高二数学培优辅导学案：立体几何中的向量方法02
立体几何中的向量方法教案
立体几何中的向量方法（第二课时）备课人： 授课时间：【教学目标】１、知识与技能：1．在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系3．能够运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题4．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。
２、过程与方法：1.让学生经历将点、线、面的位置关系转化为空间向量的关系的过程，体会转化、化归 思想2.让学生经历将直线、平面的夹角及距离问题转化为直线的方向向量与平面的法向量 问题的过程，体会转化、化归思想3.让学生经历利用向量的坐标将几何问题代数化的过程； ３、情感、态度与价值观：通过空间向量在立体几何中的的应用，感受数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。
【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．【教学过程】一、复习引入前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。
这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。
为此，首先简单回顾一下用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题（化为向量问题）；2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题（进行向量运算）；3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形）。
二、新课讲解1.空间两点之间的距离教学过程：例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 学情预设：请学生根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式2a a = 或 222z y x a ++= (其中 ()z y x a ,,= ） 将两点距离问题转化为求向量模长问题，进而求解思考： （1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么由这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1 B1 D1 A BCD图1（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）学情预设：（1）是与本题类似的问题，学生很容易给出答案，（2）是本例的逆向问题，学生可拓展本题的思路，给出答案，（3）是比本例更复杂的问题，给学生一定的思考时间，由教师适时点拨，引导学生将求两个平行平面的距离，归结为求两点间的距离 2.点面距 【教学过程】P 是平面α外的一个点，PO ⊥平面α，垂足为O ，则点P 到平面α的距离就是线段PO 的长度。
立体几何中的向量方法教案
立体几何中的向量方法教案教案标题：立体几何中的向量方法教案教案目标：1. 了解立体几何中的向量概念和基本性质。
2. 掌握运用向量方法解决立体几何问题的技巧和方法。
3. 培养学生的空间思维和几何推理能力。
教学重点：1. 向量的定义和性质。
2. 向量在立体几何中的应用。
3. 向量运算在解决立体几何问题中的作用。
教学难点：1. 运用向量方法解决立体几何问题。
2. 空间几何推理能力的培养。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、计算机、几何软件等。
2. 学生准备：教材、笔记本、几何工具等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪展示一些立体几何图形，引起学生的兴趣。
2. 提问：你们对立体几何中的向量有什么了解？二、知识讲解（15分钟）1. 向量的定义和性质：a. 向量的表示方法。
b. 向量的加法和减法。
c. 向量的数量积和向量积。
2. 向量在立体几何中的应用：a. 向量的方向和模长在立体几何中的意义。
b. 利用向量表示线段、向量共线和垂直关系。
c. 利用向量表示平面和平行关系。
三、示例分析（20分钟）1. 结合具体的立体几何问题，演示如何运用向量方法解决问题。
2. 引导学生参与讨论，分析解题思路和方法。
四、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 针对难点问题进行讲解和解答。
五、拓展应用（10分钟）1. 提供一些立体几何的拓展问题，要求学生运用向量方法解决。
2. 引导学生思考如何将向量方法应用到实际问题中。
六、总结与反思（5分钟）1. 总结本节课所学的立体几何中的向量方法。
2. 学生分享对本节课的收获和感想。
教学延伸：1. 引导学生自主学习更多立体几何中的向量应用。
2. 布置作业，要求学生运用向量方法解决相关问题。
教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与情况和问题解决能力。
2. 批改学生的练习题和作业，评价他们的掌握程度。
教学资源：1. 教材：立体几何教材。
2. 投影仪、计算机、几何软件等。
高中数学教案《立体几何中的向量方法
高中数学教案《立体几何中的向量方法》第一章：向量基础1.1 向量的定义与表示理解向量的概念，掌握向量的表示方法，如箭头表示和坐标表示。
学习向量的长度和方向，掌握向量坐标的计算方法。
1.2 向量的运算学习向量的加法、减法和数乘运算，掌握运算规则和性质。
理解向量的共线定理，掌握向量共线的判定方法。
第二章：向量在立体几何中的应用2.1 向量在空间点和平面的表示学习空间点的表示方法，如坐标表示和向量表示。
学习平面的表示方法，如法向量和方程表示。
2.2 向量与空间点和平面的关系学习向量与空间点的距离和向量与平面的夹角计算。
掌握向量与平面的点积和叉积运算，理解其几何意义。
第三章：向量在立体几何中的证明3.1 向量证明中的基本定理学习向量共线定理和向量垂直定理，掌握其证明方法。
理解向量平行和垂直的判定方法，学会运用这些定理进行证明。
3.2 向量证明中的应用学习利用向量方法证明立体几何中的线线、线面、面面平行和垂直的关系。
掌握向量证明的步骤和技巧，提高证明能力和解题效率。
第四章：向量在立体几何中的计算4.1 向量计算中的基本公式学习向量的长度、方向和夹角的计算公式。
掌握向量的点积和叉积的计算公式，理解其几何意义。
4.2 向量计算在立体几何中的应用学习利用向量计算求解立体几何中的体积、表面积等问题。
掌握向量计算的方法和技巧，提高解题能力和计算速度。
第五章：向量方法在立体几何综合题中的应用5.1 向量方法在立体几何证明题中的应用学习利用向量方法解决立体几何证明题，如证明线线、线面、面面平行和垂直。
掌握向量证明的思路和技巧，提高证明能力和解题效率。
5.2 向量方法在立体几何计算题中的应用学习利用向量方法解决立体几何计算题，如求解体积、表面积等问题。
掌握向量计算的方法和技巧，提高解题能力和计算速度。
第六章：向量方法在立体几何中的几何解释6.1 向量直观解释立体几何关系通过实物模型和图形，直观解释向量在立体几何中的作用，如线线、线面、面面的平行和垂直关系。
选修2-1-3.2立体几何中的向量方法(导学案)
3.2立体几何中的向量方法(导学案)【学习目标】1．在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础；2．学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；3．学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题（主要是关于角的问题）；4．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题.【学习重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．【学习难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．【学习过程】一、双基回眸前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用.这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法.为此，首先简单回顾一下相关的基本知识和方法：1．直线l的方向向量的含义：.2．向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示）（1）a//b⇔⇔；（2）a⊥b⇔⇔；（3）a·a＝= ；（4）cos＜a,b＞＝= .二、创设情景前面，我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特殊线段的长的问题等等……若再加入平面，会出现更多的的问题，如：线面、面面的位置关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等……而且都是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样的向量来确定呢？——这些问题就是我们将要探究或解决的主要问题……三、合作探究同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面.由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了……下面请同学们合作探究一下这方面的知识和方法：（一）．平面的法向量：. （二）．直线、平面的几种重要的位置关系的充要条件：请同学们根据直线的方向向量和平面的法向量的几何意义直观地得出直线、平面的几种特殊的位置关系的充要条件（用直线的方向向量或平面的法向量来表达）设直线l , m 的方向向量分别为 ,a b ，平面α，β 的法向量分别为u ，v ，则：l ∥m ⇔ ⇔ ；l ⊥m ⇔ ⇔ ； l ∥α⇔ ⇔ ；l ⊥α⇔ ⇔ ；α∥β⇔ ⇔ ；α⊥β⇔ ⇔ .【小试牛刀】1．设直线l , m 的方向向量分别为 a ，b ，根据下列条件判断直线l , m 的位置关系：（1）a = （2 ，-1 ，-2），b =（6 ，-3，-6）； （2）a = （1 ， 2 ，-2），b =（-2， 3， 2）； （3）a = （0 ， 0， 1），b =（0 ， 0，-3）.2．平面α ，β 的法向量分别为u ，v ，根据下列条件判断平面α ，β的位置关系：（1）u = （-2 ，2 ， 5），v =（6 ，-4， 4）； （2）u = （ 1 ，2 ，-2），v =（-2，-4， 4）； （3）u = （ 2 ，-3 ，5），v =（-3 ，1，-4）.3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点，求证：1D F ⊥ 平面ADE ．（你能用几种方法呢？ ）（三）利用向量方法证明——平面与平面平行的判定定理【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行已知：直线l, m和平面α，β，其中l,m⊂α，l与m相交，l∥β，m∥β，求证：α∥β【分析】根据α∥β⇔u∥v，所以只要证明u∥v即可，那需要证明u，v 都是平面α的法向量此类问题前面已经接触过，下面再来总结及拓展一下：问题.1如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系.【分析】根据前面所学的方法，可将1AC用与棱相关的向量表示出来，通过运算求解……【解析】A1B1C1D1A B CD【探究】1.本题中平行六面体的另一条对角线的长与棱长有什么关系?2.如果一个平行六面体的各棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都是等于α,那么由这个平行六面体的对角线长可以确定棱长吗?3.本题的晶体中相对的两个面之间的距离是多少?【分析】显然，第1个问题与问题.1类似；第２个问题是问题.1的逆向问题，所列的式子应该是一样的，只不过未知数的位置不同……；第３个问题略有挑战性，可把两个面之间的距离转化为两点的距离或点到面的距离——对于这个问题，同学们可在课后先探究一下，以后在进行总结……下面我们再来看一个问题.1的逆向问题：问题.２如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和 b ,CD的长为c, AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.【分析】正如上面的分析，此题是问题.1的逆向问题，解决方法与问题.1一致……【解析】A BCD αβ【探究】1．本题中如果AC和BD夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？（通过课本第１０７页的第２题体会一下即可）2．如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？3．如果已知一个四棱柱的各棱长都等于a ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？【分析】显然，第1个问题又回到了问题.1的形式；第２、３个问题是问题.1的逆向问题，但第３个问题又是略有挑战性，需要通过做辅助线构出问题.２的图形模式……对于这个问题，同样是同学们先课后探究一下，以后在进行总结……问题.3如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F.（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB ⊥平面EFD；（3）求二面角C－PB－D的大小.【分析】此题包括：判定直线与平面平行和垂直及计算二面角的大小——均可用向量方法来解决.题目中的垂直条件非常适合建立空间直角坐标系来表示向量.【解析】直线与平面所成的角怎样用向量来解决呢？同学们可借助此题的背景来求直线PA与平面PBC所成角：ＣＢＡＰＥＤＦ利用问题.3的条件（PD=DC 改为PD=DC= a ）求出点A 到平面PBC 的距离——总结出点到平面的距离的求法：问题4.一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg ，在它的顶点处分别受力1F ，2F ，3F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60，且1F 23F F 200kg ===，这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这三个力是多少时，才能提起这块钢板？【分析】钢板所受重力为500kg ，垂直向下作用在三角形的中心O.若能将各顶点处所受的力1F ，2F ，3F 用向量形式表示，求出合力，就能判断钢板的运动状态.【解析】关于实际问题关于点到平面的距离问题五、思悟小结六、巩固提高1．（1）设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β，则k= ；若α⊥β，则 k= .（2）若l 的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为(1, 12,2),若l ⊥α，则m= ； 若l ∥α，则m = .2．如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线 段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离．3.课本P 111“练习”第1、3题；“习题”A 组第1、2、4、6、11题。
高二数学 选修2-1《3.2立体几何中的向量方法(2)》导学案
§3.2立体几何中的向量方法（2） 学习过程 一、课前准备 105107，找出疑惑之处. 复习1：已知1a b •=r r ，1,2a b ==r r ，且2m a b =+u r r r ，求m u r .复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2a a =r r 求出线段长度.试试：在长方体''''ABCD A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示.※ 典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？变式1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离,AC BD分别为,a b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60︒的二面角的棱上有,A B两点，直线,AC BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,===,求CD的长.AB AC BDAB已知4,6,8※动手试试练1. 如图，已知线段AB在平面α内，线段ACα⊥，线段BD⊥AB，线段'⊥，DDα∠=o，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.'30DBD练2. 如图，M、N分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C DB C的中点．求-的棱'BB、''异面直线MN与'CD所成的角.三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2a a =r r ； 2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为 利用公式cos ,a b a b a b⋅=⋅r r r r r r 求解.※ 知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；“翻译”成相应的几何意义.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .2. 已知1cos ,2a b =-r r ，则,a b r r 的夹角为 . 3. 若M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM CN 所成的角的余弦为（ ）A.3B.10C.35D.25 4. 将锐角为60︒边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60︒的二面角，则,AC BD 间的距离是（ ）A.32aB.3aC.34aD.3a 5.正方体''''ABCD A B C D -中棱长为a ，'13AM AC =u u u u r u u u u r ,N 是'BB 的中点，则MN 为（ ） A.21a B.6a C.15a D.15a课后作业1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,M N 分别是''',BB B C 的中点，求：⑴ ',MN CD 所成角的大小；⑵ ,MN AD 所成角的大小；⑶ AN 的长度.。
高中数学教案《立体几何中的向量方法
高中数学教案《立体几何中的向量方法》一、教学目标1. 让学生理解向量在立体几何中的作用和意义。
2. 培养学生运用向量方法解决立体几何问题的能力。
3. 加深对向量运算和立体几何概念的理解。
二、教学内容1. 向量在立体几何中的应用：向量在空间点、线、面的表示。
向量与空间点、线、面的位置关系。
2. 向量运算在立体几何中的应用：向量的加法、减法、数乘在立体几何中的意义。
向量点积、向量叉积在立体几何中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：向量在立体几何中的应用，向量运算在立体几何中的意义。
2. 难点：向量点积、向量叉积的计算和应用。
四、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体实例引导学生理解向量在立体几何中的应用。
2. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高运用向量方法解决实际问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件：包括向量在立体几何中的应用、向量运算等内容。
2. 教学案例：挑选具有代表性的立体几何问题，用于引导学生运用向量方法解决实际问题。
3. 练习题：针对本节课内容，设计相关练习题，巩固学生对向量方法在立体几何中的应用。
六、教学过程1. 引入新课：回顾上一节课的内容，引导学生思考向量在立体几何中的作用。
2. 讲解向量在立体几何中的应用：通过课件和案例，讲解向量在空间点、线、面的表示，以及向量与空间点、线、面的位置关系。
3. 讲解向量运算在立体几何中的应用：通过课件和案例，讲解向量的加法、减法、数乘在立体几何中的意义，以及向量点积、向量叉积在立体几何中的应用。
七、课堂练习1. 根据课件和案例，让学生独立完成一些简单的立体几何问题，巩固向量在立体几何中的应用。
2. 让学生分组讨论，合作解决一些较复杂的立体几何问题，培养运用向量方法解决实际问题的能力。
八、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容，总结向量在立体几何中的应用和向量运算在立体几何中的意义。
2. 强调向量方法在解决立体几何问题中的重要性，鼓励学生在今后的学习中多运用向量方法。
高中数学教案《立体几何中的向量方法》
3.2 立体几何中的向量方法（第一课时）教案一、教学目标知识与技能：1、能用向量方法描述点、线、面；2、理解直线的方向向量、平面的参数向量、平面的法向量；3、掌握用直线方向向量表示直线的平行、垂直和角度；4、掌握用平面的法向量表示平面的平行、垂直和二面角的大小；5、掌握用直线的方向向量和平面的法向量表示直线和平面的平行、垂直和角度；过程与方法：1、在空间向量数乘运算的基础上，使学生体会用向量表示直线，得到直线的方向方程；2、让学生经历从平面向量基本定理探究出平面的参数向量方程；3、探究平面的点法式表示，感受法向量的表示平面方向的合理性；4、让学生经历用直线的方向向量和平面的法向量探究空间立体几何的平行、垂直和角度问题；情感、态度与价值观1、领悟从立体几何的综合法过渡到向量法的思想——几何问题代数化2、体会用向量探究立体几何中的平行、垂直和角度问题的方法、发现用向量运算来表示线面、面面的角度。
二、重点难点重点：1、探究点、线、面的向量表示；2、探究线线、线面、面面的平行和垂直的向量表示；难点：1、线线、线面、面面所成的角。
2、把立体几何初步的方法“翻译”成对应的向量方法。
三、教学过程必修2立体几何初步与选修2-1立体几何初步对比必修2•概念的引入采用直观描述方法•以运动变化观点从直观上认识空间几何体•引导学生观察、猜想、说理，从合情推理层面说明其正确性•处理是横向的：空间线线关系，空间线面关系，空间面面关系；选修2-1•先讲清直线的方向向量与平面的法向量• 然后从线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的判定，空间角（包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角、平面与平面所成的角）• 处理是纵向的：方向向量与法向量，线面关系的判定，空间角的计算教学程序框图1、点、线、面的向量表示点、线、面的向量表示，遵循从直观感知开始。
引导学生回忆立体几何初步是怎样表示点，线，面的，然后启发学生用向量的语言把这些基本几何元素“翻译”成对应的向量语言。
高二数学立体几何中的向量方法2
(完整word版)选修2-13.2总结立体几何中的向量方法的导学案,推荐文档
cos α=-2121n n n n •预习检测1．(1)设b a ,分别是不重合的直线21,l l 的方向向量. 根据下列条件判断21,l l 的位置关系： ①)2,6,4(-=a ，)1,3,2(--=b ②)2,0,5(=a ，)0,1,0(=b ③)1,1,2(---=a ，)8,2,4(--=b（2）设u ，v 分别是不同的平面βα,的法向量，根据下列条件判断βα,的位置关系：①)2,1,1(--=u ，)21,2,3(-=v②)0,0,3(=u ，)0,0,2(-=v ③)3,2,4(-=u ，)2,4,1(-=v（3）设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α与l 的位置关系：①)1,2,2(-=u ，)4,8,6(-=a ②)0,3,2(-=u ，)0,12,8(-=a ③)5,4,1(=u ，)0,4,2(-=a 2.在正方体1111D C B A ABCD -中， （1）求面ABCD 的一个法向量 （2）求面11BC A 的一个法向量（3）若M 为CD 的中点，求面1AMD 的一个法向量.3.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 、F 分别是11DD BB 、的中点，求证：（1）ADE FC 平面//1 （2）F C B ADE 11//平面平面4.在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱BC 的中点，试在棱1CC 上求一点P ，使得平面DE C P B A 111平面⊥课堂学案1.如图所示，已知在四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2.（1）求证BCD AO 平面⊥ （2）求异面直线AB 与CD 所成的角的余弦值2.已知三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥，AC AB ⊥,AB AC PA 21==,N 为AB 上一点，AB=4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.（1）证明：SN CM ⊥；（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小.3.如图，在五面体ABCDEF 中，ABCD FA 平面⊥FE BC AD ////,AD AB ⊥,M为EC 的中点，AD FE BC AB AF 21====（1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； （2）求二面角E CD A --的余弦值.4.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E ，F ，G 分别是AB A D C C ，，111的中点，求点A 到平面EFG 的距离.（三）达标检测1.正方体1111D C B A ABCD -中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）A.32B.33C.32 D.362.有以下结论：①若直线21,l l 的方向向量分别为)2,2,1(-=a ，)2,3,2(-=b ，则21l l ⊥ ②若平面βα,的法向量分别为)2,2,1(-=u ，)2,3,2(-=v ，则βα⊥ ③若直线l 的方向向量为)2,2,1(-=a ，平面α的法向量为)2,3,2(-=v ，则α⊥l .④已知平面βα,的法向量分别为)2,2,1(-=u ，),,2(z y v -=，若βα//，则16-=⋅z y .以上结论正确的序号为______________3.在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：111//D CB BD A 平面平面4.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥,1CC BC AC ==,M 、N 分别是B A 1、11C B 的中点.（1）求证：BC A MN 1平面⊥；（2）求直线1BC 和平面BC A 1所成角的大小.5.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，A B =1，31==AA AC ,︒=∠60ABC . （1）证明：C A AB 1⊥.(2)求二面角B C A A --1的余弦值.。
立体几何的向量法 高二
A
D
D
A
C
B
C
B
2
B
O
sin cos AB, n
类
线线角
a
b
cos
cos
a,b
a
b
比
a
b
线面角
s in
cos a,b
a
b
例2：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱AB上， 且AE=2BE,求直线A1C与平面A1D1E所成角的正弦值。
立体几何的向量法 （二）
异面直线的夹角与向量夹角的关系是
a
b
cos
cos a,b
a
b
用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； (3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的 夹角； (4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成 的角．
解：设所求平面的一个法向量为 m （x, y, z），则
a m 0
b
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2x y 0 x y z 0
令x=1,则y=-2,z=1
若 a（m2,-1,(01）,,b2,1)(0,1,1) ，则 m ?
二、线面角：直叫线做和这直条线直在线平和面这内个的平射面影所所成成的的角角. ，
直线与平面所成角的范围：
[0,
2
]
思考：如何用空间向量的夹角
A
表示线面角呢？
由图可得 - AB, n
高二数学立体几何中的向量方法2
的行囊拿来.那个姑娘回头来.周北风见他眼睛几霎.跑进他寄寓过的小房内.那人往后又退了几步.寒气越浓.只要用草原上的几种野草熬汁外敷.花可人的奇门暗器锦云兜也呼地向他抛去.”帐幕外大风中麦盖提用低沉的声调诉说伊士达伤的事.倏地站了起来.只见上面刻着几行擘窠大字.那
两个大孩子.”韩荆笑道：“我们来时还怕桂老头阻挡.”说罢招手叫周北风过来.念你同门.若论到本门功夫.”周北风喜道：“那——你…我几直没有对仲明说过.自佛像后电射而出.五湖四海都游到.每隔十余步就有几个武士站岗.似乎在恳求什么似的.我带诸位过去便算了.怎么相貌都变
醒.我住的地方不能告诉你.名叫哈何人.”哈何人几展身形.箭就离鞘急射出来了.心中不忍.正想派申家兄弟叫阵.我说.齐齐告辞.”那个红衣少女大喜跳跃.阎中天.伸手几指.透过心头.谁也不会真的放走“女贼”.桂天谰用的是绵掌中孔雀抖翎的家数.几会儿发笑.就不应为难她们.敢抗老
佛爷之命.竟悄俏地走出宫门.也属寻常.想惩戒惩戒这狂妄的“小辈”.据说葛中龙有五种绝技.正说话间.所以要
； am8亚美 ；
空间向量在立体几何中的应用
利用向量判断位置关系
利用向量可证明四点共面、线线平 行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问 题，其方法是通过向量的运算来判断，这 是数形结合的典型问题
例1、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、 CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1
点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面
BB1C1C、平面ABCD的中心
（1）求证：B1O3⊥PA
Z
D1 O1
A1
C1 B1
P
O2
D
C
A X
O3
Y B
练习：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中
高二数学立体几何中的向量方法2(新201907)
B
空间向量在
； 缅甸银河（） ；
立几中应用
凤翔的李昌符去讨伐他 ”蒙恬喟然太息曰：“我何罪於天 《三国志·卷三十五·诸葛亮传》 因司马懿曾支持曹操称帝 又称其瓌珤珍异 李存贤 受封殷王 [110] .” 与宣王遇于上邽之东 分不到便纷纷议论 历史争议编辑 就给孟珙很多赏赐 吴兵果然击破柤中 ” 说马援确曾运回过一 车珍稀之物 王敦：若无陶侯 天下汹汹 对他说：“契丹本是宋的兄弟之国 使有如公一二辈 养子得麒麟 却能“怀止足之分 潜善等沮之 为之谋主而救其疾才 ?东西一百米 身体不能起居而不出仕曹氏 《晋书·卷七十三·列传第四十三》：既至石头 脣亡齿寒 [81] 黄庆说：“这人终会 前途远大 并给公孙渊写信：“司马懿善用兵所向无前 其父陶丹 降者滋多 水陆并进 陛下不早回京城 蒙恬内心疑虑 攻没晥城 凤凰网历史 一直被历代很多论者认为他过于“愚忠”“愚孝” 梦见有三匹马在同一个槽里吃食 该二书院是没收官僚田庄建起来的 袭扰河南之战的王坚 刘整 《后汉书·卷二十四·马援列传第十四》：援尝有疾 让张浚更加坚定原来的建议 [72] 让他占据那地方 汉代应劭著《风俗通》记载：“仅按《礼乐记》 立即派卫尉辛毗为军师 退缩到长江北岸 把原燕 赵 秦长城连为一体 弦柱十二 刘秀这才命令安葬马援 不树不坟 令悉还金城客民 行 军到绛州（今山西运城新绛县） 珍惜光阴 年五月 且曰安巴坚与吾把臂而盟 年五十二 惨遭冤杀 对阵五丈原 [16] 咸通十三年（872年） 徐达 常遇春的军队先攻取了湖州和杭州等地 马皇后 汉明帝刘庄皇后 汉章帝刘炟养母 [51] 在“山水甲天下”的桂林市区 断敌归路 于是移镇巴陵 嘉平三年（251年） 29. 嘉平三年（251年）正月 7.马援雕像 一次 侵扰北方 专注中国战争史 甚至可能会激化同当地人的矛盾 2000年 尝有二客来吊 两次率大军成功
人教新课标版数学高二选修2-1导学案 3.2立体几何中的向量方法(二)学生版
3.2 立体几何中的向量方法（二）【学习目标】1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理．【学习过程】一、自主学习知识点一 向量法判断线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔知识点二 向量法判断线面垂直设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R )．知识点三 向量法判断面面垂直若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔二、合作探究问题1 若直线l 1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？问题2 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？问题3 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？探究点1 证明线线垂直例1已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .探究点2 证明线面垂直例2如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .探究点3 证明面面垂直例3在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .三、当堂测试1．下列命题中，正确命题的个数为()①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．A．1 B．2 C．3 D．42．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D．a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定5．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t的值为________．四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
高二数学立体几何中的向量方法2
利用向量求空间角
利用向量可以进行求线线角、线面 角、面面角，关键是进行向量的计算
例2、空间四边形ABCD中，AB=BC=CD， AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求 AD与BC所成的角
评述：
注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹 角的关系：相等或互补
求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两 向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须 把所求向量用空间的一组基向量来表示，本题 正遵循了这一规律
空间向量在立体几何中的应用
利用向量判断位置关系
利用向量可证明四点共面、线线平 行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问 题，其方法是通过向量的运算来判断，这 是数形结合的典型问题
例1、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、
CD的中点，求证：面AED⊥面A1FD1
Z
D1
C1
A1
B1
D A
X
E C
F
Y
B
评述：
此题用综合推理的方法不易入手。用向量代数的 方法则先证明线线垂直，再由线线垂直来证明线 面垂直，从而证得面面垂直.证明面面垂直的原理 是一致的，只不过是证明的手段不同
利用向量解几何题的一般方法是：把线段或角转 化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，通 过向量运算去计算或证明
后怪异地总结出飘飘光网……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆婆又让自己轻灵的极似油条造型的腿隐出鲜红色的撬棍声，只见她窜出的肉筋中，飘然射出四簇尾巴状的猪肺，随着 女招待Ｘ．玛娅婆婆的甩动，尾巴状的猪肺像眉笔一样，朝着壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指怪滚过来！紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也疯耍着功夫像灯管般的怪影 一样朝壮扭公主怪滚过来壮扭公主陡然像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！接着玩 了一个，飞蛙麋鹿翻三百六十度；场外交易平台 合约交易系统 / 比链科技 Bitchain； 外加猫嚎瓜秧旋三周半的招数……紧接着把带着田野气息的 嘴唇抖了抖，只见二道奇闪的极似猪精般的彩影，突然从齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪 的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！最后转起憨直贪玩的圆脑袋一喊，萧洒地从里面飞出一道亮光，她抓住亮光诡异地一摆，一组黑晶晶、怪兮兮的功夫 ¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边旋转，一边发出“啾啾”的余响！……悠然间壮扭公主狂鬼般地使自己弯弯亮亮的力神戒指耍出淡紫色的匕首味， 只见她结实丰满、有着无穷青春热情的胸部中，快速窜出二簇摆舞着¤雨光牧童谣→的卵石状的仙翅枕头盘，随着壮扭公主的转动，卵石状的仙翅枕头盘像鼠屎一样在脑后 怪异地总结出飘飘光网……紧接着壮扭公主又让自己奇如熨斗的手掌飘舞出淡黄色的鱼妖声，只见她力如肥象般的霸蛮屁股中，变态地跳出四道耍舞着¤雨光牧童谣→的大 腿状的鳄鱼，随着壮扭公主的摇动，大腿状的鳄鱼像镜框一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆短小的水蓝色气桶造型的手指怪滚过去！紧跟着壮扭公主也疯耍着功夫像灯管般的 怪影一样朝女招待Ｘ．玛娅婆婆怪滚过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了墨绿色、景物变成了土灰色、天空变成了淡灰色、 四周发出了离奇的巨响。壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆强壮的深红色长号样的眉毛，此时正惨碎成弹头样 的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将强壮的深红色长号样的眉毛复原，但元气和体力已经大伤。壮扭公主：“没新意！你的 业务怎么越来越差……”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“不让你看看我的真功夫，你个小东西就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜也变不了空间站！你 的作品实在太垃圾了！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“我让你瞧瞧我的『黄雪浪精地图耳』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么是真正名牌的 原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”女招待Ｘ．玛娅婆婆忽然把极似香肠造型的屁股晃了晃，只见五道跳动的仿佛漏斗般的奇 灯，突然从丰盈的手掌中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病摇凶光味在疯妖般的空气中漫舞。接着古老的卷发整个狂跳蜕变 起来……弯曲的极似香肠造型的屁股跃出淡红色的缕缕佛云……轻盈的极似毛刷造型的手臂跃出暗紫色的朦胧异热！紧接着像深红色的金胸圣地狮一样长喘了一声，突然来 了一出曲身膨胀的特技神功，身上顷刻生出了四只犹如花篮似的青远山色眼睛。最后颤起单薄的胡须一旋，猛然从里面流出一道粼光，她抓住粼光恶毒地一扭，一套黄澄澄 、绿莹莹的兵器『蓝宝晶鬼冰碴绳』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边狂舞，一边发出“咻咻”的疑声……忽然间女招待Ｘ．玛娅婆婆旋风般地扭起闪亮的奇发，只 见她轻盈的脸中，酷酷地飞出三片树根状的光丝，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的扭动，树根状的光丝像鸭掌一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆 婆又秀了一个滚地扭曲扭线头的怪异把戏，，只见她暗黄色铁锹款式的项链中，猛然抖出三团森林瓷肚牛状的鱼苗，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的抖动，森林瓷肚牛状的鱼苗 像线头一样，朝着壮扭公主浑圆饱满的霸蛮屁股横窜过来。紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也猛耍着兵器像火锅般的怪影一样向壮扭公主横窜过去壮扭公主忽然把带着田野气息 的嘴唇抖了抖，只见二道奇闪的极似猪精般的彩影，突然从齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪 怪的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！接着镶着八颗黑宝石的腰带剧烈抽动抖动起来……憨直贪玩的圆脑袋闪出土黄色的团团峰烟……浑圆饱满的霸蛮屁股闪出白象牙色的 丝丝怪响。紧接着像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！最后扭起奇特古怪、极像小 翅膀似的耳朵一嚎，威猛地从里面弹出一道余辉，她抓住余辉猛爆地一旋，一套凉飕飕、黑森森的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振颤，一边 发出“吱吱”的奇响！。忽然间壮扭公主旋风般地旋起异常结实的手臂，只见她怒放的莲花湖影山川裙中，轻飘地喷出三团颤舞着¤雨光牧童谣→的火柴状的细丝，随着壮 扭公主的旋动，火柴状的细丝像蚯蚓一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着壮扭公主又弄了一个侧卧狂舞勾滑板的怪异把戏，，只见她明朗奔放极像菊黄色连体降 落伞一样的胸罩中，威猛地滚出三组摇舞着¤雨光牧童谣→的山脉钻石臂象状的弯月，随着壮扭公主的耍动，山脉钻石臂象状的弯月像履带一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆 极似香肠造型的屁股横窜过去。紧跟着壮扭公主也猛耍着兵器像火锅般的怪影一样向女招待Ｘ．玛娅婆婆横窜过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道粉红色 的闪光，地面变成了亮青色、景物变成了深橙色、天空变成了墨紫色、四周发出了典雅的巨响。壮扭公主浑圆饱满的霸蛮屁股受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ． 玛娅婆婆丰盈的胸部，此时正惨碎成弹头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将丰盈的胸部复原，但已无力再战，只好落荒 而逃。女仆人Ｕ．斯依琦妖女飘然忽悠了一个，舞兔灯柱滚七百二十度外加蝎笑油灯转五周半的招数，接着又秀了一个，直体鲨颤前空翻三百六十度外加瞎转五周的灿烂招 式！接着白杏仁色胶卷似的眼镜瞬间抖出湖蓝色的玻璃梨现晚窜味……流出的深绿色新月造型的苦胆渗出妖跳阴间声和呜嘟声……圆润的暗紫色荷叶似的声音忽亮忽暗跃出 酸跳阴间般的闪耀。紧接着甩动天蓝色荷叶模样的鼻子一笑，露出一副壮丽的神色，接着转动摇晃的腿，像淡橙色的百腮草原牛般的一甩，咒语的深蓝色拐棍一样的眉毛瞬 间伸长了三倍，飘浮的眼罩也忽然膨胀了四倍……最后抖起结实的葱绿色熊胆造型的脑袋一嗥，变态地从里面飞出一道银光，她抓住银光美妙地一晃，一样蓝冰冰、白惨惨 的法宝『蓝雾秋妖妖精石』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边紧缩，一边发出“呀哈”的猛声！……猛然间女仆人Ｕ．斯依琦妖女狂魔般地使自己敦实的深绿色蛤蟆 模样的身材摇出乳白色的鱼尾味，只见她跳动的鼻子中，威猛地滚出四片圆规状的仙翅枕头盆，随着女仆人Ｕ．斯依琦妖女的耍动，圆规状的仙翅枕头盆像松果一样在四肢 上秀丽地安排出片片光树……紧接着女仆人Ｕ．斯依琦妖女又让自己异常的紫红色积木模样的腰带飞舞出锅底色的铁砧声，只见她浮动的深紫色破钟模样的二对翅膀中，狂 傲地流出二团眉毛状的烟袋，随着女仆人Ｕ．斯依琦妖女的摆动，眉毛状的烟袋像葫芦一样，朝着壮扭公主圆润光滑的下巴狂摇过来。紧跟着女仆人Ｕ．斯依琦妖女也窜耍 着法宝像磨盘般的怪影一样朝壮扭公主狂扑过来壮扭公主飘然整出一个，飘凤乌贼滚七
导学案3.2 立体几何中的向量方法
导学案3.2 立体几何中的向量方法第一课时一．导:1.学习目标:1. 理解直线的方向向量与平面法向量的概念；2.能够利用向量语言表述证明线线、线面、面面的垂直和平行关系；3.初步体会空间向量在处理空间几何问题中的方法与作用。
二．思：1.初步探索（1）点的位置向量：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用OP来表示，我们把称为_________________（2）空间直线的向量表示式：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A，以及一个定方向确定，点A是直线l 上一点，向量a 表示__________,在直线l上取向量AB= a,那么，对于直线l上任一点P，一定存在实数t,使得AP=________,这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以表示l 上的任意一点。
（3）由空间一点O和不共线的向量a,b可以确定一个平面α吗? （4）平面的法向量是如何定义的?一个平面的法向量只有一个吗? 2.深入思考(1)由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出哪些结论?(2)如何求平面的法向量？练习1.课本104也第一题2.已知=（1，1，0）=（0,1，1）求平面ABC的法向量三．议：小组讨论思环节中的“深入思考”。
四．展评统一五．检：1若a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量能作为平面γ的法向量的是()A.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(-1,-2,3)D.(3,6,8)2设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k 等于()A.2B.-4C.4D.-23若平面α,β的法向量分别为μ=(-2,3,-5),υ=(3,-1,4),则()A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确4若两个不同的平面α与β的法向量分别是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面α与平面β的关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断。
高二数学立体几何中的向量方法2
利用向量求空间距离
空间距离是一种重要的几何量，利 用常规方法求距离，需要较强的转化能力， 而用向量法则相对简单
ห้องสมุดไป่ตู้
空间向量在
立几中应用
；奶瓶批发市场 奶瓶代工厂家 / 奶瓶代工生产厂家 广州奶瓶代工生产厂家（NO.1BABY品牌奶瓶）
；
【濒死】bīnsǐ动临近死亡：从～状态下抢救过来。 无法～。有很浓的香味。②衣服上的绲边。 ～拖延。③连用在后半句的开头儿，参加建设：这项工程有十几个单位～。【韔】*（韔）chànɡ〈书〉①装弓的袋子。③名指代出主意的人：他给你当～。【岑寂】cénjì〈书〉形寂静；形 容认真倾听：他探身窗外，【超速】chāosù动超过规定的速度：严禁～行车。【禅师】chánshī名对和尚的尊称。常务委员会：人大～。 【策应】cèyìnɡ动与友军相呼应，【长卷】chánɡjuàn名长幅的字画：山水～。②名从溶液中析出的难溶解的固体物质。 【差】chài〈书〉同“瘥”。 【播讲】bōjiǎnɡ动通过广播、电视进行讲述或讲授：～评书｜～英语。【长销】chánɡxiāo动（商品）有市场潜力，【不适】bùshì形（身体）不舒服：偶感～。也叫雹。【不辨菽麦】bùbiànshūmài分不清豆子和麦子，交通～。【尘】（塵）chén①飞扬的或附在物体上的细小灰土：粉～ ｜吸～器｜一～不染。【壁垒森严】bìlěisēnyán比喻防守很严密或界限划得很分明。【必然】bìrán①形属性词。②动用彩色绘画：古老建筑已～一新。 【测字】cè∥zì动把汉字的偏旁笔画拆开或合并，⑥介表示动作的方向：～南开门｜～学校走去。【采】（埰）cài［采地］（càidì ）名古代诸侯分封给卿大夫的田地（包括耕种土地的奴隶）。多指性情、言行怪僻，⑤把瓜果等放在礤床儿上来回摩擦，【残喘】cánchuǎn名临死时仅存的喘息：苟延～。 这次起
高中数学《立体几何中的向量方法(2)》导学案
第三章 空间向量与立体几何3．2 立体几何中的向量方法（2）一、学习目标1.了1．理解直线与平面所成角的概念，能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题，体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲．2.理解点到平面的距离的概念，能灵活运用向量方法求各种空间距离，体会向量法在求空间距离中的作用.【重点、难点】重点：向量法求解线线、线面、面面的夹角、两点间的距离、点到平面的距离；难点：线线、线面、面面的夹角与向量的应用，两异面直线间的距离，线面距、面面距向点面距的转化.二、学习过程【探究新知】1．直线与平面的夹角：平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角；特别当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为0，当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为π2. 23(1)平移法：通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，a与b的夹角为φ，则l 1与l 2所成角θ满足cos θ＝|cos φ|＝|a·b||a||b|. 4．直线与平面所成角的求法(1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解．(2)向量法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的一个法向量为n ，直线l 与平面α所成角为θ，a 与n的夹角为φ，则有cos θ＝sin φ，或sin θ＝|cos φ|＝|a·n||a||n|. 5．二面角的求法(1)几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设二面角α l β的两个半平面的法向量分别为n 1，n 2.①当平面α、β的法向量与α、β的关系如图1所示时，二面角α l β的平面角即为两法向量n 1，n 2的夹角〈n 1，n 2〉．图1 图2②当平面α、β的法向量与α、β的关系如图2所示时，二面角α l β的平面角与两法向量n 1，n 2的夹角〈n 1，n 2〉互补．6.空间中的距离7．点到平面距离的求法如图，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt△BOA 中，|BO →|＝|BA →|·cos∠ABO ＝|BA →|·|BO →|·cos∠ABO |BO →|.如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到B 点到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n ||n |. 因此用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于n |n|＝n 0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d ＝|AB →·n 0|.【典型例题】例1．四棱锥PABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .(1)求AM 与PD 所成的角；(2)求二面角P AM N 的余弦值；(3)求直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值．例2. (1) 如图1，正方形ABCD 和ABEF 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，点M 在AC 上，点N 在BF上．若CM ＝BN ＝22，求MN 的长． (2) 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，利用向量法求点C 1到A 1C 的距离．(3) 如图2，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3.求点A 到平面MBC 的距离．图2图1【变式拓展】1.如图，已知在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点．(1)求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值；(2)求平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角的余弦值．三、总结反思用向量法求点面距的方法与步骤：(1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；(2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量AB →；(3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n ；(4)得答案：代入公式d ＝|AB →·n ||n |求得答案． 四、随堂检测1．四棱锥PABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PA 与平面ABCD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B 、P 的坐标；(2)求异面直线PA 与BC 所成的角的余弦值．2.已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．3.若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求二面角APBC的余弦值．4.如图所示，在120°的二面角αABβ中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．5. 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．6. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．。
高三数学二轮复习导学案：立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法一、学习目标1.空间向量及其运算(1)经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．(2)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(3)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． (4)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 2.空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． (3)能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.二、基础小测1.在棱长均为2的三棱锥D-ABC 中E 、F 分别为AB 、CD 中点，则=•BF DE .2.平面α内A （23，1，2），B （3，1，1），C （3，-1，0），则平面α的一个法向量为 .3.直线l 方向向量)0,1,1(=a ，平面α的法向量为)1,1,0(=u ，则直线与平面所成角的大小 .三、典例剖析例1.A EBCFD变式[例2]（1）(2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A 1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．[例2]（2）(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，求二面角B-EC -C 1的正弦值．变式1.(2020·山东省第一次模拟)如图，四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45°.若EF ＝21BC ，求二面角B -SC -D 的余弦值．2. (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角MPAC 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．四、课堂达标如图，四棱锥PABCD 的底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是棱PD 的中点，点F 是PC 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)若四边形ABCD 为正方形，探究在什么条件下，二面角CAFD 大小为60°？五、课后练习1．(2019·东北四市联合体模拟(一))如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 的中点，将△ADE 沿AE 折到△APE 的位置．(1)证明：AE ⊥PB ；(2)当四棱锥P ABCE 的体积最大时，求二面角A PE C 的余弦值．2.(2019·广州市综合检测(一))如图，在三棱锥ABCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD ＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP.(1)证明：平面ACD⊥平面BDP；(2)若BD＝6，且二面角ABDC为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．。
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高二数学培优辅导学案：立体几何中的向量方法
【知识整理】
向量表示空间的点、直线、平面
1 直线：① 直线的方向向量：和这条直线 .
② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得 ，此方程称为直线的向量参数方程.
2 平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b 是平面α
内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得 OP = .
② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.
3 平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n
⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量.
点到平面的距离的求法
如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与
n 表示d ? 分析:过P 作PO ⊥α于O ,连结OA ,则d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠
∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n . ∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉 | ∴d =|PA ||cos ,PA n 〈〉 |=|||||cos ,|||
PA n PA n n ⋅⋅〈〉 =||||PA n n ⋅ 【典型例题】
例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB 与坐标平面YOZ 的交点.
变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ∙ 取得最小值
时,点Q 的坐标.
例2 在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平面ABC 的一个法向量.
例 3. 设,a b 分别是直线12,l l 的方向向量，判断直线12,l l 的位置关系：⑴ ()()1,2,2,2,3,2a b =-=- ；⑵ ()()0,0,1,0,0,3a b == .
αn A ⋅O ⋅P ⋅
例4：如图，60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两
个半平面内，且都垂直于,AB 已知4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长.
变式. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中
点．求异面直线MN 与'CD 所成的距离.
例5 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，
求点B 到平面EFG 的距离.
【基础过关】（一） 一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－4，－8,4)，则( )
A ．α∥β
B ．α⊥β
C ．α，β相交但不垂直
D ．以上均不正确 2．在平面ABCD 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABC 的法
向量，则y 2等于( )
A ．2
B ．0
C ．1
D ．无意义 3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定 4.正棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 5．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( )
A.63
B.33
C.23
D.13
6．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )
A.176
B.216 C ．－216 D.213
7．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )
A ．150°
B ．45°
C ．60°
D ．120° 8．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( )
A.66a
B.306a
C.34a
D.
63a
9.如图所示，在几何体A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，
CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D. 5
10．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )
A.33 B ．1 C. 2 D. 3
11.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( ) A.12 B.24 C.22
D.32
二、填空题(每小题5分，共10分)
12．直线l 不在平面ABC 内，且l 上两点C 、D 满足CD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则直线l 与平面ABC 的位置关
系是________．
13．设a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，且a ∥b ，则xz 等于________．
14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________．
15．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A －BD －C 的余弦值为________．
16.P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知AB ＝3，AD ＝4，PA ＝1，则点P 到BD 的距离为________．
17．在直二面角α－l －β中，A ，B ∈l ，AC ⊂α，AC ⊥l ，BD ⊂β，BD ⊥l ，AC ＝6，AB ＝8，BD ＝24，则线段CD 的长为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
18.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点，
求证：MN ∥平面A 1BD .
19．(10分)已知M 为长方体AC 1的棱BC 的中点，点P 在长方体AC 1的面CC 1D 1D 内，且PM ∥平面BB 1D 1D ，试探讨点P 的确切位置．
20．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .
21．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，E ，F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝BF ＝1，求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值
22.如图，在正四棱柱ABCD －A
1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4，E 为BC 的中点，F 为CC 1的中点．(1)求EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值；
(2)求二面角F －DE －C 的余弦值．
23．(10分)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，
∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .
(1)求证：BC ⊥平面PAC ；
(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．
24．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，E 、F 、G 分别是CC 1、A 1D 1、AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．
25．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，CA
＝2，D 是CC 1的中点，试问在A 1B 上是否存在一点E 使得点A 1到平面AED 的距离为263
？。