概率和分布列提纲(答案)

概率、随机变量及其分布列1．概率（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。

（2）了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）理解古典概型及其概率计算公式。

（4）了解条件概率。

2．两个事件相互独立，n次独立重复试验（1）了解两个事件相互独立的概念；（2）理解n次独立重复试验的模型并能解决一些实际问题；3．离散型随机变量及其分布列（1）理解取有限个值的离散随机变量及其分布列的概念。

（2）理解二项分布，并解决一些简单问题。

4．离散型随机变量的均值、方差（1）理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

要点考向1：古典概型考情聚焦：1．古典概型是高考重点考查的概率模型，常与计数原理、排列组合结合起来考查。

2．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。

考向链接：1．有关古典模型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到计数原理与排列、组合的相关知识。

2．在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性。

3．对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏。

基本知识点：事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作()P A．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1 n7．等可能性事件的概率公式及一般求解方法：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n=8.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 9 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A L 彼此互斥10．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-11．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L例题讲解1、从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ）【方法技巧】列古典概型的基本事件空间常用的方法有：（1）列举法；（2）坐标网格法；（3）树图等。

[解析]：，包含的基本事件总数。

事件“”为，包含的基本事件数为。

其概率。

故选D 。

2、从足够多的四种颜色的灯泡中任选六个安置在如右图的6个顶点处，则相邻顶点处灯泡颜色不同的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ． [解析]：选C3.一个口袋中装有n 个红球(n ≥5且n ∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸出两个球，两个球颜色不同则为中奖.(1)试用n 表示一次摸奖中奖的概率P;(2)若n=5,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率记为P 3(1),当n 取多少时,P 3(1)值最大?{(,)|{1,2,3,4,5},{1,2,3}}a b a b Ω=∈∈15n =b a >{(1,2),(1,3),(2,3)}3m =31155P ==642286424064264642884、袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）。

（1）如果任意取出1球，求其重量大于号码数的概率；（2）如果不放回地任意取出2球，求它们重量相等的概率。

4．解析：（1）由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法。

由不等式 所以，于是所求概率为3264= （2）从6个球中任意取出2个球，共有15种等可能的方法，列举如下：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，4）（3，5）（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）设第n 号与第m 号的两个球的重量相等，则有故所求概率为152要点考向2：条件概率考向链接：（1）利用公式是求条件概率最基本的方法，这种方法的关键是分别求出P （A ）和P （AB ），其中P （AB ）是指事件A 和B 同时发生的概率。

（2）在求P （AB ）时，要判断事件A 与事件B 之间的关系，以便采用不同的方法求P （AB ）。

其中，若，则P （AB ）=P （B ），从而1262+-n n .34,1262<>>+-n n n n n 或得6,52,1==n n 或.12612622+-=+-m m n n .0)6)((=-+-∴m n m n )4,2(),5,1(),(,6,=∴=+∴≠m n m n m n Θ5、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。

①；②；③事件与事件相互独立； ④是两两互斥的事件；⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关。

【思路点拨】根据事件互斥、事件相互独立的概念，条件概率及把事件B 的概率转化为可辨析此题。

【解析】显然是两两互斥的事件，有，，， 而 ， 且，，有 可以判定②④正确，而①③⑤错误。

【答案】②④要点考向3：复杂事件的概率与随机变量的分布列、期望、方差 考情聚焦：1．复杂事件的概率与随机变量的分布列、期望、方差是每年高考必考的内容，与生活实践联系密切。

2．多以解答题的形式呈现，属中档题。

离散型随机变量及其分布列[最新考纲] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以____________的随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值12,A A 3A B ()25P B =()15|11P B A =B 1A 123,,A A A ()P B 123,,A A A ()()()123()P B P A B P A B P A B =++I I I 123,,A A A ()15|11P B A =()24|11P B A =()34|11P B A =()()()123()P B P A B P A B P A B =++I I I 112233()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =++552434910111011101122=⨯+⨯+⨯=()1522P A B =I ()()1599102244P A P B =⨯=()1P A B I ≠()()1P A P Bx i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： Xx 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p ni ＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)分布列的性质： ①____________；②____________。

超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝____________，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称随机变量X 服从超几何分布． X0 1 … m PC 0M C n －0N －M C n N C 1M C n －1N －M C n N … C m M C n －m N －M C n N求离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．6、已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解：(1)()103251312=⋅=A C C A P (2)X 的分布列为X200 300 400 P 101 103 537、一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742， P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384，P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112. 故X 的分布列为 X1 2 3 P 1742 4384 1128、已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．解：(1)甲、乙、丙三部门分别抽取人数分别为3,2,2.(2)①X 的所有可能值为0，1,2,3，故X 的分布列为 X0 1 2 3 P 351 3512 3518 354 ②()76351812=+=A P事件的相互独立性1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立．(2)性质：①如果A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．②如果A 与B 相互独立，那么P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )．判断事件是否相互独立的方法1．定义法：事件A ，B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )P (B )．2．直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．3．条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．9、已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6。