3.2_解的延拓定理
黎曼曲面解析延拓问题证明逻辑解析
黎曼曲面解析延拓问题证明逻辑解析黎曼曲面解析延拓问题是复变函数理论中的一个重要研究方向。
本文将对黎曼曲面解析延拓问题进行证明逻辑解析。
首先，我们将介绍黎曼曲面和解析延拓的基本概念，然后介绍相关的定理和推论，最后给出证明过程与逻辑推理。
一、黎曼曲面与解析延拓的基本概念黎曼曲面是一种复流形，具有局部欧几里德结构，是复变函数理论的重要基础。
解析延拓是指将函数定义域从一个开集扩展到一个更大的开集上，使函数在定义域的边界上仍然解析。
二、相关定理与推论1. 必要定理在进行黎曼曲面解析延拓的证明前，我们需要先介绍一个必要定理。
根据Cauchy-Riemann方程的性质，如果一个函数在某个点解析，那么它在该点处的偏导数存在且满足Cauchy-Riemann方程。
2. 解析延拓定理解析延拓定理是黎曼曲面解析延拓问题的中心定理之一。
该定理表明，如果函数在某个开集上解析，并且可以延拓到该开集的一个更大的开集上，那么函数在整个扩展开集上也解析。
3. 唯一性推论解析延拓定理的一个重要推论是唯一性推论。
这一推论指出，如果一个函数可以延拓到两个不相交的开集上，那么在这两个开集的交集上，这个函数的值必须相等。
三、证明过程与逻辑推理为了证明黎曼曲面解析延拓问题，我们将使用反证法。
假设存在一个函数f(z)在某个开集U上解析，但无法延拓到U的一个更大开集上。
首先，我们根据必要定理可知，如果f(z)在U上解析，那么它在U的每个点处的偏导数存在且满足Cauchy-Riemann方程。
然后，我们假设存在一个点z0，使得f(z0)无法延拓到U的一个更大的开集上。
根据解析延拓定理，我们可以得出矛盾，因为f(z)在U上是解析的。
因此，我们可以得出结论，对于任意一个解析函数f(z)，它都可以延拓到它定义域的一个更大开集上。
最后，根据唯一性推论，我们可以断定，在解析延拓的过程中，函数的值不会发生变化。
综上所述，我们证明了黎曼曲面解析延拓问题。
根据所给的证明过程和逻辑推理，我们可以得出结论：任意解析函数f(z)都可以进行解析延拓，且延拓后的函数值与原函数值相等。
解析延拓定理
解析延拓定理
解析延拓定理是数学分析领域中的一个重要定理，其核心概念为复变函数。
复变函数是指将复平面上的点映射到复平面上的函数，其定义域和值域均为复数集合。
根据解析延拓定理，所有的解析函数都可以在其定义域外的某些点上进行无限次的解析延拓，从而得到一个唯一的全纯函数。
全纯函数是指在复平面上处处可微的复变函数。
解析延拓定理对于研究复变函数的性质和行为具有重要的作用。
它可以用于解决一些在某些特定条件下无法解决的问题。
例如，对于某些解析函数，其定义域可能出现断点或奇点，这就导致了函数在该点处失去了解析性质。
解析延拓定理就可以帮助我们在该点处重新定义函数，从而使其在该点处具有复变函数的解析性质。
解析延拓定理还可以用于研究复变函数的奇点和极点。
奇点是指函数在该点处失去解析性质的点，而极点则是指该点处函数值趋向于无穷大或无穷小的点。
通过解析延拓定理，我们可以在这些点处重新定义和计算函数值，并且可以更加清晰地理解函数在这些点附近的行为和性质。
总之，解析延拓定理是一条重要的数学定理，它对于研究复变函数的性质和行为有着重要的意义。
通过解析延拓定理，我们可以更加全面和深入地理解这一领域的重要概念和基本原理。
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
常微分方程补充教程教材
第一章 一般理论1.1 预备知识一 .Banach 空间设X 是实数域或复数域F 上的线性空间，若X 上的实值函数⋅满足下列条件：（1） 对任何X x ∈，0≥x ，并且0=x 的充要条件是0=x ； （2） x x αα=，X x F ∈∈∀,α； （3） y x y x +≤+，X y x ∈∀,，则称⋅为X 上的范数，而称),(⋅X 为赋范线性空间.通常我们略去⋅，而把X 简称为赋范线性空间.设X 是赋范线性空间，对任何X y x ∈,，令y x y x d -=),(，则d 是X 上的距离函数.因此，我们自然地把X 看成是度量空间. 完备的赋范线性空间称为Banach 空间.例如 n 维向量空间nR ,对()12,,,nn x x x x R =∈,定义范数x =,由⋅导出的距离称为Euclid 距离,且称n R 为n 维Euclid 空间,它是一个Banach 空间.又如连续函数空间[,]C a b ,对()[,]x t C a b ∈,定义范数max ()a t bx x t ≤≤=,则[,]C a b 是一个Banach 空间,但[,]C a b 按范数122(())bax x t dt =⎰是一个不完备的赋范线性空间.二 . 紧集与相对紧集设X 为度量空间, A 是X 中的子集.A 为相对紧集(或列紧集) 的充要条件是A 中任一点列必有收敛子列. A 为闭集)(A A =的充要条件是A 中任何收敛点列必收敛于A 中的点.A 为紧集的充要条件是A 为相对紧闭集(或自列紧集).在n R 中紧集与有界闭集是一致的,但在一般度量空间中,可以证明,紧集一定是有界闭集,但反之不然.于是我们可以把闭区间上连续函数的性质推广到度量空间紧集上的连续映射上来.例如1. 若f 是紧集A X ⊂上的连续映射,则f 在A 上必有界,而且可以达到上、下确界.2. 紧集上的连续映射必是一致连续的.3. 度量空间X 上的连续映射必然把列紧集映为列紧集. 三. Ascoli-Arzela 定理考虑定义在[,]αβ上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在0M >,使对任何f F ∈,都有[]βα,,)(∈≤t M t f ,则称函数族F 在[,]αβ上是一致有界的.如果对任给的0ε>,存在0δ>,使对任何F f ∈和12,[,]t t αβ∀∈,只要12t t δ-<,就有12()()f t f t ε-<,则称函数族F 在[,]αβ上是等度连续的.这里一致有界是指F 中所有f 在[,]αβ上有一个共同的界M ,等度连续是指0ε∀>，∃一个共同的δ,不仅对每个f 在t ∈[,]αβ上一致(即每个f 在[,]αβ上一致连续),并且对F 中所有f 一致.Ascoli-Arzela 定理 设F =(){}f t 是定义在[,]αβ上的一致有界且等度连续的实值( m 维)向量函数族,则从F 中必可选取一个在[,]αβ上一致收敛的子序列(){}n f t .四 . 不动点原理设T 为度量空间X 到它自身的一个映射,如果存在数α,10<<α，使对一切,x y X ∈都有),(),(y x d Ty Tx d α≤，则称T 为X 上的压缩映射.压缩映射从几何上看就是x 和y 经T 映射后,它们的像的距离缩短了(不超过(),d x y 的α倍,α1<).压缩映射原理 完备的度量空间X 中的压缩映射T 必有唯一的不动点(就是说,方程x Tx =有且只有一个解).定理中X 的完备性条件不能去掉.例如X (]0,1=,(),d x y =x y -,T 是如下的映射x Tx 21=,x ∈(]0,1. 显然T 是X 到X 的压缩映射,但x Tx =在(]0,1中无解,即在X 中不存在T 的不动点.条件),(Ty Tx d ≤α(),d x y ,α<01< 不能减弱为 ),(Ty Tx d <(),d x y (),,x y X x y ∈≠. 例如X =[0,+∞),X 为完备的度量空间, T 定义为=Tx x +11x+, x ∈[)0,+∞. 当[),0,,x y ∈+∞x y ≠时=),(Ty Tx d ()()11111111x y x y x y x y ⎛⎫+--=-- ⎪ ⎪++++⎝⎭<(),d x y ， 但T 在[)0,+∞中没有不动点.应用上常取X 中的一个闭子空间(子空间M X ⊂是完备空间的充要条件是M 是X 的闭子空间).Schauder 不动点定理 设X 是Banach 空间,A X ⊂是凸闭集, T 是A A→的连续映射,并且()T A 是相对紧集,则T 在A 中至少有一个不动点.1.2解的局部存在和唯一性定理一 . 皮卡(Picard)定理 考虑初值问题(或Cauchy 问题) ()I (),,dxf t x dt=ξτ=)(x , 即方程()E(),dxf t x dt= 满足初始条件)()(J x ∈=τξτ的解的问题,其中t ∈R ，(),,,n x f R f t x ∈是定义在区域1n G R +⊂上的n 维实值向量函数,R J ⊂为某一区间.历史上Cauchy 在十九世纪二十年代第一个成功地建立了微分方程初值问题的解的存在和唯一性定理(因此后人常把初值问题称为Cauchy 问题).1876年,Lipschity 减弱了Cauchy 定理的条件.1893年,Picard 用逐次逼近法在Lipschity 条件下对定理给出了一个新证明.定理2.1(Picard) 若函数(),f t x 在空间1n R +中某区域R : t a τ-≤,x b ξ-≤上连续,并且关于x 满足Lipschity 条件,即0L ∃>,使当(),t x ,R x x ∈),(时有x x L x t f x t f -≤-),(),(，则初值问题（I ）在区间h t ≤-τ上存在唯一解)(t ϕ，其中),min(Mb a h =，),(max ),(x t f M Rx t ∈=.证明思路 先证明解的存在性（转化——逼近——取极限） 转化 证明初值问题（I ）等价于积分方程)(I ds s x s f x t))(,(⎰+=τξ.这里等价的含义是指)(t x ϕ=是初值问题（I ）的解当且仅当它是积分方程)(I 的连续解.逼近 构造逐次逼近序列 ξϕ=)(0t ，),2,1,0())(,()(1 =+=⎰+k ds s s f t tk k τϕξϕ.证明序列{})(t k ϕ在J ：h t ≤-τ上有定义，连续且满足b t k ≤-ξϕ)(.取极限ds s s f t tk k k k ))(,(lim )(lim 1⎰∞→+∞→+=τϕξϕ.证明序列{})(t k ϕ及{}))(,(t t f k ϕ在J 上皆一致收敛.于是记)(lim )(t t k k ϕϕ∞→=，则)(t ϕ在J 上连续，并且可通过积分号取极限，从而有ds s s f t t))(,()(⎰+=τϕξϕ，即)(t x ϕ=是积分方程)(I 的连续解.最后证明解的唯一性.下面应用压缩映射原理证明定理2.1 .定理2.1的证明 仅考虑+J ：h t +≤≤ττ的情形，对于左半区间的情形可以类似讨论.用][+J C 表示定义在+J 上一切连续的n 维向量函数所构成的集合.对][+∈∀J C ϕ，定义它的范数为etJ t t βϕϕ-∈+=)(m ax ，其中L >β为某一常数.容易证明][+J C 按距离2121),(ϕϕϕϕ-=d 成为完备的度量空间.用D 表示][+J C 满足条件b t ≤-ξϕ)()(+∈J t 的连续向量函数全体构成的子空间，不难看出D 是闭子空间，从而是完备的度量空间. 令⎰+=tds s s f t T τϕξϕ))(,())((，+∈J t ，则T 是D 到D 中的映射. 事实上，任取D ∈ϕ有b Mh ds s s f t T t≤≤=-⎰|))(,(||))((|τϕξϕ，即当D ∈ϕ时，D T ∈ϕ. 又对D ∈∀21,ϕϕ有|))](,())(,([||))(())((|2121⎰-=-tds s s f s s f t T t T τϕϕϕϕds e e s s L s s tββτϕϕ⋅-≤-⎰|)()(|21ds e e t t L ts tJt ⎰-∈-≤+τββϕϕ}|)()({|max 21t e Lβϕϕβ21-≤.从而推出21ϕϕT T -21ϕϕβ-≤L，10<<βL.所以T 是D 中的压缩映射，故存在唯一的D ∈ϕ，使ϕϕ=T ，即⎰+=tds s s f t τϕξϕ))(,()(，+∈J t .由于积分方程)(I 定义在+J 上的任何连续解都含于D 中，因此方程)(I 在+J 上存在唯一的连续解)(t ϕ，它等价于初值问题（I ）在+J 上存在唯一解)(t ϕ. 推论2.1 若函数),(x t f 在区域1n G R +⊂内连续，且关于x 满足局部 Lipschity 条件 [即对任一点G ∈),(ξτ，存在它的一个邻域),(ξτV ，使),(x t f 在),(ξτV G 上关于x 满足Lipschity 条件（注意，相应的Lipschity 常数与V 有关）]，则对任一点G P ∈),(ξτ，都相应地有含点τ的一个区间P J ，使初值问题（I ）在P J 上存在唯一解.推论 2.2 若函数),(x t f 在区域1n G R +⊂内连续并存在连续的偏导数()(),,...,3,2,1,,n j i x x t f ji =∂∂则仍有推论1的结论成立.例1 利用Picard 定理证明初值问题22dx t x dt=+ ，0)0(=x在区间]21,21[-上存在唯一解.证 在矩形R ：1,1≤≤x t 上考察所给初值问题.由于22(,)f t x t x =+及x xf2=∂∂都在R 上连续，故满足Picard 定理的条件.这里1==b a ，2),(max ),(==∈x t f M R x t ，21),min(==M b a h . 因此推出该问题在区间21<x ，即]21,21[-上存在唯一解. 例2 设二元函数),(x t f 在带域G ：+∞<<∞-≤≤x t ,βα上连续，关于x 满足局部Lipschity 条件，且0)0,(≡t f . 记)(t x ϕ=为初值问题ξτ==)(),,(x x t f dtdx)(βτα≤≤ 的解. 试证明：若0>ξ，则对一切[]βα,∈t 恒有.0)(>t ϕ证 由假设可知，对任给G ∈),(ξτ，所述初值问题在区间[]βα,上存在唯一解，且0=x )(βα≤≤t 是方程的解.用反证法证明：当0>ξ时，对一切[]βα,∈t 恒有0)(>t ϕ. 因为如果不然，必存在[]1,t αβ∈，使0)(1=t ϕ.于是过点1(,0)t 就有方程的两个不同的解)(t x ϕ=及0=x 通过，这是一个矛盾.例3 设在积分方程⎰+=ba ds s x s t K t f t x )(),()()(λ中，)(t f 在b t a ≤≤上连续，),(s t K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续. 试证：当λ足够小时，此方程在b t a ≤≤上必存在唯一的连续解.证 在],[b a C 中定义范数x =)(max t x bt a ≤≤，则],[b a C 是一个Banach 空间. 作映射T ：⎰+=ba ds s x s t K t f t Tx )(),()())((λ，[]b a x ,∈.由假设条件知],[b a C Tx ∈，T 是],[b a C 到自身的映射. 令{}b s a b t a s t K M ≤≤≤≤=,:),(max ，对],[,21b a C x x ∈∀有[]1212()()()()(,)()()baTx t Tx t K t s x s x s ds λ-=-⎰21)(x x a b M --≤λ . 若记)(a b M -=λα，则当)(1a b M -<λ时就推出1212Tx Tx x x α-≤-，10<≤α.根据压缩映射原理，T 在],[b a C 中有唯一的不动点，即所给积分方程在b t a ≤≤上有唯一的连续解.例4 设三元函数),,(z s t K 在0,st a z ≤≤≤-∞<<+∞上连续，且关于z 满足 Lipschity 条件|||),,(),,(|z z L z s t K z s t K -≤-，而函数()g t 在0t a ≤≤上连续，试证积分方程()()()()⎰+=tds s u s t K t g t u 0,,在a t ≤≤0上存在唯一的连续解.证 在],0[a C 中定义范数t at e t u u β-≤≤=)(max 0，[]0,u C a ∈，其中L >β是某一常数，则],0[a C 是一个Banach 空间，考察],0[a C 到它自身的映射T ：()()()()()⎰∈+=ta C u ds s u s t K t g t Tu 0],0[,,,.任取],0[,21a C u u ∈，有()|))](,,())(,,([||))(()(|02121⎰-≤-tds s u s t K s u s t K t Tu t Tuds e e s u s u L s s tββ⋅-≤-⎰|)()(|201ds e u u L ts ⎰-≤021β12t Lu u e ββ≤-，从而推出21Tu Tu -21u u L-≤β，10<<βL.根据压缩映射原理，T 在],0[a C 中有唯一的不动点，即所给积分方程在a t ≤≤0上有唯一的连续解.例5 设二元函数()x t f ,在+∞<<-∞≤≤x a t ,0上连续，且存在10<<K ，对],0(a t ∈∀及R x x ∈21,有()()2121,,x x tKx t f x t f -≤-. 试证明初值问题()x t f x ,='，()ξ=0x （2.1）在a t ≤≤0上存在唯一解。
解析延拓法-概述说明以及解释
解析延拓法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述解析延拓法是一种常用的数学工具，它在不同领域都有广泛的应用。
通过对问题进行解析建模，该方法能够将问题转化成解析函数的延拓，从而更好地理解和解决问题。
在解析延拓法中，解析函数是指在复数域上定义的函数。
而延拓则是指将函数从定义域延拓到更广泛的域，通常是将函数在实轴或复平面上的一部分延拓到整个实轴或者复平面上。
通过对延拓之后的函数进行分析和计算，我们可以得到更全面和深入的信息，解决原问题中的困难或疑惑。
这种方法的优势在于它不仅能够处理具体问题，还能够揭示问题的本质和内在规律。
通过解析延拓法，我们能够理解函数的性质和行为，从而更好地研究和解决与之相关的问题。
因此，无论是在物理、工程、经济学还是其他各个领域，解析延拓法都是一种非常重要的工具和方法。
在接下来的文章中，我们将对解析延拓法进行详细的探讨。
首先，我们将介绍解析延拓法的定义，阐述其基本原理和思想。
然后，我们将进一步探讨解析延拓法的应用，以及它在不同领域中的具体应用案例。
最后，我们将总结解析延拓法的优势，并展望未来对该方法的发展和应用。
通过对解析延拓法的深入研究和理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并推动相关领域的发展。
希望本文能够为读者提供有益的信息和观点，引起大家对解析延拓法的兴趣和思考。
接下来，我们将开始探索解析延拓法的定义和基本原理。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括以下内容：文章的结构是指文章的整体组织框架，它决定了文章的逻辑顺序和层次结构。
对于本文来说，其结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要用于引导读者进入文章的主题，并对解析延拓法进行概述。
首先，需要对解析延拓法进行简单介绍，包括其定义、原理和应用。
然后，介绍文章的结构和目的，以及大致的内容安排。
最后，对整篇文章进行总结，提供一个概览。
正文部分是文章的核心部分，用于详细解析解析延拓法。
首先，给出解析延拓法的定义，解释它是一种什么方法，并说明其在科学研究中的重要性。
§3.2 解的延拓和对初值的连续性和可微性 常微分方程课件 高教社ppt
解的表示
• 方程的解y=(x)除依赖于自变量x外， 还与初值(x0,y0)有关，初值独立于自变 量。因此，方程的解可看作是3个变元 的函数 y=(x,x0,y0) 它滿足 y0=(x0,x0,y0) 。
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解对初值的连续性定理
dy f ( x, y ) dx目录上页 Nhomakorabea下页
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例
d y y2 1 dx 2
分别通过点(0,0),(ln2,-3)的解
• 方程右端在整个Oxy平面有定义且满足解的存在 唯一性定理和解的延拓定理的条件。 • 通解
1 ce x y 1 ce x
• 通过点(0,0)的解
1 ex y 1 ex
存在区间-∞<x<+ ∞ 1 ex y • 通过点(ln2,-3)的解 1 e x存在区间0<x<+ ∞
• 解对初值的连续性定理 如 f(x,y) 在域 G内连续且满足局部利普希茨条件， 则方程的解y=(x,x0,y0) 作为x,x0,y0 的 函数在它的存在范围内是连续的。
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解对初值的可微性定理
dy f ( x, y ) dx
• 解对初值的可微性定理 如 f(x,y) 在域G内连续， • 则方程的解y=(x,x0,y0)作为x,x0,y0的函数 在它的存在范围内是连续可微的。 x f ( s, ) 且有
• 延拓定理 如f(x,y)在某有界区域G内连续且满足局 部利普希茨条件，则方程的通过G内任何一点的 解可以延拓，直到点任意接近区域G的边界。
• 推论 如G是无界区域， f(x,y)在G内连续且满足局 部利普希茨条件，则方程的通过G内任何一点的 解可以延拓，此时解：（1）或延拓到区间 (x0,+∞)；(2)或延拓到区域G的边界。
常微分第三章第2节解的延拓
f ( x, y ) 在某一区域 G
y
满足局部的利普希茨条件。
则方程（3.1）由存在唯一性定理确定的解一定 可以延拓为饱和解。 结论II 任一饱和解的最大存在区间必是一个开区间 ( , ).
事实上，若这个区间的右端是闭的，则
是有限数，且点 ( , ( )) G. 这样，y ( x)
| n ( x) y0 | b
(3.4)
命题3 函数序列
{ n ( x)}在 x0 h x x0 h
上一致收敛。 命题4 ( x) 是积分方程(3.3)的定义于 x0 h x x0 h 上的连续解。 命题5 设 ( x) 是积分方程(3.3)定义于 x0 h x x0 h 上的一个连续解，则
x m
时，或者
y ( x) 无界，或者点 ( x, ( x)) 趋于 G 的边界。
注： 解的延拓定理也可叙述为 如果方程(3.1)右端的函数 f ( x, y ) 在区域 G （有界或无界）中连续，且在 G 内关于y满足 局部L-条件,则方程(3.1)的通过 G 内任何 一点 ( x0 , y0 ) 的解 y ( x) 向左右延拓，或 无限远离原点，或任意接近区域 G 的边界。
§3.2
解的延拓
孙书荣
2014-2015 学年第1学期
济南大学
存在唯一性定理
dy 满足利普希茨条件，则方程 f ( x. y ) (3.1) dx 存在唯一的解 y ( x) ,定义于区间 | x x | h 0
上,连续且满足初始条件 这里
如果 f ( x, y ) 在
R 上连续且关于 y
例1 讨论方程
(ln 2, 3) 的解的存在区间。
Chapter3.2解的延拓
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第三章第2节 解的延拓
8
2011-10-21
第三章第2节 解的延拓
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例2 讨论以下方程满足条件y(1)=0的解的存在区间. 解:
dy = 1 + ln x dx
֠解: 依题有方程右端为 f(x,y)=1+ln x 定义于区域 G={(x, y)| x>0, −∞ < y <+∞},且 f(x,y) 在区域 G 上满足解 的延拓定理的条件. ֠方程的通过点(1,0)的解为 y=xln x ,定义于区间 (0, +∞) ֠所以方程的解向右可延拓到+∞,向左只能延拓到0.
1 + ce x y= 1 − ce x
1− ex y= , x ∈ (−∞,+∞) x 1+ e
2011-10-21 第三章第2节 解的延拓 7
1+ ex ֠而通过点(ln 2, −3)的解为 y = , x ∈(0,+∞) x 1−e
֠所以方程经过该点的解向右可延拓到+∞,向左只能延拓 到0.
第三章
第2节 解的延拓 2
解的延拓条件
假设方程 dy/dx = f(x, y) 在某一区域 G 内连续,关于 y 满足局部利普希茨条件 局部利普希茨条件: 局部利普希茨条件
֠对 G 内每一点 P(x, y),有以 P 为中心的完全包含于 G 内 的闭矩形区域 R,在 R上 f(x, y) 关于 y 满足利普希茨条件.
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第三章第2节 解的延拓
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例1 讨论以下方程分别通过点(0,0),(ln2,−3)的解的 存在区间. 2 解:
dy y −1 = dx 2
解的延拓
对I [, )时,同样讨论 即x (或 )时, (x,(x)) G.
推论3 如果G是无界区域,在上面延拓定理条件下,
方程(3.1)的通过点(x0, y0 )的解y (x)可以延拓,以
向x增大(减少)一方的延拓来说, 有下面的两种情况
(1) 解y (x)可以延拓到区间 [x0,)((, x0 ], (2) 解y (x)可以延拓到区间[x0, m)((m, x0 ], 其中m为有限数,当x m时,或者y (m)无界, 或者(x,(x)) G
解的存在唯一区间x h min{2, 2} 1 . 84
1 饱和解及饱和区间
定义1 对定义在平面区域G上的微分方程 dy f (x, y), (3.1) dx
设y (x)为方程(3.1)定义在区间(1, 1)的连续解,
若存在方程(3.1)的另一解y (x),它在区间(2, 2 )上
有定义,且满足
注 若f (x, y)及f y (x, y)在G内连续,则f (x, y)在G内关于 y满足局部Lipschitz条件.
3 解的延拓定理
定理 如果方程(3.1)右侧函数f (x, y)在有界区域G 中连续,且在在G内f (x, y)关于y满足局部Lipschitz条
件.那么方程(3.1)通过G内任一点(x0, y0 )的解y (x) 可以延拓, 直到点( x, ( x))任意接近G的边界.
(1)x (1, 1)时, (x) (x); 则称解y (x), x (1, 1)是可延拓的,并且称解 y (x)是解y (x)在(2, 2 )的一个延拓.
若不存在满足上述条件的解y (x),则称解y (x), x (1, 1)为方程的一个不可延拓解,或饱和解.
§3.2 解的延拓
第3章_第2节_解的延拓定理(解的整体存在唯一性定理)
max ( x 2 y 2 ) 8
( x , y )D2
( x , y )D2
f ( x, y)
a b 2，
b 2 1 h2 min{ a, } min{ 2, } . M2 8 4
当 f ( x , y) x 2 y 2 , ( x , y) D2时，
( x0 , y0 )
o
x0 h x0 x h =x 0 1
G x
的唯一解： y ( x ) ①
x I [ x1 h1 , x1 h1 ]
令 h min{2h, h1 }
(确保： x1 h x0 h )
y
Q ( x1 , y1 )
( x0 h) h x0 h h 2h 由解的唯一性，知
( G为G的边界，为欧氏距离). 对 有类似的结论.
例3 在区域 G {( x, y)
y 2}内, 讨论方程
dy y 2 分别通过点(1,1), ( 3, 1)的解的 dx 最大存在区间.
解 f ( x , y ) y 2 , f y ( x , y) 2 y 均在G内连续
∴ 所给方程过点 (1,1) 的解的最大
( 3 , 1 )
x
例4
设 f ( x , y ) 在R 2内满足： (1) 连续； ( 2) 有界； ( 3) f y ( x , y )连续，
dy 证明： 方程 f ( x , y )的任一解 y ( x ) dx 的最大存在区间是 ( , ).
证 设初值问题(1)的积分曲线 L : y ( x ), x I [ x0 h, x0 h] y 则 L G. 令 x1 x0 h, y1 ( x1 )
《解的延拓定理》课件
解的局部唯一性定理
1
什么是解的局部唯一性定理？
解的局部唯一性定理是指在某个特定区域内，解的存在且唯一。
2
它的证明过程是怎样的？
证明过程涉及数学推导和逻辑思维，通过严谨的推理来证明解的局部唯一性。
部唯一性定理解决了很多实际问题，例如流体力学中的流动问题和电磁学 中的分布问题。
《解的延拓定理》PPT课 件
解的延拓定理PPT课件，介绍解的延拓定理的应用、解的局部唯一性定理、 解的延拓定理的证明过程，以及与解的局部唯一性定理的联系。
简介
解的延拓定理是什么？
解的延拓定理是数学中的一个重要定理，它描述了解在某些特定条件下的延伸和唯一性。
它有什么应用？
解的延拓定理在物理、工程和经济学等领域中有广泛的应用，可以帮助解决实际问题。
解的延拓定理
1 什么是解的延拓定理？
解的延拓定理是指在某些情况下，解可以延伸到更广泛范围的区域。
2 它是如何证明的？
证明过程基于数学分析和函数的性质，通过严密的推导来证明解的延拓定理。
3 它与解的局部唯一性定理有什么联系？
解的局部唯一性定理是解的延拓定理的特例，可以看作是解的延拓定理在特定区域的应 用。
进一步研究的方向
未来可以进一步研究解的延拓定理在更复杂情况下 的应用和推广，以解决更多的实际问题。
参考文献
• 相关学术文献参考1 • 相关学术文献参考2
应用举例
工程实际中的应用举例
解的延拓定理在工程领域中有广泛的应用，例如结 构分析、材料研究和流体力学等。
它解决了哪些实际问题？
解的延拓定理解决了很多实际问题，例如天气预测、 电路设计和金融风险评估等。
总结
解的延拓定理的重要性
【精品】3-2[1]解的延拓
![【精品】3-2[1]解的延拓](https://img.taocdn.com/s3/m/6ef8bb4d5bcfa1c7aa00b52acfc789eb172d9eb8.png)
【精品】3-2[1]解的延拓在微积分中，我们学习了很多单变量函数的极限和导数的概念，这些概念有助于我们研究函数的性质和行为。
然而，当我们试图研究多变量函数时，很多单变量函数的工具和方法就不再适用了。
我们需要新的工具和方法来分析多变量函数的行为。
一个常见的问题是：如果一个函数在某些点处没有定义，是否可以将其扩展为这些点附近的一个连续函数？如果可以，这个扩展函数唯一吗？这个问题可以通过解的延拓来回答。
考虑一个复杂的函数，例如 $f(x,y)=\frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}$，它在 $(0,0)$ 点处不定义。
我们可以假设 $f(x,y)$ 可以在 $(0,0)$ 点周围的一个圆形区域内连续，因此我们可以试图定义一个函数 $g(x,y)$，$g(x,y)=f(x,y)$ 当 $(x,y)$ 在圆形区域内，否则 $g(x,y)$ 的值可以任意取。
$g(x,y)$ 是 $f(x,y)$ 的一个延拓，我们可以研究它的性质。
首先，我们需要检查 $g(x,y)$ 是否连续。
如果 $g(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点处连续，那么我们称 $g(x,y)$ 是 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点处的连续化。
我们可以通过极限的定义来检查 $g(x,y)$ 是否连续：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)$$如果此极限存在，并且等于 $g(0,0)$，那么 $g(x,y)$ 是连续的。
现在我们来计算这个极限：我们可以使用极坐标变换 $x=r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，并将算式化简为：$$\lim_{r\to 0}\frac{r^4(\cos^4\theta-\sin^4\theta)}{r^2}=\lim_{r\to0}r^2(\cos^4\theta-\sin^4\theta)$$我们发现这个极限的值依赖于 $\theta$，因此函数在 $(0,0)$ 点处没有连续化。
解的延拓,饱和解
P’2
R1
定理3.3（解的延拓定理）如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并 满足局部李氏条件，则过D内任意点的饱和解存在，令饱和解为 (x) x a 0或x b 0 时，点 ( x, ( x)) 无限接近于D的边界。 注. 饱和区间可以是有界区域，也可以是无界区域。 如果D是无界区域，在延拓定理的条件下 (x) 向x 增大的方向 的延拓有两种可能： （1）可以延拓到区间 [ x0, ) （2）只能延拓到区间 [ x0, d ] ，其中d 是有限数，
（1）经过(0, 0) 的饱和解和饱和区间。 （2）经过 （ln2, -3）的饱和解和饱和区间。
解: (1)定义域为全平面，关于y的偏导数连续，因此经过(0,0) 的 x 解 1 e 存在且唯一。 y x
1 e 解的存在区间为（-∞，+∞）
饱和区间为（-∞，+∞）
（2）经过 （ln2, -3）的解为
1 ( x) 2 ( x)Βιβλιοθήκη 2 ( x)是解
1 ( x) 一个延拓。
P2 P1(x0,y0)
R2
今后设f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件。
R’2 如果f(x,y)是定义域 D上的连续函数，并满足局部李氏条件，则过 D内任意点的唯一解必可延拓至 D 的边界，这种延拓到了“尽头 ”的解称为饱和解，饱和解对应的区间称为饱和区间。饱和区间 是开集
向左可以无限延拓，因此饱和区间为 当 x0 时向左只能延拓到 x 向右可以无限延拓，因此饱和区间为
当y0=0时：唯一解为y=0,它是饱和解，饱和区间为 (,)
(, )
x
( ,)
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第二章基本定理第二讲解的延拓
第⼆章基本定理第⼆讲解的延拓第⼆讲解的延拓（3学时）教学⽬的：讨论解的延拓定理。
教学要求：理解解的延拓定理，并⽤解的延拓定理研究⽅程的解教学重点：解的延拓定理条件及其证明教学难点：应⽤解的延拓定理讨论解的存在区间。
教学⽅法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。
教学⼿段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程：解的存在唯⼀性定理的优点是:在相当⼴泛的条件下,给定⽅程:),(y x f dxdy =有满⾜初值条件00)(y x y =的唯⼀解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的⼀个区间),min(,||0mb a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很⼩,因⽽相应的微分曲线也只是很短的⼀段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ?=+ =?当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯⼀区间.21}21,1min{||==≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯⼀区间.41}41,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增⼤,解存在的唯⼀区间反⽽缩⼩,这显然是我们不想看到的,⽽且实际要求解存在下载向尽量⼤,这就促使我们引进解的延拓概念.扩⼤解存在不在此区间.1．局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每⼀点P,有以P 为中⼼完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满⾜Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的⼤⼩和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满⾜局部Lipschitz 条件.2. 解的延拓定理. 如果⽅程(3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满⾜局部Lipschitz 条件,那么⽅程(3.1)的通解过G 内任何⼀点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ?任意接近G 的边界.以向X 增⼤的⼀⽅延拓来说,如果)(x y ?=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ?趋于区间G 的边界.上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯⼀性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很⼩”的.通常⽅程(2.1)的右端函数f (x ,y )存在区域D 可能是很⼤的，这样，我们⾃然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩⼤.2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设1()y x ?=是初值问题（2，2）在区间 1I R ?上的⼀个解，如果（2.2）有⼀个在区间 2I R ?上的解 2()y x ?=，且满⾜(1) 12,I I ?(2)当 1x I ∈时， 12()(),x x ??≡则称解 1()y x ?=，1x I ∈是可延展的，并称 2()x ?是 1()x ?在2I 上的⼀个延展解. 否则，如果不存在满⾜上述条件的解 2()x ?，则称 1x I ∈，1()x ?是初值问题(2.2)的⼀个不可延展解(亦称饱和解)。
解的延拓
若存在方程(3.1)的另一解y (x),它在区间(2, 2 )上
有定义,且满足
(1) (2, 2 ) (1, 1)但(2, 2 ) (1, 1), (2) 当x (1, 1)时, (x) (x); 则称解y (x), x (1, 1)是可延拓的,并且称解 y (x)是解y (x)在(2, 2 )的一个延拓.
存在唯一解y (x),解的存在唯一区间为 x x1 h1 0
因(x1) (x1),由唯一性定理,在两区间的重叠部分 应有(x) (x), 即当x1 h1 x x1时(x) (x),
定义函数
*
(
x)
(x), (x),
x0 h0 x x0 h0 , x0 h0 x x1 h1
那么, y *(x)为方程(3.1)满足(2)(或(3)),在[x0 h0, x1 h1]
上有定义的唯一解. 这样我们已把方程(3.1)满足(2)的解
y (x),在定义区间向右延长了一段.
即方程(3.1)满足(2)的解y *(x)为解y (x)在定义
区间x x0 h0的向右方延拓,
对定义2也可如下定义
对定义在平面区域 G上函数f (x, y), 若对(x1, y1) G, 矩形R1 {( x, y) | x x1 a1, y y1 b1} G及常数 L1(与x1, y1, a1, b1有关), 使对(x, y' ), (x, y'' ) R1有
推论1 对定义在平面区域G上的初值问题
dy dx
f (x, y),
3.2 解的延拓定理
§ 3.2 Extension Theorem
向右可以延拓到
但向左方只能延拓到 0, 因为当 x 0 时, y (无界) 这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。 y
1
ln2
x
-1
-3
(ln2,-3)
§ 3.2 Extension Theorem
例2
讨论方程
dy 1 ln x 满足条件 y(1) 0 dx
x0 x1
§ 3.2 Extension Theorem
二、 解的延拓定理及其推论 1 解的延拓定理 如果方程(3.1)右端的函数 f ( x, y) 在有界区域 G 中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么 方程(3.1)通过G 内任何一点 ( x0 , y0 )的解 y (x) 可以延拓。 直到点 ( x, ( x)) 任意接近区域G 的边界。 以向 x 增大的一方的延拓来说，如果
2
x(t ) tan(x(0)t c) arctan x x(0)t
x(0) 0
x(t ) tan(x(0)t )
y(1) 1 and y (1) 1 的解的存在区间。
(1,2), (0,3)
dy p( x) y Q( x) 2 设线性方程 dx
当 P(x),Q(x) 在区间 (,) 上连续，则由任一初值
( x0 , y0 )
x0 (,) 所确定的解在整个区间
(,) 上都存在。
§ 3.2 Extension Theorem
2 解的延拓
设 y ( x) x [a, b] 是
dy ( f ( x, y).........3.1.1) dx ( x0 ) y 0 .......... 3.1.2) ...(
3.2解的延拓
为 (−∞, +∞) .
为 (0, +∞) .
1 + ex 过点 (ln 2, −3)的解为 y = ，这个解的存在区间 x 1− e
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
5、解的延拓定理 、
进一步问：如何判别一个给定的解 y = ϕ ( x), x ∈ (α , β ) 是否为饱和解？ 进一步问： 是否为饱和解？
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
6、例题分析 、
平面上满足解的存在唯一性及解的延拓定理的条件. 平面上满足解的存在唯一性及解的延拓定理的条件 分析 在xoy平面上满足解的存在唯一性及解的延拓定理的条件
8、补充思考题 、
dx 2 tx 2 1 指出方程 = 1 − x e 的每一解的存在区间 、 dt 以及当t趋于这区间的端点时解的性态.
2、 指出方程y ' = y 2在区域G :| x |< ∞, | y |< ∞内每一个解 的饱和区间以及当t趋于这区间的两端时解的性态.
(
)
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
条件。 在G内连续且关于 y 满足局部 内连续且关于 满足局部Lipschitz条件。如果 y = ϕ ( x)为(3.1)的定 条件 的定 义在闭区间 [α , β ]上的一个解，则 y = ϕ ( x) 在 [α , β ] 上必可延拓。 上的一个解， 上必可延拓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例如对于cauchy问题内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作lipschitz内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作定理1
关于解的延拓定理之注解
关于解的延拓定理之注解韩茂安;李继彬【摘要】在数学专业的常微分方程课程里有关解的存在唯一性、解的延拓和解对初值与参数的连续性构成了微分方程最基本的理论,这部分内容既是常微分方程的重点,又是该课程的难点.本文的目的是对解的延拓定理所涉及的概念和论证进行系统的梳理和完善,并希望能够弥补微分方程教材中的有关不足.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)002【总页数】6页(P33-38)【关键词】延拓;李卜希兹条件;饱和解【作者】韩茂安;李继彬【作者单位】上海师范大学数学系,上海200234;浙江师范大学数学系,金华321004【正文语种】中文【中图分类】O175.1考虑标量微分方程定理1 在上述假设下微分方程(1)存在唯一的定义于区间[x0-h,x0+h]且满足初值条件y(x0)的解, 其中上述定理是解的存在唯一性最经典的结果，在许多常微分方程教材中都有证明，见[1]-[16].下面，我们讨论定义域更一般的标量方程. 首先给出区域的概念. 按照数学分析教材所定义的，如果一平面点集G可以写成一个非空连通开集和该开集的部分边界点的并，就说集合G是一个区域. 按照这个定义，区域可以开的(如果它是连通开集)，也可以是闭的(如果它是某一连通开集和该开集所有边界点的并) 也可以是非开非闭的. 例如，式(2)所定义的矩形R就是一个闭区域，而集合{(x,y)|x≥0,y>0}是一个区域，但它既不是开的，也不是闭的. 又如，集合{(x,y)|x≥0}∪{(x,y)|x≤0,y=0}就不是一个区域.现在，我们可以叙述比定理1更为一般的存在唯一性定理了.定理2 设方程(1)中的函数f为定义于某平面区域G上的连续函数，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件，即对G的任意内点(x0,y0), 都存在以该点为心且含于G的矩形区域，使得函数f在该区域上关于y满足李卜希兹条件，则微分方程(1)存在唯一的定义于以x0为心的某区间上且满足初值条件y(x0)=y0的解.上述定理很容易利用定理1的结论推出.上述两个定理都称为解的存在唯一性定理，并且都在许多常微分方程教材中出现，它们的共同点是解的存在区间都是局部的. 其实，在微分方程定性理论中起基石作用的解的存在唯一性定理不是上面的局部结果，而是解的大范围存在唯一性定理，这个定理是上面定理和解的延拓定理的直接推论. 下面一节我们就来详细讨论解的延拓定理.本段将假设方程(1)中的函数f为定义于某平面区域G上的连续函数，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件. 首先，我们引入延拓与限制的概念.定义1 设φ(x)(x∈I)与φ1(x)(x∈I1)均为方程(1)的解，其中I1与I2为两个区间，如果(i) I⊂I1, I≠I1;(ii) ∀x∈I,φ(x)=φ1(x),这里注意，说定义在区间I上的函数φ为方程(1)的解，意味着函数φ在区间I上可导，且当x∈I时成立(x,φ(x))∈G.易见，延拓具有传递性，即如果方程(1)有三个解φ,φ1与φ2,且φ2为φ1的延拓，φ1为φ的延拓, 则φ2为φ的延拓.有了延拓的概念，就自然出现下面三个问题：问题1 给定一个解，它什么时候存在延拓呢？问题2 一个解能够延拓到什么程度呢？换句话说，一个解是否存在最大范围的延拓解？问题3 这个最大范围的延拓解具有什么性质？对于问题1与3，许多常微分方程教材中都有研究，后面将指出在这些研究中存在的不足，而对问题2，国内教材中则没有引起注意，而忽视了证明，本文的主要目的就是深入研究这一问题. 考虑到系统性和完整性，下面对这三个问题逐一详细研究，并得到比现有常微分方程教材中更为细致周密的结论. 关于第一个问题，有命题1 设y=φ(x)是方程(1) 的解，定义于区间I. 又设c是区间I的一个端点，则(i) 若c∈I时，且点(c,φ(c))是G的内点，则该解必存在延拓；(ii) 若c∉I时，且函数φ(x)在点c存在有限的单侧极限，记为d, 使得(c,d)∈G,则该解必存在延拓.证不失一般性，可设点c为I的右端点. 如果c∈I且点(c,φ(c))是G的内点，则令(x0,y0)=(c,φ(c)),就有以(x0,y0)为心的形如(2)且含于G的矩形区域R, 使得函数f在R上满足李卜希兹条件，于是由定理1，存在适当小的h>0, 使得方程(1)有定义于区间|x-x0|≤h的唯一解. 令那么，函数φ1就是φ的一个延拓. 这样的延拓称为φ的右向延拓. 类似地，可定义左向延拓.如果c∉I，且函数φ(x)在点c有有限的单侧极限d，并使得(c,d)∈G,那么导函数φ′(x)在点c也有有限的单侧极限，于是下列函数由命题1易见，如果G是一个开区域，且y=φ(x)的定义在一个闭区间上，那么这个解一定有延拓, 而且有很多个延拓. 这就是众多常微分方程教材中都讲到的结论. 但如果区域G是闭的，则方程(1) 定义于闭区间上的解未必存在延拓. 例如，线性方程在回答第二个问题之前，需要引入饱和解与饱和区间的概念.定义2 设φ为(1)定义于区间I上的一个解，如果这个解不存在延拓，则称它是(1)的饱和解(又称不可延拓解)，同时称区间I为饱和区间.上述定义见[14] 等. 文献[12] 给出了饱和解定义的另一种说法，即定义3 设φ为(1)定义于区间I上的一个解，取x0∈I,并令y0=φ(x0).如果方程(1)的过点(x0,y0)的任何其他解都是φ的限制，则称它是(1)的饱和解(又称不可延拓解)，同时称区间I为饱和区间.上述两个定义有没有区别呢？下述命题给出了肯定的回答.命题2 设方程(1)有解y=φ(x),x∈I.如果这个解按照定义3是饱和解，则它按照定义2也是饱和解. 进一步，如果定义于区域G上的连续函数f在G上关于y满足局部李卜希兹条件，则定义2与定义3是等价的.证命题的前半部分的结论是显然的，现证后半部分. 只需证，在对f所做的假设下，如果方程(1)有解用反证法. 若I∩J中有点使函数φ与ψ取不同值, 不妨设该点大于x0, 于是必存在x1>x0 (事实上，和ε>0,使得对一切x∈[x0,x1]有φ(x)=ψ(x)，而对x∈(x1,x1+ε]有φ(x)≠ψ(x).然而，上述结论与方程过点(x1,φ(x1))之解的唯一性矛盾. 于是，在区间I∩J上必成立φ=ψ.进一步由假设知解φ是不可延拓的，因此，必有J⊂I. 即为所证.我们指出, 如果不假设f在G上关于y满足局部李卜希兹条件, 则方程(1)可能有这样的解，它按照定义2是饱和解，而按照定义3它就不是饱和解.例如，方程上述命题和例子说明定义2适用范围更大一些，而定义3只适用于解的存在唯一性处处成立的情形.利用饱和解的概念，前面的第二个问题就是说，一个非饱和解能不能延拓成饱和解?下面的命题3给出了明确的答案.命题3 设方程(1)中的函数f在平面区域G上连续，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件. 则该方程的任一非饱和解都能够延拓成唯一的饱和解.证这里提供三种证明方法.证法1 现设y=φ(x),x∈I为方程(1)的一给定非饱和解，那么由命题2这个解就一定存在延拓，每个延拓都有一个定义区间. 我们把所有延拓的定义区间的左端集中在一起构成一点集E-，右端点集中在一起构成集合E+. 令显然有I⊂，又可能有α=-∞或β=+∞.下面我们来构造(1)的定义于上的饱和解(x). 对任一，若=α(或β)，则存在φ的延拓ψ，定义于区间J, 使得α∈J(或β∈J),此时定义(或). 若≠α，β,则是的内点,于是，必存,以及定义在以α′，β′为端点的区间J上的解ψ,满足，I⊂J⊂∈J.此时,定义以及.由解的存在唯一性定理, 易见φ的任何两个延拓, 在他们定义域的交集上是相等的, 因此,函数在区间中各点都有定义,并且是φ的延拓.按照上述方法所构造的就是(1)的饱和解, 而就是其饱和区间. 此外, 由构造过程易见, 这样得到的饱和解是唯一存在的. 进一步, 若G 为开区域, 则α，β∉.否则,例如, 则(α))为G的内点，于是又可以延拓，这与它是饱和解矛盾. 因此, 如果G为开区域, 则饱和解的饱和区间为开区间. 但若G不是开区域,则饱和区间未必为开区间(例如,定义区域x≥0上的线性方程解的饱和区间就是x≥0).证法2 同前，设y=φ(x)，x∈I为方程(1)的一给定非饱和解, 其延拓ψ的定义区间记为Iψ,令可证这样定义的集合是一个区间.为此，只需证，任取就必有[x1,x2]⊂事实上, 由的定义，存在φ的延拓ψ1与ψ2,使xj∈Iψj,j=1,2.注意到Iψ1与Iψ2都是包含区间I的区间，从而Iψ1∪Iψ2是包含I的区间，且[x1,x2]⊂Iψ1∪Iψ2.利用解的存在唯一性定理，可构造解φ的定义于区间Iψ=Iψ1∪Iψ2上的延拓ψ如下证法3 先设区域G是开集. 又设y=φ(x),x∈I为方程(1)的非饱和解, 则该解在区间的左端或右端可以延拓, 因此, 下列情况之一成立：(a) 解φ(x)左向不能延拓, 而右向能够延拓, 此时不妨设;(b) 解φ(x)左向能够延拓, 而右向不能延拓, 此时不妨设;(c) 解φ(x)左右两向都能够延拓, 此时不妨设.今以情况(a)为例证之. 因为G是开区域, 必存在无穷个严格递增的紧集的序列Kj⊂G，j≥1,使得令现在从点(b,φ(b))开始对φ向右延拓. 注意到数h1与A1中点无关, 或者说它对A1中所有点是一致有效的，因此函数φ必能够经过有限次的延拓而右向达到A1的边界, 于是存在φ右向延拓φ1,定义于区间, 使得点(b1,φ(b1))是A1的边界点. 再从点继续向右延拓, 同上道理经过有限步可以到达A2的边界, 即有φ右向延φ2,定义于区间, 使得点(b2,φ2(b2))是A2的边界点. 依此类推, 可得一系列延拓φk,定义于区间Ik=(a,bk], 使得点是Ak的边界点, 并且b<b1<b2<….现在引入区间以及定义于该区间上的函数如下：往证是开区间，而函数是方程(1)的的饱和解. 事实上，如果bk→+∞，则显然=(a,+∞)，此时结论成立. 设<+∞，则由bk的单调性知).要证是饱和解，就是要证这个解不能延拓到点 . 用反证法. 若不然，则左极限存在，且使)∈G.由于，必存在适当大的正整数i, 使对一切充分大的k恒有，即(bk,φk(bk))∈Ki，但由点bk 的构造，这是不可能的. 故知解不能延拓到点，换句话说，如果左极限存在，那么必有∉G, 也就是说一定是区域G的边界点.再考虑区域G不是开集的情况. 令G0表示G的内部，对给定的非饱和解y=φ(x)，x∈I令φ0表示φ在I的内部I0的限制，由上面证明，将(1)视为定义于区域G0上的方程，函数φ0可延拓成唯一的饱和解0, 其饱和区间是开区间0=(α,β),如果0(α+)存在，且使(α+))∈G,则0又可延拓到α.同理，如果0(β-)存在，且使(β-))∈G,则0就可延拓到β.这样延拓后的函数记为, 那么该函数就是φ的延拓，且它所对应曲线的两个端点(如果有限)是G的边界点，故不能再延拓了，即它是饱和解. 即为所证.上述证明中，证法1 在[12]与[15]中给出，这里补充了一些证明细节，并且不要求区域G是开集. 证法2中的饱和区间在[14]与[10]中曾给出，而这里包含了详细的论证，例如，[14,10]均没有证明确实是一个区间. 证法3 的主要思路取自[16]，但这里的细节又不同于[16]，例如，文献[16]只考虑了开区域的情况.如果不要求方程(1) 中的函数f在G上关于y满足局部李卜希兹条件，则可证其任一非饱和解都能够延拓成饱和解. 详见[13]与[14].在进一步讨论饱和解的性质之前，我们先引入下列定义.定义4 设(1)有定义于区间I的解y=φ(x)，I的端点为a与b, 其中-∞≤a<b≤+∞.如果a∈I且(a,φ(a))是G的边界点，就说解y=φ(x)在端点a 达到G的边界；如果a∉I，且对G内任意紧集V，都存在任意接近a的点x∈I,使(x,φ(x))∉V, 则说解y=φ(x)在端点a逼近G的边界. 同理可定义解y=φ(x)在端点b达到或逼近G的边界(又说成右端达到或逼近G的边界).在上述定义中，当a=-∞时，“任意接近a的点x∈I”理解为“存在负数x∈I，且|x|可以任意大”，解y=φ(x)在端点a达到或逼近G的边界又可以说成这个解左端达到或逼近G的边界.有了上述概念，我们就可以给出饱和解的性质如下.命题4 设方程(1)中的函数f在平面区域G上连续，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件. 如果y=φ(x)(x∈I)是(1)的饱和解，则它在区间I的左右两端都能够达到或逼近区域G边界.证设饱和区间I分别以a与b为左右端点. 要证解y=φ(x)在点a与b都能够达到或逼近区域G边界. 由于类似性，今以端点a为例证之. 如果a∈I，则由命题1知(a,φ(a))一定是G的边界点，从而φ(x)在端点a达到边界. 事实上，因为a∈I，则∈G,因为G是区域，如果不是G的边界点，它就是G的内点，因此φ(x)在端点a必可以向左进一步延拓，这与I是饱和区间矛盾. 如果a∉I，要证明对位于G内部的任一紧集V, 必存在任意接近a的点x∈I,使(x,φ(x))∉V. 若不然, 则存在位于G内部的紧集V, 使对任意小的ε>0有(a+ε,φ(a+ε))∈V,则存在充分小的ε0>0使对一切x∈(a,a+ε0]有(x,φ(x))∈V.考虑到V为紧集, 必有a>-∞.令由微分中值定理知φ在(a,a+ε0]上是一致连续的, 从而由命题3和命题4，即得下述解的延拓定理.延拓定理设方程(1)中的函数f在平面区域G上连续，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件. 则该方程的任一非饱和解都能够延拓成唯一的饱和解, 并且该饱和解在左右两端都达到或逼近区域G的边界.通过对比可知，上述延拓定理的叙述不同于国内外所有现有教材，这里的叙述更加准确. 由这一延拓定理即得下述解的大范围存在唯一性定理.大范围存在唯一性定理设方程(1)中的函数f在平面区域G上连续，且在G上关于y满足局部李卜希兹条件. 则该方程过G内任一点都存在唯一的饱和解.最后指出，有关解的延拓的内容，国内许多教材[1-14]都存在下列一种或多种不足：(i)没有明确给出饱和解的概念或延拓的概念不准确.(ii)没有列出也没有证明命题3. 我们认为要完整证明解的延拓定理，证明命题3是必不可少的一步.(iii)没有证明命题4, 只列出解的延拓定理，却述而不证.(iv)在证明命题4 时，把区域G视为了开集，从而导致解的延拓定理的叙述不够完美或不够准确，其证明不够严密.作者感谢Valery Romanovsky教授提供文献[16]，以及有益的讨论.。
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/ Theorem on extension of solution/
§ 3.2 Extension Theorem
内容提要/Constant Abstract/
解的延拓的引入
局部利普希兹条件 延拓方法
解的延拓定理 解的延拓定理及其推论 推论 例子
dy ( y 2 e 2 x ) f ( x, y )的解必 的且满足方程 dx
可延拓到半无限区间 ( x0 ,) 。
§ 3.2 Extension Theorem
x(t ) x( s ) 3） 求具有性质 x(t s ) 的函数 x(t)， 1 x(t ) x( s) 已知 x(0) 存在。 2 x(0) x(0) 0 x(0) 解 t s0 2 1 x (0)
§ 3.2 Extension Theorem
思考题
dy 1）求方程 x 2 y 2满足条件 y (0) 0 dx 的解的逐次逼近 y1 ( x), y2 ( x), y3 ( x),
以及 h 的最大值。
2）设f(x, y)在整个 x y 平面上连续，证明从 两曲线 y e x 之间任一点( x0 , y0 ) 出发
的解的存在区间。 解 方程右端函数右半平面 x > 0 上定义且满足解的 存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。 通过点(1,0)的解为 y x ln x 其存在区间为 (0,) 向右可以延拓到 ，但向左方只能延拓到 0, 因为当 x 0 时, y x ln x 0 (趋于G的边界 y=0 ) 这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况。
无界，或者 ( x, ( x)) 趋于区域 G 的边界。
例1
讨论方程
dy y 2 1 的通过点(0,0)的解 dx 2
§ 3.2 Extension Theorem
以及通过点 (ln2,-3) 的解的存在区间。 解 方程右端函数在整个 x y 平面上满足解的存在唯一 性定理及解的延拓定理的条件。
y ( x)
K ( x) K
f ( x, y) K
§ 3.2 Extension Theorem
所以
y ( x) 值域在如图的阴影区内，否则
y
y ( x) 将穿过直线
y y0 K ( x x0 )
y y0 K ( x x0 )
y y0 K ( x x0 )
y(1) 1 and y (1) 1 的解的存在区间。
(1,2), (0,3)
dy p( x) y Q( x) 2 设线性方程 dx
当 P(x),Q(x) 在区间 (,) 上连续，则由任一初值
( x0 , y0 )
x0 (,) 所确定的解在整个区间
(,) 上都存在。
§ 3.2 Extension Theorem
2 1 x ( s )( 1 x (t )) x(t s ) x (t ) s s 1 x(t ) x(s)
x ( s ) x ( 0) 2 x(t ) (1 x (t )) lim ( 1 x ( t )) x (0) s 0 s dx 2 x(t ) (1 x (t ))x(0) 1 x 2 x(0)dt
[a, b] [a1 , b1 ] ，当 x [a, b] 时， ( x) ( x)
则称解 ( x) 是解 ( x) 在区间 [ a, b] 上的延拓。
§ 3.2 Extension Theorem
y
y2 y1 y0
P ( x0 , y0 )
Q( x1 , y1 ) x1 x0 h y1 ( x0 h)
1 ce x 方程的通解为 y 1 ce x 1 ex 通过点(0,0)的解为 y 其存在区间为 (,) x 1 e
1 ex 通过点(ln2,-3)的解为 y 1 ex 其存在区间为 0 x
注意：
1 ex 过点(ln2,-3)的解 y 1 ex
3
x x2 y ( x ) x [ x0 h, x0 h] ( x ) x [ x0 h, x0 h] y 延拓方法 ( x ) x ( x0 h, x0 h h1 ]
O
x0 x1
h h1
x2 x1 h1 y2 y( x1 h1 )
则会有
( x) K
y0
y ( x)
与 f ( x1 , y1 ) K 矛盾。 o 由解的延拓定理推论，方程的 任一解均可以延拓到区间 (,) 。 x0 x1
x
y y0 K ( x x0 )
§ 3.2 Extension Theorem
练习
dy 2 y 在 1 x 3 上满足条件 1 讨论方程 dx
x(t ) x( s ) x(t ) x(t s ) x (t ) 1 x(t ) x( s ) s s 2 x(t ) x( s) x(t ) x (t ) x( s) 2 1 x(t ) x( s) 1 x(s)(1 x (t )) s s 1 x(t ) x(s)
2
x(t ) tan(x(0)t c) arctan x x(0)t
x(0) 0
x(t ) tan(x(0)t )
§ 3.2 Extension Theorem
例3 用解的延拓定理证明
如果 f (x, y)在整个 x y 平面上定义、连续和有界，
存在关于 y 的一阶连续偏导数，则方程
dy f ( x, y ) dx
的任一解均可以延拓到区间 (,)。 证明
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
§ 3.2 Extension Theorem
向右可以延拓到
但向左方只能延拓到 0, 因为当 x 0 时, y (无界) 这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。 y
1
ln2
x
-1
-3
(ln2,-3)
§ 3.2 Extension Theorem
例2
讨论方程
dy 1 ln x 满足条件 y(1) 0 dx
本节要求/Requirements/ 理.2 Extension Theorem
一 、 解的延拓的引入
dy f ( x, y ) dx 右端函数 f ( x, y ) 在某一有界区域G 中有意义。
1 局部利普希兹条件 如果称 f ( x, y )在G 内满足局部利普希兹条件，即对 区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的 矩形域R，在 R 上 f (x, y) 满足利普希兹条件。 （注意：点不同，域 R 大小和常数 L 可能不同）
§ 3.2 Extension Theorem
二、 解的延拓定理及其推论 1 解的延拓定理 如果方程(3.1)右端的函数 f ( x, y) 在有界区域 G 中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么 方程(3.1)通过G 内任何一点 ( x0 , y0 )的解 y ( x) 可以延拓。 直到点 ( x, ( x)) 任意接近区域G 的边界。 以向 x 增大的一方的延拓来说，如果
y ( x)
只能延拓的区间 x0 x m上，则当
x m时，
( x, ( x)) 趋近于区域 G 的边界。
§ 3.2 Extension Theorem
2 推论 如果 G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下, 方程(3.1)的通过点 ( x0 , y0 )的解 y ( x) 可以延拓， 以向 x 增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况: (1) 解 y ( x) 可以延拓到区间 [ x0 ,) (2) 解 y ( x)只可以延拓到区间 [ x0 , m) 其中m 为有限数，则当 x m 时，或者 y ( x)
§ 3.2 Extension Theorem
2 解的延拓
设 y ( x) x [a, b] 是
dy (3.1.1) f ( x, y)......... dx ...(3.1.2) ( x0 ) y 0 ..........
的解，若 y ( x) x [a1 , b1 ] 也是初值问题的解，