2018-2019学年福建省福州市一级达标学校高二下学期期中联考数学(文)试题 Word版含答案

2018-2019学年福建省福州市一级达标学校高二下学期期中
联考数学（文）试题 Word 版含答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求） 1．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数
i
i
-+21所对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象银
C ．第三象限
D ．第四象限
2.有一段演绎推理是这样的：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，
结论显然是错误的，是因为（ ）．
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．非以上错误 3．用反证法证明命题“若()R b a b a ∈=+,022，则b a ,全为0”，其反设正确的是（ )
A ．b a , 全为0
B ．b a ,中只有一个为0
C ．b a ,至少有一个为0
D ．b a ,至少有一个不为0
4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对y x 、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如右表： 则哪位同学的试验结果体现y x 、两变量有更强的线性相关性（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 5.下表是某厂5～8月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x 5 6 7 8
用水量y 5. 5 4
3
2.5
由散点图可知，y 与x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是a x y
ˆˆ+-=， 则a
ˆ＝( ) A ．10.5 B ．10.25 C ．10 B ．5.15
6.今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。

当甲、乙两人为一方，丙、丁两人为另一方时，双方势均力敌；当甲与丙对调以后，甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方；而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。

那么甲、乙、丙、丁四人的“体力”由强到弱的顺序是（ ）
A ．丁、乙、丙、甲
B ．乙、丁、甲、丙
C ．丁、乙、甲、丙
D ．乙、丁、丙、甲 7.设))()(()(c x b x a x x f ---=，其中c b a ,,是互不相等的常数， 则
()()()a b c
f a f b f c ++='''
( ) A.0 B.1 C. 2 D.3
8．以下四个命题，其中真命题的个数有（ ）
甲 乙 丙 丁 r 0.80 0.85 0.69 0.78
m 105 102 123 112
①用∑∑==---
=n
i i
n
i i
y y
y y R 12
122)()ˆ(1刻画回归效果,当2R 越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好
②在回归直线方程103.0+-=∧
x y 中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y
ˆ就平均减少0.3个单位
③综合法证明数学问题是“由因导果”，分析法证明数学问题是“执果索因”
④若2K 的观测值为k =6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）
A. 35
B. 20
C. 18
D. 9
10．对任意的R x ∈，函数ax ax x x f 5)(23++=不存在极值点的充要条件是（ ）
A.015a <<
B. 015a a ≤≥或
C.015a a <>或
D. 015a ≤≤ 11．对于大于1的自然数m 的三次幂，可用奇数进行以下方式的“分裂”：5323+=，119733++=，1917151343+++=，…，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是53，则m 的值为( )
A ．6
B ．7 C.8 D ．9 12.已知函数()x f y =对任意的且满足⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈2,2ππx ，0sin )(cos )(>+'x x f x x f ,则下列不等式成立的是( )
A.
234f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. ()024f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭
C. ()023f f π⎛⎫> ⎪
⎝⎭
D. 336f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.若复数)2)(1(i ai -+（i 为虚数单位，R a ∈)是纯虚数，则a 的值为 14.设数列{}n a 的前n 项和为n s ,
若*11,32,2N n a a a n n ∈+==+,则=4a
15．函数ax x x x f ++=2ln )(在(]02，上为增函数，则a 的取值范围为 16.对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则0OB OA OA OB →
→
→
→
→
∙+∙=；将它类比到平面的
情形是：O 是ABC ∆内一点， 0OBC OCA OBA S OA S OB S OC →
→
→
→
∆∆∆∙+∙+∙=；将它类比到空间的情
形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有 三、解答题（包括必考题和选考题两部分。

第17题--第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题--第23题为选考题，考生根据要求作答。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知复数12z 1,23i z i =-=-+
（1）求21z z ⋅
（2）若复数z 满足214z z i z -=-，求复数z 在复平面内所对应的点Z 的轨迹方程
题9
18.（本小题满分12分）已知函数 2
2
1)(x
x x f += （1）分别求)4
1
()4(),31()3(),21()2(f f f f f f +++ 的值
（2）归纳猜想一般性结论，并给出证明
19．（本小题满分12分）中国平潭从2003年起在每年的6月至10月都将会举办一届国际
沙雕节，至2017年已成功举办了十届，吸引了不少外地游客到平潭，极大地推进平潭旅游业的发展，现将近五届沙雕节举办期间旅游部门所提供的外地游客到平潭的人数统计如下表：
年份 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年
沙雕节年份代号x 1
2 3 4 5 外地游客人数y
（单位：十万）
6.0
7.0 9.0 3.1 5.1 （1）求y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+= （2）旅游部门统计在每届国际沙雕节期间，每位外地游客可为该区增加80元左右的
旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2018年第11届平潭国际沙雕节期间，外地游客可为该区增加的旅游收入大约为多少？
（参考公式：x b y a
x x
y y x x
b
n
i i
n
i i i
ˆˆ,)()
)((ˆ1
2
1
-=---=∑∑==） 20.（本小题满分12分）某班主任对全班40名学生的学习积极性和对待班级工作的态度
进行了调查，得到如下列联表：
如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是0.55，抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是0.25 （1）根据已知条件完成下面的2×2列联表
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计
学习积极性高
20 学习积极性一般
合计
40
（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由
参考数据：
2()P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
2.072 2.706
3.841
5. 024
6.635
7.879 10.828
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++）
21.（本小题满分12分）已知函数mx x x g x x x f -=+=2)(,2ln )( （1）求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程 （2）求函数)(x f 在[])0(2,>+t t t 上的最小值
（3）若存在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈e e x ,10，使得m x x g x f m +≥+'2)()(成立，求实数m 的取值范围
温馨提示：请考生在第22、23两题中任选一题作答。

注意：若多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清楚题号。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为θθρcos s in 2= ，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点N )0,1(，直线l 与曲线C 交于B A 、两点．
（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程
（2）线段NB NA 、长度分别记为NA 、NB ，求NB NA +的值
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数a x x x f ---=3)(
（1）当2=a 时，解不等式2
1)(-
≤x f （2）若存在实数a ，使得不等式a x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围
答案
一、选择题：1-5 AADBB 6-10 CABCD 11-12 BD 二、填空题：13、2-； 14、37； 15、22-≥a ； 16、0=⋅+⋅+⋅+---⋅-OD OC OB OA V V V v ABC O ABD O ACD O BCD O 三、解答题
17.解：分6.........513232)32)(1()1(21i i i i i z z +=+++-=+--=⋅
)2(设),,(R y x yi x z ∈+=则由,421z z i z -=-得i i yi x 434-=-+
即...25)4(2
2=-+y x 为所求的点的轨迹方程........12分
18. 解：分3..........
1)4
1()4(,1)31
()3(,1)21()2()1(=+=+=+f f f f f f )2(猜想：1)1
()(=+n
f n f ……………6分
证明如下：
分分
12............1)1
()(1111)1()(9............11)1(1)
1()1(,1)(2
222222
2=+∴=+++=+∴+=+=∴+=n f n f x
x x x f x f x x
x x f x x x f 19. 解：)1(由所给数据计算得：
分1.................3)54321(51
=++++=x
分2..............1)5.13.19.07.06.0(5
1
=++++=y
分3.............1041014)(5
12=++++=-∑=i i
x x
分
4 (4)
.25.023.010)3.0()1()4.0()2())((5
1
=⨯+⨯++-⨯-+-⨯-=--∑=y y x x
i i i
分
6...................28.0324.01ˆ.,24.0104
.2=⨯-=-===
x b y a b
所求的回归方程为：分7.................28.024.0ˆ+=x y
）（2由（）
（1知，当6x =时， ˆ0.2460.28 1.72.................9y
=⨯+=分 于是预测2018年第11届中国平潭国际沙雕节期间到平潭的外地游客约为17万2千人，
由1720008013760000...........11⨯=（元）分
可预测2018年第11届平潭国际沙雕节期间外地游客可为平潭增加的旅游收入约为1376
万元分12.................
20解：（1）积极参加班级工作的学生有分人2.............2255.040=⨯
不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有分人2..........
1025.040=⨯ 可得2×2列联表：
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作
合计
学习积极性高 12 8 20 学习积极性一般 10 10 20 合计 22 18 40
.................6分 （Ⅱ）观测值2
4012101080.404 (1020202218)
()k ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯分
3.841..........11k <分
∴没有充分的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系......12分
21解：)1(由已知,1ln )(,2)1(+=/'=x x f f 则1)1(='f
所以在))1(,1(f 处的切线方程为：12-=-x y ，即为分3..........01=+-y x
)2(),0(,1ln )(+∞∈+='x x x f
令0)(>'x f ，解得e x 1>；令0)(<'x f ，解得e
x 1
0<<
)(x f ∴在)1,0(e
递减，在),1
(+∞e 递增，
若e
t 1
≥，则)(x f 在[]2,+t t 递增，
分
5.........2ln )()(min +==∴t t t f x f
若e t 10<
<，则)(x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡e t 1,递减，在]2,1(+t e 递增， 分7 (1)
2)1()(min e
e f x f -==∴
)3(若存在,,10⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈e e x 使得m x x g x f m +≥+'2)()(成立，
即存在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈e e x ,10使得分8.............)ln 2(
max 2x x x x m --≤， 令⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈--=e e x x x x x x k ,1,ln 2)(2，则2
)(ln )2ln 2)(1()(x x x x x x k -++--=' ,
ln 222,,1x x e e x ≥>+∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈ 令0)(>'x k ，解得1>x ；令0)(<'x k ，解得1<x ， 故)(x k 在)1,1
⎢⎣⎡e
递减，在]e ,1(递增，
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=t y t x 2123
1故)(x k 的最大值是)1(e
k 或分10..).........(e k 而,1
)
2()(0)1(12)1(--=<<+--=e e e e k e e e e k
故分12 (1)
)
2(--≤
e e e m 22.解：)1(∵直线l 的参数方程为 （t 为参数），
∴直线l 的普通方程为：013=--y x ，又x y ==θρθρcos ,sin ∴直线l 的极坐标方程为：01sin 3cos =--θρθρ即分3 (2)
1)6sin(-=-π
θρ ∵曲线C 的极坐标方程是θρθρθθρcos sin ,cos sin 222=∴= ∴曲线C 普通方程为：分5.........2x y =
（2）将 x y =2
代
入得04322=--t t ，设
NB NA ,所对应的参数分别为21t 、
t 则分8............4,322121-==+⋅t t t t 分10...........7221=-=+∴t t NB NA
23.解：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-<<-≤=---=3,132,252,123)(x x x x x x x f
21)(-≤∴x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤2112x 或⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤-<<212532x x 或分3..........
2113
⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≥x 解得
33411
≥<≤x x 或,∴原不等式的解集为分5............
411⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≥x x （2）由绝对值不等式可知3)()3(3)(-=---≤---=a a x x a x x x f .
若存在实数a ，使得不等式a a f ≥)(成立，则a a ≥-3，解得2
3≤
a ， ∴实数a 的取值范围是分10.........23,⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-.。