华师版初中数学图形原理(截止第14章勾股定理)

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八年级上华东师大版14.1勾股定理课件

八年级上华东师大版14.1勾股定理课件
勾股定理的逆定理指出:如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²,那么这 个三角形一定是直角三角形。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法,即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边,通过拼接可以形成
05
拓展与延伸:费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如,费马猜想了不存在整数a、b和 c,使得a3=b3+c3(这被称为费马最 后定理)。
具体来说,费马猜想了以下三个情形 :对于任何大于2的整数n,不存在三 个大于1的整数a、b和c,使得 an=bn+cn。
例如,对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式,可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用, 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义,可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式,从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为:a² + b² = c²,其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ,c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数,即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括:任意两个勾股数 一定是互质的;一组勾股数中,必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理,可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系,进而利用三角形的性质求解最值问题。

华师版八年级上册数学 第14章 勾股定理 勾股定理 第1课时 直角三角形三边的关系

华师版八年级上册数学 第14章 勾股定理 勾股定理 第1课时 直角三角形三边的关系
八年级上册数学(华师版)
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
1.直角三角形三边的关系 第1课时 直角三角形三边的关系
知识点:勾股定理 1.下列说法正确的是( D) A.若a、b、c是△ABC的三边,则a2+b2=c2 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2 C.若a、b、c是Rt△ABC的三边,∠A=90°,则a2+b2=c2 D.若a、b、c是Rt△ABC的三边,∠C=90°,则a2+b2=c2
解:(1)∵AE=BE,∴S△ABE=12AE·BE=12AE2.又∵AE2+BE2= AB2,∴2AE2=AB2,∴S△ABE=14AB2=14×32=94.
(2)同理可得 S△AHC+S△BCF=14AC2+14BC2. 又∵AC2+BC2=AB2,∴阴影部分的面积为14AB2+14AB2=12AB2=12 ×32=92.
易错点:斜边不确定时,应用勾股定理求边长漏解 9.已知直角三角形两边长分别为3和5,则第三边的长为____3_4_或__4_.
10.如图,直线l同侧有三个正方形a、b、c,若a、c的面积分别为5 和11,则b的面积为( C ) A.4 B.6 C.16 D.55
11.(2016·荆门)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分 线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为( C) A.5 B.6 C.8 D.10
2.利用如图所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学 中一个十分著名的定理,这个定理称为___勾__股__定__理____,该定理中结 论的数学表达式是____a_2_+__b_2_=__c_2 _____.
3.求图中直角三角形中未知边的长度:c=___1_5__,b=___1_2__.
16.如图,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AD=13,BC⊥AB, 对角线AC⊥CD,求CD的长.

【华师大版】初中八年级数学上册第14章勾股定理课件

【华师大版】初中八年级数学上册第14章勾股定理课件
形。 (即一个三角形的两条较短的边的平方和等于
最长边的平方,那么这个三角形是直角三角
形。最长边(c)所对的角是直)角
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a, b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
典例剖析: 设三角形三边长分别为下列各组数,试 判断各三角形是否是直角三角形
(1)7,24.,25 ;(2)a=37,b=12,c=35
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
6cm 5 7cm 2 62 72 最长边所对的角
是__锐__角__
⑴5cm
较短的两条边的平方和 钝角三角形 __小__于_最长边的平方
7cm
10cm
62 72
102
最长边所对的角是 __钝__角____
6cm ⑵
5cm 3cm
4cm
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
cb

a
a2+b2=c2
做一做:
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2__2_5________ AB=__2_5_______ BC=__2_0_______
AC=__1_5_______
6 2
x
X=__4___2_
x 62 22 32 4 2
B
D
小结:本节课你学到了什么?
埃 及 金 字 塔
------
你知道吗? 史料:古埃及人画直角.
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角:他们用13个 等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住 绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和 第8个结,拉紧绳子,就会得到一个直角三角形,其直角 在第4个结处. 你知道这是什么道理吗?

第14章 勾股定理章末复习(华东师大版)(共28张PPT)

第14章 勾股定理章末复习(华东师大版)(共28张PPT)

OA22
2
1 1 2
S1
1 2
A4
A5
A3
OA32 12
2
2 3
OA42 12
2
3 4
S2
2 2
S3
3 2
A6 ...
S4 S5
S3 S2
A2
S1 O 1 A1
(1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;
(2)推算出OA10的长; (3)求出S12 + S22 + S32 + … + S102的值。
经 两条直角边的和是5,求中间小正方形的面积。

3
0.5

1 2

图甲
图乙
现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片,如图乙,请你将它分割
成6块,再拼合成一个正方形。(要求:先在图乙中画出分割线,
再画出拼成的正方形并表明相应数据)
小结
这节课我学到了什么? 我的收获是…… 我还有……的疑惑
P 126
例 8 如图,矩形ABCD中,DC=10,BC=6,过点C折叠矩形ABCD使点D
落在AB上的点F处。 (1)求AF的长度;
(2)求DE的长度; (3)求CE的长度,你能求出图中这些三角形的面积吗?
D
C
E
AF
B
【方法技巧】直角三角形中,当无法已知两边求第三边时,应采用间接 求法:灵活地寻找题中的等量关系,利用勾股定理列方程。
面积和等于斜边向外所作的图形面积。
数学活动室
1.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所
有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别

华师大版第14章勾股定理电子教材(课本)

华师大版第14章勾股定理电子教材(课本)

第14章勾股定理§14.1勾股定理1. 直角三角形三边的关系2. 直角三角形的判定阅读材料勾股定理史话美丽的勾股树§14.2勾股定理的应用小结复习题课题学习勾股定理的“无字证明”第14章勾股定理还记得2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM2002)吗?在那个大会上,到处可以看到一个简洁优美的图案在流动,那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标.那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.§14.1 勾股定理1. 直角三角形三边的关系本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系,让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺.试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下表:三角尺直角边a直角边b斜边c 关系12根据已经得到的数据,请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面,观察图中用阴影画出的三个正方形,很显然,两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积.即AC2+BC2=AB2,图14.1.1这说明,在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图14.1.2,如果每一小方格表示1平方厘米,那么可以得到:正方形P的面积=平方厘米;正方形Q的面积=平方厘米;(每一小方格表示1平方厘米)图14.1.2正方形R的面积=平方厘米.我们发现,正方形P、Q、R的面积之间的关系是.由此,我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系.做一做在图14.1.3的方格图中,用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长,并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.(每一小格代表1平方厘米)图14.1.3概括数学上可以说明:对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有a2+b2=c2,这种关系我们称为勾股定理.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.例1如图14.1.4,将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长为2.16米,求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB.(精确到0.01米)图14.1.4解如图14.1.4,在Rt△ABC中,BC=2.16米,AC=5.41米,根据勾股定理可得AB=-BCAC22=2216.5≈4.96(米).41.-2答:梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB约为4.96米.练习1. 在Rt△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°.(1)已知a=6,b=10,求c;(2)已知a=24,c=25,求b.2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米,那么这个三角形的周长是多少厘米?试一试剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形,然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形.大正方形的面积可以表示为,又可以表示为.对比两种表示方法,看看能不能得到勾股定理的结论.图14.1.5 图14.1.6用上面得到的完全相同的四个直角三角形,还可以拼成如图14.1.7所示的图形,与上面的方法类似,也能说明勾股定理是正确的. 读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的称为股,斜边称为弦.图14.1.7称为“弦图”,最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.图14.1.8是在北京召开的2002年国际数学家大会(ICM2002)的会标,其图案正是“弦图”,它标志着中国古代的数学成就.图14.1.7 图14.1.8 例2如图14.1.9,为了求出位于湖两岸的两点A 、 B 之间的距离,一个观测者在点C 设桩,使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量,得到AC 长160米,BC长128米.问从点A 穿过湖到点B 有多远?图14.1.9解 如图14.1.9,在直角三角形ABC中,AC =160米, BC=128米,根据勾股定理可得 AB=22BC AC -=22128160-=96(米).答: 从点A 穿过湖到点B 有96米.练习1. 如图,小方格都是边长为1的正方形,求四边形ABCD的面积与周长.2. 假期中,王强和同学到某海岛上去探宝旅游,按照探宝图(如图),他们登陆后先往东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍后又往西走3千米,再折向北走到6千米处往东一拐,仅走1千米就找到宝藏,问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?(第1题)(第2题)2. 直角三角形的判定古埃及人曾经用下面的方法画直角:将一根长绳打上等距离的13个结,然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形,他们认为其中一个角便是直角.你知道这是什么道理吗?图14.1.10试一试试画出三边长度分别为如下数据的三角形,看看它们是一些什么样的三角形:(1)a=3,b=4,c=5;(2)a=4,b=6,c=8;(3)a=6,b=8,c=10.可以发现,其中按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形,而按(2)所画的不是直角三角形.在这三组数据中,(1)、(3)两组都满足a2+b2=c2,而组(2)不满足.以后我们会证明一般的结论:如果三角形的三边长a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系,所以其中一个角是直角.例 3 设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各三角形是否是直角三角形:(1)7,24,25;(2)12,35,37;(3)13,11,9.解因为252=242+72,372=352+122,132≠112+92,所以根据前面的判定方法可知,以(1)、(2)两组数为边长的三角形是直角三角形,而以组(3)的数为边长的三角形不是直角三角形.练习1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数,试判断各三角形是否是直角三角形.若是,指出哪一条边所对的角是直角.(1)12,16,20;(2)8,12,15;(3)5,6,8.2. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?习题14.11. 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开,得到如图所示的梯形.利用此图的面积表示式验证勾股定理.(第1题)2. 已知△ABC中,∠B=90°,AC=13cm,BC=5cm,求AB的长.3. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm,求这个三角形的周长.4. 如图,分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形,然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆.试探索这三个圆的面积之间的关系.(第4题)(第5题)5. 如图,已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,求图中阴影部分的面积.6. 试判断以如下的a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一条边所对的角是直角?(1)a=25,b=20,c=15;(2)a=1,b=2,c=3;(3)a=40,b=9,c=40;(4)a∶b∶c=5∶12∶13.阅读材料勾股定理史话勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史.远在公元前三千年的巴比伦人就已经知道和应用它了.我国古代也发现了这个定理.据《周髀算经》记载,商高(公元前1120年)关于勾股定理已有明确的认识,《周髀算经》中有商高答周公的话:“勾广三,股修四,径隅五.”同书中还有另一位学者陈子(公元前六七世纪)与荣方(公元前六世纪)的一段对话:“求邪(斜)至日者,以日下为勾,日高为股,勾、股各自乘,并而开方除之,得邪至日”(如图所示),即邪至日=勾2+股2.这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形,而是推广到一般情形了.人们对勾股定理的认识,经历过一个从特殊到一般的过程,其特殊情况,在世界很多地区的现存文献中都有记载,很难区分这个定理是谁最先发明的.国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯(Pythagoras)学派首先发现的,因而称为毕达哥拉斯定理.勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多.1940年卢米斯(E.S. Loomis)专门编辑了一本证明勾股定理的小册子——《毕氏命题》,作者收集了这个著名定理的370种证明,其中包括大画家达·芬奇和美国第20任总统詹姆士·阿·加菲尔德(James Abram Garfield,1831~1881)的证法.美丽的勾股树你可能去过森林公园,看到过许许多多千姿百态的植物.可是你是否见过如下的勾股树呢?你知道这是如何画出来的吗?仔细看看,你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图,一个一个连接在一起,构成了多么奇妙美丽的勾股树!动手画画看,相信你也能画出其他形态的勾股树.§14.2 勾股定理的应用勾股定理能解决直角三角形的许多问题,因此在现实生活和数学中有着广泛的应用.例1如图14.2.1,一圆柱体的底面周长为20cm ,高AB为4cm ,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程.图14.2.1分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行,如果将这半个侧面展开(如图14.2.2),得到矩形 ABCD ,根据“两点之间,线段最短”,所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC 之长.(精确到0.01cm )图14.2.2解 如图14.2.2,在Rt △ABC中,BC=底面周长的一半=10cm ,∴ AC =22BC AB +=22104+=229≈10.77(cm )(勾股定理).答: 最短路程约为10.77cm .例2一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图14.2.3分析由于厂门宽度足够,所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH .如图14.2.3所示,点D 在离厂门中线0.8米处,且CD ⊥AB, 与地面交于H .解 在Rt △OCD 中,由勾股定理得 CD=22OD OC -=228.01-=0.6米,C H=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.做一做图14.2.4如图14.2.4,以直角三角形ABC的三边为边分别向外作正方形,其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形.试将图中5个带色的图形拼入到大正方形中,填满整个大正方形. 练习1. 如图,从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆,求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离.2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大,使其仍为直角三角形,两直角边同时扩大到原来的两倍,问斜边扩大到原来的多少倍?(第1题)例3如图14.2.5,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:(1)从点A出发画一条线段AB,使它的另一个端点B在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为22;(2)画出所有的以(1)中的AB为边的等腰三角形,使另一个顶点在格点上,且另两边的长度都是无理数.分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求.图14.2.5 图14.2.6解(1)图14.2.6中AB长度为22.(2)图14.2.6中△ABC、△ABD就是所要画的等腰三角形.例4如图14.2.7,已知CD=6m,AD=8m,∠ADC=90°,BC =24m,AB=26m.求图中阴影部分的面积.图14.2.7解在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2=62+82=100(勾股定理),∴AC=10m.∵AC2+BC2=102+242=676=AB2,∴△ACB为直角三角形(如果三角形的三边长a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形),∴S阴影部分=S△ACB-S△ACD=1/2×10×24-1/2×6×8=96(m2).练习1. 若直角三角形的三边长分别为2、4、x,试求出x的所有可能值.2. 利用勾股定理,分别画出长度为3和5厘米的线段.习题14.21. 若等腰直角三角形的斜边长为2cm,试求出它的直角边和斜边上的高的长度.2. 下图由4个等腰直角三角形组成,其中第1个直角三角形腰长为1cm,求第4个直角三角形斜边长度.(第2题) (第3题)3. 如图,为了加固一个高2米、宽3米的大门,需在相对角的顶点间加一块木条.求木条的长度.4. 在△ABC中,AB=2, BC=4, AC=23, ∠C =30°, 求∠B 的大小.5. 已知三角形的三边分别是n +1、 n +2、 n +3,当n 是多少时,三角形是一个直角三角形?6. 如图,AD ⊥CD , AB=13,BC=12,CD=4,AD=3, 若∠C AB=55°,求∠B 的大小.(第6题)小结一、 知识结构二、 概括 直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法本章研究了揭示直角三角形三条边之间关系的勾股定理和由此产生的一种判定直角三角形的方法.如果知道了直角三角形任意两边的长度,那么应用勾股定理可以计算出第三边的长度;如果知道了一个三角形的三边的长,也可以判断这个三角形是否是直角三角形.勾股定理可以解决直角三角形中的许多问题,在现实生活中有许多重要的应用.复习题A组1. 求下列阴影部分的面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.(第1题)2. 如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.(第2题)3. 试判断下列三角形是否是直角三角形:(1)三边长为m2+n2、mn、m2-n2(m>n>0);(2)三边长之比为1∶1∶2;(3)△ABC的三边长为a、b、c,满足a2-b2=c2.4. 一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部离建筑物0.7米,如果梯子的顶部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多远?5. 如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,求正方形A、B、C、D的面积和.(第5题)B组6. 在△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边的高,DC=2,求BD的长.(第7题)7. 有一块四边形地ABCD(如图),∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求该四边形地ABCD 的面积.8. 能够成为直角三角形三条边长的正整数,称为勾股数.请你写出5组勾股数.9. 已知△ABC中,三条边长分别为a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1).试判断该三角形是否是直角三角形,若是,请指出哪一条边所对的角是直角.C组10. 如图,四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°,求∠DAB的度数.(第10题)(第11题)11. 如图,在矩形ABCD中,AB=5cm,在边CD上适当选定一点E,沿直线AE把△ADE折叠,使点D恰好落在边BC上一点F 处,且△ABF的面积是30cm2.求此时AD的长.(第12题)12. 折竹抵地(源自《九章算术》):今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问折者高几何?意即:一根竹子,原高一丈,虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原长竹子处3尺远.问原处还有多高的竹子?课题学习勾股定理的“无字证明”在勾股定理的学习过程中,我们已经学会运用以下图形,验证著名的勾股定理:整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的4个直角三角形的面积之和,即为(a+b) 2=c2+4·(1/2ab),由此可以推出勾股定理a2+b2=c2.这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.对于勾股定理,我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形.现在请你和大家一起,查阅课本和其他有关书籍,上网查询各种相应的资料,相信你一定能够发现更多的有趣图形,验证勾股定理.实际上你还可以发现“无字证明”也可以用于验证数与代数、空间与图形等领域中的许多数学公式和规律!。

华师大版八年级数学上册 14.1勾股定理

华师大版八年级数学上册 14.1勾股定理

C
a
B 则a2+b2=C2


N
M C
Fa B
b C
P A

D
E
M C
Fa
b
B
A
C
D
E
M C
Fa
b
B
A
C
D
E
N
M C
Fa B
b C
P A
D
E
N
M C
Fa B
b C
P A
D
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N
M C
Fa B
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P A
D
E
N
M C
Fa B
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P A
D
EGຫໍສະໝຸດ NM CFa B
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P A
D
E
G
N
M C
Fa B
b C
P A
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E
G
N
M C
Fa B
b C
P A
ou
D
E
G
N
M C
Fa B
b C
P A
ou
D
E
G
刘徽的“青朱出入图”
I
E F
D
C
A
BH
G
收获:
一个定理——勾股定理 一个思想——以形证数 一次探索——从特殊到一般 一份自豪——中国人的骄傲
华师版八年级(上)第十四章
勾股定理
勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
cD
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
C a
b
在Rt△ABC中, 若∠A=900

华师大版初中八年级数学上册第14章《勾股定理》PPT课件

华师大版初中八年级数学上册第14章《勾股定理》PPT课件

D
A
B
图1
CD
13
C
5
4
12
A3 B
图2
解:在△ABD中,
所以△ABD 是直角三角形,∠A是直角. 在△BCD中,
所以△BCD 是直角三角形,∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.
例4 已知△ABC,AB=n²-1,BC=2n,AC=n²+1(n为大于
1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗?若是,哪一条 边所对的角是直角?请说明理由
x=15, 15+9=24(m). 答:旗杆原来高24 m.
课堂小结
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a,b,斜边长为 c , 那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理 第2课时
学习目标
情境引入
1.了解直角三角形的判定条件.(重点) 2.能够运用勾股数解决简单实际问题.(难点)
A 2 E 2 D △FCB均为直角三角形. 1 F 由勾股定理,知
4
BE2=22+42=20,EF2=22+12=5,
3 BF2=32+42=25,
B
4
C ∴BE2+EF2=BF2. ∴ △BEF是直角三角形.
课堂小结
一定是直 角三角形
勾股定理的逆定理:如果三角形的 三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么 这个三角形是直角三角形.
如图,在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,(a≤b≤c)
有关系a2 +b2 =c2时,这个三角形一定是直角三角形吗?
解析:由a2 +b2 =c2 ,根据勾股定理的逆

华师大版数学八年级上册第14章《勾股定理》说课稿

华师大版数学八年级上册第14章《勾股定理》说课稿

华师大版数学八年级上册第14章《勾股定理》说课稿一. 教材分析《勾股定理》是华师大版数学八年级上册第14章的内容,这一章节的主要目标是让学生理解和掌握勾股定理的证明及其应用。

勾股定理是数学史上重要的一条定理,它不仅解决了直角三角形边长关系的问题,而且在建筑设计、工程测量等领域有着广泛的应用。

本章内容分为两部分,第一部分是勾股定理的证明,第二部分是勾股定理的应用。

在证明部分,教材通过古希腊几何学家毕达哥拉斯的故事引入勾股定理,让学生了解勾股定理的历史背景。

然后,教材提供了多种证明方法,包括几何画板、平面几何证明等,让学生理解和掌握勾股定理的证明过程。

在应用部分,教材通过例题和练习题,让学生学会如何运用勾股定理解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识,对图形的性质和变换有一定的了解。

但是,对于勾股定理这样的抽象定理,学生可能难以理解和接受。

因此,在教学过程中,我需要注重引导学生通过实际问题来理解和掌握勾股定理。

三. 说教学目标1.让学生理解勾股定理的含义和证明过程。

2.让学生学会运用勾股定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

四. 说教学重难点1.勾股定理的证明过程。

2.运用勾股定理解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法,通过引导学生解决实际问题,让学生理解和掌握勾股定理。

2.使用几何画板等教学软件,帮助学生直观地理解勾股定理的证明过程。

3.提供丰富的练习题,让学生在实践中掌握勾股定理的应用。

六. 说教学过程1.引入:通过讲述毕达哥拉斯的故事,引导学生了解勾股定理的历史背景。

2.证明:引导学生通过几何画板等工具,探索勾股定理的证明方法。

3.应用:通过例题和练习题,让学生学会如何运用勾股定理解决实际问题。

4.总结:让学生总结勾股定理的证明过程和应用方法。

七. 说板书设计板书设计应突出勾股定理的核心内容,包括定理的表述、证明过程和应用方法。

第14章 勾股定理-思维图解+项目学习 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件

第14章 勾股定理-思维图解+项目学习 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
形,则这圈金属丝的周长最小为 2AC 的长度 .
∵ 圆柱底面的直径 BC = 8,圆柱的高AB=9,∴ 该长度
最短的金属丝的长为 2AC=2 + () =2 + =30

项目学习
[点拨] 圆柱的侧面展开图是一个长方形,例题中长方
形的长等于圆柱底面周长,宽等于圆柱的高,此类问题就是

先假设结论的反面是正确的







步骤
然后通过演绎推理,推出与基本
事实、已证的定理、定义或已知
条件相矛盾
从而说明假设不成立,
进而得出原结论正确
第 14 章 勾股定理






最短路线问题











常见
问题
在生活中的应用:如方位角问题,
折叠问题,旗杆折断问题,方案
设计问题等
在数学问题中的应用
直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方
第 14 章 勾股定理


















勾股定理的逆定理
勾股数
如果三角形的三边长 a,
b,c 有关系 a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三
角形,且边c所对的长的三个正整数
第 14 章 勾股定理





第 14 章 勾股定理
课标领航·核心素养学段目标

华师大版八年级上册数学课件(第14章 勾股定理)

华师大版八年级上册数学课件(第14章 勾股定理)

试一试
观察图14. 1. 2,如果每一小方格表示1平 方厘米, 那么可以得到: 正方形P的面积= 平方厘米;
知1-导
正方形Q的面积=
正方形R的面积=
平方厘米;
平方厘米.
我们发现,正方形P、Q、R的面积之间的关系是 . 由此,我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关 系

.
知1-导
做一做
画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直角三角形, 然后用刻度尺量 出斜边的长,并验证上述关系对这个直角 三角形是否成立.
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
第 1 课时
直角三角形三边的关系 --- 认识勾股定理
1
课堂讲解 课时流程
逐点 导讲练
勾股定理 勾股定理与面积的关系
2
课堂 小结
作业 提升
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-
2002)吗?在这次大 会上,到处可以看到一个简洁优美、
远看像旋转的纸风车的图案,它就是大 会的会标. 会标采用了 1700多年前中国古代数学家赵爽用来证 明勾股定理的弦图.
2
,S2=π•
π•
AB 1 2 2
2
BC 1 2 2
2
,S3=
,另外由勾股定理可知AC2+BC2
=AB2,所以S1+S2=S3;
(3)阴影部分的面积=两个小半圆形的面积和+直
角三角形的面积-大半圆形的面积,由(2)可知 两个小半圆形的面积和=大半圆形的面积,所
∴由勾股定理,得(2b)2+b2=52,解得b= 5.
知1-讲
例3 已知直角三角形的两边长分别为3,4,求第 三边的长.
错解:第三边的长为

2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第14章勾股定理14.1勾股定理(第1课时)

2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第14章勾股定理14.1勾股定理(第1课时)

第14章 勾股定理14.1 勾股定理第1课时 直角三角形的三边关系教学目标1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.教学重难点重点:用勾股定理求直角三角形的边长. 难点:用拼图法证明勾股定理.教学过程导入新课2002年国际数学家大会在我国北京召开,投影显示本届国际数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.(板书课题)我国古代3000多年前有一个叫商高的人,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.画一个两直角边长分别为3和4的直角△ABC ,用刻度尺量出斜边的长,再画一个两直角边长分别为5和12的直角△ABC ,用刻度尺量出斜边的长.你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗?探究新知1.勾股定理的证明活动1:如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图所示的图形,利用面积证明.222(),ABCD ABCD S c S ab b a +-正方形正方形=,=从而222222(),.c ab a b c a b =+-+即=活动2:给学生如图所示的图形,利用面积证明.分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等.左边S =2214,2ab c S a b ⨯++右边=() .左边和右边的面积相等,即2214,2ab c a b ⨯++=()教学反思222.c a b +化简可得=教学说明:以上两图出示给学生,分两组交流、证明,完成后由学生代表展示.教师归纳板书:勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长活动:出示习题:(1)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =5,BC =12,则AB =____; (2)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =25,AC =20,则BC =____; (3)在Rt △ABC 中,∠C =90°,它的两边是6和8,则它的第三边长是__________.【答案】(1)13 (2)15 (3)10或教学说明:先由学生独立完成,再由学生展示,注意(3)要分类,分8为直角边长或斜边长两种情况.最后教师板书:在Rt △ABC 中,∠C =90°,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边长,则c a b【合作探究,解决问题】【小组讨论,师生互学】例1 如图,在Rt △ABC 中,已知∠B =90°,AB =6, BC =8,求AC .解:根据勾股定理,可得AB ²+BC ²=AC ²,所以AC10.例2 如图,Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2 cm ,另一直角边BC 长为6 cm ,求AC 的长.解:由已知AB =AC -2,BC =6cm ,根据勾股定理,可得AB ²+BC ²=(AC -2)²+6²=AC ²,解得AC =10(cm).例3 如图,为了求出湖边两点A ,B 之间的距离,一名观测者在点C 设桩,使△ABC 恰好为直角三角形,通过测量,得到160米,BC 的长为128米,问A ,B 解:Rt △ABC 中,AC =100,BC =128, 根据勾股定理得教学反思96AB (米).答: A ,B 两点之间距离96米.课堂练习1.在△ABC 中,∠C =90°,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边长. (1)已知a =2.4,b =3.2,则c =_______.(2)已知c =17,b =15,则△ABC 的面积等于_______. (3)已知∠A =45°,c =18,则a 2=______.2.直角三角形三边长是连续偶数,则这三角形的各边长分别为_______.3.△ABC 的周长为40 cm ,∠C =90°,BC ∶AC =15∶8,则它的斜边长为______.4.直角三角形的两直角边之和为14,斜边为10,则它的斜边上的高为________,两直角边分别为________.5.在Rt △ABC 中,已知两直角边长a =1,b =3,那么斜边c 的长为( ).A.2B.4C.22D.106.直角三角形的两直角边分别为5 cm ,12 cm ,则斜边上的高为( ).A.6 cmB.5 cmC.3060cm D.1313cm 参考答案1.(1)4 (2)60 (3)1622.6 8 103.17 cm4.4.8 6和85.D6.D课堂小结教师提问:这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法? 在学生自由发言的基础上,师生共同总结:知识:勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ,b ,c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长,那么222a b c +=. 方法:(1) 观察——探索——猜想——验证——归纳——应用; (2)“割、补、拼、接”法.思想:(1) 特殊——一般——特殊; (2) 数形结合思想.布置作业请完成本课时对应练习!板书设计直角三角形的三边关系勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ,b ,c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长,那么222a b c +=.教学反思。

第14章 勾股定理课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册

第14章  勾股定理课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
A,C,D的面积依次为4,6,18,则正方形B的面积为
A.8
B.9
C.10
D.12
( A)
3.(2023·南通中考)勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数,世界上
第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,
1 2 1
1 2 1
m
其中a,b均小于c,a= m - ,c= m + ,m是大于1的奇数,则b=_______(用含m的式子
2
2
2
2
表示).
维度2 基本技能(方法)、基本思想的应用
4.(2024·沈 阳 期 末 ) 如 图 , 在 Rt△ABC 中 , ∠ A=90°,BD 平 分 ∠ ABC 交 AC 于 D
点,AB=12,BD=13,点P是线段BC上的一动点,则PD的最小值是 ( B )
A.6
B.5
C.13
D.12
的知识体系:
课标 内容要求
认知水平
课标内容
理解直角三角形三边的关系,会利用拼图法验证直角三角形三边的
理解
关系
了解勾股数的概念,了解反证法
掌握勾股定理,并能灵活运用它解决实际问题
掌握
掌握勾股定理的逆定理,会利用三角形的三边关系判断其是否为直
角三角形
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型,并能用勾股定理及其
运用
逆定理解决简单的实际问题
会用反证法证明较简单的问题
素养目标
抽象能力、
运算能力
几何直观、
运算能力
模型观念、
应用意识
素养 能力培养
本章的数学内容能进一步发展几何直观、运算能力、应用意识、模型观念

华师版八年级数学上册第14章 勾股定理1 直角三角形三边关系

华师版八年级数学上册第14章 勾股定理1 直角三角形三边关系

13
AB=________;
( 2 ) 在 Rt△ABC 中 , ∠ C=90° , AB=25 , AC=20 , 则
15
BC=________;
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,它的两边是6和8,则它
10或 2 7
的第三边长是________.
2.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,则下列关于a,
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
第1课时 直角三角形三边关系
1、掌握勾股定理及其简单应用,理解定理的一般探究方法;
2、通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理,经历观察、
归纳、猜想和验证的数学发现过程,发展数形结合的数学思想;
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗?在
这次大会上,到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的
图案,它就是大会的会标.
会标采用了1700
多年前中国古代
数学家赵爽用来
证明勾股定理的
弦图.
这张邮票是纪念二千五百年前希腊的
一个学派和宗教团体──毕达哥拉斯学派.
邮票上的图案是根据一个著名的数学
定理设计的.
观察这枚邮票上的图案,数数图案中各
正方形中小方格的个数,你有什么猜想?
S2=π( ) = ,

2
S3=π( ) = ,
AB2+AC2=BC2,

2
2
2
∴S1+S2= (AC +AB )= BC =S3 .


∴S2=S3-S1=25-9=16.
勾股图中的面积关系:
以直角三角形的三边为基础,分别向外作半圆、正方形、等边三

华师版八年级数学 14.1勾股定理(学习、上课课件)

华师版八年级数学  14.1勾股定理(学习、上课课件)

感悟新知
知1-练
2-1. 若直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x的值可能
有( B )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
感悟新知
知识点 2 勾股定理的证明
知2-讲
1. 常用证法 验证勾股定理的方法有很多,如测量法、几 何证明法等,但最常用的是通过拼图,构造特殊图形, 并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证.
出第三边.
3. 运用勾股定理求解时,若分不清哪条边是斜边,则要分
类讨论,写出所有可能的情况,以免漏解或错解.
感悟新知
知1-练
例 1 在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b, c,∠C=90°. (1)已知a=3,b=4,求c; (2)已知c=13,a=12,求b; (3)已知a∶b=2∶1,c=5,求b(结果保留根号). 解题秘方:紧扣“勾股定理的特征”解答.
感悟新知
知1-练
1-1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c.
(1)若a∶b=3∶4,c=75,求a,b; 解:设a=3x(x>0),则b=4x. 由勾股定理得a2+b2=c2, 则(3x)2+(4x)2=752,解得x=15. ∴a=3×15=45,b=4×15=60.
图形
赵爽的“赵 爽弦图”
知2-讲
证明
∵ 大正方形的边长为c,
∴ 大正方形的面积为c2.
又∵大正方形的面积=

1 2
ab+(a-b)2=a2+b2,
∴ a2+b2=c2
感悟新知
续表: 方法
刘徽的“青 朱出入图”
图形
知2-讲
证明
设大正方形的面积为S,则 S=c2. 根据“出入相补, 以盈补虚”的原理,有S= a2+b2,∴ a2+b2=c2
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华师版初中数学七、八年级图形原理系统整理1、过两点有且只有一条直线。

【简称“两点定线”】 如右图,同时经过点A 、点B 的直线只有一条。

2、两点之间线段最短。

如右图,在点A 、点B 之间,线段AB 最短。

[后继推导:三角形三边长关系]3、同角或等角的余角相等。

表述:∵∠α+∠β=90º,∠γ+∠β=90º, ∴∠α=∠γ. (或)∵∠α+∠β=90º,∠γ+∠θ=90º且∠β=∠θ,∴∠α=∠γ.[后继推导:斜边上的高分直角三角形的直角所得的锐角关系] 4、同角或等角的补角相等。

表述:∵∠1+∠2=180º,∠3+∠2=180º, ∴∠1=∠3. (或)∵∠1+∠2=180º,∠3+∠4=180º且∠2=∠4,∴∠1=∠3.[后继推导:对顶角相等] 5、两直线相交所成的对顶角相等。

表述:直线AB 、CD 相交于点O ,则∠AOD=∠BOC. 推导:∵∠AOD+∠AOC=180º,∠BOC+∠AOC=180º, ∴∠AOD=∠BOC.同理可得:∠AOC=∠BOD. 【两直线相交,有两组对顶角、四组邻补角.】 6、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。

(1)如图1,点P 在直线m 外.直线l ⊥m 于点H ; (2)如图2,点P 在直线m 上.直线l ⊥m 于点P.7、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。

如图,点P 在直线m 外,点H 在直线m 上且PH ⊥m , 点Q 是直线m 上异于点H 的任意一点,则PH <PQ. [后继推导:直角三角形中,斜边大于直角边.] 8、经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

如图,点P 在直线m 外,直线n 经过点P 且n ∥m . [后继应用:反证法证明平行线的判定方法.] 9、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行。

【可简述为“平行于同一条直线的两直线平行”】 符号表述:∵a ∥b ,c ∥b ,∴a ∥c . 10、垂直于同一条直线的两直线平行。

符号表述:∵a ⊥b ,c ⊥b ,∴a ∥c . 11、“三线八角”(1)平行线的判定:①公理:两直线被第三条直线所截而成的同位角相等,两直线平行。

符号表述:∵∠1=∠2, ∴a ∥b. ②定理1:内错角相等,两直线平行。

符号表述:∵∠3=∠2, ∴a ∥b. 推导:∵∠3=∠2(已知),∠3=∠1(对顶角相等), ∴∠1=∠2(等式性质), ∴a ∥b (判定公理). ③定理2:同旁内角互补,两直线平行。

符号表述:∵∠2+∠3 =180º,∴a ∥b.α β γ θ ••1 2 4 3O A B C DP •l m H l •P m A B m P •Q H n m P • b a c b a c a b 1 2 3 a b 1 2推导:∵∠2+∠3 =180º,(已知) ∠1+∠3 =180º,(邻补角定义) ∴∠1=∠2, (同角的补角相等) ∴a ∥b. (平行线的判定公理) (2)平行线的性质:①公理:两直线平行,同位角相等。

符号表述:∵a ∥b , ∴∠1=∠2. ②定理1:两直线平行,内错角相等。

符号表述:∵a ∥b , ∴∠2=∠3. 推导:∵a ∥b , (已知) ∴∠1=∠2. (两直线平行,同位角相等) ∵∠1=∠3, (对顶角相等)∴∠2=∠3. (等式性质)③定理2:两直线平行,同旁内角互补。

符号表述:∵a ∥b , ∴∠2+∠4=180º. 推导:∵a ∥b , (已知) ∴∠1=∠2. (两直线平行,同位角相等)∵∠1+∠4=180º, (邻补角定义)∴∠2+∠4=180º. (等量代换)12、三角形三边关系定理:三角形两边的和大于第三边。

符号表述:∵a 、b 、c 为△ABC 的三边, ∴a + b >c (或a + c >b 或 b + c >a )推论:三角形两边的差小于第三边。

符号表述:∵a 、b 、c 为△ABC 的三边,∴ c -b <a (或b -c <a 或a -c <b ) 13、三角形内角和定理及推论: (1) 三角形三个内角的和等于180º。

符号表述:如图,△ABC 中,∠A+∠B+∠C =180º.推导:如图,过点A 作EF ∥BC.则∠EAB=∠B ,∠FAC=∠C. (两直线平行,内错角相等)∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180º, (平角定义)∴∠B+∠BAC+∠C=180º. (等量代换)变式:△ABC 中,∠A=180º-∠B -∠C .或∠A+∠B=180º-∠C . (2)直角三角形的两个锐角互余。

符号表述:∵△ABC 中,∠A =90º, ∴∠B+∠C=90º.推导:∵△ABC 中∠A+∠B+∠C =180º,又∵∠A=90º, ∴∠B+∠C =180º-∠A=90º. (3)三角形三个外角的和等于360º。

符号表述:△ABC 中,∠1+∠2+∠3 =360º. 推导:∵△ABC 中∠BAC+∠ABC+∠BCA=180º, 又∵∠1+∠BAC=180º,∠2+∠ABC=180º,∠3+∠ACB=180º,∴∠1+∠2+∠3 =540º-180º=360º.(4)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

符号表述:∵∠α是△ABC 中∠BAC 的外角, ∴∠α=∠B +∠C.推导:∵△ABC 中∠BAC+∠B+∠C =180º,又∵∠α +∠BAC=180º,∴∠α=∠B+∠C.3 a b 1 2 3 a b 1 24 a b 1 2 a b 1 2 A B a C c b A B C E FA B C 1B AC 23 A B C α(5)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

符号表述:∵∠α是△ABC 中∠BAC 的外角, ∴∠α>∠B.推导:∵∠α是△ABC 中∠BAC 的外角,∴∠α=∠B +∠C , ∴∠α>∠B(或∠α>∠C).14、多边形 (1)四边形的内角和、外角和都等于360°。

推导:如图,连接AC.∵△ABC 中∠BAC+∠B+∠ACB=180º,△ADC 中∠DAC+∠D+∠ACD=180º,∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠D+∠ACD=360º, 即四边形ABCD 中∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360º.【或将四边形某边上一点与不在该边上的顶点连接,将四边形分为三个三角形,再用三角形内角和定理求得;或在四边形的内部任找一点,与各顶点连接,将四边形分为四个三角形,再用三角形内角和定理求得.所有多边形的内角和均可用上述方法求。

】 推导:∵∠BAD+∠1=180º,∠ADC+∠2=180º,∠BCD+∠3=180º,∠ABC+∠4=180º, ∴∠BAD+∠1+∠ADC+∠2+∠BCD+∠3+∠ABC+∠4=720º.∵四边形ABCD 中∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360º. ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360º.即四边形的外角和等于360°. (2)n 边形的内角和等于(n -2)×180°,外角和等于360°。

推导:将n 边形的任一顶点与不相邻的(n -3)个顶点连接,得到(n -2)个三角形,则由三角形内角和定理可得n 边形的内角和等于(n -2)×180°.n 边形的任意顶点的一个外角与相邻的内角和为180°,则一共n·180°,再减去内角和(n -2)×180°,可得n 边形的外角和等于360°.15、轴对称和中心对称(1)轴对称①关于某条直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

如图:若△ABC 和△DEF 关于直线MN 对称,则MN 垂直AD (或BE 或CF)且平分AD(或BE 或CF)。

③如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分, 那么这两个图形关于这条直线对称。

④两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或其延长线相交,那么交点在对称轴上。

(2)中心对称①关于某点成中心对称的两个图形是全等形。

②成中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分。

如图: ∵△ABC 和△DEF 关于 点O 对称,∴AD 、BE 、CF 相交于点O 且AO=DO ,BO=EO ,CO=FO 。

③如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。

16、全等三角形:通过平移、旋转、翻折等位移变换 能够互相重合的两个三角形叫全等三角形。

(1)性质:①全等三角形的对应边、对应角相等。

符号表述:∵△ABC ≌△DEF ,∴AB=DE ,AC=DF ,BC=EF ;∠A=∠D ,∠B=∠E ,∠C=∠F.A Cα A B C D E F B A CD 1 2 3 B A C D 4A B E D C F M NA B C DE F O •②全等三角形的周长相等、面积相等。

符号表述:∵△ABC ≌△DEF , ∴l △ABC =l △DEF ,S △ABC =S △DEF .(2)判定:①有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(S.A.S.)。

符号表述:在△ABC 和△DEF 中∵AB=DE ,∠A =∠D ,AC=DF ,∴△ABC ≌△DEF. ②有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等( A.S.A.) 。

符号表述:在△ABC 和△DEF 中∵∠A =∠D ,AB=DE ,∠B =∠E , ∴△ABC ≌△DEF. ③有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(A.A.S)。

符号表述:在△ABC 和△DEF 中∵∠A =∠D ,∠B =∠E ,BC=EF ,∴△ABC ≌△DEF. ④三条边对应相等的两个三角形全等(S.S.S.)。

符号表述:在△ABC 和△DEF 中∵AB =DE ,BC =EF ,AC=DF ,∴△ABC ≌△DEF. ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(H.L.)。

符号表述:在Rt △ABC 和Rt △DEF 中∵AB =DE ,AC=DF , ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF. 17、角平分线和线段垂直平分线 (1)角平分线①性质:在一个角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。

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