2014年秋季华东师大版九年级数学上册：22.2.5 一元二次方程根的判别式
华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法4.一元二次方程的根的判别式(共18张PPT)
ax2 (b c)x 1 a 0
∴方程
ax2
(b
c)x
4
1
a
0中，
4
Δ=(b+c)2-4a·1 a =(b+c+a)·(b+c-a)＞0
4
∴此方程有两个不相等的实数根。
3、已知a、b、c为△ABC的三边长，且
关于x的方程(c b)x2 2(b a)x (a b) 0 有两个相等的实数根，试判定△ABC的形状。
代数式b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，
通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判
断一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)的实数
根的情况：
(1)Δ＞0 (2)Δ= 0 (3)Δ＜0
方程有两个不相等的实数根. 方程有两个相等的实数根. 方程没有实数根.
课后作业
一、不解方程，判断下列方程的根的情况：
温故而知新
解：移项，得 ax2+bx= - c
二次项系数化为1得 x2 b x c
aa
配方得
x2
b a
x
( b )2 2a
c a
b2 4a2
即(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
（b2-4ac≥0）
直接开平方得 x b b2 4ac
2a
2a
解得 x b b2 4ac 2a
探索交流 你能不解方程，就可以迅速判别下列方程 根的情况吗？
解：∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=0,即[2(b-a)]2-4(c-b)·(a-b)=0.
整理得(a-b)·(a-c)=0.
则a=b或a=c或a=b=c, ∴以a、b、c为三边长的△ABC
为等腰三角形或等边三角形。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》精品课件_1
根的判别式情况
写出根
根的情况
△＞0 △＝0 △＜0
x1 = -b +
b 2 - 4ac 2a
x2 = -b -
b 2 - 4ac 2a
-b? 0 b
x1 =x2 =
2a
=2a
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根
b 2 - 4ac ＜0 x1,x2不存在 方程没有实数根
你能迅速判断下列方程根的情况吗？ （1）x2 + 3x +2=0 （2）x2 - 4x + 4=0 （3）x2 + 2x + 3=0
判断方没程有化根成一的般形情式况： 3x2 + 5x =4
解：化为一般形式，得
解：∵a=3，b=5，c=4 3x2 + 5x -4=0
∴ △=52-4×3×4 = 25-48 =-24＜0
∵a=3，b=5，c=-4 ∴ △=52-4×3×（-4）
= 25+48 =73＞0
∴方程没有实数根 ∴方程有两个不相等的实数根
选做题：
说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0.
总有两个不相等的实根
A．x2＋1＝0
B. x2+x-1＝0
C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0
2、关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是( D )
A.k＜9 C. k≤9且且k≠0
B.k ＞9 D. k<9且k≠0
必做题：
1、不解方程判定下列方程根的情况 （1）2x-x2-2=0 （2）4（y2－y）+1＝0 2、当k取何值时，关于x的方程x2-（2k+1）x+k2=2没有实数根？
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》公开课教案_3
一元二次方程根与系数的关系55号教学目标：（一）知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
（二）过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
（三）情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。
教学过程：一、 创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理。
那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？探究规律 先填空，再找规律：思考：观察表中1x +2x 与1x .2x 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 二、 得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx+c=0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则1x +2x = -b a 1x . 2x =ca特殊的：若一元二次方程2x +px+q=0的两根为1x 、2x ，则1x +2x =-p 1x . 2x =q证明此处略（师生合作完成） 三、 运用定理解决问题练习：不解方程说出下列方程的两根的和与两根的积各是多少？⑴ X 2－3X+1=0 ⑵ 3X 2－2X=2 ⑶ 2X 2+3X=0 ⑷ 3X 2=1 1.已知方程x 2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.2.方程2x 2-3x+1=0的两根记作x 1,x 2，不解方程，求：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。
3.（2013•荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x 1，x 2, 且│x 1－x 2│=2,求k 的值. 四、 课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。
华师大九年级数学上册《 一元二次方程根的判别式》课件
• ∴方程有两个不相等的实数根．
l (2)∵ a＝4 ，2b2＝4 －4 2 ，1c ＝41 4 4 ，0
l∴
4
l ∴方程有两个相等的实数解．
(3)将方程化为一般形式:
4y27y40
• ∵a＝4，b＝7，c＝4，
• ∴ 7 2 4 4 4 4 9 6 4 0
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
学习要注意到细处，不是粗枝大 叶的，这样可以逐步学习摸索，找到 客观规律。 —— 徐特立
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
• 一定有两个不相等实数根．
扩 展 : 若 关 于 x 的 方 程 (m 2 2 )x 2 2 (m 1 )x 1 0 有 实 数 根 ， 求 m 的 取 值 范 围
解：（1） nm2-20,即m 2n,原方程n： -2( 21)x10nn方程nnn一元一次 方程,有解。
扩 展 : 若 关 于 x 的 方 程 (m 2 2 )x 2 2 (m 1 )x 1 0 有 实 数 根 ， 求 m 的 取 值 范 围
• 2.已知方程 的2 3判别式的值是16，则m＝ _____．
华师大版九年级数学上册：22.2.4一元二次方程根的判别式课件(共17张ppt)
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2021年5月 2021/5/282021/5/282021/5/285/28/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/5/282021/5/28May 28, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/5/282021/5/282021/5/282021/5/28
(2)若方程有 数 两 根 个 0 ， ， 相 1则 k 即 6 9 等 △ 0 ， 的 所 k 实 9 以 ； 16
(3)若方程没△ 有0， ＜ 实 1即 k6 数 9＜ 0 根 ，， 所 k＜ 则 以 9； 16
综上所述 k＞： 9时 当，方程有两 的个 实不 数相 根等 ； 16
当k 9 时，方程有两个实相数等根的； 16
第22章 一元二次方程
22.2.4 一元二次方程根的判别式
驶向胜利 的彼岸
复习导入
思考：一元二次方程ax2+bx+c=0的根有
哪几种情况？
探索新知
一元二次方程 ax 2bx 的c根0有三种情况：
①有两个不相等的实数根；
②有两个相等的实数根；
③没有实数根．而根的情况，由
的值来确定．
b2 4ac
因此
•
12、人乱于心，不宽余请。***Friday, May 28, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21.5.2821.5.28** May 28, 2021
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年5月28日 星期五 **21.5.28
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2021年5月 *21.5.28*May 28, 2021
华师大版数学九年级上册一元二次方程根的判别式同步课件
即一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),
当∆>0时，方程有两个不相等的实数根； 当∆＝0时，方程有两个相等的实数根； 当∆<0时，方程无实数根．
反之，同样成立！
例题讲授
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况
（1）3x 2 =5x - 2
（2）4x2 2x 1 0
4
解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2 .
只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平
方，得
x b 2a
b2 4ac 4a2 .
(1) 当b2－4ac>0时，方程的右边是一个正数，它有两个 不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根:
b b2 4ac
b b2 4ac
x1
2a
; x2
2a
;
(2) 当b2－4ac=0时，方程的右边是0，它有两个相等的 平方根0，因此方程有两个相等的实数根:
b x1 x2 2a ;
(3) 当b2－4ac<0时，方程的右边是一个负数，而对于任何实数x，
方程左边
x
b
2
2a
0，
因此方程没有实数根:
概括
我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“∆”来表示.
试一试
已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根； (3)当k取何值时，方程没有实数根；
解：a=2，b=-(3+4k)，c=2k2+k ∆=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9
九年级数学上册22.2一元二次方程的解法22.2.4一元二次方程根的判别式教学课件新版华东师大版
达标检测
• 2.已知对任意实数x，式子 意义，则实数m的取值范围是( 都有
A
)
• A.m >4 B.m<4 C.m≥4
D.m≤4
达标检测
• 3. 关于x的方程x2+2kx+k-1=0 的根的情况 描述正确的是( B )
• A. k为任何实数,方程都没有实数根 • B. k为任何实数,方程都有两个不相等的实 数根 • C. k为任何实数,方程都有两个相等的实数 根 • D. 根据k的取值不同,方程根的情况分为没 有实数根、有两个不相等的实数根和有两 个相等的实数根三种
3)3x 2 3x 1 0
2
4) x x 1 0
2
3)带入求根公式 计算方程的根
合作探究 达成目标
如何把一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 写 成 x h 2 k 的形式？
ax 2 bx c 0
b c x x 0 a a b c 2 x x a a
2
配方 法
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
2 b b 4ac x 2 2 a 4 a
2
2 b b 4ac (a 0) x 2 2a 4a
2
a 0, 4a 2 0 b 4ac 当 b 2 4ac ＞0 时， 方程的右边是一个正数， 方程有两个不
创设情境 明确目标
用式法求下列方程的根:
用公式法解 一元二次方程 的一般步骤:
1)2 x x 2 0
2
1 2 2) x x 1 0 4
1)把方程化为一般形式
九级数学上册 22.2.4 一元二次方程根的判别式课件 华东师大版
•14
扩 展 : 若 关 于 x 的 方 程 (m 2 2 )x 2 2 (m 1 )x 1 0 有 实 数 根 ， 求 m 的 取 值 范 围
解：（1） nm2-20,即m 2n,原方程n： -2( 21)x10nn方程nnn一元一次 方程,有解。
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•15
扩 展 : 若 关 于 x 的 方 程 (m 2 2 )x 2 2 (m 1 )x 1 0 有 实 数 根 ， 求 m 的 取 值 范 围
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•10
•3.方程 9x2(k6)xk有10 两个相等 的实数根，则k＝______． •40．或如24 果关于x的方程 没 ___有__实．数根，则c的取值x2范5围x 是c0
c
25 4
•最新二次方程 kx26x10 有两个不相等的实数根，则k的取 值范围是( D) •A．k>9 •B．k<9 •C．k≤9，且k≠0 •D．k<9，且k≠0
解：（ 2 ） 当 m 2 2 0 , 即 m 2 时 原 方 程 是 一 元 二 次 方 程 ，
2(m1)2 4(m2 2)1
4(m2 2m1)4m2 8
8m12 方 程 有 实 数 根 ， 0 ， 即 8 m 1 2 0
得：m 3 2
当 m 3且 m 2 时 方 程 有 实 数 根 . 2
•5
解：
•(1)∵a＝3，b＝-5，c＝2，
•∴ 5 2 4 3 2 2 5 2 4 1 0
•∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵a＝4，b＝－2，c＝ 1 ，
∴ 2244144 40
4 ∴方程有两个相等的实数解．
•最新精品中小学课件
数学九年级上华师大版 一元二次方程的根的判别式课件PPT优秀资料
依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目的是： （1）使学生理解一元二次方程的根的判别式概念； （2）能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理证明； （3）会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； （4）培养学生的探索精神和逻辑思维能力以及推理论证能力； （5）向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美。
一元二次方程根的情况果真有三种吗？ 请同学们认真 阅读课本P28正数第九行的内容，书上从理论方面给我 们做了很好的解释。
<五>揭示定理：
（1）由此我们就得出了：关于一元二次方程aX2+bx+c=0(b≠0)根的判别式定理：
在一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac
<本引（六着导1）>“ 发应由以现用此学、定若若可生讲理见△△发练，：展结解＞在=为合决解00本的问一则则”教题元的学：方方二教方次程程育法方有有理，程念教两两a，法X个个2同与+b不时学相x+也法相等c为设=0等的了计(a使了的实≠0学以)实数时生下，数根都代能根数积八式极个b地2层-4参次a与c。起若有到着课△（重堂要两≥教的学个0作中时用），，，发实显挥则然数学我方生根们的程可主以观根能据动b性2-，4a本c的节值课的主符要号采来用判了断
数学九年级上华师大版课 件
P28阅读材料: 一元二次方程的根的判别式
一、教材分析方面：
1、本节教材的地位及作用：
“一元二次方程的根的判别式”一节，是在学生已经学过一元二次方程的解法，并对b2-4ac的作用有所了 解的基础上，来进一步研究它的作用的一个重要理论内容，它是前面知识的深化与总结。它在整个中学数学 中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式， 二次函数，二次曲线等奠定基础，并且可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索 精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透 数学的简洁美。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》公开课课件_9
一 1、化为一般式，确定 a、b、c
般 的值. 步 2、计算 的值，确定 的符
号.
骤
： 3、判别根的情况，得出结论.
质疑再探：
通过本节的学习， 你还有何疑问，请大 胆提出来，大家共同 解决。
质疑再探：
当a、c异号时，方程aX²+bx+c=0 （a≠0）的根有何情况？
运用拓展
1、（2016河南中考）若关于的 一元二次方程 x2 3x k 0 有两个不相等的实数根，求的取 值范围？
实数根：x1
x2
b 2a
;
当b2 4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况
如果方程有两个不相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
华东师范版数学
（九年级上册）
《一元二次方程根的判别式》
1、解方程 （1） x²+2x-3=0； （2） x²+4x+4=0 （3） x²+x+2=0
2、通过以上练习，你认为一元 二次方程有几个根？
学习目标
1、知道一元二次方程根的判别式的 意义，能熟练运用判别式判别一元二 次方程根的情况。 2、学会用判别式求符合题意字母的 取值范围和进行有关证明。
我们把
叫做一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式，用符号 “ ”来表示.
即一元二次方程ax2 bx c 0a 0 ，
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根。
华师大版初中数学九年级上册22.2.4根的判别式
华师大版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！华师大初中数学和你一起共同进步学业有成！4.一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程（1）x2+5x+6=0（2）9x2-6x+1=0（3）x2-2x+3=0解：（1）x1=-2,x2=-31（2）x1=x2=3（3）无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识. 二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c的值，然后求出b 2-4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b 2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根: ,; a ac b b x 2421-+-=aac b b x 2422---=（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=-; ab 2（3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：解：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m+1）x 2-（2m-3）x+m+1=0,（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：（1）m ＜且m ≠-1; 41（2）m=; 41（3）m ＞. 41【教学说明】注意（1）中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化理解1.方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【答案】1.B2.证明：∵x2+2x-m+1=0没有实数根，∴4-4（1-m）＜0,∴m＜0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0，Δ=m2-8m+4,∵m＜0,∴Δ＞0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情况（1）Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.（3）Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
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问：一元二次方程的求根公式？
一元二次方程ax bx c 0 (a 0)
2
的求根公式是
b b 4ac 2 (b 4ac 0) x 2a
2
知识回顾
方程 请用公式法解下列方程： 根的 2 情况 1. x 3 x 2 0 与什 2 2. x 2 x 1 0么有 关系？ 2
2
b
1 k的取值范围是 k 且k 0 12
又k 0
已知关于x的一元二次方程
k x ( 2k 1 ) x 1 0
2 2
有两个不相等的实数根， 求k的取值范围.
巩固练习
1、不解方程，判别下列关于x方程根的 情况．
(1)a x ax 1 0
2 2 2 2
3. x x 1 0
归纳总结 2 不难发现一元二次方程的根与b 4ac有关，
且有三种情况：
当b 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；
2
当b 4ac 0时，方程有两个相等的实数根；
2
当b 4ac 0时，方程没有实数根。
2
这里的b 4ac叫做一元二次方程根的判别式. 2 用表示，即 b 4ac
原方程有两个不相等的实数根。
应用举例
(2)16 y 9 24 y
2
解：将原方程化为一般形式 2 16 y 24 y 9 0
a 16, b 24, c 9 2 2 b 4ac (24) 4 16 9 0
原方程有两个相等的实数根。
应用举例
Байду номын сангаас
(3) 5( x 1) 7 x 0
(a 0)
(2)(2m 1) x 2mx 1 0
2.若关于x的方程x 2 k 1 x k 0有实数根，
2 2
则k的取值范围是( B ) 1 (A) k 2 1 (C)k 2 1 ( B)k 2 1 ( D) k 2
3.如果一元二次方程mx 4 x 1 0有两个不相等
2
应用举例
例1：不解方程，判别下列方程的 根的情况：
(1)2 x 3x 4 0
2
(2)16 y 9 24 y
2
(3) 5( x 1) 7 x 0
2
应用举例
(1)2x 3x 4 0
2
解：a 2, b 3, c 4
2 2
b 4ac 3 4 2 (4) 41 0
2
的实数根，那么m的取值范围是（ ( B)m 4且m 0 ( D)m 1且m 0 (C )m 1
B）
（A）m 4
课堂小结
一元二次方程根的判别式 b 4ac
2
△＞0 △＝0 △＜0
有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实数根
2
解：将原方程化为一般形式
5x 7 x 5 0
2
2
(7) 4 (5) (5) 51 0 原方程没有实数根。
a 5, b 7, c 5
例2：试说明：不论m取何值， 关于x的方程
( x 1 )( x 2 ) m
总有两个不相等的实根.
2
例3、已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两 个不相等的实数根，求k的取值范围。
解： a k , b 2k 1, c k 2
b 4ac (2k 1) 4k (k 2)
2 2
12k 1
∵方程有两个不相等的实数根
4ac 0,即12k 1 0 1 题目解好 k 12 了吗？