备用224.1.3 弧、弦、圆心角
24.1.3弧、弦、圆心角-人教版九年级数学上册教案
24.1.3 弧、弦、圆心角 - 人教版九年级数学上册教案
一、教学目标
1.掌握弧、弦、圆心角的基本概念、性质及相互关系。
2.能够准确地应用所学知识解决与弧、弦、圆心角相关的问题。
二、教学重点和难点
1.弧、弦、圆心角的概念，包括它们之间的相互关系。
2.如何应用所学知识解决实际问题。
三、教学内容及步骤
1. 弧、弦、圆心角的概念
1.讲解弧、弦、圆心角的概念，并通过示例让学生理解它们之间的相互关系。
2.练习题：请画出如下各图中的弧、弦、圆心角，并标注名称。
2. 弧、弦、圆心角的性质和相互关系
1.讲解弧、弦、圆心角的性质，包括弦长定理、圆心角定理等。
2.通过练习题让学生巩固所学知识。
3. 实际问题的解决
1.通过实际问题的讲解，让学生学会如何应用所学知识解决各类相关问题。
练习题：
1.已知圆O的半径为5cm，弧AB的长度为8cm，求弦AB的长度以及圆心角AOB的度数。
2.如图，圆O的半径为6cm，弦AB的长度为9cm，求圆心角AOB的度数。
四、教学反思
通过本节课的学习，学生们对弧、弦、圆心角的概念及性质有了更深的认识，并学会了如何应用所学知识解决实际问题。
教学效果良好，达到了预期教学目标。
人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》说课稿1
人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》这一节主要介绍了圆的基本概念，包括弧、弦、圆心角的关系。
这部分内容是整个圆的知识体系的基础，对于学生理解和掌握圆的相关知识具有重要意义。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现弧、弦、圆心角之间的关系，培养学生观察、思考、归纳的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认识和理解有一定的基础。
但是，对于圆的相关概念和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生从实际问题中抽象出圆的性质，并通过实例让学生感受和理解弧、弦、圆心角之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握弧、弦、圆心角的概念，能够运用这些概念解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、归纳等过程，培养学生发现和探索几何规律的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.重点：弧、弦、圆心角的概念及其关系。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出圆的性质，并运用这些性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中出发，通过观察、思考、归纳等过程，发现和掌握弧、弦、圆心角之间的关系。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实例和几何图形的动态变化，帮助学生更好地理解和掌握弧、弦、圆心角的概念。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一个实际问题，引导学生思考和探索圆的相关性质。
2.新课导入：介绍弧、弦、圆心角的概念，并通过实例让学生感受和理解它们之间的关系。
3.知识讲解：通过多媒体课件，展示弧、弦、圆心角的动态变化，引导学生观察和思考，从而发现和归纳出它们之间的关系。
4.练习与讨论：设计一些练习题，让学生运用所学的知识解决实际问题，同时引导学生进行分组讨论，分享解题方法和经验。
九年级数学人教版(上册)24.1.3 弧、弦、圆心角
易错点 对弧、弦、圆心角的关系理解有误致错 9．如图，在⊙O 中，A︵C＝2A︵B，试判断 AC 与 2AB 的大小关系， 并说明理由． 解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等， ∴当A︵C＝2A︵B时，AC＝2AB.
以上解答是否正确？若不正确，请改正．
解：不正确，2AB＞AC.
理由：连接 BC， ∵A︵C＝2A︵B， ∴A︵B＝B︵C. ∴AB＝BC. ∵在△ABC 中，AB＋BC＞AC，
∴△OAD 是等边三角形． ∴OA＝AD. 同理可证△OBD 是等边三角形． ∴OB＝BD. ∴AD＝BD＝OA＝OB. ∴四边形 OADB 是菱形．
13．如图，MN 是⊙O 的直径，点 A 是半圆上一个三等分点， 点 B 是A︵N的中点，点 B′是点 B 关于 MN 的对称点，⊙O 的半径为 1， 则 AB′的长为 2 ．
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点 1 圆心角的概念及其计算 1．下图中∠ACB 是圆心角的是( B )
2．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，点 D 为半圆周上的一点，且 A︵D所对圆心角的度数是B︵D所对圆心角度数的 2 倍，则圆心角∠BOD ＝ 60° ．
33
E，OD⊥AC，垂足为 F，AC＝BD，则弦 BD 的长为 2 ．
12．如图，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠ACB＝60°.
(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 证明：∵A︵B＝A︵C， ∴AB＝AC. 又∵∠ACB＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AB＝BC＝AC. ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC.
(2)若 D 是A︵B的中点，求证：四边形 OADB 是菱形． 证明：∵∠AOB＋∠AOC＋∠BOC＝360°， ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°. 连接 OD，交 AB 于点 M. ∵D 是A︵B的中点， ∴A︵D＝B︵D.
人教版九年级上册课件24.1.3弧、弦、圆心角(共22张PPT)
又 ∠ACB=60°
如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，CD =2AB成立.
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为 CD=2AB也成立吗？请说明理由；
∵ ∠AOB=∠COD
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小，
OE AB,OF CD,
A
E
B
AE 1 AB,CF 1CD.
2
2
O·
D
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
F
OE OF.
C
2.如图，AB是⊙O的直径，BC⌒=CD⌒=DE⌒， ∠COD=35°，求∠AOE的度数.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的 优弧和劣弧分别相等．
延伸： 弧、弦与圆心角关系定理的推论
同圆或等圆中，两个圆心角、 两条圆心角所对的弧、两条圆心角 所对的弦中如果有一组量相等， 它们所对应的其余各组量也相等.
B
A O
C
D
整体理解：
同圆或等圆中
(1) 圆心角
24.1.3 弧、弦、圆心角
思考：
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心.
问题2：圆绕圆心旋转任意一个角度后，能与原来的图形重合吗？
能.（这是圆的一个特有性质，我们称之为圆的旋转不变性）.
圆心角的定义
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）求证：AC=BD.
人教版数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角课件
B M
3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
OA
任意给圆心角，对应出现三个量： 弧
圆心角 弦练Biblioteka 练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由. 顶点在圆外，
不是圆心角
顶点在圆周上， 不是圆心角
①
②
顶点在圆内，但不 是圆心，不是圆心
角
③
④
圆心角
圆心角、弧、弦之间的关系
如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋 转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？
CE+DE=2AB，在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB. 易错点拨：在同圆或等圆中，由弧相等可推出对应的弦相等； 但当弧有倍数关系时，弦不具备此关系.
为什么？
A′ B
∠AOB＝∠A′OB′
B′
·O
︵︵
A 得到： AB A ' B '.
AB =A＇B＇
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，A⌒B与
C⌒D，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？ C B D
由圆的旋转不变性，可得： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
·
O
A
那么， A⌒B与C⌒D ，弦AB=弦CD
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D
的关系是（ A ） A. A⌒B=2C⌒D C. A⌒B<C⌒D
B. A⌒B>C⌒D D. 不能确定
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，A⌒D=B⌒C
求证:AB＝CD.
C
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵ A⌒D=B⌒C
B
O.
24.1.3 弧弦圆心角课件人教版数学九年级上册
第1页
1．顶点在 圆心 的角叫做圆心角． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦也 相等； 两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么其 余各组量也 相等 ．
第2页
如图，在⊙O中，AB＝CD.求证：AD＝BC. 【思路分析】由弦相等可以推得弧相等，进而推得另外一组弦相等．
第 16 页
9．如图，⊙O中，已知 ＝ ，且 ∶ ＝3∶4，则∠AOC＝ 144° .
第 17 页
10．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C，D是弧AB的三等分点，半径 OC，OD分别与弦AB交于点E，F，在下列结论中：①AE＝EF＝FB；② AC＝CD＝DB；③EC＝FD；④∠DFB＝75°.说法正确的是②③④ (选填 序号)．
第 11 页
5．如图，⊙O中， A．40° B．30° C．20° D．50°
＝ ，∠C＝80°，则∠A的度数为(C )
第 12 页
6．(渑池期中)如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB＝BC，∠OAB＝72°， 求∠AOC的度数．
第 13 页
解：∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝72°， ∴∠AOB＝180°－72°－72°＝36°， ∵AB＝BC，∴∠BOC＝∠AOB＝36°， ∴∠AOC＝2∠AOB＝72°.
第6页
【自主解答】 ∵ ＝ ，∴∠AOC＝∠BOC. 在△MOC和△NOC中，
∴△MOC≌△NOC(ASA)． ∴OM＝ON，∵OA＝OB，∴AM＝BN.
第7页
知识点1：圆心角的概念及其计算 1．下列图形中的角是圆心角的是( A )
第8页
2．已知圆的半径为2 cm，圆中一条弦长为2 cm，则这条弦所对的圆心角 的度数是 60° .
人教版数学九年级上册教案-24.1.3弧、弦、圆心角
课堂上的实践活动，我发现学生们积极参与，热烈讨论。但在小组讨论环节，有些小组的讨论似乎偏离了主题。我及时进行了引导，让他们回到弧、弦、圆心角的应用上来。这也提醒了我，在今后的教学中，要更加注意引导学生关注讨论的主题。
1.培养学生运用几何图形语言描述和表达弧、弦、圆心角等概念，提高空间想象能力和几何直观能力。
2.通过探索弧、弦、圆心角之间的关系，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
3.结合实际操作，使学生能够运用圆周角定理解决实际问题，提高问题解决能力和创新意识。
4.培养学生合作交流、分享探究过程和结果的习惯，提高团队协作能力和口头表达能力。
5.引导学生从数学角度观察和分析现实问题，体会数学在生活中的应用，培养数学应用意识和数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-弧、弦、圆心角的定义及其分类：这是本节课的基础，要求学生能够准确理解和区分这些基本概念。
-弧、弦、圆心角之间的关系：强调圆心角所对的弧和弦的性质，以及圆周角定理的应用。
-实际问题中的运用：通过解决实际问题，让学生掌握如何将弧、弦、圆心角的理论知识应用于实际情境。
举例解释：
-弧的定义：圆上任意两点间的部分，如点A到点B的弧AB。分类为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）和半圆。
-弦的定义：圆上任意两点的连线，如点A和点B之间的线段AB。分类为直径（通过圆心的弦）和普通弦。
-圆心角的定义：以圆心为顶点的角，如角AOB，其中O为圆心。
-圆周角一半。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如通过折叠和切割圆纸片来观察圆心角和弧和弦的关系。
初中数学 教案：24.1.3 弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角一、知识准备1．我们学过圆有哪些性质？ 2．什么是中心对称图形?二、学习内容1．活动1：绕圆心转动一个圆，你有什么发现？ 2．如图所示，∠AOB 的顶点在圆心， 像这样顶点在圆心的角叫做 3．按照下列步骤进行小组活动：⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合 在操作的过程中，你能发现哪些等量关系？ 5．归纳定理：圆心角、弧、弦之间的关系6．如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦：（1）若AB=CD ，则（2）若AB= CD ，则（3）若∠AOB=∠CO 'D ，则 7．典型例题：例1如图1，在⊙O 中，AB=AC ，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOCBAO︵ ︵︵ ︵三、知识梳理1．在中，如果中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.2．证明等弧常用的方法.四、达标检测1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为 .3．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 .4．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是 .5．自主探究，仿照上题及其解题策略，你还能得到哪些结论？。
24.1.3 弧、弦、圆心角
2、三个相等关系：
知 (1) 圆心角相等
(2) 弧相等
一
得
(3) 弦相等
二
B
α
A
Oα
A1
B1
作业布置
课本P89 第4、10题
九年级 上册
24.1.3
弧、弦、圆心角
圆的性质
●O
• 圆是轴对称图形，每一条直 径所在的直线都是对称轴.
• 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.
• 圆具有旋转不变性，即圆 绕圆心旋转任意一个角度
·
α，都能与原来的图形重 合.
C
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧。 数学语言：
O
A
B
M
D
∵ ①直线CD过圆心O ② CD⊥AB
∴ ③AM=BM ④AC直径垂直于弦，并
且平分弦所对的两条弧。
一、概念 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O·
B
∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对的弦为
AB，所对的弧为⌒AB。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么________，_______；
（4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，
OE 与 OF 相等吗？为什么？
E
B
A
D
O F
C
巩固练习
2、如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=⌒CD=⌒DE，
∠COD=35°，求∠AOE的度数。
E
D
C
A
B
O
1、三个元素： 圆心角、弦、弧、
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’
24.1.3 弧、弦、圆心角
5．(原创题)如图，观察下列图形及相应推理，其中正确的是 C A．①② B．③④ C．①③ D．②④
6．(练习 1 变式)如图，AB，CD 分别为⊙O 的两条弦， OM⊥AB 于点 M，ON⊥CD 于点 N，且 OM＝ON，则 D A．AB＝CD B．∠AOB＝∠COD C.A︵B＝C︵D D．以上结论都对
7．如图，D，E 分别是⊙O 的半径 OA，OB 上的点，CD⊥OA， CE⊥OB，CD＝CE，则A︵C与C︵B弧长的大小关系是_相__等__．
8．(2018·毕节)如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点， CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为__3_0_°_.
9．(习题 3 变式)如图，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠A＝45°，求∠B 的度数．
16．如图，∠AOB＝90°，C，D 是A︵B的三等分点， AB 分别交 OC，OD 于点 E，F.求证：AE＝BF＝CD.
解：连接 AC，BD.∵C，D 是A︵B的三等分点，∴AC＝CD＝DB， 且∠AOC＝13×90°＝30°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°. ∵∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBF＝45°， ∴∠AEC＝∠OAE＋∠AOE＝45°＋30°＝75°，∴AE＝AC. 同理可证 BF＝BD，∴AE＝BF＝CD
13．(2018·牡丹江)如图，在⊙O 中，A︵B＝2A︵C，AD⊥OC 于点 D. 求证：AB＝2AD.
解：证明：如图，延长 AD 交⊙O 于 E， ∵OC⊥AD，∴A︵E＝2A︵C，AE＝2AD，∵A︵B＝2A︵C， ∴A︵E＝A︵B，∴AB＝AE，∴AB＝2AD
14．如图，AB 是⊙O 的直径，A︵C＝C︵D，∠COD＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC∥BD. 解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵A︵C＝C︵D， ∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC， ∴△AOC 是等边三角形 (2)∵∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD) ＝60°.∵OD＝OB，∴△ODB 为等边三角形，∴∠ODB＝60°， ∴∠ODB＝∠COD＝60°，∴OC∥BD
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1、如果，AB、CF是⊙O的两条弦： （1）如果AB=CD，那么 ， 。 ⌒ ⌒ （2）如果AB=CD，那么 ， 。 （3）如果∠AOB= ∠COD，那么 ， （4）如果OE⊥AB，OF⊥CD且OE=OF， 那么有何相等关系？ A E 想一想：弦心距相等， 则所对应的弧、弦、圆 O 心角有何关系？ F C
∠BOD =
C A O B D
例题详解
⌒ ⌒ 例：如图,在⊙O中, AB=AC , ∠ACB= 60°,
求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC
A
O B C
练一练： ⌒ ⌒ ⌒ （1）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE， ∠COD=350，求∠AOE的度数。
E A O D C B C D O B A
D A
B
o
C
①∠AOB= ∠COD
猜 想
A B
②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD
o
C
D
A
B
在同圆或等圆中，两个圆 心角、两条弧、两条弦中 有一组量相等，它们所对 应的其余各组量也相等。
o
C D
只要满足其中一 个条件， 另外两个条件必 成立。
①∠AOB= ∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A
B
o
C
D
圆心角定理：
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等。 若：①∠AOB= ∠COD 则： ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD
如果交换题设和结论，会有 一些什么样的结论呢？
A
M
O
N
B
C
D
⌒ ⌒ （2）如图，在⊙O中，AC=BD，∠COD=400， 求AOB的度数。例题详解
⌒ ⌒ 例.如图，CD是⊙O的弦 ,AC=BD ,OA、
OB分别交CD于E、F.
求证：△OEF是等腰三角形
O
C E F B D
A
例题详解
• 例．如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N 分别是AO、BO的中点，CM⊥AB， ⌒ ⌒ DN⊥AB，• 证: AC=BD 求
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，
并说明理由。
①
②
③
④
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？
A
B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
。
B
D
2．下列命题①圆心角是顶点在圆心的角 ②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等； ③两条弦相等，圆心到这两弦的距离也相等； ④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等， 其中正确的命题是 。
3、一条弦把圆分成1：3两部分，则弦 所对的圆心角为________． ⌒ ⌒ 4.如图，AB是圆O的直径 , BC=BD ,∠A=25°则