数字图像处理第12章图像编码新方法北邮出版社200810

则对 V0 空间的任意 f(t) ，有
V0 span{k (t)} k Z
f (t) akk (t)
k
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定义：
{Vi}, j Z
(1)
L V2 V1 V0 V1 V2 L
(2)
I I Vj {0}; Vj L2 (R)
jZ
jZ
(3)
f (t) Vj f (2 j t) V0 j Z
WTf (a, )
1 a
R
f (t)
t
a
dt
f , a,
当所用小波的容许性条件成立时，其逆变换存在：
f (t) 1 C
da 0 a2
WTf (a, ) a, (t)d
1 C
da 0 a2
WTf (a, )
1 a
t
a
d
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小波变换系数定义：
根据CWT 的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，也是一种
k
k
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➢ 4. 离散序列的多分辨率分解
图12.3 二次分解电路结构
图12.4 二次重建电路结构图
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❖ 12.1.4 图像的小波变换编码
➢ 1. 图像信号的二维小波变换
用分别在水平和垂直方向进行滤波的方法实现。 图12.5为二维图像的（一级）分解和重建电路结构图。 图12.6为相应的二维频域划分示意图。 图12.7为lena图像二级分解的示意图。
(4)
f (t) V0 f (t n) V0 n Z
(5) 正交基存在性：存在 (t) V0 ，使得
V0
span{n (t n)},
R
(t
n)
(t
m)dt

mn
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➢ 2. 正交小波变换与多分辨率分析
当把 L2 (R) 空间按以下空间组合展开至任意尺度J 时：
则有
J
L2 (R) W j V j j
小波定义： 所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。 小波函数的数学定义：设 (t)为一平方可积函数，即 (t) L2 (R)。
若其傅立叶变换 ( ) 满足条件：
( ) 2
R d
则称 (t)为一个基本小波或小波母函数，并称上式是小波函数的可容
许条件。
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小波特性： a. 根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似
a ,
1 a
0
a ,
1
a
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相平面
由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均随尺度因子a的变化 而伸缩，将不同a ，τ值下的时频域窗口绘在同一个图上，就得到小波基 函数的相平面，如图12.2所示。
图12.2 小波基函数的相平面
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➢ 2. 连续小波变换
将 L2 (R) 空间的任意函数 f(t) 在小波基下进行展开，称其为函数 f(t) 的连续小波变换CWT，变换式为：
Mallat经过分析，得出剩余系数和小波系数分解的迭代关系：
c j1,k h0 (m 2k )c j,m
m
d j1,k h1 (m 2k )c j,m
m
➢ h0、h1 是由尺度函数和小波函数决定的，称为滤波器系数。
➢ h0 相当于低通滤波器， h1 相当于高通滤波器。
c j1,m c j,k h0 (m 2k) d j,k h1(m 2k)
紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小” 的特点； b. 由于直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。
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小波实例：
图12.1 一个小波例子
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连续小波基函数
将小波母函数 (t)进行伸缩和平移，设其伸缩因子（亦称尺度因
子）为a，平移因子为τ，并记平移伸缩后的函数为 a, (t)，则：
《数字图像处理与图像通信》
朱秀昌 刘 峰 胡 栋
北京邮电大学出版社
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第12章 图像编码新方法
❖ 12.1 小波变换与图像编码 ❖ 12.2 模型基编码 ❖ 12.3 分形图像编码 ❖ 12.4 分级编码和多描述编码
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12.1 小波变换与图像编码
❖ 12.1.1 连续小波变换
➢ 1. 连续小波基函数
➢ 1. 多分辨率分析的基本概念
定义函数 (t) L2 (R) 为尺度函数(Scale function)，若其整数位移
系列 k (t) (t k) 满足正交关系：
k (t),k (t) k,k k,k Z
定义由 k (t) 在 L2 (R) 空间张成的空间为 V0 ，称为零尺度空间：
•
积分变换，称 WTf (a, ) 为小波变换系数。
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❖ 12.1.2 离散小波变换
➢ 1. 尺度与位移的离散化
对连续小波基函数进行离散化可以得到离散小波变换，减少小 波变换系数的冗余度。
离散小波函数为：
m,n
(t )
m
2 2
(2m t
n)
任意函数 f(t) 的离散小波变换DWT为：
WTf (m, n) R f (t) m,n (t) dt
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3. 离散小波逆变换
➢ 当 A = B 时（称为紧框架），离散小波变换的逆变换为：
f (t)
1 A
WTf ( j, k ) j,k (t)
j ,k
➢ 当A≠B时
f (t)
2 A B
WTf ( j, k ) j,k (t)
j,k
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❖ 12.1.3 多分辨率分析
多分辨率分析(Multi Resolution Analysis, MRA)，又称多尺度分析
J
f (t)
d j,k j,k (t) c j,k j,k (t)
j k
j
式中
d j,k f (t), j,k (t)
c j,k f (t), j,k (t)
分别称为小波系数和剩余系数。当 J 时，则有：
f (t)
d j,k j,k (t)
j k
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➢ 3. 正交小波变换的快速算法－Mallat算法
a,
(t)
1
a 2
t
a
,
a
0,
R
并称 a, (t)为参数为a和τ的小波基函数。
由于a和τ均取连续变化的值，因此又称之为连续小波基函数。
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定义小波母函数
(t)
的窗口宽度为
t
，窗口中心为
t
，则
0
可求得连续小波的窗口中心及窗口宽度分别为：
ta, at0
ta, at
则
a, ( ) ae j (a )
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➢ 2. 小波框架
小波框架的定义是：当由基本小波经伸缩和位移引出的函数族：
j,k
(t)
j
a0 2
(a0
jt
kTs
)
j,k Z
具有下述性质时：
A f 2
f , j,k
2
B
f2
0 AB
jk
便称 { j,k (t)}( j,k )Z 构成了一个小波框架，并称上式为小波框架条
件，其频域表示为：
(2 j ) 2 0 jZ