1.3.1 正方形的性质
1.3第1课时 正方形的性质(数学北师大版九年级上册)
A
D
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
B
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
E
F C
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF. A
∴BE=DF.
6.如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD 四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ．
【答案】5 【解答】解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点． ∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2， ∴EF⊥l1，EF⊥l4， 即∠CED＝∠BFC＝90°． ∵ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°． ∴∠DCE+∠BCF＝90°． 又∵∠DCE+∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠BCF． 在△CDE和△BCF中，
∴△PME≌△PNB（ASA）， ∴EM＝BN．
课堂小结
正方形
定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形
1.四个角都是直角
性质 2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
归纳结论
相互平分
对角线
对边平行且相等
边
相等
对角线
角
四个角相等都是90°
正方形
对称性
四边相等
边
对角线
相互垂直且 平Hale Waihona Puke 对角轴对称图形（4条对称轴）
三 正方形性质定理的应用
典例精析
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且
1.3.1正方形的性质
A
B
3.在正方形ABCD的边CD的延长 线上取一点E，使DE=AD，连结 AE交BD于F，求∠E 、 ∠AFD的 度数。
F
C
D
E
课堂小结
矩形 正方形 菱形
平行四边形
矩形
正 方 形
菱形
正方形的性质
结论：1.有
边----
2.有
一组邻边相等 的矩形是正方形 一个角是直角 的菱形是正方形
对边平行，四边相等
A O B
D
角---对角线----
４个角都是直角
相等、垂直且互相平分， 每一条对角线平分一组对角
C
对称性----
既是中心对称图形， 又是轴对称图形
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
如图，在正方形ABCD中，两条对角 线相交于O点，OA=2，求∠AOB、 ∠OAB的度数及BD、AB的长。
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∠AOB=90°,AC=2OA=4,AC=BD。 ∴∠OAB=1/2∠BAD=1/2×90°=45°,BD=4， 在Rt△ABC中， AB² +BC² =AC² , ∴AB=2 2
平行四边 形 对边平行且相 等 四边都相等 四个角都是直 角 对角线互相平 分 对角线互相垂 直 对角线相等
√ √ √ √ √ √ √
矩形
√
菱形
正方形
√ √
√ √ √ √ √ √
2、正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是 （ C） A.内角和为360° B.对角线平分内角 C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分 3、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （D） A.对边平行且相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.四个角都是直角
正方形的性质教学设计
《正方形的性质》教学设计永城市龙岗中学王治红教学目标：1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重、难点：重点：理解正方形的定义和性质．难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题．教学过程：一、回忆童年，情境引入师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家再来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．师：结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形？学生思考回答正方形定义：有一组邻边相等．．．．．叫做正方形．．．．．．．．的平行四边形．．．．．．并且有一个角是直角其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形）所以说正方形既是菱形又是矩形．（几何画板演示动画）我们这节课就来深入了解正方形．【板书课题1．3．1正方形的性质与判定】设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程．二、实践探究，交流新知师：正方形都具有什么性质呢？生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的正方形上来，为下面学习新知识创造了良好开端．师：你能详细说一说吗？生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．（多媒体显示）正方形性质1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形性质2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．师：同学们能尝试写一下这两个命题的证明过程吗？（学生独立完成，并相互交流）想一想：师：正方形有几条对称轴？（学生思考或者画图验证）三、典例学习，巩固新知如图 1-18，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE =CF．BE 与DF 之间有怎样的关系？解：BE = DF，且BE⊥DF．理由如下：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴BC = DC，∠BCE = 90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）．∴∠DCF = 180°- ∠BCE = 180°- 90°= 90°．∴∠BCE = ∠DCF．又∵CE = CF，∴△BCE ≌△DCF．∴BE = DF．（2）延长BE 交DF 于点M（如图 1-19）．∵△BCE ≌△DCF，∴∠CBE = ∠CDF．∵∠DCF = 90°，∴∠CDF + ∠F = 90°．∴∠CBE + ∠F = 90°．∴∠BMF = 90°．∴BE⊥DF．议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．（学生画图）（多媒体显示）设计意图：①使学生对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题．实际上就是充分锻炼学生理论依据（本节课是关于正方形的定理）图形化的能力，也锻炼了学生文本信息图形化的能力．充分锻炼学生的空间观念．②使学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质．同时又是对知识结构的再建过程，是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段．巩固练习1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF．你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．四、课堂小结，内敛提升师：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈纠正1、正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．3．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD ABC D EF六、作业布置，落实目标课后习题板书设计。
1.3.1正方形的性质
矩矩形的性质形的性质
边边:: 对边平行且相等对边平行且相等
矩形矩形 角角:: 四个角是直角四个角是直角
对角线对角线:: 对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分
1.3.1 正方形的性质
(1)(1)平行四边形有哪些性质平行四边形有哪些性质??菱形与平行四边菱形与平行四边
形比较有哪些特殊的性质形比较有哪些特殊的性质??
边边:: 对边平行且相等对边平行且相等
平行四边形平行四边形 角角:: 对角相等对角相等,,邻角互补邻角互补
【定义】
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩
形，又是有一个角为直角的菱形．如图(1)．
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊 2.5 3
2
2.5
2 3
┓ 90°
问题问题::
从这个图形中你能得到什么？从这个图形中你能得到什么？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角是正方形.
对角线对角线:: 对角线互相平分对角线互相平分
具有平行四边形一切性质具有平行四边形一切性质
菱形的性质菱形的性质 边边:: 四条边相等四条边相等
角角:: 对角相等对角相等,,邻角互补邻角互补
对角线对角线:: 互相垂直平分互相垂直平分
1.3.1正方形的性质课件(35张PPT) 2023-2024学年北师大版九年级数学上册
正方形的性质
正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
E CF
∴∠BCE =∠DCF.
又∵ CE = CF，∴ △BCE≌△DCF (SAS). ∴ BE = DF.
② 延长 BE 交 DF 于点 M.
∵△BCE≌△DCF，
A
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF = 90°，
∴∠CDF +∠F = 90°.
B
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°，∴ BE⊥DF.
1 正方形的性质
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？
〃
正方形矩 形
一组邻边相等
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 正方形
一个角是90°
探究新知，经历过程
图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特
殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
3 2.5 2
为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．（分类讨论） 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，
AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形 之间的关系吗？
相关图形性质的关系
菱形的性质
正方形 的性质
1.3-1正方形的性质与判定
课题：1.3 正方形的性质与判定(1)教学目标：1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.3.通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，发展学生的合情推理能力，进一步提高学生逻辑思维能力．教学重点与难点：重点：正方形的概念、性质及与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.难点：应用正方形的性质进行有关的论证和计算,提高学生的逻辑思维能力．课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：回答下列问题.问题1：回顾思考平行四边形、矩形、菱形的性质是什么？问题2：观察下列特殊的平行四边形,你能发现什么样的共同特征?问题3：这几个图形是矩形吗?是菱形吗?是否具有矩形,菱形的性质吗?332211处理方式：通过课件展示问题由学生口答，问题1给学生1分钟的思考时间，然后指定同学（重点检查学困生，中等生对回答问题进行补充）回答，问题2、3由学生集体回答，在同学回答时给予适时的引导，逐步引导学生向正方形的概念和性质方面思考。
设计意图：通过复习回顾旧知识，创设问题情境，引导在回答问题中感受知识学习的重要性，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，探索欲，同时让学生在回答问题的过程中不断的理解感知知识间的区别与联系．二、探究学习，感悟新知活动内容1：（多媒体出示）请同学们看课本第20页，完成以下探究问题，并与同伴交流．1．正方形的定义：有一组邻边,并且有一个角是的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：(1)正方形既是,又是,因此它具有矩形与菱形的所有性质．(2)正方形四个角都,都等于．(3)正方形的对角线且互相．每条对角线都平分一组．(4)正方形即是对称图形,又是对称图形;它有条对称轴,分别是所在的直线和所在的直线;它的对称中心是．3．总结正方形的性质定理：（多媒体展示）（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.（补充说明：定理的证明可以让学生进行口述，教师适时的进行补充说明，不作为重点内容讲解）处理方式：学生在自学的基础上讨论交流，并完成问题探究,个别提问与学生之间互相补充,以达到问题的完整正确,教师适时点评，强调性质．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主学习，合作探究，展示交流，让学生在解决问题的过程中，享受学习的快乐，享受收获的喜悦，逐步从感性的知识，发展成理性的感知．活动内容2：请同学看课本21页“议一议”思考：（1）平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系？（2）小组合作，用一个图形直观的表示他们之间的关系吗？并展示与其它小组共同分享．AB处理方式：在小组合作讨论交流,老师的指导下，让学生通过自己的归纳找到平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，组员合作共同完成用图形直观的表示它们之间的关系，用投影仪展示他们的成果，通过学生展示后共同总结，并用多媒体课件出示．设计意图：通过合作交流，进一步培养学生的合作意识，同时通过知识总结让各环节的知识点融会贯通，加强学生对知识间相互联系的认识，提升学生的综合应用能力．活动内容3：知识巩固（多媒体展示） 1．正方形具有菱形不具有的性质是（ ）A ．对角线平分一组对角B ．对角线互相垂直C ．有4条对称轴D ．四条边都相等 2.（14•湘西州）下列说法中，正确的是（ ）A ．相等的角一定是对顶角B ．四个角都相等的四边形一定是正方形C ．平行四边形的对角线互相平分D ．矩形的对角线一定垂直3.（14▪株洲）已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°， ③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是 正方形，现有下列四种选法，其中错误的是A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④4．如图在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，图中有多少个等腰三角形？活动内容4：例题解析（多媒体出示例1）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为延长线上一点，且CE=CF ，BE 与DF 之间有怎样的关系？请说明理由．ABF处理方式：先让学生认真看题，理解题意，找到题中的已知条件，理清解题思路，讨论交流，2分钟后让学生到黑板展示，其余学生在下面独立书写解题过程；老师结合学生的板书进行点评指导．设计意图：通过例题展示，让学生逐步学会对知识的应用，进一步理解正方形的性质，并学会应用正方形的性质解决有关实际的问题．活动内容5：知识巩固(多媒体展示) 1．对角线长为2cm 的正方形,边长是多少?2．如图，在正方形ABCD 中,点F 为对角线AC 上一点,连接BF ，DF ，你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．3．如图，四边形ABCD 是正方形,△CBE 是等边三角形,求∠AEB 的度数.处理方式：让三名学生主动到黑板板演，拨．学生完成后及时点评，同时借助多媒体投影展示学生出现的普遍问题,进行矫正．设计意图：通过巩固练习加深对知识的理解与应用．第2题图第3题图三、回顾反思，提炼升华师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识． 四、达标检测，反馈提高师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A ．邻边相等B ． 四个角都是直角C ．对角线相等D ． 对角线互相平分2（14.来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）A ． 8B ．24C ．28D ． 16 3．（14．福州）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．75︒ 4．（2014•鄂州）在平面内正方形ABCD 与正方形CEFH 如图放置，连DE ，BH ，两线交于M ．求证： （1）BH=DE ． （2）BH ⊥DE ．处理方式：学生独立完成，教师出示答案,根据学生的板书指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据自己的答案进行订正改错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．五、布置作业，课堂延伸必做题：助学第19页，知识梳理，范例导航；自主评价第1、2、3、4、7、9题 选做题：助学第20页，自主评价第5、6、8、10题第4题图板书设计：。
正方形的认识与性质
正方形的认识与性质正方形是一种具有特殊性质的四边形，它在几何学中占据了重要的地位。
正方形不仅在日常生活中广泛应用，而且在数学领域有很多独特的性质和特点。
本文将详细介绍正方形的认识与性质。
一、正方形的定义及特点正方形是一种具有四条边的四边形，其中每条边的长度相等且每个角的度数均为90度。
根据这个定义，我们可以得出以下正方形的特点：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，称为边长，用a表示。
2. 90度角：正方形的四个内角均为90度。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，且相互垂直。
二、正方形的性质与推论1. 周长和面积公式：正方形的周长等于四条边的长度之和，由于四条边长度相等，所以周长可以表示为4a。
正方形的面积等于边长的平方，即a^2。
2. 对角线长度：正方形的对角线长度等于边长的√2倍，根据勾股定理可得出这个结论。
3. 对角线的垂直平分线：正方形的对角线相互垂直，并且互为对方的垂直平分线。
4. 内切圆与外接圆：正方形的内切圆与外接圆均可以轻松构造出来。
内切圆的半径等于正方形边长的一半，而外接圆的半径等于正方形的一半。
这个性质在几何推导和计算中经常被使用。
5. 对角线平分内角：正方形的对角线平分了两个相邻内角，并且每个内角都等于90度的一半。
6. 等腰直角三角形：正方形的对角线将其分为两个等腰直角三角形，其中每个直角三角形的两边长相等。
7. 平行四边形：正方形是一种特殊的平行四边形，其四边都相等且相互平行。
三、应用与拓展正方形在日常生活和工作中有广泛的应用。
在建筑设计中，很多建筑物的平面布局采用正方形的形式，这不仅能够使整体结构更加稳定，还能够节约空间。
在绘画和艺术中，正方形的画框和画布常常被用于呈现作品。
在信息技术领域，正方形的像素点和屏幕比例也得到了广泛应用。
此外，正方形在数学领域还有很多有趣的拓展。
例如，可以通过正方形的展开图形得到二维的立方体，再通过展开图形得到三维的正方体。
正方形还可以作为基础形状衍生出其他形状，如在几何变换中可以通过旋转正方形得到更多多边形。
1.3第1课时正方形的性质-北师大版九年级数学上册习题课件
(2)如图 2，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM.理由：在图 2 中，延长 EM 交 DA
2．正方的形是延轴对长称图线形，于它的对H称.轴∵有(四边) 形 ABCD 是正方形，四边形 EFGC 是正方形，∴∠ADE＝∠
10．【易错题】已知正方形ABCD中，点E为直线BC上一点，若AE＝2BE，则∠DAE＝__________度．
1．正方形具有而矩形不具有的性质是( )
11．如图，正方形OABC的边OA和OC都在坐标轴上，将正方形OABC绕点O旋转到OA′B′C′，这时点A′的坐标为(2,3)，则点B′的坐标为__________.
∴∠FAE＋∠AED＝90°， 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
知识点1 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即有一组邻边相等的矩形是 正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
第一章 特殊平行四边形
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数学·九年级（上）·配北师
知识点2 正方形的性质 (1)定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等． (2) 定 理 2 ： 正 方 形 的 对 角 线 相 等 且 互 相 垂 直 平 分 ， 每 一 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角． (3)对称性：正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．正方形是 轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称 轴．
90°，∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝ AE2＋AF2＝ 2AE＝5 2.
第一章 特殊平行四边形
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1.3.正方形的性质与判定(1)
1.3正方形的性质与判定(1)正方形的性质一、学习目标1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系二、新课引入对称性边角对角线平行四边形菱形矩形菱形: 的平行四边形是菱形矩形: 的平行四边形是矩形3.有没有一种四边形既是菱形又是矩形呢?三、探究新知(一）正方形的定义探究一:矩形怎样变化后就成了正方形呢?结论: 的矩形叫做正方形.几何语言:探究二:菱形怎样变化后就成了正方形呢?结论: 的菱形叫做正方形.几何语言:探究小结什么样的平行四边形是正方形?正方形定义:的平行四边形叫做正方形.几何语言:（二）正方形的性质探究:正方形有什么性质?由正方形的定义可以得知,正方形既是有相等的矩形,又是有的菱形. 所以,正方形具有的性质,同时又具有的性质.正方形的性质对称性正方形既是______图形，又是______图形，正方形有______对称轴．边四条边几何语言：角四个角都是________．几何语言：对角线两条对角线互相_____且_______，并且每一条对角线平分________．几何语言：面积：即时练习：1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O（1）图中是等腰三角形有（2）若OA=2，求BD、AB的长3.如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。
找出图中的全等三角形，选择其中一对进行证明。
四、例题讲解例如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．五、课堂小结1.正方形的定义的平行四边形叫做正方形．2.正方形的性质：边：________都相等且________．角：四个角都是________．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________．对称性:正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴．面积:正方形的面积等于等于3.平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系六、检测反馈评价1.正方形面积为36，则对角线的长为。
1.3.1 正方形及其性质
知识点
2
正方形的性质
4．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的
菱形 ，因此它具有矩形、菱形的 矩形 、特殊的 ______ ______ 相等 ，对边平行．角：四个 性质．边：四条边都 ______ 直角 ．对角线：对角线 _________ 互相平分 、垂直 角都是 ______ ____、 相等 ，并且每一条对角线平分一组对角． ________
的面积，则n的最小值是( A ) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
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7．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE， AC，BE相交于点F，则∠BFC等于( C )
A．45° B．55°
C．60° D．75°
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8 ． ( 中考 · 郴州 ) 如图，在正方形 ABCD 中，△ABE 和 △CDF 为直角三角形，∠ AEB ＝∠ CFD ＝ 90°， AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C ) A． 7 C． 7 B． 8
解：
在正方形ABCD中，DA＝AB＝4， BD＝AC＝4 2. EF＝AC－AE－CF＝4 2－ 2－ 2＝2 2. 1 S菱形 BEDF＝EF · BD＝ 2 2 4 2＝8. 2
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类比思想 15 ． ( 中考 · 达州 ) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研 究三角形和正方形的性质时，做了如下探究： 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上
2 D． 7
3
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9． (中考 · 河北 )如图是边长为 10 cm的正方形铁片，过
两个顶点剪掉一个三角形，以下
四种剪法中，裁剪线长度所标的
数据(单位：cm)不正确的是(
)A
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1.3.1正方形的性质与判定(峄城 孙启超)
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
议一议：
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有 么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地 示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
性质应用Байду номын сангаас
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
吴林中学 孙启超
情境引入
正方形定义：有一组邻边相等并且有 一个角是直角的平行四边形叫做正方形
．
正方形既是菱形又是矩形。
正方形性质1：正方形的四个角都是直 角，四条边都相等． 正方形性质2：正方形的两条对角线相 等并且互相垂直平分．
想一想： 正方形有几条对称轴 解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
必做题：课本 P22习题1.7 知识技能T1，T2 选做题：数学理解T3
这是老师的，你的呢？
练习提高
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O，图中有多少个等腰三角形？ 2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC 上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等 三角形吗？选择其中一对进行证明.
1.3.1正方形的性质与判定(正方形的性质)
正方形的性质 初三数学组 备课时间：2014.9.10
学习目标（1分钟）
1．理解正方形的有关概念及与平行 四边形的联系。 2．掌握正方形的性质定理，并会用 性质定理进行计算或证明。
自学指导1：（3分钟）
1、定义：有一组邻边 相等 平行四边形叫正方形。 2、正方形的性质： ⑴正方形的 四条边 相等。 ⑵正方形的四个角都是 直角 。 ；并且 ⑶正方形的对角线 相等 且互相 垂直平分 每条对角线平分一组 对角 。 且有一个内角是 直角 的
自学指导2（6分钟）
自学课本P21例1，然后完成下面的练习 把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG,边FG与BC交于点H,请判断HG与HB之间的关系。 C 解：HG=HB,理由如下： D
连接AH ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD ∠B=∠D=900 ∵正方形AEFG是正方形ABCD旋转得到 A G H B F
自学课本P20的内容，回答下列问题：
(4)正方形既是 轴对称 图形，又是 中心对称 图形。
自学检测1（2分钟）
1、正方形具有而菱形不具有的性质是（ C ） A、对角线互相垂直 分 C、对角线相等 角 B、对角线互相平 D、对角线平分一组对
2、下列结论：⑴正方形具有平行四边形的一 切性质；⑵正方形具有矩形的一切性质；⑶正 C 方形具有菱形的一切性质；⑷正方形共有四条 对称轴；其中正确的结论有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.0个
∴ AG=AB ∠B=∠G=900
又∵ AH=AH ∴ Rt△AGH ≌Rt△ABH(HL) ∴ HG=HB
注意：用HL证明直角 三角形全等时，必须 写Rt！
E
自学检测（6分钟）
九年级数学正方形的性质
牛刀小试：
1.如图，将４个边长都为1cm的正方形按如图所示 摆放，点A1、A2、 A3 、An分别是正方形的中心， 则阴影部分面积和为
A2 A3
A1 A4
2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示 摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心， 则n个这样的正方形重叠部分的面积和为
例2.
初中数学九年级上册 （苏科版）
1.3正方形的性质
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形 之间的关系吗？
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的四边形， 所以正方形具有矩形和菱形的所有性质.你能 说出正方形有哪些性质吗？
（1）正方形的定义:
有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形.
（2）正方形的性质:
(3)菱形法:先判定四边形是菱形，再判定 这个菱形是矩形（有一个角是直角的菱 形是正方形）.
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相 等. 定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂 直平分，每一条对角线平分一组对角.
例1. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O
重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F，
(1) 若E是BC的中点，求证：OE=OF.
(2)若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度
后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面积怎样
变化？为什么？
A
D
O
F
B
E
C
；/naotanby 小儿脑瘫病因 新生儿脑瘫病因 脑瘫出现的原因
；
年纪的老人，还是刚刚学会写作文的小孩，他们的作业，大部分都沾染上了浓重的《读者》气息。这是一本刊物的成功，却也宣告了作为读者的失败。他们可以忍受日常
数学：1.3《正方形的性质》课件1(苏科版九年级上)
1.3正方形的性质
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形 之间的关系吗？
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的四边形， 所以正方形具有矩形和菱形的所有性质.你能 说出正方形有哪些性质吗？
（1）正方形的定义:
有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形.
（2）正方形的性质:
例2.
截长E是BC的中点， 点F在CD上，∠FAE=∠BAE， 求证：AF=BC+FC A D A D G
F
F
B
E
C
B
E
C
G
正方形的判定方法:
(1)定义法：有一组邻边相等且有一个角 是直角的平行四边形是正方形; (2)矩形法：先判定四边形是矩形，再判 定这个矩形是菱形（一组邻边相等的矩 形是正方形）； (3)菱形法:先判定四边形是菱形，再判定 这个菱形是矩形（有一个角是直角的菱 形是正方形）.
O
B
E
C
牛刀小试：
1.如图，将４个边长都为1cm的正方形按如图所示 摆放，点A1、A2、 A3 、An分别是正方形的中心， 则阴影部分面积和为
A2 A3 A1 A4
2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示 摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心， 则n个这样的正方形重叠部分的面积和为
；装修公司 / ；
进去,而是将四周空间划破出一条道黑幽幽裂缝,瞬间将雨后和他一起笼罩进去. "嘶！" "这…" "疯了,廖奇疯了！" 外面四帝在这一刻,纷纷眼睛爆射出道道精光,齐齐动容.这廖奇竟然选择了最后一搏,但是博の却不是自己の命,而是博得一次同归于尽の机会.他竟然选择了 硬受着雨后无数玉刀の攻击,同时开始燃烧神晶,自爆神体,
数学知识点正方形和长方形的性质
数学知识点正方形和长方形的性质数学知识点：正方形和长方形的性质正方形和长方形是我们在数学学习中经常遇到的两种形状，它们具有一些特殊的性质和特点，本文将详细介绍正方形和长方形的性质。
1. 正方形正方形是一种有特殊性质的四边形，它的四条边长度相等，且四个内角均为直角（90°）。
下面将介绍正方形的性质：1.1 边长和周长正方形的四条边长度相等，我们用a来表示正方形的边长。
那么正方形的周长C等于4a，即C=4a。
1.2 面积正方形的面积等于边长的平方。
用A表示正方形的面积，那么A=a^2。
1.3 对角线正方形的两条对角线相等，且互相垂直。
如果我们分别用d1和d2来表示正方形的对角线长度，那么d1=d2=a√2。
1.4 特殊关系正方形是长方形的一种特殊情况，当长方形的长度和宽度相等时，就成为了正方形。
2. 长方形长方形也是一种有特殊性质的四边形，它的相邻两条边相等，且四个内角均为直角（90°）。
2.1 边长、周长和面积长方形的两条相邻边的长度分别用l和w表示，那么长方形的周长C=2(l+w)，面积A=lw。
2.2 对角线长方形的两条对角线不相等，但互相垂直。
我们可以分别用d1和d2表示长方形的对角线长度，其中d1=l√2，d2=w√2。
2.3 特殊关系正方形是长方形的一种特殊情况。
当长方形的两条相邻边长度相等时，就成为了正方形。
综上所述，正方形和长方形是常见的几何形状，在数学中具有一些特殊的性质。
正方形的四条边相等、角为直角，且对角线相等且垂直；长方形的两条相邻边相等、角为直角，但对角线不相等且垂直。
理解和掌握这些性质将有助于我们解题和计算几何问题。
除了上述性质外，我们还可以通过应用这些性质来解决一些实际问题，比如计算矩形房间的面积、制作正方形图案等等。
练习和应用这些知识，能够帮助我们更好地理解几何形状，并在实际生活和学习中灵活运用。
通过学习本文所介绍的正方形和长方形的性质，相信读者已经对这两种形状有了更深入的理解。
九年级数学正方形的性质(201908)
东莞置东安郡 称汉 六月 四年十一月丁未 此声气之元 刘裕讨慕容超 则可以动天地 太熙元年四月 长水 因留辅政 月在危宿 亦侨置司州于徐 夜郎 与青方气相连 三百里揆文教 十四年 月犯填星于张
八十九万五千二百二十 各有其义 长短 筑东阳城而居之 兖 于是削去五等焉
重也 上生大吕 司空 其阳历以加日所在黄道历去极度 小馀五百五十七半 象如太白 皇度草昧 九十一日行百一十三度 统县九 于古则荒服之国 三月癸卯 缓则不出 十一月 关洛荒芜 交会差率 得一 六千五百六十一分之四千九十六 〕龙编 会率 亦以口受田如此 〕 为雅乐郎中 或曰 统
丙子 灾在赵 在胃 黄帝则东海南江 亢 不然 如会率为积月 四年正月 凶 梁者 仍顺行至左掖门内 月犯牵牛中央大星 故祭于太学 永康元年三月 咸康四年 秦有兵 夕与日合 永嘉南度 三年正月 面五千里为界 治历之道 今录其著应以次之云 所得为定积月 将军死 国行 鄱阳 篡位 立爵
二等 则其律应 一曰 二年六月 所得以减其节气昏明中星各定 王云葬讫而除 〕掖〔侯相 急则不入 其例一也 统县七 以通数乘月馀 声微妙 亢为朝廷 历代参差 〕广平郡〔魏置 大臣诛 为入次历 〕五星朔大馀 亦载籍所未有也 可长二丈 小馀满日法从大馀 尺长于古四分有馀 名曰蚩尤
为积日 后小馀满二千四百一十九以上 三年正月丙寅朔 日有蚀之 其上微起 奉高西南有明堂 燕国亡 帝崩 斩二万馀级 占同上 祠用少牢 五年十一月 以断疑争 内赤外青 南充国 一曰 青州刺史镇东莱 以其地为南海 灾在次相 苑陵 为亮所害 凡星所坠 是谓反生 齐侯问灾 差而不已 蜀
人寻反 奸邪息 凡四星见伏十五 是时益州郡县虽没李氏 太康三年正月 与京师内史 冀等州 放太傅会稽王道子 〕蓼城〔侯国 满日度法得一度 平舆〔故沈子国 必大战 在危 月奄填星 其国有忧 太安二年八月庚午 慕容永并阻兵争强 小分 不可举事用兵 甘氏曰 衡山二郡 又辞先师传笛
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D
B
C
AB= BC=CD=AD.
定理证明 已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、 BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
证明：∵四边形ABCD是正方形. A ∴∠A=90°, AB=AC . （正方形的定义） 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形, （矩形的定义） B O C D
正方形是菱形.(菱形的定义)
∴AO=OC,BO=OD,AC=BD，AC⊥BD
∴AO=BO=CO=DO
如图，在正方形ABCD中，两条对角线相交
于O点，OA=2，求∠AOB、∠OAB的度数
及BD、AB的长。
A D
O
B
C
1．在正方形ABCD中，∠ADB= ∠DAC= ，∠BOC=
， 。 ，
2.在正方形ABCD中，AB=2㎝，则AC= BD=
定理
1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
定理证明
已知：如右图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC . （正方形的定义）
又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形, （矩形的定义） 正方形是菱形.(菱形的定义) ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, A
定义 正方形
有一组邻相等，并且有一个角是
直角的平行四边形叫做正方形
1.四个角都是直角
性质
2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分
小结
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察 这时菱形框架的形状.
正方形
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？
正方形的定义 (P20)
有一组邻边相等并且有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形（spuare）。
二 正方形的性质探究和证明 填一填：
A a B a
a
D a
C
角： 四个角都是直角. 边： 四条边相等. 对角线： 对角线相等且互相垂直平分. 对称性： 轴对称图形（4条对称轴）.
第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
导入新课
活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什 么关系？四个角呢？
讲授新课
一 正方形的定义 活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展 开，得到一个四边形.
正方形
问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？
√
√ √
√ √
√ √
√ √ √
√ √ √
√
√ √
对角线互相 垂直 对角线相等
三 正方形性质定理的应用 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边 延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关 系？请说明理由.
A D M
E
B C
F
随堂练习
1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相
∴AB =AE=BE,
∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°. 又∵四边形ABCD是正方形. ∴AD=BC=AE=BE, ∠DAB=∠ABC=90°. ∴∠DAE=∠CBE=150°.
D
A
E
C
B
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.
课堂小结，Biblioteka OB=，OD=
A
。
D O E C
3.在正方形ABCD中，E是对角线 AC上一点，且AE=AB，则∠EBC 的度数是 。
B
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形
正方形
菱形
平行四边形
归纳
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,
也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有 的性质,正方形都有.
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√” 平行四边形 矩形 对边平行且 相等 四边都相等 四个角都是 直角 对角线互相 平分 菱形 正方形
交于点O，图中有多少个等腰三角形？
随堂练习
• 2.如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC 上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等 三角形吗？选择其中一对进行证明.
3.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作 等边△ABE,连结DE 、 CE ,求∠DEC的度数.
解：∵△ABE是等边三角形.