贵州省黔东南州2018届高三上学期第一次联考数学(理)--- 精校解析Word版
2018届高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U=R ，集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={x|x ﹣1≥0}，那么A ∩∁U B=（ ） A ．{x|0＜x ＜1} B ．{x|x ＜0} C ．{x|x ＞2} D ．{x|1＜x ＜2}2．已知复数，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a+bi|=（ ）A ．﹣1﹣3iB ．C ．10D ．3．已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为（ ） A ．∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 B ．∀c ≤0，方程x 2﹣x+c=0有解 C ．∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 D ．∃c ＜0，方程x 2﹣x+c=0有解4．函数的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．等比数列{a n }中，a 3=9，前3项和为，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．C ．1或D ．﹣1或6．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A．[0，2）B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]7．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．已知函数y=a x，y=x b，y=logcx的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．如图在直角梯形ABCD中AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则=（）A．B．C． D．10．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函数f（x）最小值为C．函数f（x）在（0，）内是减函数D．是函数f（x）的一个周期12．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（）①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=．A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．函数f（x）=的定义域为．14．（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．15．若实数x，y满足约束条件，且z=x+2y有最大值8，则实数k= ．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，当x∈（﹣π，π）时，求函数g（x）的值域．18．已知数列{an }是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求bn取得最小值时n的值．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a=2，AC边上的垂直平分线交边AB于点D且△DBC的面积为，求边c 的值．20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．21．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁B=（）UA．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，B={x|x＜1}，∴∁UB）={x|0＜x＜1}．则A∩（∁U故选：A．2．已知复数，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．﹣1﹣3i B．C．10 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴由，得﹣a﹣2i=1+bi，∴，则a=﹣1，b=﹣2．∴|a+bi|=|﹣2﹣i|=．故选：B．3．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解． 故选：A ．4．函数的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，再由函数图象经过点（，2），代入解析式Φ的值．【解答】解：由函数的图象可知，周期T=，可得T=π，∴ω=2函数图象经过点（，2），可得2=2sin （2×+Φ），∵Φ＜，∴Φ=．故选B ．5．等比数列{a n }中，a 3=9，前3项和为，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．C ．1或D ．﹣1或 【考点】等比数列的通项公式；定积分．【分析】=3×=17=，a 3=9=，联立解出即可得出．【解答】解： =3×=27=，a=9=，3解得q=1或﹣．故选：C．6．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．7．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的垂直求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．【解答】解：向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，∴x﹣3=0，解得x=，∴﹣=（，1）﹣（，﹣3）=（0，4），∴|﹣|=4，||=2，（﹣）•=4，设向量﹣与的夹角为θ，∴cosθ===，∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°．故选：B．8．已知函数y=a x，y=x b，y=logcx的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质，用特殊值即可判断a、b、c的大小．【解答】解：根据函数的图象知，函数y=a x是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b是幂函数，且x=2时，y=2b∈（1，2），∴b∈（0，1）；函数y=logc x是对数函数，且x=2时，y=logc2∈（0，1），∴c＞2；综上，a、b、c的大小是c＞a＞b．故选：C．9．如图在直角梯形ABCD中AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则=（）A．B．C． D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】如图所示，利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得【解答】解：如图所示：=+， =， =﹣， =+， =，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选：C10．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】对进行化简，转化为a（x1+x2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a＞，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围【解答】解：不妨设x2＞x1≥2，====a（x1+x2）﹣1，∵对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，＞0恒成立，∴x2＞x1≥2时，a（x1+x2）﹣1＞0，即a＞恒成立∵x2＞x1≥2∴∴a，即a的取值范围为[，+∞）故本题选D11．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函数f（x）最小值为C．函数f（x）在（0，）内是减函数D．是函数f（x）的一个周期【考点】三角函数的化简求值．【分析】将函数化成只有一个函数名，结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：函数f（x）=cos4x+sin2x=（1﹣sin2x）2+sin2x=sin4x﹣sin2x+1=（sin2x﹣）+．∵f（﹣x）=[（﹣sinx）2﹣]+=f（x），∴f（x）是偶函数．∴A选项对．当sin2x=时，函数f（x）取得最小值为．∴B选项对．当x=和时，f（x）的值相等，函数f（x）在（0，）不是单调函数，．∴C 选项不对．由f（x）的解析式可得，是函数f（x）的一个周期．．∴D选项对．故选：C12．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（）①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=．A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】分段函数的应用．【分析】容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．【解答】解：容易判断①②③都是奇函数；y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；∴①②都在定义域R上单调递增；③在定义域R上没有单调性；设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）=0；a+b＞0时，a＞﹣b；∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）＞0；∴①②是Ω函数；对于函数③，a+b＞0时，得到a＞﹣b；∵f（x）不是增函数；∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．函数f（x）=的定义域为（0，）∪（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义，则∵∴log2x＞1或log2x＜﹣1解得：x＞2或x所以不等式的解集为：0＜x或x＞2则函数的定义域是（0，）∪（2，+∞）．故答案为：（0，）∪（2，+∞）．14．（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．15．若实数x，y满足约束条件，且z=x+2y有最大值8，则实数k= ﹣4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，∵z=x+2y有最大值8，∴平面区域在直线x+2y=8的下方，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大为x+2y=8，由，得，即B（0，4），同时B也在2x﹣y=k上，∴﹣y=4，解得k=﹣4，故答案为：﹣416．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第24 天，两马相逢．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an }，其中a1=193，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn }，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=193m++97m+=290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣1200≥0，解得m≥，取m=24．故答案为：24．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，当x∈（﹣π，π）时，求函数g（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简函数，利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递增区间；（2）求出g（x）=sin（+），即可求出当x∈（﹣π，π）时，函数g（x）的值域．【解答】解：（1）=sin2ωx+cosωx=sin（2ωx+）…最小正周期为4π，∴=4π，∴ω=，∴f（x）=sin（+），由…得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z…（2）由（1）知f（x）=sin（2ωx+），将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin（+）…∵，∴…10分∴函数g（x）的值域为…18．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求bn取得最小值时n的值．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn+1﹣bn=an，利用累加法求得bn，结合二次函数求得bn取得最小值时n的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知d=2，再由bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24，得a2=b3﹣b2=﹣6，则a1=a2﹣d=﹣6﹣2=﹣8，∴an=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10；（Ⅱ）bn+1﹣bn=2n﹣10，∴b2﹣b1=2×1﹣10，b3﹣b2=2×2﹣10，…bn﹣bn﹣1=2（n﹣1）﹣10（n≥2），累加得：bn=b1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1）=b2﹣a1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1），=﹣10+=．∴当n=5或6时，bn取得最小值为b5=b6=﹣30．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a=2，AC边上的垂直平分线交边AB于点D且△DBC的面积为，求边c 的值．【考点】余弦定理；三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】（I）利用正弦定理、和差公式即可得出．（II）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，…∴，…∴3sinBcosC+sinBsinC=3sinBcosC+3sinCcosB，∴，∵sinC≠0．∴，即，∴．…（Ⅱ）由，∴BD=1，…∴在△DBC中，，…∴，∴．…20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．21．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在处取得．【解答】解：由题意可知f'（x）=e x（x2+2x﹣a）．（Ⅰ）因为a=1，则f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．即x+y+1=0．（Ⅱ）因为函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，所以当x∈（﹣3，0）时，f'（x）=e x（x2+2x﹣a）≤0恒成立．即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．显然，当x∈（﹣3，﹣1）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递减，当x∈（﹣1，0）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递增．所以要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（Ⅲ）设g（x）=x2+2x﹣a，则△=4+4a．①当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）单增，所以函数f（x）没有最小值．②当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，令f'（x）=e x（x2+2x﹣a）=0得x2+2x﹣a=0，解得当x∈时，．所以．所以f（x）=e x（x2﹣a）＞0．又因为函数f（x）的最小值为﹣2e＜0，所以函数f（x）的最小值只能在处取得．所以．所以．易得．解得a=3．以下证明解的唯一性，仅供参考：设因为a＞0，所以，．设，则．设h（x）=﹣xe x，则h'（x）=﹣e x（x+1）．当x＞0时，h'（x）＜0，从而易知g（a）为减函数．当a∈（0，3），g（a）＞0；当a∈（3，+∞），g（a）＜0．所以方程只有唯一解a=3．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1： +y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
贵州省黔东南州2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题word版有答案AlUHln
黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学试卷 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{|1}A x x =>，2{|20}B x x x =-<，则()U C A B =I （ ）A ．(1,2)B ．(0,)+∞C ．(0,1]D ．(,2)-∞ 2.对于复数(,)z a bi a b R =+∈，若212iz i i-+=+，则b =（ ） A ．0 B ．2 C ．-2 D ．-13.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（ ）A ．旅游总人数逐年增加B ．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C ．年份数与旅游总人数成正相关D ．从2014年起旅游总人数增长加快4.在等差数列{}n a 中，若1232318a a a ++=，则152a a +=（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．35.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）A ．2．123．2 D ．636.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）A ．3步B ．6步C ．4步D ．8步 7.在21(2)nx x-展开式中存在常数项，则正整数n 可以是（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．2020 8.执行如图的程序框图，当输入的351n =时，输出的k =（ ）A ．355B ．354C ．353D ．3529.给出函数()2sin cos f x x x =22cos 1x +-，点A ，B 是其一条对称轴上距离为5π的两点，函数()f x 的图象关于点C 对称，则ABC ∆的面积的最小值为（ ） A ．516 B ．58 C ．54 D ．5210.过抛物线C ：24y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为1O ，半径为r .点1O 到C 的准线l 的距离与r 之积为25，则12()r x x +=（ ） A ．40 B ．30 C ．25 D ．2011.已知(0,3)A 、(2,1)B ，如果函数()y f x =的图象上存在点P ，使PA PB =，则称()y f x =是线段AB 的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段AB 的“和谐函数”的是（ ） A ．ln 2e y x =+ B ．1x y e e =+ C ．ln x y x=D ．11x y e -=+ 12.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+u u u r u u u r u u u r，1()2CE CA CD =+u u u r u u u r u u u r的点，若2CD CE c λ⋅=u u u r u u u r ，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是（ ）A ．12(,)369-B ．12(,)189-C ．11(,)369-D ．11(,)189- 第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若实数x ，y 满足116x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．14.已知函数2()log 2xf x x m =+-有唯一零点，如果它的零点在区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是 ．15.已知P 、Q 分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段PQ 长度的最小值是 ． 16.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，C 的左、右顶点分别为A 、B ，C 的右焦点为F ，记PAF α∠=，PBF β∠=，当cos()αβ+=，且0PF AB ⋅=u u u r u u u r 时，双曲线C 的离心率e = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知13a =，339S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足nn nS c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人 参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A 发生的概率.（Ⅱ）设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 19.如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=，D 、E 分别为线段AB 、BC上的点，且CD DE ==，22CE EB ==.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角D PE C --的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A .动直线l ：10()x my m R --=∈经过点2F ，且12AF F ∆是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 交C 于M 、N 两点，若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求实数m 的取值范围. 21.函数()ln xf x e a x b =--在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y =. （Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）1x ∀≥，22ln (ln )xxex x ke e+≤成立，求实数k 的取值范围. 请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(1,0)-，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆C 极坐标方程为2ρ=. （Ⅰ）当3πα=时，求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 的交点为A 、B ，证明：PA PB ⋅是与α无关的定值. 23.选修4-5：不等式选讲 设()221f x x x =-++. （Ⅰ）求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）[2,1]x ∀∈-，()2f x m -≤，求实数m 的取值范围.黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CCBAD 6-10: BCBBA 11、12：DA1.解：由22002x x x -<⇒<<，故()U A I ð{|B x =1}{|02}(0,1]x x x ≤<<=I ． 2.解：由212iz i i-+=+得22z i b =-⇒=-． 3.解：从图表中看出，选项B 明显错误．4.解：设{}n a 的公差为d ，由1232318a a a ++=得116818349a d a d +=⇒+=，则1512349a a a d +=+=．5.解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为4的三角形，其面积为6.解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8151718152222r r r ++=⨯⨯(等积法)，解得3r =，故其直径为6(步)． 7.解：通项3121(2)()(1)2r n r r r n r r n rr n n T C x C x x---+=-=-， 依题意得303n r n r -=⇒=．故n 是3的倍数，只有选项C 符合要求． 8.解：①351=n ，则351=k ，0=m ，20000≤=m 成立，3521351=+=k ，02352704m =+⨯=；②7042000m =≤成立，3531352=+=k ，70423531410m =+⨯=；③14102000m =≤成立，3541353=+=k ，141023542118m =+⨯=； ④21182000m =≤不成立，所以输出354=k .故选B ．9.解：本题抓住一个主要结论——函数()f x 的最小正周期为π，则C 点到直线AB 距离的最小值为4π，从而得到ABC ∆面积的最小值为58，故选B ． 10.解：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为1||2AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为121(2)52x x r ++== ，则有128x x +=，故12()r x x +=40． 11.解：由于线段AB 的垂直平分线方程为1y x =+，则函数()y f x =是线段AB 的“和谐函数”()y f x ⇔=与直线1y x =+有公共点()1y f x x ⇔=--函数有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数11x y e-=+的图像上存在点(1,2)P 满足上上述条件，故选D ．12.解：依题意知D 、E 分别是线段AB 上的两个三等分点，则有2133CD CB CA =+u u u r u u u r u u u r ， 1233CE CB CA =+u u u r u u u r u u u r，则22225999a b CD CE CB CA =++⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，而2222a b c CB CA +-=⋅u u u r u u u r ， 则222222225()9918a b CD CE a b c c λ=+++-=⋅u u u r u u u r ，得2221859a b c λ++=， 由C 为钝角知2222221a b a b c c ++<⇒<，又222211()22a b a b c +≥+>⇒22212a b c +>， 则有1185129λ+<<⇒12369λ-<<，故选A ．二、填空题13.解：本题考查线性规划，答案为11．14.解：因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以(1)(2)025f f m <⇒<<．15.解：依题意知，该正方体的内切球半径为1PQ 长度的1．16.解：由已知得2tan 1()b e a c a α==-+，2tan 1()b e ac a β==+-，则22tan()2e e αβ+=-又cos()tan()2αβαβ+=⇒+=-，则有22222ee e =-⇒=-或1e =-（舍）． 三、解答题17.解：(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ，由13a =，339S =得12111=339a a a q a q ⎧⎨++=⎩， 于是2120q q +-=，解得3q =（4q =-不符合题意，舍去）故111333n n nn a a q --==⨯=．(Ⅱ)由(Ⅰ)得3(31)2nn S =-，则331223n n n n S c a ==-⨯，则23311(2233n T n =-++ (1))3n + 111(1)3331333122243413n n n n --=-⨯=+-⨯-． 18.解：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有22233C C =种不同选法； 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有22339C C =种不同选法，则22222333486()35C C C C P A C +==，所以事件A 发生的概率为635. (Ⅱ)随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，4．1353481(1)14C C P C ξ===，2253483(2)7C C P C ξ===， 3153483(3)7C C P C ξ===，4053481(4)14C C P C ξ===． 所以,随机变量ξ的分布列为则随机变量ξ的数学期望12341477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（人）． 19.(Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥ 由2,CE CD DE ===CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥又PC CD C =I ，故DE ⊥平面PCD ．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1,DF FC FE ===又已知1EB =，故 2.FB = 以C 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,3),(0,2,0),(1,1,0),C P E D则有(1,1,0)DE =-u u u r ，(1,1,3)DP =--u u u r．设平面PDE 的法向量为(,,)x y z =m ，则有00300DE x y x y z DP ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨--+=⋅=⎩⎪⎩u u u r u u ur m m ，可取(3,3,2)=m ； 因为AC ⊥平面PCE ，所以平面PCE 的法向量可取(1,0,0)=n ． 则322cos ,22⋅<>==m n m n |m ||n |． 而二面角D PE C --为锐二面角，故其余弦值为32222．20.解：(Ⅰ) 因为直线:10l x my --=经过点2F ，所以1c =，又12AF F ∆是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=所以2221b a c =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． (Ⅱ) 设11(1,)M my y +，22(1,)N my y +，将:10l x my --=与2212x y +=联立消x 得 22(2)210m y my ++-=．12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 点A 在以线段MN 为直径的圆外等价于0AM AN >⋅u u u u r u u u r， ()()()21212112AM AN m y y m y y =++-++⋅u u u u r u u u r()()22212112022m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-+--+> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2230m m ⇒--<，解得13m -<<故实数m 的取值范围是(1,3)-．21. 解：(Ⅰ)()x af x e x'=-， 依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有00e b a ee a b e⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．(Ⅱ)由(Ⅰ)得()ln xf x e e x e =--，()x e f x e x'=-， 由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=， 故函数()f x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞．(Ⅲ) 因为2222221ln ln 2ln 1ln ln x x xx x x x exe e e ++++⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是构造函数1ln (),1xxh x x e +=≥， 1x ∀≥，22ln (ln )x x ex x ke e+≤成立，等价于2max ()k h x ⎡⎤≥⎣⎦， 由(Ⅱ)知当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，即(ln 1)xe e x ≥+对1x ≥恒成立． 即ln 11xx e e+≤（当且仅当1x =时取等号） 所以函数max 1()(1)h x h e==，又1x ≥时，()0h x >， 所以222max1()(1)h x h e ⎡⎤==⎣⎦． …（11分）故k 的取值范围是21[,)e+∞． 22. 解：(Ⅰ)当3πα=时，l的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去t得y =+C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为1)y x =+圆C 的直角坐标方程为224x y +=．(Ⅱ)将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得， 22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-．由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=．故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关) .23. 解：(Ⅰ)3, (1)()4, (12)3, (2)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤， 故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-． (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，min ()(1)3f x f =-=，max ()(2)6f x f =-=． 由|()|22()2f x m m f x m -≤⇒-≤≤+． 所以max 2()m f x +≥且min 2()m f x -≤， 于是26m +≥且23m -≤， 故实数m 的取值范围是[4,5]．黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题1． 解：由2002x x x -<⇒<<，故U A I ð{|B x =1}{|02}(0,1]x x x ≤<<=I ． 2． 解：由212iz i i-+=+得22z i b =-⇒=-． 3． 解：从图表中看出，选项B 明显错误．4． 解：设{}n a 的公差为d ，由1232318a a a ++=得116818349a d a d +=⇒+=，则1512349a a a d +=+=．5． 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为高为4的三角形，其面积为6． 解：由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8151718152222r r r ++=⨯⨯(等积法)，解得3r =，故其直径为6(步)． 7． 解：通项3121(2)()(1)2rn r r r n r r n rr n n T C x C x x---+=-=-， 依题意得303n r n r -=⇒=．故n 是3的倍数，只有选项C 符合要求． 8． 解：①351=n ，则351=k ，0=m ，20000≤=m 成立，3521351=+=k ，02352704m =+⨯=；②7042000m =≤成立，3531352=+=k ，70423531410m =+⨯=； ③14102000m =≤成立，3541353=+=k ，141023542118m =+⨯=； ④21182000m =≤不成立，所以输出354=k .故选B ．9． 解：本题抓住一个主要结论——函数()f x 的最小正周期为π，则C 点到直线AB 距离的最小值为4π，从而得到ABC ∆面积的最小值为58，故选B ． 10． 解：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为1||2AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为121(2)52x x r ++== ，则有128x x +=，故12()r x x +=40． 11． 解：由于线段AB 的垂直平分线方程为1y x =+，则函数()y f x =是线段AB 的“和谐函数”()y f x ⇔=与直线1y x =+有公共点()1y f x x ⇔=--函数有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数11x y e-=+的图像上存在点(1,2)P 满足上上述条件，故选D ．12． 解：依题意知D 、E 分别是线段AB 上的两个三等分点，则有2133CD CB CA =+u u u r u u u r u u u r，1233CE CB CA =+u u u r u u u r u u u r ，则22225999a b CD CE CB CA =++⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，而2222a b c CB CA +-=⋅u u u r u u u r ，则222222225()9918a b CD CE a b c c λ=+++-=⋅u u u r u u u r ，得2221859a b c λ++=，由C 为钝角知2222221a b a b c c ++<⇒<，又222211()22a b a b c +≥+>⇒22212a b c +>，则有1185129λ+<<⇒12369λ-<<，故选A ． 二、填空题1314． 解：因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以(1)(2)025f f m <⇒<<．15． 解：依题意知，该正方体的内切球半径为1PQ 长度1．16． 解：由已知得2tan 1()b e a c a α==-+，2tan 1()b e ac a β==+-，则22tan()2e e αβ+=- 又cos()tan()2αβαβ+=⇒+=-，则有22222ee e =-⇒=-或1e =-（舍）． 三、解答题17． 解：(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ，由13a =，339S =得12111=339a a a q a q ⎧⎨++=⎩， …………………………………………………（2分） 于是2120q q +-=，解得3q =（4q =-不符合题意，舍去） ……………（4分）故111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………（6分）(Ⅱ)由(Ⅰ)得3(31)2nn S =- ， ……（8分）则331223n n n n S c a ==-⨯，则23311(2233n T n =-++ (1))3n + ………（10分） 111(1)3331333122243413n n n n --=-⨯=+-⨯-． …………（12分）18． 解：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有22233C C =种不同选法；当两名高级导游来自乙旅游协会时，有22339C C =种不同选法，则 ……………（2分）22222333486()35C C C C P A C +==，所以事件A发生的概率为635. ……（6分） (Ⅱ)随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，4． ……………………………（7分）1353481(1)14C C P C ξ===，2253483(2)7C C P C ξ===， 3153483(3)7C C P C ξ===，4053481(4)14C C P C ξ===． ………………（11分） 所以,随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3 4p114 37 37 114则随机变量ξ的数学期望512341477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（人）．……（12分） 19． (Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥由2,2CE CD DE ===CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥又PC CD C =I ，故DE ⊥平面PCD ． ……………（6分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1,DF FC FE ===又已知1EB =，故 2.FB =（7分） 以C 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,3),(0,2,0),(1,1,0),C P E D则有(1,1,0)DE =-u u u r ，(1,1,3)DP =--u u u r． 设平面PDE 的法向量为(,,)x y z =m ，则有00300DE x y x y z DP ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨--+=⋅=⎩⎪⎩u u u r u u ur m m ，可取(3,3,2)=m ； 因为AC ⊥平面PCE ，所以平面PCE 的法向量可取(1,0,0)=n ．…………（9分） 则322cos ,22⋅<>==m n m n |m ||n |． …………………………………………（11分） 而二面角D PE C --322………………（12分） 20． 解：(Ⅰ) 因为直线:10l x my --=经过点2F ，所以1c =，又12AF F ∆是等腰直角三角形，所以()222222a a c a +=⇒=所以2221b a c =-=故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ……………………………………………（5分） (Ⅱ) 设11(1,)M my y +，22(1,)N my y +，将:10l x my --=与2212x y +=联立消x 得 22(2)210m y my ++-=．12122221,22m y y y y m m +=-=-++ ………（8分） 点A 在以线段MN 为直径的圆外等价于0AM AN >⋅u u u u r u u u r， ()()()21212112AM AN m y y m y y =++-++⋅u u u u r u u u r()()22212112022m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-+--+> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2230m m ⇒--<，解得13m -<<故实数m 的取值范围是(1,3)-．…（12分）21. 解：(Ⅰ)()x af x e x'=-， …………………………………………………（1分） 依题意得(1)0f =，(1)0f '=，则有 ………………………………（2分）00e b a ee a b e ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． …………………………………………………（4分） (Ⅱ)由(Ⅰ)得()ln xf x e e x e =--，()x ef x e x'=-， 由于()f x '在区间(0,)+∞上为增函数，且(1)0f '=，则当01x <<时，()(1)0f x f '<'=；当1x >时，()(1)0f x f '>'=，故函数()f x 的减区间是(0,1)，增区间是(1,)+∞．……………………………（8分）(Ⅲ) 因为2222221ln ln 2ln 1ln ln x x xx x x x exe e e ++++⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是构造函数1ln (),1xxh x x e+=≥， 1x ∀≥，22ln (ln )xx ex x ke e+≤成立，等价于2max ()k h x ⎡⎤≥⎣⎦………………（9分） 由(Ⅱ)知当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=，即(ln 1)xe e x ≥+对1x ≥恒成立． 即ln 11x x e e+≤（当且仅当1x =时取等号） 所以函数max 1()(1)h x h e==，又1x ≥时，()0h x >， 所以222max1()(1)h x h e ⎡⎤==⎣⎦． …（11分）故k 的取值范围是21[,)e +∞． …（12分）22. 解：(Ⅰ)当3πα=时，l的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去t得y =+C 极坐标方程为2ρ=，得224x y +=．故直线l的普通方程为1)y x =+圆C 的直角坐标方程为224x y +=． ……（5分） (Ⅱ)将1cos sinx t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y +=得， 22cos 30t t α--=．设其两根分别为12,t t ，则123t t =-．由t 的几何意义知||||PA PB ⋅12||||3t t =⋅=．故||||PA PB ⋅为定值3(与α无关)（10分）23. 解：(Ⅰ)3, (1)()4, (12)3, (2)x x f x x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，由()6f x ≤解得22x -≤≤，故不等式()6f x ≤的解集为[2,2]-． ……………………………………………（5分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：()f x 在区间[2,1]--为减函数，在区间[1,1]-上为增函数，而(2)6(1)5f f -=>=，故在区间[2,1]-上，min ()(1)3f x f =-=，max ()(2)6f x f =-=． 由|()|22()2f x m m f x m -≤⇒-≤≤+． 所以max 2()m f x +≥且min 2()m f x -≤， 于是26m +≥且23m -≤，故实数m 的取值范围是[4,5]． …………………………………………………（10分）。
(全优试卷)贵州省黔东南州高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A2.）A．0 B．2 C．-2 D．-13.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（）A．旅游总人数逐年增加B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C．年份数与旅游总人数成正相关D．从2014年起旅游总人数增长加快4.）A．9 B．8 C．6 D．35.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（）A6.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A．3步 B．6步 C．4步 D．8步7.）A．2017 B．2018 C．2019 D．20208.）A．355 B．354 C．353 D．3529.）A10.25，则）A．40 B．30 C．25 D．2011.“和谐函数”.下面四个函数中，“和谐函数”的是（）AC12.）A第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.的最大值是．14.取值范围是 ．15.2小值是 ．16.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人参加比赛.4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”.4.19..20.动直线.值范围.21..请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程参数）.选择相同的单位长度建立极坐标系，.23.选修4-5：不等式选讲.黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CCBAD 6-10: BCBBA 11、12：DA1.{|B x ={|0x x <2.．3.4.5.解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为46.17，设其内切圆半径等积法)步)．7.8.9.10.解：由抛物线的性质知，准距离依题意得，11.12.18二、填空题13.14.15.16.．三、解答题17.解：(Ⅰ)(Ⅱ)由(Ⅰ)18.解：(Ⅰ)(Ⅱ)1，2，3，4．所以,．19.(Ⅰ)CD C=(Ⅱ) 由(Ⅰ)AC⊥平面20.解：(Ⅰ) 因为直线:l x my-又12AF F∆是等腰直角三角形，所以(Ⅱ)21. 解：(Ⅰ(Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅲ)由(Ⅱ)…（1122.，) .23. 解：(Ⅰ(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题1． {|B x ={|0x x <2． ．3．4．5． 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为46． 17，设其内切圆半等积法)步)．7．8．9．10．解：由抛物线的性质知，准距离依题意得又准距离，则有11．解：“和谐数的导函数的性质，经检验知，12．解22a b+=，由222a b c+<⇒有二、填空题13．解14．解15．解16．解．三、解答题17．解：(Ⅰ)…………………………………………………（2分）……………（4分）…………………………………………………（6分） (Ⅱ)由(Ⅰ)，……（8………（10分）…………（12分） 18． 解：(Ⅰ)……………（2分）……（6分）(Ⅱ)1，2，3，4． ……………………………（7分）………………（11分）所以,．……（12分） 19． (Ⅰ)CD C=……………（6分）(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，7分）如图建立空间直角坐标系，因为AC⊥平面9分）…………………………………………（11分）………………（12分）20．解：(Ⅰ)……………………………………………（5分）(Ⅱ)………（8分）12分）21. 解：(Ⅰ…………………………………………………（1分）………………………………（2分）…………………………………………………（4分）(Ⅱ)由(Ⅰ)8分）(Ⅲ)9分）由(Ⅱ)…（11…（12分）22.……（5分）)（10分）23. 解：(Ⅰ……………………………………………（5分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：…………………………………………………（10分）。
贵州省黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学(含解析)
故 an a1qn1 3 3n1 3n ． (Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n 则 Tn
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6 分） „„（8 分）则 cn
a 2 b2 1 c2
，
又
1 1 a 2 b 2 (a b) 2c 2 2
2 2 a 1 2 b 2 c 2
，
则
有
18
9
5 1 2 1 ，故选 A ． 36 9
11
(2,5)
3 1
2
13． 解：本题考查线性规划，答案为 11 ． 14． 解：因为 f ( x ) 在 0, 上单调递增，所以 f (1) f (2) 0 2 m 5 ． 15． 解：依题意知，该正方体的内切球半径为 1 ，外接球的半径为 3 ，且这两个球同心，则线段 PQ 长度 的最小值是 3 1 ． 16． 解：由已知得 tan
8r 15r 17 r 1 8 15 (等积法)，解得 r 3 ，故其直径为 6 (步)． 2 2 2 2 1 r r nr r n r r n 3r 7． 解：通项 Tr 1 Cn (2 x) ( 2 ) ( 1) 2 Cn x ， x 依题意得 n 3r 0 n 3r ．故 n 是 3 的倍数，只有选项 C 符合要求． 8． 解：① n 351 ，则 k 351 ， m 0 ，
黔东南州 2018 届高三第一次模拟考试 理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
C
B
A
D
B
C
B
B
A
D
A
1． 解：由 x 2 2 x 0 0 x 2 ，故 ð U A B {x | x 1} {x | 0 x 2} (0,1] ．
2018届贵州省黔东南州高三第一次模拟考试(套题)数学(理)试题(解析版)
黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，故，故选C．2. 对于复数，若，则（）A. 0B. 2C. -2D. -1【答案】C【解析】由得，解得，故选C．3. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（）A. 旅游总人数逐年增加B. 2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C. 年份数与旅游总人数成正相关D. 从2014年起旅游总人数增长加快【答案】B【解析】从图表中看出，旅游的总人数逐年增加时正确的；年份数与旅游总人数成正相关，是正确的；从2014年起旅游总人数增长加快是正确的；其中选项明显错误，故选B．4. 在等差数列中，若，则（）A. 9B. 8C. 6D. 3【答案】A【解析】设的公差为，由得，所以，则，故选A．5. 某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正视图知，该正三棱锥的底边长为，高为，则侧视图是一个底边长为，高为的三角形，其面积为，故选D．6. 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A. 3步B. 6步C. 4步D. 8步【答案】B【解析】由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为，设其内切圆半径为，则有 (等积法)，解得，故其直径为 (步)，故选B．7. 在展开式中存在常数项，则正整数可以是（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】C【解析】由通项，依题意得，解得，故是的倍数，只有选项符合要求，故选C．8. 执行如图的程序框图，当输入的时，输出的（）A. 355B. 354C. 353D. 352【答案】B【解析】由题意，①，则，，成立，，；②成立，，；③成立，，；④不成立，所以输出，故选．9. 给出函数，点，是其一条对称轴上距离为的两点，函数的图象关于点对称，则的面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由是其一条对称轴上距离的零点，所以函数的最小正周期为，则点到直线距离的最小值为，从而得到面积的最小值为，故选B．10. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为.点到的准线的距离与之积为25，则（）A. 40B. 30C. 25D. 20【答案】A【解析】由抛物线的性质知，点到的准线的距离为，依题意得，又点到的准线的距离为，... ... ... ... ... ...则有，故，故选A．11. 已知、，如果函数的图象上存在点，使，则称是线段的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段的“和谐函数”的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”则与直线有公共点，即函数有零点．利用导函数的性质，经检验知，只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选D．点睛：本题主要考查了函数的新定理的理解与应用问题，其中解答中正确理解函数的新定义，把线段的“和谐函数”，转化为函数与直线有公共点，得到函数有零点是解答点关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题．12. 在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意知分别是线段上的两个三等分点，则有，，则，而，则，得，由为钝角知，又，则有，故选．点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和三角形中正、余弦定理的应用，对于平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若实数，满足，则的最大值是__________．【答案】11【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，把目标函数化为，由，解得，当目标函数经过点时，取得最大值，此时最大值为．14. 已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】因为在上单调递增，因为函数的零点在区间内，所以，即，解得，所以实数的取值范围是．15. 已知、分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段长度的最小值是________．【答案】【解析】依题意知，该正方体的内切球半径为，外接球的半径为，且这两个球同心，则线段长度的最小值是．点睛：本题考查了空间几何体的结构特征以及组合体的结构问题，着重考查了空间想象能力和转化与化归思想的应用，对于多面体的外接球问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.16. 已知点是双曲线：右支上一点，的左、右顶点分别为、，的右焦点为，记，，当，且时，双曲线的离心率__________．【答案】【解析】由已知得，，则又，则有或（舍）．点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程式解得关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 各项均为正数的等比数列的前项和为.已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(Ⅰ)设的公比为，由，，解得，即可求解数列的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，可得，利用等比数列的求和公式，即可求解数列的前项和．试题解析：(Ⅰ)设的公比为，由，得，于是，解得（不符合题意，舍去）故．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，则，则…．18. 为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率.（Ⅱ）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法，当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解事件发生的概率；(Ⅱ)由题意，得随机变量的所有可能取值为，求得随便取每个值的概率，列出分布列，利用公式求解随机变量的期望．试题解析：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则，所以事件发生的概率为.(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4．，，，．所以,随机变量的分布列为则随机变量的数学期望（人）．19. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，、分别为线段、上的点，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由平面，证得，再由为等腰直角三角形，得到，即可利用线面垂直的判定定理，证得平面．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，又平面的法向量可取，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值．试题解析：(Ⅰ)证明：由平面，平面，故由，得为等腰直角三角形，故又，故平面．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，过作垂直于，易知又已知，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则则有，．设平面的法向量为，则有，可取；因为平面，所以平面的法向量可取．则．而二面角为锐二面角，故其余弦值为．20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为.动直线：经过点，且是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交于、两点，若点在以线段为直径的圆外，求实数的取值范围.【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）实数的取值范围是.【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意德，在等腰直角和关系式，求得的值，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ) 设，，联立方程组，求得，又点在以线段为直径的圆外等价于，列出关于的不等式，求得实数的范围．试题解析：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，又是等腰直角三角形，所以所以故椭圆的标准方程为．(Ⅱ) 设，，将与联立消得．，点在以线段为直径的圆外等价于，，解得故实数的取值范围是．点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21. 函数在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ），成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）函数的减区间是，增区间是；（3）的取值范围是．. 【解析】试题分析：(Ⅰ)求得，分别令，，即可求得的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)得和，由于在区间上为增函数，且，进而得到函数的单调区间；(Ⅲ)构造函数，由成立，等价于，再由(Ⅱ)知当时，，即（当且仅当时取等号），即可求解实数的取值范围．试题解析：(Ⅰ)，依题意得，，则有．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，由于在区间上为增函数，且，则当时，；当时，，故函数的减区间是，增区间是．(Ⅲ) 因为，于是构造函数，，成立，等价于，由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．即（当且仅当时取等号）所以函数，又时，，所以．故的取值范围是．点睛：本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)考查数形结合思想的应用．22. 在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（Ⅱ）直线与圆的交点为、，证明：是与无关的定值.【答案】（1）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；（2）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)当时，消去得到直线的普通方程，由圆极坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到原的直角坐标方程．(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的方程，，得，由的几何意义可求得的值．试题解析：(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数），消去得．由圆极坐标方程为，得．故直线的普通方程为圆的直角坐标方程为．(Ⅱ)将代入得，．设其两根分别为，则．由的几何意义知．故为定值(与无关) .23. 设.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ），，求实数的取值范围.【答案】（1）解集为；（2）实数的取值范围是.【解析】试题分析：(Ⅰ)去掉绝对值，得到分段函数，由，即可取得不等式的解集；(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质，求得区间上，的值，进而求得实数的取值范围．试题解析：(Ⅰ)，由解得，故不等式的解集为．(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：在区间为减函数，在区间上为增函数，而，故在区间上，，．由．所以且，于是且，故实数的取值范围是．。
2018届 高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。
贵州省黔东南州2018届高三数学上学期第一次联考试题文
黔东南州2017-2018学年高三第一次联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,0,2,4,2,1,0,1A B =-=--，则A B =I （ ） A ． {}1,0,2- B ．{}1,0,1- C ．{}1,0- D ．{}2,0-2.若()10z i i ++=（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ． 1122i -+ B ．1122i -- C ．1122i + D ．1122i - 3.如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，则第三小组的频率为（ ）A ．0.125B ． 0.25C ．0.375D ． 0.54. 若向量()()3,2,8,6a b =-=r r ，则a b =r rg （ ）A ．-36B ．36 C. 12 D ．-125.已知等差数列的前3项依次为,2,3a a a +，前n 项和为n S ，且110k S =，则k 的值为（ ） A ． 9 B ． 11 C. 10 D ．126. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm ），且该三棱锥的外接球的表面积为250cm π，则该三棱锥的体积为（ ）A ． 5B ． 10 C. 15 D ．307. 已知直线:l y x a =+将圆224x y +=所分成的两段圆弧的长度之比为1：2，则实数a =（ ）A ． C. ．± 8. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ． 2B ． -1 C. 1 D ．09.已知等比数列{}n a 的前n 项和为1126n n S a -=+g ，则a 的值为 ( ) A ．13 B ．12 C. 13- D ．12-10. 在ABC ∆中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=（如下图），若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）A ．92π B ．72π C. 52π D ．32π 11.函数()()1cos 0f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ ） A ．B ．C. D ．12. 已知函数()ln a f x x x =-，若函数()f x 在[]1,e 上的最小值为32，则a 的值为（ ） A ．． 2e - C. 32- D ．12e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 已知函数()()2log ,82,8xx x f x f x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()1f = ． 14.已知实数,x y 满足0290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最小值是 ． 15. 定长为4的线段MN 两端点在抛物线2y x =上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为 ．16.若函数()2xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且11sin sin sin 22A B C ==． （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆的周长为5，求ABC ∆的面积．18.经研究，城市公交车的数量太多容易造成资源浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司从某站占的40名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：min ）作为样本分成5组如下表：（1）估计这40名乘客中侯车时间不少于20分钟的人数；（2）若从上表侯车时间不少于10分钟的7人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人侯车时间都不少于20分钟的概率．19. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面A B C 是直角梯形，1,//,2A B B C A D B CA B B C A D ⊥==，PAD ∆是正三角形，E 是PD 的中点． （1）求证：AD PC ⊥；（2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由．20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，椭圆C 的左焦点为A ，右焦点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，且4AP BP +=，直线,AP BP 与直线3y =分别交于,G H 两点．（1）求椭圆C 的方程及线段GH 的长度的最小值；（2）T 是椭圆C 上一点，当线段GH 的长度取得最小值时，求TPA ∆的面积的最大值．21. 设函数()()()ln 10,0f x a x b x x ab =+->≠． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若2b a =-，求函数()f x 的最值．22. 以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．已知点P的参数方程为1x ty =⎧⎪⎨=-⎪⎩（1,2t t ≤≤为参数），点Q 在曲线:2sin C ρθ=上．（1）求在平面直角坐标系xOy 中点P 的轨迹方程和曲线C 的普通方程； （2）求PQ 的最大值．试卷答案一、选择题1-5: CBCDC 6-10:BCCCD 11、12：DA 二、填空题13. 4 14. 0 15. 7416. (),2ln 22-∞- 三、解答题17.解：（1）由11sin sin sin 22A B C ==及正弦定理，得1122a b c ==， 又由余弦定理，得()()222222227cos 22228a a abc a A bc a a +-+-===g g ，故sin 8A ==．（2）若ABC ∆的周长为5，又1122a b c ==，所以1,2a b c ===．故ABC ∆的面积为11sin 2222S bc A ==⨯⨯=． 18.解：（1）侯车时间不少于20分钟的概率为31155=， 所以估计侯车时间不少于20分钟的人数为14085⨯=．（2）将侯车时间在范围[)10,20的4名乘客编号为1234,,,a a a a ；侯车时间在范围[]20,60的3名乘车编号为123,,b b b ．从7人中任选两人包含以下21个基本事件：()()()()()()()()()()()()121314111213232421222334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a ，，()()()()()()()()()313233414243121323,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b b b b b b b ，其中抽到的两人侯车时间都不少于20分钟包含以下3个基本事件：()()()121323,,,,,b b b b b b ，故所求概率为31217P ==． 19.（1）取AD 的中点为M ，连接,PM CM ， 由于PAD ∆是正三角形，所以PM AD ⊥， 又易知四边形ABCM 是平行四边形，所以//,AB CM AB AD ⊥，所以MC AD ⊥，PC ⊂平面,PCM PM ⊂平面PCM ，又MC PM M =I ，故AD ⊥平面PCM ， 又PC ⊂平面PCM ，故AD PC ⊥.（2）解：CE 平行于平面PAB ，理由如下：取PA 的中点为F ，连接,EF BF ． 可知1//,2EF AD EF AD =， 又1//,2BC AD BC AD =， 所以四边形BCEF 为平行四边形，故//CE BF . 又BF ⊂平面,PAB CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB .20.解：（1）由4AP BP +=，得24a =，所以2a =，又椭圆过点1,2⎛⎝⎭， 所以213144b+=，解得1b =， 故椭圆C 的方程为2214x y +=， 设点()00,P x y ，则由GPH APB ∆∆:，得3GH y ABy -=，03y y -=，则031GH y ⎫=-⎪⎭，由001y <≤，得031y ⎫-≥⎪⎭所以线段GH的长度取得最小值（2）由（1）可知，当GH 的长度取得最小值时，01y =，将点()00,x y 代入2214x y +=，得00x =，故此时点()0,1P ， 则直线AP的方程为13y x =+，此时2AP =， 当平行于AP 的直线l 与椭圆下方相切时，TPA ∆的面积取最大值，设直线:l y x m =+，则由22314y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22712120x m ++-=，则()()224712120m ∆=-⨯-=，所以3m =-，或3m =（舍去）． 由平行线间的距离公式，得此时点T 到直线AP 的距离d ==. 故()max 11222TPA S AP d ∆==⨯=， 即TPA ∆. 21.解：（1）()()0a f x b x x '=+>，令()0af x b x'=+>，得()0x bx a +>， ①若0,0b a >>，则()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增； ②若0,0b a ><，则由()0f x '>，得a x b >-；由()0f x '<，得0ax b<<-， 所以函数()f x 在,a b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；③若0,0b a <>，则由()0f x '>，得0a x b <<-；由()0f x '<，得a x b>-， 所以函数()f x 在0,a b ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在,a b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；④若0,0b a <<，则()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递减. （2）若2b a =-，①当0a >时，0b <，由（1）得，函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，故0a >时，函数()f x 有最大值111ln 2ln 2222f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，无最小值；②当0a <时，0b >，由（1）得，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故0a <时，函数()f x 有最小值1ln 22f a a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，无最大值. 22.解：（1）由1x ty =⎧⎪⎨=-⎪⎩消去参数t，得1y =-，1t ≤≤1x ≤≤， 故点P101y x ⎫--=≤≤⎪⎪⎝⎭，∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，∴222x y y +=，即()2211x y +-=， 故曲线C 的普通方程为()2211x y +-=.（2）如图：由题意可得，点P101y x ⎫--=≤≤⎪⎪⎝⎭上，点Q 在圆()2211x y +-=上， ∵圆()2211x y +-=的圆心()0,1C10y --=的距离()11112d ⨯--==，10y --=与圆()2211x y +-=相切，且切点为12M ⎫⎪⎪⎝⎭，101y x ⎫--=≤≤⎪⎪⎝⎭上存在一点()1P ，则点()1P 与圆心C 的连线PC ，与圆的交点Q 满足PQ 取最大值.即当点P坐标为()1时，PQ 取最大值.∵maxPC==∴PQ的最大值为max 1PC r+=.。
贵州省黔东南州高三数学上学期第一次联考试题理(扫描版)(2021学年)
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贵州省黔东南州2018届高三上学期第一次联考数学(理)试卷 (word版含答案)
黔东南州2017-2018学年高三第一次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合.故选A.2. 设是虚数单位,复数，则复数的模为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】复数.复数的模为：.故选D.3. 近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在岁的有2500人，年龄在岁的有1200人，则的值为（）A. 0.013B. 0.13C. 0.012D. 0.12【答案】C【解析】由题意，得年龄在范围岁的频率为，则赞成高校招生改革的市民有，因为年龄在范围岁的有1200人，则......................故选C.4. 若，且是第二象限角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：已知由二倍角公式化简可得：，因为，且是第二象限角，所以可得，代入上式化简即可得D考点：1．二倍角公式；2．同角三角函数基本关系式5. 已知向量，，且，则向量的坐标为（）A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】设，则，解得或，故向量的坐标为或.故选C.6. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：），且该三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（）A. 5B. 10C. 15D. 30【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的底面三角形两直角边长分别为3，5，设该三棱锥的高为H，将该三棱锥补成长方体可知，该三棱锥的外接球的直径为，该三棱锥的外接球的表面积为，解得，所以该三棱锥的体积为，故选B.7. 已知实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示.由，得，平移直线，当经过点，时，代入的取值为，所以，故选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8. 下列程序框图输出的的值为（）A. 5B. 0C. -5D. 10【答案】A【解析】该题的算法功能是求数列的前10项和，由于数列的周期为2，且每一个周期内的两项之和为0，故数列的前10项和为0，数列从第一项开始，每两项之和，所以前10项之和为5，故数列的前10项和为0+5=5，故选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】，定义域为，所以函数是偶函数，图象应关于轴对称，当时，，故选A.【点睛】已知函数解析式求函数图像和已知图像求函数解析式也是高考考查的热点，本题是知道解析式求函数图像，需注意几个问题，（1）注意函数的定义域，从而判断函数图像的位置，（2）从函数的单调性，判断函数图像的变化或趋势，（3）判断函数是否具有奇偶性，判断函数图像的对称性，（4）从特殊点出发，排除选项，（5）或时函数图像的变化趋势等来判断图像.10. 在中，若，则圆与直线的位置关系是（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定【答案】A【解析】因为，所以.故圆心到直线的距离，故圆与直线相切，故选A.11. 把离心率的曲线称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，则圆与黄金双曲线（）A. 无交点B. 有1个交点C. 有2个交点D. 有4个交点【答案】D【解析】由题意知，所以，因为，所以，所以，所以圆与黄金双曲线的左右两支各有2个交点，即圆与黄金双曲线由4个交点，故选D.12. 已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象如下：方程有两个不相等的实数根等价于函数与的图象有两个不同的交点，有图可知，.故选C.点睛：方程的根或函数有零点求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于__________．【答案】-9【解析】..函数求导得：.令.得，解得：.所以，..答案为-9.14. 在中，角所对的边分别是，若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为，则满足条件的三角形恰有两解的概率是__________．【答案】【解析】根据题意，a、b的情况均有6种，则将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数的情况有6×6=36种；在△ABC中,由正弦定理可得，则b=2a sin B，若△ABC有两个解,必有B≠90°，则有b<2a，若b<a，则C为钝角，只有一解，故有a<b<2a，符合此条件的情况有：b=3，a=2；b=4，a=3；b=5，a=3；b=5，a=4；b=6，a=4；b=6，a=5；共6种；则△ABC有两个解的概率为，答案为:.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.15. 已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是__________．【答案】【解析】试题分析：因为圆的方程可化为，圆心，半径为，依题作出草图，可知,所以四边形面积的最小值就是的最小值,而,本题要求出最小的的值,即为圆心到直线的最短距离,所以，即四边形面积的最小值是.考点：1.点到直线的距离；2.切线的性质；3.转换的思想.16. 定长为4的线段两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为__________．【答案】【解析】设，抛物线的交点为F，抛物线的准线，所求的距离，（两边之和大于第三边且M,N,F三点共线时取等号），所以.答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足：．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用累乘法求数列通项即可；（2）利用乘公比错位相减即可求和.试题解析：（1），以上式子相乘得，代入，得，又符合上式，故数列的通项公式为．（2），，两式相减，得．点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，与此同时，相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品好评率为，对服务好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．注：1.注2.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（2）采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，利用枚举法得到从5次交易中，取出2次的所有取法，查出其中只有一次好评的情况数，然后利用古典概型概率计算公式求得只有一次好评的概率．试题解析：（1）由题意可得关于商品评价和服务评价的列联表：所以，所以可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为，不满意的交易为.从5次交易中，取出2次的所有取法．共计10种情况．其中只有一次好评的情况是，共计6种情况．因此，只有一次好评的概率为．19. 如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形，为正三角形，且分别为的中点，平面，平面．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）证明：AD⊥平面PEB，利用四边形ABCD为菱形，可得AD∥BC，即可证明BC⊥平面PEB；（2）以E为原点，建立坐标系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求EF 与平面PDC所成角的正弦值．试题解析：（1）证明：因为平面，平面，所以，又平面平面，所以平面，由四边形菱形，得，所以平面．（2）解：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形的边长为2，则，，则点，，设平面的法向量为，则由，解得，不妨令，得；又，所以与平面所成角的正弦值为．20. 已知分别是椭圆的左、右焦点．（1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中，为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为，与方程联立，得到根与系数的关系，和，以及，根据向量的数量积可知，为锐角，即，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围.试题解析：（1）易知.，设，则，又.联立，解得，故.（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，设，联立由，得.①又为锐角，又.②综①②可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.21. 已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若在上为单调函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）函数求导，求得函数的单调区间，利用函数的单调性即可求最值；（2）在上为单调函数，转为当时，或恒成立，即或对恒成立，令，求导求值即可.试题解析：（1）当时，，∴.令，得或（舍）.极小值又当时，，∴当时，函数的最小值为.（2）∵，∴，又在上为单调函数，∴当时，或恒成立，也就是或对恒成立，即或对恒成立.令，则.∴当时，.∴在上单调递减，又当时，；当时，，∴，故在上为单调函数时，实数的取值范围为.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．圆的极坐标方程哦，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点．（1）求圆心的极坐标；（2）求点到直线距离的最大值．【答案】（1）圆心的极坐标为；（2）.【解析】试题分析：（1）将圆：化为普通方程，得到其圆心，根据极坐标的定义可得其极坐标为；（2）把直线化为普通方程，因为直线与圆相交，根据其意义可得圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径．试题解析：（1）由，得，得，故圆的普通方程为，所以圆心坐标为，圆心的极坐标为．（2）直线的参数方程为为参数）化为普通方程是，即直线的普通方程为，因为圆心到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值．考点：（1）极坐标方程化为普通方程；（2）参数方程化为普通方程；（3）点到直线的距离公式．。
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已知集合，则
B. C. D.
.
复数，则复数的模为（
B. C. D.
【答案】
的模为：.
人，年龄在人，则的值为（
【解析】由题意，得年龄在范围，则赞成高校招生改革的市民有
因为年龄在范围
故选C.
，且是第二象限角，则
B. C. D.
【答案】
，因是第二象限角，所以可得，代入上式化简即可得D
考点：1．二倍角公式；．同角三角函数基本关系式
已知向量，，且，则向量
B.
或 D. 或
【答案】C
【解析】设，解得或
的坐标为或.
锥补成长方体可知，该三棱锥的外接球的直径为
的表面积为解得所以该三棱锥的体积为
已知实数满足，则
B. C. D.
【答案】A
【解析】
，得，平移直线，当经过点，时，代入
，故选A.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想
该题的算法功能是求数列由于数列的周期为
0，故数列的前数列从第一项开始，
，故数列的前
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选的图象大致为
B.
D.
【解析】，定义域为
时，
或
中，若，则圆与直线的位置
，所以
到直线的距离，故圆与直线
把离心率的曲线
轴长为半径画圆，则圆与黄金双曲线（）
【解析】由题意知，所以，因为，所以所以，所以圆与黄金双曲线的左右两支各有2个交点，即圆与黄金双曲线由4个交点，故选D.
已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数
B.
D.
【答案】C
【解析】作出函数
有两个不相等的实数根等价于函数与的图象有两个不同的交点，有图可知，故选C.
已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于【解析】
函数求导得：.令.
，解得：
，.
中，角所对的边分别是
点数分别为，则满足条件的三角形恰有两解的概率是
【答案】
【解析】根据题意，
由正弦定理可得
≠90°，则有b<2a，
有两个解的概率为，
.
已知是直线上的动点，是圆的切线，
是圆心，那么四边形
【答案】
可化为，圆心，,所以四边形
小值就是的值即为圆心到直线的最短距离,所以，即四边形
的最小值是
的线段两端点在抛物线上移动，为线段的中点，则点到
【答案】
【解析】设，抛物线的交点为，抛物线的准线
M,N,F三点共线时取等号）以.
答案为：.
三、解答题
已知数列满足：．
）求数列的通项公式；
）求数列的前项和
）
【解析】试题分析：（1）利用累乘法求数列通项即可；
以上式子相乘得，
，得，
符合上式，故数列的通项公式为
，
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
次成功交易，并对其评价进行统计，对商品好评率为）是否可以在犯错误率不超过
.
）由已知列出关于商品和服务评价的
列联表：
，
所以可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
，不满意的交易为
次的所有取法
因此，只有一次好评的概率为
中，四边形为菱形，为正三角形，且分别为平面平面．
）求证：平面；
与平面所成角的正弦值．
.
）证明：
平面平面，
，
平面平面，所以，由四边形菱形，得
平面．
为原点，分别为
不妨设菱形，则
，
的法向量为，
，解得，
不妨令，得；
与平面所成角的正弦值为．已知分别是椭圆的左、右焦点．
是第一象限内该椭圆上的一点，，求点
的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中，线的斜率
；.
【解析】试题分析：（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点
另一个是将 ,
的直线为，与方程联立，得到根与系数的关系，
为锐角，即
，共同求出的取值范围
）易知
，又
，解得，故.
）显然不满足题设条件，可设的方程为
由
，得.①
为锐角，
.②
综①②可知的取值范围是
【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等
,
.
已知函数．
时，求的最小值；
在的取值范围．
.
）函数求导，求得函数的单调区间，利用函数的单调性即可求最值；
在时，或恒成立，即
恒成立，令
试题解析：
时，，∴
，得或（舍）.
时，，
时，函数的最小值为.
，∴，又上为单调函数，∴当或恒成立，
或对
对
.∴当时，.∴在
；当时，
在上为单调函数时，实数的取值范围为
点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．圆的，直线的参数方程为（为参数）两点，的任意一点．
）求点
）圆心的极坐标为）
）将圆化为普通方程，得到其圆心，根据极坐标的定义可得其极坐标为）把直线
，故圆
，圆心的极坐标为．
）直线的参数方程为为参数）化为普通方程是，即直线的普通方程为因为圆心到直线的距离，所以点的距离的最大值
）极坐标方程化为普通方程；（2）参数方程化为普通方程；。