高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学教学课件 (共2
人教A版高中数学必修4《1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_12
§1.1.1任意角【问题导学】1．角的有关概念（1）角：平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形称为角。
此旋转射线的端点叫做角的 ，开始位置的射线叫做角的 ，终止位置的射线叫做角的（2）任意角：按 时针方向旋转形成的角叫正角；按 时针方向旋转形成的角叫负角；如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个 角。
角的概念推广到了任意角，包括 ， ，和 。
2. 象限角：若角的顶点在原点，角的始边与 重合，即角的 在第几象限，就称这个角是是第几象限角。
注：如果角的终边在 上，则称这个角不属于任何象限。
3.终边相同的角：设α表示任意角。
所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合。
这个集合可记为{β|β= }。
【预习自测】1、 120是第 象限角，120-是第 象限角。
89是第 象限角， 350是第 象限角。
2、在 360~0范围内，与角 750终边相同的角是（ ）A ． 60 B. 75 C. 30 D.1503、把 2009-化成),3600(360Z k k ∈<∂≤⋅+ θ的形式是( ) A. 3605209⨯-- B. 3605209⨯- C. 3606151⨯- D.3606511⨯--4、下列各命题正确的是（ ）A ．终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于90°的角都是锐角 合作探究案【例题探究】例1．在 360~0范围内，找出与'31950 -角终边相同的角，并判断它是第几象限角？例2．（1）分别写出终边在x 轴，y 轴，以及坐标轴上的角的集合（2）分别写出第一象限、第三象限、的角的集合。
例3．（1）已知α是锐角，那么α2 是（ ）A ．第一象限角 B. 第二象限角 C.小于 180的正角 D. 第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2∂ 是（ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第三象限角 D. 第一或第二象限角例4．写出终边在直线x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式 720360<≤-β的元素β写出来。
高一数学人教A版必修4第一章1.2任意角的三角函数5课时课件()
习题 1.2 A组
第 1、2、3、4、5、8 题
习题 1.2
A组
1. 用定义法、公式一以及计算器等求下列角的
三个三角函数的值:
(1)
-
17
3
;
(2)
21
4
;
解: (1) 定义法:
(3)
-
23
6
;
(4) 1500.
yp
因为 与 的终边相同, 如图:
取终边上一点P, x =1,
则 r =2.
得
o1 x
(2) tan193 ;
(4)
tan(
-
31
4
).
解: (1) cos1109= cos(29+3360)
= cos29 ≈0.8746.
(2)
练习: (课本15页)
7. 求下列三角函数值(可用计算器):
(1) cos1109; (3) sin(-1050);
(2) tan193 ;
(4)
tan(
o
x
(-) (-) (-) (+) (+) (-)
sina
cosa
tana
请同学们归纳后记住各象限角的符号:
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
例3. 求证: 当且仅当下列不等式组成立时, 角q 为
第三象限角.
stainnqq
0, 0.
证明: 若 sinq <0 q 是三、四象限的角,
5. 根据下列条件求函数
f
(x)
=
sin(
x
+
4
)+
2sin(
x
-
人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_14
阅读与思考：三角学与天文学一、教材分析本节课是普通高中课程数学必修四第一章阅读材料，供高一年级学生使用。
本节课主要以阅读课本材料三角学与天文学的联系和发展历程为主要任务，带领学生体会三角学的发展过程，最后让学生产生学习三角学的兴趣及继续探索和研究三角学的愿望。
本节的阅读课，围绕“三角学与天文学”让学生思考这样几个问题，天文学对三角学的发展产生了怎样影响？三角学的发展历程以及不同时期的著名科学家们的重要贡献是什么？通过阅读，讨论，总结，从而使学生对三角学的思想有更加深入的认识。
二、学情分析三角学是为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运动路线和位置以帮助报时，计算日历，航海和研究地理产生的。
学生通过本章学习，经历将几何问题代数化，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体会数形结合思想。
形成正确的数学观，了解三角学的产生，发展的背景及过程，更有利于培养学生的探索精神。
三、教学目标1、知识与技能(1)通过阅读能够了解三角学产生之前的背景。
(2) 通过阅读能够了解三角学的主要分支以及不同时期科学家对三角学发展的主要贡献。
(3) 通过阅读能够了解三角学对数学，物理学以及天文学发展产生的影响。
2、过程与方法在合作阅读中共同分析，探讨，确定三角学的逐渐发展过程，形成清晰的知识链接。
3、情感态度与价值观通过了解德国著名科学家雷格蒙塔努斯，法国著名数学家韦达等的背景材料，让学生产生对数学家及对数学的兴趣。
四、教学重难点能够在阅读中提取重要信息，形成研究成果。
五、教学策略与方法本节课主要以数学阅读为主要教学任务，带领学生一起探究并提取有效信息。
通过情境导入，营造一个积极向上的课堂氛围，采用“合作探究”的教学方式带领学生一起理解三角学与天文学的发展及联系。
六、教学过程七、板书设计三角学与天文学1、三角学的起源：球面三角学2、三角学的发展：《论各种三角形》八、教学反思本节课是数学阅读课，让学生经过认真阅读，分析阅读材料，学会从材料中提取有用信息，不仅锻炼了学生的分析理解能力，而且通过阅读材料让学生明确了数学阅读在学习中的作用，从而让学生养成良好的阅读习惯，不仅要课堂阅读，也要进行大量的课外阅读，这样数学课也会充满人文色彩，让学生在兴趣中进行理性思考，激励他们去探索更多的数学奥妙。
人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_8
知识与技能：能够在熟悉的数学情境中了解运算对象，提出运算问题.能够了解运算法则及适用范围，正确进行运算；能够在熟悉的数学情境中，根据问题的特征形成合适的运算思路，解决问题；在运算过程中，能够体会运算法则的意义和作用，能够运用运算验证简单的数学结论.在数学核心素养形成过程中，能够使学生进一步发展运算能力；
过程与方法：能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题.能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题.在数学核心素养形成过程中，能够使学生进一步发展运算能力；
情感态度价值观：能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维的发展，养成程序化思考问题的习惯.形成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
交流分享
小组互助
分析探讨
明确本节课的教学目标
强化基础知识公式定理的应用
设计合理的运算程序可以使运算准确、灵活、快速.
通过学生讲解、教师总结，引导学生体会运算过程中需深挖运算条件.简化运算过程.
巩固提升
检验学生的分析理解的能力
考察学生建立模型解决问题的能力
板书设计：
数学运算――三角函数
目标导学：１.熟练运用公式
教学重点：优化解题策略指明运算方向.
教学难点：一题多解提供运算通径.
教学手段：导学案、多媒体
教学方法：问题探究法，自主学习法，讨论演示法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、导入新课
二、合作探究
三、训练诊学
四、展示探究
五、归纳总结
六、布置作业
1．介绍数学核心素养
2．引导学生数学运算
3．通过三角函数运算问题来探讨如何使运算正确、灵活、合理、简洁.
1.2.1任意角的三角函数课件高中数学人教A版必修4第一章
反思与感悟
利用诱导公式一可把负角的三角函数
化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三
角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化
正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
明目标、知重点
跟踪训练3
求下列各式的值：
23π
(1)cos－ 3 ＋tan
解
17π
4 ；
π
π
原式＝cos3＋－4×2π＋tan4＋2×2π
角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广
后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角
函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
明目标、知重点
探究点一 锐角三角函数的定义
思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知
a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，
反思与感悟
准确确定三角函数值中角所在象限是基
础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问
题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、
四余弦”来记忆.
明目标、知重点
跟踪训练2
已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( C )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
明目标、知重点
； 叫做α的正切，记作
②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则
2
2
x
＋y
有sin α＝
，cos α＝
，tan α＝
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高中数学人教A版必修4第一章《阅读与思考三角学与天文学》1教学目标了解“三角学与天文学”的关系2学情分析这是阅读部分内容,目的是开拓学生知识面,提高学生学习数学的兴趣。
3重点难点对历史的发展理解4教学过程4.1.1新设计三角学与天文学背景：早期三角学不是一门独立的学科,而是依附于天文学,是天文观测结果推算的一种方法,因而最先发展起来的是球面三角学.希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容,可大都是天文观测的副产品.三角学起源于古希腊。
为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要，古希腊人已研究球面三角形的边角关系，掌握了球面三角形两边之和大于第三边，球面三角形内角之和大于两个直角，等边对等角等定理。
印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进，但主要是应用在天文学方面。
15、16世纪三角学的研究转入平面三角，以达到测量上应用的目的。
16世纪法国数学家韦达系统地研究了平面三角。
他出版了应用于三角形的数学定律的书。
此后，平面三角从天文学中分离出来，成了一个独立的分支。
平面三角学的内容主要有三角函数、解三角形和三角方程。
过程：动手观察乔丹，发现位置的改变体会视差，进而引入测量天体距离的方法。
测量天体之间的距离不是一件容易的事. 天文学家把需要测量的天体按远近不同分成好几个等级.离我们比较近的天体,它们离我们最远不超过100光年(1光年=9.46万亿1012公里),天文学家用三角视差法测量它们的距离.三角视差法是把被测的那个天体置于一个特大三角形的顶点,地球绕太阳公转的轨道直径的两端是这个三角形的另外二个顶点,通过测量地球到那个天体的视角,再用到已知的地球绕太阳公转轨道的直径,依靠三角公式就能推算出那个天体到我们的距离了.稍远一点的天体我们无法用三角视差法测量它和地球之间的v距离,因为在地球上再也不能精确地测定它们的视差了. 〔河内天体的距离又称为视差,恒星对日地平均距离(a)的张角叫做恒星的三角视差(p),则较近的恒星的距离D可表示为:sin π=a/D〕若π很小,π以角秒表示,且单位取秒差距(pc),则有:D=1/π用周年视差法测定恒星距离,有一定的局限性,因为恒星离我们愈远,π就愈小,实际观测中很难测定.三角视差是一切天体距离测量的基础,至今用这种方法测量了约10,000多颗恒星.因此从天文学中又衍生出了三角学,而三角学则为天文研究奠定了基础.教学反思：通过本节课的学习，主要是体会数学的魅力，三角学史，三角学的发展过程，三角学与天文学的关系，增加学生对数学的喜爱，兴趣。
高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学教学课件 (共2
B
A C
解三角形的应用---实地测量举例
例3、 为了测定河对岸两点A、B
间的距离，在岸边选定1公里长 的基线CD，并测得∠ACD=90o， ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
B D
A
C
三角学源于测量实践，其后经过了漫长时间 的孕育和众多中外数学家的不懈努力，才逐 渐丰富，演变发展成为现代的三角学，它以 三角函数及其应用为主要研究对象，它是刻 画周期现象的重要数学模型，在现实问题中 具有广泛应用，对于等速圆周运动，温度变 化，声波，潮汐等周期现象都可以通过三角 函数模型来加以研究。随着科技的发展，三 角学知识将会更多地为天文学创造更加精密 的计算方法。
。
在天文学，物理学的研究应用中三角学找到了新的用武之地！ 轨道定律 面积定律 周期定律
三角函数知识网络 ：必修4第一章与第三章（平面三角学）
必修5第一章
解三角形的应用---实地测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、
B间的距离？
B A
解三角形的应用---实地测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、
奇迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主 的实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但 看你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排 使是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛 就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看 错，尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人 人身上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静 果有些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所 战后，要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接 ，面对社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自 帮你，一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至 努力提高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名 太想改变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟 纷开始早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医 的一种浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合 上，我就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们 是1000前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感 一通乱忙乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努 过我了，为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，给我分享了两个小故事讲的第一个故事是“保龄球效应”，保龄球投掷对象是10个瓶子， 分是90分，而你如果每次能砸倒10个瓶子，最终得分是240分。故事讲完，老师问我明白啥意思没？我说大概猜到一点，你让我再努力点，对吗？不对！你已经够努力 诉你，你现在就是那个每次砸倒9个瓶子的人。你累倒的原因是因为你同时在几个场馆玩，每一个场馆得分都是90分，而有些人，则是只在一个场馆玩，玩多了，他就 十倍，得分却还是远远超过你。老师讲的第二故事是“挖水井”，一个人选择好一处地基，就在那里一直坚持不懈的挖下去，而另一个人则是到处选地基，这边挖几米 挖出水来了，而另一个人则是直到累死也没有挖出一滴水。首先，你必须承认努力是必须的，只要你比别人努力了那么一点，你确实能超过一些人。只是人的精力也是 最终得到的结果只会是永远装不满水桶的半桶水。和老师通完电话后，我调整了几天，也对自己手头上的事物做一些大改变。将目前摆在面前的计划一一列出来，挑出 ，再以此类推，排完手中所有的计划。对于那些不是很急的，对目前生活和工作不是特别重要的，先果断放弃。我现在最迫切的目标是什么？当然是七月份的转行新媒 是第一位。而新媒体所需学习的技能又有很多，那怎么办呢？先挑自己有点底子的，有点基础的，把巩固持续加强。个人感觉自己写还是有点小基础的，所以就给自己 篇文字，加强文案方面的训练。而另外PS也是做运营的必备条件之一，所以在训练文案的同时，还得练习PS，给自己的要求是每天练习PS半小时。还有别的吗？不敢 差不多了。一直很喜欢作家刘瑜的一段话：每当我一天什么也没干的时候，我就开始焦虑。每当我两天什么都没干的时候，我就开始烦躁。每当我三天什么都没干的时 了，我三天什么都没干啊，我寝食难安……这正是我三个月前的真实写照。多年来，我已经养成一种习惯，绝不让任何一分钟死有余辜：我在堵车的时候听日语，在等 看书，在任意两件事的衔接点那里扒出细缝，用来回邮件、回短信……我以为
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“任意角的三角函数”教学设计•数学（4）》（人教A版）。
三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。
三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.二、学情分析在初中学生学习过锐角三角函数。
因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。
学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。
三、教学方法与手段教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学目标1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。
5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。
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§1.1.1角的概念的推广一、学习目标：1、掌握用“旋转”的方式定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念．二、教学重点、难点重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法．难点：终边相同的角的表示.三、教学方法：探究引导、讲授及多媒体演示．四、内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.五、教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1、角的概念]360,0[02、从实例出发，发现很多问题中角的范围发生了变化。
1、初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是]360,0[00，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”2、生活中很多实例会不在该范围]360,0[0体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？1、引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性。
2、为引入正角与负角的概念做好准备。
这些例子不仅不在范围]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）新概念的产生1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角ABαO一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210º，β=-150º，γ=660º，2100-15001、教师用多媒体演示角的形成。
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《1.4.1 函数、余弦函数的图象（第2课时）》教学设计
一、新课引入
正弦y=sinx 叫做正弦函数；y=cosx 叫做余弦函数.这两个函数的定义域都是R 。
利用三角函数线作y=sinx x ∈[0,2 π]的图象时,描出了12个点，但其中起关键作用的点是哪些？（引出五点法作简图的五个关键点）
分别说出它们的坐标________________________________________________.
二、新课传授
1. 五个关键点—
五个点一作出，图像的基本形状也就确定了————称为五点法作简图。
类比可得到余弦函数的情况。
2. 应用
〖例1〗 画出函数y=1+sinx ，x ∈[0, 2π]的简图
探究：你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数y=sinx x
[0, 2π]的图象来得到
y=1+sinx ，x [0, 2π]的图象？
3. 归纳与整理
现在要做正弦函数、余弦函数的简图，就可采用“五点法”来做，只要描出五个关键点即可：
〖例2 〗 画出函数y=-cosx ，x ∈[0, 2π]的简图。
应用： 根据余弦函数图象写出使不等式cosx ＞
21， x ∈[0，2π]成立的x 的集合。
教材P34 练习:1在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx ，x ∈[0, 2π] 和 y= cosx ，x ∈[ 2π-
, 23π ]的简图。
三、归纳与整理
1. 正弦曲线、余弦曲线
x y=sinx ，x ∈[0, 2π]
π]，x 1 [0,。
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
人教A版高中数学必修4《1.2任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学》7
角的看法的推行一、学习目标：1、掌握用“旋转”的方式定义角的看法，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边同样的角”的含义．2、掌握全部与角终边同样的角(包含角)的表示方法；3、领会运动变化看法，深刻理解推行后的角的看法．二、教课要点、难点要点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边同样的角的表示方法．难点：终边同样的角的表示.三、教课方法：研究指引、解说及多媒体演示．四、内容剖析：本节主要介绍推行角的看法，引入正角、负角、零角的定义，象限角的看法以及终边同样的角的表示方法.建立运动变化的看法，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推行后的角的看法.教课方法能够采用议论法，经过实质问题，教师抽象并经过用几何画板多媒体课件演示角的形成更为形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的看法，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的看法，明确“规定”的实质意义，突出角的看法的理解与掌握.经过详细问题，让学生从不一样角度作答，理解终边同样的角的看法，并给予表示，从特别到一般，概括出终边同样的角的表示方法，达到打破难点之目的.五、教课过程：教课教课内容环节1、角的看法[00,3600]师生互动1、初中是怎样定义角的？从一个点出发引出的两条射线组成的几何图形这类看法的长处是形象、直观、简单理解，但它是从图形形状来定义角，所以角的范围是设计企图1、指引学生经过亲身感觉来认识角的看法推行的必需性。
复[00,3600]，这类定义称为静态定习引义，其缺点在于“狭小”入2、生活中好多实例会不在该范围2、从实例出发，发现好多问题中角2、为引入正角][00,36 0与负角的看法的范围发生了变化。
做好准备。
体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o 经过1小不时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不单不在范围[00,3600]，并且方向不一样，有必1．角的看法的推行⑴“旋转”形成角BαO A一条射线由本来的地点OA ，绕 着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一地点OB ，就形成角 ．旋转开 始时的射线OA 叫做角 的始边，旋转停止的射线 OB 叫做角 的终新 边，射线的端点O 叫做角的极点．概 突出“旋转” 注意：“极点”念 “始边”“终边”要将角的看法推行到随意角，想一想用什么方法才能推行到随意角？（运动）1、教师用多媒体演示角的形成。
人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_2
1.2.1 任意角的三角函数教案一、教学目标：知识与技能：1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.过程与方法：通过建立圆周运动的数学模型，调动象限角、· 弧度制、·单位圆、·锐角三角函数等相关知识，在建立函数模型的过程中水到渠成地引入任意角三角函数的概念。
让学生感受数学概念不断发展的过程和必要性。
情感、态度与价值观通过任意角的三角函数定义学习，让学生体会数学源于生活，数学概念的严谨与自然，帮助学生形成科学的世界观、价值观．二．重点难点重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义。
难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号.三、教材与学情分析学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程1.实例导入:“离离原上草，一岁一枯荣． 野火烧不尽，春风吹又生”(王安石诗)。
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§1.2.2同角三角函数的基本关系教学目标：（一）知识与技能：1、能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系式及其内在联系；2、理解和掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的思想方法。
（二）过程与方法：1、牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题；2、提高学生分析、解决三角函数问题的思维能力和正确运算能力。
（三）情感态度与价值观：1、增强学生的自主学习能力和数形结合、分类讨论的数学思维想；2、培养和提高学生的推理分析能力和解决问题的综合能力；3、激发学生的学习兴趣，为以后的学习打好基础。
教学重点：同角三角函数的基本关系的推导及其应用（化简、求值和恒等式证明）教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用。
教学方法：引导分析、合作探究、讲练结合。
（一）教法：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识，提高自身能力。
（二）学法：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同探索,逐步解决问题.数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。
课型：新授课教具：计算机，多媒体投影，黑板教学过程：（一）、问题引入：1、任意角的三角函数定义：P x y，它与原点的距离为：设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)(0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=， 2、当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？ 3、背景：如果53sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值？ 4、问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？（二）、新知探究：（板书课题：同角的三角函数的基本关系） 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：1、商数关系：2、平方关系： 说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tan cot 1(,)2k k Z πααα⋅=≠∈ ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos α= 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα=等。
人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_17
“直线与平面垂直的定义与判定”一、教材分析本节课的主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用.课本（“人教A版”必修2，下同）通过让学生观察旗杆与它在地面上影子的位置关系引出直线与平面垂直的概念，并通过折纸试验让学生操作并确认直线与平面垂直的判定定理.定理把定义中要求的与平面内“任意”一条（无限）直线垂直转化为与平面内“两条”（有限）相交直线垂直，使直线与平面垂直的判定具有可操作性.课本中的例1给出了判定直线与平面的一个间接方法：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直与这个平面.直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.通过该内容的学习，进一步培养和发展学生的几何直观能力、合情推理与逻辑推理能力以及运用图形语言进行交流的能力，体验和领悟转化的数学思想，即“空间问题转化平面问题”“无限问题转化为有限问题”“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”等.二、教学目标1、知识与技能：⑴理解直线与平面垂直的定义。
⑵掌握直线与平面垂直的判定定理。
2、过程与方法：利用已有知识与生活经验，抽象概括出直线与平面垂直的定义；通过概括、辨析与应用，正确理解直线与平面垂直的定义；通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；能运用直线与平面垂直的判定定理，证明和直线与平面垂直有关的简单命题。
3、情感与价值：让学生在发现中学习，增强学习的积极性；提高学生的学习兴趣。
教学重点：抽象概括直线与平面垂直的定义，操作确认直线与平面垂直的判定定理.教学难点：操作确认直线与平面垂直的判定定理及其初步应用.三、教学问题诊断分析学生已经学习了两条直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，学生对“为什么要且只要两条相交直线”的理解有一定的困难，因为定义中的“任意一条直线”是指“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程会导致学生形成理解上的思维障碍.同时，在运用直线与平面垂直的判定定理时，有些学生不知如何选择已知平面内的两条相交直线，从而导致证明过程中无从着手或发生错误.四、教学支持条件分析为了有效实现教学目标，教师准备：多媒体课件（以PowerPoint为平台）、三角板、大三角形纸片等教具.学生自备：三角形纸片（任意形状）、笔（表直线）、课本（表平面）等学具.五、教学过程设计（一）直观感知直线与平面垂直的位置关系在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行我们已经系统研究过了，接下来要研究直线与平面相交的情形.问题1请举出日常生活中具有直线与平面相交的例子，你见到最多的直线与平面相交的情形是什么？意图：基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中的特例——直线与平面垂直的形象，由此引出课题.师生活动：学生举例，通过比较，引导学生先研究直线与平面垂直的情形，教师根据学生举例的情况适当补充，如旗杆与地面、跨栏的支架与地面的位置关系等.问题2在已学的空间几何体的直观图中，说说你心目中哪些直线与平面是垂直的？意图：基于学生的数学现实，在已学的几何模型中感知直线与平面垂直的位置关系.师生活动：学生举例，如长方体的侧棱与底面，圆柱、锥的轴与底面的位置关系等.问题3 你觉得画怎样的直观图最能反映你心目中的直线与平面垂直的情形？意图：给出直观图的画法，有利于揭示问题的本质，有利于进行几何的抽象概括.师生活动：学生画图，师生共同分析画法.画法：如图1，通常把直线l画成与表示平面α的平行四边形的一边垂直（二）抽象概括直线与平面垂直的定义作为一种常见的特殊位置关系，我们首先要给它下定义，如何定义一条直线与一个平面垂直呢？从构成要素的角度看容易想到已研究的直线与平面平行的位置关系.问题4 （1）你能回忆一下直线与平面平行的研究思路吗？（2）类似的我们又如何研究一条直线与一个平面垂直呢？意图：引导学生用“降维”的思想来思考问题，通过考察直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形.师生活动：学生回忆直线与平面平行的研究思路，考察该直线与平面内直线的位置关系（图2），教师适时给出“旗杆与变动的影子的关系”的情景来启发学生.问题5 如图3，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC（1）它们的位置关系是怎样的？（2）随着太阳的移动，它们的位置关系会发生改变吗?（3）AB与地面上任意一条不是影子（不过旗杆底部B）的直线B′C′的位置关系又是什么？由此得到什么结论？意图：第（1）（2）问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问旨在引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B 的直线也垂直，从中概括出：一条直线与一个平面垂直，那么该直线与此平面内的任意一条直线都垂直.师生活动：学生思考、分析与说理，教师可利用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子的移动过程.得出结论后引导学生思考：能否用一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，来定义直线与平面垂直.问题6 若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你能断定该直线与此平面垂直吗？意图：通过观察、思考与讨论，让学生感悟：一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，这条直线就与该平面垂直. 并让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义.师生活动：引导学生继续操作、观察，如图4，当的平面外直线AB（用一支笔表示）与平面（用桌面表示）不垂直时，平面内就有直线BC（可用另一支笔表示）与平面外的这条直线不垂直.接着引导学生给出定义，教师给出严格定义及其相关概念.定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.辨析1：命题“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直”是否正确？为什么？意图：使学生明确平面中直线的“任意性”.师生活动：引导学生用笔表示直线，用书本表示平面来举出反例，教师可结合图5说明.（三）操作确认直线与平面垂直的判定定理通常定义可以作为判定的依据.问题7 如图6，标准的跨栏，其支架必须竖直立于地面（即支架所在直线与地面所在平面垂直），如何进行检验？意图：引发学生认知冲突，激发探索判定定理的需要，将平面内直线条数从无限条转化为有限条.师生活动：先让学生思考用定义判断不方便的原因，再讨论平面内直线减少到多少条才合适，排除一条和两条平行的情形，针对两条相交情形，引导学生进行折纸活动.实验：请你拿出准备好的三角形的纸片，我们一起来做一个试验：如图7，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）问题8 （1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？意图：通过折纸活动让学生发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直（如图8）.师生活动：让学生沿A点进行各种翻折，并充分观察、思考与讨论，教师参与活动.问题9当折痕AD与BC不垂直时，绕AD无论怎样翻折，翻折后AD始终与桌面所在平面α不垂直吗？为什么？意图：回归定义分析，明确判定一条直线与一个平面不垂直，只要该直线与平面内的一条直线不垂直.师生活动：学生继续观察并说理，如图9，当AD与BC不垂直时，翻折后AD始终与桌面内的直线BD（或DC）不垂直.问题10当折痕AD⊥BC时，绕AD无论怎样翻折，（1）翻折之后AD始终与桌面所在平面α垂直吗？（2）翻折之后的垂直关系即AD⊥BD，AD⊥CD是否发生变化？由此得到什么结论？意图：问题（1）旨在让学生继续操作并确认AD始终与桌面所在平面α垂直的事实，问题（2）意在引导学生发现：当AD垂直于平面α内过D的任意两条相交直线时，AD就垂直于平面α.师生活动：引导学生继续操作观察，进行合情推理并获得结论.问题11 AD⊥BD，AD⊥CD，就有AD⊥α.它与直线与平面垂直的定义相符合吗？意图：建立了定义与判定之间的联系，有助于学生发现判定的本质，也有助于深化学生对定义的理解.师生活动：学生解释说明，如图10，当AD⊥BC时，固定BD，保持DC紧贴桌面，让折纸的CAD部分挠着AD旋转，旋转过程中发现AD始终与平面α垂直（直观感知），同时AD与平面α内任意一条过点D的直线都垂直，因此AD与平面α内任意一条直线都垂直.问题12 根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理.师生活动：学生叙述判定定理，教师可追问：上述平面中两条相交直线与平面外的这条直线是否一定要有公共点？以明确平面内两相交直线的任意性，接着指出前面的验证过程并非定理的严格证明，在后续学习中将借助空间向量的方法来证明，再引导学生给出文字、图形、符号这三种语言表示，明确定理中的五个条件.定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.（如图11）用符号语言表示为：辨析2：命题“如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面”是否正确？为什么？意图：强化平面中两条“相交”直线的条件.师生活动：学生思考作答，教师强调“相交”条件. 接着让学生给出检验跨栏的支架是否竖直立于地面的办法：只要与地面上两相交横杆垂直.（四）初步应用例1：如图12，在正方体AC′中，下列结论是否正确，为什么？①AD⊥面D C C′D′②BD⊥面D C C′D′③AD⊥C D′意图：利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用.其中①是判定定理的应用，②是定义的应用，③是判定定理与定义的综合应用.师生活动：学生思考作答，教师参与讨论.例2：如图13，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.意图：能分别用判定定理与定义解决问题，会用证明问题的一般思维策略：由已知想可知（性质），由未知想需知（判定），合理选择辅助线.师生活动：由学生分析思路并口述证明过程，师生共同评析，接着引导学生阅读课本，注意证明题书写的规范性，并用文字语言叙述：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.练习：如图14,在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC，求证：VB⊥AC. (课本P67 练习1)意图：进一步领会问题解决的一般思维策略，合理选择辅助平面，体会转化思想在解决问题中的作用.师生活动：学生板演练习，师生共同评析.（五）总结反思（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？（3）你还有什么收获与感想？意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括.六、目标检测设计1.如图14，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证：PO⊥平面ABCD.2.课本P74练习13.课本P73探究题：如图15，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力.其中第1题主要运用直线与平面垂直的判定定理，第2、3题是活用直线与平面垂直的定义与判定定理.设计说明：高中新课标强调立体几何教学中用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的方法认识和探索几何图形及其性质.本节课是在该要求的指导下，借助学生已有的研究经验，按照感知实例—归纳定义—确认判定—初步应用的研究主线展开.直线与平面垂直是日常生活中常见的特殊线面位置关系，教学中通过引导学生举例，有助于学生直观感知直线与平面垂直的形象，通过在空间几何体的直观图中寻找线面垂直的位置关系，有助于从中抽象出线面垂直的直观图形，培养学生的几何直观能力.直观感知后给线面垂直下定义是自然的事，为了帮助学生理解定义中的“任意一条”，本部分设计以概念的形成方式进行，教学中首先类比“直线与平面平行”的研究思路，引导学生运用“降维”转化的方法思考问题，考察直线与平面内直线的位置关系，再通过分析旗杆与影子的位置关系这种学生熟悉的生活实例，让学生通过观察、实验、归纳、猜想等思维活动逐步概括得出线面垂直的定义，使定义教学自然、合理、准确，有助于学生对线面垂直本质的理解，也有助于提高学生的抽象概括能力.对判定定理的教学，课标不要求在必修课程中进行证明，而强调操作确认并归纳出判定定理.但是怎样操作才能归纳出判定定理？确认到什么程度，才能在不对定理进行证明的情况下，不降低学生的思维水平，不仅体现合情推理，而且体现逻辑推理？本设计充分利用教材中折纸试验的素材，通过一系列问题的引导，给学生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中.同时让学生在操作过程中进行解释与说理，挖掘折纸试验所反映的数学本质，建立判定与定义的有效联系，体现了操作确认过程中的逻辑推理成份，达到合情推理与逻辑推理并重的效果.另外，通过定理的探索过程，也培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力.例、习题的选择充分考虑知识应用的层次性，从让学生理解、记忆定义与判定及简单应用到灵活应用判定和定义进行线线、线面位置关系的转化等，巩固所学知识，体会蕴含的转化数学思想，丰富证明问题的思考策略.。
人教A版高中数学必修4《第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学》_3
两角和与差的正弦、余弦和正切学习目标：1.熟练掌握两角和或差的正弦、余弦和正切公式及其变形式；2.能够运用以上公式求角的三角函数值学习重点及难点：两角和或差的正弦、余弦和正切公式及其变形式的应用学习过程：一、基础知识复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)=.(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.(3)公式T(α±β):tan(α±β)=.常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.二倍角余弦公式的变形:sin2α=, cos2α=.3.一般地,函数f(α)=a sin α+b cos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)其中或f(α)=cos(α-φ)其中.基础知识热身题组一常识题1. sin 75°的值为.2.已知cos α=-,α∈,则sinα+的值是.3. cos 65°cos115°-cos 25°sin115°=.4.已知tan α=,tan β=-2,则tan(α-β)的值为.题组二常错题5.已知tan+α=,α∈,π,则cos α的值是.6.化简:sin x-cos x=.7.计算:=.8.若α+β=,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为.二、课堂考点探究考点探究一：两角和与差的三角函数公式的直接应用例1 (1)若sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,则sin 2αcos β=()A. B.C. D.（2）已知cos=cos α,tan β=,则tan(α+β)=.[总结反思]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的。
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B间的距离？
在B的同一侧选定一点C
A
β
B
α
C
解三角形的应用---实地测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、
B间的距离？
A
α
β 55
B
C
若BC=55, ∠α=510 ,α ∠
β=750,求AB的长.
A
β
B
α 55
C
解三角形的应用--实地测量举例
例3、 如何测定河对岸两点A、B
间的距离？
如图在河这边取一点，构造三角 形ABC，能否求出AB?为什么？？
。
在天文学，物理学的研究应用中三角学找到了新的用武之地！ 轨道定律 面积定律 周期定律
三角函数知识网络 ：必修4第一章与第三章（平面三角学）
必修5第一章
解三角形的应用---实地测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、
B间的距离？
B A
解三角形的应用---实地测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、
B
A C
解三角形的应用---实地测量举例
例3、 为了测定河对岸两点A、B
间的距离，在岸边选定1公里长 的基线CD，并测得∠ACD=90o， ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
B D
A
C
三角学源于测量实践，其后经过了漫长时间 的孕育和众多中外数学家的不懈努力，才逐 渐丰富，演变发展成为现代的三角学，它以 三角函数及其应用为主要研究对象，它是刻 画周期现象的重要数学模型，在现实问题中 具有广泛应用，对于等速圆周运动，温度变 化，声波，潮汐等周期现象都可以通过三角 函数模型来加以研究。随着科技的发展，三 角学知识将会更多地为天文学创造更加精密 的计算方法。
阅读与发现： 三角学与天文学
利用不同视点对同一物体的视差来测定距离的方法。
球 面 三 角 形
希腊天文学家希帕霍斯
天球坐标系（是描述星体相对于地球的 角度位置）
解斜三角形理论 在实际问题中的应用
。
。 。
如何测量金字塔的高度？
相似三角形原理！
雷提库斯发现了三角函数定义从而使平面三角学从球面三角学中 独立出来。