高中数学2.3 函数的奇偶性与周期性练习试题

2.3 函数的奇偶性与周期性一、选择题1.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<域为R,所以(0)0f =,且函数的图象关于2x =对称, 因为函数()f x 在区间[0,2]上是增函数,所以在[0,2]上的函数值非负,故(1)0f >,所以(25)(25)(1)0f f f -=-=-<,(80)(0)0f f ==,(11)(3)0f f =>,所以(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sinπ2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin3π＝0，故选B. 答案 B【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.3.下列函数中，既是偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增的函数是（ ）A ． 21x y = B ．x y cos = C ． x y ln = D ．x y 2=答案 D 4．若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34 D ．1 解析 (特例法)∵f (x )＝x 2x ＋1x －a是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， ∴－1－2＋1－1－a＝－12＋11－a，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.答案 A【点评】 本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.5．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )． A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2) D ．f (x ＋3)是奇函数解析 由已知条件对x ∈R 都有f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)因此f (－x ＋3)＝f [－(x －2)＋1]＝－f [(x －2)＋1]＝－f (x －1)＝f (－x －1)＝f (－x －2＋1)＝f (－(x ＋2)＋1)＝－f ((x ＋2)＋1)＝－f (x ＋3)，因此函数f (x ＋3)是奇函数． 答案 D6.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( ) A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5解析∵f(x＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f x＋2＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.答案 D【点评】本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解.7.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )．A．6 B．7 C．8 D．9解析当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.答案 B二、填空题8.已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 013)＝________.解析法一当x＝1，y＝0时，f(0)＝12；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－14；当x＝2，y＝1时，f(3)＝－12；当x＝2，y＝2时，f(4)＝－14；当x＝3，y＝2时，f(5)＝14；当x＝3，y＝3时，f(6)＝12；当x＝4，y＝3时，f(7)＝14；当x＝4，y＝4时，f(8)＝－14；….∴f(x)是以6为周期的函数，∴f(2 013)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－1 2 .法二∵f(1)＝14，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，∴构造符合题意的函数f(x)＝12cosπ3x，∴f(2 013)＝12cos⎝⎛⎭⎪⎫π3×2 013＝－12.答案－1 29.若函数f(x)＝a－e x1＋a e x(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．解析f(－x)＝a－e－x1＋ae－x＝ae x－1e x＋af(x)＋f(－x)＝a－e x a＋e x＋1＋ae x ae x－11＋ae x e x＋a＝a2－e2x＋a2e2x－11＋ae x e x＋a＝0恒成立，所以a＝1或－1.答案 1或－110．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.解析∵f(x＋5)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1.答案－111．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)12.对于函数()lg 21f x x =-+，有如下三个命题： ①(2)f x +是偶函数；②()f x 在区间(),2-∞上是减函数，在区间()2,+∞上是增函数；③(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是增函数． 其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确的命题序号都填上）解析 函数()f x 和(2)f x +的图像如图所示，由图像可知①②正确；函数2(2)()lg lg 2lglg 122x f x f x x x x x +-=--==+--，由复合函数的单调性法则，可知函数(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是减函数。

所以③错。

答案 ①②三、解答题13. f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －1，求f (log 12 6)的值解析 ∵log 12 6＝－log 26<0，且f (x )为奇函数， ∴f (log 126)＝－f (log 26)．又∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(log26)＝f(log26－2)＝f(log232 )，而log232∈(0,1)．∴f(log232)＝2log232－1＝32－1＝12.∴f(log12 6)＝－12.14．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解析 (1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.15．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解析(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当a＝0时，f(x)＝x2，(x≠0)显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)＝x2＋ax既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，当a ≤0，f ′(x )＞0，则f (x )在(2，＋∞)上是增函数， 当a ＞0时，由f ′(x )＝2x 3－ax 2＞0，解得x ＞ 3a2，由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，可知 3a 2≤2.解得0＜a ≤16综上可知实数a 的取值范围是(－∞，16]． 16.已知函数f (x )＝－x 2＋8x ，g (x )＝6ln x ＋m . (1)求f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值h (t )；(2)是否存在实数m ，使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解析 (1)f (x )＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16， 当t ＋1<4，即t <3时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，h (t )＝f (t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1) ＝－t 2＋6t ＋7；当t ≤4≤t ＋1，即3≤t ≤4时，h (t )＝f (4)＝16； 当t >4时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减，h (t )＝f (t )＝－t 2＋8t .综上，h (t )＝⎩⎨⎧－t 2＋6t ＋7，t <316 3≤t ≤4－t 2＋8t ， t >4.(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x )＝g (x )－f (x )的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点． ∵φ(x )＝x 2－8x ＋6ln x ＋m ， ∴φ′(x )＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x＝2x －1x －3x(x >0)．当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，φ′(x )<0，φ(x )是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )是增函数； 当x ＝1或x ＝3时，φ′(x )＝0. ∴φ(x )极大值＝φ(1)＝m －7，φ(x )极小值＝φ(3)＝m ＋6ln3－15. ∵当x 充分接近0时，φ(x )<0； 当x 充分大时，φ(x )>0.∴要使φ(x )的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需 ⎩⎨⎧φx 极大值＝m －7>0φx极小值＝m ＋6ln3－15<0，即7<m <15－6ln3.所以存在实数m ，使得函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln3)．。