对勾函数图象性质

对勾函数图象性质

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+

b

x

的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+

b

x

（接下来写作

f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：

当x>0时，f (x )=ax +b

x ≥2√ab (当且尽当ax =b

x 时取等号)，此时x =√b

a 。

当x<0时，f (x )=ax +b

x ≤−2√ab (当且尽当ax =b

x 时取等号)，此时x =−√b

a 。

(

三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线

(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，

二、类对勾函数性质探讨 函数x

b

ax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。 X

在时且00≠≠b a 有如下几种情况：(1)0,0<>b a (2)0,0>

0,0>>b a (4)0,0<

设ax y =1，x b

y =

2，则x

b ax y y y +=+=21，其定义域为{}0,|≠∈x R x x 且 (1)0,0<>b a 时，ax y =1，x

b

y =

2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递增。 故x

b

ax y y y +

=+=21在),0(),0,(+∞-∞为单调递增函数。 (2)0,0>

b

y =

2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递减。 故x

b

ax y y y +=+=21在),0(),0,(+∞-∞为单调递减函数

(3)0,0>>b a 图像略

1当0>x 时，01>=ax y ，02>=

x b y ab x

b ax x b ax y y y 2221=⋅≥+=+=。

当且仅当x b

ax =，即a

b

x =

取等号。 2当0

x

b y ab x

b ax x b ax x b ax y y y 22)(21-=⋅-≤-+--=+

=+=，当且仅当x b

ax =

，即a

b x -=（因为0

1当0>x 时，01<=ax y ，0

2<=x

b y ab x

b

ax x b ax x b ax y y y 22)(21-=⋅-≤-+--=+

=+=。当且仅

当x b

ax =

，即a

b x =取等号。 2当0=ax y ，02>=

x

b

y ab x

b

ax x b ax y y y 2221=⋅=≥+

=+=，当且仅当x b

ax =

，即a

b x -=取等号。

四、对勾函数练习： 1．若 x>1.求1

1

-+

=x x y 的最小值 2. 若 x>1. 求12

22-+-=x x x y 的最小值

3. 若 x>1. 求1

1

2-+-=x x x y 的最小值

4. 若 x>0. 求x

x y 2

3+

=的最小值 5.已知函数)),1[(22+∞∈++=

x x

a

x x y （1） 求的最小值时，求)(2

1

x f a =

(2)若对任意x ∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a 范围

6.: 方程sin 2

x －asinx+4=0在[ 0 ,

2π

]内有解 ，则a 的取值范围是__________

7. 函数()1027y x x x =+

≤≤的最小值为____________；函数()10

27y x x x

=-≤≤的最大值为_________。 8.函数x

x y 4

32-

-=的最大值为 。 9、若14<<-x ，则2

22

22-+-=x x x y 的最值是 。

10.函数x x y 2

2

sin 4sin 9+=

的最小值是 。 11.若不等式222

9t

t a t t +≤≤+在(]2,0∈t 上恒成立，则a 的取值范围是 。

12. 求函数()()11

1612>+++=x x x

x x x f 的最值。

13. 的值域时，求，

当1

42)()10(+=∈x x

x f x 14. 的值域求3

1

)(22++++=x x x x x f