2019考研数学深入剖析重积分的若干概念
重积分基本概念
重积分基本概念重积分是微积分中的一个重要概念，它主要应用于对三维空间中复杂体积的计算。
通过重积分，我们可以将曲线、曲面以及空间区域的某种量进行求和或者平均。
本文将介绍重积分的基本概念，包括重积分的定义、性质以及计算方法。
一、重积分的定义在三维空间中，如果将一个曲线、曲面或者空间区域划分成无数个微小的体积元素，每个微小体积元素的体积可以表示为dV，并且在每个体积元素上都定义了一个函数f(x, y, z)，那么重积分可以用下式表示：∬f(x, y, z)dV其中，∬代表重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示微小体积元素。
二、重积分的性质1.线性性质：如果f(x, y, z)和g(x, y, z)是可积函数，k是常数，那么以下性质成立：∬[kf(x, y, z) + g(x, y, z)]dV = k∬f(x, y, z)dV + ∬g(x, y, z)dV2.保号性质：如果在积分区域上，f(x, y, z) ≥ 0，那么∬f(x, y, z)dV ≥ 0；如果f(x, y, z) ≤ 0，那么∬f(x, y, z)dV ≤ 0。
3.单调性质：如果在积分区域上，f(x, y, z) ≤ g(x, y, z)，那么∬f(x, y, z)dV ≤ ∬g(x, y, z)dV。
三、重积分的计算方法1.直角坐标系的计算方法：在直角坐标系中，我们可以采用三重积分的方法来计算重积分。
具体而言，我们可以将积分区域划分成小的立体体积，然后通过求和的方式将每个小立体体积的贡献加起来，得到整体的重积分值。
2.柱坐标系的计算方法：在柱坐标系中，我们可以将被积函数和微小体积元素表示为f(r,θ,z)和r dθ dr dZ，其中r表示从原点到点(x,y)的距离。
通过应用柱坐标系的变量替换和雅可比行列式的计算，可以将立体体积的重积分转化为曲线和平面的二重积分。
3.球坐标系的计算方法：在球坐标系中，我们可以将被积函数和微小体积元素表示为f(ρ,θ,φ)和ρ²sinφ dφ dθ dρ，其中ρ表示从原点到点(x,y,z)的距离，θ和φ分别表示极角和方位角。
重积分知识点的总结
重积分知识点的总结一、重积分的基本概念1. 多元函数在多元函数中，自变量不再是一个，而是两个或两个以上。
例如，z=f(x,y)就是一个的二元函数。
无论是一元函数，还是二元函数，其基本概念都是“输入-处理-输出”。
其中输入就是参数，也就是变量，处理就是函数规定的运算。
这一基本概念在重积分中也是适用的。
2. 多元函数的极限多元函数的极限，与一元函数的极限类似，只是在多个自变量的情况下，我们需要考察所有自变量分别趋于一定值时的极限情况。
其中一定需要掌握的是多元函数极限的存在性问题。
3. 多元函数的连续性对于多元函数的连续性，我们同样需要关注多个自变量的变化趋势。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但要求更加严格。
在重积分中，对于多元函数的连续性是一个比较重要的概念。
4. 重积分的意义重积分的最基本的意义，就是对于多变量函数在多维空间上进行积分。
而在物理学上，重积分的意义就更加明显了。
在空间当中，一定有一个虚拟的某一点，作为观察点。
而对整个空间进行积分，就是将所有的观察点都进行积分，求得整个空间的某一个物理量。
二、重积分的性质1. 线性性质重积分的线性性质是最基本的性质之一。
它影响到重积分的很多性质，例如加减性、齐次性等都是与线性性质相关的。
2. 保号性和保序性对于多元函数来说，保号性和保序性是非常重要的性质。
在重积分中，保号性和保序性也是一个非常重要的概念，它们影响到多元函数的积分值的大小。
3. 对称性对称性在重积分中同样起到了非常重要的作用。
对称性不仅在理论证明中起到了重要作用，而且在实际应用中，对称性也常常起到了非常重要的作用。
4. 交换积分次序对于多元函数的重积分来说，交换积分次序是一个很基本的性质。
但是在实际应用中，交换积分次序同样是需要一些技巧的，有时候并不是直接可行的，需要一些特殊的条件。
5. 分部积分法分部积分法在一元函数的积分中是非常重要的一种积分方法。
而对于多元函数的重积分来说，分部积分法同样是非常重要的。
重积分基础概念
重积分基础概念在数学中，积分是一个非常重要的概念，它是微积分中的一个核心内容。
而在积分的概念中，重积分是其中的一种特殊情况。
本文将为您介绍重积分的基础概念。
1. 一重积分的定义一重积分是对一维空间中的函数在给定区间上的积分运算。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则[a, b]上f(x)的积分可以表示为：∫[a,b] f(x) dx其中∫表示积分运算，f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
2. 重积分的定义重积分是对多维空间中的函数在给定区域上的积分运算。
设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则D上f(x,y)的积分可以表示为：∬D f(x,y) dσ其中∬表示重积分运算，f(x,y)为被积函数，dσ表示面积元素。
3. 重积分的几何意义重积分的几何意义是计算多维区域上的体积或者质量。
对于函数f(x,y)，它在区域D上的积分结果表示了函数f(x,y)在该区域上的平均值乘以区域D的面积。
4. 重积分的计算方法对于重积分的计算，可以使用多种方法，包括直接计算和变量替换等。
直接计算是将区域D划分成小的子区域，然后计算每个子区域的面积乘以函数值的和。
变量替换是将原来的积分区域通过变换映射到更易计算的区域上。
5. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性和积分中值定理等。
线性性表示对于任意实数k，两个函数f(x,y)和g(x,y)的线性组合的积分等于它们分别积分后再求和。
保号性表示对于函数f(x,y)，如果f(x,y)在区域D上总是非负的，则D上f(x,y)的积分也非负。
积分中值定理表示在区域D上，存在一点(x0, y0)，使得f(x0,y0)等于D上f(x,y)的平均值。
在实际问题中，重积分在物理学、经济学、工程学等领域中有广泛的应用。
通过对重积分的理解和运用，可以更好地解决实际问题，并推动科学的发展和进步。
总结起来，重积分是对多维空间中函数在给定区域上的积分运算。
它有着重要的几何意义和计算方法。
高等数学重积分笔记
高等数学重积分笔记重积分是高等数学中的一个重要概念，它涉及到空间内某些图形的面积、体积、重量等方面的计算。
以下是一些重积分的笔记内容: 1. 重积分的概念：重积分是一种积分方法，它可以用来计算空间内某些图形的面积、体积、重量等。
重积分的基本思想是将空间内的某个区域分割成多个小区域，然后对每个小区域进行积分。
最终通过求和的方式得到整个区域的面积、体积、重量等。
2. 重积分的基本公式：重积分的基本公式可以用来计算任意函数的重积分。
基本公式如下:∫ABf(x,y)dxdy = ∫ABF(x,y)dydx + ∫BFCA(x,y)dydx - ∫ACBf(x,y)dxdy其中，∫AB 表示空间内某个区域 AB 的面积，f(x,y) 表示区域AB 内的函数值，∫ABF(x,y)dydx 表示区域 AB 内部的函数值，∫BFCA(x,y)dydx 表示区域 AB 外部的函数值，CB 表示区域 AB 的边界。
3. 重积分的应用领域：重积分广泛应用于空间内的图形计算，例如计算球的体积、圆柱的体积、圆锥的体积等。
此外，重积分还可以用于计算曲线的长度、曲线的弧长、函数的极值点等。
4. 重积分的变量替换法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过变量替换法来解决。
变量替换法是指将某些变量替换成其他变量，使得积分变得容易求解。
例如，当积分式中含有根号时，可以通过变量替换来解决。
5. 重积分的分部积分法：在重积分的计算中，有时候会遇到难以求解的积分，这时可以通过分部积分法来解决。
分部积分法是指将积分式中的某些变量拆分成两个变量，然后分别进行积分。
例如，当积分式中含有 lnx 时，可以通过分部积分来解决。
以上是重积分的一些笔记内容，希望有所帮助。
重积分的定义和基本概念
重积分的定义和基本概念重积分，是计算空间中某个区域内函数值的一种数学工具。
重积分可以理解成是对三维空间中的物体进行划分，并将每个小立方体的体积和函数值相乘，最终将乘积总和加起来。
这个加总过程称为三重积分。
三重积分是重积分的一种形式，二重积分是它的特殊情况。
在教学中，会先深入学习二重积分，再逐步学习三重积分。
重积分的定义用双重积分的思想，可以扩展到三重积分（即重积分）的概念。
在二元函数方程 $f(x,y)$ 的平面区域 $D$ 上，已经学习了如何用双重积分求其平面积。
而在曲面 $z=f(x,y)$ 的三维空间区域$G$ 上，将区域 $G$ 分解成很多小的部分，每个小部分$V_{i}$ 的体积为 $\Delta V_{i}$，则重积分的式子可以表示为：$$\iiint\limits_{G}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\lim_{\Delta V_{i}\rightarrow 0}\sum f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta V_{i}$$其中 $\Delta V_{i}$ 表示体积元素，$\lim_{\Delta V_{i}\rightarrow 0}$ 表示等式右侧的求和式的迭代极限。
基本概念在学习重积分时，需要了解一些基本概念。
1. 曲面 $z=f(x,y)$ 的方程曲面 $z=f(x,y)$ 是三重积分的重要对象。
它可以用来描述物体在三维空间中的形状。
2. 积分区域积分区域是曲面区域 $G$ 在空间内的一个划分。
可以通过网格方法将空间划分为很多小的体积元素 $V_{i}$，然后对每个体积元素 $V_{i}$ 进行积分求和。
3. 坐标轴和方向在重积分中，由于需要考虑的区域有三个方向，因此需要使用$x,y,z$ 三个坐标轴来描述区域。
同时还需要确定积分的方向，顺或逆，这通常与曲面的法向有关。
4. 变量变换变量变换是重积分中常用的一种技巧，它可以将一个不易计算的积分转换成易于计算的积分。
重积分知识点总结(一)
重积分知识点总结(一)前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
它在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将针对重积分的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。
正文一、重积分的定义与性质1.重积分的定义：对于二重积分来说，可以将其理解为将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
而对于三重积分来说，则是将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
2.交换积分次序：在某些情况下，交换积分次序可以简化重积分计算的复杂程度。
3.重积分的性质：包括线性性质、保号性质、次可加性质等。
这些性质在进行重积分计算时非常重要。
二、二重积分的计算方法1.二重积分的计算方法主要有面积法、直角坐标法和极坐标法。
在具体的计算过程中，可以根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.面积法：将被积函数看做是一片平面上每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算二重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.极坐标法：将被积函数用极坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，极坐标法可以简化计算过程。
三、三重积分的计算方法1.三重积分的计算方法主要有体积法、直角坐标法和柱坐标法。
在具体的计算过程中，同样需要根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.体积法：将被积函数看做是空间内每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算三重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.柱坐标法：将被积函数用柱坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，柱坐标法可以简化计算过程。
结尾重积分是数学中重要而复杂的知识点，在实际应用中具有广泛的价值。
通过本文的总结，希望读者们能够对重积分的定义、性质和计算方法有更深入的理解，从而更好地应对相关问题的解决和应用。
前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
高等数学重积分总结
高等数学重积分总结重积分是高等数学中的一个重要章节，包括了二重积分和三重积分。
本文将对重积分的相关概念、性质、计算方法等进行总结。
一、重积分的定义和性质重积分可以看作是对多元函数在一个区域内的积分，其中二重积分和三重积分分别对应了二元函数和三元函数。
对于一个区域D，其可以用极限值对角线的方法划分成n个微小的小区域Di，其中i的取值范围为1到n。
设函数f(x,y)在小区域Di上的面积为S，且S趋近于0，则重积分可以表示为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\substack{n,m\to \infty}} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_{ij},y_{ij})\Delta S$$其中$\Delta S$为小区域Di的面积，$(x_{ij},y_{ij})$为小区域Di的任意一点。
与一元函数的积分类似，重积分也具有线性性、可加性、区间可减性和保号性等数学特征。
同时，由于重积分的定义，其也满足如下性质：1.积分与被积函数与积分区域的连续性，即对于在区域D上连续的函数f(x,y)，有：2.积分与区域的可加性，即对于一个区域D可以分割成两个没有公共点的子区间，则：同时还有极坐标和柱面坐标下的重积分公式：对于极坐标，有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$$$$\iiint_W f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho cos\varphi,\rho sin\varphi, z)\rho d\rho d\varphi dz$$其中W为三维区域，$(\rho,\varphi,z)$为柱面坐标系。
三、重积分的计算方法对于重积分的具体计算，常用的有以下几种方法：1.累次积分法累次积分法就是将多重积分化为多个一元积分，以二重积分为例，若：$$\iint_D f(x,y)dxdy$$其中D为一个平面区域，那么可以先将y作为常数，对x进行积分，再将x作为常数，对y积分，即可得到：其中a、b、c、d为D中x、y坐标的极值。
重积分知识点
重积分知识点重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。
它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。
下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。
一、定义重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。
二、性质1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有：$$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$其中$a,b$为常数。
2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域$\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$三、计算方法1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。
2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。
3.极坐标法：适用于旋转对称的区域，可以通过极坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
4.柱面坐标法：适用于柱面对称的区域，可以通过柱面坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
重积分的知识点总结
重积分的知识点总结一、多重积分的概念1. 多元函数多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$、$y$是自变量，$z$是因变量。
2. 二重积分二重积分是对二元函数在平面区域上的积分，其定义如下：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sig ma_i$其中$D$为平面区域，$f(x,y)$为在$D$上的连续函数，$\Delta\sigma_i$为区域$D$上第$i$个小面积，$\xi_i$、$\eta_i$为$(x,y)$的取值点。
$\lambda$是面积的划分趋于0时的极限。
3. 三重积分三重积分是对三元函数在空间区域上的积分，其定义如下：$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\,dV=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_ i)\Delta V_i$其中$\Omega$为空间区域，$f(x,y,z)$为在$\Omega$上的连续函数，$\Delta V_i$为区域$\Omega$上第$i$个小体积，$\xi_i$、$\eta_i$、$\zeta_i$为$(x,y,z)$的取值点。
$\lambda$是体积的划分趋于0时的极限。
4. 一般情况下的重积分对于$n$元函数在$n$维空间上的积分通常可以表示为：$\int...\int_Df(x_1,x_2,...,x_n)dV$其中$D$为空间区域，$f(x_1,x_2,...,x_n)$为在$D$上的连续函数，积分区域为$D$，$dV$为该区域上的$n$维体积元。
二、多重积分的性质1. 多重积分的可加性重积分在可加性方面与定积分类似，即若函数$f(x,y)$在区域$D$上连续，则有：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)\,d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)\,d\sigma$其中$D=D_1\cup D_2$，$D_1$、$D_2$为$D$的互不相交子区域。
重积分的概念与性质
重积分的概念与性质重积分是微积分中的一个重要概念，它是曲线、曲面或空间区域上某一标量函数的积分。
本文将介绍重积分的概念、性质以及在实际应用中的意义。
一、重积分的概念重积分是对多元函数在某一曲线、曲面或空间区域上的积分运算。
在定义重积分之前，我们先回顾一下一元函数的定积分概念。
定积分是对曲线上函数的弧长进行积分，将曲线分成无穷多个微小的弧段，然后将这些微小弧段的长度相加，从而得到整个曲线的长度。
而对于多元函数，重积分的概念在这个基础上进一步推广。
它是将曲线、曲面或空间区域分成无穷多个微小的面元，然后将这些微小面元的函数值相加，最终得到整个区域上的积分值。
重积分的符号表示为∬ f(x,y) dxdy 或者∭ f(x,y,z) dxdydz，其中 f(x,y) 表示函数在区域上的值，dxdy 表示微小面元的面积。
二、重积分的性质重积分具有以下几个重要性质：1. 线性性质：重积分具有线性运算的性质。
即若函数 f(x,y) 和 g(x,y) 在区域上可积，且 a 和 b 为常数，则有∬ (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a∬f(x,y) dxdy + b∬ g(x,y) dxdy。
这一性质使得我们可以更方便地进行积分运算。
2. 区域可加性：对于区域的分割，整个区域上的重积分可以通过对各个小区域的重积分相加得到。
即若 R = R1 ∪ R2，其中 R1 和 R2 为无交的区域，并且 f(x,y) 在 R 上可积，则有∬ f(x,y) dxdy = ∬ f(x,y) dxdy + ∬ f(x,y) dxdy。
这一性质使得我们可以将复杂的区域分解成简单的部分来进行计算。
3. 坐标变换性质：对于某些复杂的区域，通过适当的坐标变换，可以将原来的积分转化为更简单的形式。
例如，可以通过极坐标变换将某些对称区域简化为一个角度范围上的定积分，从而简化计算过程。
三、重积分的应用重积分在实际应用中有着广泛的应用，尤其是在物理学、工程学、统计学等领域。
重积分的定义与性质
重积分的定义与性质重积分是高等数学中的一个重要概念，是对多元函数在空间内的积分运算。
在实际应用中，经常需要对物理量、几何量等进行多个变量的积分运算，这时就需要用到重积分。
本文将对重积分的定义和性质进行详细阐述。
一、连续函数的重积分对于连续函数$f(x,y)$，其中$(x,y)$为定义域内的任意一个点，其重积分定义如下：$$\iint_D f(x,y) dxdy$$在上式中，$D$为定义域。
这个式子的含义是在二维平面上对函数$f(x,y)$从定义域$D$内的每个点$(x,y)$到坐标轴正方向的区域进行积分。
其中，$dxdy$表示微元，用来表示积分的范围。
重积分也可以用极坐标系进行表示：$$\iint_D f(x,y) dxdy=\iint_D f(r\cos\theta,r\sin\theta) rdrd\theta$$这里，$r$和$\theta$分别表示极坐标系下的径向坐标和角度坐标。
二、重积分的性质对于重积分，我们要了解一些基本的性质。
1. 线性性：若$f(x,y)$和$g(x,y)$是$D$上的可积函数，$k_1$和$k_2$为常数，则：$$\iint_D (k_1f(x,y)+k_2g(x,y)) dxdy=k_1\iint_D f(x,y)dxdy+k_2\iint_D g(x,y) dxdy$$也就是说，重积分运算具有线性性。
2. 绝对可积性：如果$\iint_D |f(x,y)| dxdy$有定义，则称$f(x,y)$是$D$上的绝对可积函数。
3. 积分中值定理：如果$f(x,y)$在$D$上连续，则存在一点$(\xi,\eta)\in D$，使得：$$\iint_D f(x,y) dxdy=f(\xi,\eta) Area(D)$$这个公式的含义是，若在平面上将定义域$D$分成许多小的矩形，则在每个小矩形上，函数$f(x,y)$的大小是近似相等的。
因此，整个定义域上的积分值与函数的平均值在某个点上相等。
重积分知识点
重积分知识点什么是重积分？重积分是微积分中的一个重要概念。
它是对有一定形状的曲线、曲面或者立体内某一物理量的总量进行求解的数学工具。
重积分可以用于求解多元函数在一个区域内的平均值、体积、质心等问题。
一重积分与二重积分在重积分中，存在一重积分和二重积分两种形式。
一重积分也叫定积分，是对一元函数在一个区间上的积分运算。
它可以表示为：b(x) dx∫fa其中a和b表示积分区间的起点和终点，f(x)表示被积函数。
二重积分则是对二元函数在一个闭区域上的积分运算。
它可以表示为：(x,y) dA∬fD其中D表示积分区域，f(x,y)表示被积函数，dA表示面积元素。
重积分的计算方法重积分的计算方法有多种，其中较常见的有换元法、分部积分法和极坐标法等。
换元法换元法是指通过变量替换将一个积分转化为另一个形式的积分，从而使得计算变得更加简单。
常见的变量替换包括线性换元，平方换元和三角换元等。
分部积分法分部积分法是通过对积分表达式进行分部拆分，将一个积分转化为另一个形式的积分。
分部积分法的公式可以表示为：∫u dv=uv−∫v du极坐标法极坐标法是将二重积分的计算问题转化为极坐标系下的积分问题。
通过引入极坐标系的坐标变换，可以简化积分表达式，并且适用于具有对称性的问题。
重积分应用举例重积分在实际问题中有着广泛的应用，以下是几个常见的例子：计算曲线长度对于曲线y=f(x)，可以使用一重积分来计算曲线的长度。
具体的计算方法是将曲线分成一个个小线段，计算每个小线段的长度，然后将所有小线段长度相加。
bL=∫√1+(f′(x))2 dxa其中a和b是积分的区间。
计算表面积对于曲面z=f(x,y)，可以使用二重积分来计算曲面的面积。
具体的计算方法是将曲面分成一个个小面元，计算每个小面元的面积，然后将所有小面元的面积相加。
2 dAS=∬√1+(f x(x,y))2+(f y(x,y))D其中D是曲面的投影区域。
计算质心对于曲线、曲面或者立体，可以使用重积分来计算质心的坐标。
重积分的一些知识简介
重积分的一些知识简介在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限。
这种和的极限的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。
下面我就简单介绍下重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、计算方法以及它们的一些运用。
二重积分定义 设f(x,y)是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 12···,n σσσ∆∆∆，其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点(,i i ξη),作乘积f(,i i ξη)i σ∆(i=1,2，···，n)，并作和1f (,)niii ξη=∑iσ∆. 当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记作()Df x d σ⎰⎰，即()Df x d σ⎰⎰=0lim λ=1f (,)ni i i ξη=∑iσ∆.其中f(x,y)叫作被积函数，f(x,y)d σ叫作被积表达式，d σ叫作面积元素，x 与y 叫作积分变量，D 叫作积分区域，1f (,)niii ξη=∑iσ∆.叫作积分和.个人认为，在其性质中我们只需掌握二重积分中值定理即可。
即：设函数f(x,y)在闭区域D 上连续，σ是D 上的面积，则在D 上至少存在一点（,ξη），使得,)(,)Df x y d f σξη=⎰⎰·σ在计算二重积分中，我们可以利用直角坐标、极坐标计算二重积分利用直角坐标计算如右图中截面面积为 A(0x )=20100()(,)x x f x y dy ϕϕ⎰（）一般的，过区间[a,b]上任一点x 且平行于yOz 面得平面截曲顶柱体所得截面的面积为 A （x ）=21()(,)xx f x y dy ϕϕ⎰（）于是V=()baA x dx ⎰=21()[(,)]bxax f x y dy dx ϕϕ⎰⎰（）这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式(,)Df x y d σ=⎰⎰21()[(,)]bxax f x y dy dx ϕϕ⎰⎰（） （1）上式中，我们可先对y 、后对x 计算 即：(,)Df x y d σ=⎰⎰ba dx⎰21()(,)xx f x y dy ϕϕ⎰（）也可先对x ，后对y 计算 即：(,)Df x y d σ=⎰⎰21()()(,)dy cy dy f x y dx ϕϕ⎰⎰利用极坐标计算(,)Df x y dxdy ⎰⎰=(cos ,sin )Df d d ρθρθρρθ⎰⎰.其中（ρθ、）看作是在同一平面上的点（x,y ）的极坐标表示。
重积分知识点总结
重积分知识点总结重积分是微积分中的一个重要概念，用于求解曲面、体积、质量等问题。
重积分包括二重积分和三重积分，分别对应二维和三维空间中的曲面和体积。
一、二重积分二重积分是对二维区域上的函数进行积分，常用于求解平面区域的面积、重心、质心等问题。
求解二重积分的方法有直接计算和变量代换两种。
1. 直接计算：将二重积分转化为累次积分，先对一个变量积分再对另一个变量积分。
需要注意的是积分的次序可能会影响结果。
2. 变量代换：通过变量代换，将原积分转化为更简单的形式。
常用的变量代换有极坐标代换、参数方程代换等。
二、三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分，常用于求解空间区域的体积、质量、重心等问题。
求解三重积分的方法有直接计算和变量代换两种。
1. 直接计算：将三重积分转化为累次积分，先对一个变量积分再对另一个变量积分，最后再对剩下的变量积分。
同样，积分的次序可能会影响结果。
2. 变量代换：通过变量代换，将原积分转化为更简单的形式。
常用的变量代换有柱面坐标代换、球面坐标代换等。
三、重积分的应用重积分在物理学、工程学、经济学等领域中有广泛的应用。
1. 物理学：重积分可以用于计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。
例如，可以通过三重积分计算物体的质量分布情况，进而求解物体的质心位置。
2. 工程学：重积分可以用于计算三维物体的体积、表面积等。
例如，在建筑设计中，可以通过三重积分计算建筑物的体积，帮助设计师合理规划空间。
3. 经济学：重积分可以用于计算经济领域的总产出、总消费等指标。
例如，在城市规划中，可以通过二重积分计算城市的总人口、总收入等。
四、重积分的性质重积分具有一些重要的性质，如线性性、保号性、保序性等。
1. 线性性：重积分具有线性性质，即对于常数a和函数f(x, y)、g(x, y)，有∬(af(x, y) + bg(x, y))dxdy = a∬f(x, y)dxdy + b∬g(x, y)dxdy。
《重积分概念性质》课件
积分的极限性质
积分的极限性质是指积分的极限值与被积函数的极限值之间的关系 积分的极限性质是重积分的一个重要性质，它反映了重积分的稳定性和连续性
积分的极限性质可以用于求解一些复杂的积分问题，如积分的极限值、积分的收敛性等
积分的极限性质还可以用于证明一些重要的定理，如积分的极限定理、积分的连续性定理等
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重积分概念性质
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目录
CONTENTS
01 重积分的概念
02 重积分的性质
03 重积分的计算
04 重积分的应用
重积分的概念
定义与公式
重积分的定义：对多元函 数在某一区域内的积分
重积分的公式： ∫∫f(x,y)dxdy
重积分的性质：线性性、 可加性、绝对收敛性等
重积分的应用：计算体积、 面积、质量等
重积分的几何意义在于，它可以用来计算曲面或曲面上的面积、体积等几何量
重积分的几何意义还可以用来计算曲面或曲面上的曲率、挠率等几何量
重积分的性质
积分区间可加性
积分区间可加性：如果f(x)在[a,b]上可积，且[a,b]可分成两个不相交的子区间[a,c]和[c,b]，则 f(x)在[a,b]上的积分等于f(x)在[a,c]和[c,b]上的积分之和。
计算方法
直接计算法： 直接计算积分
值
换元法：将积 分变量替换为
另一个变量
分部积分法： 将积分分为两 部分，分别计
算
积分表法：利 用积分表直接
查找积分值
数值积分法： 通过数值方法 近似计算积分
值
蒙特卡洛法： 通过随机采样 方法近似计算
积分值
几何意义
重积分是积分的一种，用于计算曲面或曲面上的函数值 重积分是将曲面或曲面上的函数值进行积分，得到曲面或曲面上的积分值
19积分(二重,三重积分,第一类曲线,曲面积分)的定义和性质
CH 19 积分（二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分）的定义和性质1．重积分的概念（1） 定义：二重积分表示一种类型和式的极限σd y x f D⎰⎰),(∑=→∆=ni i i i f 1),(limσηξλ，三重积分表示⎰⎰⎰DdV z y x f ),,(∑=→∆=ni i i i i v f 1),,(limςηξλ,其值均取决于被积函数的对应规则和积分区域，而与积分变量的记号无关。
连续是可积的充分条件，二者的不同点是：二重积分的被积函数是定义在平面区域D 上的二元函数，而三重积分的被积函数是定义在空间区域Ω上的三元函数。
（2）几何与物理意义：当0),(≥y x f 时，σd y x f D⎰⎰),(表示以曲面),(y x f z =为曲顶，以D 为底的柱体体积，或表示以面积密度),(y x f =μ的平面薄片D 的质量。
当0),,(≥z y x f ，⎰⎰⎰DdV z y x f ),,(表示体密度),,(z y x f =μ的空间立体Ω的质量。
（3） 性质：重积分具有与定积分类似的线性性质，对区域的可加性，积分不等式，以及积分中值定理。
2．第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义（1）由曲线形构件的质量问题引入对弧长的曲线积分，其定义简记为⎰lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i S f 1),(limηξλ其中函数),(y x f 在曲线l 上有定义切有界，i S ∆是对l 的任意分割下的i 段的长度0≥i S ，}{max 1i ni S ∆=≤≤λ。
（2） 由求变力沿曲线所作功等问题，可引入对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）的概念，其定义简记为⎰ldxy x P ),(∑=→∆=ni i i ix P 10),(limηξλ⎰ldyy x Q ),(∑=→∆=ni i i iy Q 1),(limηξλl ，λ的意义同前，i x ∆，i y ∆为小弧段在坐标轴上的投影，其正负与l 的方向有关。
【2019年整理】重积分的概念与性质
8.2.1 利用直角坐标计算二重积分 1、曲顶柱体的体积------
二重积分的几何意义
设f(x,y)是定义在平 面区域D上的非负连续 函数，以D为底面，以 曲面f(x,y)为顶面，以D 的边界曲线为准线而母 线平行于z 轴的柱面为 侧面所围成的立体称为 曲顶柱体。
如何求该曲顶柱体的体积呢？
19
8.1 重积分的概念与性质
1
8.1.1 重积分的定义
回顾在第五章中用定积分计算物体的质量 问题，假定物体的密度是连续变化的。
首先考虑一根长度为l 的细直杆的质量。
不妨假定它在轴上占据区间[0，l]，设其线
密度为
2
如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不 妨假定它占有xoy坐标面上的区域D，并设其
面密度函数为= (x,y)≠常数。
36
5 交换积分顺序 ①由所给的积分顺序及积分限写出D的不等式 表示并画出积分区域的草图 ②由积分区域按新的积分顺序确定积分限。 例3 交换以下积分的积分顺序
37
课内练习一 改变以下二次积分的积分次序
1
y
(1) I1
dy
0
y
f ( x, y)dx
1
1 1 x2(2) I2 来自dxf ( x, y)dy
闭子域
7
如果当0时，上述和式的极限存在，并且 该极限与的分割方式及Xi的取法无关，我们称 该极限值为函数f(X)在上的n(重)积分，记为
其中f(X)称为被积函数， 称为积分区域， 也称函数f(X)在上可积。
特别地，当n=2时函数 f(X)= f(x,y) (x,y)D，
即为函数f(x,y) 在D 上的二重积分，d称为 面积元素。
5
积 分 区 域
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2019考研数学：深入剖析重积分的若干概念（一）
来源：文都教育
在考研复习的过程中，大家经常会遇到重积分的计算问题。
那么重积分的计算部分都有哪些考点呢，还有哪些有趣的小知识呢？下面文都考研数学辅导老师为大家总结相关知识点和考点,希望对大家有所帮助。
首先我们要先明白这样一个事实，不是所有的有界点集都是可以求面积的。
那么下面定理告诉我们，什么样的有界点集可以计算面积。
定理：有界点集D 是可求面积的充分必要条件是它的边界D ∂的面积为0.
也就是说，零边界区域是可求面积的。
举个不可求面积的例子帮助大家来理解巩固。
平面点集()(){}x D y x y x S ≤≤≤≤=0,10|,就不可求面积，这里的()x D 为Dirichlet （狄利克雷）函数：()⎩⎨
⎧=为无理数为有理数x x x D 01。
事实上，S 的边界为[][]1,01,0⨯=∂S ，它的面积
为1。
明白了这一点，我们就可以理解，一条平面曲线所描绘的图形的面积不一定是0。
Peano 发现，存在将实轴上的闭区间映满平面上的一个二维区域（三角形或者正方形）的连续映射。
也就是说，这条曲线通过该二维区域的每个点，这种曲线被称作Peano 曲线。
同2R 中定义面积一样，可以在n R 中引入体积的概念。
若引入n
R 中的n 维闭矩形[][][]n n b a b a b a ,,,2211⨯⨯⨯ 的体积为()()()n n a b a b a b --- 2211，那么就可以将2R 上定义的面积的叙述完全平移到n R 上来定义体积，并且同样可以成边界体积为零的有界区域为零边界区域。
所以：有界点集是可求体积的充分必要条件是其边界的体积为零，即为零边界区域。