倍角三角形中的一个结论
解三角形三大定理——倍角定理,中线长定理,斯特瓦而特定理(三)
，A B ++22A π<54512π⎛∈ ⎝()sin 45A ⎛+∈ ⎝)(453∈2,13+为BC 的中线，则中线定理：虽说网络上的老师都讲烂了这个定理，但是我还要说一下，基于证明方法是：在ABD ∆和ADC ∆中，用余弦定理有：)(20222222222222DC AD AC AB DC BD DC AD AC DC AD BD AD AB BD AD +=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅-++⋅-+ 希望老师们引导学生遇到中线，就要往这个定理上面去想。
AD ()22222DC AD AC AB +=+由阿罗波尼斯圆可知：例2.（2020年广州六十五中高三11月月考）设的内角的对边分别为，已知边上的中线，则 .解析：由中线长定理：得 ，再由余弦定理：综上解之得：.例2.（2020年广州六十五中高三11月月考）设的内角的对边分别为，已知面积为，，若为中点，且，则的最大值为（ ）解析：，由余弦定理和中线长定理：例2.（2020年广州六十五中高三11月月考）已知中，，为中点，，则的取值范围为 ．解析：由中线长定理：又因为不妨令：此处的方法，利用了∆判别式法，具体研究在公共号文章解三角形的第一篇文章。
32211222121222=⋅-⋅⋅=⋅=⋅⋅≤=∆∆r BD r BD S S ABD ABC ABC ∆C B A ,,c b a ,,,6,60==c ABC19=AD =B sin 2224b a =+2222366123621cos a b b ba b A -+=⇒-+==721sin 72,4=⇒==B a b ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆S )sin sin sin (21C c B b A a c S -+=D AB 2=C CD 3π=C 3max =CD ABC ∆060A ∠=M BC 3AM =2AB AC +)(22222BM AM c b +=+1222=++ac c b 0123322222=-+-⇒-=⇒+=+=t tc c c t b b c AC AB t 3432003120)12(129222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->--=∆t t t t t三．斯特瓦尔特定理例1.（马鞍山2020届二模理）在中，，点在线段上，且，则面积的最大值（ ） 解析： 设，由斯特瓦尔特定理和余弦定理：① ②由 ①②得： ③ 取等条件： 所以：面积最大值为：例2.（东北三省三校2020届高三二模文16）设的内角所对的边分别为，且，边上的点满足，则的面积（ ）解析：由由斯特瓦尔特定理得：，再由余弦定理得：，下面我来解出：，之后得：ABC ∆ 60=∠BAC D BC 2,3==AD BD BC ABC ∆bc BAC bc S ABC 43sin 21=∠=x DC x BD 2,==122321226222222-+=⇒-+=b c a b c x bc c b a -+=2226≤bc b c =2ABC S 233ABC ∆C B A ,,c b a ,,ac c b a c b a 3))((=+-++AC D 22===AD CD BD ABC ∆=S ac c b a c b a 3))((=+-++33)(22π=⇒=-+∴B ac b c a 18222=+c a ac c a =-+922c a ,c a ca ac c a 2222222=⇒+=-+3,32==b a 三角形斯特瓦尔特定理： 在ABD ∆和ADC ∆中，用余弦定理有：022222222=⋅-++⋅-+DCAD AC DC AD BD AD AB BD AD ⇒ DC BD BCDBAC DC AB AD ⋅-⋅+⋅=222DC BD BC DB AC DC AB AD ⋅-⋅+⋅=222所以：例3.（2020信阳市高三二模16）在中，角所对的边为，满足且，则的最小值为（ ）解析：如图由斯特瓦尔特定理： ，当且仅当：时取等。
专题7.4三角形内角和定理的运用(举一反三)(苏科版)(原卷版)
专题7.4三角形内角和定理的运用【八大题型】【苏科版】【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 (1)【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 (1)【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 (2)【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 (2)【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 (3)【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 (4)【题型7 判断直角三角形】 (5)【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 (5)【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝°．【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC 是度．【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于．【题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合】【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．50°【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（）A．5B．10C．12D．20【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度数．【变式2-3】（2022春•锡山区期中）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠AOB的度数．【题型3三角形内角和定理与平行线的性质综合】【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H．若BC∥EF，则∠AGD的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【变式3-1】（2022春•兴宁区校级期末）如图，在△ABG中，D为AG上一点，AB∥DC，点E是边AB上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，则∠BDF的度数为（）A．50°B．40°C．45°D．36°【变式3-2】（2022春•泌阳县期末）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）【变式3-3】（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．【题型4三角形内角和定理与折叠性质综合】【例4】（2022春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为°．【变式4-2】（2021春•丹阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O ，将△ABC 沿MN 折叠，使点C 与点O 重合，若∠AOB ＝135°，则∠1+∠2 =°．【变式4-3】（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC ，已知∠B ＝30°，∠C ＝50°，点D 在边AB 上，请在边BC 上找一点E ，将纸片沿直线DE 折叠，点B 落在点F 处，若EF 与三角形纸片ABC 的边AC 平行，则∠BED 的度数为 ．【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△ABC 中，∠A ＝110°，点D 在△ABC 内，将射线BA 沿直线BD 翻折，将射线CA 沿直线CD 翻折，两射线交于点E ，若∠BEC ＝150°，则∠BDC 的度数为 ．【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】【例5】（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是 ．【变式5-1】（2022春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â是另外一个内角á的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，á为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为 ．【变式5-2】（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC 中，若存在最大内角是最小内角度数的n 倍（n 为大于1的正整数），则称△ABC 为“n 倍角三角形”．例如，在△ABC 中，若∠A ＝90°，∠B ＝60°，则∠C ＝30°，因为∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝3∠C ，所以△ABC 为“3倍角三角形”．（1）在△DEF 中，若∠E ＝40°，∠F ＝60°，则△DEF 为“倍角三角形”．（2）如图，在△ABC 中，∠C ＝36°，∠BAC 、∠ABC 的角平分线相交于点D ，若△ABD 为“6倍角三角形”，请求出∠ABD 的度数．【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON ＝72°，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （点C 不与C 、B 重合点）（1）∠ABO ＝°，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB ＝90°，求证：△AOC 是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D 在△ABC 的边AB 上，连接DC ，作∠ADC 的平分线交AC 于点E ，在DC 上取一点F ，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【题型6运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例6】（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．【变式6-1】（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．【变式6-2】（2022春•海门市期末）已知：△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，∠BOC﹣∠BAC＝54°．（1）如图1，当BD，CE都是△ABC的角平分线时，求∠BOC的度数；（2）如图2，当BD，CE都是△ABC的高时，求∠BOC的度数；（3）如图3，当∠ABD＝2∠ACE时，探究∠BEO与∠CDO的数量关系，并说明理由．【变式6-3】（2022春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度30a152030上表中a＝，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为．（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为°．【题型7判断直角三角形】【例7】（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式7-1】（2022秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式7-2】（2021秋•谢家集区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE；（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．【变式7-3】（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．【题型8运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】【例8】（2022秋•宁晋县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE ⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（）个．A．5B．4C．3D．2【变式8-2】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．【变式8-3】（2022春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE 平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．。
倍角公式教学设计
倍角公式教学设计一、教学目标一)知识与技能通过实例引入，使学生理解倍角公式的基本形式和变形式，能熟练地运用倍角公式进行简单的三角函数计算。
二)过程与方法通过实例分析和推导，使学生体会倍角公式在三角函数化简与求值中的应用，并初步掌握公式的运用。
三)情感、态度与价值观通过学习和实践，使学生体会数学与生活的密切，激发学生学习数学的兴趣和积极性，同时培养学生的运算能力和推理能力。
二、教学重难点一)教学重点倍角公式及其应用。
二)教学难点对倍角公式的变形式的理解和应用。
三、教学过程一)引入新课回顾上节课学习的三角函数的基本概念和公式，引出倍角公式的概念和公式。
二)新课学习1、讲解倍角公式及其推导过程。
2、通过实例分析和推导，使学生进一步理解倍角公式的应用。
3、结合教材上的例题和练习题，引导学生进行简单的三角函数计算和化简。
三)巩固练习1、教材上的练习题：P19，1-4题。
2、课堂练习：P20，5-6题。
3、课外作业：P21，7-8题。
四)归纳小结总结本节课学习的倍角公式及其应用，强调公式的使用方法和注意事项。
初中数学倍角公式在初中数学中，倍角公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们快速求解一些角度的度数或者三角函数值。
倍角公式通常是指将一个角的度数或三角函数值翻倍的公式。
下面是一些常见的倍角公式：1、sin(2α) = 2sinαcosα这个公式可以将一个角的正弦值翻倍。
通过这个公式，我们可以快速计算一个角度的正弦值。
2、cos(2α) = cos²α - sin²α这个公式可以将一个角的余弦值翻倍。
通过这个公式，我们可以快速计算一个角度的余弦值。
3、tan(2α) = 2tanα / (1 - tan²α)这个公式可以将一个角的正切值翻倍。
通过这个公式，我们可以快速计算一个角度的正切值。
4、sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]这个公式可以将一个角的正弦值除以2。
三角形重心性质定理.
三角形重心性质定理1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
倍角三角形中的一个结论汇总
倍角三角形中的一个结论湖北省黄石市下陆中学宋毓彬例1（天津市中考题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别用a、b、c表示。
⑴如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°。
求证：a2=b（b+c）⑵如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。
本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图2，∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论。
分析：⑴在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，△ABC为Rt△，∠C=90°。
证法1：Rt△ACB中a=c，b=c，所以a2=（c）2=，b（b+c）=c（c+c）=，所以a2=b（b+c）。
⑵对于任意的倍角△ABC，∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）仍然成立。
如图2，延长BA至D，使AD=AC=b，连CD。
则∠CAB=2∠D，∴∠B=∠D，BC=CD=a，由△ADC∽△CDB ，即。
所以a2=b（b+c）。
由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和。
（例2中另外两种证法同样可证得a2=b（b+c）。
）例2(2009年全国初中数学联赛)在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8。
则BC=（）（A）7（B）10 （C）（D）7分析：此题由例1中的结论，则BC2=7（7+8）=105，所以BC=。
以下还可以提供几种解法供参考。
解法一：分割法。
如图1，作∠CAB的平分线AD交BC于D。
△ABC∽△DBA，==，∴解得∴x+y=。
评析：解法一的思路是常规思路，平分倍角构造相似三角形，通过相似比得到方程组求出线段长，进而求出BC的长。
但这种方法中，二元二次方程组的计算较为复杂。
解法二：构造法。
如图2，延长CA至点D，使AD=AB。
沪科版八年级上册数学期中考试试卷含答案
沪科版八年级上册数学期中考试试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，3）若线段AB ∥y 轴，且AB 的长为4，则点B 的坐标为（）A ．（－2，－1）B ．（－2，7）C ．（﹣2，－1）或（－2，7）D ．（2，3）2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A ．1cm ，2cm ，4cmB ．4cm ，6cm ，8cmC ．5cm ，6cm ，12cmD ．2cm ，3cm ，5cm3．已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,44．下列图形中，正确画出AC 边上的高的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 和y ＝mx ＋n 相交于点（2，－1）则关于x 、y 的方程组kx y b mx n y =-⎧⎨+=⎩的解是（）A ．-12x y =⎧⎨=⎩B ．2-1x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =-⎧⎨=⎩6．具备下列条件是△ABC 中，不是直角三角形的是（）A ．AB C∠+∠=∠B ．1123A B C ∠=∠=∠C ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：4D ．∠A ＝2∠B ＝3∠C7．下列命题中，正确的是（）A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形三条角平分线交点在三角形的外部C ．三角形的三条高都在三角形内部D ．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形8．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是（）A ．99°B ．99°或49.5°C ．99°或54°D ．99°或49.5°或54°9．关于函数y ＝（k －3）x ＋k ，给出下列结论：①此函数一定是一次函数；②无论k 取什么值，函数图象必经过点（－1，3）；③若图象经过二、三、四象限，则k 的取值范围是k ＜0；④若函数图象与x 轴的交点始终在正半轴可得k ＜3，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．关于一次函数23y x =-+，下列结论正确的是（）A ．图象过点()1,1-B ．图象与x 轴的交点是()0,3C ．y 随x 的增大而增大D ．函数图象不经过第三象限二、填空题11．命题“如果a+b=0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为_________________________.12．一次函数y=kx+6的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，S △AOB ═9，则k=_____13．如图，CE 平分∠ACD ，∠A=40°，∠B=30°，∠D=104°，则∠BEC=____.14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4cm ，AC ＝9cm ，点D 在线段CA 上从点C 出发向点A 方向运动（点D 不与点A ，点C 重合），且点D 运动的速度为2cm/s ，现设运动时间为x （0＜x ＜92）秒时，对应的△ABD 的面积为ycm²，则当x ＝2时，y ＝_________；y 与x 之间满足的关系式为_________．15．直线y=12x －4与x 轴的交点坐标是_____，与y 轴的交点坐标是_______．三、解答题16．在△ABC 中，∠A －∠B ＝30°，∠C ＝4∠B ，求∠A 、∠B 、∠C 的度数17．如图，在平面直角坐标系中，P （a ，b ）是三角形ABC 的边AC 上的一点，三角形ABC 经平移后点P 的对应点为P 1（a ＋6，b ＋2）．（1）请画出经过上述平移后得到的三角形A 1B 1C 1；（2）求线段AC 扫过的面积．18．已知一次函数y ＝（6＋3m ）x ＋n －4（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小；（2）m ，n 分别为何值时，函数的图象经过原点．19．设一次函数(,y kx b k =+b 为常数，0)k ≠的图象过()1,3A ，()5,3B --两点．()1求该函数表达式；()2若点()2,21C a a +-在该函数图象上，求a 的值；()3设点P 在x 轴上，若12ABP S = ，求点P 的坐标．20．已知，如图，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于点H，D、E分别在CA、BA的延长线上，DB∥AH，∠D＝∠E．（1））求证：DB∥EC；（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°．求∠D的度数．21．在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1棵杉树共需380元．（1）求柏树和杉树的单价；（2）若本次美化乡村道路臀购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？22．已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE＝∠AED，设∠BAD＝a，∠CDE＝β．（1）如图（1），①若∠BAC＝50°，∠DAE＝40°，则a＝____，β＝②若∠BAC＝58°，∠DAE＝42°，则a＝_____，β＝____③写出a与β的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出a与β的数量关系．23．已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数的图象平行于直线y ＝3x －3，求m 的值；（3）若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象与x 轴交点为A (-3，0)，与y 轴交点为B ，且与正比例函数43y x =的图象交于点C （m ，4）．（1）求点C 的坐标；（2）求一次函数y =kx +b 的表达式；（3）利用图象直接写出当x 取何值时，kx +b ＞43x ．参考答案1．C 【解析】【分析】设点B (),x y ，根据线段与数轴平行可得2x =-，根据线段4AB =，可得34y -=，求解即可得出点的坐标．【详解】解：设点B (),x y ，∵AB y ∥轴，∴A ()2,3-与点B 的横坐标相同，∴2x =-，∵4AB =，∴34y -=，∴34y -=或34y -=-，∴1y =-或7y =，∴点B 的坐标为：()2,1--，()2,7-，故选：C ．【点睛】题目主要考查线段与坐标轴平行的点的坐标特点，两点之间的距离，一元一次方程应用等，理解题意，利用绝对值表示两点之间距离是解题关键．2．B 【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A 、1+2＜4，不能组成三角形；B 、4+6＞8，能组成三角形；C 、5+6＜12，不能够组成三角形；D 、2+3=5，不能组成三角形．故选：B ．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．3．B 【解析】【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．4．D 【解析】【分析】根据高的定义即可求解．【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D 选项中，BE 是△ABC 中AC 边长的高，故选：D ．【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义．5．B 【解析】【分析】根据题意直接利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行分析解决问题．【详解】解：∵一次函数y kx b =+和y mx n =+相交于点（2，-1），∴关于x 、y 的方程组kx y b mx n y=-⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=-⎩．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数交点问题与二元一次方程（组）解得关系，理清二者的联系是解题关键．6．D 【解析】【分析】分别求出各个选项中，三角形的最大的内角，即可判断．【详解】解：A 、由A B C ∠+∠=∠，可以推出90C ∠=︒，本选项不符合题意．B 、由1123A B C ∠=∠=∠，可以推出90C ∠=︒，本选项不符合题意．C 、由::1:3:4A B C ∠∠∠=，可以推出90C ∠=︒，本选项不符合题意，D 、由23A B C ∠=∠=∠，推出108011A ⎛⎫∠=︒ ⎪⎝⎭，ABC ∆是钝角三角形，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键．7．D 【解析】【分析】根据三角形外角的性质、中线的性质、高的性质及角平分线的性质逐一判断可得．【详解】解：A 、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故此选项错误，不合题意；B 、三角形三条角平分线交点在三角形的内部，故此选项错误，不合题意；C 、锐角三角形的三条高在三角形的内部、直角三角形有两条高在边上、钝角三角形有两条高在外部，故此选项错误，不合题意；D 、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形的底相等、高公共，据此知两个三角形面积相等，故正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质、中线的性质、高的性质、角平分线的性质．8．C【解析】【分析】根据题意设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，由题意得α=99°或m=99°或n=99°，分这三种情况讨论即可．【详解】解：设三角形的三个内角分别是m、n、α且α=2m，当α=99°，则m=49.5°,n=31.5°,当m=99°，则α=2m=198°（舍去）,当n=99°，则m+α=180°-n=81°,∴3m=81°,∴m=27°,∴α=2m=54°．综上：倍角α的度数为99°或54°．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理即三角形内角和是180°是解决本题的关键，注意分类讨论方法的运用．9．B【解析】【分析】①当k﹣3≠0时，函数是一次函数；当k﹣3＝0时，该函数是y＝3，此时是常数函数，即可求解；②y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x，当x＝﹣1时，y＝3，过函数过点（﹣1，3），即可求解；③函数y＝（k﹣3）x+k经过二，三，四象限，可得30kk-<⎧⎨<⎩，从而可以求得k的取值范围；④当k﹣3＝0时，y＝3，与x轴无交点；当k≠3时，函数图象与x轴的交点始终在正半轴，即-03kk >-，即可求解．【详解】解：①当k ﹣3≠0时，函数是一次函数；当k ﹣3＝0时，该函数是y ＝3，此时是常数函数，故①不符合题；②y ＝（k ﹣3）x+k ＝k （x+1）﹣3x ，当x ＝﹣1时，y ＝3，过函数过点（﹣1，3），故②符合题意；③函数y ＝（k ﹣3）x+k 经过二，三，四象限，则300k k -<⎧⎨<⎩，解得：k ＜0，故③符合题意；④当k ﹣3＝0时，y ＝3，与x 轴无交点；当k≠3时，函数图象与x 轴的交点始终在正半轴，即﹣03kk >-，解得：0＜k ＜3，故④不符合题；故正确的有：②③，共2个故选B 【点睛】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，一般地，先求出交点坐标，再把坐标满足的条件转化成相应的方程或是不等式进而解决问题．10．D 【解析】【分析】A 、把点的坐标代入关系式，检验是否成立；B 、把y ＝0代入解析式求出x ，判断即可；C 、根据一次项系数判断；D 、根据系数和图象之间的关系判断．【详解】解：A 、当x ＝1时，y ＝1．所以图象不过（1，−1），故错误；B 、把y ＝0代入y ＝−2x ＋3，得x ＝32，所以图象与x 轴的交点是（32，0），故错误；C 、∵−2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故错误；D 、∵−2＜0，3＞0，∴图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质．常采用数形结合的思想求解．11．如果a，b互为相反数，那么a+b=0【解析】【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．12．2±【解析】【详解】分析：首先计算出与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计算出面积即可．详解：∵当x=0时，y=6，∴与y轴的交点B(0,6)，∵当y=0时，6 xk =-∴与x轴的交点6,0Ak⎛⎫-⎪⎝⎭，∴△AOB的面积为：1669. 2k⨯⨯-=解得： 2.k=±故答案为 2.±点睛：考查了利用一次函数解析式求直线与坐标轴的交点问题,并借助三角形的面积公式求系数k，属于常见题型.13．57°##57度【解析】【分析】根据四边形外角的性质和角平分线的性质，再结合题意，即可得到答案.【详解】根据四边形外角的性质可得∠D =∠A+∠B+∠DCA ，∠D =∠BEC+∠B+∠ECD ，则∠DCA =∠D-（∠A+∠B ）=34°，因为CE 平分∠ACD ，所以∠ECD=123471︒=⨯︒，所以∠BEC=∠D-（∠B+∠ECD ）=57°.故答案为57°.【点睛】本题考查四边形外角的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握四边形外角的性质和角平分线的性质.14．10184y x=-【解析】【分析】根据ABDABC BCD S S S =- ,代入数轴求解即可．【详解】解：根据题意得：ABD ABC BCDS S S =- ＝1122AC BC CD BC⋅-⨯＝118242x -⨯⨯＝184x -，∴当x ＝2时，184184210y x =-=-⨯=，故答案为：10，184y x =-．【点睛】本题考查了动点问题的函数关系，根据题意得出解析式是关系．15．（8，0）（0，-4）【解析】【分析】分别根据x 、y 轴上点的坐标特点进行解答即可．【详解】解：令0y =，则1042x =-，解得8x =，故直线与x 轴的交点坐标为：（8，0）；令0x =，则4y =-，故直线与y 轴的交点坐标为：（0，-4）；故答案为（8，0），（0，-4）.【点睛】本题考查的是x 、y 轴上点的坐标特点，与x 轴相交，0y =，与y 轴相交，0x =.16．55A ∠=︒，25B ∠=︒，100C ∠=︒【解析】【分析】根据三角形内角和定理，以及已知条件列三元一次方程组解方程求解即可【详解】在△ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=︒,∠A －∠B ＝30°，∠C ＝4∠B ，180304A B C A B C B ∠+∠=︒-∠⎧⎪∴∠-∠=︒⎨⎪∠=∠⎩①②③①-②得2150B C ∠=︒-∠④将③代入④解得25B ∠=︒100C ∴∠=︒,55A ∠=︒∴55A ∠=︒，25B ∠=︒，100C ∠=︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解三元一次方程组，正确的计算是解题的关键．17．（1）见解析；（2）14【解析】【分析】（1）横坐标加6，纵坐标加2，说明向右移动了6个单位，向上平移了2个单位；（2）以A 、C 、A 1、C 1为顶点的四边形的面积可分割为以AC 1为底的2个三角形的面积．【详解】解：（1）如图，各点的坐标为：A （﹣3，2）、C （﹣2，0）、A 1（3，4）、C 1（4，2）；（2）如图，连接AA 1、CC 1；∴1117272AC A S =⨯⨯= ；117272AC C S =⨯⨯= ；∴四边形ACC 1A 1的面积为7+7＝14．答：线段AC 扫过的面积为14．【点睛】本题考查平移，涉及的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；解题关键是掌握求四边形的面积通常整理为求几个三角形的面积的和．18．（1）当2m <-时，一次函数()634y m x n =++-，y 随x 的增大而减小；（2）当2m ≠-且4n =时，()634y m x n =++-的图象经过原点．【解析】【分析】（1）根据“y 随x 的增大而减小”可得630m +<，由此可求出m 的取值范围；（2）由函数图象经过原点得40n -=，630m +≠，由此求解即可．【详解】解：（1）由一次函数()634y m x n =++-，∵y 随x 的增大而减小，可得：630m +<，∴2m <-；∴当2m <-时，一次函数()634y m x n =++-，y 随x 的增大而减小；（2）由一次函数()634y m x n =++-的图象经过原点，可得：40n -=，解得：4n =，∵630m +≠，2m ≠-，∴当2m ≠-且4n =时，()634y m x n =++-的图象经过原点．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键要熟练掌握一次函数的增减性与图象特点与参数之间的关系．19．（1）2y x =+；（2）5a =；（3）点P 坐标()2,0或()6,0-【解析】【分析】(1)根据一次函数y=kx+b(k,b 是常数，k≠0)的图象过A(1,3)，B(-5,-3)两点，可以求得该函数的表达式；(2)将点C 坐标代入(1)中的解析式可以求得a 的值；(3)由题意可求直线y=x+2与x 轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点P 坐标．【详解】解：()1根据题意得：{353k b k b +=-+=-解得：{12k b ==∴函数表达式为2y x =+()2 点()2,21C a a +-在该函数图象上，2122a a ∴-=++5a ∴=()3设点(),0P m 直线2y x =+与x 轴相交∴交点坐标为()2,0-1123231222ABP S m m =+⨯++⨯-=24m ∴+=2m ∴=或6-∴点P 坐标()2,0或()6,0-【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．20．（1）见解析；（2）50°【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D ＝∠CAH ，根据角平分线的定义可得∠BAH ＝∠CAH ，再根据已知条件和等量关系可得∠BAH ＝∠E ，再根据平行线的判定即可求解；（2）可设∠ABC ＝x ，则∠ABD ＝2x ，则∠BAH ＝2x ，可得∠DAB ＝180°−4x ，可得∠AHC ＝175°−4x ，可得175°−4x ＝3x ，解方程求得x ，进一步求得∠D 的度数．【详解】（1）证明：∵DB ∥AH ，∴∠D ＝∠CAH ，∵AH 平分∠BAC ，∴∠BAH ＝∠CAH ，∵∠D ＝∠E ，∴∠BAH ＝∠E ，∴AH ∥EC ，∴DB ∥EC ；（2）解：设∠ABC ＝x ，则∠ABD ＝2x ，∠BAH ＝2x ，∴∠DAB ＝180°−4x ，∠DAB 比∠AHC 大5°∴∠AHC ＝175°−4x ，DB ∥AH ，∴AHC DBC∠=∠即：175°−4x ＝3x ，解得x ＝25°，则∠D ＝∠CAH ＝∠BAH ＝∠ABD ＝2x ＝50°．【点睛】考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．21．（1）柏树的单价为100元，杉树的单价为80元；（2）①2012000w x =+，112.5150x ≤<且x 为整数；②要使此次费用最少，柏树购买113棵，杉树37棵，最少费用为14260元．【解析】【分析】（1）设柏树的单价为m 元，杉树的单价为n 元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）①根据单价、数量与费用的关系列出一次函数即可；再由题意本次购买柏树和杉树共150棵，且两种树都必须购买，可得不等式组，柏树的棵树不少于杉树的3倍，列出相应不等式求解，综合即可得x 的取值范围；②根据一次函数的增减性质可得w 随x 的增大而增大，由x 的取值范围代入求解即可．【详解】解：（1）设柏树的单价为m 元，杉树的单价为n 元，根据题意可得：234403380m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：10080m n =⎧⎨=⎩，答：柏树的单价为100元，杉树的单价为80元；（2）①设本次活动中购买柏树x 棵，则杉树()150x -棵，由（1）及题意可得：()100801502012000w x x x =+-=+，∵本次购买柏树和杉树共150棵，且两种树都必须购买，即：01500x x >⎧⎨->⎩，∴0150x <<，∵柏树的棵树不少于杉树的3倍，∴()3150x x ≥-，解得：112.5x ≥，综合可得：2012000w x =+，112.5150x ≤<且x 为整数；②由①可得：2012000w x =+，∵200>，∴w 随x 的增大而增大，∵112.5150x ≤<，∴当113x =时，w 最小，此时，201131200014260w =⨯+=（元），15011337-=（棵），∴要使此次费用最少，柏树购买113棵，杉树37棵，最少费用为14260元．【点睛】题目主要考查二元一次方程组、不等式组及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．22．（1）①10︒，5︒；②16︒，8︒；③2αβ=，理由见详解；（2）2180αβ=-︒，理由见详解．【解析】【分析】（1）①先根据角的和与差求α的值，根据等腰三角形的两个底角相等及顶角可得：70ADE AED ∠=∠=︒，同理可得：65ACB ABC ∠=∠=︒，，根据外角性质列式：706510β︒+=︒+︒，即可得β的度数；②先根据角的和与差求α的值，根据等腰三角形的两个底角相等及顶角可得：69ADE AED ∠=∠=︒，同理可得：61ACB ABC ∠=∠=︒，，根据外角性质列式：696116β︒+=︒+︒，即可得β的度数；③设设BAC x ∠=，DAE y ∠=，则x y α=-，分别求出ADE ∠和B ∠，根据ADC B α∠=∠+列式，可得结论；（2）根据图形，设E x ∠=，则2DAC x ∠=，根据ADC B BAD ∠=∠+∠，列式代入化简可得结论．【详解】解：（1）①∵40DAE ∠=︒，∴140ADE AED ∠+∠=︒，∴70ADE AED ∠=∠=︒，∵50BAC ∠=︒，∴504010BAC DAE α=∠-∠=︒-︒=︒，∴180652BACACB ABC ︒-∠∠=∠==︒，∵ADC B α∠=∠+，∴706510β︒+=︒+︒，∴5β=︒；故答案为10︒，5︒；②∵42DAE ∠=︒，∴138ADE AED ∠+∠=︒，∴69ADE AED ∠=∠=︒，∵58BAC ∠=︒，∴584216α=︒︒=︒﹣，∴180612BACACB B ︒-∠∠=∠==︒，∵ADC B α∠=∠+，∴696116β︒+=︒+︒，∴8β=︒；故答案为16︒，8︒；③2αβ=，理由是：如图（1），设BAC x ∠=，DAE y ∠=，则x y α=-，∵ACB ABC ∠=∠，∴1802xACB ︒-∠=，∵ADE AED ∠=∠，∴1802y AED ︒-∠=，∴ADE ABC βα+∠=+∠，18018022y x βα︒-︒-+=+，化简可得：2αβ=；（2）2180αβ=-︒，理由是：由图象可得，设E x ∠=，则2DAC x ∠=，∴2BAC BAD DAC x α∠=∠+∠=+，∴18022xB ACB α︒--∠=∠=∵ADC B BAD ∠=∠+∠，∴18022x x αβα︒---=+，∴2180αβ=-︒．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及运用类比的方法解决问题是解题关键．23．（1）m=3；（2）m=1；（3）m ＜﹣12【解析】【分析】（1）把原点坐标（0，0）代入函数关系式，即可求得m 的值；（2）根据图象平行的一次函数的一次项系数相同即可得到关于m 的方程，解出即可；（3）根据一次函数的性质即可得到关于m 的不等式，解出即可．【详解】解：（1）由题意得，30m -=，解得：3m =；（2）由题意得，213m +=，解得：1m =；（3）由题意得，210m +<，12m <-．【点睛】解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．24．（1）（3，4）；21（2）223y x =+；（3）3x <时.【解析】【分析】（1）把点C （m ，4）代入正比例函数43y x =即可得到答案；（2）把点A 和点C 的坐标代入y kx b =+求得k ，b 的值即可；（3）根据图象判断．【详解】解：（1）∵点C （m ，4）在正比例函数43y x =上，∴443m =，∴3m =，即点C 坐标为（3，4）（2）∵一次函数y kx b =+经过A （-3，0）、点C （3，4）∴3034k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解之得：232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的表达式为：223y x =+；（3）由图象可知一次函数223y x =+与正比例函数43y x =的交点是点C ，并且当3x <时，43kx b x +>.。
倍角三角形的一个性质应用
倍角所对边与第ｊ边之积
性质证 明 已知 ： 图 １在 ＡＡ Ｃ 如 ， Ｂ 中 ， ， 曰 ＡＣ 对 的边 分 别 为 ｎ 厶４ ， 所 ．
所以 ： ②．由①②可知旦 ：
Ｙ ｂ
Ｂ 证 明 ＡＡＢ － ＡＢ ， 而 证 得 Ｄ， Ｃ， ￣ ， ＤＣ 从
。
￣ａ＝ ｃ ｘ ｂ．由①得６＝ｙ ａ ａｘ ＝ ａ＝ （－ ）
独 门 秘籍
带 皤 一
角三角形的 个性质应用
Ｏ 山东 邹 城第 七 中 学 刘 厚卓 刘 国强
辔
●
ＬＢ＝ Ｄ 所 以 ．
＝ＬＡＣ ． 所 以 Ｄ
ＣＤ
： 一
．
—
／ ＡＤＣ＝Ｌ Ｂ＋ １ １ ２ 鲋 Ｃ． － ＿ ： ＋ ＝
ＡＡＣ ＇ Ａ Ｃ Ｄ．所 以 — Ｄ－ ＂ Ｂ ＡＤ
（ Ｃ ＡＣ （ － ） Ｃ・ Ｂ ＋ ） Ｃ ＡＣ Ａ丑 由 三 角
形 的 三 边 关 系定 理 知 Ｂ ＋ ＞ Ｃ ＡＣ ＡＢ． 所
Ｄ Ｃ
￣ Ａ （ － ） ＡＣ・ Ｘ ＇ Ｂ ＢＣ ＡＣ ＜ Ａ丑 所 以Ｂ Ｃ—
ＡＣ＜ ＡＣ．所 Ｖ ＡＢＣ＜ ＡＣ． ２
舞 赫
图１ ０
Ｃ
为直 角三角形．
如图 １， Ｚ４ Ｃ￣ ／ｃ ｏ； Ｌ Ｂ ｒ ， ＝ （ Ｅ － －
所 ￣Ｂ ＝ Ｅ ＡＣ ｂ Ｘ Ｃ Ｘ ＇ Ｅ Ｃ － ＝． ．ＤｌＡ 由 勾 Ｂ，
股 定 理 得 ｃ 一 ２曰 Ｃ－ ９．所 以 ２Ａ１ ２
图７
２
，Ｄ是 角平 分 线 ，求证 ：Ｂ Ａ Ａ ＝
，
．
ＢＣ Ａ Ｃ
：
．即 ：
０
结论是a=b+c型问题的解法探析
结论是a=b+c型问题的解法探析山东沂源县徐家庄中心学校256116 左效平条件不同，结论却是惊人的相似，都是a=b+c型，下面就一起探讨一下这类问题的求解思路和解题方法，供学习时借鉴.1.含2倍角三角形中证明结论例1 如图1，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC.图 1分析：延长AB到点E，使得BE=BD，只需证明△ADE≌△ADC，结论得证.证明：延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，因为BE=BD，所以∠ABC=2∠E.因为∠ABC=2∠C，所以∠C=∠E.所以DAE DACE CDA DA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△ADC，所以AC=AE.因为AE=AB+BE，所以AB+BD=AC.点评：延长较长的线段，使得延长线段等于较短的线段，从而把折线段的和转化为共线线段的和，设法证明构造的新线段与所求和线段相等即可.这是证明这类问题的一种常用方法要熟练掌握.2.等腰三角形中证明结论例2如图2，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+CD.图 2分析：在BC上截取BE=AB,只需证明CE=CD即可. 证明：在BC上取一点E，使得BE=AB，连接DE，因为BA BEABD EBDDB DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ABD≌△EBD，所以∠A=∠BED.因为AB=AC，∠A=108°所以∠BED=108°，∠DEC=72°，∠C=36°,所以∠DEC=∠EDC，所以CD=CE.因为BC=BE+CE,BE=BA,CE=CD，所以BC=AB+CD.点评：在和线段上截一段线段等于线段和中的一条线段，设法证明差线段等于另一条线段.这是证明这类问题的一种常用方法要熟练掌握.3.等腰直角三角形中证明结论例3如图3，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+AD.图 3分析：有前面两种方法作为基础，选择其中的一种细心求解即可.证明：延长AB到点E，使得AE=AD，连接DE，因为AE=AD，AB=AC，∠A=90°,所以∠C=∠E=45°.所以EBD CBDE CDB DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△BDE≌△BDC，所以BC=BE.因为BE=AB+AE，所以BC=AB+AD.点评：遇到相近的问题，要分析条件，结合图形灵活选择方法，但是熟记常见的求解思路是解题的关键.4.含60°三角形中证明结论例4如图4，已知,在△ABC中，∠B=60°，AD平分∠BAC，CE平分∠ACB.求证：AC=AE+CD.图 4分析：在AC上截取AG=AE,只需证明CG=CD即可. 证明：设两条角平分线的交点为点F，在AC上取一点G，使得AG=AE，连接GF，因为AG AEGAF EAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG.因为∠B=60°所以∠FAC+∠FCA=60°, 所以∠AFE=∠AFG=60°，所以∠DFC=∠GFC=60°，所以DFC GFCFC FCDCF GCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以△DFC≌△GFC，所以CG=CD.因为AC=AG+CG，所以AC=AE+CD.点评：抓住角平分线的特点证明∠AFE=∠AFG=∠DFC=∠GFC=60°是解题的关键.5.梯形形中证明结论例5 如图5梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，且AE⊥BE.求证：AB=AD+BC.图 5分析：延长AE，BC交于点F，易证AE=EF，为解题补充条件，结合已知条件AE⊥BE，轻松得到等腰三角形ABF，应用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，问题轻松破解.解：延长AE，BC交于点F，所以DAE CFEADE FCEDE CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△FCE，所以AE=EF,AD=CF，因为AE⊥BE，所以AB=BF，因为BF=BC+CF,AD=CF，所以AB=AD+BC.点评：熟练判断三角形ABF是等腰三角形是解题的关键.灵活应用等腰三角形的性质，全等三角形的性质也是解题的重要依据.6.等腰梯形中证明结论例6 已知，如图6，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，P是BC上的一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别是E，F，G，求证：BG=PE+PF．图 6分析：同一个图形的面积相同，且整体图形的面积等于分割后几个部分图形的面积和，这也是解答此类问题常用的方法---面积法. 证明：如图6，延长BA,CD 交于点M ，连接PM ．因为四边形ABCD 是等腰梯形，所以三角形MBC 是等腰三角形，所以MB=MC ．三角形MBC 的面积=21×MC ×BG ， 三角形MPB 的面积=21×MB ×PE ，三角形MPC 的面积=21×MC ×PF ，且三角形MBC 的面积=三角形MPB 的面积+三角形MPC 的面积， 所以21×MC ×BG=21×MB ×PE +21×MC ×PF=21×MC （PE+PF ），所以所以BG=PE+PF ．点评：面积法能帮助我们解答很多类型的问题，希望能重视这种解题方法. 7.平行四边形中证明结论 例7如图7，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC,交边AD 于点E. 求证：BC=CD+DE ．图 7分析：证明AB=AE 是解题的关键. 证明：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AD ∥BC,AD=BC,AB=CD ， 因为BE 平分∠ABC, 所以∠ABE=∠AEB ， 所以AB=AE ， 所以AD=AE+ED ， 所以BC=AB+ED ， 所以BC=CD+DE ．点评：角平分线和平行线相遇易生成一个等腰三角形，这是解题的一个关键.。
2023年中考数学压轴题专题31 三角形与新定义综合问题【含答案】
专题31三角形与新定义综合问题【例1】（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．＝48，求△ABC的周长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC【例2】（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等腰直角三角形是标准三角形．（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为．【概念应用】（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．【例3】（2020•五华区校级三模）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝，b＝；如图2，当∠PAB ＝30°，c＝2时，a2+b2＝；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．【例4】（2020•岳麓区校级二模）定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC 为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．（1）如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，试探究△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．①求证：△ABC是中垂三角形；②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．【例5】（2020•安徽模拟）通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝；＝24，求△ABC的周长．（2）如图（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC一．解答题（共20题）1．（2022秋•如皋市期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有（只填写序号）．①顶角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．2．（2022秋•义乌市校级月考）【概念认识】如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE ＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线“，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的三分线BD交AC于点D．求∠BDC的度数．（2）如图③所示，在△ABC中．BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC 三分线，且∠BPC＝140°．求∠A的度数．【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P，若∠A＝m°（m＞54），∠ABC＝54°．求出∠BPC的度数．（用含m的式子表示）3．（2022春•石嘴山校级期末）[问题情境]我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|．[拓展]现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1）、N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）．之间的折线距离d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5，[应用]解决下列问题：（1）已知点E（3，2），点F（1．﹣2），求d（E，F）的值；（2）已知点E（3，1），H（﹣1，n），若d（E，H）＝6，求n的值；（3）已知点P（3，4），点Q在y轴上，O为坐标系原点，且△OPQ的面积是4.5，求d（P，Q）的值．4．（2022春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．【理解】（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为°；（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为°；（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．5．（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．6．（2022春•亭湖区校级月考）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”点D；（2）△ABC中，BC＝7，，tan C＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．7．（2021秋•如皋市期末）【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线．【理解运用】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△ABC是否为半线三角形，并说明理由；【拓展提升】（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接MB，MC，若△ABC和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求∠AMC的度数；（3）在（2）的条件下，若MD＝，AM＝1，直接写出BM的长．8．（2021秋•顺义区期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．9．（2021秋•丹阳市期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有＝1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有，，∴＝1．请用上述定理的证明方法解决以下问题：（1）如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：＝1．请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE的长为．（3）如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD 交AC于E，则四边形BCEF的面积为．10．（2021秋•洪江市期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB 的度数；（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC 的完美分割线；（3）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．11．（2021秋•石景山区期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，点P是线段CB 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作直线l⊥CB交AB于点Q．给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在△ACB的边上，则称点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．例如，图1中的点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．（1）如图2，若CP＝1，点M1，M2，M3，M4在AC边上且AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6．在点M1，M2，M3，M4中，是△ACB的关于直线l的“反称点”为；（2）若点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，恰好使得△ACN是等腰三角形，求AM 的长；（3）存在直线l及点M，使得点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP 的取值范围．12．（2021秋•鄞州区期末）【问题提出】如图1，△ABC中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即AD×AE＝BD×CE，则称DE 是△ABC的“友好分割”线段．（1）如图1，若DE是△ABC的“友好分割”线段，AD＝2CE，AB＝8，求AC的长；【发现证明】（2）如图2，△ABC中，点F在BC边上，FD∥AC交AB于D，FE∥AB交AC于E，连结DE，求证：DE是△ABC的“友好分割”线段；【综合运用】（3）如图3，DE是△ABC的“友好分割”线段，连结DE并延长交BC的延长线于F，过点A画AG∥DE交△ADE的外接圆于点G，连结GE，设＝x，＝y．①求y关于x的函数表达式；②连结BG，CG，当y＝时，求的值．13．（2021秋•鼓楼区校级期末）定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足∠1＝∠2，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP 和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB 满足“光学性质”，则称△PQR为△ABC的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上．（1）如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；（2）如图4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．①证明：△DEF为△ABC的光线三角形；②证明：△ABC的光线三角形是唯一的．14．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P 为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是；线段AB的“近轴点”是．（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围．15．（2022秋•长沙期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用：（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC 的等角分割线．动手操作：（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB 的度数．16．（2022春•华州区期末）阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形．（2）探究：在Rt△ABC，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．17．（2022•任城区三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝．（2）sad90°＝．（3）如图②，已知sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．18．（2021•柯城区模拟）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“等底高三角形”，这条边叫做等底线，这条边上的高叫做等高线．如图：在△ABC，CD ⊥AB于点D，且AB＝CD，则△ABC为等底高三角形，AB叫等底线，CD叫等高线．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等边三角形不可能是等底高三角形．（2）等底高三角形不可能是钝角三角形．【概念理解】若一个等腰三角形为等底高三角形，则此三角形的三边长之比为．【概念应用】（1）若△ABC为等底高三角形，等底线长为2，求三角形的周长的最小值．（2）若一个等底高三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．19．（2021•宁波模拟）在三角形的三边中，若其中两条边的积恰好等于第三边的平方，我们把这样的三角形叫做有趣三角形，这两条边的商叫正度，记为k（0＜k≤1）．（1）求证：正度为1的有趣三角形必是等边三角形．（2）如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠ACD＝∠ABC，求证：△ABC 是有趣三角形．（3）如图②，菱形ABCD中，点E，F是对角线BD的三等分点，DE＝DC．延长BD到P，使DP＝BE．求证：△BCE，△FCP，△BCP是具有相同正度的有趣三角形．20．（2021•临海市一模）在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为；（2）性质探究：如图1，CD是△ABC的中线，AC＝b，BC＝a，AB＝2c，CD＝d，记△ACD 中∠ADC的勾股差为m，△BCD中∠BDC的勾股差为n；①求m，n的值（用含a，b，c，d的代数式表示）；②试说明m与n互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形ABCD中，点E与F分别是AB与BC的中点，连接BD，DE，DF，若＝，且CD⊥BD，CD＝AD，求的值．【例1】（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝60°．＝48，求△ABC的周长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC【分析】（1）根据定义，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出BC即可解答，根据定义，canB＝1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得∠B ＝60°；（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，canB＝，所以设BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC ＝48，列出关于x的方程即可解答．【解答】解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30°，∴BD＝AB cos30°＝AB，∴BC＝2BD＝AB，∴can30°＝＝＝，若canB＝1，∴canB＝＝1，∴BC＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，故答案为：，60；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴＝，∴设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，＝48，∵S△ABC∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36，答：△ABC的周长为36．【例2】（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等腰直角三角形是标准三角形．√（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．×【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为1：1：或：：2．【概念应用】（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．【分析】【概念感知】（1）根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；（2）作出图形，分别对底边上的高和腰上的高进行讨论，即可求解；【概念理解】当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，设BE＝x，则AE＝2x，求出AB＝x，则AB：AC：BC＝：：2；【概念应用】（1）过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，求出A'B即可；（2）分两种情况讨论：①当AC＝AB时，AC＝CD，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则AC＝a，由等积法求出BE＝a，用勾股定理分别求出AD＝2a，BD＝a，BC＝a，则可求sin∠BCE＝；②当BC＝AB时，BC＝DC，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC＝a，由勾股定理分别求出BD＝2a，AD＝3a，AC＝a，再由等积法求出BE＝a，即可求sin∠BCE＝．【解答】解：【概念感知】（1）如图1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，∵AB＝AC，∴等腰直角三角形是标准三角形，故答案为：√；（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，∵∠A＝30°，∴CD＝AC，∵CA＝AB，∴CD＝AB，∴△ABC不是标准三角形；如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，此时AE＞BC，∴△ABC不是标准三角形；故答案为：×；【概念理解】如图1，当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；如图4，当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，∴BE＝EC＝BC＝AE，设BE＝x，则AE＝2x，在Rt△ABE中，AB＝x，∴AB：AC：BC＝：：2；故答案为：1：1：或：：2；【概念应用】（1）如图5，过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，∵AB＝CD＝1，∴AA'＝2，在Rt△ABA'中，A'B＝，∴AC+BC的最小值为；（2）在△ABC中，AB＝CD，AB⊥CD，∴AC＞CD，BC＞CD，∴AC＞AB，BC＞AB，∴△ABC的最小角为∠ACB，①如图6，当AC＝AB时，AC＝CD，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则AC＝a，＝×AB×CD＝×AC×BE，∵S△ABC∴BE＝a，在Rt△ACD中，AD＝2a，∴BD＝AD﹣AB＝a，在Rt△BCD中，BC＝a，在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；②如图7，当BC＝AB时，BC＝DC，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC＝a，在Rt△BCD中，BD＝2a，∴AD＝3a，在Rt△ACD中，AC＝a，＝×AB×CD＝×AC×BE，∵S△ABC∴BE＝a，在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；综上所述：最小角的正弦值为或.【例3】（2020•五华区校级三模）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝4，b＝4；如图2，当∠PAB ＝30°，c＝2时，a2+b2＝20；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出PA、PB，根据三角形中位线定理得到MN∥AB，根据相似三角形的性质分别求出PM、PN，根据勾股定理计算即可；（2）连接MN，设PN＝x，PM＝y，利用勾股定理分别用x、y表示出a、b、c，得到答案；（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，证明△ABF为“中垂三角形”，根据（2）中结论计算即可．【解答】解：（1）在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，则PA＝PB＝c＝4，∵M、N分别为CB、CA的中点，∴MN＝AB＝2，MN∥AB，∴△APB∽△MPN，∴＝＝＝，∴PM＝PN＝2，∴BM＝＝2，∴a＝2BM＝4，同理：b＝2AN＝4，如图2，连接MN，在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，∴PB＝c＝1，∴PA＝＝，∴PN＝，PM＝，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝，b＝，∴a2+b2＝20，故答案为：4；4；20；（2）a2+b2＝5c2，理由如下：如图3，连接MN，设PN＝x，PM＝y，则PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝2，b＝2，∴a2+b2＝20（x2+y2），∵c2＝PA2+PB2＝4（x2+y2），∴a2+b2＝5c2；（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AHP∽△BHF，∴＝＝1，∴AP＝BF，∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，∴AE＝BF＝，∴PE＝FC，∴四边形PFCE为平行四边形，∵BE⊥CE，∴BG⊥FH，∵AE∥BF，AE＝BF，∴AG＝GF，∴△ABF为“中垂三角形”，∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×（）2，解得：AF＝4．【例4】（2020•岳麓区校级二模）定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC 为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．（1）如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，试探究△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．①求证：△ABC是中垂三角形；②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．【分析】（1）先利用“SAS“证明△BAD≌△ABE，然后根据△ABC是中垂三角形即可证明；（2）先判断出AC＝2AD，BC＝2BE，再利用勾股定理，即可得出结论；（3）①利用二次函数先求出点B、点A和点C的坐标，然后根据点A和点C的坐标确定E 是AC的中点，最后根据中垂三角形的定义即可证明；②先由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）的坐标得到k AB＝a，k AC＝﹣a，k BC ＝﹣a，然后分情况讨论即可求解；或结合射影定理分情况讨论进行求解即可．【解答】（1）证明：AC＝BC，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，∴AD＝BE，∠BAD＝∠ABE，∴△BAD≌△ABE（SAS），∴∠ABD＝∠BAE，∴OA＝OB．∵△ABC是中垂三角形，且AC＝BC，∴∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．（2）L＝6AB2．证明：如图，连接DE．∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE＝AB，∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2＝AB2．在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，∴AC2+BC2＝4（AD2+BE2）＝4（OA2+OD2+OB2+OE2）＝4（AB2+DE2）＝4（AB2+AB2）＝5AB2，∴L＝AB2+AC2+BC2＝AB2+5AB2＝6AB2．（3）①证明：在y＝中，当x＝0时，y＝﹣2a，∴点B（0，﹣2a）．y＝0时，＝0，整理得3x2﹣4x﹣32＝0，解得x1＝﹣（舍），x2＝4，∴点A（4，0）．∵BD＝CD，y C＝﹣y B＝2a，将y＝2a代人y＝，解得x1＝（舍），x2＝﹣4，∴C（﹣4，2a）．由点A（4，0），C（﹣4，2a）可知，E是AC的中点．又∵BD＝CD，∴AD，BE都是△ABC的中线．又∵∠AOB＝90°，∴AD⊥BE，∴△ABC是中垂三角形．②解法一：由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）可得k AB＝a，k AC＝﹣a，k BC ＝﹣a，∵∠C＜∠AOB，∴∠C≠90°．当∠ABC＝90°时，k AB•k BC＝﹣1，解得a＝（负值舍去），∴点B（0，﹣2），∴L＝6AB2＝6×24＝144．当∠BAC＝90°时，k AB•k CA＝﹣1，解得a＝2（负值舍去），∴点B（0，﹣4），∴L＝6AB2＝6×48＝288．综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．解法二：由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a），∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，∴点D（﹣2，0），E（0，a）．∵∠C＜∠AOB，∴∠C≠90°．当∠ABC＝90°时，在△ABD中，由射影定理得OB2＝OA•OD，∴4a2＝8，解得α＝（负值舍去），∴点B（0，﹣2），∴L＝6AB2＝6×24＝144．当∠BAC＝90°时，在△ABE中，由射影定理得OA2＝OB•OE，∴16＝2a2，解得a＝2（负值舍去），∴点B（0，﹣4），∴L＝6AB2＝6×48＝288．综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．【例5】（2020•安徽模拟）通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝；＝24，求△ABC的周长．（2）如图（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B＝30°，可得出BD＝AB，结合等腰三角形的性质可得出BC＝AB，继而得出canB；＝24，（2）过点A作AE⊥BC于点E，根据canB＝，设BC＝8x，AB＝5x，再由S△ABC可得出x的值，继而求出周长．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，∴cos∠B＝＝，∴BD＝AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC＝2BD＝AB，故can30°＝＝；（2）过点A作AE⊥BC于点E，∵canB＝，则可设BC＝8x，AB＝5x，∴AE＝＝3x，＝24，∵S△ABC∴BC×AE＝12x2＝24，解得：x＝，故AB＝AC＝5，BC＝8，从而可得△ABC的周长为18．一．解答题（共20题）1．（2022秋•如皋市期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③（只填写序号）．①顶角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解；（2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性质可得∠BDE＝∠E，可得结论；②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．【解答】（1）解：若顶角是30°的等腰三角形，∴两个底角分别为75°，75°，∴顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，若等腰直角三角形，∴三个角分别为45°，45°，90°，∵90°＝2×45°，∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，若有一个是30°的直角三角形，∴另两个角分别为60°，90°，∵60°＝2×30°，∴有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”，故答案为：②③；（2）①证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，∴∠BAE＝2∠ADB，∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴∠E＝∠ADB，∴∠BAE＝2∠E，∴△ABE是“倍角三角形”；②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，如图，若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”，∴△ABP是等边三角形，∴∠APB＝60°，∴∠BPE＝120°，∵△BPE是“倍角三角形”，∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，∴∠BEP＝20°或40°；若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，∵△BPE是等腰三角形，∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，综上所述：∠BPE的度数为45°或15°或20°或40°．2．（2022秋•义乌市校级月考）【概念认识】如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE ＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线“，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的三分线BD交AC于点D．求∠BDC的度数．（2）如图③所示，在△ABC中．BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC 三分线，且∠BPC＝140°．求∠A的度数．【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P，若∠A＝m°（m＞54），∠ABC＝54°．求出∠BPC的度数．（用含m的式子表示）【分析】（1）分BD是邻AB的三分线和BD是邻BC的三分线两种情况解答即可；（2）由∠BPC＝140°，得∠PBC+∠PCB＝40°，故∠ABC+∠ACB＝40°，可得∠ABC+∠ACB＝120°，从而∠A＝60°；（3）分四种情况分别解答即可．【解答】解：（1）当BD是“邻AB三分线”时，∠ABD＝∠ABC＝15°，则∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，当BD′是“邻BC三分线”时，∠ABD′＝∠ABC＝30°，则∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，综上所述，∠BDC的度数为95°或110°；（2）∵∠BPC＝140°，∴∠PBC+∠PCB＝40°，∵BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC三分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠A＝60°；（3）如图：。
倍角问题
模 型 例 析
例1：如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D，
求证：∠DBC=
1 2
∠BAC
分析：∠DBC、∠BAC所在的 两个三角形有公共角∠C,可 利用三角形内角的和来沟通 ∠DBC、∠BAC和∠C的关系。 B
A
D C
模 型 例 析
例2：已知，在三角形ABC中，∠B=2∠C， AD
（倍角问题）
模 型 思 考
在几何证明或计算问题中，经常需要添加
必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点： 一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐
蔽得以显现，从而利用有关性质去解题：
二是通过添加辅助线，使分散的条件得以 集中，从而利用它们的相互关系解题： 三是把新问题转化为已经解决过的旧问题
加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与
造等腰三角形的方法添加辅助线。
模 型 练 习
在△ABC中，∠A=2∠B 求证：BC2∠ BAC的角平分线,问:线段AB、BD、AC有什
么关系？说明理由。
A
B
D
C
倍角问题分两种情况：
1.∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平 分线，得∠1= 1 ∠α，然后证明∠1=∠β； 2 或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明 ∠2=∠α。 2.∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角 形常称为倍角三角形。北角三角形问题常用构
三倍角正切公式
三倍角正切公式
三倍角正切公式是一种用于计算三角函数的公式，也被称为双曲正切修正公式。
它是由英国数学家及著名研究者威廉·奥塞森于1800年完成。
三倍角正切公式是“tan 3Θ= 3tan Θ- 4tan3 Θ”，其中Θ是一个任意角度，可以是弧度或角度。
它可以从较复杂的三角函数问题中解析出许多有用的信息，它甚至可以让科学家计算出正切的双曲正切值。
在微积分中，三倍角正切公式也被称为拉米定律，这是一个非常强大的等式，可以用于大多数的数学运算。
它的特殊性质给科学家提供了一种新的方法来计算高级数学函数，以及把数学理论用于实际应用。
三倍角正切公式还在线性代数中有重要应用，可以用来解决方程，包括线性方程、二元一次方程以及多项式方程。
它是用来分析函数如何影响不同点的变量之间的关系，从而推出更复杂的函数方程。
三倍角正切公式是解题不可或缺的关键，它帮助我们解决了许多复杂的传统三角形函数问题。
三倍角正切公式的重要性已超出了科学的范畴，在决策和实践中也有重要的作用。
正余弦二倍角公式
正余弦二倍角公式
正余弦二倍角公式即“余弦定理”是三角学中一个重要的定理，它指出每一个锐角三角形包含了其中一个临边与对边之间余弦的倍数关系。
此定理为三角学提供了一种计算三角形的有效又简单的方法，同时也是数学基础理论之一。
正余弦二倍角公式可以定义为：在一个锐角三角形中，若A表示内角，那么其临边b与相对边c之比值等于余弦函数的二倍值，即：b／c = cos2A
此定理可广泛应用于日常生活中，比如可以用来计算在一个锐角三角形中求对角线和相对边，用来计算连接两个角之间分支角，以及测量某物体相对另一物体的距离等等。
正余弦二倍角公式的理解对高中数学学习仍具有重要的启发意义。
正余弦二倍角公式将三角学的计算简化为三个平等的成分之间的关系，从而使学生从理解角的关系中提高对三角学计算法则的应用技能。
此外，正余弦二倍角公式用于求解更复杂的三角学问题。
例如需要求矩形两限和三角形外接圆等，此时正余弦二倍角公式尤其有用，它就像是一把小刀，帮助我们轻松破解复杂的三角学难题。
因此，正余弦二倍角公式对于学习数学和探究数学一些基本规律均具有非常重要的作用，此定理极大地简化了三角学计算，为学生的三角学复习和深入理解提供了依据。
倍角三角形一个结论的证明
倍角三角形一个结论的证明2006年第l期27◇能力培养◇绎尚竞文(天津市第六r六巾学,300113)题目ABCf}I,,l,,C所对的边分别Jtjn,b,c表示.(1)如图l,在△ABC中,A=2ZB,且A=60..求证:Ⅱ=b(b+c);6CBll刳2(2)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为"倍角三角形".本题第(1)问中的三角形是一个特殊的倍角三角形.那么,对于任意的倍角L_5ABC,如图2,其中A=2B,关系式Ⅱ=b(b+c)是否仍然成立?并证明你的结论;(3)略.(2005,天津市中考题)本题的证法灵活多样.本文仅对第(2)问的证法进行探讨.1构造等腰三角形,利用相似三角形证明倍角j角形问题可以通过构造等腰三角形的方法解决.常见的辅助线添加是延长倍角的一边,使延长的部分等于倍角的另一边, 构造等腰三角形.证法1:如图3,延长BA至点D,使AD:AC=b,联结CD.B易知/B=/D.D,7图3则CBD为等瞍i角形.仃CD=BC=n.易得△ACDc,o△CBD.确-AD=CD,即:—.En—b+c',\故n::6(6+).,.鼢:C按如图4添加辅助线,证——明略.42作倍角的平分线,利用相似三角形或三角形面积比证明证法2:如图5,作AD平分BAC,交BC于点D,则BACB=2ZBAD.所以,B=/BAD.D口l5又C=C,所以,△ACD∽△BCA.则AC=AD:DC.由AD+DC=而AC及BD+DC=AD+ A+AC—C.一.DC.可知中学教与学±一AB+AC—AD+DC'所以,(AD+DC)=AC(AB+AC).故口=b(b+C).注:依图5,还可用角平分线定理证明. 证法3:如图6,作AD平分BAC,交BC于点D,作DEJ_ABB于点E,DFJ_AC于点F,则图6由已知,易证△CAD∽△CBA所以,=AC2,即她6z+如一口'化简为=.故口=b(b+C).3利用勾股定理证明证法4:如图7,过点C作CDJ_AB于点D,作C:CA:b.B易得AD=DE=,可知a图7B===b.在Rt△ADC和Rt△BDC中,有BC一BD:AC一AD.贝0口一6=BD一AD=(BD+AD)(BD—AD)=C?b.故口=b(b+C).C4作辅助圆,利用切割线定理证明证法5:如图8,作△ABC的外接圆o0,过点C作o0的切线交BA的延长线于点JP.易知B=ACP=P.,,…/图8则AC=AP=b.所以,C=CP=口.由切割线定理得CP=PA?PB.故口=b(b+C).注:①如图9,以AB的垂直平分线与BC的垂线BO的交点0为圆心,OB为半径作圆,延长交o0于点D,联结BD.依证法5可获证.b…一一{F图9'图10②如图1O,以点C为圆心,CA为半径作圆,交AB于点D,交BC于点E,延长BC交oC于点F,联结CD.亦可依证法5获证.。
三角形倍角定理
三角形倍角定理
三角形倍角定理，也称为倍角公式，是解三角中非常适用的一个特殊公式。
这个定理是把一个三角形的内角的角与角之间的二倍关系转化为边与边之间的长度关系。
具体来说，对于任意一个三角形ABC，其中A为顶角，另外两个角分别为B 和C，那么有以下关系：
sin2B = 2sinBcosB
cos2B = 1 - 2sin²B
tan2B = (2tanB)/(1 - tan²B)
同样地，我们也可以用类似的方式得到2C和2A的三角函数关系。
举例来说，假设在一个三角形中，已知顶角A为75度，那么根据倍角定理，可以计算出2A = 150度的三角函数值。
具体来说，sin(2×75°) = sin150° = 0.5，cos(2×75°) = cos150° = -0.5，tan(2×75°) = tan150° = -sqrt(3)/3。
通过倍角定理，我们可以方便地计算出三角形的各个角的三角函数值，从而在解三角问题时更加高效。
三角形中的一条线、两个模型、三个结论
三角形中的一条线、两个模型、三个结论潘丹丹【期刊名称】《《中学数学》》【年(卷),期】2019(000)024【总页数】3页(P52-53,69)【作者】潘丹丹【作者单位】江苏省南通田家炳中学【正文语种】中文三角形是人教版八年级上册第十一章内容，如何研究与三角形相关的角是研究的重点与难点，通过对与三角形有关内容的分析与认识，笔者对如何求与三角形相关的角及与三角形相关的角的一些题型做了适当的认识与总结，如有不当之处，敬请批评指正.一、三角形中的一条线——内角和定理或外角结论与三角形有关的角包括内角和外角，如何去求相关角呢？笔者认为，牢牢抓住内角和定理或者外角结论，在求与三角形相关的角时，首先确定所研究的角是什么角，抓住三角形的内角和定理（三角形三个内角和等于180°）这条线，或者抓住外角结论（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）这条线.基于三角形求角中一条线的思路认识，可进一步得出以下两个模型及对三个结论的认识.二、两个模型——飞镖模型和8字模型1.8字模型如图1，试探究∠A、∠B、∠C、∠D的关系.结论：∠A+∠B=∠C+∠D.通过对三角形中研究角时一条线的认识，可知应紧抓三角形的内角和定理.证明如下：证明：在△ABE中，∠A+∠B+∠AEB=180°，所以∠A+∠B=180°-∠AEB.在△CDE中，∠C+∠D+∠CED=180°，所以∠C+∠D=180°-∠CED.又因为∠AEB=∠CED，所以∠A+∠B=∠C+∠D.图1图2建立在8字模型的基础上，将8字模型与角平分线结合，有如下问题探究：如图2，BP、DP分别平分∠B、∠D，相交于点P，试探究∠P与∠A、∠C的关系.结论：∠P=（∠A+∠C）.证明：记线段AD、BP相交于点M，则根据8字模型结论得∠A+∠ABP=∠P+∠ADP ①.记线段BC、DP相交于点N，则根据8字模型结论得∠P+∠CBP=∠C+∠CDP ②.因为BP、CP分别平分∠ABC、∠ADC，所以∠ABP=∠CBP，∠ADP=∠CDP.①—②得认识了8字模型与角平分线的结合，在此基础上还可做如下变式：若设，求∠P与∠A、∠C的数量关系.（用α、β表示）结论：证明：记线段AD、BP相交于点M，则根据8字模型结论得，所以∠ABC-∠ADC=3（∠P-∠A）.记线段BC、DP相交于点N，则根据8字模型结论得∠P+∠CBP=∠C+∠CDP，则，所以所以进一步可以推广到一般情况：若设试求∠P与∠A、∠C的数量关系.（用α、β表示）通过与上述变式类似推导可得2.飞镖模型如图3，试探究∠A、∠B、∠C、∠D的关系.结论：∠D=∠A+∠B+∠C.通过对三角形中研究角时一条线的认识，有以下思考：证法1：（利用三角形内角和定理）连接BC.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠DCB.在△DBC 中，∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，则∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB，所以∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.证法2：（构造外角，利用外角结论）连接AD并延长至点E.根据外角结论，得∠BDE=∠B+∠BAE，∠CDE=∠C+∠CAD，所以∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAE+∠CAD，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.实际上在利用外角结论证明时，也可用以下方法：延长线段BD交AC于点M，或者延长线段CD交AB于点N.图3图4建立在飞镖模型的基础上，将飞镖模型与角平分线结合，有如下问题探究：如图4，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，相交于点O，试探究∠A、∠O、∠D 的关系.结论：∠A+∠D=2∠O证明：由飞镖模型可得：∠O=∠A+∠ABO+∠ACO，∠D=∠O+∠OBD+∠OCD.因为BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCD.则∠O-∠A=∠D-∠O，故∠A+∠D=2∠O.认识了飞镖模型与角平分线的结合，在此基础上还可做如下变式：若，试探究∠A、∠O、∠D的关系.结论：证明：由飞镖模型可得：∠O=∠A+∠ABO+∠ACO，∠D=∠O+∠OBD+∠OCD.因为，所以∠OBD=2∠ABO，∠OCD=2∠ACO，则∠D-∠O=2（∠O-∠A），故进一步可以推广到一般情况：若，试探究∠A、∠O、∠D的关系.通过与上述变式类似推导可得将8字模型、飞镖模型与对角线结合得到了一般性的结论，而三角形中角平分线的一般结论又如何呢？三、三个结论（三角形中角平分线的结论）1.两个内角平分线的结论在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的平分线交于点P，如图5，试猜想∠P与∠A的关系，并予以证明.结论：证明：在△PBC中，∠P=180°-∠PBC-∠PCB.因为BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠PBC=所以∠ACB）.所以图5图62.一个外角与一个内角平分线的结论在△ABC中，一个外角∠ACE的平分线和一个内角∠ABC的平分线交于点P，如图6，试猜想∠P与∠A的关系，并予以证明.结论证明：因为∠PCE为△PBC的外角，所以∠P=∠PCE-∠PBC.因为BP、CP分别平分∠ABC、∠ACE，所以∠PBC=所以3.两个外角平分线的结论在△ABC 中，两个外角∠EBC的平分线和∠FCB的平分线交于点P，如图7，试猜想∠P与∠A的关系，并予以证明.结论：图7证明：在△PBC中，∠P=180°-∠PBC-∠PCB.因为BP、CP分别平分∠EBC、∠FCB，所以∠PBC=所以-∠ABC+180°-∠ACB）.则建立在三角形中角平分线的结论上，与之方法类似，以上问题均可拓展到一般情况并得到一般性的结论：以上内容是对三角形中如何求角这个问题的部分认识，充分掌握好以上问题的结论及证明过程，在适当情况下能起到事半功倍的作用.实际上，不管是三角形中求什么角的问题，核心本质都是首先抓住这个角是什么角，然后充分利用内角和定理或者外角结论进行转化解决.。
三角形中线的结论
三角形中线的结论
三角形中线结论有如下：
1、三条中线交于一点。
2、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。
3、三角形的中线平分这条边。
4、三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
5、中线定义：三角形的中线是连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段，一个三角形有3条中线。
6、高定义：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。
7、角平分线定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
8、中位线定义：三角形的三边中任意两边中点的连线。
三角形的二倍角公式
三角形的二倍角公式三角形的二倍角公式是三角函数中的一个重要公式，它可以用来计算三角函数在角度为原角两倍的情况下的取值。
在本文中，我们将详细介绍三角形的二倍角公式的推导和应用。
我们来看一下三角函数中的几个基本概念。
在直角坐标系中，以原点为顶点的角称为标准角，它们的终边与坐标轴正方向的夹角为0°、90°、180°和270°。
根据这些标准角，我们可以定义正弦、余弦和正切函数。
对于一个任意的角θ，假设它的终边与坐标轴正方向的夹角为α，那么我们可以得到以下关系：sin(θ) = sin(α)cos(θ) = cos(α)tan(θ) = tan(α)接下来，我们来推导三角形的二倍角公式。
假设角θ的终边与坐标轴正方向的夹角为α，那么角2θ的终边与坐标轴正方向的夹角为2α。
根据三角函数的定义，我们可以得到：sin(2θ) = sin(2α)cos(2θ) = cos(2α)tan(2θ) = tan(2α)接下来，我们将分别推导sin(2θ)、cos(2θ)和tan(2θ)的具体表达式。
我们来推导sin(2θ)的表达式。
根据三角函数的定义，我们可以得到：sin(2θ) = sin(θ + θ)= sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ)= 2sin(θ)cos(θ)接下来，我们来推导cos(2θ)的表达式。
根据三角函数的定义，我们可以得到：cos(2θ) = cos(θ + θ)= cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ)= cos^2(θ) - sin^2(θ)= 2cos^2(θ) - 1= 1 - 2sin^2(θ)我们来推导tan(2θ)的表达式。
根据三角函数的定义，我们可以得到：tan(2θ) = sin(2θ)/cos(2θ)= (2sin(θ)cos(θ))/(1 - 2sin^2(θ))通过上述推导，我们得到了sin(2θ)、cos(2θ)和tan(2θ)的具体表达式。
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倍角三角形中的一个结论
例1（天津市中考题）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边分别用a 、b 、c 表示。
⑴如图1，在△ABC 中，∠A=2∠B ，且∠A=60°。
求证：a 2=b （b+c ）
⑵如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。
本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC ，如图2，∠A=2∠B ，关系式a 2=b （b+c ）是否仍然成立？并证明你的结论。
分析：⑴在△ABC 中，∠A=2∠B ，且∠A=60°，△ABC 为Rt △，∠C=90°。
证法1：Rt △ACB 中a=2
3c ，b=21c ， 所以a 2
=（23c ）2=432c ，b （b+c ）=21c （21c+c ）=243c ， 所以a 2=b （b+c ）。
⑵对于任意的倍角△ABC ，∠A=2∠B ，关系式a 2=b （b+c ）仍然成立。
如图2，延长BA 至D ，使AD=AC=b ，连CD 。
则∠CAB=2∠D ，∴∠B=∠D ，BC=CD=a ，
由△ADC ∽△CDB ，即。
所以a 2=b （b+c ）。
由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和。
（例2中另外两种证法同样可证得a 2=b （b+c ）。
）
例2(2009年全国初中数学联赛)在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的2倍，且AB=7，AC=8。
则BC=（ ）
（A ）7 （B ）10 （C ） （D ）7
分析：此题由例1中的结论，则BC 2=7（7+8）=105，所以BC=。
以下还可以提供几种解法供参考。
解法一：分割法。
如图1，作∠CAB 的平分线AD 交BC 于D 。
△ABC ∽△DBA ， ==，
∴解得∴ x+y=105。
评析：解法一的思路是常规思路，平分倍角构造相似三角形，通过相似比得到方程组求出线段长，进而求出BC 的长。
但这种方法中，二元二次方程组的计算较为复杂。
解法二：构造法。
如图2，延长CA 至点D ，使AD=AB 。
则∠D=∠ABD=2
1∠CAB=∠C ， △CBD ∽△DAB ，=，
∴BD 2=AB ·CD=7×（8+7）=105，BD=
， 又∠C=∠D ，∴BC=BD=。
评析：利用二倍角为外角构造等腰三角形也是常见的作辅助线的技巧。
BD 为相似三角形比例中项，与方法一相比，计算相对简单。
解法三：综合法
作∠CAB 的平分线AD 交BC 于D 。
作BE ∥AD 。
△ADC ∽△BAE ，=，①
△ADC ∽△EBC ，=，②
①×②，=，（x+y ）2=7×15，x+y=。
解析：由△ADC ∽△BAE ，BE ∥AD ，方法三事实上已将方法一、方法二统一了起来。
所反映的本质是相同的。