双因素方差分析实验案例
双因素方差分析实例
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某葡萄酒企业有化验员3人，担任葡萄酒酒精度检验 (jiǎnyàn)。每人从B1到B10 10个贮酒罐随机抽样1次进行检验 (jiǎnyàn)，检验(jiǎnyàn)结果如表所示，试分析3名化验员的 化验技术有无差异，以及每罐葡萄酒的酒精度有无差异。
A3
11.61 10.75 12.40 12.41 10.72 13.10 13.58 12.88 11.46 12.94
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❖ 因素(yīn sù)“酒 罐号”有10个酒罐， 每个酒罐抽取3个样 品，“化验员”有3 名，每名化验员抽 取10个样品，每个 酒罐抽取样品1个。
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❖ 每个酒罐葡萄酒的平均(píngjūn)酒精度和平均(píngjūn)数的标准差
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❖ B2与B5、B1与B9，B4与B3、B8与B4、B3、B10与B8差异不显著 (xiǎnzhù)；
❖ 不同贮酒罐内葡萄酒的酒精度均差异显著(xiǎnzhù)。
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双因素(yīn sù)方差分析（有重 复）
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为了提高某产品的得率，研究了 提取温度（A）和提取时间（B）对产 品得率的影响。提取温度（A）有3个 水平，A1为80℃、A2为90℃、A3为 100℃；提取时间B有3个水平，B1为 40min，B2为30min，B3为20min，共 组成9个水平处理组合，每个水平组 合含3个重复。实验(shíyàn)结果如 表所示，试分析提取温度和提取时间 对该产品得率的影响。
贮酒罐编号
化验
员
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
A1
11.71 10.81 12.39 12.56 10.64 13.26 13.34 12.67 11.27 12.68
无交互影响的双因素方差分析
1、无交互影响的双因素方差分析如果某一试验结果受到A和B两个因素的影响，这两个因素分别可取K和M个水平，则双因素分析实际上就是要比较因素A的K个水平的均值之间是否存在显著差异，因素B 的M个水平的均值之间是否存在显著差异。
假定试验的结果如下表所示（在假定两个因素无交互影响的情形下，通常采用不重复试验）。
表9-8 无交互影响的双因素分析试验观察值无交互影响的双因素方差分析结果如下表：表9-9 无交互影响的双因素分析表在显著性水平α下，如果F > 临界值Fα,则拒绝原假设，认为差异显著。
小案例9-1：有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌(品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量的影响，对每个品牌在各地区的销售量取得表9-10的数据。
试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？(α=0.05)表9-10 不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据提出假设：对品牌因素提出的假设为：H0：m1=m2=m3=m4 (品牌对销售量无显著影响)H1：mi (i =1,2, …, 4) 不全相等(有显著影响)对地区因素提出的假设为：H0：m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量无显著影响)H1：mj (j =1,2,…,5) 不全相等(有显著影响)表9-11 方差分析表结论：F品牌＝18.10777>Fα＝3.4903，拒绝原假设H0，说明彩电的品牌对销售量有显著影响。
F地区＝2.100846<Fα＝3.2592，不拒绝原假设H0，无证据表明销售地区对彩电的销售量有显著影响。
资料来源：贾俊平、何晓群、金勇进，《统计学》[M].北京: 中国人民大学出版社,2004.10第2版。
实验5——双因素方差分析(无重复)
将所有数据输在第一列，并命名为“含量比 ”，将所对应的因素A的水平数输在第二列，命名 为“PH值”，将所对应的因素B的水平数输在第 三列，命名为“浓度”。
3. SPSS程序选项
1）Analyze=>General Linear Model=>Univariate
Si g. .975 .592 .217 .975 .579 .174 .592 .579 .604 .217 .174 .604
95% Confidence Interval
Lower Bound Upper Bound
-2.865
3.732
-2.179
4.245
-1.173
4.706
-3.732
5）单击Continue，返回上一级菜单，单击Option，选择 需显示描述性统计量及方差齐性检验，单击Continue返回上 一级菜单单击OK。
主 要 结 果：
1）描述性统计量
Descriptiv e Statistics
Dep endent Vari abl e : 含 量 比
ph 值 1
浓度 1
2.222
T o ta l
46.290
df 3 2
12
Mean Square 1.763 1.111
F 40.948 25.800
Si g. .000 .001
PA 0.000 0.05, 拒绝原假设，认为因素A对指标有影响 PB 0.001 0.05, 拒绝原假设，认为因素B对指标有影响
4）PH值多重比较
蒸
A1
馏
A2
水
A3
论文—双因素试验的方差分析
X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未 知 ）， 记 X ijk i = ijk ， 即 有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2）， 各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2， ，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号： ， i , j , i , j , 易见
i 1
r
i 0 ，
j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称 为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称 成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ） ，
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解 引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2， ，r，j=1，2， ，s， t k 1
t
X
i =
试 验 结 因 素 果 A 因 素 B
SPSS双因素方差分析
SPSS双因素方差分析例1 对小白鼠喂以三种不同的营养素，目的是了解不同营养素增重的效果。
采用随机区组设计方法，以窝别作为划分区组的特征，以消除遗传因素对体重增长的影响。
现将同品系同体重的24只小白鼠分为8个区组，每个区组3只小白鼠。
三周后体重增量结果(克)列于下表，问小白鼠经三种不同营养素喂养后所增体重有无差别？这可以认为是无重复实验的双因素方差分析，SPSS软件版本：18.0中文版。
1、建立数据文件变量视图：建立3个变量，如下图数据视图：如下图：区组号用1-8表示，营养素号用1-3表示。
数据文件见“小白鼠喂3种不同的营养素增重数量.sav”，可以直接使用。
2、统计分析菜单选择：分析-> 一般线性模型-> 单变量点击进入“单变量”对话框将“体重”选入“因变量”框，“区组”、“营养素”选入固定因子框点击右边“模型”按钮，进入“单变量：模型对话框”点击“设定”单选按钮（无重复双因素方差分析不能选全因子！），在“构建项”下拉菜单中选择“主效应”（只能选主效应）把左边的因子与协变量框中区组和营养素均选入右边的模型框中其余选项取默认值就行，点击“继续”按钮，回到“单变量”界面点击“两两比较”按钮，进入下面对话框将左边框中“区组”、“营养素”均选入右边框中再选择两两比较的方法，LSD、S-N-K，Duncan为常用的三种方法，点击“继续”按钮回到“单变量”主界面。
点击“选项”按钮勾选“统计描述”及“方差齐性检验”，设置显著性水平，点击“继续”按钮，回到“单变量”主界面点击下方“确定”按钮，开始分析。
3、结果解读这是一个所分析因素的取值情况列表。
变量的描述性分析这是一个典型的方差分析表，有2个因素“营养素”和“区组”，首先是所用方差分析模型的检验，F值为11.517，P小于0.05，因此所用的模型有统计学意义，即认为至少有一个因素对体重增长有显著影响，可以用它来判断模型中系数有无统计学意义；第二行是截距，它在我们的分析中没有实际意义，忽略即可；第三行是变量是区组，P<0.001，可见有统计学意义（即认为区组对体重增长有显著影响），不过通常我们关心的也不是他；第四行是我们真正要分析的营养素，非常遗憾，它的P值为0.084，没有统计学意义（即认为营养素对体重增长没有显著影响）。
实验双因素方差分析
实验10 双因素方差分析双因素方差分析是对样本观察值的差异进行分解，将两种因素下各组样本观察值之间可能存在的系统误差加以比较，据此推断总体之间是否存在显著性差异，根据两因素是否相互影响，双因素分析分为不存在交互作用的双因素方差分析和存在交互作用的双因素方差分析。
10.1 实验目的掌握使用SAS进行双因素方差分析的方法。
10.2 实验内容一、用INSIGHT作双因素方差分析二、用“分析家”作双因素方差分析三、用glm过程作双因素方差分析10.3 实验指导一、用INSIGHT作双因素方差分析【实验10-1】工厂订单的多少直接反映了工厂生产的产品的畅销程度，因此工厂订单数目的增减是经营者所关心的。
经营者为了研究产品的外形设计及销售地区对月订单数目的影响，记录了一个月中不同外形设计的该类产品在不同地区的订单数据如表10-1（sy10_1.xls）所示。
试用双因子方差分析检验该产品的外形设计与销售地区是否对订单的数量有所影响。
表10-1 不同外形设计的产品在不同地区的订单数据销售地区设计1 设计2 设计3地区1 700 450 560 地区2 597 357 420 地区3 697 552 720 地区4 543 302 515该问题即检验如下假设：H0A：不同的设计对订单数量无影响，H1A：不同的设计对订单数量有显著影响H0B：不同地区对订单数量无影响，H1B：不同地区对订单数量有显著影响具体步骤如下：1. 生成数据集将表10-1在Excel 中整理后导入成如图10-1左所示结构的数据集，存放在Mylib.sy10_1中，其中变量a 、b 、y 分别表示销售地区、外形设计、销售量。
图10-1 数据集mylib.sy10_1与分析变量的选择 2. 方差分析在INSIGHT 模块中打开数据集Mylib.sy10_1。
选择菜单“Analyze （分析）”→“Fit （拟合）”，在打开的“Fit(X Y)”对话框中选择数值型变量作因变量，分类型变量作自变量：选择变量y ，单击“Y ”按钮，选择变量a 和b ，单击“X ”按钮，分别将变量移到列表框中，如图10-1右所示。
8.9有交互作用双因素方差分析问题描述
r
mij
j =1
=1 k
k
1
i=1 mi鬃= r
r
mj
j =1
å1 r
mi× = r
mij
j =1
å m×j
=
1 k
k i =1
mij
ai = mi× - m
bj = m×j - m
i =1, 2,..., k
j =1, 2,..., r i =1, 2,..., k j =1, 2,..., r
(ab)ij = mij - mi鬃- m j + m
ì ï
X ij
= mij
+ ai
+bj
+ (ab)ij
+e ijs
ï ïï
e ijs
~
N (0,s
2 ), 各e ijs独立
í ï
i
=1, 2,..., k;
j
=1, 2,..., r; s
=1, 2,..., t
邋 邋 ï k
r
k
r
ï ïî
ai
i =1
= 0; bj
i =1
= 0; (ab)ij
i =1
… ..., X krt
… T鬃r
… X 鬃r
…
Ti鬃
X i鬃
…
…
Tk鬃
X k鬃
总和 总均值
TX
有交互作用双因素方差分析问题描述
所考察的因素记为
因素 共有 个水平 因素 共有 个水平
Xijs ~ N(mij ,s 2)(i =1, 2,..., k; j =1, 2,..., r; s =1, 2,...,t) 其中，
(整理)实验七 双因素方差分析.
实验七 双因素方差分析实验目的：掌握两因素方差分析的基本理论、统计意义与方法、掌握利用SAS 进行模型的建立与显著性检验．实验要求:编写程序，结果分析． 实验内容：1.写出两因素等重复实验下方差分析模型，检验步骤；模型：Y —因素A 和B,水平a A A A ,,,21 ,b B B B ,,,21 ,组合水平),(j i B A 观测值ijc ij ij y y y ,,,21⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======++++=+=∑∑∑∑====0,0,0,0),,0(~,,2,1,,2,1,,,2,1,11112b j ij a i ij b j j a i i ijk ijk ijk ij i i ijk ij ijk N ck b j a i y γγβαεσεεγβαμεμ相互独立且诸，T A B AB E SS SS SS SS SS =+++检验步骤：（1）统计模型 Y —因素A 和B,水平a A A A ,,,21 ,b B B B ,,,21 ,组合水平),(j i B A 观测值ijc ij ij y y y ,,,21⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======++++=+=∑∑∑∑====0,0,0,0),,0(~,,2,1,,2,1,,,2,1,11112b j ij a i ij b j j a i i ijk ijk ijk ij i i ijk ij ijk N ck b j a i y γγβαεσεεγβαμεμ相互独立且诸，T A B AB E SS SS SS SS SS =+++（2）显著检验假设：0:0:1210≠↔====i A a A H H αααα至少有某个0:0:1210≠↔====j B b B H H ββββ至少有某个0:,,2,1,,,2,1,0:00≠↔===ij AB ij AB H b j a i H γγ至少统计量 ))1(,1(~0--=c ab a F MS MS F A H EA A 真))1(,1(~0--=c ab b F MS MS F B H E B B 真 ))1(),1)(1((~0---=c ab b a F MS MS F A H EAB AB真检验p 值：如p α<，拒绝相应假设)))1(,1(()(0A A A H A f c ab a F P f F P p A ≥--=≥=)))1(,1(()(0B B B H B f c ab b F P f F P p A ≥--=≥=)))1(),1)(1(()(0AB AB AB H AB f c ab b a F P f F P p AB ≥---=≥= （3）无交互效应的各因素均值的估计与比较∙i μ无偏估计 bc y y b j ck ijk i i /11∑∑==∙∙∙∧==μ∙i μα-1置信区间：12(((i y tab c α∙∙-±-∙∙-21i i μμ置信区间：212(((i i y y tab c α∙∙∙∙--±-，(1)/2m a a =-个∙∙-21i i μμ的Bonferroni 同时置信区间1212(((i i my y tab c α∙∙∙∙--±-（4）有交互效应时因素各水平组合上的均值估计与比较),(j i B A 上均值ij μ无偏估计：∙∧=ij ij y μ (1,2,,,1,2,,)i a j b ==ij μ的置信区间：12(((ij y tab cα∙-+-，j i j i 21μμ-置信度不小于α-1的Bonferroni 同时置信区间1212(((i j i j my y tab c α∙∙--±-3.6 3.7（选作）程序如下：（1）data examp3_6;input tielizi $ jldj $ jldjdz @@; cards;a1 b1 0.71a1 b1 1.66a1 b1 2.01a1 b1 2.16a1 b1 2.42a1 b1 2.42a1 b1 2.56a1 b1 2.60a1 b1 3.31a1 b1 3.64a1 b1 3.74a1 b1 3.74a1 b1 4.39a1 b1 4.50a1 b1 5.07a1 b1 5.26a1 b1 8.15a1 b1 8.24a1 b2 2.20a1 b2 2.93a1 b2 3.08a1 b2 3.49a1 b2 4.11a1 b2 4.95a1 b2 5.16a1 b2 5.54a1 b2 5.68a1 b2 6.25a1 b2 7.25a1 b2 7.90a1 b2 8.85a1 b2 11.96a1 b2 15.54a1 b2 15.89a1 b2 18.30a1 b2 18.59a1 b3 2.25a1 b3 3.93a1 b3 5.08a1 b3 5.82 a1 b3 5.84 a1 b3 6.89 a1 b3 8.50 a1 b3 8.56 a1 b3 9.44 a1 b3 10.52 a1 b3 13.46 a1 b3 13.57 a1 b3 14.76 a1 b3 16.41 a1 b3 16.96 a1 b3 17.56 a1 b3 22.82 a1 b3 29.13 a2 b1 2.20 a2 b1 2.69 a2 b1 3.54 a2 b1 3.75 a2 b1 3.83 a2 b1 4.08 a2 b1 4.27 a2 b1 4.53 a2 b1 5.32 a2 b1 6.18 a2 b1 6.22 a2 b1 6.33 a2 b1 6.97 a2 b1 6.97 a2 b1 7.52 a2 b1 8.36 a2 b1 11.65 a2 b1 12.45 a2 b2 4.04 a2 b2 4.16 a2 b2 4.42 a2 b2 4.93 a2 b2 5.49 a2 b2 5.77 a2 b2 5.86 a2 b2 6.28 a2 b2 6.97 a2 b2 7.06 a2 b2 7.78a2 b2 9.23a2 b2 9.34a2 b2 9.91a2 b2 13.46a2 b2 18.40a2 b2 23.89a2 b2 26.39a2 b3 2.71a2 b3 5.43a2 b3 6.38a2 b3 6.38a2 b3 8.32a2 b3 9.04a2 b3 9.56a2 b3 10.01a2 b3 10.08a2 b3 10.62a2 b3 13.80a2 b3 15.99a2 b3 17.90a2 b3 18.25a2 b3 19.32a2 b3 19.87a2 b3 21.60a2 b3 22.25;run;proc anova data=examp3_6;class tielizi jldj; model jldjdz=tielizi jldj tielizi*jldj ; means tielizi jldj;run;样本均值与标准值如下：n=abc=108 a=2,b=3则c=18注：AB B A R SS SS SS SS ++=，因素变量为自变量，个数为自由度p-1=ab-1=5． 先检验0:0=ij H μ，统计量F(5,102)，观测值，检验p 值由结果可知，,接受0AB H ，认为铁离子与剂量等级的交互不显著，即 两种形式的铁离子在不同剂量下在动物体内的存留量认为相同．而检验0A H 和0B H ，检验p 值分别为A p =0.1446和B p =0.001，接受0A H ，拒绝0B H ．说明因素A 对剂量等级的值的影响不显著。
spss操作--双因素方差分析(无重复)
2
3
4
Total
2）多重比较
Mul tiple Compa rison s Dependent Variable: 含量比 Tukey HSD Mean Difference (I) PH值 (J) PH值 (I-J) Std. 1 2 .433 3 1.033* 4 1.767* 2 1 -.433 3 .600* 4 1.333* 3 1 -1.033* 2 -.600* 4 .733* 4 1 -1.767* 2 -1.333* 3 -.733* Based on observed means. *. The mean difference is significant 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound -.153 1.020 .447 1.620 1.180 2.353 -1.020 .153 1.350E-02 1.187 .747 1.920 -1.620 -.447 -1.187 -1.350E-02 .147 1.320 -2.353 -1.180 -1.920 -.747 -1.320 -.147
Mul tiple Compa rison s Dependent Variable: 含量比 Tukey HSD Mean Difference (I) 浓度 (J) 浓度 (I-J) Std. 1 2 .725* 3 1.025* 2 1 -.725* 3 .300 3 1 -1.025* 2 -.300 Based on observed means. *. The mean difference is significant 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound .275 1.175 .575 1.475 -1.175 -.275 -.150 .750 -1.475 -.575 -.750 .150
双因素重复试验方差分析
S I /((r 1)( s 1)) 从而有FB ~ F ((r 1)( s 1), rs (l 1)) Se /(rs(l 1))
对给定的显著性水平 ，拒绝域分别为
WA {FA : FA F ((r 1), rs(l 1))} WB {FB : FB F (( s 1), rs(l 1))} WI {FI : FI F ((r 1)( s 1), rs(l 1))}
行面和-平方-和-均值
列面和-平方-和-均值
纵向和-平方-和-均值 总平方和
1 R xijk l i 1 j 1 k 1
r s l
2 W xijk i 1 j 1 k 1 r s l
2
可以证明：
S A QA P S B QB P
r
s
l
l ( X ij X i X j X ) 2
i 1 j 1
r
ST [( X ijk X ij ) ( X i X ) ( X j X )
i 1 j 1 k 1
r
s
l
( X ij X i X j X )]2
第k次试验的结果列表如下：
B1 A1 A2 Ar
B2
Bs X 1sk X 2 sk X rsk
X 11k X 12 k X 21k X 22 k X r 1k X r 2 k
假设 X ijk ～N ( ij , 2 ), i 1,, r , j 1,, s, k 1,, t .
(3)
S A /(r 1) 从而有FA ~ F (r 1, rs(l 1)) Se /(rs(l 1)) S 2 当H 02成立时， B ~ ( s 1).且S B与Se相互独立 2
怎样使用SPSS进行双因素方差分析
熟练使用SPSS进行双因素方差分析试验内容:[试验][例] 某厂医务室测定了10 名氟作业工人工前、工中及工后4 个小时的尿氟浓度（μ mol/L）, 结果如下表，问氟作业工人在这三个不同时间的尿氟浓度有无差别。
表1 尿氟浓度测试结果编号工前工中工后1 90.53 142.12 87.382 88.43 163.17 65.273 47.37 63.16 68.434 175.80 166.33 210.545 100.01 144.75 194.756 46.32 126.33 65.277 73.69 138.96 200.028 105.27 126.33 100.019 86.32 121.06 105.2710 60.01 73.69 58.951. 数据录入。
以变量x 表示尿氟浓度，变量g 表示时间（工前、工中或工后），可设1 为工前，2 为工中，3 为工后。
变量id表示工人（以编号代表不同工人），如编号为1 的工人工前尿氟浓度为90.53，则录入数据时x为90.53,g 为1,id 为1，数据录入格式如下图。
图1 数据输入界面2. 统计分析。
依次选取“Analyze”、“General Linear Model”、“Univariate” 。
图2 选择分析工具展开对话框如下图，将x选入Dependent Variable（因变量框），g、id 选入Fixed Factors（固定因素框）。
图3 选择变量进入右侧的分析列表对话框右边有一排按钮Mode、 Contrasts 、Plots、 Post Hoc、 Save 和Options,下面分别对其子对话框选项作一简单介绍:Model：指定不同的模型，除方差分析外General Linear Model可作其他统计分析；Contrasts：指定一种要用t 检验来检验的priori 对比；Plots：指定作某种图；Post Hoc：指定两两比较的方法；Save：指定将产生的一些指标保存为新的变量；Options：指定要输出的一些选项，如数据的描述方差齐性检等单击Model 展开其子对话框如下图，最上方Specify Model 定义模型，有两个选项：Full factorial（全因子）和Custom，选取Custom（自定义），Build Terms （选取模型中各项）下方有一选项，单击下拉箭头将其展开，选择Main Effects（主效应因）（本例不考虑交互作用），再将Factors 框中的g、 id 选入Model:框，按Continue返回主对话框，单击Post Hoc 按钮展开其子对话框，将g 选入Post Hoc Test for，即要做两两比较的因素框，选取SNK 即q检验，返回主对话框，单击OK 键提交执行。
两因素方差分析检验之欧阳数创编
，时间：2021.03.02 创作：欧阳数本科学生实验报告学号：……………………姓名：******学院：生命科学学院专业、班级：11级应用生物教育A班实验课程名称：生物统计学实验教师：孟丽华（教授）开课学期： 2012至2013学年下学期填报时间： 2013年5月15日云南师范大学教务处编印一．实验设计方案实验序号及名称：实验九:为了选出某物质较为适宜的条件的两因素方差分析检验实验时间2013-05-10 实验室睿智楼3幢326（一）、实验目的：1、能够熟练的使用SPSS进行二因素方差分析；2、通过本次试验理解二因素方差分析的概念和思想，理解多个因素存在交互效应的统计学含义和实际含义；3、了解方差分析分解的理论基础和计算原理，能够熟练应用单因素方差分析对具体的实际问题进行有效的分析，通过测量数据研究各个因素对总体的影响效果，判定因素在总变异中的重要程度；4、进一步熟悉SPSS软件的应用。
（二）、实验设备及材料：微机、SPSS for Windows V18.0统计软件包及相应的要统计的数据（三）、实验原理：1、两因素方差分析主要用来检测两个自变量之间的是否有显著的影响，检测不同组合之间哪种最显著；2、两因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应；3、双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性；4、比较观测变量总离差平方和各部分的比例，在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由于控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，即控制变量给观测变量带来了显著影响；5、两因素方差分析：（一）、交叉分组资料的方差分析：设试验考察A、B两个因素，A因素分个水平，B因素分b个水平。
双因素重复试验方差分析
Se W R
ST W P S I R QA QB P
双因素重复试验方差分析表 误差来源 因素 A 因素 B 平方和
S A QA P S B QB P
自由度
均方
S MS A A r 1
F值
显著性
r 1
s 1
MS A FA MS E
FB MS B MSe
(3)
S A /(r 1) 从而有FA ~ F (r 1, rs(l 1)) Se /(rs(l 1)) S 2 当H 02成立时， B ~ ( s 1).且S B与Se相互独立 2
S B /( s 1) 从而有FB ~ F ( s 1, rs(l 1)) Se /(rs(l 1)) SI (4) 当H 03成立时， 2 ~ 2 ((r 1)( s 1)).且S I 与Se相互独立
燃料(A)
A2 A3 A4
双因素重复试验的方差分析
设有两个因素 A和 B， 因素 A有 r个不同的 水平 A1 , A2 , , Ar ， 因素B 有s 个不同的水平 B1 ,
B2 , , Bs , 这样共有 r s 个不同的水平搭配
对每个搭配 Ai B j ， 作 l 次独立重复试验，
共获得 n r s l 个观察值， 列表如下：
i 1 j 1 k 1 r s l i 1 s
r
S B ( X j X ) rl ( X j X ) 2
2 i 1 j 1 k 1 j 1
S I ( X ij X i X j X ) 2
i 1 j 1 k 1 s
第k次试验的结果列表如下：
B1 A1 A2 Ar
3-2双因素方差分析
s
因子B的偏差平方和 SB r(x j x)2 j 1
反映了因素B的水平间的差异引起的波动。
rs
误差平方和 Se
(xij xi x j x)2
i1 j1
反映了随机误差引起的波动。
在H01，H02为真时
1
2
St
~
2 (rs
均方 44.88 3.53 2.19
36.0
35.5
34.3
36.1
35.8
32.8
28.5
29.4
F 值 显著性
20.49
**
1.61
查表得临界值F0.05(4，12)=3.26，F0.01(3，12)=5.95。由于 FB＜F0.05(4，12)，故认为地块不同对收获量无显著影响。 由于FA＞F0.01(3，12)，故认为品种不同对收获量影响极显著。
F比
FA
Se
SA /(s
/(r 1) 1)(r 1)
FB
Se
SB /(s
/(s 1) 1)(r 1)
对给定的显著性水平，当
FA>F(r-1, (s-1)(r-1))时拒绝H01, FB>F(s-1, (s-1)(r-1))时拒绝H02 .
例3 将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又 分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分 种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位： 公斤），试以显著性水平α1=0.05,α2=0.01考察品种和地块对收获 量的影响是否显著。
地块
品种
B1
B2
B3
B4
B5
双因素无重复试验方差分析
因素B 因素A
B1
B2
Bs
A1
x11
x12
x1s
A2
x21
x22
x2 s
Ar
xr1
xr 2
xrs
假设 Xij～N (ij , 2 ), i 1,, r, j 1,, s.
各 Xij 独立, ij , 2 均为未知参数 .
1
双因素无重复试验方差分析表
误差来源 平方和 自由度
均方
F 值 显著性
因素 A Leabharlann 素 B 误差 e 总和SA QA P r 1
MS A
SA r 1
FA
MS A MSE
SB QB P s 1
MSB
SB s 1
FB
MSB MSe
Se R QA QB P
(r 1)(s 1)
MSe
(r
Se 1)(s
1)
ST R P rs 1
例 在某种橡胶的配方中，考察了三种不同的促进 剂（因素A）、四种不同份量的氧化锌（因素B）. 每个配方各试验一次，测得橡胶的强度如下：
B1 B2
B3
B4
A1
32 35 35.5 38.5
A2
33.5 36.5 38 39.5
A3
36 37.5 39.5 43
问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对橡胶的
双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验.
如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.
对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 的方差分析.
21两因素有重复方差分析-PPT文档资料32页
11
方差分析表
行间 列间 交互 误差
SS 315.83 207.17
50.33 55.00
df MS 2 157.92 4 51.79 8 6.29
45 1.22
F
F0.05
129.21 **
42.38 **
5.15 **
F0.01 5.12 3.77 2.93
总变异 628.33 59
安康学院
12
安康学院
21
方差分析表
一级间A 二级间B 误差e
SS df
81.47
4
79.32 10
21.33 30
MS
20.368 7.932 0.711
F F0.05 F0.01 28.64** 2.69 4.02 11.16** 2.16 2.98
总变异 182.13 44
安康学院
22
多重比较（一级因素）
b
B
A3
75.67
b
B
安康学院
7
列间多重比较 (SSR 法) 临界值表
dfe 秩次距 k SSR 0.05 SSR 0.01 LSR0.05 LSR0.01
27
2
2.91 3.93 9.28 12.54
取26 3
3.06 4.11 9.76 13.11
行(A 间 )sxa
MeS bn
12 .324 3.19 34
安康学院
17
观测值数据表
一级 二级
n1
n2
n3 二级平均 一级平均
A1
B1
15.6
16.4
15.6
15.9
B2
13.6
15.6
双因素无重复试验设计方差分析 (1)
双因素无重复试验设计方差分析：1.为了考察高温合金中碳的含量（因子A）和锑与铝的含量之和（因子B）对合金强度的影响，因子A取三个水平0.03，0.04，0.05（上述数字表示碳的含量占合金总量的百分比），因子B取4个水平3.3，3.4，3.5，3.6（数字的意义同上）。
试对表中数据作方差分析来回答：不同材质对延伸率有显著影响吗，不同温度对延伸率有显著影响吗？2．使用四种燃料，三种推进器做火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验，所得火箭射程如下表，试分析各种燃料（A）与各种推进器（B）对火箭射程有3.A4代替前三种方法，需要通过实验考察。
观察的对象是果汁B，不同的果汁当做不同的水平，即B1苹果葡萄汁，B2葡萄汁，B3西红柿汁，B4苹果饮料，B5橘子汁，B6菠萝柠檬汁。
进行双因素实验，将其检验结果记录与表中。
4.原来检验果汁中含铅量有三种方A1,A2,A3,现研究出另一种快速检验法A4,能否用A4代替前三种方法，需要通过实验考查。
观察的对象是果汁B，不同的果汁当做不同的水平，即B1苹果葡萄汁，B2葡萄汁，B3西红柿汁，B4苹果饮料，B5桔子汁，B6菠萝柠檬汁.进行双因素交错搭配实验，即用四种方法同时检验每一种果汁，将其检验结果记录于表5.六个水稻品种（A1、A2、A3、A4、A5和A6）种在四种不同的土壤类型（B1、B2、B 3和B 4）中，产量数据如表7.26所示，如果品种和土壤类型都是固定效应，试对资料进行适当的分析。
表7.26 例7.9的产量资料及数据整理6.B ）对合金强度的影响，因子A 取3个水平0.03，0.04，0.05（上述数字表示碳的含量占合金总量的百分比），因子B 取4个水平3.3，3.4，3.5，3.6（数字的意义7. 将落叶松苗木栽在4块不同苗床上，每块苗床上苗木又分别使用3种不同的肥料以观察肥效差异，一年后于每一苗床的各施肥小区内用重复抽样方式各取苗木若干株测其平均高，8. 某企业需采购大宗原材料，共有4家企业生产这些原材料，每家均有、、、四种类型的原材料，该企业决策机构对每个企业的每种样品进行试验，的数据如下：９．A 1:0.34~0.74,A 2:0.48~0.52,A 3:0.53~0.56及三种不同的加荷速度（单位：10-1N/cm 3·min ）B 1:600,B 2:2400,B 3:4200. １０．将土质基本相同的一块耕地，分成均等大小的5个地块，没每个地块又分成均等的四个小区；有四个品种的小麦，在每一地块内，随机地分种在四个小区上，每一小区种任一种小麦同样多的用种量。