高二数学-09暑假1481

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高二数学暑假作业最新的高二数学暑假作业试卷练习题

高二数学暑期作业最新的高二数学暑期作业试卷练习题第Ⅰ卷 (选择题：共60 分 )一、选择题 ( 共 12 小题，每题 5 分，每题四个选项中只有一项切合要求。

)1.的值为A. B. C. D.2.已知会合,则 =A. B. C. D.3.若，此中 a、b∈ R， i 是虚数单位，则A. B. C. D.4.命题 r：假如则且.若命题r的否命题为p，命题 r 的否定为 q，则A.P 真 q 假B. P 假 q 真C. p， q 都真D. p,q 都假5.扔掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A ，“骰子向上的点数是3”为事件 B，则事件A,B 中起码有一件发生的概率是A. B. C. D.6.设，，， (e 是自然对数的底数)，则A.B.C.D.7.将名学生疏别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方起码安排一名学生参加，则不一样的安排方案共有A.36 种B.24 种C.18 种D.12 种8. 一个袋子里装有大小同样的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时拿出 2 个，则此中含红球个数的数学希望是A. B. C. D.9.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为A. B. C. D.10.已知样本 9，10，11，x,y 的均匀数是10，标准差是，则的值为A.100B.98C.96D.9411.现有四个函数：① ;② ;③ ;④的图象 (部分 )以下：则依据从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是A. ①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①12.若函数在R上可导，且知足，则ABCD第 II 卷 (非选择题，共90 分 )二、填空题 (每题 5 分)13.已知偶函数的定义域为R,知足，若时，，则14.设 a= 则二项式的常数项是15.下边给出的命题中：①已知则与的关系是②已知听从正态散布，且，则③将函数的图象向右平移个单位，获得函数的图象。

此中是真命题的有_____________ 。

2020年新版新高二暑期衔接数学讲义(含答案)

新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。

此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。

(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。

8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。

如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。

参考高二数学暑假作业答案

参考高二数学暑假作业答案自己整理的参考高二数学暑假作业答案相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！[一]1?1变化率和导数1.1.1变化率1 . D2 . D3 . C4-3t-65 .x 26.3？317.(1)0?1(2)0?21(3)2?18.11m/s，10？1m/s 9.25 3t 10.128 a 64 a2 t 11 . f(x)-f(0)x=1x(x0)，-1-x(x0)1?1?2导数的概念1 . D2 . C3 . C4-15 . x0，x；x06.67.a=18.a=2 9.-410.(1)2t-6(2)初速度为v0=-6，初位置为x0=1(3)运动开始3秒，在原点向左变化8m (4)x=1，v=611.水面上升速度为0？16m/min，表明 v= h75 15 h ( h) 23，那么 v t= h t 75 15 h ( h) 23，即limt0vt=limt0ht75 15h(h)23=limt0ht25，那就是v’(t)=25h’(t)，那么h’(t)=1254=0？16(米/分钟)1?1?三阶导数的几何意义(一)1.C2切线的斜率。

B3。

B4。

f (x)在x0，y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)5.36.1357.割线的斜率是3？31，正切的斜率为38.k=-1，x y 2=09.2x-y 4=010.k=14，切点坐标为12，1211.有两个交点，交点的坐标是(1，1)，(-2，-8)1?1?3阶导数的几何意义(2)1.C2 a3 . B4 . y=x15。

16.37.y=4x-18.1039.1910.a=3，b=-11，c=9。

提示：首先找出a、b、c之间的关系，即c=3 2a。

B=-3a-2，然后求点(2，-1)处的斜率，得到k=a-2=1，即a=3 11.(1)y=-13x-229(2)125121?导数2的计算1?2?1几种常用函数的导数1.C2。

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祝大家暑假愉快!【快乐暑假】2019年高二数学暑假作业答案一.填空题1.A.2.3.3.(1)(4)..5.212cm?4.(1)(2)..6.(2)(4).7.300..8.90°.9.①与③.10.④.11.?30.12.2：1.13.3.14.若②③④则①.二.解答题15. S=60?+4?2;V=52?-38?=3148?16.证明：作PO??，,PEABPFAC??，垂足分别为,,OEF，连结,,OEOFOA，∵,PEABPFACPAEPAFRtPAERtPAFAEAFPAPA?????????????? ???，POABPOAB??????????，又∵ABPE?，&there4;AB?平面PEO，&there4;ABOE?.同理ACOF?.在RtAOE?和RtAOF?，,AEAFOAOA??，&there4;RtAOE??RtAOF?，&there4;EAOFAO???，即点P在平面?上的射影在BAC?的平分线上.17.证明：(1)因为E,F分别是11AB,AC的中点，所以EF//BC，又EF?面ABC，BC?面ABC，所以EF∥ABC平面;(2)因为直三棱柱111ABCABC?，所以1111BBABC?面，11BBAD?，又11ADBC?，所以111ADBCC?面B，又11ADAFD?面，所以111AFDBBCC?平面平面.18.证明：(1)连结11AC，设11111ACBDO??连结1AO，?1111ABCDABCD?是正方体11AACC?是平行四边形11ACAC??且11ACAC?，又1,OO分别是11,ACAC的中点，11OCAO??且11OCAO?11AOCO?是平行四边形.111,COAOAO???面11ABD，1CO?面11ABD?1CO?面11ABD.(2)证明：////''''''ABDCDCABCDABDCDC? ?????是平行四边形'//'''''''BCADBCABD ADABD????????平面平面'//'''//'''''BC ABDCDABDBCCDC????????平面同理，平面?平面'//CDB平面''ABD.19.(本小题满分14分)(1)证明：?E.P分别为AC.A′C的中点， ?EP∥A′A，又A′A?平面AA′B， EP?平面AA′B&there4;即EP∥平面A′FB(2) 证明：∵BC&perp;AC，EF&perp;A′E，EF∥BC &there4;BC&perp;A′E，&there4;BC&perp;平面A′EC BC?平面A′BC &there4;平面A′BC&perp;平面A′EC(3)证明：在△A′EC中，P为A′C的中点，&there4;EP&perp;A′C，在△A′AC中，EP∥A′A，&there4;A′A&perp;A′C由(2)知：BC&perp;平面A′EC 又A′A?平面A′EC&there4;BC&perp;AA′&there4;A′A&perp;平面A′BC20.解：(1)证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN//BE，所以D1F//BE，所以1,,,EBFD四点共面.(2)因为GMBF?所以BCF?∽?MBG，所以MBBGBCCF?，即2332MB?，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM&perp;BB1又平面ABB1A1&perp;平面BCC1B1，且EM在平面ABB1A1内，所以EM?面11BCCB.。

高二数学暑假作业9附答案

高二数学暑假作业九一、单选题 1．若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（）A.B.C.D.2．已知直线1l ： sin 10x y α+-=，直线2l ： 3cos 10x y α-+=，若12l l ⊥，则sin2α=（） A.23 B. 35± C. 35- D. 353．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A.B.C. D.4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为（）A. B. 5 C. 2 D. 10 5．已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为，，且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（）A.B.C.D. 6．已知圆，圆，A 、B 分别是圆和圆上的动点，则的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8 7．动直线：（）与圆：交于点，，则弦最短为（）A.B.C.D.8．直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，，则等于（）A. B. 4C. D. 8 9．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 10．已知圆：与圆关于轴对称，为圆上的动点，当到直线的距离最小时，的横坐标为（）A.B.C.D.11．若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为A.B.C.D.12．已知直线20x y a -+=与圆O ： 222x y +=相交于A ， B 两点（O 为坐标原点），且AOB∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为（）A.6或6- B. 5或5- C. 6 D. 513．过点()3,4P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ， B ，则AB =（）A. 53-B. 52-C.2215 D. 421514．已知圆22C:4630x y x y +---=,点()M 2,0-是圆C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是( )A. 20724140x x y +=+=，－B. 20724140y x y +=++=，C. 20724140x x y +=++=，D. 20724140y x y +=+=，－15．已知直线:3l y x m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A 、B 两点，若22AB =，则实数m 的值等于（）A. -7或-1B. 1或7C. -1或7D. -7或116．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是（） A. ()()22112x y +++= B. ()()22114x y -++= C. ()()22112x y -++= D. ()()22114x y +++=17．已知直线:3l y x m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A ， B 两点，若120ACB ∠=︒，则实数m 的值为（）A. 36+或36-B. 326+或326-C. 9或3-D. 8或2-18．过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（） A.19 B. 25 C.21 D.555 19．圆()()221:131C x y ++-=，圆()()222:554C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ， 2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值（） A. 6 B. 210 C. 7 D. 1020．已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有43OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是 A.()3,+∞ B. )2,⎡+∞⎣ C. )2,22⎡⎣ D. )3,22⎡⎣二、填空题21．过点且与相切的直线方程为__________．22．在平面直角坐标系中，圆与轴的两个交点分别为 ,其中在的右侧，以为直径的圆记为圆，过点作直线与圆，圆分别交于两点．若为线段的中点，则直线的方程为_________． 23．已知直线．若直线与直线平行，则的值为____；动直线被圆截得弦长的最小值为______．24．已知直线于圆交于两点，圆在点处的切线相交于点，则四边形的面积为__________．25．已知点()()3,0,1,2A B ---，若圆()()22220x y r r -+=＞上恰有两点,M N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____.26．关于x 的方程2444x x kx k -+=+-有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围为_______________. 27．已知直线与圆交于两点，，且为等边三角形，则圆的面积为_____________．28．已知AB 为圆22:20C x y y +-=的直径，点P 为直线1y x =-上任意一点，则22||PA PB +的最小值为__________．三、解答题29．已知以点C 2,t t ⎛⎫⎪⎝⎭（t R ∈，且0t ≠）为圆心的圆与x 轴交于点O ， A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．（1）求证： OAB ∆的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ， N ，若OM ON =，求圆C 的方程．30．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且y 轴和直线320x y -+=均与圆C 相切. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线y x m =+与圆C 相交于,M N 两点，点()0,1P ，且MPN ∠为锐角，求实数m 的取值范围.31．已知圆，点，直线. （1）求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.32．已知. (1)若的切线在轴、轴上截距相等，求切线的方程； (2)从圆外一点向圆引切线为切点，为原点，若，求使最小的点坐标．高二数学暑假作业九答案1．A【解析】分析：先根据点到直线距离公式得角关系式，再解三角方程得结果.详解：因为坐标原点到直线的距离为，所以所以，即，选A.点睛：由求最值，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足.2．D【解析】因为，所以，所以，所以.故选D.3．A【解析】分析：先求出A，B 两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P 到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。

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高二数学暑假衔接第九讲

第9讲：一元二次不等式及其解法【开心自测】解下列不等式：① 112x >-； ②112x ->；【考纲要求】正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.【教学重难点】一元二次不等式的解法；【重难点命题方向】一元二次不等式的解集情况如下表：判别式ac b 42-=∆ 0>∆0=∆ 0<∆ 二次函数)0(2>++=a c bx ax y的图象一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的根)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 的解集．【典型例题讲练】例1 ．解下列不等式：⑴ 01832<++-x x (2) 18342<-≤x x(3)1212<+-x x (4) 0)4()1)(2)(3(2≥--+-x x x x例2设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求a ，b.小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a 的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.变式：已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.例3 2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.小结：（1）解一元二次不等式含有字母系数时，要讨论根的大小从而确定解集.（2）集合间的关系可以借助数轴来分析，从而确定端点处值的大小关系.例4 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.变式1：解集为非空.变式2：解集为一切实数.小结：m 的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，m 的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x 轴的位置关系. 因此求解中，必须对实数m 的取值分类讨论.例5．已知不等式02>++c bx ax 的解集为()βα,，且βα<<0，求不等式02<++a bx cx 的解集．练习：已知不等式02>++q px x 的解集为{}2131|<<-x x ，求不等式012>++px qx 的解集．例6．当a 为何值时，不等式01)1()1(22<----x a x a 的解是全体实数．、练习：已知常数R a ∈，解关于x 的不等式022<+-a x ax ．例7已知函数))(2lg(2)(),1lg()(R t t x x g x x f ∈+=+=⑴．当1-=t 时，解不等式)()(x g x f ≤；⑵．如果当]1,0[∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数t 的取值范围．【基础限时训练】1．解不等式: (1) 03222>-+-x x (2) 01692≤+-x x⑶ 0)273)(132(22>+-+-x x x x ⑷23253≤--x x2．若关于x 的不等式01>+-x a x 的解集为),4()1,(+∞--∞ ，则实数a = ．3．已知不等式022>++c x ax 的解集为2131<<-x ，则=+c a ．4．若关于x 的方程09222=--k x kx 两实根有一个大于2，而另一个根小于2，则实数k 的取值范围是5．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(，⑴若方程06)(=+a x f 有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式；⑵若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围.【拔高限时训练】1. 函数2112y x x =+-的定义域是（）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤2. 不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞C ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞3. 集合A={2|540}x x x -+≤，B=2{|560}x x x -+≥，则A B =（）.A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤C ．{1，2，3，4}D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤4. 不等式(5)(2)0x x --<的解集为 .5. 已知两个圆的半径分别为1和5，圆心距满足210240d d -+<，则两圆的位置关系为 .6．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-08603422x x x x 的解集是不等式0922<+-a x x 的解集的子集，则实数a 的取值范围是．7．已知不等式03)1(4)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围【李老师5分钟答疑】。

最新暑期初高中数学衔接教程【含答案】

课堂笔记第一章乘法公式与因式分解§1.1 乘法公式我们知道(a +b )2=a 2+2ab +b 2，将公式左边的指数变为3时，又有什么结论呢？由于(a +b )3=(a +b )2(a +b )=a 2+2ab +b 2 (a +b )=a 3+a 2b +2a 2b +2ab 2+ab 2+b 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，因此得到和的立方公式(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3．将公式中的b 全部改为-b ，又得到差的立方公式(a -b )3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3．上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为(a ±b )3=a 3±3a 2b +3ab 2±b 3．【例1】化简：(x +1)3-x x 2+3x +3 ．【解答】(x +1)3-x x 2+3x +3 =x 3+3x 2+3x +1-x 3-3x 2-3x =1．由完全立方公式可得(a +b )3-3a 2b -3ab 2=a 3+b 3，即(a +b )(a +b )2-3ab =a 3+b 3，由此可得立方和公式(a +b )a 2-ab +b 2 =a 3+b 3．将立方和公式中的b 全部改为-b ，得到立方差公式(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3．【例2】对任意实数a ，试比较(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 与1的大小．【解析】观察(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 的结构特点，可运用立方和(差)公式将其化简．【解答】(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2=(1+a )1-a +a 2 (1-a )1+a +a 2=1+a 3 1-a 3 =1-a 6因为1-a 6-1=-a 6，对任意实数a ，-a 6≤0，所以课堂笔记(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2≤1．通过将完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式．有兴趣的同学可以将指数推广到4，5，⋯．另外，我们也可以从项数的角度推广(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．灵活应用等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，可以为代数式运算带来方便．【例3】已知a+b+c=0，ab+bc+ca=-12，求下列各式的值：(1)a2+b2+c2(2)a4+b4+c4【解析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将a2+b2+c2用a+b+ c和ab+bc+ca表示．由于a4+b4+c4=a22+b2 2+c2 2，由(1)得到启发，如果知道a2b2+b2c2+c2a2的值，就能得解．【解答】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．由上式和已知得0=a2+b2+c2-1，即a2+b2+c2=1．(2)由ab+bc+ca=-12，得a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=14．因为a+b+c=0，所以a2b2+b2c2+c2a2=14．再由(1)的结论，得a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1．因此a4+b4+c4=12．【例4】已知x2+x-1=0，求证：(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法1】(x+1)3-(x-1)3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2+3x-1=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1=6x2+2．由已知得x2=1-x，故6x2+2=6(1-x)+2=8-6x．因此，(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法2】(x+1)3-(x-1)3=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2=2x2+2x+1+x2-1+x2-2x+1课堂笔记=6x 2+2．以下同证法1习题1.11.若a +b =8，ab =2，则a 3+b 3=()A.128B.464C.496D.5122.若x +y +z =0，则x 3+y 3+z 3=()A.0B.x 2y +y 2z +z 2xC.x 2+y 2+z 2D.3xyz3.设A =n +1n 3，B =n 3+1n 3+6，对于任意n >0，则A ，B 大小关系为()A.A ≥BB.A >BC.A ≤BD.不一定4.(5-x )25+5x +x 2 =．5.观察下列各式的规律：(a -b )(a +b )=a 2-b 2，(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3，(a -b )a 3+a 2b +ab 2+b 3 =a 4-b 4．可得到(a -b )a n +a n -1b +⋯+ab n -1+b n =．(其中n 为正整数)．6.求函数y =(x -2)3-x 3的最大值．7.当x =33时，求代数式2x +1x 4x 2-2+1x 2 -1x 3的值．8.已知a ，b ，c 为非零实数，a 2+b 2+c 2 x 2+y 2+z 2 =(ax +by +cz )2，求证：x a =yb =zc ．课堂笔记§1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形．我们已学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法．下面我们继续学习一些分解因式的方法．1.十字相乘法我们知道，形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数pq与一次项系数p+q可以通过如图1．2-1的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．这种方法能否推广呢？如果要对2x2-7x+3分解因式，我们把二次项系数2分解为1×2，把常数项3分解成1×3或(-1)×(-3)，按图1．2-2至图1．2-5的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算．12311×3+2×1=512131×1+2×3=712-3-11×- 3 +2×-1=-512-1-31×-1+2×-3=-7图1.2-2图1.2-3图1.2-4图1.2-5可以发现图1．2-5对应的结果1×(-1)+2×(-3)=-7，恰好等于一次项系数-7．由于(x-3)(2x-1)=2x2-7x+3，从而2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【例1】将下列各式分解因式：(1)2x2+x-3；(2)-6a2+7a+5【解析】(1)因为2=1×2，-3=(-1)×3=1×(-3)，且一次项系数是1，所以可按图1．2-6用十字相乘法分解因式．(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多．因此先把负号提到括号外面，即-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，然后再把6a2-7a-5按图1．2-7用十字相乘法分解因式．【解答】(1)因为1×3+2×(-1)=1，恰好等于一次项系数1，所以2x2+x-3=(x-1)(2x+3)．(2)因为-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，而根据十字相乘法，6a2-7a-5= (2a+1)(3a-5)，所以-6a2+7a+5=-(2a+1)(3a-5)．11pq1×p+1×q=p+q图1.2-1123-1123-1图1.2-6图1.2-7课堂笔记【例2】分解因式：x 2-x 2-x 2-x -2．【解析】先将x 2-x 视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决．【解答】x 2-x 2-x 2-x -2=x 2-x -2 x 2-x +1 =(x -2)(x +1)x 2-x +1 ．2.分组分解法观察多项式xm +xn +ym +yn ，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式．观察多项式的各项，前两项有公因式x ，后两项有公因式y ，分别提取后得到x (m +n )+y (m +n )．这时又有了公因式(m +n )，因此能把多项式xm +xn +ym +yn 分解因式．分解过程是xm +xn +ym +yn =x (m +n )+y (m +n )=(m +n )(x +y )．一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式．【例3】将下列各式分解因式：(1)x 3-x 2+x -1；(2)x 2+4(xy -1)+4y 2．【解答】(1)【解法1】x 3-x 2+x -1=x 3-x 2 +(x -1)=x 2(x -1)+(x -1)=(x -1)x 2+1 ．【解法2】x 3-x 2+x -1=x 3+x -x 2+1 =x x 2+1 -x 2+1 =x 2+1 (x -1)．(2)x 2+4(xy -1)+4y 2=x 2+4xy -4+4y 2=x 2+4xy +4y 2 -4=(x +2y )2-4=(x +2y +2)(x +2y -2)．【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式．先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法．用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性．【例4】分解因式：x 3+3x -4．【解析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解．【解答】x 3+3x -4=x 3+3x -1-3=x 3-1 +(3x -3)=(x -1)x 2+x +1 +3(x -1)=(x -1)x 2+x +4 ．课堂笔记【例5】已知x3-2x2y-xy2+2y3=0，x>y>0，化简：xz-2yz+1．【解答】因为x3-2x2y-xy2+2y3=x2(x-2y)-y2(x-2y)=(x-2y)x2-y2=(x-2y)(x+y)(x-y)，所以(x-2y)(x+y)(x-y)=0．又因为x>y>0，所以x+y≠0，x-y≠0，即只有x-2y=0．从而xz-2yz+1=z(x-2y)+1=1．习题1.21.对多项式4x2+2x-y-y2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()A.4x2+2x-y+y2B.4x2+2x-y2-yC.4x2-yD.4x2-y+(2x-y2)+2x-y2.要使二次三项式x2-6x+m在整数范围内可分解，m为正整数，那么m的取值可以有()A.2个B.3个C.5个D.6个3.把多项式2ab+1-a2-b2分解因式，结果是()A.(a+b-1)(b-a+1)B.(a-b+1)(b-a+1)C.(a+b-1)(a-b+1)D.(a-b+1)(a-b-1)4.m4+m2+1=m4+-m2+1=m2+．m2+5.将下列各式分解因式：(1)4x2-x-3；(2)3x2+2ax-a2．6.将下列各式分解因式：(1)x3-y3-x2y+xy2；(2)2a2-b2+ab-2a+b．7.已知m=x-y，n=xy，试用m，n表示x3+y32．8.当x=-1时，x3+2x2-5x-6=0．请根据这一事实，将x3+2x2-5x-6分解因式课堂笔记第一章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.多项式-3y 2-2yx +x 2分解因式的结果是()A.-(y +x )(3y +x )B.(x +y )(x -3y )C.-(y -x )(3y -x )D.(x +y )(3x -y )2.若a 3-b 3=3a 2b -3ab 2+1，其中a ，b 为实数，则a -b =()A.0B.-1C.1D.±13.若多项式2x 2+7x +m 分解因式的结果中有因式x +3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为()A.2x -1B.2x +1C.x +1D.x -14.若a +1a =3，则a 2+a 3+a 4+1a 2+1a 3+1a 4=()A.7B.25C.47D.725.多项式4-x 2-2xy -y 2分解因式的结果是()A.(2+x +y )(2-x -y )B.(2+x +y )(2-x +y )C.(1+x -y )(4-x -y )D.(1-x +y )(4+x +y )6.若x -y -z =3，yz -xy -xz =3，则x 2+y 2+z 2=()A.0B.3C.9D.-1二、填空题(本题有3小题，每小题8分，共24分)7.若8x 3+12x 2y 2+6xy 4+y 6可分解为2x +y m 3，则m =．8.若关于x 的二次三项式ax 2+3x -9的两个因式的和为3x ，则a =．9.x 2+x +1x 2+1x -4=1x +x + 1x +x - ．三、解答题(本题有3小题，第10，11题各15分，第12题16分，共46分)10.分解因式：(1)x 3-5x 2+6x ；(2)4m 3+m -1．11.已知x 2-x -1=0，求x 5-x 4-3x 3+3x 2+x 的值．12.已知a 2-9x 2+6xy -y 2(a +3x )2-(ay +3xy )=1，求证：y =6x ．课堂笔记第二章分式与根式§2.1分式及其运算1.分式的运算分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高．【例1】计算：a2+7a+10a2-a+1×a3+1a2+4a+4÷a+1a+2．【解析】分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式．【解答】原式=a+2a+5a2-a+1×a+1a2-a+1a+22×a+2a+1=a+5【例2】先化简，再求值：m2+n2m2+2mn+n2-2mn÷m+nmn2×m3+3m2n+3mn2+n3m3+m2n-mn2-n3，其中m=57，n=3．【解析】分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步．本题代数式最后乘上的分式其分子是完全立方，分母可以进行分组分解．【解答】原式=m2+n2(m+n)2-2mn×m2n2(m+n)2×(m+n)3(m+n)2(m-n)=m2+n2(m+n)2-2mn(m+n)2×(m+n)(m-n)=m2-2mn+n2(m+n)2×(m+n)(m-n)=m-nm+n．当m=57，n=3时，原式=m-nm+n=57-357+3=910．【例3】已知xx2-3x+1=1，求x2x4-9x2+1的值．【解析】观察题目特点，对条件与结论采用取倒数处理，建立条件与结论间的联系，从而达到解题的目的．【解答】因为xx2-3x+1=1，所以x2-3x+1x=1，得x+1x=4．于是x4-9x2+1x2=x2+1x2-9=x+1x2-11=16-11=5．因此x2x4-9x2+1=15．【注】本题解答中灵活应用了x2+1x2=x+1x2-2．课堂笔记2.分式的证明【例4】已知b +1c =1，c +1a =1，求证：a +1b =1，【解析】由已知两式消去c ，即可得到含a ，b 的关系式．【解答】由b +1c =1，得1c =1-b ；由c +1a =1，得c =1-1a ．所以(1-b )1-1a =1，得1-1a -b +b a =1，即-1a -b +b a =0．两边都乘以a ，得-1-ab +b =0，两边再都除以b ，得-1b -a +1=0，移项得a +1b =1．【例5】已知abc =1，求证：a ab +a +1+b bc +b +1+c ac +c +1=1．【解析】此题直接通分太繁，不可取．观察求证式子的左边，发现作轮换a →b→c →a ，可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略．【解答】【解法1】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +1+ab a (bc +b +1)+abc ab (ac +c +1)=a ab +a +1+ab abc +ab +a +abc abac +abc +ab=a ab +a +1+ab 1+ab +a +1a +1+ab=a +ab +1ab +a +1=1．【解法2】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +abc +b bc +b +1+bc b (ac +c +1)=1b +1+bc +b bc +b +1+bc bac +bc +b=1b +1+bc +b bc +b +1+bc 1+bc +b=1+b +bc bc +b +1=1．3.繁分式我们知道，像2m ，ab 1+b ，⋯这样分母中含有字母的代数式叫做分式．而像1x +1x ，a 1+b b 1+a，⋯这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式．繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式．例如，1x +1x =课堂笔记xx x+1x=xx2+1【例6】化简：1+1-xx1-1-xyxy．【解析】对于繁分式化简，可以利用分式基本性质，在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简公分母，从而达到使分子、分母转化为整式的目的；也可以利用分式的概念，将繁分式转化为分式的除法．【解答】【解法1】原式=1+1-xxxy1-1-xyxyxy=xy+y-xyxy-1+xy=y2xy-1．【解法2】原式=1+1-xx÷1-1-xyxy=x+1-xx÷xy-1+xyxy= y2xy-1．【例7】化简：x+1x2-x+1x-11-x-1x2÷x2+1x2-x-1x+3x2+1x2-2x-2x+3．【解析】观察发现，上式中出现最多的是x+1x，而x2+1x2=x+1x2-2，因此设x+1x=a，原式的形就变简单了，从而有利于化简．换元法在繁分式化简中是一种常用的方法．【解答】设x+1x=a，则x2+1x2=x+1x2-2=a2-2．原式=a2-a-11-a2÷a2-a+1a2-2a+1=a2-a2-a+1a-12×(a-1)2a2-a+1 =a2-a2-a+1=a-1=x+1x-1．课堂笔记习题2.11.下列运算中，错误的是()A.a b =acbc (c ≠0) B.-a -ba +b =-1C.0.5a +b 0.2a -0.3b =5a +10b 2a -3b D.x -y x +y =y -x y +x 2.若x +1x =4，则x 2x 4+x 2+1=()A.10 B.15C.115D.1163.若a +1b=1，b +2c =1，则c +2a =()A.1B.2C.3D.44.化简：11-11-1x ．5.化简：a 3-a 2-a +1a 3-3a 2+3a -1．6.计算：1-a -11-a 2÷a 3+1a 2-2a +1×11-a．7.已知1a +1b+1c =0，求证：a 2+b 2+c 2=(a +b +c )2．8.已知xyz =1，x +y +z =2，x 2+y 2+z 2=16，求1xy +2z +1yz +2x+1zx +2y的值．课堂笔记§2.2根式及其迲算1.根式的运算一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式．最简根式满足以下3个条件：(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；(3)被开方数不含分母．把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如，620=625=6×525×5=355．在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号．【例1】化简：(1)12-3；(2)x-yx+y(x≠y)；(3)x-y3x-3y-x+y3x+3y．【解析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式(有理化因式)，使分母不含根号．其中第(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第(3)题也可以将分子用立方和(差)公式分解因式后进行约分．【解答】(1)【解】12-3=2+3(2-3)(2+3)=2+32-3=-(2+3)=-2-3．(2)【解法1】x-yx+y=(x-y)(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)(x-y)x-y=x-y．【解法2】x-yx+y=(x+y)(x-y)x+y=x-y．(3)【解】x-y3x-3y-x+y3x+3y=(3x)3-(3y)33x-3y-(3x)3+(3y)33x+3y=(3x)2+3x3y+(3y)2-(3x)2+3x3y-(3y)2 =23xy【例2】计算：1+23+5(1+3)(3+5)+5+27+3(5+7)(7+3)．【解析】观察分式的分子和分母，发现(1+3)+(3+5)=1+23+5，(5+7)+(7+3)=5+27+3．因此可先将他们拆成两项之和，然后分别进行分母有理化．【解答】原式=11+3+13+5+15+7+17+3=1-3(1+3)(1-3)+3-5(3+5)(3-5)+5-7(5+7)(5-7)课堂笔记+7-3(7+3)(7-3)=-12(1-3+3-5+5-7+7-3)=-12(1-3)=1【例3】计算：1-x -11+x -1+22-x ÷2+xx -1．【解析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使计算简便．【解答】原式=(1-x -1)2(1+x -1)(1-x -1)+22-x×x -12+x=1-2x -1+x -11-x +1+2x -12-x =x2-x．【例4】已知a =12+3，求1-2a +a 2a -1-a 2-2a +1a 2-a的值．【解析】先化简再求值，同时注意(a -1)2=|a -1|．【解答】因为a =12+3=2-3<1，所以原式=(a -1)2a -1-(a -1)2a (a -1)=(a -1)-|a -1|a (a -1)=a -1--(a -1)a (a -1)=a -1+1a=2-3-1+2+3=3.2.根式的证明【例5】已知(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，且a 2-c 2=b 2，其中a >b >0，求证：x 2a 2+y 2b2=1．【解析】当已知等式中含有二次根式时，可以考虑把等式两边平方．【解答】【证明】因为(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，所以(x +c )2+y 2=2a -(x -c )2+y 2两边平方，整理得a 2-cx =a (x -c )2+y 2．两边再平方，整理得a 2-c 2 x 2+a 2y 2=a 2a 2-c 2 ．把a 2-c 2=b 2代入得b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，两边同除以a 2b 2，得x 2a 2+y 2b2=1．【例6】已知a ，b 都是非负数，并且1-a 2×1-b 2=ab ，求证：a 1-b 2+b 1-a 2=1．【解析】当已知式或求证式中含有二次根式时，可以考虑把两边平方化为整式再证明．但A 2=B 2，未必有A =B ，因此在证明过程中必须确定A ，B 是课堂笔记否同号．【解答】【证明】将1-a2×1-b2=ab两边平方，得1-a21-b2=a2b2，即1-a2-b2+a2b2=a2b2，得a2+b2=1．a1-b2+b1-a22=a21-b2+b21-a2+2ab1-b2×1-a2=a2+b2-2a2b2+2a2b2=1.因为a，b都是非负数，所以a1-b2+b1-a2≥0．因此a1-b2+b1-a2=1．3.n次根式实际上，数的平方根的概念可以推广．一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n 次方根．例如，由于24=16和(-2)4=16，我们把2或-2叫做16的4次方根．当n 是偶数时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-n a表示，也可以把两个方根合起来写作±n a．例如，416=2，-416=-2，合起来写作±416=±2．类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根．本节所讨论的n次方根运算都限在实数范围内．【例7】(1)求-32243的5次方根；(2)求(-8)2的6次方根．【解析】根据n次方根的定义，可以逆用乘方运算求得开方运算的结果．需要注意正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个．求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数作质因数分解．【解答】(1)5-32243=5-2535=-23．(2)±6(-8)2=±626=±2．【例8】(1)当x<0时，求|x|+4x4+23x3的值．(2)若n为自然数，2n a2n=-a，a的取值范围是什么？【解析】根据n次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与讨论．【解答】(1)当x<0时，|x|+4x4+23x3=|x|+|x|+2x=-x-x+2x=0．(2)因为n为自然数，所以2n为偶数，于是2n a2n=|a|．又因为2n a2n=-a，所以a≤0．类似于二次根式的性质，我们也可以得到n次根式的性质：(1)(n a)n=a．课堂笔记(2)当n 为奇数时，na n =a ；当n 为偶数时，na n =|a |=a ,a ≥0；-a ,a <0.(3)mpa mp =na m (a ≥0)，n ab =n a ⋅n b (a ≥0,b ≥0)，na b=na n b(a ≥0,b >0)，n a m =(n a )m (a ≥0)．从指数式的角度看，a =a 12，3a =a 13，⋯，n a =a 1n ，所以a m =na m ，a -mn =1n am ．课堂笔记习题2.21.下列说法正确的是()A.正数有一个偶次方根B.负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根D.正数有两个奇次方根2.当a>0时，-ax3=()A.x axB.x-axC.-x-axD.-x ax3.把a-ba+b(a≠b)分母有理化的结果是()A.-1B.a+ba-b C.a+b-2aba-bD.a+b-2abb-a4.(-1)101的7次方根是，0的8次方根是，(-4)2的4次方根是，(-4)4的4次方根是，5.计算：-5-132=，6(-27)2=，(2×32)4=，18÷32=．6.已知a=13+22，b=13-22，求1b-1-1a-1的值．7.化简：(a-b)3+2a a+b ba a+b b-3b-3aba-b．8.化简：(1)a-2a-1(1<a<2)；(2)n(a-b)n+n(a+b)n a<b<0,n>1,n∈N∗．9.证明：a2+1b2+a2(ab+1)2=a+1b-aab+1．课堂笔记第二章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.若分式x +yx -y中的x ，y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值()A.不变B.是原来的3倍C.是原来的13D.是原来的162.计算a b-b a÷a +b a 的结果是()A.a -b aB.a +b bC.a -bbD.a +b a3.把a +ba -b(a ≠b )分母有理化的结果是()A.-1B.a +b a -bC.a +b +2aba -bD.a +b +2abb -a4.下列式子错误的是()A.(a )2=aB.3a 3=aC.(n a )n =a (n >1的整数)D.na n =a (n >1的整数)5.化简x -|x |x的结果是()A.-|x |B.-xC.x 2D.x6.若n 为自然数，2n +1a 2n +1=a ，则a 的取值范围是()A.a ≥0B.a <0C.a ≤0D.a 为全体实数二、填空题(本题有4小题，每小题6分，共24分)7.64的平方根是，立方根是，6次方根是．8.化简：1x -1+1x +1+2x x 2+1+4x 3x 4+1=．9.化简：11+11+1x=．10.当x <0时，5x 5+4x 4+3x 3=．三、解答题(本题有3小题，第11，12题各15分，第13题每题16分，共46分)11.若(x -10)2+4y -4=0，求y x 的10次方根．课堂笔记12.化简：x+1x-1-x-1x+11x2-1．13.当a=12-1时，求a2+6a2-1-a+1a-1+1÷a3+8a4+3a3+2a2的值．课堂笔记第三章方程与方程组§3.1三元一次方程组我们已经学习了二元一次方程组及其解法, 知道解二元一次方程组的基本思想是:二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解二元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法. 消元的目的是把二元一次方程组化归为一元一次方程.在现实生活中, 我们会遇到末知数不止两个的方程, 下面我们就来学习三元一次方程组.像x +y +z =12,x +2y +5z =22,x =4y ,4x +2y +z =0,x +2y -z =3,2x -y +2z =-4这类方程组中含有三个末知数, 含末知数的项的次数都是1 , 这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的基本思想与解二元一次方程组一致, 通过消元转化为我们会解的方程组:三元一次方程组⟶消元二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解三元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法.【例1】解方程组x +y +z =12,①x +2y +5z =22,②x =4y .③【分析】将方程③分别代入方程①②, 得到只含y ,z 的二元一次方程组.【解】将方程③分别代入方程①②, 得方程组5y +z =12④6y +5z =22⑤解得y =2,z =2.把y =2,z =2代人方程①, 得x +2+2=12, 所以x =8.方程组的解是x =8,y =2,z =2.【例2】解方程组课堂笔记4x+2y+z=0①x+2y-z=3②2x-y+2z=-4③【分析】解三元一次方程组的关键是逐步消元, 转化为二元一次方程组. 将方程①+②, 可以消去z, 将方程③+②×2, 也可以消去z, 从而得到二元一次方程组.【解】方程①+②, 得5x+4y=3.④方程③+②×2, 得4x+3y=2. ⑤方程④和方程⑤组成方程组5x+4y=34x+3y=2解得x=-1,y=2.把x=-1,y=2代人方程②, 得-1+2×2-z=3, 所以z=0.方程组的解是x=-1,y=2,z=0.【例3】解方程组x:y:z=1:2:7,2x-y+3z=21.本题含有三个末知数, 只有两个方程, 其中方程①含有比例. 如果设x=a, 则y=2a,z=7a, 就得到了关于x,y,z三个末知数之间的关系, 代入方程②即可求解.【解】由方程①, 设x=a,y=2a,z=7a.代人方程②, 得2a-2a+21a=21, 即a=1.于是x=1,y=2,z=7.方程组的解是x=1,y=2,z=7.【注】本题的解答实际上用了比例的性质(第五章). 虽然方程组形式上是两个方程, 但方程①实际上隐含了两个方程:2x=y,7y=2z.通过上面几道例题, 我们发现, 三元一次方程组的解法仍是用代人法或加减法消元, 化归为二元一次方程组, 再化归为一元一次方程. 实际上, 消元是解一次方程组的主要方法. 解一次方程组的消元“化归”基本思想, 可以推广到“四元”“五元”等多元方程组.习題3.1课堂笔记1.解方程组3x -y +2z =3,2x +y -4z =11,若要使运算简便,消元的方法应选取.7x +y -5z =1,()A.先消去x .B.先消去y .C.先消去z .D.以上说法都不对.2.已知方程组2x -y +z =5,5x +8y -z =9,则x +y 的值是()A.14.B.2.C.-14.D.-2.3.已知方程3x -y -7=0,2x +3y =1,y =kx -9有公共解, 则k 的值是()A.6.B.5.C.4.D.3.4.当x =0,1,-1时, 二次三项式ax 2+bx +c 的值分别为5,6,10, 则a =b = ,c =.5.已知方程组x -2y +z =0,2x +4y -z =0,则x :y :z =6.解下列三元一次方程组:①x -4y +z =-32x +y -z =18x -y -z =7②x :y :z =2:3:5x +y +z =1007.若|a -b -1|+(b -2a +c )2+|2c -b |=0, 求a ,b ,c 的值.8.己知4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,求2x 2+3y 2+6z 2x 2+5y 2+7z 2的值.§3.2一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)由配方法可化为x +b 2a 2=b 2-4ac 4a 2.因为a ≠0, 所以4a 2>0. 式子b 2-4ac 的值有以下三种情况:①b 2-4ac >0这时b 2-4ac 4a 2>0, 由①式得x +b 2a =±b 2-4ac 2a , 方程有两个不相等的实数根x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac 2a.②b 2-4ac =0课堂笔记这时b2-4ac4a2=0, 由①式得x+b2a2=0, 方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.③b2-4ac<0这时b2-4ac4a2<0, 由①式得x+b2a2<0, 而x取任何实数都不能使x+b2a2<0, 因此方程无实数根.这说明, 根据b2-4ac的值的符号, 我们可以判定一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的根的情况. 一般地, 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式, 通常用希腊字母Δ表示它, 即Δ=b2-4ac.归纳起来, 有①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;③Δ<0⇔方程没有实数根.【例1】【例1】不解方程, 判别下列方程的根的情况:②5x2=2(x-10);③8x2+(m+1)x+m-7=0.①x2+2x-1=0;【解】①因为Δ=22-4×(-1)=8>0, 所以方程有两个不相等的实数根.②将原方程整理, 可得5x2-2x+20=0.因为Δ=(-2)2-4×5×20=-396<0, 所以方程没有实数根.③Δ=(m+1)2-4×8×(m-7)=m2-30m+225=(m-15)2.因为无论m取何值, 都有Δ=(m-15)2≥0, 所以方程有两个实数根.【例2】【例2】已知关于x的方程(k-2)x2+k=(2k-1)x有两个不相等的实数根, 求k的范围.【分析】将方程化成一般形式, 二次项系数k-2≠0. 因为一元二次方程有两个不相等的实数根, 所以Δ>0.【解】方程(k-2)x2+k=(2k-1)x可化为(k-2)x2-(2k-1)x+k=0.因为方程有两个不相等的实数根, 所以课堂笔记k -2≠0,Δ=[-(2k -1)]2-4k (k -2)=4k +1>0.解得k >-14且k ≠2.所以k 的取值范围是k >-14且k ≠2.【例3】证明:关于x 的一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【分析】要证一元二次方程没有实数根, 只要证Δ<0即可.【证明】二次项系数m 2+1≠0.Δ=(-2m )2-4m 2+1 m 2+4 =-4m 4+4m 2+4 =-4m 2+2 2.因为无论m 取什么实数, 都有m 2+2>0, 所以-4m 2+2 2<0, 即Δ<0. 因此, 一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【例4】当m 为何值时, 关于x 的方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根.和m 2-4≠0两种情形讨论.【解】①当m 2-4=0, 即m =±2时, 2(m +1)≠0, 方程为一元一次方程, 总有实数根.②当m 2-4≠0, 即m ≠±2时, 要使方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根, 则Δ=[2(m +1)]2-4m 2-4 =8m +20≥0, 解得m ≥-52.因此, 当m ≥-52且m ≠±2时, 方程有实数根.综合①②, 当m ≥-52时, 方程有实数根.习题3.21.方程x 2+1=0,x 2+x =0,x 2+x -1=0,x 2-x =0中, 无实根的方程有()A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.2.关于x 的方程ax 2-2x +1=0中, 若a <0, 则根的情况是().A.有两个相等的实数根.B.有两个不相等的实数根.课堂笔记C.没有实数根.D.无法确定.3.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中, 若a与c异号, 则根的情况是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.没有实数根.D.无法确定4.若关于x的一元二次方程(m-2)2x2+2(m+1)x+1=0有两个不相等的实数根, 则m的取值范围是5.若二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积, 则k的取值范围是6.不解方程, 判别下列方程的根的情况:③5x2+1-7x=0.①2x2+3x-4=0;②16y2+9=24y7.证明：关于x的方程mx2-(m+2)x=-1必有实数根.8.已知关于x的方程k2-1x2+2(k+1)x+1=0有实数根, 求k的取值范围.§3.3书达定理及其应用方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=-b±b2-4ac2a, 不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值, 而且反映了根与系数之间的联系. 本节我们进一步讨论根与系数的关系.根据求根公式可知, 当b2-4ac≥0时, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.由此可得x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba,x1x2=-b+b2-4ac2a⋅-b-b2-4ac2a=(-b)2-b2-4ac4a2=c a.因此, 方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-b a,x1x2=c a.这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理.课堂笔记反过来, 如果x 1,x 2满足x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca, 那么x 1,x 2一定是方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根, 这就是韦达定理的逆定理.特别地,①如果方程x 2+px +q =0的两个根是x 1,x 2, 那么x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q ;②以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-x 1+x 2 x +x 1x 2=0【例1】根据一元二次方程根与系数的关系, 求下列方程两根的和与积:①x 2-5x -8=0;②3x 2=1-6x ;③2x 2-43x -22=0. 化成一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a≠0), 直接应用韦达定理x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca 来求.【解】①x 1+x 2=-(-5)=5,x 1x 2=-8.②方程化为3x 2+6x -1=0, 则x 1+x 2=-2,x 1x 2=-13.③x 1+x 2=--432=26,x 1x 2=-222=-2.【例2】已知方程5x 2+2x -15=0, 求:①两根的倒数和;②两根的平方和.【分析】本题可以先求出方程的根, 但是计算较繁. 根据韦达定理, 将代数式变形成念有x 1+x 2和x 1x 2形式的式子, 可以筒化运算.【解】设方程的两根为x 1,x 2, 根据韦达定理, 有x 1+x 2=-25,x 1x 2=-3.①1x 1+1x 2=x 1+x 2x 2x 2=-25-3=215.②x 21+x 22=x 1+x 2 2-2x 1x 2=-252-2×(-3)=15425.【例3】当k 取何值时, 关于x 的方程3x 2-2(3k +1)x +3k 2-1=0, ①有一根为零;②有两个互为相反数的实根;(3)两根互为倒数.【解】要使方程有根, 必须Δ=[-2(3k +1)]2-4×33k 2-1 ≥0, 解得k ≥-23.①若方程有一根为零, 则x 1x 2=0. x 1x 2=3k 2-13=0, 解得k =±33.课堂笔记因为±33>-23, 所以当k=±33时, 方程有一个根为零.②若方程有两个互为相反数的实根, 则x1+x2=0. x1+x2=23(3k+1)=0, 解得k=-13, 因为-13>-23, 所以当k=-13时, 方程有两个互为相反数的实数根.③若方程两根互为倒数, 则x1x2=1. x1x2=3k2-13=1, 解得k=±233.因为233>-23, 而-233<-23, 所以当k=233时, 方程的两实根互为倒数.【例4】写出一个二元二次方程, 使它的两个根为-5和23.【分析】方程的根是由它的系数决定的, 给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程, 但得到的一元二次方程不唯一, 不过它们各次项的系数对应成比例. 为了方便, 一般设所求的方程为x2+px+q=0.【解】设所求的方程为x2+px+q=0, 由根与系数的关系可知-5+23=-p, -5×23=q, 得p=133,q=-103.因此, 一元二次方程为x2+133x-103=0, 即3x2+13x-10=0.1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根, 则x21+x22的值是().A.15.B.6.C.12.D.3 .2.以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是().A.y2+5y-6=0.B.y2+5y+6=0.C.y2-5y+6=0.D.y2-5y-6=0.3.若m,n是方程x2+2x-2002=0的两实数根, 代数式3m+mn+3n的值是().A. -2008.B. -1996.D. 1996 .C. 2008 .课堂笔记4.若关于x 的方程m 2-2 x 2-(m -2)x +1=0的两实根互为倒数, 则m 的值是5.以方程x 2-3x -1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是6.设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根, 利用根与系数的关系求下列各式的值:①x 1+1 x 2+1 ;②x 1x 2+x 2x 1;③x 1-x 27.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0, 两根之比为3:5, 求证:64ac =15b 2.8.已知关于x 的一元二次方程2x 2+ax -2a +1=0, 两个实根的平方和为294, 求a 的值.§3.4可化为一元二次方程的分式方程我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法. 本节学习可化为一元二次方程的分式方程的解法.【例1】解方程4x -1x -1=1.【分析】解分式方程, 首先要找这个分式方程的最简公分母, 然后方程两边同乘以最简公分母, 约去分母, 使分式方程化为整式方程.【解】方程的两边同乘最简公分母x (x -1), 得4(x -1)-x =x (x -1).整理, 得x 2-4x +4=0.解得x 1=x 2=2.检验：当x =2时, x (x -1)=2(2-1)=2≠0.所以原方程的根是x =2.验根的一般方法是:把整式方程的根代人最简公分母, 看结果是不是零, 使最简公分母为零的根是增根, 必须舍去.为什么要检验呢?根据方程同解原理:方程两边都乘以不等于零的同一个数, 所得方程与原方程同解. 而我们在解分式方程时, 方程两边同乘以最简公分母, 它是一个整式, 当这个整式为零时, 就不符合方程的同解原理要求, 所得整式方程的根就不一定是原方程的根, 因此解分式方程必须验根.课堂笔记【例2】解方程1x+2-4x-5x2-x-6=1.【分析】将分式方程的分母进行因式分解, 从而确定出最简公分母是(x+2)(x -3).【解】方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-3), 得x-3-(4x-5)=x2-x-6整理, 得x2+2x-8=0.解得x1=-4,x2=2.检验:当x=-4或x=2时, (x+2)(x-3)≠0.所以原方程的根是x1=-4,x2=2.课堂笔记【例3】解方程8x 2+2x x 2-1+3x 2-1x 2+2x=11.【分析】按一般解法, 应先去分母, 整理后为一元四次方程, 结果较繁. 观察方程, 左边的两个分式x 2+2x x 2-1和x 2-1x 2+2x 互为倒数, 可以通过“换元”, 将方程化简.【解】设x 2+2x x 2-1=y , 则x 2-1x 2+2x=1y , 于是原方程变形为8y +3y =11.方程两边同乘y , 得8y 2-11y +3=0解得y 1=1,y 2=38.经检验, y 1=1,y 2=38都是方程8y +3y=11的根.当y =1时, x 2+2xx 2-1=1, 去分母, 整理, 得x 2+2x =x 2-1.解得x 1=-12.当y =38时, x 2+2x x 2-1=38, 去分母, 整理, 得5x 2+16x +3=0.解得x 2=-3,x 3=-15.检验:把x =-12,x =-3,x =-15分别代人原方程的分母, 各分母都不为零.所以, 原方程的根是x 1=-12,x 2=-3,x 3=-15.习题3.41解下列方程:(1)2x -12x -1=1;(2)2x 2-6xx -3=x +5.2. 解下列方程:(1)x -1x 2-2x -1x =x x -2;(2)24x 2-4x -3-14x 2-8x +3-2x -51-4x 2=0.课堂笔记3.解下列方程:(1)xx+12+5x x+1+6=0;(2)x2-3x+3xx2-3=132.§3.5简单的根式方程像2x2-7x=x-2,3x-5-x+2=1,x+1-2x+1=3这类根号内含有末知数, 且根指数为2的方程, 叫做二次根式方程.二次根式方程可以通过把方程的两边平方, 化为整式(或分式)方程来解. 不过变形有可能产生增根. 因此, 解二次根式方程时, 必须把变形所得整式(或分式)方程的根, 代人原方程进行检验.【例1】解方程2x2-7x=x-2.【分析】通过两边平方化为整式方程.【解】两边平方, 得2x2-7x=x2-4x+4整理, 得x2-3x-4=0.解得x1=4,x2=-1.检验:把x=4代人原方程, 左边=2×42-7×4=2, 右边=4-2=2, 所以x= 4是原方程的根;把x=-1代人原方程, 右边=-3, 而左边的算术平方根不可能是负数, x=-1是增根.原方程的根是x=4.【例2】解方程3x-5-x+2=1.【分析】方程左边有两个二次根式, 如果直接平方, 结果较繁. 一般把其中一个根式移到方程的右边, 使方程左右两边各含有一个根式.【解】移项，得3x-5=x+2+1.两边平方, 得3x-5=1+2x+2+x+2.化简, 得x-4=x+2.两边再平方并整理, 得x2-9x+14=0.解得x1=2,x2=7.课堂笔记经检验, x =2是增根;x =7是原方程的根.【例3】解方程x 2+8x +x 2+8x =12.【分析】x 2+8x 是x 2+8x 的算术平方根, 如果直接平方, 结果很繁. 若设x 2+8x =y , 则原方程就转化为关于y 的一元二次方程.【解】设x 2+8x =y , 那么x 2+8x =y 2, 原方程就变形为y 2+y -12=0.解得y 1=-4,y 2=3.当y =-4时, x 2+8x =-4无解.当y =3时, x 2+8x =3, 解得x 1=-9,x 2=1.经检验, 原方程的根为x 1=-9,x 2=1.习题3.51.解下列方程:(1)2x -2x +1=5；(2)x +x -3=3.2.解下列方程:(1)2x -5-x -3=1；(2)5x +4-x +3=1.1解下列方程:(1)x -1x +2-52=-x +2x -1；(2)x 2+x -x 2+x -2-4=0.§3.6简单的二元二次方程组像x 2+y 2=1,x 2-2y 2+x +3y -10这类含有两个末知数, 并且含有末知数的项的最高次数是2的整式方程, 叫做二元二次方程. 由含有相同的两个末知数的两个二元二次方程, 或一个二元二次方程和一个二元一次方程, 组成的方程组叫做二元二次方程组.解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解. 解二元二次方程组的基本思想是消元和降次, 消元就是把二元化为一元, 降次就是把二次降为一次, 其目的是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解.本节内容主要解决简单的二元二次方程组问题.【例1】解方程组课堂笔记x2+y2=1------1x+y-1=0----(2【解】由方程(2), 得y=1-x(3)把方程(3)代人方程(1), 得x2+(1-x)2=1.整理, 得x2-x=0.解得x1=0,x2=1把x=0代人方程(3), 得y=1;把x=1代人方程(3), 得y=0.原方程组的解是x1=0,y1=1;x2=1,y2=0.【注】解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组, 其解法是先由二元一次方程出发, 用含一个末知数的式子表示另一个末知数, 再把这个式子代人二元二次方程, 达到消元的目的, 转化为一元二次方程求解.【例2】解方程组x2+2xy+y2=1,x2+4y2=8【分析】方程(1)变形为(x+y)2=1, 把它化为两个二元一次方程x+y+1=0和x+y-1=0, 分别与方程(2)组成方程组x+y+1=0,x2+4y2=8,x+y-1=0,x2+4y2=8;x2+4y2=8两个方程组即可.【解】由方程(1)得x+y+1=0,x+y-1=0.原方程组变形为x+y+1=0,x2+4y2=8;x+y-1=0,x2+4y2=8.分别解这两个方程组, 得原方程的解为x1=-2,y1=1;x2=25,y2=-75;x3=2,y3=-1;x4=-25,y4=75.【注】由两个二元二次方程组成的方程组, 如果能把其中一个二元二次方程分解为两个二元一次方程, 就可以转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成方程组的形式.。

2024-2025学年苏教版高二数学下册暑假练习试卷及答案

2024-2025学年苏教版高二数学下册暑假练习试卷一、单选题（每题3分）1.设函数(f(x)=x3−6x2+9x)，则该函数的极小值点为：A.(x=1)B.(x=3)C.(x=0)D. 不存在答案解析：要找到极值点，我们首先求函数的一阶导数并解方程(f′(x)=0)。

[f′(x)=3x2−12x+9=0]解这个二次方程得到(x)的值。

方程的解为(x=1)和(x=3)。

这两个点是临界点，可能是极大值点、极小值点或拐点。

为了确定极值类型，我们需要计算二阶导数并在这些点上测试符号。

[f″(x)=6x−12]接下来，我们将计算二阶导数在(x=1)和(x=3)处的值，以确定极值点。

对于(x=1)，二阶导数值为(−6)，表明这是一个极大值点；对于(x=3)，二阶导数值为(6)，表明这是一个极小值点。

因此，正确答案是 B.(x=3)。

2.若(lim x→0sin(3x))存在，则此极限等于：xA. 0B. 1C. 3D. 不存在答案解析：利用洛必达法则或者直接利用(sinx/x)当(x→0)时极限为 1 的性质来解题。

[lim x→0sin(3x)x=lim x→03cos(3x)1=3]因此，正确答案是 C. 3。

3.曲线(y=ln(x))在点 (1, 0) 处的切线方程是：A.(y=x−1)B.(y=x+1)C.(y=−x+1)D.(y=−x−1)答案解析：首先求曲线的导数，然后使用点斜式方程。

[y′=ddxln(x)=1x]点 (1, 0) 处的斜率是(1)，所以切线方程为(y−0=1(x−1))，即(y=x−1)。

因此，正确答案是 A.(y=x−1)。

4.下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是：A.(f(x)=cos(x))B.(f(x)=sin(x))C.(f(x)=e x)D.(f(x)=x2)答案解析：偶函数满足(f(x)=f(−x))，周期函数满足(f(x)=f(x+T))对某个非零常数(T)。

高二暑假数学学习计划

高二暑假数学学习计划暑假即将来临，作为高二学生，我深知数学在学习中的重要性，也清楚了解这个暑假是一个提高数学能力的重要时期。

因此，我准备制定一个详细的高二暑假数学学习计划，以充分利用暑假的时间，提高自己的数学水平。

一、制定学习目标1. 提高解题能力：通过暑假的学习，结合书本和题目的练习，提高自己的解题能力，多角度的思考问题，提高问题解决的能力。

2. 加强基础知识：复习高二上学期的数学知识，消化巩固，巩固基础。

3. 拓展知识面：通过自学和查阅资料，了解更多的数学知识，丰富自己的数学知识面。

4. 提高学习效率：通过做题和思考，总结方法和策略，提高学习效率。

二、学习安排1. 复习高二上学期知识暑假的第一个星期，我打算复习高二上学期的数学知识，包括函数、三角函数、数列与数学归纳法等内容。

这一周的时间里，我主要是将书本知识过一遍，并做一些相关的例题练习，消化和巩固基础知识。

2. 深入学习接下来的两个星期，我将深入学习高二数学上学期的知识，包括函数的应用、三角函数的推广以及解析几何等内容。

我会结合教材、课外资料进行学习，掌握相关知识，做一些计算和证明题目，提高解题能力。

3. 拓展知识面在接下来的一个月里，我会拓展自己的数学知识面，涉及到高二下学期的内容，包括概率统计、导数与微积分等。

我会通过阅读相关书籍、网站、参加线上课程以及做一些相关题目的练习，加深自己对这些知识的理解，并做一些拓展性的思考和总结。

4. 学习效率的提高在暑假的最后一个月，我将主要是进行一些总结和检测，对前面所学的知识进行复习和巩固，查漏补缺，总结思考学习方法，提高学习效率。

同时，我会参加一些数学竞赛或者比赛类的活动，锻炼自己的数学能力。

三、学习方法1. 制定学习计划：我会制定每日、每周的学习计划，明确自己的学习目标和任务，制定周详的学习计划表，在学习的过程中不断激励自己。

2. 积极主动学习：我会在学习过程中积极主动地参与，主动与老师、同学、家长交流，主动找资料，主动去做题，在学习中给自己设立一些挑战，提高自己的解题能力和学习兴趣。

2020-2021学年浙江省A9协作体高二暑假返校联考数学试题(解析版)

2020-2021学年浙江省A9协作体高二暑假返校联考数学试题一、单选题1．若R α∈，sin cos 0αα⋅<，tan sin 0αα⋅<，则α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【分析】根据各象限的三角函数的符号判断即可．【详解】解：sin cos 0αα<，α在第二、四象限，tan sin 0αα<，α在第二、三象限，故α的终边在第二象限，故选：B ．2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，378a a +=，735S =，则45a a +=（） A ．1 B ．5C ．7D ．9【答案】D【分析】利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求出4a 的值，结合等式378a a +=可求得5a 的值，由此可计算得出45a a +的值.【详解】由等差中项的性质可得37528a a a +==，解得54a =，()177477352a a S a +===，解得45a =，因此，459a a +=. 故选：D. 3．已知4sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2α的值为（） A ．725B ．2425C ．2425-D ．725-【答案】A【分析】根据条件，先求角的余弦，进而利用平方关系可求正弦，从而可求二倍角．【详解】解：由题意，4sin()25πα+=∴4cos 5α=∴229sin 1cos 25αα=-=∴227cos 2cos sin 25ααα=-=故选：A ．4．若b 为单位向量，a b a +=，则向量a 在向量b 方向上的投影为（） A ．1- B ．1 C ．12D ．12-【答案】D【分析】由向量的平方等于模长的平方化简即可求解【详解】向量a 在向量b 方向上的投影为cos a θ，因为a b a +=，所以2222a b a b a ++⋅=，即220b a b +⋅=，又b 为单位向量，则12cos 0a θ+=，求得1cos 2a θ=-，故答案为：D5．函数()sin f x x x =-在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎣C ．,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2-【答案】B【分析】先将函数转化为()2cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的性质求解.【详解】函数()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭因为2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,666x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，cos 3x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的值域为⎡⎣，6．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（） A ．222a b +≥ B ．124a b->C ．22log log 0a b +≥D ．2a b +≤【答案】C【分析】由基本不等式得1ab ≤，根据各选项结合已知条件即可判断正误.【详解】由0a >，0b >，2a b +=，得2()14a b ab +≤=当且仅当a b =时等号成立，222()22a b a b ab +=+-≥，124a b b --=，111b a -=->-，即124a b->， 222log log log ()0a b ab +=≤，2()24b a b ab a +=++≤，又0a b +>，即有2a b +≤，故选：C 7．已知sin ,0()(),x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩为奇函数，则()g x 在下列哪个区间上单调递增（）A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据奇函数的性质求出()()sin 0g x x x =->，画出函数图象即可判断. 【详解】()f x 是奇函数，且0x ≤时，()sin f x x =，当0x >时，0x -<，()()()sin sin f x x x f x ∴-=-==-，即()sin f x x =-，()()sin 0g x x x ∴=->，画出函数图象如下：观察图形可知，()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.【点睛】关键点睛：本题考查函数单调性的判断，解题的关键是根据奇函数性质得出()()sin 0g x x x =->，再数形结合判断单调性.8．已知函数,0()ln 2,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()F x f x a =-的两个零点分别在区间(1,0)-和1,12⎛⎫⎪⎝⎭内，则实数a 的取值范围为（） A ．1,ln 2e⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()ln 2,1D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】先作出,0()ln 2,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩的图像，令()f x a =，利用数形结合法求解即可【详解】先作出,0()ln 2,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩的图像，令()f x a =，在区间(1,0)-内时，x e a =，ln x a =，得到1ln 0a -<<，所以，11a e <<；在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内时，ln 2x a =，2aex =，得到1122ae <<，解得12a e <<，所以，0ln 2a <<；综上，得a ∈1,ln 2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】解题的关键在于先作出,0()ln 2,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩的图像，并令()f x a =，然后，分段讨论出a 的范围，属于中档题9．设二次函数()f x 满足下列条件：①()(2)f x f x =--，(1)0f -=；②当()0,2x ∈时，2()412x f x x ≤≤-+恒成立．若()f x 在区间[]1,m m -上恒有2()12x f x -≤，则实数m 的取值范围是（） A ．[]1,1- B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】由条件①得函数的对称轴和零点，可设出解析式，由条件②中令1x =可求得解析式，然后解出不等式2()12x f x -≤后可确定m 的范围．【详解】由()(2)f x f x =--知1x =-是其对称轴，又(1)0f -=，∴设2()(1)f x a x =+，由②，令1x =得2(1)2f ≤≤，(1)2f =，解得12a =，∴22111()(1)222f x x x x =+=++，不等式2()12x f x -≤为112x +≤，解得3122x -≤≤，由题意31212m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1122m -≤≤．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的性质．考查不等式恒成立问题．函数()f x 满足()()f a x f b x +=-，则2a bx +=是其图象的对称轴．与二次函数有关问题中出现类似条件：当()0,2x ∈时，2()412x f x x ≤≤-+恒成立，可用特殊值法，采用两边夹思想求出某个函数值．10．已知数列{}n a 满足11n n na a a +=+，且1a =记[]x 为不超过实数x 的最大整数，则99[]a =（） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】B【分析】先根据前几项进行合理的推断，然后对推断进行证明即可．【详解】解：由题可知：1a =1[]1a =，2a ==，2[]2a =，3a ==3[]2a =，不妨假设：[]k a k =至多连续k 个．∴证明以上引理证明：若存在大于1k +个，则不妨假设j 是最小的， []j S a k +=，则1[](1)111j k j j a a k a k k +<+⨯+=+>++，与[]j k a +矛盾，所以由引理123139912314+++⋯+<<+++⋯+， 9991[][]13a a ∴>=， 99[]14a ∴=，故选：B ．【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．二、填空题11．已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为______. 【答案】4【分析】由1ab =得1a b=，将11822a b a b +++中的a 全部代换，再结合基本不等式即可求解【详解】由11ab a b=⇒=，则1181814411222222b b a b a b b b b b b b++=++=++≥=+++，当且仅当122b b+=时，即b 时，取到最小值4 故答案为：412．已知0>ω，在函数3sin y x ω=与3cos y x ω=图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为ω的值是______.【答案】3π 【分析】先由题意，得到为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；作出函数图象，结合图象，由勾股定理，列出方程求解，即可得出结果.【详解】根据题意，为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；由题意，令3sin 3cos x x ωω=，可得 sin cos 0x x ωω-=，则sin 04x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4x k πωπ-=，k Z ∈，即14x k ππω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭；当0k =，14x πω=，1y = 当1k =，254x πω=，2y =，如图所示，由勾股定理得()()(2222121y y x x -+-=，即((222544ππωω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即29πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得3πω=.故答案为：3π. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定两交点在同一周期内，结合函数图象列出方方程，即可求解.求解此类题目，要熟记三角函数的图象和性质. 13．已知函数2()2x f x x -=+，若函数()y f x t =-在[]1,2-的最大值为2，则实数t 的值为______. 【答案】1-或2【分析】由题意可得三个非负端点值1||,13|1|,0||,2t x y t x t x ⎧-=-⎪⎪=-=⎨⎪-=⎪⎩，分别令它们为最大值2求t ，再验证是否符合题设即可求t 的值.【详解】4()12f x x =-+，由题意知：4|1|,1024|1|,022t x x y t x x ⎧---≤<⎪⎪-=⎨⎪--≤≤⎪+⎩，∴1x =-时，1||3y t =-；0x =时，|1|y t =-；2x =时，||y t =-；若max 1||23y t =-=时，73t =或53t =-，而73t =有7||23y t =-=>，53t =-有8|1|23y t =-=>，故与题设矛盾；若max |1|2y t =-=时，1t =-或3t =，而3t =有||32y t =-=>，所以只有1t =-时成立；若max ||2y t =-=时，2t =-或2t =，而2t =-有|1|32y t =-=>，所以只有2t =时成立；综上有：1t =-或2t =，故答案为：1-或2【点睛】关键点点睛：根据已知解析式得到4|1|,1024|1|,022t x xy t x x ⎧---≤<⎪⎪-=⎨⎪--≤≤⎪+⎩，再确定边界值，结合题设讨论最值为不同端点值时求t ，并验证t 值.三、双空题14．已知函数1()21,1x f x x x x ≤≤=⎨-+>⎪⎩，则14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______，若()2f a =，则a =______. 【答案】122 【分析】首先根据分段函数的解析式直接求出14f ⎛⎫⎪⎝⎭，由()2f a =，对参数a 分两种情况讨论，分别计算可得；【详解】解：函数1()21,1x f x x x x =⎨-+>⎪⎩，11()42f ∴==，若()2f a =，则当01a 时， ()2f a ==，解得4a =，不成立；当1a >时， ()210f a a a=--=，整理得220a a --=，解得2a =或1a =-（舍)，综上，2a =．故答案为：12；2． 15．已知角α和角β的终边垂直，且角α终边上一点坐标(1,2)P ，则tan α=______，cos β=______.【答案】25±【分析】由α终边上点(1,2)P 即可求tan α，根据cos()0αβ-=以及同角三角函数平方关系即可求cos β.【详解】由角α终边上一点坐标(1,2)P 知：tan 2yxα==，由题意知：sin αα==cos()cos cos sin sin 0αβαβαβ-=+=， ∴cos 2sin 0ββ+=，又22cos sin 1ββ+=，即可得cos β=，故答案为：2，5±16．已知数列{}n a 满足12=a ，且1=2n n a a +，则n a =______；若1n b n =+，2nn na cb =，则nc 的最小值为______. 【答案】2n49【分析】可得{}n a 是等比数列，即可求出通项公式，再作差判断出数列{}n c 的单调性，即可求出最小值. 【详解】1=2n n a a +，∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⨯=，()2221nn n n a c b n ∴==+，()()()12122221221221+1n n n nn n n nc c n n n -----=-=+∴-（2n ≥），令()221f n n n =--（2n ≥），可得()f n 在2n ≥递增，且()210f =-<，()320f =>，2n ∴≤时，10n n c c --<，{}n c 递减，当2n >时，10-->n n c c ，{}n c 递增，0n c >，2n ∴=时，n c 取得最小值为249c =. 故答案为：2n ；49.【点睛】关键点睛：本题考查数列最值的求解，解题的关键是求出1n n c c --，根据正负判断出单调性，再求出最值. 17．在ABC中，AB =AC =，3C π=，则角B =______，ABC 的面积S =______. 【答案】4π34+ 【分析】利用正弦定理求出sin B 的值，结合大边对大角定理可求得角B 的值，利用两角和的正弦公式求出sin A 的值，利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.【详解】由正弦定理得sin sin AC ABB C=，可得sin sin 2AC C B AB===，AC AB <，则B C <，且()0,B π∈，所以，4B π=.()()sin sin sin sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+=⎡⎤⎣⎦ 因出，ABC的面积113sin 2244S AB AC A =⋅⋅==. 故答案为：4π.四、解答题18．在平面直角坐标系xOy 中，向量(cos ,sin )a αα=，(cos sin ,cos sin )b αααα=-+，其中0απ<<.（1）求a b ⋅的值；（2）若()1,1c =，且()//b c a +，求α的值. 【答案】（1）1；（2）2π. 【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示即可求a b ⋅的值；（2）由向量平行的坐标表示可得sin cos 1αα-=，应用辅助角公式及已知条件即可求得α的值.【详解】（1）cos (cos sin )sin (cos sin )a b αααααα⋅=-++1=（2）(cos sin 1,cos sin 1)b c αααα+=-+++，又()//b c a +，cos (cos sin 1)sin (cos sin 1)0αααααα∴++--+=，整理得sin cos 1αα-=，14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0απ<<， ∴44ππα-=，有2πα=.19．已知等差数列{}n a ，公差0d ≠，记数列{}n a 的前n S 项和为n S ，36S =，3a 是1a 与9a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列()*22(1)N 41nn n a b n n =-∈-.数列{}n b 的前2n 项为2n T ，求证：225n T ≤-. 【答案】（1）n a n =，*n ∈N ；（2）证明见解析.【分析】（1）根据3a 是1a 与9a 的等比中项得到2193a a a ⋅=，再由36S =，求得首项和公差即可.（2）由（1）得到(1)1122121n n b n n -⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）因为3a 是1a 与9a 的等比中项.所以2193a a a ⋅=，1a d ∴=，3336S a d =+=， 11a d ∴==，所以n a n =，*n ∈N .（2）由（1）知：22(1)11(1)4122121n nn n b n n n -⎛⎫=-=+ ⎪--+⎝⎭，所以2111111123354141n T n n ⎛⎫=--+++⋅⋅⋅++ ⎪-+⎝⎭， 11212415n ⎛⎫=-+≤- ⎪+⎝⎭. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知2sin cos cos 06B A C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭.（1）求角A 的大小；（2）若233a c b +=，求cos C 的值. 【答案】（1）23A π=；（2. 【分析】（1）根据2sin cos cos 06B A C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，利用两角和与差的三角函数化简得cos sin sin 0B A A B +=，再根据sin 0B ≠求解.（2）根据233a c b +=，利用正弦定理得到2sin 3sin 3sin A C B +=，再结合（1）的结果，利用两角和与差的三角函数求得sin 33C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由cos cos 33C C ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求解.【详解】（1）因为2sin cos cos 06B A C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以12sin cos cos (cos cos sin sin )022B B A A B A B ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，cos sin sin 0B A A B +=. 因为sin 0B ≠，所以tan A = 因为()0,A π∈，所以23A π=. （2）因为233a c b +=，所以2sin 3sin 3sin A C B +=，13sin 3sin 3cos sin 322C C C C π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即9sin 22C C -= 所以1cos 33C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又332C πππ<+<，所以sin 33C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos cos 33C C ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，cos cos sin sin 3333C C ππππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：有关三角形的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．21．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，12a =，1(32)(1)n n n nS nS a n n +=+++. （1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若1n n b a n =+-，求数列{}n b 的前n 项和n A .【答案】（1）证明见解析，3nn a n n =⋅-；（2）1(21)3344n n n A n +-=+-.【分析】（1）由递推式可得11311n n a a n n +⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，即可证1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭并得到通项公式，进而写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得31nn b n =⋅-，利用分组求和、错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n A .【详解】（1）11n n n S S a ++-==3(1)2n a n n ⎛⎫++⎪⎝⎭，即1321n n a an n +=⨯++，得11311n n a a n n +⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，又12a =，即1130a +=≠，10na n+≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，∴13n na n+=，即有3n n a n n =⋅-；（2）由（1）知，31nn b n =⋅-，记{}3nn ⋅的前n 项和为nT ，221323333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，①∴23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，②①-②得，()12311313(12)3323333331322n n n n n n n T n n +++---=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯=--， 1(21)3344n n n T +-∴=+，而n n A T n =-，1(21)3344n n n A n +-∴=+-.【点睛】思路点睛：1、当由递推关系可得到1n n a ma C +=+，,m C 为常数或含n 的代数式形式，注意应用同形异角求辅助数列的通项公式，进而写出原数列通项公式.2、由已知数列以及与新数列的关系，首先求新数列通项，再根据所得通项确定应用何种方法求前n 项和.22．已知函数2()23f x x ax =-+，()42x x a g x -=-，其中R a ∈. （1）当0a =时，求函数()g x 的值域；（2）求关于x 的不等式()5f x a <+的解集；（3）当0a <时，设(),()(),f x x a h x g x x a>⎧=⎨≤⎩，若()h x 的最小值为12-，求实数a 的值.【答案】（1）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）答案见解析；（3）12a =-.【分析】（1）由0a =得到211()42224xxx g x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，.然后令20x t =>利用二次函数的性质求解.（2）将不等式()5f x a <+转化为(1)[2(2)]0x x a +-+<，然后分212a +>-， 212a +=-，212a +<-三种情况讨论求解. （3）根据()()(),,f x x a h x g x x a⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，由x a ≤时，()42x x ah x -=-，令2x t =，(0,2a t ⎤∈⎦，分12a ≤-， 102a -<<求其值域，当x a >时，由 22()2348a a h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭根据0a <，得到2()3,8a h x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，然后再根据()h x 的最小值为12-求解. 【详解】（1）当0a =时，211()42224x x x g x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，. 令20xt =>，则21124y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 的值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为2()235f x x ax a =-+<+，即2220x ax a ---<，所以(1)[2(2)]0x x a +-+<，当212a +>-即4a >-时，解集为21,2a +⎛⎫- ⎪⎝⎭；当212a +=-即4a =-时，解集为∅，当212a +<-即4a 时，解集为2,12a +⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）因为()()(),,f x x ah x g x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，①当x a ≤时，()42x x a h x -=-，令2x t =，(0,2at ⎤∈⎦，则221111()224a a a t F t t t ++⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以当x a ≤时，（1）12a ≤-，1122aa +≤，)()41,0a F t ⎡∈-⎣ （2）102a -<<，11202a a +>>，11(),04a F t +⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭②当x a >时，2()23h x x ax =-+，即222()232()348a a h x x ax x =-+=--+，因为0a <，所以4aa >，2()3,8a h x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭. 01.若1412a-=-，12a =-，此时211338322a -=->-，符合题意； 02.若11142a +-=-，12a =-(舍)；03.若21382a -=-，a =-141412a --=-<-，不符合题意.综上，实数12a =-. 【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．。

高二数学-09暑假1715

高二数学第一讲等差数列和等比数列 7.15等差,等比数列的通项公式等差数列等比数列定义()*+∈=-N n d d a a n n ,1为常数()*+∈=N n q q a a nn ,1为常数通项公式()d n a a n 11-+=11-•=n n q a a()等差中项公式成等差数列c a b c b a +=⇔2,, (等比中项公式成等比数列c a b c ba •=⇒2,,性质q p n m a a a a q p n m +=++=+则若 q p n m a a a a q p n m •=•+=+则若成等差数列 ,,,232n n n n n S S S S S --成等比数列 ,,,232n n n n n S S S S S --一个公式()n n a n S 1212-=-两个充要条件 {}()为常数是等差数列b d b dn a a n n ,+=⇔ {}()为常数是等差数列b a bn an S a n n ,2+=⇔性质 ()d m n a a m n -=-m n mnq a a -=例1在等差数列{}n a 中,已知31,10125==a a ,求数列{}n a 的通项公式.小结:在数列{}n a 的通项公式中有两个基本量d a ,1,所以要求数列{}n a 的通项公式,需要两个条件例2有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两数的和为18,中间两数的和为21,求这四个数.小结:若三个数成等差数列,一般可设为d a d a a 2,,++或d a a d a +-,,;若三个数成等比数列,一般可设为2,,aq aq a例3（1）. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37101148,4a a a a a +-=-=，则13S 等于________.（2）. 在等比数列{}n a 中，()91019200,a a a a a a b +=≠+=，则99100a a +等于____________. （3）已知等差数列{}n a 中，0n a ≠，若1m >，且211210,38m m m m a a a S -+-+-==，则m 等于___________________.例4设数列{}n a 是等差数列,65=a (1) 当33=a 时,请在数列{}n a 中找一项m a ,使得m a a a ,,53成等比数列; (2)当23=a 时,若自然数()*∈Nt n n n t ,,,,21满足 t n n n215使得,,,,,,2153t n n n a a a a a 成等比数列,求数列{}t n 的通项公式.列,这是高考常考的内容.(2)本题要注意t n a 的双重身份,它在等差数列{}n a 中是第t n 项,在等比数列中是第2+t 项.再如3a ,它在等差数列{}n a 中是第3项,在等比数列中是第1项.再比如 5a等差数列等比数列的求和公式等差数列等比数列求和公式()n a a S n n •+=21E:\Wenku\2naming\55\教学资料\6.讲义、测试卷\数学家\高斯1.htm()d n n na S n •-•+=211()⎪⎩⎪⎨⎧≠--==111111q qq a q na S nn性质()nn a n S •-=-1212{}()是常数是等差数列b a bn an S a n n ,2+=⇔例5已知数列{}n a 中,()+-∈≥+=N n n a a n n ,2211,23=m a ,前m 项和215-=m S 求1a 和m 的值.小结 (1) 熟练地掌握等差数列的通项公式和求和公式是解决此类问题的关键;(2)处理数列问题,一定要看清是等差数列,还是等比数列,还是其它数列.是等差数列,才可以大胆的使用等差数列的公式,是等比数列,才可以大胆的使用等比数列的公式,否则就不可以用等差等比数列的公式,除非你可以证明他是等差或者等比数列.例6（1）在等比数列{}n a 中,128,66121==+-n n a a a a ,且前n 项的和126=n S ,求n 及公比q . （2）设n S 是等差数列{}a 的前n 项和，6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于____.（3）等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为___________.小结在处理等差数列等比数列问题时，若能利用等差等比数列的性质的话，往往能够简化计算。

2021年高二数学暑期作业(套卷)(4) Word版含答案

2021年高二数学暑期作业（套卷）（4） Word版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．．1．设集合则▲．2．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是____▲____．3．计算复数＝▲（为虚数单位）．4. 连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是▲．Array 5．若，则的最小值是___▲______.6．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的序号是▲．7．已知满足约束条件,则的最大值为▲.8．程序框图如图(右)所示,其输出结果是____▲____.9．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则实数的取值范围是____▲____．10．若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面积为▲.11．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为▲. 12．已知函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，函数的图像的对称中心为，……，由此推测函数的图像的对称中心为▲．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3b sin C－5c sin B cos A＝0，则△ABC面积的最大值是▲．14．已知是锐角的外接圆圆心，，，则▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．（I）求证：平面；（II）若，求证：．16．(本小题满分14分)已知函数的最小正周期为.（I）求.（II）在图中给定的平面直角坐标系中,画出函数在区间上的图象,并根据图象写出其在上的单调递减区间.EOC1 A1B1CBA17. (本小题满分14分)光在某处的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，假设比例系数都为1。

2021年高二暑期预习作业数学试题(五) 含答案

2021年高二暑期预习作业数学试题（五）含答案1．下列不等式中成立的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则2．函数的最大值为M，最小值为N，则（）A． B． C． D．3．在中，若，则的形状是 ( )A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定4．设等差数列的前项和为,若,,则当取最小值时,等于（）A．9 B．8 C．7 D．65．在等差数列中，已知a1－a4－a8－a12+a15=2，那么S15=（）A．-30 B．15 C．-60 D．-156．已知等差数列的通项公式为，则它的公差为（）A．2 B ．3 C． D．7．已知平面上三个点A、B、C满足++的值等于（）A. 25B. 24C. -25D. -248．将函数y=sin（6x+的图象上各点向右平移个单位，则得到新函数的解析式为（）A．y=sin B．y=sin C．y=sin D．y=sin9．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是 ( )A． B． C． D．10．已知等差数列的公差，若，则该数列的前项和的最大值是( )A．B． C．D．11．设x，y满足约束条件，若目标函数（a>0，b>0）的最大值为12，则的最小值为( )A. B. C. D. 412．在等差数列中，，前n项的和是，则使最大的项是( )A. 第5项B. 第6项C. 第5项或第6项D. 第6项或第7项13．关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于 .14．在扇形中，已知半径为，弧长为，则扇形面积是 .15．实数满足，则的最大值为____________．16．已知，则取值范围是．17．（本小题满分12分）已知函数，（其中），其部分图像如图5所示．（1）求函数的解析式；（2）已知横坐标分别为、、的三点、、都在函数的图像上，求的值．18．（本题满分12分）在中，角所对的边分别为a,b, c ．已知且．（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）若角为锐角，求p 的取值范围19．已知数列的通项公式为a n =lg,问这个数列是等差数列吗？若是等差数列,其首项与公差分别是多少？20．如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，，其中.（1）求表达式的值，并说明理由；（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的的值.图5 yx2-1-01-112345621．（本小题满分12分）如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是单位圆上的两点，是坐标原点，，，．（1）求点坐标（2）若，求的值．22．（本小题满分12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，．（1）求△ACD的面积；（2）若，求AB的长．暑假试卷作业（五）答案1．D试题分析：A 选项，若，则，A 不正确；B 选项，，B 不正确；C 选项，若，则，C 不正确；D 选项，若，则，故选D ．考点：不等式的性质2．D试题分析：易知函数的定义域为R ，函数解析式可化为xx x x x x x x x x x f cos sin cos cos sin )(+++=++++=2222122．设，易知函数为奇函数，所以其最大值与最小值互为相反数，并分别设为a ，-a ，所以函数的最大值M=1+a ，最小值N=1-a ，故．选D ．考点：函数奇偶性的应用．【思路点睛】一看题目，总感觉无从下手，原因是：我们的思维停留在求最值上，本题用我们学过的最值计算方法都无法求出最值．当对解析式进行分析时发现，函数可化为，虽然函数的最值难以计算，但可以利用奇偶性得出其最大值与最小值互为相反数，故不需求出最值的具体值就可解决问题．该题启发我们对试题应观察入微以及函数的性质的灵活运用．3．A.试题分析：由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以.所以是钝角三角形.考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断．4．D【解析】，371164322130,6,2n n a a a d d a n n S +=-∴+=-∴=∴=-<∴<，最小时n=6,故选D. 5．A试题分析：由等差数列性质可知，所以a 1－a 4－a 8－a 12+a 15=2转化为考点：等差数列性质及求和6．C试题分析：1221321,12n a n a a d a a ∴=-∴==-∴=-=-考点：等差数列通项公式7．C【解析】本题考查向量的加法运算，向量的数量积机平面几何知识. ,则是直角三角形所以 2()||25.BC CA CA AB CA BC AB CA AC CA ⋅+⋅=⋅+=⋅=-=-故选C8．A试题分析：新函数解析式为y=sinsin 故选A ．考点：图像平移．【方法点睛】图像的左右平移：（1）①当时，函数的图像向左平移个单位得到函数的图像；②当时，函数的图像向右平移个单位得到函数的图像．（2）①当时，函数的图像向左平移个单位得到函数的图像；②当时，函数的图像向右平移个单位得到函数的图像．9．C试题分析：C 选项，设，在定义域内是增函数，因此成立。

2021年高二暑期预习作业数学试题(三) 含答案

2021年高二暑期预习作业数学试题（三）含答案1．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A． B． C． D．2．若三个实数成等差数列，则m的值为（）A、 B、C、D、3．已知变量x，y满足约束条件若目标函数取得最大值时的最优解有无穷多组，则点（a，b）的轨迹可能是（）4．把一根长度为7的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为A. B. C. D.5．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．256．等比数列中，，公比q=2，则数列的前4项和为 =（）A．85 B．225 C．15 D．72257．已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则A． B． C． D．8．已知函数，，若不等式的解集为，若对任意的，存在，使，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．9．等差数列{a n}的前n项和为(n＝1,2,3，…)，若当首项a1和公差d变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是 ( )A． B． C． D．10．在△中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则△的形状一定是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形11．设变量、满足约束条件则目标函的最小值为（）A．B．C． D．12．正项等比数列的前n项和为，且则公比q等、（）A． B．2 C． D．4、13．给出以下三个命题，其中所有正确命题的序号为＿＿＿＿．①已知等差数列｛｝的前二项和为，为不共线向量，又，若，则S xx＝1006．②是函数的最小正周期为4"的充要条件；③已知函数f (x)＝｜x2－2｜，若f (a) = f (b)，且0<a<b,则动点P(a,b)到直线4x＋3y －15=0的距离的最小值为1；14．在中，若，则 .15．已知等比数列的前n项和为，则x的值为▲ .16．不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_______．17．化简：18．已知函数（，，求函数的最小值。

高二数学暑假学习计划

高二数学暑假学习计划暑假即将来临，这将是一个难得的学习机会。

在这个暑假，我打算好好把握这个机会，利用这段时间来充实自己，提高自己数学知识的水平。

为了能够更好地安排自己的时间与内容，我特别制定了以下的高二数学暑假学习计划。

一、复习计划1. 复习高一数学知识在高二的数学学习中，高一的数学知识是基础。

在暑假期间，我打算对高一的数学知识进行复习，包括代数与函数、平面向量、立体几何和概率统计等内容。

通过复习这些知识，可以加深对数学基础知识的理解，为高二和以后的学习做好铺垫。

2. 复习高二上学期的知识高二上学期的数学学习内容包括了函数与导数、数列与数学归纳法、概率统计等知识点。

我打算在暑假期间对这些知识进行系统复习，查漏补缺，做到对每一个知识点都有深刻的理解。

3. 针对高二下学期的内容做预习在暑假期间，我还将抽出时间对高二下学期的数学知识进行预习，包括三角函数、数学建模、导数在几何中的应用、微分方程等内容。

通过提前预习，可以让自己对新知识有所了解，在开学后能够更轻松地学习新知识。

二、题目练习1. 系统做题在暑假期间，我计划每天花1-2小时的时间做数学题目训练。

这些题目包括高一数学、高二上学期数学和高二下学期数学的相关练习题，通过系统的做题训练，可以巩固自己的数学知识和技能，同时也可以在解题过程中发现自己的不足，及时加以改正。

2. 做模拟试题在暑假期间，我还将做一些高考模拟试题，例如中考数学模拟题、高考数学模拟题等。

通过做这些模拟试题，可以提高自己的解题技巧，了解高考数学考试的出题规律，为未来的备战高考做好准备。

三、自主学习在暑假期间，我还打算通过自主学习的方式来提高自己的数学水平。

这包括：1. 阅读数学相关的书籍和资料在暑假期间，我计划阅读一些数学相关的书籍和资料，了解数学的发展历程、数学的应用等方面的知识。

通过阅读这些书籍，可以扩展自己的数学知识面，增加对数学的兴趣和热情。

2. 自主学习一些数学奥林匹克题在暑假期间，我还将自主学习一些数学奥林匹克题，这类题目难度大，涉及的知识点也非常广泛。