22.1.1 二次函数
A复习22.1.1《二次函数》
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax2 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a 4.4 0 a 1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1x2 4.4
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四
象(C限)，y则二次函数 yy=ax2+bx-3 的y 大致图象是y
ox
ox
ox
ox
A -3
B -3
AB 30米,这时水面离桥顶的高度h是（）
A、5米 B、6米；C、8米；D、9米
y
x
0
h
A
B
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长
是8m，宽是2m，抛物线可以用 y 1 x2 4 4
表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道 吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车 是否可以通过？
·5 ·C
·
·
·
·
·· -3 –2
· o B·
–1 · 1
· 2
x
·
A·
·-3
-4
交点式： y a ( x x1 )( x x 2 )
y
例3 已知抛物线与x轴的两个交 点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过 点C(2，5)，求其解析式。
数学人教版九年级上册22.1.1二次函数概念
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x (0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）
1 m n ( n 1) 2
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛.比赛的场数m与球队n有什么关系？
即:
1 2 1 m n n 2 2
此式表示了比赛场数m与 球队个数n之间的关系, 对于n的每一个值,m都有一个对应值,即m是n的函数.
问题3:
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划 今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定, y与x之间的关系怎样表示?
m 2 2
小结：二次函数 2 a 0) 定义：二次函数 y ax bx c(a, b, c是常数，
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。
（2）a,b,c为常数，a≠0
（3）等式右边最高次数为2，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项
(4)x的取值范围是任意实数
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)² +1
(3) s=3－2t² 1 __ (5)y= －x x²
(2) y=(x+3)² －x²
(6) v=8π r²
解: (1) y =3(x2-2x+1)+1 (4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9-x2 =3x2-6x+3+1
人教版九年级数学上册第22.1.1节《二次函数》课本+练习
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22.1.1 二次函数
知识点：1.二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数，其中是，分别是函数表达式的，，。
2.当时，这个函数还是二次函数吗？为什么？或能为0吗？
一、选择题：
3．已知函数m是常数．
（1）若这个函数是一次函数,求的值;
（2）若这个函数是二次函数,求的值。
4.汽车在行驶中，由于惯性作用刹车后还要向前滑行一段路程才能停止，我们称这段路程为“刹车距离”。
已知某种汽车的刹车距离y(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：当司机小张以80 km/h的速度行驶时，发现前方
大约60m处有一障碍物阻塞了道路，于是小张紧急刹车，问汽车是否撞到障碍物？
1
参考答案
22.1.1 二次函数
知识点：
，自变量，二次项系数，一次项系数,常数项.
一．选择题 1.B 2.D 3. B 4. D 5. D 6. A。
九年级数学人教版第二十二章二次函数22.1.1二次函数定义(同步课本知识图文结合例题详解)
九年级数学第22章二次函数
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
再经过一年后的产量是_____2_0_(_1_+_x_)_(_1件+x，) 即两年后的
2
是二次函数关系.
九年级数学第22章二次函数
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长 和宽相等,高比长多0.5m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S(m2)如何表示? (2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需 要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x （2）y=5S=5×(6x2+2x)
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0____.
九年级数学第22章二次函数
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种函数？ 解析：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
函 数
关系Leabharlann 一次函数y=kx+b(k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y= k (k≠0)
x
二次函数
九年级数学第22章二次函数
问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
22.1.1二次函数
的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2、下列函数关系式中,是二次函数的是( D )
A. y = 2x B. y = mx2
C.
y
1 x2
D.
y = (a2+1)x2-ax+a （a是常数）
4、若函数 y (m 1)xm23m2 为二次
函数，求m的值。
(7) y (x 1)2 x2 不是
(8) y x2 2 不是 x
(9)y = mx2 不是
(10)y = (a2+1)x2-ax+a（a是常数）是
2、把函数 y=(5x+7)(x-3)+2x-5 化成一
般形式，并写出各项系数。
3、指出下列函数的二次项系数,一次项系数, 常数项分别是多少?
（1）自变量的最高指数是2；
（2）解析式为整式；
（3）一次项、常数项可以为0，但二次项绝对不 能为0，即a≠0
1、下列函数中,哪些是二次函数?是二次函数的
请指出各项系数。
(1) y x2 是
（2）
y 1 x 2
不是
(3) y 1 不是 x2
(4) y 4 不是 x
(5) y x(1 x) 是 （6） y 5x 1不是
6、已知函数 y (a 2 4)x2 (a 2)x 3 （1）当a为何值时，此函数是二次函数？ （2）当a为何值时，此函数是一次函数？
课后练习
1、写出下列函数的表达式,
（1）圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之 间的关系__S_=_π_r2
九年级数学 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图像和性质 22.1.1 二次函数
注 意：(1)在二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a≠0 是必要条件，不可忽视； (2)b，c 可以为任何实数； (3)定义中的二次函数是关于 x 的二次整式，切不可把类似“y＝x2＋1x＋3”的 式子也当成二次函数．
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归类探究
类型之一 二次函数的识别和应用
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(2)能，理由是： ∵设计费为 2 000 元/m2， ∴当设计费为 24 000 元时，面积为 24 000÷2 000＝12(m2)，即－x2＋8x＝12， 解得 x1＝2，x2＝6， ∴设计费能达到 24 000 元．
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A．2
B．－2
C．－1
D．－4
3．把一根长为 50 cm 的铁丝弯成一个矩形，设这个矩形的一边长为 x cm，它
的面积为 y cm2，则 y 与 x 之间的函数关系式为( C )
A．y＝－x2＋50x
B．y＝x2－50x
C．y＝－x2＋25x
D．y＝－2x2＋25
4．二次函数 y＝2(x＋2)2－3 的二次项系数是 2 ，一次项系数是 8 ，常数
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(3)根据上面得到的表达式填写下表： x 5 10 15 20 25 30 35 y 175 300 375 400 375 300 175
22.1.1 二次函数
第二十二章 二次函数22.1.1 二次函数自主导学一般地，形如y =ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数且a ≠ 0)的函数叫做 二次 函数,x 是 自变量 ，a ,b ,c 分别是 二次项系数 ，一次项系数 和 常数项 .易错点睛若y =(a-2)x 2+x+1是二次函数，则a ≠ .【解答】a-2≠0，∴a ≠2.【点睛】二次函数二次项系数不能为0.A 夯实基础知识点一 二次函数的概念1. 下列函数中，是二次函数的是（ C ）A .21y x =-+B .()221y x x =-+C .y =-x 2+3x +1D .212y x x=+- 2. 圆的面积公式2S R π=中，S 与R 之间的关系是（ C ）A . S 是R 的正比例函数B . S 是R 的一次函数C . S 是R 的二次函数D . 以上答案都不对3.已知二次函数y =-3x 2-5x+1，则二次项系数a = -3 ，一次项系数b = -5 ，常数项c = 1 .4.(2017江岸)关于x 的函数y =(2-a )x 2-x 是一次函数，则a 的值是 a =2.5. 若函数()2211m m y m x --=+是二次函数，则m 的值是（ D ）A .1-B .1-或1C .0D .16.把y =(x -2)(x +3)化成2y ax bx c =++的形式，并指出其二次项系数，一次项系数与常数项. 解:y =x 2+x+6, 二次项系数，一次项系数与常数项分别为1，1，－6.7.若函数y =x 2+2，当函数值y =8时，求自变量x 的值.解：x 2+2=8得x =.知识点二 列二次函数的关系式 8. 边长为20cm 的正方形铁片，中间减去一个边长是x (cm )的小正方形铁片，则剩下的四方框铁片的面积y (cm 2)与x (cm )之间的函数关系式为 y =400-x 2 .9. 已知一个圆的半径为1cm ，若半径增加x cm ，则圆的面积增加y cm 2,求y 与x 之间的函数解析式.解：y =π(x+1)2-π=πx 2+2πx .B 综合运用10.某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数解析式为y =10（1+x ）2 . 11.函数()2232y m m x mx =-++，当m ≠1且m ≠2 时，它为二次函数，当m = 1或2 时，它为一次函数.12.若函数y =(a+1) 221a a x --+2x -1是二次函数，求a 的值.解：2212, 10, a a a ⎧--=⎪⎨+⎪⎩①≠②，由①知a 1=-1，a 2=3，由②知a ≠-1，∴a =3.13.如图，用长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD ，已知墙长14m ，设边AD 的长为x （m ），矩形ABCD 的面积为y （m 2）.（1）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）当108y =时，求x 的值.DC BA 解：（1）y =x (30-2x )=-2x 2+30x (8≤x ≤15)；（2）当y =108时，∴-2x 2+30x =108，∴x 1=6，x 2=9，∵8≤x ≤15，∴x =9.C 拓广探索14.【教材变式】（41页第8题改）如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =12mm ，BC =24mm ，动点P 从点A 开始沿AB 边向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）.如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设运动时间为x s ，四边形APQC 的面积为y mm 2.（1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）四边形APQC 的面积能否等于172mm 2？若能，求出运动时间；若不能，说明理由. C Q PBA解：（1）由运动可知，AP =2x ，BQ =4x ，则y =12BC ·AB -12BQ ·BP =12×24×12-12·4x ·(12-2x )，即y =4x 2-24x +144.∵0＜AP ＜AB ，0＜BQ ＜BC ，∴0＜x ＜6.（2）当y =172时，4x 2-24x +144=172，解得x 1=7，x 2=-1.又∵0＜x ＜6，∴四边形APQC 的面积不能等于172mm 2.。
22.1.1二次函数 参考解析
22.1二次函数的图象和性质22.1.1二次函数课前预习1.一般地，形如y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0 ）的函数叫做二次函数.其中x 是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项2.二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式是整式；（2）化简后自变量的最高次数是 2 ；（3）二次项系数不等于0 ，一次项系数和常数项可以为0，当它们为0时通常省略不写.课堂练习知识点1 二次函数的概念1.若y=（a-3）x2+2x-5是二次函数，则a的取值范围是a≠3 .2.下表函数是否为二次函数？如果是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.3.已知函数y=（a-2）x2+（b+2）x-3.（1）当a，b为何值时，这个函数是一次函数？（2）当a为何值时，这个函数是二次函数？解：（1）当a=2且b≠-2时，函数为一次函数；（2）当a≠2时，函数为二次函数.知识点2 求二次函数的解析式4.在边长为15 cm的正方形铁片中间剪去一个边长是x cm的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（单位：cm2）与x（单位：cm）之间的函数关系为y=-x2+225（0≤x<15）.5.国家决定对某药品价格分两次降价，若每次降价的百分率为x，该药品的原价是16元，降价后的价格为y元，则y与x 的函数关系式为（ D ）A.y=32（1-x）B.y=32（1+x）C.y=16（1+x）2D.y=16（1-x）2【解析】原价为16，第一次降价后的价格为16（1-x），第二次降价是在第一次降价后的基础上再降价，其价格为16（1-x）（1-x）=16（1-x）2.故选D.6.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. （1）求S关于x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长度为多少米？解：（1）∵AB=x，3x+BC=24，∴BC=24-3x.∴S=AB×BC=x（24-3x）=-3x2+24x.∴S关于x的函数关系式为S=-3x2+24x；（2）当S=45时，-3x2+24x=45.解得x₁=3，x₂=5.又∵BC=24-3x≤10，即x≥14，∴x=5.3答：AB的长度为5米.课时作业1.函数y=2x2，y=x2-2x，S=πr2的共同点是自变量的最高次数为 2 .2.将二次函数y=2（x+2）（x-3）化成一般式为y＝2x2-2x-12 ，它的二次项系数为 2 ，一次项系数为-2 ，常数项为-12 .3.下列函数中，是二次函数的有（ A ）①y=-x2；②y=2-x2；③y=3x2-（3x²+2x-1）；④y=ax2+bx+c.xA.①B.①②③④C.①②D.①③④【解析】①符合二次函数的定义；②是分式，不符合二次函数的定义；③化简后为y=-2x+1是一次函数，不符合题意；④中a的值不确定，不能确定是否为二次函数.故选A.4. 若函数y=(3－m)27mx －x+1是二次函数，则m的值为（ B ）A.3B.-3C.±3D.95.已知一个直角三角形两直角边的和为8，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式为（ A ）x2+4x B.y=-x2+8xA.y=-12x2+4x D.y=x2+8xC.y=126.二次函数y=x2+2x+3中自变量x的取值范围是（ B ）A.x>0B.x为一切实数C.y>2D.y为一切实数7.一块矩形的草地，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.（1）求y关于x的函数关系式；（2）若要使草地增加的面积为32 m2，长和宽都增加多少m？解：（1）增加后的长和宽分别是（8+x）m和（6+x）m.根据题意，得y=（8+x）（6+x）-6×8=x2+14x.∴y关于x的函数关系式为y=x2+14x；（2）根据题意，得x2+14x=32.解得x₁=-16（舍去），x₂=2.∴x=2.答：长和宽都增加2 m.8. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元.设矩形一边长为x米，面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24 000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？解：（1）矩形的一边为x米，由周长为16米得矩形的另一边长为（8-x）米.根据题意，得S＝x（8-x）＝-x2＋8x，其中0＜x＜8；（2）能.理由如下：当设计费为24 000元时，面积为240002000＝12（平方米）.根据题意，得-x2＋8x＝12.解得x₁＝2，x₂＝6.∴当矩形的边长为2米和6米时，设计费能达到24 000元；（3）∵S＝-x2＋8x＝-（x-4）2＋16.∴当x＝4米时，矩形的面积最大，最大面积为16平方米；此时设计费最多，最多是16×2 000＝32 000元.9. 星桥中学2018届九年级毕业生有x人.在毕业晚会上，每两人之间握手一次，x人共握手y次，则y与x之间的函数关系式为（ D ）A.y=x2+1B.y=x2-xC.y=22x xD.y=12x2-12x10.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点P，Q同时沿ABC和ADC的路径向点C以1 cm/s的速度运动.设运动时间为x s，四边形PBDQ的面积为y cm2.求y与x（0≤x≤8）之间的函数关系式.解：当0≤x≤4时，y=S△ABD - S△APQ=12×4×4-12×x×x=-12x2+8；当4＜x≤8时，y=S△DCB - S△CPQ =12×4×4-12（8-x）×（8-x）=-12x2+8x-24.综上可知：y 与x 之间的函数关系式为y=2218(04),21824(48).2x x x x x -+≤≤-+⎧⎪-⎨⎪≤⎪⎪⎩＜。
22.1.1二次函数概念(整理)
例题精讲
例3.已知函数
y (m 3) x
m2 7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
例题精讲
2 已知函数 y 2 x - 3 x - 2. 例4. 2 (1)当x - 时，函数的值为多少? 3 (2)当x为多少时，函数值为0？
2 2 2 2 8 解：（ 1）当x - 时，y 2 ( ) 3 ( ) 2 3 3 3 9 （2）当y 0时， 2 x 2 3 x 2 0, 1 解得x1 2, x2 . 2
解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.
∵AB=12Biblioteka ∴PB=12-2t, ∴S = 1 PB BQ = 1 (12- 2t) 4t＝-4t 2 + 24t. 2 2 ∴ t的取值范围为0≤t≤6.
8.m为何值时，函数y (m 4) x
m2 5m6
mx是关于x的二次函数.
解：由题意可得
二次项
常数项
注意：各项都包括前面的符号。
例题精讲
例1.下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？ 为什么？
(1) y=3(x－1)² +1 √ 1 (2) y=x+ __ × x √ (3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)² －x² × 1 －x (5)y=__ × x² √ (6) v=8π r²
解得m=1.
m 2 5m 6 2, m 4 0,
当m 1时，函数y (m 4) x
m2 5m6
mx是关于x的二次函数.
课堂小结
探索二次关 系式共同点
总结二次 函数概念 二次函数y=ax² +bx+c （a，b，c为常数，a≠0）
22.1.1 二次函数
22.1.1 二次函数
课知堂识演回练顾
1.下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数、一 次项系数、常数项.
(1) y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t² (5)y = _x1_²-x
(2)
y=x+
_1_ x
(4) y=(x+3)²-x²
(6) s=10πr²
22.1.1 二次函数
3.某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加产量．如果每一 年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计 划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y=20(1+x)2 即 y = 20x2 + 40x + 20 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之 间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应 值，即y是x的函数.
22.1.1 二次函数
2. n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的 场次数 m 与球队数 n 有
即
m=
－21 n2
－－1 2
n
②
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关 系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值， 即m是n的函数.
22.1.1 二次函数
解：(1)y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1
即 y=3x2-6x+4 是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6 常数项: 4
(2)
y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
22.1.1二次函数
注意：
（1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的 整式.
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3）等式的右边最高次数为2 ，可以没有一 次项和常数项，
但不能没有二次项.
（4）x的取值范围是任意实数. （5）函数的右边是一个 整 式.
例练结合
例1、下列函数中，哪些是关于x的二次函数？ （1）;（2）; （3）;（4）; （5）; （6）.
＜x＜9，
归纳总结 二次函数
定义
一般地，形如 y=ax2+bx+c （a,b,c是常数
，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是 自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项 系数、一次项系数和常数项.
变量关系
在一般情况下，二次函数自变量的取值范围 是全体实数； 在实际问题中，自变量的取值要使实际问题 有意义.
合作探究
(3)一件商品售价为每件10元，一周可以卖出50件，市场调 查表明如果每件上涨1元，每周要少卖5件，已知该商品进 价每件8元。问每件商品涨价多少元，才能使每周得到的利 润最多？
如果设每件商品涨价x元，每周获得利润为y元，那 么y关于x的函数关系式为 y= (10+x-8)(50-5x).
合作探究
例练结合
例2、若函数 y=(m2-1)
为二次函数，求m的值.
解：因为该函数为二次函数，
则
∵（m-2）×（m+1）=0. ∴m=2或-1（舍去） 解得：m=2.
注意
二次函数的二次项 系数不能为零.
练习: y=(m+3)是二次函数，求m的值.
解：因为该函数为二次函数， 则
∵m2=9. ∴m=3或-3（舍去） 解得：m=3.
22.1.1 二次函数2024-2025学年人教版数学九年级上册
于 x 的函数关系式为 y ＝－2 x 2＋24 x ＋320（0＜ x ＜ 20）
；
典例导思
（2）若 y ＝384，则每件工艺品的售价应确定为多少
元？
解：（2）由题意，得384＝－2 x 2＋24 x ＋320，
解得 x 1＝4， x 2＝8.
∴ y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝－ x 2＋16 x （0＜ x ＜
16）.
典例导思
（2）当边长为多少时，围成的养鸡场的面积为60 m2？
解：（2）由（1）知 y ＝－ x 2＋16 x .
当 y ＝60，即－ x 2＋16 x ＝60时，
解得 x 1＝6， x 2＝10.
当 x ＝6时，16－ x ＝10；当 x ＝10时，16－ x ＝6.
①若 b ＝0，则 y ＝ ax 2＋ c ；
②若 c ＝0，则 y ＝ ax 2＋ bx ；
③若 b ＝ c ＝0，则 y ＝ ax 2.
知识导航
注意：（1）关于 x 的代数式一定是整式， a ， b ， c 为
常数，且 a ≠0，当 a ＝0时， y ＝ bx ＋ c 为一次函数或常
函数.
例2 用长为32 m的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的
矩形一边长为 x m，面积为 y m2.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
解：（1）围成的矩形一边长为 x m，则邻边长为32÷2
－ x ＝（16－ x ）m.根据题意，得
y ＝ x （16－ x ）＝－ x 2＋16 x （0＜ x ＜16）.
1或－
＝
；当 y ＝2时， x 无解 .
22.1.1 二次函数
2m+n=2②∵ 2m+n=1 ① ∵ m-n=1
∴ ③∵
2m+n=2
2m+n=2 2m+n=0
④ ∵ ⑤ ∵
m-n=2
∴
m-n=2
∴
m-n=0
∴
m-n=2
∴
m=1 n=0
m=1 n=-1
m=4/3 n=-2/3
知识运用 例2:m取何值时，函数
y= (m+1)x
解:由题意得
m2 2m 1
+(m-3)x+m
是二次函数?
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 反比例函数y= 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
已知函数y=(n²-1)x²+(n²-2n-3)x-n-1 • (1)当n为何值时，y是x的一次函数？
• (2)当n为何值时，y是x的二次函数？
• 解：（1）由n²-1=0，n²-2n-3=0 ±1,n ≠-1且n ≠3 • ∴当n=1时，y是x的一次函数
• （2）由n²-1 ≠0,得n ≠ ±1. • ∴当n ≠ ±1时，y是x的二次函数
解得n=
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
22.1.1-二次函数(公开课)
20
30 x
说一说以上二次函数解析式的各项系数。
挑战自我
已知y (m m ) x
2
m 2 2 m 1
(m 3) x m 2是于x的二次函数，
求出它的解析式。
2 m 2m 1 2 解： 根据二次函数的定义可得 2 m m 0
解得m=3或m=-1. 当m=3时，y=6x2+9;当m=-1时，y=2x2-4x+1. 综上所述，该二次函数的解析式为： y=6x2+9或y=2x2-4x+1.
推进新课
知识点1. 二次函数的概念
（阅读课本28—29页）
y=6x2 正方体的表面积y与棱长x的关系式为————
显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们 的函数关系式为y=6x2 .
我们再来看几个问题
问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比
赛的场次数m与球队数n有什么关系？
今日作业
8.m为何值时，函数y (m 4) x
m2 5m6
mx是关于x的二次函数.
m 2 5m 6 2, 解：由题意可得 m 4 0,
解得m=1.
当m 1时，函数y (m 4) x
2.日清周练P13
m2 5m6
mx是关于x的二次函数.
。
最高次数是4
⑤ √ y =x( x 1)
2 ② y 2 x x(1 2 x ) a=0 × 1 2 ④ y x × x2 x4 x2 ⑥y 2 x 1
二次函数：y=ax² +bx+c （a，b，c为常数，a≠0）
知识点2. 根据具体问题确定二次函数解析式