(四) 模块综合检测[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在题中的横线上) 1．(安徽高考)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是________________________． 2．“相似三角形的对应角相等”的否命题是________________________________． 3．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．4．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．5．(重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.6．已知a ＝(t ＋1,1，t )，b ＝(t －1，t,1)，则|a －b |的最小值为________． 7．方程x 23＋m －y 21－m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．8．(北京高考改编)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．9．(山东高考改编)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．10．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是____________________．11．已知A (4,1,3)、B (2,3,1)、C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________．12．(山东高考改编)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.13．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ―→＝2PA ―→，且OQ ―→·AB ―→＝1，则P 点的轨迹方程是________．14．若方程x 24－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1＜t ＜4且t ≠52；②若C 为双曲线，则t ＞4或t ＜1； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1＜t ＜32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示线段AB 的长；(2)若OA ·OB ＝－3，求这个抛物线的方程．16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .设p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |＜3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．17.(本小题满分14分)如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ∥平面 PAO?18．(本小题满分16分)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆E 交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．19．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分16分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．20．(重庆高考)(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．答 案1．对任意实数x ，都有x ≤1 2．解析：否命题是条件结论都否定． 答案：不相似的三角形的对应角不相等3．解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：44．解析：λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)．∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0. ∴λ－1＝0，λ＝1. 答案：15．解析：由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a .又因为点P 在直线y ＝b 3a x 上，所以－b 2a ＝b 3a×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324.答案：3246．解析：|a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4， 所以当t ＝1时，|a －b |取得最小值2. 答案：27．解析：若x 23＋m －y 21－m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，1－m >0⇒－3<m <1，∴m 的取值范围是(－3,1)． 答案：(－3,1)8．解析：依题意，e ＝c a ，e 2＝c 2a2>2，得1＋m >2，所以m >1. 答案：m >19．解析：由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．答案：充分不必要10．解析：∵“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]11．解析：因为A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，P (x ，－1,3)，所以AP ＝(x －4，－2,0)，AB ＝(－2,2，－2)，AC ＝(－1，6，－8)．由于点P 在平面ABC 内，所以P 、A 、B 、C 四点共面．所以AP 、AB 、AC 三个向量共面．故由共面向量定理，知存在有序实数对(m ，n )，使AP ＝m AB ＋n AC ，即(x －4，－2,0)＝m (－2,2，－2)＋n (－1,6，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－2m －n ，－2＝2m ＋6n ，0＝－2m －8n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1，x ＝11.答案：1112．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2求导得，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得，y 0＝16p .由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p ＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433. 答案：43313．解析：可得A (32x,0)，B (0,3y )，Q (－x ，y )，则AB ＝(－32x,3y )，OQ ＝(－x ，y )，故OQ ·AB ＝32x 2＋3y 2＝1，所以P 点的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)14．解析：若为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＞0，t －1＞0，4－t ≠t －1，即1＜t ＜4，且t ≠52；若为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，即4＜t 或t ＜1； 当t ＝52时，表示圆，若C 表示长轴在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52，故①②正确．答案：①②15．解：(1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .16．解：∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴若p 成立，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 由|f (x )－m |＜3⇒m －3＜f (x )＜m ＋3.∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －3＜1，m ＋3＞2，解得－1＜m ＜4，即m 的取值范围是(－1,4)．17．解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，设Q (0,1，z )，则OP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12，1BD ＝(－1，－1,1)，∴OP ∥1BD ，∴OP ∥BD 1，AP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，BQ ＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP ＝BQ ，即AP ∥BQ ，有平面AOP ∥平面D 1BQ ，∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .18．解：(1)由题意知，c a ＝12，所以a 2－b 2a 2＝14，a 2＝43b 2.又1a 2＋94b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3. 因此椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由题意知Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3) ＝16(12k 2－3m 2＋9)>0， 即4k 2－m 2＋3>0.又x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－33＋4k 2所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k23＋4k2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝3m 2－12k 24m 2－3＝k 2， 即(4k 2－3)m 2＝0，∵m ≠0，∴k 2＝34.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<6，且m 2≠3. 设d 为点O 到直线l 的距离，则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12×|m |1＋k 21＋k 2|x 1－x 2| ＝12|m |x 1＋x 22－4x 1x 2又因为m 2≠3， 所以S △OPQ ＝33m26－m2<33×m 2＋6－m 22＝ 3. 所以△OPQ 面积的取值范围为(0，3)．19.解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝22AB 得， AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＋z 2＝02x 2＋2z 2＝0可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63. 20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2， 故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5， 又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)， 所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.11。
高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程Word版含解析
阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程 ［考试时间：120分钟 试卷总分：160分］、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分•将答案填在题中的横线上 )2 21. _____________________________________________________________________ (江苏高考)双曲线 务■— y 9 = 1的两条渐近线的方程为 ______________________________________2x 2 — ― 1 的渐近线的距离是3x 轴上的椭圆，贝U a 的取值范围是 . 2 2X9 — ^6= 1的左焦点，P , Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则△ PQF 的周长为 _____________ .2 25. 设点P 是双曲线 拿一*= 1(a>0, b>0)与圆x 2 + y 2= 2a 2的一个交点，F 1, F 2分别是双 曲线的左、右焦点，且 PF 1 = 3PF 2，则双曲线的离心率为 _________ .6. _________________________________________ 已知动圆P 与定圆C : (x + 2)2+ y 2= 1相外切，又与定直线I : x = 1相切，那么动圆 的圆心P 的轨迹方程是 .2 27. 已知双曲C 1 = *—器=1(a>0, b>0)的离心率为2.若抛物线C 2： x 2= 2py(p>0)的焦点 到双曲线C 1的渐进线的距离为 2，则抛物线C 2的方程为 ______________________________ .&过抛物线x 2= 8y 的焦点F 作直线交抛物线于 卩畑，y”, P2g y 2)两点，若y 1 + ¥2 =8，贝U P 1P 2的值为 ________ .2 29. 椭圆；+二=1的右焦点到直线2 210. 已知椭圆C :拿+猪=1(a>b>0)的左焦点为F , C 与过原点的直线相交于 连接 AF , BF.若 AB = 10, BF = 8, cos / ABF = 4,贝U C 的离心率为52 211.(新课标全国卷I 改编)已知椭圆E ： *+ * = 1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的 直线交E 于A , B 两点.若AB 的中点坐标为(1 ,— 1),贝U E 的方程为2.抛物线y 2= 4x 的焦点到双曲线2 23. 方程a — 1 2+拿=1表示焦点在4. (辽宁高考)已知F 为双曲线C :A ,B 两点,12 .抛物线y2= 12x截直线y = 2x+ 1所得弦长等于______________________________132214 2 2x2 y2 2x 1 0x与1e x 2y21x -2y 2 x1384925 5y 尹.( 6)15 ( 14 ) 902 2丄丄1144 169(0,2)16 (14 )2C y2 4x F F l C A B AB| 8 l17.(14 )F1 F2C2a22b丿I1(a>b>0)A C B AF2cF1AF2 60 .(1) CAF1B 40.318( )(22x孑b^1(a>b>0)12PC1D(1)C1⑵ABD16 ) P(0 1)C i C2 x2 y2 411 C2 A Bl iC i9 ()(16 )M(x y)l x 42(1)M C⑵P(0,3)m C A B A PBN(1,0)20 ()(16) E x2 2py(p>0) F k2l1 l2k1 k2 2 h E A B l2E1.k1 C DAB CD M N(M N)1 T(1)k1>0 k2>0FM FN<2p7 j 5(2)M l52 21. 解析：令話—9=0，解得y=护答案：y=2. 解析：因为抛物线的焦点坐标为（1,0），而双曲线的渐近线方程为y= ±. 3x,所以所求距离为I ± % 1-0| =£3寸1 + 3 2答案：2（a — 1 2>a2,13. 解析：由题意得a丰1, 解之得a<-，且a z0,| 2a丰0,即a的取值范围是（一a, 0）U 1 i.答案：―汽0 U 0, 24. 解析：由题意因为PQ过双曲线的右焦点（5,0），所以P, Q都在双曲线的右支上，则有FP —PA= 6, FQ —QA = 6,两式相加，禾U用双曲线的定义得FP + FQ = 28,所以△ PQF 的周长为FP + FQ+ PQ = 44.答案：44PF1—PF2= 2a,5. 解析：由｛得PF1 = 3a, PF2= a,|PF 1= 3PF2设/ FQP = a 则/ POF2= 180°— a,在厶PFQ中，PF2= OF2+ OP2—2OF1 OP cos a ①，在厶OPF2中，PF2= OF2+ OP2—2OF2 OP cos（180 —a②，由cos（180 一a）=—cos a与OP= 2a,①+②得c2= 3a2,.'. e= ' 3a =、：3a a32P(x y) x PCa. y 28x. y 28. x 2 y 2)10 36 AF AB OF AB 11125.6. AB2 x.8x,3C 12 x -2 a1(a>0 b>0) 2. 0.C 2 x 22py(p>0)0p)16y12.2 x_ 42.16y.P 1P 2 P 1F P 2Fy 12)y 2 (y 13x ABF2 x2a2 y- 1 3y 0AF 2 AB 2 (1,0)BF 2 2ABAB 2 AF 2 BF 2ABFF 1 BFAB8.F(3,0) (1 1 2.BF c os AB AF 1) ABF 10282OFFF 1AF 114 2a?AB10ABAFBF 1 ；(xc 5a 7.3)Jb 29 2 4aa 2b 2 03 2 2a2 」1 a b 2)a 2 2b 22 2又乙b 2+ c 2,所以b = c =3.所以E 的方程为盒+y =1答案： 2 2X8 + i= 112.解析：令直线与抛物线交于点A (X 1, y i ), B(X 2, Y 2)1 ___得 4x — 8x + 1 = 0,…X 1 + X 2 = 2, X 1X 2= 4 …AB = \ 11 ■1 °\/5[(X 1+x 2 2— 4X1X 2] = ^15.答案：15/ AF 2F 1 = 60° ••• AF 2= C , AF 1 = 2c sin 60 = ^3C .•- AF 〔 + AF ?= 2a = (.j 3 + 1)C . •- e = C = 2— = — 1. a .3+ 1 ' 答案：3— 1④渐近线的方程为y = 答案：①②④2 215. 解：椭圆 也+嵩=1的焦点是(0，— 5), (0,5)，焦点在y 轴上,2 2于是设双曲线方程是 拿―j^= 1(a>0, b>0), 又双曲线过点(0,2), • C = 5, a = 2, •- b 2= C 2 — a 2= 25— 4 = 21,2 2•双曲线的标准方程是 丁 — 21= 1，实轴长为4, 焦距为10,离心率e =C = 5a 2渐近线方程是y =异Q J X .16. 解:抛物线y 2 = 4x 的焦点为F(1,0),当直线l 斜率不存在时，|AB|= 4,不合题意.设 直线 l 的方程为 y = k(x — 1)，代入 y 2= 4x ,整理得 k 2x 2 — (2k 2 + 4)x + k 2= 0.y = 2x + 1, y 2= 12x ,+ 22(X 1 - X2 (= C.13.解析：如图，设椭圆的方程为 2 2拿+寺=1(a > b > 0)，焦半径为由题意知/ F 1AF 2= 90°14.解析：①表示的图形是 个占 I(1,0):② e =于;设 A(x i , y”，B(x 2, y 2),由题意知 k z 0,2 ,,2k + 4k 2 .由抛物线定义知,|AB|= |AF|+ |BF|= x i + 1 + X 2 + 1 = X i + X 2 + 2,解得k =±1.所以直线l 的方程为y = ±x — 1), 即 x — y - 1 = 0, x + y - 1 = 0. 117. 解：(1)由题意可知，△ AF 1F 2为等边三角形，a = 2c ,所以e =?.2 2 2 2(2)法一：a = 4c , b = 3c , 直线AB 的方程为y =—3(x -c).代入椭圆方程3x 2 + 4y 2 = 12c 2，得B 8c 所以 |AB|= 1+ 3 |5c - 0|=衆.由 S A AF 1B = 2-|AF 1| |AB|sin / F 1AB = ~a •^rc •23= 253a 2= 40,3，解得 a = 10, b = 5 3. 2 2 52 5 法二：设 AB = t.因为 |AF 2|= a ,所以 |BF 2| = t — a. 由椭圆定义 BF 1+ BF 2 = 2a 可知，BF 1= 3a — t. 由余弦定理得(3a —1)2= a 2+12— 2atcos 60可得，由 S A AF 1B = 2a |a 子253a 2= 40 3知, 2 5 2 5 a = 10, b = 5 . 3. [b= 1,18.解：(1)由题意得 a = 2.2所以椭圆C 1的方程为7+y 2= 1.4 (2)设 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2), D(X 0, y o ). 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为 k ,则直线l 1的方程为y = kx — 1.又圆 C 2： x 2 + y 2= 4,1故点。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 章末检测试卷 Word版含答案
章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________．答案5解析∵a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5.2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案－23a ＋12b ＋12c解析如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON→＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a ·3b ＝________.答案－15解析∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面平行答案平行或重合解析∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________.答案32解析由空间向量数量积的性质，知a ·a ＝|a |2＝1.由空间向量数量积的定义，得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos60°＝12，从而a ·a ＋a ·b ＝1＋12＝32.6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 为________三角形．答案直角解析∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD→ ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．7.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是________．(填序号)①⎝⎛⎭⎫1，1，12；②(1，2，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)．答案①解析由题意知，C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，则PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴n ＝(2,2,1)．又⎝⎛⎭⎫1，1，12＝12n ，∴①正确．8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为________．答案120°解析如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角，由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉，∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12，又∵〈EA →，FB →〉∈[0°，180°]，∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求的二面角为120°.9.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.答案－112AB →－13AC →＋34AD→解析GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB→－13AC →＋34AD →.10.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝8，AD ＝6，AA ′＝8，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．答案18解析∵AC′—→＝AC →＋CC′—→＝AB →＋AD →＋AA′—→，|AC′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA′—→＋AD →·AA′—→)＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324，∴|AC′—→|＝324＝18.11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为________．答案105解析不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系S －xyz ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，0，12.因为SM →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12，所以|SM →|＝12，|BN →|＝54，SM →·BN →＝－12，cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →||BN →|＝－105，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105.12.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案3－2cosθ解析因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cosθ， 即AD 的长为3－2cosθ.13．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB→取得最小值时，点Q 的坐标为________．答案⎝⎛⎭⎫43，43，83解析设Q (x ，y ，z )，因为Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，设OQ →＝λOP →(λ∈R )，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23， 故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83.14．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段；②若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角；③若a 为直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面．其中不正确的命题为________．(填序号)答案①②③④解析①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A1B1—→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b <0，即cos 〈a ，b 〉<0⇒π2<〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π；③错误，当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA1—→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA1—→是不共面的．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010.(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0.即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.16．(14分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解(1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0， 由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0， 由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．17．(14分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA1—→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA1—→，试求α，β，γ的值．解(1)取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连结EF ，则12AA1—→＋BC →＋23AB →＝EA1—→＋A1D1—→＋D1F —→＝EF →.(2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC1—→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC1—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA1—→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.18．(16分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明如图所示，以C 1为坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC1—→＝(0，－2，－2)，AB1—→＝(－2,2，－2)，∴BC1—→·AB1—→＝0－4＋4＝0， 即BC1—→⊥AB1—→，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE .由于E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC1—→＝(0，－2，－2)， ∴ED →＝－12BC1—→，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，∴BC 1∥平面CA 1D .19．(16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝a ，点M 是PC 的中点．(1)求BP 与DM 所成的角的大小； (2)求二面角M －DA －C 的大小．解(1)以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ.∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2，∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角θ＝90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)，BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0.又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22.∴所求的二面角M －DA －C 的大小为45°.20．(16分)如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求PQ 的长；如果不存在，请说明理由．(1)证明取AB 的中点O ，连结OD ，OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OD ∥BC .又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD ，又OE ∩OD ＝O ，所以AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥DE .(2)解因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ⊥OE ，OE ⊂平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB .所以OE ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥OD .如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (－1,0,0)， D (0,0,1)，C (－1,0,1)，E (0，3，0)，所以AD →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，3，－1)． 设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n1·DE →＝0，n1·AD →＝0，即⎩⎨⎧3y1－z1＝0，－x1＋z1＝0，令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33，所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1，同理可求得平面BCE 的一个法向量为n 2＝(－3，1,0)，设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|n1·n2||n1||n2|＝⎪⎪⎪⎪33－373×2＝77，所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. (3)解假设存在Q (x 2，y 2,0)满足题意，因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫x2＋12，y2－32，－12，又CD →＝(1,0,0)，DE →＝(0，3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·CD →＝0，PQ →·DE →＝0，即⎩⎨⎧ x2＋12＝0，3⎝⎛⎭⎫y2－32＋12＝0，解得⎩⎨⎧x2＝－12，y2＝33，易知点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0在△ABE 内，所以△ABE 内存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测 圆锥曲线与方程 Word版含解析
阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．(江苏高考)双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为________________________．2．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是________．3．方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是_____________．4．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．5．设点P 是双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．6．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是____________________________．7．已知双曲C 1＝x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C2的方程为________________________．8．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝8，则P 1P 2的值为________．9．椭圆x24＋y23＝1的右焦点到直线y ＝33x 的距离是________．10．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________________________．12．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于__________________________．13．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x23＋y22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线的方程是x ＝－18；④双曲线y249－x225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中所有不正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求与椭圆x2144＋y2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．16．(本小题满分14分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．17.(本小题满分14分)如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．18．(浙江高考)(本小题满分16分)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．9．(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．20．(湖南高考)(本小题满分16分)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：· <2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．答 案1．解析：令x216－y29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32. 答案：323．解析：由题意得错误!解之得a <错误!，且a ≠0，即a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12.答案：错误!4．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：445．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF1－PF2＝2a ，PF1＝3PF2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α，在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α①，在△OPF 2中，PF 2＝OF 2＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝3aa＝ 3.答案：36．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即错误!＝2－x .∴y 2＝－8x .答案：y 2＝－8x7．解析：∵双曲线C 1：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴ca ＝a2＋b2a＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .答案：x 2＝16y8．解析：由题意知p ＝4，由抛物线的定义得P 1P 2＝P 1F ＋P 2F ＝⎝⎛⎭⎫y1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫y2＋p2＝(y 1＋y 2)＋p ＝8＋4＝12.答案：129．解析：∵椭圆x24＋y23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x －3y ＝0的距离d ＝33＋9＝12.答案：1210．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：5711．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a24＋b2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a22⎝⎛⎭⎫a24＋b2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为x218＋y29＝1.答案：x218＋y29＝112．解析：令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴AB ＝错误!＝错误!＝错误!.答案：1513．解析：如图，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦半径为c .由题意知∠F 1AF 2＝90°， ∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin 60°＝3c .∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c .∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.答案：3－114．解析：①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝33； ④渐近线的方程为y ＝±75x .答案：①②④15．解：椭圆x2144＋y2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)，又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y24－x221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .16．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，则x 1＋x 2＝2k2＋4k2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k2＋4k2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)，即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.17．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2. 所以椭圆C 1的方程为x24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k2＋1，所以AB ＝24－d2＝24k2＋3k2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x2＋4y2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k2，y 0＝84＋k2－1.所以PD ＝8k2＋14＋k2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12AB ·PD ＝84k2＋34＋k2，所以S ＝324k2＋3＋134k2＋3≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.19．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2错误!，化简得x24＋y23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x24＋y23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x24＋y23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>32.由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－24k3＋4k2，①x 1x 2＝243＋4k2.②又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k2，x 21＝123＋4k2，可得⎝⎛⎭⎫－8k 3＋4k22＝123＋4k2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x22，①y 1＝3＋y22.②又x214＋y213＝1，③ x224＋y223＝1，④联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝2，y2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x2＝－2，y2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， 所以直线m 的斜率为－32或32.20．解：(1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k1x ＋p 2，x2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk1，pk21＋p 2，＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk2，pk22＋p2，＝(pk 2，pk 2)．于是·＝p 2(k 1k 2＋k 21k 2)．因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎫k1＋k222＝1.故·<p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得F A ＝y 1＋p 2，FB ＝y 2＋p2，所以AB ＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝⎛⎭⎫y －pk21－p 22＝(pk 21＋p )2， 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 2＋1)y －34p 2＝0.于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 2－k 21)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.因为p >0，所以点M 到直线l 的距离 d ＝|2pk21＋pk1＋p|5＝p|2k21＋k1＋1|5＝p ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫k1＋142＋785.故当k 1＝－14时，d 取最小值7p85.由题设，7p 85＝755，解得p ＝8.故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1课件：第1部分 第3章 章末小结 知识整合与阶段检测
核心要点 归纳
阶段质量 检测
Hale Waihona Puke 一、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共 面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法 解决立体几何问题的基本要求，解题时，可结合已知和所求，根 据图形，利用向量运算法则表示所需向量．
(1)线线平行． 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线 向量． (2)线线垂直． 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，且a ⊥b⇔a·b＝0.
(3)线面平行． 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线 向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向 量把直线的方向向量线性表示出来．
二、空间向量的数量积 由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可知，利用该公式可求夹角、距 离．还可由a·b＝0来判定垂直问题，要注意数量积是一个数， 其符号由〈a，b〉的大小确定． 三、空间向量与平行和垂直 空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题 之一，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决． 利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法有：
故实质上应有cos θ＝|cos〈a，b〉|.
(2)求线面角． 求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及此直 线在平面内的射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平 面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的 方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的 角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.
四、空间向量与空间角
利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(一) 常用逻辑用语 Word版含解析
阶段质量检测(一) 常用逻辑用语[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是____________________________．2．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是___________________________________．3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的________条件．4．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________(填所有真命题的序号)．①(綈p )∨q ；②p ∧q ；③p ∨q ；④(綈p )∨(綈q )．5．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个角均为60°”的否命题；③“若k <0，则方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k ＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________个．6．(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的________条件．7．(湖南高考改编)“1<x <2”是“x <2”成立的________条件．8．命题“若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．9．(辽宁高考改编)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为________．10．命题p ：任意两个等边三角形都是相似的．①它的否定是_______________________________________________________；②否命题是_________________________________________________________．11．已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f (x )＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是________．12．下列结论中正确命题的个数是________．①命题p ：“∃x ∈R ，x 2－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的充分不必要条件．13．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中，选出适当的一种填空：(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的_______________；(2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的________________． 14．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p ：有的素数是偶数；(3)p ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0；(4)p ：∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝0.16.(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sin α＝sin β；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d .17．(本小题满分14分)已知p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分16分)设有两个命题：p ：关于x 的不等式x 2＋2x －4－a ≥0对一切x ∈R 恒成立；q ：已知a ≠0，a ≠±1，函数y ＝－|a |x 在R 上是减函数，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分16分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m >0)．若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知命题p ：不等式(m －1)x 2＋(m －1)x ＋2>0的解集是R ，命题q ：sin x ＋cos x >m .如果对于任意的x ∈R ，命题p 是真命题且命题q 为假命题，求m 的范围．答 案1．若a ≠0且b ≠0，则ab ≠02．解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题．答案：∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<03．解析：l 1与l 2平行的充要条件是a (a ＋1)＝2×1，且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．答案：充分不必要4．解析：命题p 真，命题q 假，因此綈p 假，綈q 真，①是假命题，②假命题，③真命题，④真命题．答案：③④5．解析：显然①假，②真，对于③，当k <0时，Δ＝(2k ＋1)2－4k ＝4k 2＋1>0，故③为真．答案：26．解析：便宜⇒没好货，等价于其逆否命题，好货⇒不便宜，∴“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．解析：设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <2}，故A B ，即当x 0∈A 时，有x 0∈B ，反之不一定成立．因此“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件答案：充分不必要8．解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．又∵它的逆命题若“x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”是真命题，∴它的否命题也是真命题．答案：49．解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n是递减数列，所以p 3为假命题；由于a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．答案：p 1，p 410．①存在两个等边三角形不相似②如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似11．解析：命题p ：m <0，命题q ：m <2.∵p 与q 一真一假，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m <2，解得0≤m <2. 答案：[0,2)12．解析：对于①，易知是正确的；对于②，由綈p 是q 的必要条件知：q ⇒綈p 则p⇒綈q ，即p 是綈q 的充分条件，正确；对于③，由M >N 不能得知(23)M >(23)N ，因此③是错误的．综上所述，其中正确的命题个数是2.答案：213．解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的充分不必要条件．答案：(1)充要条件 (2)充分不必要条件14．解析：由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，从而a 的取值范围为[e,4]．答案：[e,4]15．解：(1)綈p ：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．綈p 为真命题．(2)綈p ：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故綈p 为假命题．(3)綈p ：对任意的实数x ，都有x 2＋1≠0.綈p 为真命题．(4)綈p ：∃x 0，y 0∈R ，x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋5≠0.綈p 为真命题．16．解：(1)逆命题：若sin α＝sin β，则α＝β；否命题：若α≠β，则sin α≠sin β；逆否命题：若sin α≠sin β，则α≠β.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．(3)逆命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ；否定题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ；逆否命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d .17．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0， 得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ＜4.即2＜x ＜3.∴q ：2＜x ＜3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .即2＜x ＜3满足2x 2－9x ＋a ＜0.设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0，需有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0. ∴a ≤9.∴实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．18．解：∵不等式x 2＋2x －4－a ≥0对x ∈R 恒成立，∴x 2＋2x －4≥a 对x ∈R 恒成立，令y ＝x 2＋2x －4，∴y min ＝－5，∴a ≤－5，∴命题p 即为p ：a ≤－5，函数y ＝－|a |x (a ≠0，a ≠±1)在R 上是减函数，∴|a |>1，∴a >1或a <－1，∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p ，q 一真一假，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－5，－1<a <1，或⎩⎪⎨⎪⎧a >－5，a >1或a <－1， ∴－5<a <－1或a >1.即实数的取值范围是(－5，－1)∪(1，＋∞)．19．解：法一：由x 2－2x ＋1≤m 2(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m .∴綈q ：A ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}．由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10. ∴綈p ：B ＝{x |x <－2或x >10}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，且m >0，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0， ①1－m ≤－2， ②1＋m ≥10. ③解得m ≥9.注意到当m ≥9时，③中等号成立，而②中等号不成立．∴实数m 的取值范围是[)9，＋∞. 法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件∴q 是p 的必要不充分条件∴p 是q 的充分不必要条件∴C D ，又∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10. 解得m ≥9.故实数m 的取值范围是[)9，＋∞.20．解：对于命题p ：(1)当m －1＝0时，原不等式化为2>0恒成立，满足题意．(2)当m －1≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，Δ＝(m －1)2－8(m －1)<0. 得1<m <9，所以，m ∈[1,9)．对于命题q ：sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，若对于任意的x ∈R ，命题q ：sin x ＋cos x >m 是假命题，则m ≥ 2.综上，m 的取值范围是[2，9)．。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(三)空间向量与立体几何含答案解析
中， PB ⊥平面 ABQ， ＝ 2BD，PD 与 EQ 交
1． 解析： a·b＝－ 3＋ 2x－ 5＝ 2，∴ x＝ 5.
答案
答案： 5
2.解析： △ BCD 中， BC ·BD ＝ ( AC － AB ) ·( AD － AB )＝ AB 2＞ 0，∴∠ B 为锐角，同理，∠ C，∠ D 均
BCC′ B′对角线
BC ′上的
3分点，设 4
MN
＝αAB ＋ βAD ＋γAA ，试求 α、
β、 γ的值．
16． (本小题满分 14 分 )已知空间三点 A(－2,0,2) ， B(－ 1， 1,2)， C(－ 3,0,4)，设 a＝ AB ， b＝ AC .
(1)求 a 和 b 的夹角 θ的余弦值； (2)若向量 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值．
∴
1 x－
＝ 2
1＝
3 y＋
. 1
∴
x＝
3，
y＝2.
答案： 3 2
6． 解析： 由已知得 p＝ 3a＋ 2b－ c，
则
p＝32(2 a) ＋(－2)( － b) ＋ (－2)
1 2c
.
故 p 关于基底
1 2a，－ b， 2c 的坐标为
32，－ 2，－ 2 .
答案： 32，－ 2，－ 2
7． 解析： ∵ l 1⊥ l 2，∴ a⊥ b. ∴ a·b＝ 1× (－2)＋ 2× 3＋(－ 2)×m＝4－ 2m＝ 0.
AD BD 上一点， BE＝3ED ，若以 { AB ， AC ，
} 为基底，则 GE ＝
________.
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(四) 模块综合检测含答案解析
阶段质量检测(四) 模块综合检测 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]题 号 一 二总 分 15 16 17 18 19 20 得 分一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在题中的横线上) 1．(安徽高考)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是________________________． 2．“相似三角形的对应角相等”的否命题是________________________________． 3．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．4．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．5．(重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.6．已知a ＝(t ＋1,1，t )，b ＝(t －1，t,1)，则|a －b |的最小值为________．7．方程x 23＋m －y 21－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．8．(北京高考改编)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．9．(山东高考改编)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．10．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是____________________． 11．已知A (4,1,3)、B (2,3,1)、C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 12．(山东高考改编)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.13．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ―→＝2P A ―→，且OQ ―→·AB ―→＝1，则P 点的轨迹方程是________．14．若方程x 24－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1＜t ＜4且t ≠52；②若C 为双曲线，则t ＞4或t ＜1； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1＜t ＜32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点． (1)用p 表示线段AB 的长；(2)若OA ·OB ＝－3，求这个抛物线的方程．16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |＜3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．17.(本小题满分14分)如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面 P AO?18．(本小题满分16分)已知点⎝⎛⎭⎫1，32是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，离心率为12. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆E 交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．19．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分16分)如图，直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．20．(重庆高考)(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．答 案1．对任意实数x ，都有x ≤12．解析：否命题是条件结论都否定． 答案：不相似的三角形的对应角不相等3．解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：44．解析：λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)． ∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0. ∴λ－1＝0，λ＝1. 答案：15．解析：由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a .又因为点P 在直线y ＝b3ax 上，所以－b 2a ＝b3a ×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324. 答案：3246．解析：|a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4， 所以当t ＝1时，|a －b |取得最小值2. 答案：27．解析：若x 23＋m －y 21－m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，1－m >0⇒－3<m <1， ∴m 的取值范围是(－3,1)． 答案：(－3,1)8．解析：依题意，e ＝c a ，e 2＝c 2a 2>2，得1＋m >2，所以m >1. 答案：m >19．解析：由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要10．解析：∵“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]11．解析：因为A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)， P (x ，－1,3)，所以AP ＝(x －4，－2,0)，AB ＝(－2,2，－2)，AC ＝(－1，6，－8)．由于点P 在平面ABC 内，所以P 、A 、B 、C 四点共面．所以AP 、AB 、AC 三个向量共面．故由共面向量定理，知存在有序实数对(m ，n )，使AP ＝m AB ＋n AC ，即(x －4，－2,0)＝m (－2,2，－2)＋n (－1,6，－8)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－2m －n ，－2＝2m ＋6n ，0＝－2m －8n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1，x ＝11.答案：1112．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2求导得，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得，y 0＝16p .由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433. 答案：43313．解析：可得A (32x,0)，B (0,3y )，Q (－x ，y )，则AB ＝(－32x,3y )，OQ ＝(－x ，y )，故OQ ·AB ＝32x 2＋3y 2＝1，所以P 点的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)14．解析：若为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＞0，t －1＞0，4－t ≠t －1，即1＜t ＜4，且t ≠52；若为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，即4＜t 或t ＜1； 当t ＝52时，表示圆，若C 表示长轴在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52，故①②正确．答案：①②15．解：(1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p24＝－p 2， ∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3， 解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .16．解：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴若p 成立，即x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 由|f (x )－m |＜3⇒m －3＜f (x )＜m ＋3.∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －3＜1，m ＋3＞2，解得－1＜m ＜4，即m 的取值范围是(－1,4)．17．解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，设Q (0,1，z )，则OP ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， 1BD ＝(－1，－1,1)，∴OP ∥1BD ，∴OP ∥BD 1，AP ＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ ＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP ＝BQ ，即AP ∥BQ ，有平面AOP ∥平面D 1BQ ，∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO . 18．解：(1)由题意知，c a ＝12，所以a 2－b 2a 2＝14，a 2＝43b 2.又1a 2＋94b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3. 因此椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y 得， (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由题意知Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3) ＝16(12k 2－3m 2＋9)>0， 即4k 2－m 2＋3>0.又x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝3m 2－12k 23＋4k 2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝3m 2－12k 24(m 2－3)＝k 2，即(4k 2－3)m 2＝0，∵m ≠0，∴k 2＝34.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<6，且m 2≠3. 设d 为点O 到直线l 的距离， 则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12×|m |1＋k 21＋k 2|x 1－x 2|＝12|m |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 又因为m 2≠3，所以S △OPQ ＝33m 2(6－m 2)<33×m 2＋6－m 22＝ 3.所以△OPQ 面积的取值范围为(0，3)．19.解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝22AB 得， AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＋z 2＝02x 2＋2z 2＝0可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63. 20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2， c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2， 故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5，又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)， 所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1章末综合测评3
长．
2
1
图2
【解】 ∵A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1，
∴|A→C1|＝ A→B＋A→D＋A→A12
A→B2＋A→D2＋A→A12＋2A→B·A→D＋A→B·A→A1＋A→D·A→A1
＝
.
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈A→B，A→D〉＝90°，〈A→B，A→A1〉＝〈A→D，A→A1〉＝60°，
2
1
( ) ∴A→1O·B→D＝
11 c＋ a＋ b
22
·(b－a)
1 ＝c·(b－a)＋2(a＋b)·(b－a)
1 ＝c·b－c·a＋2(b2－a2)
1 ＝2(|b|2－|a|2)＝0.
∴A→1O⊥B→D，
∴A1O⊥BD. 同理可证A→1O⊥O→G.
∴A1O⊥OG.
又 OG∩BD＝O 且 A1O⊄平面 BDG，
B→A1 C→B1
∴|A→B|＝ 52＋02＋－32＝ 34.
【答案】 34
2．若 a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且 a 与 b 为共线向量，则
x＝________，y＝________.
2x 1 3
1
3
【解析】 由题意得 1 ＝－2y＝9，∴x＝6，y＝－2.
13 【答案】 6 －2 3．下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为________．
O→A1 O→A O→C O→C1 ④ － 与 － 是一对相反向量．
【解析】 ①∵四边形 ADC1B1 为平行四边形，O 为对
角线交点，
∴O→A＋O→D与O→B1＋O→C1是一对相反向量，∴①真； ②∵O→B－O→C＝C→B，O→A1－O→D1＝D→1A1，C→B＝D→1A1， ∴O→B－O→C＝O→A1－O→D1，
高中数学苏教版高二选修2-1学业分层测评：章末综合检测01
章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．命题“1＜3＜4”使用的逻辑联结词是________.【解析】“1＜3＜4”的含义为“3＞1且3＜4”，所以使用了逻辑联结词“且”．【答案】且2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．【解析】原命题正确，所以逆否命题正确；逆命题“若y＝f(x)的图象不过第四象限，则它是幂函数”是假命题．故否命题也是假命题．【答案】 13．(2015·浙江高考改编)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件．【解析】取a＝3，b＝－2，知“a＋b>0”D“ab>0”，取a＝－3，b＝－2知“ab>0”D“a＋b>0”，故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．【答案】既不充分也不必要4．设命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.【答案】1，＋∞)5．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定．．是________．【解析】∀改为∃，否定结论，即∃x∈R，|x|＋x2<0.【答案】∃x∈R，|x|＋x2<06．(2016·湛江高二检测)设命题p和命题q，“p或q”的否定是真命题，则必有________．①p真q真；②p假q假；③p真q假；④p假q真．【解析】因为“p或q”的否定是真命题，所以“p或q”是假命题，则p假q假．【答案】②7．给出以下命题：①∀x∈R，有x4>x2；②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α；③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0.其中真命题为________(填序号)．【解析】 ①错，如x ＝0时不成立；②对，如α＝0时sin 0＝0；③错，因为y ＝x 2＋2x ＋a 开口向上．【答案】 ②8．(2016·邯郸高二检测)“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．【解析】 当0＜a ＜b 时，根据指数函数y ＝αx (0＜α＜1)是减函数，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ；反之，当⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 时，可得a ＜b .所以“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要条件9．已知命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，解不等式x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞2，所以m ≥2，实数m 的取值范围是2，＋∞)．【答案】 2，＋∞)10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①且q ；②p 或q ；③且(非q )；④(非p )或q 中，其中真命题是________．【解析】 p 为真q 为假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假判断知②③为真命题．【答案】 ②③11．(2016·江苏扬州高三模拟)已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0.若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：09390017】【解析】 p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，由条件非p 是非q 的充分条件知q 是p 的充分条件，所以⎩⎨⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6. 【答案】 －1,6]12．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，下列说法正确的是________． ①p 是真命题；②q 是真命题；③命题p 或q 是假命题；④命题且q 是真命题；⑤命题且(非q )是真命题；⑥命题p 或(非q )是假命题．【解析】 对于命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，例如当x ＝10时成立，故命题p 是真命题；对于命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，当x ＝0时命题不成立，故命题q 是假命题．所以命题且(非q )是真命题，即①⑤正确．【答案】①⑤13．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的________条件．【解析】将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝1k2＋1.又弦长为21－1k2＋1＝2|k|k2＋1，所以S△OAB＝12·1k2＋1·2|k|k2＋1＝|k|k2＋1＝12，解得k＝±1.因此可知“k＝1”是“△OAB的面积为12”的充分不必要条件．【答案】充分不必要14．下列叙述中错误的是________．①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为假命题；②“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；③若“p或q”为假命题，则“(非p)且(非q)”也为假命题；④若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则非p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0.【解析】对于①，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于②，由x>2可得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)>0，反过来，由x2－3x＋2>0不能得知x>2，因此“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；对于③，若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，所以“(非p)且(非q)”是真命题；对于④，命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则非p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0.综上所述，应填③.【答案】③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)命题：若一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形．试写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：若△ABC为直角三角形，则△ABC的一个内角为直角，是真命题．否命题：若△ABC没有一个内角为直角，则△ABC不是直角三角形，是真命题．逆否命题：若△ABC不是直角三角形，则△ABC没有一个内角为直角，是真命题．16．(本小题满分14分)判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈{x|x＞0}，x＋1x≥2；(4)∃x ∈Z ，log 2x ＞2.【解】 (1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为真命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是存在性命题，且为真命题．17．(本小题满分14分)分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p ：所有的平行四边形的对角线相等，q ：所有的平行四边形的对角线互相平分；(2)p ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同，q ：方程x 2－16＝0的两根的绝对值相等．【解】 (1)p 或q ：所有的平行四边形的对角线相等或互相平分．且q ：所有的平行四边形的对角线相等且互相平分．非p ：有些平行四边形的对角线不相等．因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真．(2)p 或q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等．且q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p ：方程x 2－16＝0的两根符号相同．因为p 真q 真，所以“p 或q ”、“p 且q ”均为真，“非p ”为假．18．(本小题满分16分)(2016·大庆高二检测)已知命题p ：|4－x |≤6，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【解】 非p ：|4－x |＞6，解得x ＞10或x ＜－2，记A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a ，记B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }． 而非p ⇒q ，∴A B ，即⎩⎨⎧ 1－a ≥－2，1＋a ≤10，a ＞0，∴0＜a ≤3.19．(本小题满分16分)(2016·湖北荆门调研)已知条件p ：函数f (x )＝(2a －5)x 在R 上是减函数；条件q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p 或q 是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 若p 真，则0<2a －5<1，故52<a <3.若q 真，由x 2－ax ＋2<0，得ax >x 2＋2.∵1<x <2，∴a >x 2＋2x ＝x ＋2x 在x ∈(1,2)上恒成立．又当x ∈(1,2)时，x ＋2x ∈22，3)，∴a ≥3.∵p 或q 是真命题，故p 真或q 真，∴有52<a <3或a ≥3.综上，a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a >52. 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx .(1)若“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得：对任意实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)因为“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，所以“对于任意实数x ，使得f (x )>0”是真命题，即对于任意实数x ，f (x )>0恒成立．①当m ＝0时，不成立；②当m >0时，Δ＝4(4－m )2－8m <0，∴2<m <8.(2)当m ≤0时，依题意显然不符合；当m >0时，则只要f (x )>0在(－∞，0)上恒成立，⎩⎪⎨⎪⎧ 4－m 2m >0，f (0)≥0⇒0<m <4. 或⎩⎪⎨⎪⎧ 4－m 2m ≤0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 2m >0⇒4≤m <8.综上可知，0<m <8.。
2018-2019高二数学精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷(二)
章末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝33x 的距离是________．答案 12解析 ∵椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x －3y ＝0的距离d ＝33＋9＝12. 2．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2k ＋2＋y 2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________． 答案 12解析 △ABF 2的周长为4a ，且4a ＝8，所以a ＝2， 得k ＝2，所以b 2＝3， 所以e ＝ca＝4－32＝12. 3．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，AF ＝2，则BF ＝________. 答案 2解析 设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2， 则依题意有焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2， ∴x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．答案32解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.5．已知椭圆x 2a 2＋y 216＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B两点，则△ABF 2的周长为________． 答案 20解析 由椭圆定义知，△ABF 2的周长为4a ， 又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5，∴△ABF 2的周长为20.6．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由题意，因为双曲线的右焦点(5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，利用双曲线的定义得FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，由P A ＋QA ＝PQ ＝2×8＝16，得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.7．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________． 答案 y ＝±33x解析 ∵y 2＝8x 焦点坐标是(2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴长b ＝1且a >0，∴a ＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y ＝±33x .8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________________． 答案 3x 2－y 2＝1解析 由题意可得e ＝ca ＝2，则c ＝2a ，设其一焦点为F (c,0)，渐近线方程为bx ±ay ＝0，那么d ＝bc b 2＋a2＝bcc ＝b ＝1， 而c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝13，则所求的双曲线方程为3x 2－y 2＝1.9．已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程为________．答案 x 24＋y 22＝1解析 设点P (x ，y )，则P A →＝(1－x,1－y )， PB →＝(－1－x ，－1－y )．所以P A →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y ) ＝x 2＋y 2－2.由已知得x 2＋y 2－2＝x 22，即x 24＋y 22＝1.10．已知椭圆x 225＋y 216＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，且椭圆上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则△PF 1F 2的面积为________． 答案 4 5解析 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10， 不妨记PF 1＝3，则PF 2＝7，又2c ＝6， 所以cos ∠PF 2F 1＝72＋62－322×6×7＝1921，从而可得sin ∠PF 2F 1＝4521，所以12PF PF S ＝12×6×7×sin ∠PF 2F 1＝4 5.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．答案 57解析 在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ，所以a ＝7，则e ＝c a ＝57.12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于________．答案 3解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝CB ＋CAAB ，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3.13．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________． 答案138解析 由P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，焦点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴FM ＝2，PQ ＝1＋14＝54，MQ ＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫54＋2×1＝138. 14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x 23＋y 22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线方程是x ＝－18；④双曲线y 249－x 225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中所有不正确命题的序号是________．答案 ①②④解析 ①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝33；③正确；④渐近线方程为y ＝±75x . 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，离心率e ＝223，求椭圆的标准方程．解 (1)当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵离心率e ＝223，∴c a ＝223.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3b . 又∵椭圆经过点P (3,0)， ∴9a 2＋0b2＝1，∴a 2＝9，b 2＝1. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当焦点在y 轴上时， 设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．同理可得a ＝3b .又∵椭圆经过点P (3,0)，∴0a 2＋9b 2＝1，∴b 2＝9，∴b ＝3，a ＝9. ∴椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.16．(14分)求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解 椭圆x 2144＋y 2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y 24－x 221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .17．(14分)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程．解 设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，焦距2c ＝213，由已知得a 1－a 2＝4，c a 1∶ca 2＝3∶7，解得a 1＝7，a 2＝3，c ＝13，所以b 21＝36，b 22＝4，所以两条曲线的方程分别为x 249＋y 236＝1，x 29－y 24＝1. 18．(16分)已知直线y ＝x －4被抛物线y 2＝2mx (m ≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．解 设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2mx ，y ＝x －4，得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0， Δ＝4(4＋m )2－64＞0，所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16， 所以弦长为(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝2[4(4＋m )2－4×16]＝22(m 2＋8m ).由22(m 2＋8m )＝62，解得m ＝1或m ＝－9.经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意且满足Δ＞0. 所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x .19．(16分)已知椭圆C 的左，右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P . (1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标． 解 (1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ，x 23＋y 2＝1得x ＝±3(1－t 2)，所以圆P 的半径为3(1－t 2).当圆P 与x 轴相切时，|t |＝3(1－t 2)，解得t ＝±32，所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，±32.20．(16分)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴的一个端点A 与短轴的一个端点B 的连线AB 平行于OM . (1)求椭圆的离心率；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是椭圆的右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围． 解 (1)依题意知F 1点坐标为(－c,0)， 设M 点坐标为(－c ，y )．若A 点坐标为(－a,0)，则B 点坐标为(0，－b )， 则直线AB 的斜率k ＝－ba.⎝⎛⎭⎪⎫A 点坐标为(a ，0)，B 点坐标为(0，b )时，同样有k ＝－b a则有y －c ＝－b a，∴y ＝bca .①又∵点M 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴c 2a 2＋y 2b 2＝1.②由①②得c 2a 2＝12，∴c a ＝22，即椭圆的离心率为22. (2)设QF 1＝m ，QF 2＝n ，∠F 1QF 2＝θ， 则m ＋n ＝2a ，F 1F 2＝2c . 在△F 1QF 2中，cos θ＝m 2＋n 2－4c 22mn＝(m ＋n )2－2mn －2a 22mn ＝a 2mn －1≥a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22－1＝0.当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴0≤cos θ＜1， 又∵θ∈(0，π)， ∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2. 又当Q 为椭圆的左、右顶点时，θ＝0，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. 即∠F 1QF 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.。
苏教版高中数学选修2-1模块综合测评.docx
模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＋q ＝________.【解析】 易得AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(p －1，－2，q ＋4)．∵AB →∥AC →，∴p －11＝－2－1＝q ＋43，∴p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5. 【答案】 52．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：09390093】【解析】 先列出命题非p 和非q ：|4x －3|>1和x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，分别解得非p ：x >1或x <12；非q ：x >a ＋1或x <a .若非p ⇐非q ，则a ≤12且a ＋1≥1，即0≤a ≤12. 【答案】 0≤a ≤123．已知双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到它的右焦点的距离为8，那么点P 到它的右准线的距离是________．【解析】 设到右准线的距离为d ，则8d ＝54，所以d ＝325.【答案】 3254．设a ∈R ，则a ＞1是1a ＜1的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】 由1a ＜1，得1－a a ＜0，即a ＜0或a ＞1，所以a ＞1是1a ＜1的充分不必要条件．【答案】 充分不必要5．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________. 【导学号：09390094】【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 【答案】 326．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ＝________.【解析】 由题意得c ＝t a ＋μb ＝t (2，－1,3)＋μ(－1,4，－2)＝(2t －μ，－t＋4μ，3t －2μ)，即(7,5，λ)＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)， ∴⎩⎨⎧ 7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝337，μ＝177，λ＝657.【答案】 657 7．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________(填序号)．①OM →＝OA →＋OB →＋OC →；②OM →＝2OA →－OB →－OC →；③OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →；④OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →；⑤ OM →＝5OA →－3OB →－OC →.【解析】 对空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若满足向量关系式OM→＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，则四点M ，A ，B ，C 共面．所以④⑤满足题意．【答案】 ④⑤8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．【解析】 因为方程x 24＋y 2k ＝1表示双曲线，所以k <0，所以a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，因为e ∈(1,2)，所以4－k 4∈(1,4)，解得k ∈(－12,0)． 【答案】 (－12,0)9．如图1所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin〈DB ′→，CM →〉＝________.图1【解析】 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD ′所在直线为z 轴建系．易得B ′(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，DB ′→＝(1,1,1)，得cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，所以sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.【答案】 2101510．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程是________．【解析】 如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E ，F ，则PE ＝PF ，ME ＝MB ，NF ＝NB .从而PM －PN ＝ME －NF ＝MB －NB ＝4－2＝2<MN ，又由题意知点P 不能在x 轴上，所以点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支并除去与x 轴的交点．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P 点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)． 【答案】 x 2－y 28＝1(x >1)11．在四面体O -ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x 4OB →＋x 4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．【解析】 若G ，M ，N 共线，则存在实数λ使MG →＝λMN →，即OG →－OM →＝λ(ON →－OM →)，∴OG →＝(1－λ)OM →＋λON →＝(1－λ)·23OA →＋λ·12(OB →＋OC →)＝2(1－λ)3OA →＋λ2OB →＋λ2OC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(1－λ)3＝13，x 4＝λ2，∴x ＝1.【答案】 112．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点________．【解析】 抛物线y 2＝8x ，p ＝4，其准线方程为x ＝－2，焦点为F (2,0)，设动圆圆心为P ，由已知点P 到准线x ＋2＝0的距离为其半径r ，且点P 在抛物线上，∴点P 到焦点F 的距离也为r ，∴动圆必过定点F (2,0)．【答案】 (2,0)13．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是________．【解析】 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，得9x 21＋36y 21＝9×36,9x 22＋36y 22＝9×36 ，两式相减，得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋36(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，由中点坐标公式x 1＋x 22＝4，y 1＋y 22＝2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以所求直线方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.【答案】 x ＋2y －8＝014．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若FQ ＝2，则直线的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k ，根据FQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解得k ＝±1.【答案】 ±1 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知p ：－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m ＞0)．若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴非q ：A ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m }，非p ：B ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，∵非p 是非q 的必要不充分条件，且m ＞0，∴A ⊆B ，∴⎩⎨⎧ m ＞0，①1－m ≤－2，②1＋m ≥10，③，即m ≥9，注意到当m ＝9时，③中等号成立，而②中等号不成立，∴m 的取值范围是m ≥9.16．(本小题满分14分)在四棱锥V -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A -VD -B 的平面角的余弦值．【解】 取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)．(1)证明：易得AB →＝(0,2,0)，VA →＝(1,0，－3)．∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0，∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD .(2)易得DV →＝(1,0，3)．设E 为DV 的中点，连结EA ，EB ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32. ∵EB →·DV →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0， ∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .同理得EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角，∴cos 〈EA →，EB →〉＝EA →·EB →|EA →||EB →|＝217. 故所求二面角的平面角的余弦值为217.17．(本小题满分14分)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为π4，求△ABF 2的面积. 【导学号：09390095】【解】 (1)由椭圆的定义，得AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，又AF 1＋BF 1＝AB ，所以，△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2＝4a .又因为a 2＝4，所以a ＝2，故△ABF 2的周长为8.(2)由条件，得F 1(－1,0)，因为AB 的倾斜角为π4，所以AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得7y 2－6y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得y 1＝3＋627，y 2＝3－627， 所以S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2|＝12×2×1227＝1227.18．(本小题满分16分)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 为BB 1的中点．图2(1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值．【解】 (1)证明：连结BD ，∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，∴D 1D ⊥平面ABCD, 又AC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC ，在长方形ABCD 中，AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，又BD ∩D 1D ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D, 而D 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥D 1E .(2)如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，E (1,1,1)，B (1,1,0)，AE →＝(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,2)，DE→＝(1,1,1)．设平面AD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·AD 1→＝0，n ·AE →＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋2z ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝1， 则n ＝(2，－1,1)，cos 〈n ，DE →〉＝n ·DE →|n ||DE →|＝2－1＋13×6＝23， 所以DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值为23.19．(本小题满分16分)如图3，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且A 1P ＝λA 1B 1.图3(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；(2)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．(3)是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30°？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．【解】 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.∵A 1P →＝λA 1B 1→＝λ(1,0,0)＝(λ，0,0)，∴P (λ，0,1)，∴PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1，NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12. (1)证明：∵AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴AM →·PN →＝0＋12－12＝0， ∴AM →⊥PN →，∴无论λ取何值，总有AM ⊥PN .(2)∵m ＝()0，0，1是平面ABC 的一个法向量，∴sin θ＝|cos 〈m ·PN →〉|＝|0＋0－1|⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ2＋14＋1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋54，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当λ＝12时，sin θ取得最大值，即θ取得最大值，此时sin θ＝45，cos θ＝15，∴tan θ＝2.(3)假设存在点P 满足题意，设n ＝(x ，y ，z )是平面PMN 的法向量，由⎩⎨⎧ n ·NM →＝0，n ·PN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －12x ＋12y ＋12z ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λx ＋12y －z ＝0，令x ＝3，得y ＝1＋2λ，z ＝2－2λ，∴n ＝(3,1＋2λ，2－2λ)，由(2)知平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|2－2λ|9＋(1＋2λ)2＋(2－2λ)2＝32，化简得4λ2＋10λ＋13＝0(*)， ∵Δ＝100－4×4×13＝－108<0，∴方程(*)无解，∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30°.20．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2，1)．直线y ＝22x ＋m 交椭圆C 于B ，D (不与点A 重合)两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)∵e ＝22＝c a ，2a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝2，c ＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝22x ＋m ，x 24＋y 22＝1⇒x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，∴Δ＝8－2m 2＞0⇒－2＜m ＜2，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2.∵BD ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222 |x 1－x 2|＝628－2m 2， 设d 为点A 到直线BD ：y ＝22x ＋m 的距离，∴d ＝|2m |6，∴S △ABD ＝12BD ·d ＝22(4－m 2)m 2≤ 2.当且仅当m ＝±2∈(－2,2)时，等号成立，∴当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2.。
苏教版高中数学选修2-1模块检测(选修2-1).docx
选修2-1 模块检测（苏教版选修2-1）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1. 若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为 ．2. （2012·山东济宁一模）已知p :|x +1|≤4;q :＜5x －6,则p 是q 成立的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 3. 设 ,若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．4. 已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M 的坐标为(－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则点Q 的轨迹方程是 ．5. 若AB 是过椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与坐标轴不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM •k BM = ．6. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM 与MN 的位置关系是 ．7. 如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E 是棱AB 的中点，点F （0，y ，z ）是正方体的面AA 1D 1D 上一点，且CF ⊥B 1E ，则点 F （0，y ，z ）满足方程 ．8. 圆心在抛物线22y x =（0y >）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是 ．9. 设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 ．10. 已知△ABC 的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ．11. 已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 ．12. 已知椭圆221x y m n+=与双曲线2x p －2y q 有共同的焦点，是椭 圆和双曲线的一个交点，则 ．13. 下列四个结论中，正确的有 (填序号).①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件； ②“是“一元二次不等式a ＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“≠1”的充分不必要条件； ④“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件.14. 若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为二、解答题（共90分）15.（14分）设p ：实数x 满足－4ax +3＜0，其中a ＞0；q ：实数x 满足 （1）若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16. （14分）已知四棱锥-P ABCD 的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且1PA AD DC ===，2AB =，点M 是PB 的中点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）求AC 与PB 所成角的余弦值；（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的平面角的余弦值.17.（14分）已知定点A(0，－1)，点B在圆F：x2＋(y－1)2＝16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于点P.(1)求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q：x2－2ax＋y2＋a2＝1被轨迹E包围着，求实数a的最小值.(2)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点G在圆F内，且满足MG∙NG＝OG2(O为坐标原点)，求M G N G∙的取值范围．18.（16分）已知椭圆22221x ya b+=(0)a b>>的离心率63e=，过点和的直线与原点的距离为32．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过点?请说明理由．19. （16分）如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到平面1ACD 的距离；（3）当AE 为何值时，二面角1--D EC D 的大小为4？20. （16分）设分别为椭圆：22221x y a b += (0)a b >>的左、右两个焦点. （1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线22221x ya b-=写出类似的性质，并加以证明一、填空题1.抛物线解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与点P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线.2. 必要不充分解析：由|x+1|≤4得－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由＜5x－6得－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.3.解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以所以.4. 2x－y＋5＝0 解析：设点Q(x，y)，则点P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y ＋5＝0.5.22ba-解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则k AM•k BM=22012201y yx x--.∵A，M在椭圆上，∴2222001122221,1x yx ya b a b+=+=，两式相减，可得k AM•k BM=22ba-．6.垂直解析：以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0），D1（0，0，2a），M（0，0，a），O（a，a，0），N （0，a，2a）．∴OM=（-a，-a，a），MN=（0，a，a）．∴OM•MN=0，∴OM⊥MN．7.z-1=0 解析：如题图所示，由已知可得E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），所以1B E=(-1，0，-2)，CF=(-2，y-2，z).因为CF⊥B1E，所以1B E•CF=0.即2-2z=0，即z-1=0．8.221204x y x y+--+=解析：抛物线的焦点坐标为，由圆心在抛物线y2=2x（y＞0）上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标为，即圆心是，半径长是1，故所求圆的方程为221204x y x y+--+=．9.2 解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为34，则有2234abca b=+.又，所以，两边平方，得.两边同除以并整理，得，所以或43.而，得222221a b ba a+=+＞2，所以.故（负值舍去）．10.221916x y-=(x＞3) 解析:如图,AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝AD - BF =8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不包括顶点），方程为221916x y-=(x＞3)．11.解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为.又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.12. 解析：因为椭圆221x ym n+=与双曲线221x yp q-=有共同的焦点，所以其焦点位于轴上，由其对称性可设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为,由椭圆以及双曲线的定义可得，，由①②得，，所以．13.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.故①正确.结合二次函数的图象知②正确.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”不是“≠1”的充分条件.故③不正确.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.故④正确.14. 6 解析：由题意，得F(-1，0)，设点，，则有 =1，解得 .因为＝，，=，，所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线=-2，因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值 +2+3＝6.二、解答题15.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若p是q的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B.又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.16.（1）证明：如图，以A为坐标原点，AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，则各点坐标为：1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M .因为.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=∙==所以所以由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此 得DC ⊥平面PAD .又DC 在平面PCD 内，故平面PAD ⊥平面PCD . （2）解：因为),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=∙>=<=∙==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故故AC 与PB 所成角的余弦值为510. （3）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在λ∈R 使,MC NC λ=.21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使14,0,0,.25AN MC AN MC x z λ⊥∙=-==只需即解得 .0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=∙-===∙=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=∙=∙所以，得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,.5552cos ,.3||||2.3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ==∙=-∙<>==--因为所以故所求的二面角的平面角的余弦值为17. 解：(1)由题意得PA ＝PB ， ∴ PA ＋PF ＝PB ＋PF ＝4＞AF ＝2，∴ 动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为22221y x a b+= (a ＞b ＞0)，则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴ 动点P 的轨迹E 的方程为22143y x +=. x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1即(x －a)2＋y 2＝1，∴ 曲线Q 是圆心坐标为(a,0)，半径为1的圆．而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点坐标分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1， ∴ a 的最小值为－3＋1.(2)设G(x ，y)，由MG ·NG ＝OG 2得： 2222(2)(2)x y x y ++∙-+＝x 2＋y 2.化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2，∴ MG NG ∙＝(x ＋2，y )·(x －2，y)＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)． ∵ 点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴ x 2＋(y －1)2＜16，∴ 0≤(y －1)2＜16⇒－3＜y ＜5⇒0≤y 2＜25，∴－2≤2(y 2－1) ＜48， ∴ MG NG ∙的取值范围为[－2,48)． 18. 解：（1）因为直线的方程为，依题意得解得所以椭圆方程为2213x y +=．（2）假若存在这样的值，由得22(13)1290k x kx +++=, 所以22(12)36(13)0k k D =-+>.① 设11()C x y ，、22()D x y ，，则②而212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++×．当且仅当时，以为直径的圆过点，则1212111y y x x =-++×， 即1212(1)(1)0y y x x +++=，所以21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=． ③将②式代入③式整理解得76k =．经验证，76k =使①式成立． 综上可知，存在76k =，使得以为直径的圆过点．19. （1）证明：如图，以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴轴轴，建立空间直角坐标系， 设AE x=，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C ，).1,1(,1,0111-==x E D DA ，），（.,0)1,,1()1,0,1(111111D A E D E D DA x E D DA ⊥⊥=-∙=∙，即所以因为（2）解：因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ， 设平面1ACD 的法向量为n ),,(c b a =，则10,0,AC AD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n也即⎩⎨⎧=+-=+-,0,02c a b a 得⎩⎨⎧==,,2c a b a 令b =1,从而n )2,1,2(=，所以点E 到平面1ACD 的距离为=h 1D E ∙n n.313212=-+=（3）解：设平面1D EC 的法向量1n ),,(111c b a =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE由1110,D C CE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ⎩⎨⎧=-+=-⇒.0)2(,021111x b a c b 令1111,2,2b c a x =∴==-，所以1n ).2,1,2(x -=依题意=4πcos 1111DD DD ∙n n .225)2(2222=+-⇒=x 所以321+=x （不合题意，舍去），322-=x .所以当23AE =-时，二面角1--D EC D 的大小为4π. 20. 解：（1）由题意知椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.又点312A 骣÷ç÷ç÷ç÷桫，在椭圆上，因此22232112b 骣÷ç÷ç÷÷ç桫+=，得，于是. 所以椭圆的方程为22143x y +=，焦点、.（2）设椭圆上的动点，线段的中点满足111,22x y x y -+==，即，.因此=22(21)(2)143x y ++，即2214123y x 骣÷ç÷++=ç÷ç÷桫为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为： 若是双曲线22221x y a b -=上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中22221m n a b -=.又设点的坐标为，由,PMPN y n y n k k x m x m -+==-+，得2222y n y n y n x m x mx m-+-?-+-.将22222222,b b y x b n a a =-=代入得22b a。
苏教版高中数学选修2-1模块检测.docx
模块检测(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．命题“若a＞－1，则a＞－2”及其逆命题、否命题、逆否命题4个命题中，真命题的个数是______．解析原命题为真命题，故逆否命题为真命题；逆命题为“若a＞－2，则a＞－1”为假命题，故否命题为假命题．故4个命题中有2个真命题．答案 22．已知命题p：∃x∈R，sin x≤1，则命题綈p为______．解析存在性命题的否定为全称命题，同时注意否定结论：sin x≤1的否定为sin x＞1.答案∀x∈R，sin x＞13．命题“a＞1是a＞a的充要条件”是______(填“真”或“假”)命题．解析因为a＞1，所以a＞1, 所以a·a＞a，即a＞a.所以a＞1⇒a＞a；因为a ＞a，所以a(a－1)＞0，所以a＞1，即a＞1.所以a＞a⇒a＞1.综上可知a＞1⇔a ＞a，所以a＞1是a＞a的充要条件．答案真4．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任三个点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．解析命题①：“若四点不共面，则这四点中任三个点都不共线”的逆命题是“若四点中任三个点都不共线，则这四点不共面”，是假命题．命题②：“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题是“若两直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”，是真命题．答案 ②5．已知|a|＝|b|＝5，a ，b 的夹角为π3，则|a ＋b|与|a －b|的值分别等于______． 解析 |a ＋b|2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2＝52＋2×5×5×12＋52＝75，|a ＋b|＝53，|a －b|2＝|a|2－ 2a·b ＋|b|2＝52－2×5×5×12＋52＝25，|a －b|＝5. 答案 53，56．若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量u ＝(－2，0，－4)，则直线与平面的位置关系是______．解析 由已知得a ＝－12u ，即向量a 和u 共线，∴直线l 与平面α垂直． 答案 l ⊥α7．以双曲线x 23－y 2＝1的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是____________． 解析 因为a ＝3，b ＝1，所以c ＝2，所以双曲线的准线方程为x ＝±32， 所以p 2＝32，得p ＝3， 所以抛物线方程是y 2＝6x 或y 2＝－6x .答案 y 2＝6x 或y 2＝－6x8．焦点在y 轴上，半虚轴长为4，焦距的一半为6的双曲线的标准方程为____________．解析 双曲线焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0.)已知b ＝4，c ＝6，则a 2＝c 2－b 2＝62－42＝20.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1. 答案 y 220－x 216＝1 9．对于实数x ，y ，命题p ：x ＋y ≠8是命题q ：x ≠2或y ≠6的______条件．解析 利用命题的等价性，因为命题“若x ＝2且y ＝6，则x ＋y ＝8”是真命题，故非q ⇒ 非p ，即p ⇒q ；命题“若x ＋y ＝8，则x ＝2且y ＝6”是假命题，故非p ⇒/ 非q ，即q ⇒/p ， 所以p 是q 的充分不必要条件．答案 充分不必要10．已知t ∈R ，a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a|的最小值是______．解析 因为a －b ＝(－1－t ，1－2t ，0)，所以|a －b|＝（－1－t ）2＋（1－2t ）2＝5t 2－2t ＋2，当t ＝15时，|b －a|取到最小值355. 答案 355 11．椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在的直线方程是____________． 解析 设弦所在的直线方程为y －2＝k (x －4)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －4），x 236＋y 29＝1，消去y ，得方程(4k 2＋1)x 2＋16k (1－2k )x ＋4(16k 2－16k － 5)＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝16k （2k －1）4k 2＋1＝8，解得k ＝－12. 从而得到弦所在直线方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 答案 x ＋2y －8＝012．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点______．解析 抛物线y 2＝8x ，p ＝4，其准线方程为x ＝－2，焦点为F (2，0)，设动圆圆心为P ， 由已知点P 到准线x ＋2＝0的距离为其半径r ，且点P 在抛物线上，∴点P 到焦点F 的 距离也为r ，∴动圆必过定点F (2，0)．答案 (2，0)13．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m ＞n ＞0)的共同焦点分别为F 1，F 2，P 是它们的一个公共点，则PF 1·PF 2等于______．解析 不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线和椭圆的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，PF 1 ＋PF 2＝2m ，∴PF 1＝a ＋m ，PF 2＝m －a .∴PF 1·PF 2＝m －a 2.答案 m －a 214．设曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，右准线l 与两渐近线交于P ，Q 两点，其右焦点为F ，若△PQF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率e 为______.解析 因为点P 是右准线l 与渐近线的交点，不妨设P 在x 轴上 方，可得P (a 2c ，ab c)， 设右准线l 与x 轴的交点为M ，因为△PQF 为等边三角形，所以MF ＝3PM ，所以c －a 2c ＝3ab c ， 化简得：b ＝3a ，所以b a＝3，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋（a b）2＝1＋3＝2. 答案 2 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a ＞0且a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＜0.(1)若命题p 为真命题，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)因为命题p 为真命题，所以对数式有意义，即－2t 2＋7t －5＞0，解得1＜t ＜52. (2)因为命题p 是命题q 的充分不必要条件， 所以1＜t ＜52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＜0解集的真子集． 解法1：因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1，a ＋2， 故只需a ＋2＞52，解得a ＞12. 解法2：令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)，因为f (1)＝0，故只需f (52)＜0，解得a ＞12. 16．(14分)已知命题p ：∃x ∈R ，使得x 2－2ax ＋2a 2－5a ＋4＝0；命题q ：∀x ∈[0，1]，都有(a 2－4a ＋3)x －3＜0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解 若命题p 为真命题，则有Δ＝4a 2－4(2a 2－5a ＋4)≥0，解得1≤a ≤4.对于命题q ，令f (x )＝(a 2－4a ＋3)x －3，若命题q 为真命题，则有f (0)＜0且f (1)＜0，可得0＜a ＜4.由题设有命题p 和q 中有且只有一个真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，a ≤0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1或a ＞4，0＜a ＜4.解得a ＝4或0＜a ＜1，故所求a 的取值范围是(0，1)∪{4}．17．(14分)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1B 1.(1)证明：AB ＝AC ；(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．解 (1)以A 为坐标原点，射线AB 、AC 、AA1分别为x 、y 、z轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A －xyz .设B (1，0，0)，C (0，b ，0)，D (0，0，c )，则B 1(1，0，2c )，E (12，b 2，c )． 于是DE →＝(12，b 2，0)，BC →＝(－1，b ，0)． 由DE ⊥平面BCC 1B 1知DE ⊥BC ，DE →·BC →＝0，求得b ＝1，所以AB ＝AC .(2)设平面BCD 的法向量AN →＝(x ，y ，z )，则AN →·BC →＝0，AN →·BD →＝0.又BC →＝(－1，1，0)，BD →＝(－1，0，c )，故⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋cz ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1c ，AN →＝(1，1，1c)． 又平面ABD 的法向量AC →＝(0，1，0)．由二面角A －BD －C 为60°知，〈AN →，AC →〉＝60°，故AN →·AC →＝|AN →||AC →|cos60°，求得c ＝12. 于是AN →＝(1，1，2)，CB 1→＝(1，－1，2)，cos 〈AN →，CB 1→〉＝AN →·CB 1→|AN →||CB 1→|＝12，〈AN →，CB 1→〉＝60°. 所以B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.18．(16分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，E (0，1，1)，F (0，0，1)，M (12，1，12)． (1)BF →＝(－1，0，1)，DE →＝(0，－1，1)，于是 cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1，0，1)，AD →＝(0，2，0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝ 0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .又CE ⊂平面CDE ，则平面AMD ⊥平面CDE .(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0， 于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1，1，1)． 又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0，0，1)． 所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u||v |＝0＋0＋13×1＝33. 因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33. 19．(16分)根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m ，宽1.6 m ．现要设计横断面为抛物线形的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理部门规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m 的距离行驶．已知拱口AB 宽恰好是拱高OC 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车安全通过的a 的最小整数值．解 如右图，以拱口AB 所在直线为x 轴，以拱高OC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．由题意可得抛物线的方程为x 2＝－2p (y －a 4)(a ＞0)． 因为点A (－a 2，0)在抛物线上， 所以(－a 2)2＝－2p (0－a 4)，得p ＝a 2. 所以抛物线的方程为x 2＝－a (y －a 4)． 取x ＝1.6＋0.4＝2，代入抛物线的方程，得22＝－a (y －a 4)，则y ＝a 2－164a .由题意，y ＞3，即a 2－164a＞3. 因为a ＞0，所以a 2－12a －16＞0，所以a ＞6＋213.又因为a ∈Z ，所以a 应取14，15，16，…答：能使卡车安全通过的a 的最小正整数值为14 m.20．(16分)抛物线y 2＝4x ，椭圆经过点M (0，3)，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴．(1)求椭圆的方程；(2)若P 是椭圆上的点，设点T 的坐标为(t ，0)(t 是正实数)，求点P 与点T 之间的最短距离．解 (1)抛物线的焦点为(1，0)．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2－b 2＝1. 又椭圆经过点M (0，3)，所以b ＝ 3.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P (x ，y )，则|PT |＝（x －t ）2＋y 2＝（x －t ）2＋3（1－x 24）＝ （x －4t ）2＋12－12t 24(－2≤x ≤2)． ①当0＜t ≤12时，x ＝4t ，即P (4t ，±3－12t 2)时，|PT |min ＝3－3t 2； ②当t ＞12时，x ＝2，即P (2，0)时，|PT |min ＝|t －2|： 综上，|PT |min ＝⎩⎨⎧3－3t 2（0≤t ≤12），|t －2|（t ＞12）.。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第1章 章末小结 知识整合与阶段检测含答案解析
[对应学生用书P17]一、命题及其关系1．命题能判断真假的陈述句叫命题，感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等语句都不是命题．2．四种命题原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．二、充分条件、必要条件与充要条件关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若“p⇒q”，且“p ⇐/q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；若“p⇔q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；若“p ⇔/q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．三、逻辑联结词1．“且”“或”“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“p∨q”“p∧q”“綈p”三种形式．2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p∨q”中有真为真，“p∧q”有假为假，綈p与p真假相反．3．注意命题的否定与否命题的区别．否命题既否定条件又否定结论；而命题的否定只否定结论．四、全称命题和存在性命题1．全称命题“∀x∈M，p(x)”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可．2．存在性命题“∃x∈M，p(x)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可．(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．五、含有一个量词的命题的否定 1．全称命题的否定一定是存在性命题． p ：∀x ∈M ，p (x )成立； 綈p ：∃x ∈M ，綈p (x )成立．2．存在性命题的否定一定是全称命题． p ：∃x ∈M ，p (x )成立； 綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )成立．3．含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是____________________________． 答案：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠02．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是___________________________________． 解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题． 答案：∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<03．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的________条件．解析：l 1与l 2平行的充要条件是a (a ＋1)＝2×1，且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．答案：充分不必要4．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________(填所有真命题的序号)．①(綈p )∨q ；②p ∧q ；③p ∨q ；④(綈p )∨(綈q )．解析：命题p 真，命题q 假，因此綈p 假，綈q 真，①是假命题，②假命题，③真命题，④真命题．答案：③④5．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个角均为60°”的否命题；③“若k <0，则方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k ＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________个．解析：显然①假，②真，对于③，当k <0时，Δ＝(2k ＋1)2－4k ＝4k 2＋1>0，故③为真． 答案：26．(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的________条件．解析：便宜⇒没好货，等价于其逆否命题，好货⇒不便宜，∴“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．(湖南高考改编)“1<x <2”是“x <2”成立的________条件． 解析：设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <2}， 故AB ，即当x 0∈A 时，有x 0∈B ，反之不一定成立．因此“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件 答案：充分不必要8．命题“若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．又∵它的逆命题若“x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”是真命题，∴它的否命题也是真命题． 答案：49．(辽宁高考改编)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为________．解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a nn ＝1＋1n是递减数列，所以p 3为假命题；由于a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题． 答案：p 1，p 410．命题p ：任意两个等边三角形都是相似的．①它的否定是________________________________________________________； ②否命题是__________________________________________________________． 答案：①存在两个等边三角形不相似②如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似11．已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f (x )＝2－mx 在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析：命题p ：m <0，命题q ：m <2. ∵p 与q 一真一假，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m <2，解得0≤m <2. 答案：[0,2)12．下列结论中正确命题的个数是________．①命题p ：“∃x ∈R ，x 2－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”； ②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件； ③“M >N ”是“(23)M >(23)N ”的充分不必要条件．解析：对于①，易知是正确的；对于②，由綈p 是q 的必要条件知：q ⇒綈p 则p ⇒綈q ，即p 是綈q 的充分条件，正确；对于③，由M >N 不能得知(23)M >(23)N ，因此③是错误的．综上所述，其中正确的命题个数是2.答案：213．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中，选出适当的一种填空：(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的_____________； (2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的________________． 解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的充分不必要条件．答案：(1)充要条件 (2)充分不必要条件14．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，从而a 的取值范围为[e,4]．答案：[e,4]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：末位数字为9的整数能被3整除； (2)p ：有的素数是偶数；(3)p ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0； (4)p ：∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝0.解：(1)綈p ：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．綈p 为真命题． (2)綈p ：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故綈p 为假命题． (3)綈p ：对任意的实数x ，都有x 2＋1≠0.綈p 为真命题．(4)綈p ：∃x 0，y 0∈R ，x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋5≠0.綈p 为真命题．16．(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sin α＝sin β；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d . 解：(1)逆命题：若sin α＝sin β，则α＝β； 否命题：若α≠β，则sin α≠sin β； 逆否命题：若sin α≠sin β，则α≠β.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．(3)逆命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ； 否定题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ； 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d .17．(本小题满分14分)已知p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ＜4.即2＜x ＜3. ∴q ：2＜x ＜3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A . 即2＜x ＜3满足2x 2－9x ＋a ＜0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0，需有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0.∴a ≤9.∴实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．18．(本小题满分16分)设有两个命题：p ：关于x 的不等式x 2＋2x －4－a ≥0对一切x ∈R 恒成立；q ：已知a ≠0，a ≠±1，函数y ＝－|a |x 在R 上是减函数，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：∵不等式x 2＋2x －4－a ≥0对x ∈R 恒成立， ∴x 2＋2x －4≥a 对x ∈R 恒成立， 令y ＝x 2＋2x －4， ∴y min ＝－5，∴a ≤－5， ∴命题p 即为p ：a ≤－5，函数y ＝－|a |x (a ≠0，a ≠±1)在R 上是减函数， ∴|a |>1，∴a >1或a <－1， ∵p ∧q 为假，p ∨q 为真， ∴p ，q 一真一假，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－5，－1<a <1，或⎩⎪⎨⎪⎧a >－5，a >1或a <－1，∴－5<a <－1或a >1.即实数的取值范围是(－5，－1)∪(1，＋∞)．19．(本小题满分16分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m >0)．若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：法一：由x 2－2x ＋1≤m 2(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m .∴綈q ：A ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}． 由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10.∴綈p ：B ＝{x |x <－2或x >10}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，且m >0， ∴AB .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0， ①1－m ≤－2， ②1＋m ≥10. ③解得m ≥9.注意到当m ≥9时，③中等号成立，而②中等号不成立．∴实数m 的取值范围是[)9，＋∞. 法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件 ∴q 是p 的必要不充分条件 ∴p 是q 的充分不必要条件∴C D ，又∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10}， q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.解得m ≥9.故实数m 的取值范围是[)9，＋∞.20．(本小题满分16分)已知命题p ：不等式(m －1)x 2＋(m －1)x ＋2>0的解集是R ，命题q ：sin x ＋cos x >m .如果对于任意的x ∈R ，命题p 是真命题且命题q 为假命题，求m 的范围．解：对于命题p ：(1)当m －1＝0时，原不等式化为2>0恒成立，满足题意．(2)当m －1≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，Δ＝(m －1)2－8(m －1)<0. 得1<m <9，所以，m ∈[1,9)． 对于命题q ：sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，若对于任意的x ∈R ，命题q ：sin x ＋cos x >m 是假命题，则m ≥ 2.综上，m 的取值范围是[2，9)．。
2018-2019年高二选修2-1模块综合测试卷含答案
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(0，±12)D ．(±12,0)C [∵c 2＝a 2－b 2＝169－25＝122，∴c ＝12.又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，±12)．]2．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0C [全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定结论，即存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.]3．如图1所示，已知平行六面体OAB -CO 1-A 1B 1C 1，点G 是上底面O 1A 1B 1C 1的中心，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO 1→＝c ，则用a ，b ，c 表示向量OG 为→( )图1A.12(a ＋b ＋2c ) B ．12(2a ＋b ＋c ) C.12(a ＋2b ＋c )D ．12(a ＋b ＋c )A [OG →＝OO 1→＋O 1G →＝OO 1→＋12(OA →＋OC →)＝12a ＋12b ＋c ，，故选A.]4．已知命题p ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝3，命题q ：∀x ∈R ，x 2－6x ＋10≥0恒成立，则下列命题是假命题的是( )A ．(﹁p )∨(﹁q )B ．(﹁p )∧(﹁q )C ．(﹁p )∨qD ．(﹁p )∧qB [对于命题p ，当a ＋b ＝1时，由于1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故1a ＋1b ≠3，命题p 是假命题；对于命题q ，x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1≥0，故命题q 是真命题．从而﹁p 为真命题，﹁q 为假命题，(﹁p )∨(﹁q )为真命题，(﹁p )∧(﹁q )为假命题，(﹁p )∨q 为真命题，(﹁p )∧q 为真命题．故选B.]5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为( )A.3 B ．2 C.5D ． 6C [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝bxa ，代入抛物线方程并整理，得ax 2－bx ＋a ＝0，因为渐近线与抛物线相切，故b 2－4a 2＝0，即b 2＝4a 2.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝ 5.]6．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.]7．给出下列结论：①命题“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x ∈(0,2)，3x ≤x 3”； ②“若θ＝π3，则cos θ＝12”的否命题是“若θ≠π3，则cos θ＝12”； ③若(p ∧q )∨(p ∨q )是真命题，则命题p ，q 一真一假；④“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件．其中正确结论的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [根据全称命题与存在性命题的否定关系，可知①是正确的；②中，命题的否命题为“若θ≠π3，则cos θ≠12”，所以②是错误的；③中，若(p ∧q )∨(p ∨q )是真命题，则命题p ，q 都是真命题或p ，q 一真一假，所以③是错误的；④中，由函数y ＝2x ＋m －1有零点，得1－m ＝2x >0，∴m <1，而函数y ＝log m x 为减函数，则0<m <1，所以④是错误的，故选A.]8．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B ．x 24＋y 2＝1 C.x 216＋y 24＝1D ．x 216＋y 212＝1A [圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝42，故2a ＝4，即a ＝2，又e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.又椭圆的焦点在x 轴上，所以其标准方程为x 24＋y 23＝1，故选A.]9．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a ＜log 12b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．4B [对于命题p ，当a >b >0时，有log 12a <log 12b ，则必有log 12a <log 12b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log 12a <log 12b ＋1时，得log 12a <log 12b 2，得a >b2＞0，不一定有a ＞b ＞0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.]10．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( )A ．(x ＋2)2＋2y 2＝4B ．(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)C ．x 2＋2(y ＋2)2＝4D ．x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1<x ≤0)B [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )， 则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4， ⇒x 22－x 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1 ⇒k AB ＝－x2y⇒k PQ ＝yx ＋4＝－x2y ⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4，AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1＜x ≤0)．]11．已知m ，n ，s ，t 为正实数，m ＋n ＝4，m s ＋nt ＝9，其中m ，n 是常数，且s ＋t 的最小值是89，满足条件的点(m ，n )是双曲线x 22－y 28＝1一弦的中点，则此弦所在的直线l 的方程为( )A ．x ＋4y －10＝0B ．2y －y －2＝0C ．4x ＋y －10＝0D ．4x －y －6＝0D [s ＋t ＝19(s ＋t )⎝ ⎛⎭⎪⎫m s ＋n t ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n ＋ns t ＋mt s ≥19(4＋2mn )，当且仅当mt 2＝ns 2时等号成立．由题意19(4＋2mn )＝89，所以mn ＝4.又m ＋n ＝4，故m ＝n ＝2.设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由线段AB 的中点是(2,2)，知直线l 的斜率一定存在，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4.设直线l 的斜率为k ，则x 212－y 218＝1，x 222－y 228＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)8＝0，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝4×44＝4，所以直线l 的方程为y －2＝4(x －2)，即4x －y －6＝0，故选D.]12．如图2所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角是( )图2A.π6 B ．π4 C.π3D ．π2A [以B 为坐标原点，以与BC 垂直的直线为x 轴，BC 为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．则A (3，1,0)，B 1(0,0,3)，C 1(0,2,3)，AB 1→＝(－3，－1,3)，B 1C 1→＝(0,2,0)，BB 1→＝(0,0,3)．设平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧AB 1→·n ＝0，B 1C 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x －y ＋3z ＝0，2y ＝0，取z ＝1，得n ＝(3，0,1)，∵cos 〈BB 1→，n 〉＝BB 1→·n |BB 1→||n |＝33×2＝12，∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角的正弦值为12， ∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角为π6.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上．)13．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________.(1,0)x＝－1[圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.]14．已知命题p：一元一次不等式ax＋b>0的解集为{x|x＞－ba}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p∧q”“p∨q”及“﹁p”形式的复合命题中真命题是________．﹁p[p为假命题，因为a的符号不确定，q为假命题，因为a，b的大小不确定．所以p∧q假，p∨q假，﹁p真．]15．如图3所示，直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为________．【导学号：33242347】图31515[如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系．A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，则C 1D →＝(1，－1，－1)，A 1C →＝(0,1，－2)，|C 1D →|＝3，|A 1C →|＝5，C 1D →·A 1C →＝1，cos 〈C 1D →，A 1C →〉＝C 1D →·A 1C →|C 1D →||A 1C →|＝1515，故异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为1515.]16．如图4所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：图4①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2；④c 1a 1＜c 2a 2.其中正确式子的序号是________．②③ [椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ中相同的量是|PF |，都为a －c ，所以②正确；两椭圆比较有a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，所以①错误；两椭圆中轨道Ⅰ较扁，因此离心率较大，即c 1a 1＞c 2a 2，整理可得c 1a 2＞a 1c 2，所以③正确，④错误．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知命题p ：若函数f (x )＝1－x3，则实数m 满足不等式f (m )<2，命题q ：关于x 的方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根．若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围.[解] 若命题p 为真命题，∵f (x )＝1－x3，f (m )＜2， ∴1－m3＜2，解得m >－5；若命题q 为真命题，则关于x 的方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根，等价于函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－m 有交点，数形结合(图略)，可知－m >0，∴m <0.若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则存在两种情况： ①当p 为真命题，q 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－5m ≥0，，∴m ≥0；②当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ＜0，∴m ≤－5.综上，若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则实数m 的取值范围是(－∞，－5]∪[0，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)·x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．[解] 当p 为真时，有Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＞2或m ＜－2. 当q 为真时，有Δ＝16(m －2)2－16＜0，解得1＜m ＜3.由题意，“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴命题p 与命题q 一真一假． ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2或m ＜－2，m ≤1或m ≥3，解得m ＜－2或m ≥3.②若q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2)∪(1,2]∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值. [解] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本小题满分12分)如图5所示，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.图5(1)求证：PD ⊥平面P AB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 所以AB ⊥平面P AD .所以AB ⊥PD . 又因为P A ⊥PD ， 所以PD ⊥平面P AB .(2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面P AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .如图，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意得A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0,0,1)． 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0.令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2,2)． 又PB →＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. (3)设M 是棱P A 上一点， 则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →.因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)．因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD 当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝14.所以在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14. 21．(本小题满分12分)如图6所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,1)，离心率e ＝32.图6(1)求椭圆C 的方程．(2)设直线x ＝my ＋1与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′(A ′与B 不重合)，则直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，求出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．[解](1)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1c a ＝32，a 2＝b 2＋c2可得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4.经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0，则x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1＝(x 2－x 1)y 1＋x 1(y 1＋y 2)y 1＋y 2＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2＝(my 2＋1)y 1＋(my 1＋1)y 2y 1＋y 2＝2my 1y 2＋(y 1＋y 2)y 1＋y 2＝－6m m 2＋4－2mm 2＋4－2mm 2＋4＝4.故直线A ′B 与x 轴交于定点(4,0)．22．(本小题满分12分)如图7所示，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.图7(1)求证：EG ∥平面ADF ； (2)求二面角O -EF -C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.[解] 依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意可得O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1,0)，C (1，－1,0)，D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0,0)．(1)依题意，AD →＝(2,0,0)，AF →＝(1，－1,2)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ADF 的法向量， 则⎩⎨⎧n 1·AD →＝0n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0x －y ＋2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0,2,1)，又EG →＝(0,1，－2)，可得EG →·n 1＝0.又直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF . (2)易证，OA →＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量． 依题意，EF →＝(1,1,0)，CF →＝(－1,1,2)． 设n 2＝(x ′，y ′，z ′)为平面CEF 的法向量，则 ⎩⎨⎧n 2·EF →＝0n 2·CF →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋y ′＝0－x ′＋y ′＋2z ′＝0. 不妨设x ′＝1，可得n 2＝(1，－1,1)． 因为有cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →||n 2|＝－63，于是sin 〈OA →，n 2〉＝33.所以二面角O -EF -C 的正弦值为33. (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF .因为AF →＝(1，－1,2)，所以AH →＝25AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45，进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，从而BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45，因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →|·|n 2|＝－721.所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.。
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阶段质量检测(四) 模块综合检测 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在题中的横线上) 1．(安徽高考)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是________________________． 2．“相似三角形的对应角相等”的否命题是________________________________．3．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．4．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．5．(重庆高考)设P 为直线y ＝b3ax 与双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.6．已知a ＝(t ＋1,1，t )，b ＝(t －1，t,1)，则|a －b |的最小值为________．7．方程x23＋m －y21－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．8．(北京高考改编)双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．9．(山东高考改编)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件． 10．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是____________________．11．已知A (4,1,3)、B (2,3,1)、C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 12．(山东高考改编)抛物线C 1：y ＝12px 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.13．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ―→＝2P A ―→，且OQ ―→·AB ―→＝1，则P 点的轨迹方程是________．14．若方程x24－t ＋y2t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1＜t ＜4且t ≠52；②若C 为双曲线，则t ＞4或t ＜1；③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1＜t ＜32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点． (1)用p 表示线段AB 的长；(2)若·＝－3，求这个抛物线的方程．16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |＜3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．17.(本小题满分14分)如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面 P AO?18．(本小题满分16分)已知点⎝⎛⎭⎫1，32是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)上一点，离心率为12.(1)求椭圆E 的方程； (2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆E 交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．标全国卷19．(新课Ⅱ)(本小题满分16分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1//平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．20．(重庆高考)(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．答 案1．对任意实数x ，都有x ≤12．解析：否命题是条件结论都否定． 答案：不相似的三角形的对应角不相等3．解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：44．解析：λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)．∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0.∴λ－1＝0，λ＝1.答案：15．解析：由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a .又因为点P 在直线y ＝b3a x 上，所以－b2a ＝b 3a ×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324.答案：3246．解析：|a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4，所以当t ＝1时，|a －b |取得最小值2.答案：27．解析：若x23＋m －y21－m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m>0，1－m>0⇒－3<m <1， ∴m 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)8．解析：依题意，e ＝c a ，e 2＝c2a2>2，得1＋m >2，所以m >1. 答案：m >19．解析：由q ⇒綈p 且綈p ⇒/q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要10．解析：∵“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8，∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]11．解析：因为A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，P (x ，－1,3)，所以＝(x －4，－2,0)，＝(－2,2，－2)，＝(－1，6，－8)．由于点P 在平面ABC 内，所以P 、A 、B 、C 四点共面．所以、、三个向量共面．故由共面向量定理，知存在有序实数对(m ，n )，使＝m ＋n ，即(x －4，－2,0)＝m (－2,2，－2)＋n (－1,6，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－2m －n ，－2＝2m ＋6n ，0＝－2m －8n.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1，x ＝11.答案：1112．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2求导得，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得，y 0＝16p .由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p ＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433.答案：43313．解析：可得A (32x,0)，B (0,3y )，Q (－x ，y )，则＝(－32x,3y )，＝(－x ，y )，故·＝32x 2＋3y 2＝1，所以P 点的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)14．解析：若为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＞0，t －1＞0，4－t≠t －1，即1＜t ＜4，且t ≠52；若为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，即4＜t 或t ＜1； 当t ＝52时，表示圆，若C 表示长轴在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52，故①②正确．答案：①②15．解：(1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝x －p2得x 2－3px ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p24，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x1－p 2⎝⎛⎭⎫x2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p24＝p24－3p22＋p24＝－p 2，∴·＝x 1x 2＋y 1y 2＝p24－p 2＝－3p24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .16．解：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴若p 成立，即x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，由|f (x )－m |＜3⇒m －3＜f (x )＜m ＋3.∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －3＜1，m ＋3＞2，解得－1＜m ＜4，即m 的取值范围是(－1,4)．如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x ，y ，17．解：直角坐标系，设正方体的棱长为1，z 轴，建立空间O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，设Q (0,1，z )，则＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12，＝(－1，－1,1)，∴∥，∴OP ∥BD 1，＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，＝(－1,0，z )，当z ＝12时，＝，即AP ∥BQ ，有平面AOP ∥平面D 1BQ ，∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .18．解：(1)由题意知，c a ＝12，所以a2－b2a2＝14，a 2＝43b 2.又1a2＋94b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3. 因此椭圆E 的方程为x24＋y23＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x24＋y23＝1消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0.由题意知Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＝16(12k 2－3m 2＋9)>0，即4k 2－m 2＋3>0.又x 1＋x 2＝－8km3＋4k2，x 1x 2＝错误!所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m2－12k23＋4k2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y1x1·y2x2＝错误!＝k 2，即(4k 2－3)m 2＝0，∵m ≠0，∴k 2＝34.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0，得0<m 2<6，且m 2≠3.设d 为点O 到直线l 的距离，则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12×|m|1＋k21＋k2|x 1－x 2|＝12|m |错误! 又因为m 2≠3，所以S △OPQ ＝33错误!<错误!×错误!＝错误!.所以△OPQ 面积的取值范围为(0，3)．19.解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．DF ，则BC 1∥DF .又D 是AB 的中点，连结平面A 1CD ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC .以C 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·＝0，n ·＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x1＋y1＝0，2x1＋2z1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎨⎧m ·＝0，m ·＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y2＋z2＝02x2＋2z2＝0可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x220＋y24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m2＋5，y 1y 2＝－16m2＋5，又＝(x 1－2，y 1)，＝(x 2－2，y 2)，所以·＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－错误!－错误!＋16＝－16m2－64m2＋5，由PB 2⊥QB 2，得·＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。