巧用柯西不等式解决数学竞赛试题的探究
竞赛数学中柯西不等式的解法
Ｉ ｌ （ ＋ ＋…十 ＋ ） （ ｘ ２
ｘ２
＋
蔓＋ ＋
…
＋立 ２ ）
Ｘ
ｘ３
ｘｎ
∑
、
解决竞赛数学中的不等式问题的过程 中，常常要用到柯 西 不等式． 本 文就将探讨柯西 不等式 的证 明和它们 的一
些应 用 ．
≥（ ．
＋ Ｘ ２
．
ｋ ห้องสมุดไป่ตู้ｌ
３
，
同 舸 证 ， 嘉 ５ ≥ ３
嘉 ３ 嘶
ｒ ●●● ●●● ● 、● ●●● ●●【
由
如
由（ ３ － ２ ） 可 知 ＞ ∑ ， 从 而
＜
以上 ｉ式相加 ， （ ３ － １ ） 式得证 ，进而证得
柯
西
果
＞
志十 ＋ 南 雌萼，
《
．
２
≥ 葺 ＋ ２＋… ＋ 一
例 ２已知实数 ａ ， ｂ ， ｃ ， ｄ ，ｅ 满足 ａ ＋ｂ＋Ｃ十ｄ＋ｅ＝８ ， 口 ＋ｂ ＋Ｃ ＋ｄ ＋ｅ ＝１ ６， 求ｅ
的取 值 范 同．
时 ，等 式 成 立 ．
证明 ：作关于 Ｘ 的二次 函数
思路分析 ：由ａ ＋ｂ ＋ｃ ＋ｄ ＋ｅ 联想到应用柯西不
∑
《
一
评述 ： 柯西不
《 何拆成两个因
∑
ａ ｉ 和 的积 ， 可以说是应用此不等式的主要技巧∑ （ 上
、，
＞ （ １ ） ： 《， 则 取 ： ＇ ｋ ＿ 。 ’ １ ＇ ２ ， ． ． ． ’ ｎ ， 显 然（ ３ － ２ ） Ｏ
＋． ． ． ＋ ｘ
．
＋ ． 下 Ｘ ｎ） ＜～ ０ ｘ ｎ ４ ｘ ，
数学竞赛中的不等式研究方
二、柯西不等式及其推广的应用(1) 柯西不等式(Cauchy )的应用柯西不等式：设,(1,2,)i i a b R i n ∈= ，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==例6设x 、y 、z 是非负数，且3222=++z y x ，求证：3222≤++++++++yx z z xz y y zy x x解：222222)(3)(z y x z y x z y x z y x ++≤++⇒++≤++ 由柯西不等式可得：z y x z y z y x ++≥++++)1)((2 故有：zy x z y x zy x x ++++≤++12，同理zy x y x z yx z z zy x x z y xz y y ++++≤++++++≤++1122，故zy x yx z x z y z y x yx z z xz y y zy x x ++++++++++≤++++++++111222再用柯西不等式得：[]322222)()222)(()(2)()()111(z y x z y x zx yz xy z y x z y x zx yz xy z y x zy zx z z xy yz y y xz xy x x y x z x z y z y x ++=+++++++≤+++++++≤++⋅+++⋅+++⋅≤++++++++即：z y x zy x z y x zy x yx z x z y z y x ++=++++≤++++++++++23)(1113222=++≤z y x故3222≤++++++++yx z z xz y y zy x x当且仅当1===z y x 时，不等式等号成立评注：对于分式不等式，若不等号方向为大于等于时，常用柯西不等式处理。
例谈柯西不等式的变式在竞赛中的应用
(«2+c2)2-4c2%q ' X°+ xb~xc
[(/ + c2)2 - 4c2Xq + b4”。
o
2(a2 + c2)(%q - a2)
沪储-/)% (/ a2 +, c2V)(%20 - a2)?-从血
_yB-yc_ _
+ c) -
XB ~XC
- c)
如X
i c(2x°m)]_ _____S__o__沪______ pb
切+陀二一―
+ 2+ 2
"
a +c + 2cx0
a +c - 2cx0
8a2c2x0 - 2(a2 + c2)x0
2b4x0
\/ a2 +- c2x)2 -4ac2x20
/(a2 +- c2)\2 - 4ac2%20 '
2b4.
M
加0 _ (XB + XC)=加0 + / 2 丄 2\2 a 2 2
例3 (2008年罗马尼亚数学奥赛试题)
设a,b,c>O,abc = &求证：竺三+生冷+ a+1 o+l
唁W0. c+ 1
解析:注意到
o 3 - 3(召 +占 a + JL o + l
+£)W0o斗+占+三严I.作齐次
c+1
a+1 o + l c + 1
分式代换a =互,b =红,c =互,则-4t +
62%2 + a2y2-a262 = 0
几气/ +b2c2 -4c2a = 0 .由 xA.xc =
浅谈柯西不等式在高中数学证明中的巧用
证明 ： 由 柯西 不 等 式 得 （ ａ 、 ／
一
浅谈柯 西不等式在 高中数 学证 明 中的巧 用
何 玉 霞
（ 甘肃省 民勤县第四中学 甘肃 民勤 ７ ３ ３ ３ ９ ９ ） 【 摘要】 柯西不等式是 高中数学新课程标 准下的新增 内容 ， 随着课改的不断深入 ， 柯 西不等式 已经成为我们分析和解决问题不可
缺少岛重要工具。利用柯西不等式证明不等式是新课标下高考中出现的一个基本题型， 这种题 目 能充分考查一个学生分析问 题和解
教学 ・ 信 息
课 程教育研究
Ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
２ ０ １ ５ 年９ 月 中旬 刊
题的关键是 要抓住事关全局的相等关 系。许 多图形的求值 问题 。 可借助方程来解决．包括解直角三 角形和用相似三角形求边长。 这是方程思想意识运用的一种具体化表现
柯西不等式是 高中数 学中非常重要 的一个不等式 ．其形式 简洁。 应用广泛 。 并极具解题魅力。 近年来．无论是高考试卷还是数学竞赛题 目中都越来越 多 地 出现 了与柯 西不等式相关的题 目， 在解决这些题 目时， 常常需 要柯西不等式来架设条件与结论 间的桥梁。因此 ． 如果能灵活并 巧 妙地 应 用柯 西 不等 式 ． 往 往 可使 一 些难 题 迎 刃 而解 ， 甚 至 收到 出奇制胜、事半功倍的效果。在柯西不等式 中涉及到三个因式 ，
决问题的能力． 越来越受到 高考 出题人的喜欢， 在全国的数 学联赛 中也有适当应用。 【 关键词１ 高中数学 柯西不等式 证明
【 中图 分类号｜ Ｇ ６ ３ ３ ． ６
Hale Waihona Puke 【 文献标识码】 Ａ 【 文章￣ ］ ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ９ — ０ １ ３ ２ ～ ０ ２
利用带参数的柯西不等式证明竞赛题
利用带参数的柯西不等式证明竞赛题竞赛题：已知数列{an}是一个正数数列，且满足a1>1/2, a2>1/3, a3>1/4, ..., an>1/n 求极限limn→∞ an = ?柯西不等式是由美国数学家詹姆斯·柯西在1867年提出的不等式，即对于所有实数关系式：μ(x1,x2,···,xn)≤[x11+x22+···+xnn]1/n其中μ(x1,x2,···,xn)是非负的算术平均数，即x1+x2+···+xn/n。
在本题中，已知数列{an}是一个正数数列，且满足a1>1/2, a2>1/3, a3>1/4, ..., an>1/n，我们使用柯西不等式来证明极限limn→∞ an = ∞。
首先，我们根据已知条件可以构造一个数列：x1=1/2，x2=1/3，x3=1/4，…,xn=1/n, 由柯西不等式可知，μ(x1,x2,···,xn)≤[x11+x22+···+xnn]1/n。
根据已知情况，可以得到μ(x1,x2,···,xn) = 1/2+1/3+1/4+…+1/n = an, 同时[x11+x22+···+xnn]1/n = (1/22+1/32+1/42+…+1/n2)1/n = 1/n。
由此可见，an > 1/n，即a1 > 1/2, a2 > 1/3, a3 > 1/4, …,an > 1/n，由此，可以得出结论，limn→∞ an = ∞。
综上所述，我们利用柯西不等式证明了竞赛题，即对于已知数列{an}是一个正数数列，且满足a1>1/2, a2>1/3, a3>1/4, ..., an>1/n，极限limn→∞ an = ∞。
妙用-柯西不等式-巧解题
解： 函数的定义域为 「 ， 」， 且 （ ） （
【 点评 ］ 此题利用柯西不等式， 结合 件， 实现快速解答 例 已知 的三边长分别为 、 ）
这一条
、 ， 其外接圆的半
） （
）
径为 ， 求证： （ 证明： 由正弦定理得
， ， ，
当且仅当 当
时， 等号成立， 即
所以 于是 （ （ · ） ）
妙用“ 柯西不霎贰” 巧解题
（ 山东省沂水县第一中学 ）
初等数学是高等数学的基础， 高等数学是初等数学的发展 在中学数学教材和教学中适当地渗透一些高等数学的知识是必 要的 《 普通高中课程标准实验教科书·数学 （ 选修 ）》 即 《 不等式选讲 》 中的“ 柯西不等式” 作为联系初等数学与高等数 学的重要桥梁， 在中学数学中的应用比较广泛， 它是异于“ 均 值不等式” 的另一个重要不等式， 灵活巧妙地运用它， 可以使 一些比较困难的问题迎刃而解 一、 柯西 （ 二维形式 若 、 、 、 当且仅当 都是实数， 则（ 时， 等号成立 都是实数， 则 时， 等号成立 · ） · ） （ ） （ ）， ） 不等式的几种形式 使 若 若 （ 故 （ （ ， 则 ， 则有 （ （ （） 当 （ · 因为 （） 所以判别式 · ） · ） ， ， ·， ）不全为零时， 则 ） （ · · · ） ） （ ） ） （ （ · （ 恒成立， （ ， ） （ ） ， 以上不等式取等号， 即存在唯一实数 ， ， ， ·， ）， （ ， ， ·， ）， 原不等式成立， ， ， ， ·， ）或 （ ， ， · ）· · · （ · ） ， ）
个定点呢？ 联立得 的横坐标成等差数列） 没 得 因为 、 所以 则 因为 所以 代入 所以 ， 为直线 的方程 恒过定点 （， 的方程为 ， 是上述方程的两根， ， ， 即为 （ ， 上任意一点， ， ， 得 ） （ ）上的动点，
聚焦柯西不等式在竞赛中四大运用
— ７８ —
２
(
ｘ －５ ＋
２
２４ － ３ｘ ) ＝ (
１
３ｘ － １５ ＋ １ ２４ － ３ｘ ) ２
３
(
ｘ －５ ＋
≤(
１
＋ １) [ (３ｘ － １５) ＋ (２４ － ３ｘ) ] ＝ １２ꎬ
３
当且仅当 ３ ３ｘ － １５ ＝
２４ － ３ｘ 即 ｘ ＝
故答案选 Ｃ.
２３
取等号.
４
例 ７ ( 数学通讯问题 ３０６) 已知实数 ａꎬｂ > ０ꎬ求证:
≤(
１
１
＋ ) [ ( ａ２ － ３ｂ２ ) ｘ ＋ ２４ｂ２ － ５ａ２ ]
ａ２ ｂ２
＝(
１
ａ
２４ － ３ｘ )
ａ２ ｘ － ５ａ２ ＋
１
ｂ
２４ｂ２ － ３ｂ２ ｘ ) ２
⇒ａ２ － ３ｂ２ ＝ ０ꎬ令 ｂ ＝ １ꎬ则 ａ ＝ ３ .
于是ꎬ
作者简介:朱小扣 (１９８６ － ) ꎬ男ꎬ安徽省无为人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
≤ ( ｃｏｓ２ β ＋ ｓｉｎ２ β ) [ ( ｃｏｓα － １ )２ ＋ ｓｉｎ２ α ]
二、命题规律揭示
１. 柯西不等式的直接运用
评析 由柯西不等式可以直接求出上面这一类题的
例 １ (２０１８ 年河北初赛题) 已知实数 ｘꎬｙꎬｚ 满足 ｘ２
＋ ｙ２ ＋ ｚ２ ＝ ３ꎬｘ ＋ ２ｙ － ２ｚ ＝ ４ꎬ则 ｚ ｍａｘ ＋ ｚ ｍｉｎ ＝
聚焦柯西不等式在竞赛中四大运用
朱小扣１ 樊惟媛２
(１. 安徽省无为第三中学城北校区 ２３８３００ꎻ２. 上海市嘉定区第一中学 ２０１８０８)
由均值不等式与柯西不等式联袂巧证竞赛不等式
㊀㊀㊀由均值不等式与柯西不等式联袂巧证竞赛不等式◉甘肃省华池县第一中学㊀路李明均值不等式与柯西不等式是历年数学竞赛的热点内容,利用这两类不等式解题的关键是恰当创设应用公式的结构形式,通常需要转化㊁变形甚至构造,还需要很丰富的想象能力．对一些较为复杂的不等式问题,有时要把这两类不等式联袂方可达到事半功倍的效果!笔者通过近两年的几道数学期刊征解问题㊁国内外数学竞赛题的解析与各位读者共勉．例１㊀(«数学通讯»２０２０年第８期问题４６０)已知正实数a ,b ,c 满足a b c ＝１,求证:１＋a b ２c ２０２０＋１＋b c ２a ２０２０＋１＋c a ２b ２０２０ȡ１８３(a ４０４０＋b ４０４０＋c４０４０)．证明:由柯西不等式的变形公式,得１＋a b ２c ２０２０＋１＋b c ２a ２０２０＋１＋c a ２b ２０２０＝１c ２０２０＋１a ２０２０＋１b ２０２０æèçöø÷＋a b ２c ２０２０＋b c ２a ２０２０＋c a ２b ２０２０æèçöø÷ȡ(１＋１＋１)２c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＋(b a ＋cb ＋a b )２c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０ȡ９c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＋(３３a b c a b c )２c ２０２０＋a ２０２０＋b２０２０＝１８c ２０２０＋a ２０２０＋b ２０２０＝１８(c２０２０＋a２０２０＋b２０２０)２ȡ１８３(a ４０４０＋b ４０４０＋c ４０４０)．例２㊀(«数学通报»２０２０年第９期数学问题２５６２)设a ,b ,c ＞０,且满足a ＋b ＋c ＝３,证明:１－a b １＋a b＋１－b c １＋b c ＋１－c a１＋c aȡ０．证明:㊀１－a b １＋a b ＋１－b c １＋b c ＋１－c a１＋c a＝２－(１＋a b )１＋a b ＋２－(１＋b c )１＋b c ＋２－(１＋c a )１＋c a ＝２１＋a b ＋２１＋b c ＋２１＋c a－３ȡ㊀２(１＋１＋１)２３＋a b ＋b c ＋c a－３ȡ㊀１８３＋a ＋b ＋c －３＝０．例３㊀(«数学通讯»２０２０年第７期问题４５５)已知正实数a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝１,求证:a(a －１)(a －２)＋b(b －１)(b －２)＋c(c －１)(c －２)ȡ３１０１０．证明:显然a ,b ,c ɪ(０,１)．㊀a (a －１)(a －２)＝１０a１０(a －１)(a －２)＝１０a (５－５a )(４－２a )ȡ１０a(５－５a )＋(４－２a )２＝２１０a ９－７a ＝２１０a２a ＋９b ＋９c ．同理b (b －１)(b －２)ȡ２１０b９a ＋２b ＋９c ,c (c －１)(c －２)ȡ２１０c９a ＋９b ＋２c ．将上面三式相加,得a (a －１)(a －２)＋b (b －１)(b －２)＋c(c －１)(c －２)ȡ㊀２１０a ２a ＋９b ＋９c ＋２１０b ９a ＋２b ＋９c ＋２１０c ９a ＋９b ＋２c＝２１０a ２２a ２＋９a b ＋９a c ＋２１０b ２９a b ＋２b ２＋９b c ＋２１０c２９a c ＋９b c ＋２c２ȡ㊀２１０(a ＋b ＋c )２２(a ２＋b ２＋c ２)＋１８(a b ＋b c ＋c a )＝２１０２(a ＋b ＋c )２＋１４(a b ＋b c ＋c a )＝２１０２＋１４(a b ＋b c ＋c a )ȡ２１０２＋１４(a ＋b ＋c )３２７５２０２２年６月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀＝３１０１０．例４㊀(２０２０年摩尔多瓦数学奥林匹克竞赛试题)设a,b,c＞０,证明:a７a２＋b２＋c２＋ba２＋７b２＋c２＋ca２＋b２＋７c２ɤ１．证明:由柯西不等式,得(７a２＋b２＋c２)(７＋１＋１)ȡ(７a＋b＋c)２⇒a７a２＋b２＋c２ɤ３a７a＋b＋c＝３７１－b＋c７a＋b＋cæèçöø÷．同理,㊀ba２＋７b２＋c２ɤ３７１－a＋ca＋７b＋cæèçöø÷,ca２＋b２＋７c２ɤ３７１－a＋ba＋b＋７cæèçöø÷．于是,只需证明:b＋c７a＋b＋c＋a＋ca＋７b＋c＋a＋ba＋b＋７cȡ２３．由柯西不等式和均值不等式,得b＋c７a＋b＋c＋a＋ca＋７b＋c＋a＋ba＋b＋７c＝b７a＋b＋c＋ca＋７b＋c＋aa＋b＋７cæèçöø÷＋c７a＋b＋c＋aa＋７b＋c＋ba＋b＋７cæèçöø÷＝b２７a b＋b３＋b c＋c２a c＋７b c＋c２＋a２a２＋a b＋７a cæèçöø÷＋c２７a c＋b c＋c２＋a２a２＋７a b＋a c＋b２a b＋b２＋７b cæèçöø÷ȡ２(a＋b＋c)２８(a b＋b c＋c a)＋a２＋b２＋c２＝２(a＋b＋c)２６(a b＋b c＋c a)＋(a＋b＋c)２ȡ２(a＋b＋c)２６(a＋b＋c)２３＋(a＋b＋c)２＝２３．例５㊀(«数学通讯»２０２０年第２期问题４３８)已知正实数a,b,c,dɪ０,１２æèçùûúú,求证:１a２＋１b２＋１c２＋１d２ȡ６＋２０a＋b＋c＋d．证明:由条件可知aɪ０,１２æèçùûúú⇒a２ɤ１２aɤ１４．同理,b２ɤ１２bɤ１４,c２ɤ１２cɤ１４,d２ɤ１２dɤ１４．从而a２＋b２＋c２＋d２ɤ１２(a＋b＋c＋d)ɤ１４＋１４＋１４＋１４＝１⇒a＋b＋c＋dɤ２．由均值不等式和柯西不等式知道１a２＋１b２＋１c２＋１d２ȡ(１＋１＋１＋１)２a２＋b２＋c２＋d２ȡ１６１２(a＋b＋c＋d)＝３２a＋b＋c＋d＝１２a＋b＋c＋d＋２０a＋b＋c＋dȡ６＋２０a＋b＋c＋d．例６㊀(«数学通讯»２０２０年第６期问题４４９)已知正实数a,b,c,d满足a b c d＝１,求证:１a２－a＋４＋１b２－b＋４＋１c２－c＋４＋１d２－d＋４ɤ１．证明:由均值不等式得１a２－a＋４＝１a２＋１－a＋３ɤ１２a－a＋３＝１a＋３．同理,１b２－b＋４ɤ１b＋３,１c２－c＋４ɤ１c＋３,１d２－d＋４ɤ１d＋３．将上面的四个式子相加,得１a２－a＋４＋１b２－b＋４＋１c２－c＋４＋１d２－d＋４ɤ１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３．故只需要证明１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３ɤ１．而１a＋３＋１b＋３＋１c＋３＋１d＋３ɤ１⇔a a＋３＋b b＋３＋c c＋３＋d d＋３ȡ１．由柯西不等式和均值不等式,得aa＋３＋bb＋３＋cc＋３＋dd＋３ȡ㊀(a＋b＋c＋d)２a＋b＋c＋d＋１２ȡ㊀a＋b＋c＋d＋２ˑ６６(a b c d)３a＋b＋c＋d＋１２＝１．在不等式的大家庭中,均值不等式和柯西不等式是高中数学中基本而又重要的不等式,对求解一些不等式问题起到举足轻重的作用,直接用简洁明快 ,联袂用更是 威力无穷 ,让人深深感受到数学的无穷奥妙和神奇魅力!F８５复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年６月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
利用柯西不等式解数学竞赛题举例
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DOI : 10. 13698 /j . cnki . cn36 1037 /c . 1987. s3. 011
维重厄范 尝院兰宜 旦二 皇丝毯 堂立 )
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年增 刊
利 用 柯 西 不 等 式 解数 学竞 赛题 举 例
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( 合 肥 工 业 大 学 数 学 力学 系 )
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盆. = 义盆 =
柯西不等式应用举例
柯西不等式应用举例
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲柯西不等式的应用举例，这可真的是超有意思的哦！
你想想看，就好比我们要建一座房子，柯西不等式就是那坚固的框架，让一切都能稳稳当当的。
比如说在数学竞赛中，有个题目是要找出两个数的最大乘积。
这时候，柯西不等式就闪亮登场啦！好比你有两个向量，一个是(3, 4)，另一个是(1, 2)，那用柯西不等式一算，就能找到它们乘积的一个范围，是不是很神奇？
再比如在实际生活中，我们安排任务。
假设有两个人，A 做事特别快但质量一般，B 做事慢但质量超高。
那怎么分配任务才能让效果最好呢？这时候柯西不等式就像个聪明的军师，能帮我们找到最佳方案。
“哎呀，要是没有柯西不等式，那可咋办呀！”
还有啊，我们在解决一些优化问题的时候。
比如说要把一些物品装到箱子里，怎样装才能最节省空间呢？哈哈，柯西不等式又来大显身手啦！
柯西不等式就像一把万能钥匙，能打开好多难题的大门呢！它能让复杂的问题变得简单易懂，让我们在数学的海洋里畅游无阻！
总之，柯西不等式的应用真是无处不在，从小小的数学题到大大的实际问题，它都能发挥巨大的作用。
它就像是我们的秘密武器，只要我们懂得运用它，就能解决好多看似无解的难题。
所以啊，朋友们，一定要好好掌握柯西不等式，让它为我们的学习和生活增添更多的精彩！你们说是不是呀！。
柯西不等式在数学竞赛解题中的应用
解 由柯西不等式，
得 ｆ ＝
＝
＋
＋ １
（ ＋ （ ＋ ｃ 一 ｘ ｙ ２ ｙ） ６＋ ２＋ ｘ 口 ）
— — — —
（ ＋×－ ］ ，３１ 厕 １￣ｘ × ／十
（ ＋（７ — ２ 圭＋ ３ ＋ ］２９ ＋ 十３ ）
＿ 二
３，
２ ＋２ ＋１ 一ｒ １
，
即ａ （ 一】［ ＋。． ｅ １ １ ｏ Ｕ ， ）
例 ３ （０９年 全 国高 中数学 联赛 江苏 赛 区初赛 ２０
即
：Ｃ ＳＸ 了 － Ｏ＂
，
结合 ｓ ２ ｃｓ ：１ ｉ ＋ ｏ ｎ ２ ，
试题） 若不等 ｘ ４ ｋ￣ 对于 式Ｕ ＋７ ｘ ． ４ ２ 任意正实 数
＋ ＋ ＋
ａ
＝１ ２１，
即 Ｙ １ ，等号 成立 当且仅 当 １
、 一 、 ’
４＋ｆ 一６ ｚ． １
解得 Ｘ＝ ９，故 当 Ｘ＝９ ，Ｙ ＝１ ． 时 １
另一 方面 ，’０ Ｘ ３， ． ≤１ ‘
＿
ｂ
Ｃ
பைடு நூலகம்
ｄ
证 ． ＋ ＋ 一 （ｂ ＋ 明． ＋ 一＋ 。 ） ． 车 ｄ ＋ ２
，
当 且仅 当 。 ： 一 ：Ｓ时 ： 一 一
，
， ｚ
：
．
√－ √ （鲁 ：＝ ＋ ＋ ＝） 一 （ ） ： ｒ 一 ：
，
上式等 号成 立 ，即证 ．
参 考文 献
［］ 苍洲 ．应 用 Ｊｎｅ １ 杨 ｅｓｎ不等 式简 证和推 广 几个 自主招 生试 题 ．中学教 研 （ 数学 ） ０ ｌ（ ） ２４ ，２ １ ７ ：４ ．３
・
故不 等式恒 成立 ． ． ∈ ， 。 ． ． ［ ． ＋ｏ ） ３ 求最 值
用柯西不等式解几道2023年不等式竞赛题
用柯西不等式解几道2023年不等式竞赛题OP =a ，sin ∠POF 1=sin ∠POF 2=2c,tan ∠PF 1O=tan ∠POF 2=2a .因为∠POF 2=∠OPF 1+∠PF 1O ，所以有tan ∠POF 2=tan(∠OPF 1+∠PF 1O )，即2a=tan ∠OPF 1412∠OPF 1，化简得tan ∠OPF 1=2.从而有sin ∠OPF 1=2cos ∠OPF 1∠F 1PF 2=sin ()∠OPF 1+90°=cos ∠OPF 1=2在△OPF 1中使用正弦定理，有PF 1sin ∠POF 1=OF 1sin ∠OPF 1，得PF 1.对F 1,O ,F 2应用张角定理，有sin 1PF 2OP =∠OPF 1PF 2+sin ∠OPF 2PF 1，即+.消去c ，并解方程得a =2.所以，双曲线的方程为x 22-y 24=1.正确答案为D.张角定理为我们提供了一种求解含有图1所示模型的平面几何问题的思路.当然，在利用张角定理解决问题时，往往还需适当地将其与正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等结论相结合.参考文献［1］沈文选,张垚,冷岗松.奥林匹克数学中的几何问题［M ］.长沙:湖南师范大学出版社,2014.（山西省太原市第三实验中学校董立伟030031）柯西不等式是指：设正实数a 1,a 2,⋯,a n ,b 1,b 2,⋯,b n ,则(a 21+a 22+⋯+a 2n )(b 21+b 22+⋯+b 2n ) (a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )2,当且仅当a 1b 1=a 2b 2=⋯=a n b n 时等号成立.其中的一个变形：设a 1,a 2,⋯,a n ,b 1,b 2,⋯,b n 为正实数，则有a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2n b n (a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n,是权方和不等式的一个特例.本文用柯西不等式及其变式权方和不等式，给出几道2023年竞赛不等式试题的证明.例1（2023江西预赛）若锐角A ,B ,C 满足sin 2A +sin 2B +sin 2C =2，则1sin 2A cos 4B+1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A的最小值是.解：由柯西不等式及权方和不等式，有1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A =12æèçöø÷1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A ·(sin 2A +sin 2B +sin 2C ) 12(1cos 2B +1cos 2C +)1cos 2A =12æèçöø÷12cos 2B +12cos 2C +12cos 2A 212⋅éëêêùûúú()1+1+12cos 2A +cos 2B +cos 2C 2=12⋅æèöø912=812.所以1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A 的最小值是812.例2（2023北京大学优秀大学生寒假学堂数学试题）设x ,y ∈æèöø0,π2，则1cos 2x+1sin 2x sin 2y cos 2y的最小值为（）.··48A.8B.10C.9D.其他三个答案都不对解：由权方和不等式，有1cos 2x+1sin 2x sin 2y cos 2y =1cos 2x +4sin 2x sin 22y1cos 2x +4sin 2x ()1+22cos 2x +sin 2x=9，故选B.例3（2023南京大学强基计划第4题）已知sin 4αsin 2β+cos 4αcos 2β=1，则sin 4βsin 2α+cos 4βcos 2α=.解：由权方和不等式，有1=sin 4αsin 2β+cos 4αcos 2β=(sin 2α)2sin 2β+(cos 2α)2cos 2β (sin 2α+cos 2α)2sin 2β+cos 2β=1，由等号成立的条件知sin 2αsin 2β=cos 2αcos 2β=sin 2α+cos 2αsin 2β+cos 2β=1,所以sin 2α=sin 2β，所以sin 4βsin 2α+cos 4βcos 2α=()sin 2α2sin 2α+()cos 2α2cos 2α=sin 2α+cos 2α=1.例4（2023广东东莞数学竞赛试题）已知正数a ,b ,c ,d 满足a +b +c +d =1，求++的最小值.解：当a =b =c =d =14+++=3，下证+ 3.证明：由柯西不等式，有a+，于是有++ 13æèça ++b++c ++d +13æèç1+ 13æèç1+=3.例5（2023福建数学竞赛预赛试题）若不等式 对所有正实数a ,b 都成立，求λ的最大值.解：当a =b 时，有λ20a +23b，下证.证明：由权方和不等式，有120a +23b +123a +20b =13220a +23b +13223a +20b ()1+13220a +23b +23a +20b =43()a +b a +b故λ最大值为例6（2023中美洲和加勒比海数学奥林匹克）已知a ,b ,c 为正实数，满足ab +bc +ca =1，求证：a 3a 2+3b 2+3ab +2bc+b 3b 2+3c 2+3bc +2ca +c 3c 2+3a 2+3ca +2ab>16()a 2+b 2+c 2.证明：由平均值不等式，有a 2+b 2+c 213(a +b +c )2,a 2+b 2+c 2 ab +bc +ca ，所以(a 2+b 2+c 2)3 19(a +b +c )4(ab +bc +ca )=19(a +b +c )3(a +b +c ) 19(a +b +c )3⋅3()ab +bc +ca ,由权方和不等式的变式，有··49a 3a 2+3b 2+3ab +2bc +b 3b 2+3c 2+3bc +2ca+c 3c 2+3a 2+3ca +2ab =a 4a 3+3ab 2+3a 2b +2abc+b 4b 3+3bc 2+3b 2c +2abc +c 4c 3+3a 2c +3c 2a +2abc(a 2+b 2+c 2)2a 3+b 3+c 3+3(ab 2+a 2b +bc 2+b 2c +a 2c +c 2a )+6abc=(a 2+b 2+c 2)2(a +b +c )3=(a 2+b 2+c 2)3(a +b +c )3(a 2+b 2+c 2)>16(a 2+b 2+c 2).（安徽省南陵县城东实验学校邹守文241300）问题：（2023年高考数学全国甲卷理科第16题）在 ABC 中，∠BAC =60°,AB =2,BC =6，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD =.[1]解析1（面积法）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由S ABC =S ABD +S ACD 可得12×2×b×sin 60°=12×2×AD ×sin 30°+12×AD ×b ×sin 30°，解得AD =b 2=23(1+3)3+3=2，故答案为2．点评：面积法比较适合本题，它很好地将已知与所求紧密联系起来，只不过用面积法之前必须用余弦定理求出AC 的长度.解析2（正余弦定理）：由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由正弦定理可得=b sin B =2sin C ，解得sinB =sin C =，因为1+3>6>2，所以C =45°，B =180°-60°-45°=75°，又∠BAD =30°，所以∠ADB =75°，即AD =AB =2，故答案为2．点评：很多学生会像上面这样做，但若利用正弦定理BC sin ∠BAC =AB sin C，得C =45°,不用求b ，只需利用内角和定理求出所有的角，同样可以求出AD 的长度，这样做会更快.解析3（张角定理）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由张角定理得sin ∠BAD AC +sin ∠CAD AB =sin ∠BAC AD,即AD =2，故答案为2．点评：张角定理是数学竞赛常用的一个几何定理，若用在这里事半功倍.如图2所示，在ABC 中，点D 为边BC 上任意一点，设∠BAD=α,∠CAD =β,则sin αAC +sin βAB =sin(α+β)AD.解析4（角平分线定理）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由角平分线定理得AB AC=BD DC,即探究一道解三角形小题的多种解法AB DC 230°30°6图1CA B D αβ图2··50。
绍兴二模柯西不等式解析
绍兴二模柯西不等式解析
摘要：
一、柯西不等式的基本概念
二、柯西不等式的证明方法
三、柯西不等式的应用领域
四、柯西不等式在绍兴二模中的应用
正文：
柯西不等式是一种在数学领域中广泛应用的不等式，由法国数学家柯西在1821 年提出。
柯西不等式在数学分析、概率论、线性代数等领域都有着重要的应用。
柯西不等式的基本概念非常简单，它表达的是对于任意的实数a1, a2, ..., an 和b1, b2, ..., bn，都有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2
+ ...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。
如果a1, a2, ..., an 和b1, b2, ..., bn 中至少有一个为0，那么等号成立。
柯西不等式的证明方法有很多，其中最常见的是柯西- 施瓦茨（Cauchy-Schwarz）证明法。
这种证明方法利用了代数的技巧，将不等式左边的平方差展开，然后利用平方的性质将不等式证明出来。
柯西不等式的应用领域非常广泛，它不仅可以用在数学分析中的调和分析，还可以用在概率论中的方差和协方差，以及在线性代数中的矩阵范数和向量范数。
在绍兴二模中，柯西不等式被应用在解析几何的问题中，用来求解柯西不
等式可以帮助我们更好地理解几何图形的性质，并且可以用来求解一些复杂的几何问题。
灵活运用柯西不等式,快速求解最值问题
们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们们探索探索与与研研究究考查角度三:有关类比推理的应用类比推理作为一种重要的推理方式，在寻求解题思路的过程中具有极为重要的作用.运用类比推理解题时，要先仔细分析题目中所给出的条件、结论，找出两类事物之间的相似性或一致性，进一步探索或提炼出有用的信息，然后用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题或结论.例3.斐波纳契数列又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，….在数学上，斐波纳契数列{}a n 定义为：a 1=1,a 2=1，a n +2=a n +a n +1.根据a n +2=a n +a n +1可得a n =a n +2-a n +1，所以a 1+a 2+⋯+a n =(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+⋯+(a n +2-a n +1)=a n +2-a 2=a n +2-1.类比该方法，对于斐波纳契数列{}a n ，a 21+a 22+⋯+a 210=().A.714B.1870C.4895D.4896解：根据题意可知数列{}a n 满足a n +2=a n +a n +1，即a n +1=a n +2-a n ，在该式的两边同乘以a n +1，可得a 2n +1=a n +2a n +1-a n +1a n ，则a 21+a 22+⋯+a 210=a 21+(a 2a 3-a 2a 1)+(a 3a 4-a 2a 3)+⋯+(a 10a 11-a 9a 10)=1-a 2a 1+a 10a 11=1-1+55×89=4895.故选C 项.求解本题，要先明确求斐波纳契数列{}a n 和的方法为裂项相消法，再进行类比推理.将各项的平方转化为差的形式，这样便于灵活运用裂项相消法，达到解题的目的.此外，由于本题的求解目标是求a 21+a 22+⋯+a 210，而斐波纳契数列{}a n 的前10项在题设中已经给出，且该数列的前10项的值均较小，故完全可以用代值的方法进行求解。
妙用柯西不等式的变形解题
例 2 已知a,b,c 是 互 不 相 等 的 正 数,
求 证 :a2 +b+b2 +c+c+ 2a>a+b 9+c。 证明:a,b,c 是 正 数,由 柯 西 不 等 式 的 变
形形式得:
2
2
2
22
a+b + b+c + c+a = 2(a+b) +
22
2(b+c)
+
22
2(c+a)
≥
(2+2+2)2
36
2(a+b)+2(b+c)+2(c+a)=4(a+b+c)
=a+b 9+c。
所 以a2 +b+b2 +c+c+ 2a ≥a+b 9+c,当
且仅 当2(a2+b)=2(b2+c)=2(c2+a)时,即 a=b=c 时,取得等号。
又因为a,b,c 是互 不 相 等 的 正 数,所 以
a2 +b+b2 +c+c+ 2a>a+b 9+c。
式得:
1 x1
1 +x2
+
…
1 +xn
12 =x1
12 +x2
+
…
12 +xn
≥
(1+1+ … +1)2 x1+x2+ … +xn
=n2
。
因
此
巧用柯西不等式的力量
巧用柯西不等式的力量摘要:不等式的证明作为竞赛题的一种常见类型,在国内外数学竞赛中屡见不鲜, 柯西不等式在数学竞赛中有非常广泛的应用,巧用柯西不等式能起到化腐朽为神奇的功效,使人产生对数学的强烈的研究兴趣.关键词: 柯西不等式数学竞赛中图分类号： G644.5 文献标识码： A 文章编号： 1671-8437（2009)1-0004-01例1：（第36届IMO）设α，b，c∈R+且αbc=1,求证■+■+■≥■.证明：令■=x，■y，■=z，则xyz=1.则原不等式＜＝＞■+■+■≥■.由柯西不等式,得■+■+■≥■=■≥■=■.于是原不等式成立,当且仅当α=b=c=1时等号成立.例2：（1990年日本IMO选拔赛题）已知α，b，c∈R+，且α+b+c=1，求证：■+■+■≥36.证明：■+■+■=[（■）■+（■）■+（■）■][（■）■+（■■）■+（■）■] ,由由柯西不等式,得■+■+■≥（■·■+■·■+■·■）■=36,于是原不等式成立,且仅当■=■=■时等号成立.例3：（1997年“希望杯”全国数学邀请赛高二年级一试试题）已知α，b，c∈R+，且α+b+c=1，求证：■+■+■≤3■证明：■+■+■=■·1+■·1+■·1≤■=3■,于是原不等式成立,当且仅当α=b=c=■时等号成立.例4：（1984年列宁格勒数学竞赛试题）设α，b，c∈R+，且α+b+c=1,求证α■b+b■c+c■α≥αbc.证明：原不等式变形为■+■+■≥1由柯西不等式得■+■+■≥■=1,于是原不等式成立,且仅当α=b=c=■时等号成立.由以上四例可知:证明一些不等式,要学会充分利用柯西不等式,这样会使你如虎添翼,产生无穷乐趣.作者简介: 谭宁波(1986-), 男, 内江师范学院数学与信息科学学院2006级2班。
一步到位一招制胜——巧用柯西不等式破解数学竞赛题
一步到位一招制胜——巧用柯西不等式破解数学竞赛题
林维铭
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2011(000)003
【摘要】《数学通讯》2010年第10期（下半月）文【1】介绍了巧妙构造二次函数破解数学竞赛题，读后颇受启发，但美中不足的是此方法技巧性强，过程较繁．其实，若能利用柯西不等式来解决这一类数学竞赛题，则可以一步到位，一招制胜，快速破解，从而使问题化难为易、化繁为简．文【1】中的12道竞赛题都可以利用柯西不等式来快速破解，下面一一列举（原例题顺序有所调整），并把问题归结为四种类型：
【总页数】3页(P44-46)
【作者】林维铭
【作者单位】福建省莆田市城厢区教师进修学校,351100
【正文语种】中文
【相关文献】
1.巧用柯西不等式的变式解竞赛题 [J], 李歆
2.利用柯西不等式解数学竞赛题举例 [J], 苏化明;
3.三角换元破解数学竞赛题 [J], 查正开
4.巧用柯西不等式解决数学竞赛试题的探究 [J], 刘小树
5.数学解题追求简单勿忘简捷——从柯西不等式变式简解竞赛题谈起 [J], 洪恩锋;李洋
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浅析中学数学中柯西不等式的应用
浅析中学数学中柯西不等式的应用刘小菲引言：柯西不等式在中学数学中的广泛的应用，它在中学数学特别是中学数学奥林匹克竞赛有着不容忽视的作用。
它在20届的IMO ，26届的IMO 以及1987年CMO 集训队试题等数学竞赛题中都有直接或者间接利用到。
作为一个基础不等式，它在高等数学中也起到重要的作用，在数学分析、概率论和泛函分析中都有所涉及，并且对证明其它不等式都有很大的作用。
本文先从三个不同的方法出发给出了柯西不等式的证明，并结合近年来中学数学，包括中学数学竞赛中的实例，采用从易到难的方法讨论了柯西不等式在证明不等式、求函数极值，解几何问题等方面的应用，并且描述了柯西不等式的几何意义，以及柯西不等式的推广形式。
1. 柯西不等式的证明柯西不等式的内容是：定理：设,i i a b R ∈（i=1,2……n ），则222111n nn i i i i i i i a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑（1-1） 当且仅当1212......n nb b b a a a ===时，不等式等号成立。
对于这个定理有如下证法。
证1：作关于x 的二次函数222111()2n n ni i i i i i i f x a x a b x b ===⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑若210ni i a ==∑，即12......0n a a a ====，显然不等式成立。
若210ni i a =≠∑，则有2221122()()()......()0n n f x a x b a x b a x b =-+-++-≥且210nii a =>∑，所以222111[2()]4()()0n n ni i ii i i i a b a b ===-⋅≤∑∑∑故 222111()()()n n niii i i i i a b a b ===⋅≥∑∑∑从上面的证明过程看出，当且仅当1212n nb b b a a a ==⋅⋅⋅=时，不等式取等号。
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2018年9月解法探究
巧用柯西不等式解决数学竞赛试题的探究
⑩安徽省固镇县第一中学刘小树
柯西不等式不仅形式优美，结构整齐，而且有重要 的应用价值，特别在国际以及国内中学数学奥林匹克竞 赛中有着非常广泛的运用.本文主要从巧用柯西不等式 的结构灵活变化人手，例解分析最近几年数学联赛奥赛 试题.柯西不等式是指下面定理r
定理：若"#，〇2,…，a…，$i，$2,…，$#两组实数，则有
当且仅当…约定"%&〇时$%&〇)，等号成
$1$2
立.
良，'&0，+&#&，，①式等号成立！
评注:系数分离添加器是柯西不等式的一个很好的 应用方向，需要注意的是待定的系数必须使得等号能够 成立.
三、常数巧拆
例3 (2013年第十二届女子数学奥林匹克试题）已知正实数a+，〇2,…，"#，证明:存在正实数(1，(2,…，(#，满足
!(%&1且对任一满足!'%&1的正实数'+，'!，…，'#均有 %&1
一、代数式拆项配凑为定值
例1(2016年高中联赛河北预赛)求函数尸^2^* '2(2-(4的最大值.
51
%
(%*'%2
证明:将证明结论转化为2!i% !"%，为了将
%&1(%*'%%&1
解析：将原函数变为'&V(2a_(2)*v(2_(2)(2，易 得0((2( 1.由柯西不等式得U2+(2_(2)]•[(1_(2)+(2]% [V(2C1_(2) * V C2_(2)(2 ]2，即0('2(2,所以0('(
V T，当且仅当^，即(2&三，上式等号成立.即
1_(2(23
可得函数的最大值.
评注：题中将式子拆成'& V(2C1_(2)* V C2_(2)(2，为对应和定值服务，起到事半功倍的效果.这种方法在 解决数学联赛方向问题较为常见.
二、系数分离添加器
例2 (2014年第十届中国北方数学奥林匹克邀请赛)设( ，'，+，,）!且(*2'*3+*4, = 1，求/((，'，+，,)=(2* ,++2*,2* ((*'*+*,)2最小值.
解析:令.=/(( ，'，+，,)=(2*'2++2+,2+((+'++*,)2,先 将系数分配好 1=(+2'+3+*4,=2((*'+++, )_(+0•'*+*2,，[(_1 )2*02*12*22*22]*[(2*'2*+2*,2*((*'*+*,)2]% [_(*0*'*+*2,*2((*'*+*,) ]=1，①
所以.％丄，当且仅当'&0, (*'*+*w=i=+=^，
10 2 _1 2项i中分开"%，(%*'%，对于常数2要进行变化，用代数式(%*'%
表示从而与结构对接起来，我们需要引人新的结构，令%=1
!1丨，而对
%=!(%*'%1
于结构中(%*'%，显然!（(%+')=2,结合结论我们由柯西
%=1
不等式
#2##2/#\
2!-^-=!((%*'%)*^^%(!(%12=1，
%=1(%*'%%=1%=1(%*'%/
这样结论左边
!i=&).(!i)%+&)，即命题 %=1(%*'%\ %=1/\ %=1(%*'%/2\ <=1I
得证.
评注：常数的巧拆根据条件结论的关系，为了巧用 结构而变化.
四、因式嵌套
在利用柯西不等式解决问题时需要根据题目已知 条件和证明结论联系起来，其中很重要一点就是嵌套因
高中十•？•!{：，■?6
3
教学参谋
解法探究
2018年9月
式，使得证明顺利进行.
例4 (2014年全国高中数学联赛安徽预赛试题=已 知正实数"，#，$，满足"+#+$&1，求证：
"+2# #+2$ $+2"!0.
得证.
评注：因式分解是为了柯西不等式结构的成立，对 于复杂联赛奥赛不等式结构要注意变形，其中因式分解 是很重要变换形式之一，然而这种方法使用不是单一 的.
证明：因为"+#+$&1，将证明结论等价变形"+2# #+2$
$+2" "+2# #+2$
$+2"
根据柯西不等式结构思想，增加个因式就可以使用 柯西不等式，同时发现嵌乘的这个式子又是个常数，即3 • #---+----+----) =[(" +2#= +(# +2$) +($ +2") ] *\ "+2# #+2$ $+2" I (%+^T
^
J !(1+1+1)2&9,当且仅当"&#&$&|上式等号成立，即本题得证.
评注：因式嵌套(乘)很常见，其本质就是巧妙使得 柯西不等式结构完整.
五、因式巧分
例5 (2014年第十一届中国东南地区数学奥林匹 克试题)设）为大于1的整数，正实数"'，"2,…，"…满足'"&1，证
明
3 ! 2" ("»+!&"!).
证明：首先注意结论，左边是求和，右边是关于）的 常数，因此需要将左边进行结构变化因式分解为"*+1-"1+13& "M •( 1 -"*+')，然后再降次，由柯西不等式容易将求和转 化到乘积，为自然数的出现奠定基础.
1=1 "i +l -"i+l
• ^ C 1-"*+12)
又'
（1-"*+12)=)-'"*2,)---I
"
)2-1
，即
!去!丟，命题
，、局部巧用
例6 (2011年克罗地亚试题)设正实数,，-，.，满足 ,+-+.=3■证明：
.
a+o 2 -+.2 .+,
2解析:如果直接使用柯西不等式最后达不到控制最小值1，因此这类题不能一蹴而就，需要整体着眼，局部
2
处理■将左边变形：
a 2 -.2 _=(,+-+.)_( ^-.2 .a 2令/=- _ _ i . .a +-2 -+.2 .+a 2 、 7 l a +-2 -+.2 .+a 2局部先均值放缩，再运用柯西不等式 ^0t +i °4+«(釋+*〇^+w
)
a +-2 -+.2 .+a 2 2,
一（*/a +-+.)(*/a-+-.+.a
2
=士(v a +^)|*(+-+.)2-2(,2+-2+.2) &a +-+.
所以/! (a +-+. )- -(a +-+. )= ■原命题得证■
2 2评注:有些不等式的证明需要对局部使用柯西不等 式，从而简化运算，对局部的控制达到对整体的控制■
一点感悟:柯西不等式是非常美的结构定理，为两 组数形式变换，次数的变化，使用时机、程度，等号成立 尽心尽力，这都需要我们多角度多方面尝试，才能推进 命题形式结论的丰富■其中有些方法不一定是最佳的， 有些方法可以互用.
参考文献：
1■张萍，代志祥■柯西不等式在数学竞赛解题中的应 用
[J ]■福建中学数学，2012(9)■
2■李名德，李胜宏■高中数学竞赛培优教程•一试课
程教材研究所编
[M ]■杭州：浙江大学出版社，s o n ,
3,蔡玉书■数学奥林匹克不等式证明方法和技巧（上） [M ]哈
尔滨：哈尔滨工业大学出版社
，201L
64 十•？•!{：，■?
高中。