概率论杂题1

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华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题

A． A, B 不相容
C。 P( A) 0 或 P(B) 0
a
C.
a
B。 P( A) P(B) P( AB)
D。 P(B A) P(B) P( A)
15．设 A, B 是任意两事件，且 A, B 相互独立，则下列说法错误的是：
A． A, B 不相容
C。 P( A B) P( A) P(B) P( A)P(B)
二．填空题（20 分，每格 2 分） 1. 设 A,B,C 是三个事件，且
A.－14.5
B.14.5
P( A) P(B) P(C) 1 , P( AB) P(BC) 0, P( AC) 1 ，
则 A,B,C 至少有一个发生的概率为
4
2. 设 A,B,是两个事件，且 P( A) 0.7, P( AB) 0.5 ，则 P( AB)
S
2 3
1 n
1 n
的随机变量是：
n
i1
n
i1
(Xi
Xi
A. t X n 1 S1
C. t X n S3
， S12
)
2
，
1 n 1
S
2 4
n
(Xi
i1
1 n
n
(X i
i 1
11.如果存在常数 a,b(a 0) ，使 p{Y aX b} 1 ，且 0 D( X ) ，则 X ,Y
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

串联并联的概率论例题

串联并联的概率论例题串联和并联是概率论中常见的概念，它们通常用于描述多个随机事件之间的关系。

下面我将从串联和并联的概念出发，举例说明它们在概率论中的应用。

首先，串联概率是指多个事件依次发生的概率。

例如，假设有两个独立的事件A和B，它们发生的概率分别为P(A)和P(B)，那么这两个事件依次发生的概率就是它们的乘积，即P(AB) = P(A)P(B)。

举个例子，如果抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，再抛一次正面朝上的概率也为0.5，那么两次抛掷都为正面朝上的概率就是0.5 0.5 = 0.25。

其次，对于并联概率，它是指多个事件中至少有一个发生的概率。

对于两个独立事件A和B，它们至少有一个发生的概率可以用它们的概率之和减去它们的交集的概率来表示，即P(A∪B) = P(A) + P(B) P(AB)。

举个例子，假设一个班级中有30%的学生擅长数学，40%的学生擅长英语，那么至少有一门学科擅长的学生的概率可以用30% + 40% (30% 40%) = 58%来表示。

在实际问题中，串联和并联概率经常被用于计算复杂事件的发生概率。

比如在工程可靠性分析中，如果一个系统由多个部件组成，每个部件的工作与否都会影响整个系统的工作状态，这时就需要考虑各个部件的串联或并联关系来计算系统的可靠性。

另外，在金融风险管理中，也会用到串联和并联概率来评估不同投资组合的风险。

总之，串联和并联概率在概率论中有着重要的应用，它们能够帮助我们更好地理解和计算复杂事件的发生概率，从而在实际问题中提供决策支持。

希望以上例子能够帮助你更好地理解串联和并联概率在概率论中的应用。

概率论杂题2

_ _
（1）则对其期望估计时，（X1+X)/2比X更有效。（）
（2）如果X～U(-θ,θ)，θ>0，则θ的矩估计=_________-
m 2m
（3）如果X～N(0,σ^2)，n=2m,则Σ(-1)^i X_i / sqrt(ΣX_i^2)～______分布
m2mi=1 i=m+1
而统计量ΣX_i^2 /ΣX_i^2～_______分布
求两射手停止射击时脱靶总数的分布及数学期望
六。用A，B两种工艺生产的产品，其某项指标分别服从N（u0,sigma0^2)
和N(u,sigma^2),其中sigma0= 0.057.现从工艺B生产的产品中任取10
件，得数据为0.15,-0.04,-0.03,-0.15,0.02,-0.06,-0.05,
（1）试求不少于4台次品的概率（只要写出精确计算的表达式）
（2）用Poisson逼近定理给出此概率的近似值
四、10分→
设二维rv（X,Y）在矩形G={(x,y)|0<=x,y<=1}上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形
面积S的pdf f(s)
五、10分
→
设rv（X,Y）的pdf为f(x,y)=(1/2)[φ1(x,y)+φ2(x,y)]，其中φ1(x,y)和φ2(x,y)都是二
发生B发生的概率相等，则P(A)=______
3、设(X1,X2)～N(0,0,σ^2,σ^2,0.5)，令Y1=X1-X2/2，Y2=X1/2-X2，则Y1和Y2都有正态分
布且分布参数相同（），但不独立（）
4、设有一个强度为λ的电话呼叫Poisson流，η3是其第3个呼叫来的时刻，试利用切贝雪夫
不等式求概率P(|λη3-3|<λ)的下限=_______

《概率论与数理统计》第01章习题解答

第一章随机事件及其概率第1章1、解：（1）{}2,3,4,5,6,7S = （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球；（2）4只中至少有2只红球；（3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。

概率论知识点整理及习题答案

概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。

（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。

（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。

而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。

特别地，=A、AU= 、AI=φ。

2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。

我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。

而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。

3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。

其中基本事件也称为样本点。

而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。

通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。

在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。

而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。

为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。

这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。

条件发生变化，事件的性质也发生变化。

例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。

而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。

例如：（1）={3，4，5，L，18}。

（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。

概率论与数理统计案例

4. 记
X
1 100
100 i 1
Xi
（1） P{X 14.5} P{ X 14 14.5 14} P{ X 14 2.5} 1(2.5) 0.0062
0.2
可见，100 件产品的平均强度超过 14.5 的概率非常之小。
（2） P{X 14} P{ X 14 14 14} P{ X 14 0} (0) 0.5
X 1, X 2 ,, X 200 是 200 个相互独立的随机变量，且 E( X k ) 100, D( X k ) 100 ，
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

论掷骰子游戏中的概率计算问题

论掷骰子游戏中的概率计算问题17世纪中叶，欧洲贵族盛行掷骰子游戏，当时法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族De Mere ，他在其过程中遇到了一个问题。

他认为掷一个骰子4次至少出现一次6点和掷一对骰子24次至少出现一次双6的概率是等可能的。

他这样推断：一颗骰子掷一次，出现6点的机会是61，所以掷4次，我有32614=⨯的机会至少得到一次6点；掷一对骰子一次，我有361的机会得到双6，所以掷24次，一定有3236124=⨯的机会得到至少一次双6。

但是经验表明，第一个事件比第二个事件出现的可能性大一些，这个矛盾成为众所周知的Chevalier De Mere 悖论。

De Mere 向数学家Baise Pascal 请教这个问题，Pascal 与另一位法国数学家Fermat 通信讨论了这个问题，正是对这个问题的讨论开始了概率论和组合论的研究，以下是Pascal 与Fermat 之间谈话的部分历史记录。

Pascal ：首先我们看一种赌博。

Fermat ：好，赢得机会很难计算，让我们先计算对立事件：输的机会，于是赢的机会=1-输的机会。

Pascal ：同意，当掷了4次没有出现一个6点时，赌徒输了。

不过你将如何计算这些机会呢 Fermat ：看来很复杂。

让我们从掷第一次开始，第一次没有出现6点的机会是多少呢 Pascal ：必须出现1点到5点中的某一个，所以机会是65。

Fermat ：这是事实。

现在头两次都没有出现6点的机会是多少Pascal ：毕竟每次掷骰子是相互独立的，所以是65×65 Fermat ：掷3次呢Pascal ：65×65×65 Fermat ：掷4次呢 Pascal ：65×65×65×65 Fermat ：是的，大约是，或者%。

Pascal ：因此赢的机会是%。

Fermat ：这样就解决了第一种赌博，赢的机会稍大。

Pascal ：好的，在掷一对骰子时，出现双6的机会是361，而不出现双6的机会是3635，由乘法原理，在一对掷骰子24次中，没有一次出现双6的机会必定是243635⎪⎭⎫ ⎝⎛ Fermat ：这个数大约是%，因此赢的机会是%。

概率论与数理统计答案完整版

概率论与数理统计答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】习题答案第1章三、解答题1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的 (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = ，P (B ) = ，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少 (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤，又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==.(2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=+=. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因为)()(B A P AB P =，即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，所以 .1)(1)(p A P B P -=-=4．已知P (A ) = ，P (A – B ) = ，试求)(AB P ．解：因为P (A – B ) = ，所以P (A )– P(AB ) = , P(AB ) = P (A )– , 又因为P (A ) = ，所以P(AB ) =– =，6.0)(1)(=-=AB P AB P .5．从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少解：显然总取法有410C n=种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：法一：分两种情况考虑：15C k=24C 212)(C +25C 其中：2122415)(C C C 为恰有1双配对的方法数法二：分两种情况考虑：!2161815C C C k ⋅⋅=+25C其中：!2161815C C C ⋅⋅为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k-=+25C其中：)(142815C C C -为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815C C k=-25C法五：考虑对立事件：410C k=-45C 412)(C其中：45C 412)(C 为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：!4141618110410C C C C C k ⋅⋅⋅-=其中：!4141618110C C C C ⋅⋅⋅为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410==C k p6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．解：(1) 法一：12131025==C C p ，法二：1213102513==A A C p (2) 法二：20131024==C C p ，法二：2013102413==A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则834)(3341==A M P , 1694)(324232=⨯=A C M P , 1614)(3143==C M P8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2512131==C C C M P ,1.0)(25221==C C M P 9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则φ==2121M M M M M 且.所以.2813C C C C )()()()(282328252121=+=+==M P M P M M P M P10．若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ，y )：0 x ，y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ： x + y 6/5} 因此2517154211)(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=Ω=的面积的面积A A P ．图11．随机地向半圆220x ax y -<<（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率．解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ={(x ，y )：220,20x ax y a x -<<<<}事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π” ={(x ，y )：40,20,202πθ<<-<<<<x ax y a x }因此211214121)(222+=+=Ω=πππa aa A A P 的面积的面积．12．已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P ．解：,1213141)()()(=⨯==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==B A P AB P B P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

概率论与数理统计习题

因此A, B独立
此题是2002年数学三考研试题。年数学三考研试题。此题是年数学三考研试题
例9: 用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下: 的效果如下:若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8,若真不含有杂质检验结果为不含有杂质的概率为 0.8,若真不含有杂质检验结果为不含有杂质的概率为 0.9.据以往的资料知一产品真含有杂质和真不含有杂 0.9.据以往的资料知一产品真含有杂质和真不含有杂质的概率分别为0.4,0.6.今独立地对一产品进行了3 0.4,0.6.今独立地对一产品进行了质的概率分别为0.4,0.6.今独立地对一产品进行了3 次检验,结果是2次检验认为含有杂质, 次检验,结果是2次检验认为含有杂质,而有一次检验认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率. 认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率.
i =1
n
易知有：
n 1 P ( Ai ) = , ∑ P ( Ai ) = 1 n i =1 1 1 2 1 P ( Ai A j ) = ( i ≠ j ), 1 ∑ P ( Ai A j ) = C n n( n − 1) = 2! , ≤i< j≤n n( n − 1) 1 1 3 ∑kPn( Ai A j Ak ) = C n n( n − 1)(n − 2) = 3! , 1≤ i < j < ≤ 1 P ( A1 A2 ⋯ An ) = , ⋯⋯⋯⋯ n! n 1 1 n −1 1 P ( ∑ Ai ) = 1 − + − ⋯ + ( −1) n→ ∞→ 1 − e −1 2! 3! n! i =1
= P ( A1 ) + P ( A1 ) P ( B1 A1 ) P ( A2 A1 B1 ) + ⋯

概率论考试题及答案

概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。

下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。

1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。

求两次得到的和是偶数的概率。

答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。

其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。

因此，所求概率为18/36 = 1/2。

2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。

答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。

不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。

因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。

所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。

3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。

如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。

答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。

根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。

概率论与数理统计考试知识点汇总及疑难解析

疑难解析系统(概率论与数理统计中的疑难问题)目录第一章事件与概率………………………………………………3-4第二章条件概率与独立性………………………………………5-6第三章随机变量及其分布………………………………………7-8第四章多维随机变量及其分布…………………………………9-10第五章数字特征…………………………………………………11-14第六章数理统计的基本概念……………………………………15-17第七章参数估计…………………………………………………18-21第八章假设检验…………………………………………………22-23第一章概率论基本概念1．什么是统计规律性？什么是随机现象？答在一定条件下发生，其结果是多样的，因而在现象发生前不能预知确切结果的不确定现象，其结果在大量重复试验中呈现出一种规律性. 由于这种规律是根据统计数据分析出来的，因而称为统计规律性。

在一次试验或观察中结果不能预先确定，而在大量重复试验中结果具有统计规律性的现象称为随机现象. 随机现象是概率论与数理统计的主要研究对象.2．如何理解互逆事件与互斥事件？答如果两个事件A 与B 必有一个发生，且至多有一个发生，则、A B 为互逆事件. B A =.如果两个事件A 与B 不能同时发生，则、A B 为互斥事件.如考试及格与不及格是互逆也是互斥的，但考试70分和80分互斥却不互逆. 区别互逆与互斥的关键是，当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆. 而互斥适用于多个事件的情形. 互斥事件的特征是，在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且至多发生一个.3．如何用已知事件来表达与其有关的其它事件？答首先要了解所讨论试验中事件的构成，所需表达事件与已知事件的关系，然后运用这些关系与运算法则将事件表达出来.例如，设S 为事件05x ≤≤，A 为事件12x ≤≤，B 为事件02x ≤≤，则 02x ≤≤为事件B 或A B U ，12x ≤≤为事件A 或BA ，25x <≤为事件S B -或B ，01x ≤<为B A -.4．样本空间与必然事件之间有什么关系？答样本空间是随机试验E 的所有可能结果的集合，而必然事件是指随机试验中一定会出现的结果. 虽然在一次试验中只有样本空间的一个元素发生，但在把样本空间视作一个整体时，我们说它在每次试验中都发生了. 因此，可以说样本空间是必然事件.5．在什么情况下，随机事件A 的频率可以作为它的概率的近似值？答随机事件A 的频率()n f A 反映事件A 在多次重复试验中发生的频繁程度. 当n 增大时，频率在概率()P A 附近摆动. 因此，每一个从独立重复试验中测得的频率，都可以作为概率()P A 的近似值. 而且，一般n 越大，近似程度越好.事实上，当n 增大时，频率大量集中于包含()P A 的一个小区间. 任选区间中一值作为概率的近似值，称为统计概率. 在解题时，当n 较大时，可取统计概率为()/A P A n n ≈.6．概率是否可以看做频率的极限？答这样理解是不恰当的. 因为如上题所述，当n →∞时，()n f A 在()P A 附近摆动，与高等数学中极限的N ε-概念是不同的. 由于概率是随机现象的可能性的赋值，对于任给的0ε>，存在偶然的因素，可能找不到()N ε，从而得不到|()()|n f A P A ε-<.7．怎样理解古典概型的等可能假设？答等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便. 但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的. 例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等. 因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识——对称性特征而确认的.8．概率为0的事件是否为不可能事件？概率为1的事件是否为必然事件？答有关概念：不可能事件φ的概率为0，即()0P φ=，但其逆不真；同样，必然事件Ω的概率()1P Ω=，但其逆也不真。

《概率论》考试知识点解析汇总

《概率论》考试知识点解析汇总例5： 8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。

一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为 0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。

现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。

求：所用的枪是校准过的概率。

（课堂练习）解：设”谢击时中靶｝, 5=｛枪校准过｝,〃2=｛枪未校准｝,则〃】力2是Q —个划分，由贝叶斯公式，得0.8 x (5/8) _400.8x(5/8) + 0.3x(3/8) "49 1.10计算下列各题：(1) 设 P(A) = 0.5, P(B) = 03, P(Au B) = 0.6,求 P(AB); (2) 设 P(A) = 0.&P(AuB) = 04 求 P(AB); (3) 设 P(AB) = P(AB);P(A) = 0.3,求 P(B)° 解： (1)通过作图，可以知道，P(AB) = P(AB)-P(B) = 0.3 (2 ) P (AB) = 1-P(AB) = 1 一(P(A) - P(A 一 B)) = 0.6 (3) 由 fP(AB) = P(AB) = 1-P(A^B) = 1-(P(A) + P(B)- P(AB))= l-P(A)-P(B) + P(AB)P(B) = l-P(A) = 0.7 1.15 已知P(A) = O ・7, P(B) = 0・4, P(AB) = 0.5^ 求P((AuP)0)・1P(B) P(B)由于 P(BB) = 0,故P((A")|B)=^^= P3鳥AB) = 0 5 1.18有两批相同的产品，第一批产品共14件，其中有两件为次品，装在第一个箱中；第二批有10件，其中有一件是次品，装在第二个箱中。

今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中，然后再从第二箱中任取一件，求从第二箱中取到的是次品的概率。

解：用4（j = 0丄2）表示事件“在第一箱中取岀两件产品的次品数厂‘。

概率论公式大全从基本公式到复杂问题的解析

概率论公式大全从基本公式到复杂问题的解析概率论公式大全：从基本公式到复杂问题的解析概论概率论是数学中的重要分支，研究随机事件的发生可能性和规律。

它广泛应用于各个领域，包括金融、工程、生物学等。

本文将为您介绍概率论中的一些基本公式，并解析其在复杂问题中的应用。

一、基本概率公式在概率论中，我们经常使用以下公式来计算事件的概率。

1. 乘法规则乘法规则用于计算多个独立事件同时发生的概率。

如果事件A和事件B是独立的，则它们同时发生的概率可以表示为P(A∩B) = P(A) × P(B)。

2. 加法规则加法规则用于计算两个互斥事件发生的概率。

如果事件A和事件B 互斥（即不能同时发生），则它们发生的概率可以表示为P(A∪B) = P(A) + P(B)。

3. 条件概率条件概率用于计算在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

如果事件A和事件B的条件概率可以表示为P(A|B) = P(A∩B) /P(B)。

4. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件在不同条件下发生的概率。

如果事件A可以表示为多个互斥事件B1、B2、B3...发生的概率之和，则根据全概率公式，可以表示为P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) +P(A|B3) × P(B3) + ...。

二、随机变量与概率密度随机变量是概率论中的核心概念之一。

它表示在随机试验中可能取多个数值的变量。

我们常用概率密度函数来描述随机变量的概率分布。

以下是一些常见的概率密度函数及公式。

1. 均匀分布均匀分布是最简单的概率分布之一。

在0到1之间，随机变量X的概率密度函数可以表示为f(x) = 1，其中0≤x≤1。

2. 正态分布正态分布是自然界中常见的概率分布，也称为高斯分布。

随机变量X的概率密度函数可以表示为f(x) = (1/√(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)，其中μ是均值，σ^2是方差。

概率论专题(较难)

概率论专题（较难）概率论是数学中的一门重要学科，探讨了不确定事件的可能性和统计规律。

本文将介绍几个较为复杂和挑战性的概率论专题。

1. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

要计算条件概率，可以使用贝叶斯定理。

贝叶斯定理是概率论中的一个重要公式，用于计算事件的后验概率。

2. 随机变量与概率分布随机变量是指与随机试验相关联的数值变量。

概率分布则描述了随机变量的取值及其对应的概率。

常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。

离散型概率分布如二项分布、泊松分布等，连续型概率分布如正态分布、指数分布等。

3. 大数定律大数定律是概率论的基本定律之一，描述了随机变量的平均值在重复试验中趋于其数学期望的现象。

大数定律在统计学和概率论中有广泛的应用。

4. 中心极限定理中心极限定理是指在一定条件下，大量独立随机变量的和的分布趋近于正态分布。

中心极限定理是概率论中的重要工具，被广泛应用于统计学、信号处理、金融等领域。

5. 马尔可夫链马尔可夫链是一种随机过程，具备马尔可夫性质：未来状态只依赖于当前状态，与过去的状态无关。

马尔可夫链在概率论和统计学中有重要的应用，可以用于建模和分析具有随机性的现象。

以上是几个较难的概率论专题的简要介绍。

在研究和研究这些专题时，我们需要深入理解概率论的基本概念和原理，并灵活运用数学工具进行分析。

通过不断练和思考，我们可以提高对复杂概率问题的理解和解决能力，为解决实际问题提供有效的方法。

> 注意：回答内容为概述，不包括详细的例子和公式推导。

具体内容应根据需要进一步展开和详细阐述。

三门问题全概率公式

三门问题全概率公式摘要：1.三门问题概述2.全概率公式介绍3.三门问题与全概率公式的关联4.三门问题的解法及应用正文：一、三门问题概述三门问题，是概率论中的一个经典问题。

问题描述如下：有三道门，其中一道门后有一辆车，另外两道门后为山羊。

参赛者先挑选一扇门，然后主持人会打开另外两扇门中的一扇，并且必定有一扇门后是山羊。

然后问参赛者，是否要更换选择。

问题是：参赛者更换选择后，获得汽车的概率是否比不更换选择获得的概率更高？二、全概率公式介绍全概率公式是概率论中的一个重要公式，用于求解复杂概率问题。

全概率公式表达式为：P(A) = ΣP(A|B1)P(B1) + ΣP(A|B2)P(B2) + … +ΣP(A|Bn)P(Bn)，其中A 为某一事件，B1、B2、…、Bn 为A 的互斥且全集的事件。

三、三门问题与全概率公式的关联在三门问题中，我们可以将问题转化为一个全概率问题。

假设参赛者一开始选择的门为A，主持人打开的门为B，另一扇门为C。

我们可以将事件A划分为两个互斥事件：A1（参赛者选择A 且主持人打开B）和A2（参赛者选择A 且主持人打开C）。

同样，事件B 也可以划分为两个互斥事件：B1（主持人打开B 且参赛者更换选择）和B2（主持人打开C 且参赛者更换选择）。

四、三门问题的解法及应用根据全概率公式，我们可以计算出参赛者更换选择后获得汽车的概率。

P(A1) = 1/3，P(B1|A1) = 1/2，P(B2|A1) = 1/2。

那么，根据全概率公式，P(A|B) = P(A1|B)P(B1) + P(A2|B)P(B2) = (1/3) * (1/2) + (1/3) * (1/2) =1/3。

也就是说，参赛者更换选择后获得汽车的概率为1/3，与不更换选择的概率相同。

通过三门问题，我们可以看到全概率公式在解决实际问题中的应用。

同时，这个问题也引发了许多有趣的讨论，如参赛者是否应该更换选择等。

拉普拉斯定理经典例题

拉普拉斯定理经典例题
拉普拉斯定理是概率论中的重要定理之一，它在求解复杂的概率问题时有着广泛的应用。

下面是一些拉普拉斯定理的经典例题，可以帮助读者更好地掌握和应用该定理。

1. 一个硬币被投掷10次，每次正反面出现的概率分别为0.5。

求正面朝上的次数在5次到8次之间的概率。

2. 一批电子元件中有10%的次品，从中随机取出10个，求其中恰好有2个次品的概率。

3. 从一副扑克牌中随机取出5张牌，求其中有两对牌的概率。

4. 一个班级的学生数为40人，其中男生数为20人。

从中随机选择9个人，求其中恰好有6个男生的概率。

5. 某公司的员工中，有50%是男性，30%是高管。

从中随机选择5个员工，求其中至少有1个高管的概率。

以上这些例题均可以运用拉普拉斯定理进行求解。

读者们可以通过练习这些例题，进一步加深对拉普拉斯定理的理解和掌握。

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利用概率论解决实际问题的方法和技巧

利用概率论解决实际问题的方法和技巧概率论是一门研究随机现象的数学学科，它通过建立数学模型来描述随机现象，进而分析随机现象的发生概率和相关统计规律性。

在实际问题中，概率论的应用范围非常广泛，从金融投资、产品质量控制、天气预报、生物医学到体育竞技等领域，都可以运用概率论的方法和技巧来解决实际问题。

本文将介绍一些利用概率论解决实际问题的方法和技巧。

一、确定事件发生的概率在概率论中，事件发生的概率是描述事件发生可能性大小的数值。

根据不同的概率模型，事件发生的概率可以通过不同的方法来计算。

例如，互斥事件的概率可以通过加法公式计算，相互独立事件的发生概率可以分别求和后再相乘等。

在实际问题中，根据具体情况选择合适的概率模型，确定事件发生的概率是解决问题的第一步。

二、建立统计模型统计模型是用来描述随机现象的数据分析方法，通过建立统计模型可以分析随机现象的统计规律性。

例如，可以通过绘制频率直方图、散点图等图表来描述数据的分布情况；可以通过计算均值、方差、相关系数等指标来描述数据的统计特征。

在建立统计模型时，需要考虑到问题的具体背景和数据的特点，选择合适的统计模型和方法来进行分析。

三、利用概率论解决实际问题的方法1.投资决策：在金融投资中，利用概率论可以分析投资风险的概率分布，从而制定合理的投资策略。

例如，可以通过分析股票价格的历史数据，建立概率模型来预测股票价格的波动情况，进而制定投资策略。

2.质量控制：在产品质量控制中，可以利用概率论来分析产品的缺陷率、合格率等指标的概率分布，从而制定质量控制策略。

例如，可以通过建立概率模型来预测产品的质量水平，进而制定生产计划和质量标准。

3.天气预报：在天气预报中，可以利用概率论来分析天气现象的概率分布，从而预测未来天气的变化趋势。

例如，可以通过分析气象数据的历史资料，建立概率模型来预测未来天气的变化情况。

4.生物医学：在生物医学中，可以利用概率论来分析疾病的发生概率、治疗效果等指标的概率分布，从而制定医学诊断和治疗策略。

概率论与数理统计复习题1

概率论与数理统计复习题（一）A. 古典概型选择题1. 在所有两位数(10－99)中任取一两位数，则此数能被2或3整除的概率为（） A. 6/5 B . 2/3 C. 83/100 D.均不对2. 对事件A,B.下列正确的命题是（） A ．如A,B 互斥，则A ，B 也互斥B. 如A,B 相容，则A ，B 也相容C. 如A,B 互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A.B 独立 D . 如A,B 独立，则A ，B 也独立3. 掷二枚骰子，事件A 为出现的点数之和等于3的概率为（） A.1/11 B . 1/18 C. 1/6 D. 都不对5. 甲，乙两队比赛，五战三胜制，设甲队胜率为0.6，则甲队取胜概率为（） A. 0.6B. C 35*0.63*0.42C. C 350.63*0.42+C 45*0.64*0.4D .C 35*0.63*0.42+C 45*0.64*0.4+0.656. 某果园生产红富士苹果，一级品率为0.6，随机取10个，恰有6个一级品之概率（） A. 1B. 0.66C . C 46610 4.06.0D.（0.6）460.4）（7. 一大楼有3层，1层到2层有两部自动扶梯，2层到3层有一部自动扶梯，各扶梯正常工作的概率为 P ，互不影响，则因自动扶梯不正常不能用它们从一楼到三楼的概率为（） A.（1-P ）3 B. 1-P 3C . 1-P 2（2-P ）D.（1-P ）（1-2P ）8. 甲，乙，丙三人共用一打印机，其使用率分别p, q, r ，三人打印独立，则打印机空闲率为（） A. 1-pqr B . （1-p ）（1-q ）（1-r ） C. 1-p-q-r D. 3-p-q-r 9. 事件A,B 相互独立， P(A)=0.6, P( A B )＝0.3, 则 P(AB)=（） A . 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.110. 甲，乙各自射击一目标，命中率分别为0.6和0.5，已知目标被击中一枪，则此枪为甲命中之概率（） A . 0.6 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.55 11. 下列命题中，真命题为（）A. 若 P （A ）=0 ，则 A 为不可能事件B .若A,B 互不相容，则1BA P ）＝（ C.若 P(A)=1，则A 为必然事件D.若A,B 互不相容，则 P(A)=1-P(B)12. A,B 满足P(A)+P(B)>1，则A,B 一定（）A. 不独立B. 独立C. 不相容D . 相容13. 若（），则〕〕〔＝〔）P(B)-1P(A)-1B A P(A. A,B 互斥B. A>BC. 互斥，B A D . A,B 独立14. 6本中文书，4本外文书放在书架上。

条件概率与事件的独立性(1)

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概率论与数理统计
例：市场上有甲，乙，丙三家工厂生产同一品牌的产品；已知三家产品的市场占有率分别为 25%， 25% 及 50%, 且三家工厂的产品次品率分别为 2%， 1% 及 3%, 求此品牌产品的次品率？
解：设 B 买到一件产品是次品；A1 甲厂生产的产品 A2 乙厂生产的产品； A3 丙厂生产的产品
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概率论与数理统计
例：设箱中有 5 个红球和 3 个白球。现不放回地取出 2 个球，假设每次抽取时，箱中各球被取出是等可能的。第一次取出红球时，问：第
2 次仍取出红球的概率是多少？
解一：缩减样本空间法
设 Ai 第 i 次取出红球，i 1, 2
由于 A1 已经发生，第 2 次取球时，共剩下 7 个球，其中有 4 个红球，故 P ( A2 | A1 ) 4 7 .
n
m
n
n
m m
n
m
n
1
n
m
n
n
2
m
n
mn
m
1
n
.
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概率论与数理统计
P32 题 7 解：设 B 取得该球是红球
A1 取自甲袋； A2 取自乙袋
则 1. P B P A1 P B A1 P A2 P B A2
1 6 1 8 41； 2 10 2 14 70
aa202132114概率论与数理统计复杂的事件分解成若干个互不相容的部人们在计算某一比较的概率时有时根据事件在不同情况或不同原因下发生而将它分别计算每一部分的概率然后求和这就是我们接下来要讨论的全概率公式