数理方程课件-第 2 章 2.6固有值与固有函数-PPT文档资料
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数理方程第1讲-课件
x xy y 3
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
数理方程第2章波动方程
π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
17
例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
23
• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数学物理方程与特殊函数PPT课件
2 E 1 2 同理可得： 2 E t
——电场的三维波动方程
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、静电场
确定所要研究的物理量： 电势u 根据物理规律建立微分方程：
u E
E /
对方程进行化简：
2 E (u) u u /
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系 数和变系数微分方程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
•基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件 确定叠加系数。
•特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
2 1
t2
t1
2 k udV dt V
数学物理方程与特殊函数
——电场的三维波动方程
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、静电场
确定所要研究的物理量： 电势u 根据物理规律建立微分方程：
u E
E /
对方程进行化简：
2 E (u) u u /
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系 数和变系数微分方程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
•基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件 确定叠加系数。
•特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
2 1
t2
t1
2 k udV dt V
数学物理方程与特殊函数
第二章 一元二次函数、方程和不等式 课件(共62张PPT)高一数学上学期期末考点(人教A版2019)
y
3
2x
1 x
的最大值是（
）
A．3
B．3 2 2
C．32 3
D． 1
【答案】B
【详解】因为 x 0 ，则 2x 1 2 2x 1 2 2 ，
x
x
当且仅当 2x 1 ，即 x 2 时，等号成立，
x
2
可得
y
3
2x
1 x
3
2x
1 x3ຫໍສະໝຸດ 22，所以
y
3
2x
1 x
的最大值是
3
2
2.
3 典型例题讲与练
A．若 m n ，则 x y
C．
b a
m m
1
a b
n n
B．若 m n ，则 x y
【详解】由 a b 0,m 0 ，则 b m b ， am a
D．当 时， ． m n
bm an am bn
若 b m x, b n yn 0 ，
am an
若
m
n
，则
x
y
b a
当且仅当 x 8 x时，即 x 4 时，等号成立，所以 x8 x 的最大值为4 . 故选：B.
3 典型例题讲与练
考点02：基本不等式的应用
【期末热考题型1】和定，求积的最值
【典例 2】（2023 上·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）
已知正数 a，b 满足 a 2b 2 ，则 ab的最大值为
考点02：基本不等式的应用
【期末热考题型2】积定，求和的最值
【典例
2】（2023
上·上海普陀·高一校考期中）已知：
x
1，则
x
1
4 x 1
数理方程课件一
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
3、拉普拉斯方程
稳定的温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 即变为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2u ∂2u ∂2u 1 + 2 + 2 = − 2 f (x, y, z) ∂x2 ∂y ∂z a
如果在位移方向上还受外力的作用， 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受 的外力为 f, 则
单位质量所受外 力，力密度
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
说明： 说明：
• 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t 自变量的常微分方程； 自变量的常微分方程； • 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 x,t的函数 x,t 量的偏微分方程。 量的偏微分方程。 • uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。 • utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
导出步骤： 导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分， 近部分与它的相互作用。 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 化简、整理。
第八节 函数与方程 课件(共31张PPT)
答案：C
2．函数 f(x)＝4cos2 x2·cosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)| 的零点个数为________．
解析：f(x)＝2(1＋cos x)sin x－ 2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋ 1)|，x>－1，函数 f(x)的零点个数即为 函数 y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的 交点个数．分别作出两个函数的图象如图所示，可知有两 个交点，则 f(x)有两个零点．
x2－2x，x≤0， 1．已知函数 f(x)＝1＋1x，x>0， 则函数 y＝f(x)＋
3x 的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：令 f(x)＋3x＝0，
则xx≤2－02，x＋3x＝0或x1>＋01x，＋3x＝0，
解得 x＝0 或 x＝－1，
所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.
的取值范围是( )
A．a<－1
B．a>1
C．－1<a<1 D．0≤a<1 解析：令 f(x)＝2ax2－x－1， ①当 a＝0 时，－x－1＝0，x＝－1 不合适． ②a≠0 时，f(0)·f(1)<0，a>1.验证若 f(0)＝0，此式不成立； 当 f(1)＝0 时，2a－1－1＝0.
a＝1，方程另一根为－12(不合题意)，故 a>1，选 B. 答案：B
考点 2 判断函数零点个数
[例 1] (1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数
为( )
A．3
B．2
C．7
D．0
(2)已知函数 y＝f(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x∈
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
华科大数理方程课件-固有值和固有函数
华科大数理方程课件-固有值和固 有函数
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目 录CONTENTS
1目 2录 3 引言 4 固有值和固有函数的
性质
5 求解固有值和固有函 数的方法
6 固有值和固有函数的 计算实例
ONE
1
引言
定义与概念
与固有值相对应， 固有函数是指满足 特定方程或条件的 函数，这些函数描 述了系统的内在行 为或状态。
在经济学中，固有值和固有函数用 于描述经济系统的内在规律和动态 行为，如均衡点和稳定性分析。
ONE
2
固有值和固有函数的性质
固有值的性质
实数性
固有值通常是实数，表示系统或方程的某种特性或状态。
唯一性
对于给定的系统或方程，固有值是唯一的，不会因计算或测量方 法的不同而改变。
稳定性
固有值可以反映系统的稳定性，例如在力学系统中，固有频率与 系统的振动模式有关。
介绍了固有值和固有函数在各个领 域的应用，如物理、工程、经济和 金融等，并给出了相应的实例和说 明。
对未来研究的展望
提出了一些尚未解决的问题和需要进一步研究的方向，如某些特殊类型的方程的固有 值和固有函数的求解、数值计算方法的改进等。
强调了固有值和固有函数在各个领域的应用前景，并鼓励学者们在未来的研究中积极 探索和应用。
固有函数的性质
周期性
许多固有函数表现出明显的周期性，如振动系统 的位移函数。
单调性
某些固有函数在特定区间内单调增加或减少，反 映系统的变化趋势。
对称性
一些固有函数具有对称性质，如正弦和余弦函数。
固有值和固有函数的关系
对应关系
固有值和固有函数之间存在一一对应关系，每个固有值都有相应的固有函数与 之对应。
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目 录CONTENTS
1目 2录 3 引言 4 固有值和固有函数的
性质
5 求解固有值和固有函 数的方法
6 固有值和固有函数的 计算实例
ONE
1
引言
定义与概念
与固有值相对应， 固有函数是指满足 特定方程或条件的 函数，这些函数描 述了系统的内在行 为或状态。
在经济学中，固有值和固有函数用 于描述经济系统的内在规律和动态 行为，如均衡点和稳定性分析。
ONE
2
固有值和固有函数的性质
固有值的性质
实数性
固有值通常是实数，表示系统或方程的某种特性或状态。
唯一性
对于给定的系统或方程，固有值是唯一的，不会因计算或测量方 法的不同而改变。
稳定性
固有值可以反映系统的稳定性，例如在力学系统中，固有频率与 系统的振动模式有关。
介绍了固有值和固有函数在各个领 域的应用，如物理、工程、经济和 金融等，并给出了相应的实例和说 明。
对未来研究的展望
提出了一些尚未解决的问题和需要进一步研究的方向，如某些特殊类型的方程的固有 值和固有函数的求解、数值计算方法的改进等。
强调了固有值和固有函数在各个领域的应用前景，并鼓励学者们在未来的研究中积极 探索和应用。
固有函数的性质
周期性
许多固有函数表现出明显的周期性，如振动系统 的位移函数。
单调性
某些固有函数在特定区间内单调增加或减少，反 映系统的变化趋势。
对称性
一些固有函数具有对称性质，如正弦和余弦函数。
固有值和固有函数的关系
对应关系
固有值和固有函数之间存在一一对应关系，每个固有值都有相应的固有函数与 之对应。
方程与函数课件ppt课件ppt课件
方程与函数在数学竞赛中的应用
方程与函数是数学竞赛中常见的考点，涉及的知识点包括 一元一次方程、一元二次方程、分式方程、三角函数、指 数函数、对数函数等。通过解决这些方程与函数的题目， 可以锻炼学生的逻辑思维、推理能力和数学运算能力。
例如，在数学竞赛中，经常出现一些涉及方程与函数的题 目，要求考生利用方程与函数的知识点来求解未知数或者 判断函数的单调性、奇偶性等性质。
方程与函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融、经 济、工程、科技等领域。通过建立数学模型，将实际问题转 化为数学问题，利用方程与函数来求解，可以得到更精确的 解决方案。
例如，在金融领域，投资者可以通过建立股票价格的函数模 型，利用方程求解出股票的买入和卖出价格；在经济领域， 政府可以通过建立税收的方程模型，利用函数求解出最优的 税收方案。
函数的周期性
总结词
周期性对函数性质的影响。
详细描述
周期性对函数的性质有一定的影响。例如，周期函数的最大值和最小值出现的次 数是有限的，且相邻最大值或最小值之间的距离为周期。此外，周期函数的图像 还可以通过平移得到其他形式的周期函数图像。
函数的图像绘制
总结词
绘制函数图像是理解函数性质的重要手段。
详细描述
函数的定义与性质
函数的定义
函数是数学中表示两个变量之间关系 的一种方法，它描述了一个输入值对 应一个输出值的关系。
函数的性质
函数的性质包括函数的定义域、值域 、单调性、奇偶性、周期性等。
方程与函数的关系
方程可以看作是函数的一种特殊情况 ，即函数值为0的情况。
方程和函数在数学和实际问题中都有 广泛的应用，它们是相互联系和相互 转化的。
三角函数的应用
三角函数在解决几何问题、振动和波动等现象中有着广 泛的应用。
固有值和固有函数(精简)
n (n ) ,
yn (t ) sinnt (n 1, 2, ).
n ln x), 将 t ln x 代入即得 yn ( x) sin(
(n 1, 2, )
则原问题的固有函数系为 yn ( x) sin(n ln x)
(n 1, 2, )
6
练习 15. 试证问题
b
a
( x) f ( x) y n ( x)dx
b
a
2 ( x) y n ( x)dx
(n 1, 2, 3, );
4
练习 15. 试证问题
齐次欧拉方程
x 2 y xy y 0, (1 x e) y(1) y(e) 0 1 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
(1)首先求出固有函数系yn ( x)的具体表达式 t t ln x 作变换 x e 则有 解
1 y x yt , x
y xx
1 1 1 1 1 ( y tt ) y t ( 2 ) 2 ytt 2 y t , x x x x x
代入原方程有
ytt yt yt y 0
1
施图姆-刘维尔方程的一般形式
d dy p( x) q( x) y ( x) y 0 dx dx
(95)
其中 1. p( x), p( x) C[a, b], p( x) 0 (a x b); 2. q( x) C[a, b], 或者 q( x) C (a, b), 而在 区间端点处至多有一阶极点，且 q( x) 0; 3. ( x) C[a, b], ( x) 0. 方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题
方程与函数课件
方程与函数ppt课件
本ppt课件将介绍方程与函数的定义，包括方程的类型和函数的特点，以及它 们之间的关系。还会探讨解方程和求函数值的方法，以及方程和函数在各个 应用领域中的重要性。
方程的类型
1 一元一次方程
形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。
2 一元二次方程
形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
3 函数的性质和分类
函数可以具有不同的性质， 如单调性、连续性和可导 性等。函数可以根据其性 质和图像特征进行分类。
方程与函数的关系
1 方程和函数的解
2 方程与函数的图像
方程的解是满足方程的自变量和因变量的值， 而函数的解是满足函数的自变量和因变量的 值。
方程和函数的图像可以相互对应，通过图像 可以得到方程或函数的一些性质。
解方程和求函数值的方法
1 代入法
将已知的值代入方程或函 数，求解未知的值。
2 消元法
3 图像法
通过将方程中的变量相互 消去，得到一个只含有一 个变量的方程，然后求解。
通过观察方程或函数的图 像，找到满足条件的自变 量和因变量的值。
方程和函数的应用领域
1 自然科学中的方程与 2 工程技术中的方程与 3 经济管理中的方程与
函数
函数
函数
方程和函数在物理、化学 等自然科学领域中起着重 要作用，用于描述物理规 律和化学反应。
方程和函数在工程技术领 域中广泛应用，用于建模、 优化和计算等方面。
方程和函数在经济学和管 理学中有广泛的应用，用 于分析市场行为、经济增 长和企业决策等。
总结和展望
通过学习方程与函数，我们能够深入理解数学在各个领域中的重要性和应用。 未来，我们可以进一步探索更多数学知识，拓宽我们的思维和能力。
本ppt课件将介绍方程与函数的定义，包括方程的类型和函数的特点，以及它 们之间的关系。还会探讨解方程和求函数值的方法，以及方程和函数在各个 应用领域中的重要性。
方程的类型
1 一元一次方程
形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。
2 一元二次方程
形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
3 函数的性质和分类
函数可以具有不同的性质， 如单调性、连续性和可导 性等。函数可以根据其性 质和图像特征进行分类。
方程与函数的关系
1 方程和函数的解
2 方程与函数的图像
方程的解是满足方程的自变量和因变量的值， 而函数的解是满足函数的自变量和因变量的 值。
方程和函数的图像可以相互对应，通过图像 可以得到方程或函数的一些性质。
解方程和求函数值的方法
1 代入法
将已知的值代入方程或函 数，求解未知的值。
2 消元法
3 图像法
通过将方程中的变量相互 消去，得到一个只含有一 个变量的方程，然后求解。
通过观察方程或函数的图 像，找到满足条件的自变 量和因变量的值。
方程和函数的应用领域
1 自然科学中的方程与 2 工程技术中的方程与 3 经济管理中的方程与
函数
函数
函数
方程和函数在物理、化学 等自然科学领域中起着重 要作用，用于描述物理规 律和化学反应。
方程和函数在工程技术领 域中广泛应用，用于建模、 优化和计算等方面。
方程和函数在经济学和管 理学中有广泛的应用，用 于分析市场行为、经济增 长和企业决策等。
总结和展望
通过学习方程与函数，我们能够深入理解数学在各个领域中的重要性和应用。 未来，我们可以进一步探索更多数学知识，拓宽我们的思维和能力。
数理方程重点总结.ppt
据此，解得G( x)
G( x) x2 H (0)
(5)
因此有
u( x, y) 1 x3 y2 H( y) x2 H (0)
(6)
6
又 依 据 u(1, y) cos y， 代 入 （6） 式 ， 有
cos y 1 y2 H ( y) 1 H (0) 6
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
泛定方程 边 界 条 件 （ 第 一 类 、 第二 类 ！ ！ ！ ） 初始条件
数学物理方法
第二讲
直接积分法
( Method of Direcit Integration )
另附：直接积分法 解微分方程边值问题
a2
d 2W ( x) d x2
f (x) 0
(5)
W ( x) x0 M（1 常数），W ( x) xl M（2 常数） , t 0
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
T a2T 0 （ 时 间 变 量 的 微 分方 程）
X X 0 （空间变量的微分方程）
二 、 空 间 变 量 常 微 与 边界 条 件 捆 绑 ， 构 成 本 征值 问 题 。 （ 解 本 征 值 问题 ）
X X 0
(1)
u x
u
0,
高中数学课件第二章第9节《函数与方程》
函数零点的存在性问题常用的方法有： (1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断. (2)用定理：零点存在性定理.
[特别警示] 如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不 断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，但 f(a)f(b)＜0不一定成立. (3)利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝ f(x)，y＝g(x)图象，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点.
(4)画出函数f(x)＝ －x的图象如图.
由图象可知，f(x)＝ －x在(0,1)内图象与x轴没有交点， 故f(x)＝ －x在(0,1)内不存在零点.
函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就
有几个零点. (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上
零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步.
1.下图的函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交
点横坐标的是
()
解析：因为B选项中，x0两侧的符号相同，所以无法用 二分法求交点的横坐标. 答案：B
2.若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，
(0,2)内，那么下列命题正确的是
＝
＝ 当且仅当2x2＝ ⇒x＝± ∵|PQ|的最小值为 ， ∴
时等号成立.┄┄(4分) ＋m＝1.
①当m＞0时，解得m＝
＝ －1.
②当m＜0时，解得m＝
＝－ －1.
故m＝ －1或m＝－ －1.┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)
(2)y＝f(x)－kx的零点， 即方程 ＋(1－k)x＋2＝0的解， ∵x≠0，∴ ＋(1－k)x＋2＝0与(k－1)x2－2x－m＝0有 相同的解. ①若k＝1，(k－1)x2－2x－m＝0⇒x＝－ ≠0， 所以函数y＝f(x)－kx有零点x＝－ .┄┄┄┄(8分) ②若k≠1，(k－1)x2－2x－m＝0的判别式 Δ＝4[1＋m(k－1)]. 若Δ＝0⇒k＝1－ ， 此时函数y＝f(x)－kx有一个零点x＝－m.
2.6 固有值和固有函数
x 2 y ′′ + xy ′ + λy = 0, (1 < x < e) y (1) = y (e) = 0 1 固有函数系 {y n (x)} 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。 正交。
{ (1)首先求出固有函数系 (1)首先求出固有函数系 y n (x)}的具体表达式 t t = ln x 作变换 x = e 则有
y1 ( x), y 2 ( x), ⋯, y n ( x), ⋯.
(2) 如果把对应于固有值 λn 的固有函数记为 y n (x), 那么所有y n (x)组成一个带权函数 ρ (x) 的正交函数 系，即 b (m ≠ n). (96) ∫a ρ ( x)y m ( x) y n ( x)dx = 0 例如
解
1 y x = yt ⋅ , x
1 1 1 1 1 y xx = ( y tt ⋅ ) ⋅ + y t ⋅ (− 2 ) = 2 y tt − 2 y t , x x x x x
代入原方程有
y tt − y t + y t + λy = 0
y tt + λy = 0
10
15. 试证问题
齐次欧拉方程
x 2 y ′′ + xy ′ + λy = 0, (1 < x < e) y (1) = y (e) = 0 1 固有函数系 {y n (x)} 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。 正交。
解
y tt + λy = 0
y (0) = y (1) = 0.
λ n = ( nπ ) 2 ,
f ( x) = ∑ c n y n ( x),
n =1 ∞
(97)
数理方程第讲
18
因为(x),(x)是定义在[0,l]上的函数, 所以只
要选取 Cn 为(x)的傅立叶正弦级数展开式的
系数,
n
l
a
Dn为(x)的傅里叶正弦级数展开
式的系数, 就是
Cn
2 l
l(x)sin n
0
l
x d x,
Dn
2
n a
l
(x)sin
n
xdx
0
l
(2.12)
初始条件(2.3)就能满足. 以上式确定的 Cn,Dn 代入(2.11)式即得原定解问题的解.
19
例 1 设有一根长为 10 的弦, 两端固定, 初速
为零, 初位移为(x) x(10 - x) , 求弦作微小
1000 横向振动时的位移. 解 设位移函数为 u(x,t), 它是定解问题
2u ut|x20
a2 0,
2u x2 ,0 x u |x10 0,t
10,t 0,
0,
的解
u
1
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动
2
在高等数学中我们知道一个普通的函数f(x)经 常能够展开成级数. 例如, 幂级数的形式就是:
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+ 其中无穷多个函数v0(x)=1, v1(x)=x, v2(x)=x2, , 等等, 构成了级数展开的一个函数系. 而三角级数的形式就是
即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
高三数学函数与方程2(PPT)4-2
人们认为不管什么气体都不能单独存在，既不能收集，也不能进行测量。这位医生认为氢气与空气没有什么不同，很快就放弃了研究。 最先把氢气收集起来
并进行认真研究的是在7年英国的一位化学家卡文迪什。 卡文
热点题型2：利用函数思想解决“范围”问 题
例3：已知关于x的方程
sin 2 x a cosx约.毫米，边缘有细锯齿，两面具气孔线；横切面半圆形，二型层皮下层，在第一层细胞下常有少数细胞形成第二层皮下层，树脂 道-个或更多，边生，多数生于背面，腹面有-个，稀角部有-个中生树脂道，叶鞘初呈淡褐色，后呈淡黑褐色。 雄球花圆柱形，长.-.厘米，在新枝下部聚生成 穗状。球果卵形或圆卵形，长4- 厘米，有短梗，向下弯垂，成熟前绿色，熟时淡黄色或淡褐黄色，常宿存树上近数年之久；中部种鳞近矩圆状倒卵形，长.厘米，宽约.4厘米，鳞盾肥厚、隆起或微隆起，扁菱形或菱状多角形，横脊显著，鳞脐凸起有尖刺；种子卵圆形或长卵圆形，淡褐色有斑纹，长-毫米，径4毫米，连翅长.-.厘米；子叶-枚，长.-.厘米；初生叶窄条形，长约4.厘米，先端尖，边缘有细锯齿。花期4-月，球果第二年月成熟。 [] 生长习性编辑 油松为 喜光、深根性树种，喜干冷气候，在土层深厚、排水良好的酸性、中性或钙质黄土上均能生长良好。 [] 地理分布编辑 中国特有树种，产吉林南部、辽宁、 河北、河南、山东、山西、内蒙古、陕西、甘肃、宁夏、青海及四川等省区，生于海拔-米地带，多组成单纯林。其垂直分布由东到西、由北到南逐渐增高。 辽宁、山东、河北、山西、陕西等省有人工林。早在十六世纪，瑞士的一名医生就发现了氢气。他说：“把铁屑投到硫酸里，就会产生气泡，像旋风一样腾 空而起。”他还发现这种气体可以燃烧。然而他是一位著名的医生，病人很多，没有时间去做进一步的研究。 十七世纪时又有一位医生发现了氢气。但那时
并进行认真研究的是在7年英国的一位化学家卡文迪什。 卡文
热点题型2：利用函数思想解决“范围”问 题
例3：已知关于x的方程
sin 2 x a cosx约.毫米，边缘有细锯齿，两面具气孔线；横切面半圆形，二型层皮下层，在第一层细胞下常有少数细胞形成第二层皮下层，树脂 道-个或更多，边生，多数生于背面，腹面有-个，稀角部有-个中生树脂道，叶鞘初呈淡褐色，后呈淡黑褐色。 雄球花圆柱形，长.-.厘米，在新枝下部聚生成 穗状。球果卵形或圆卵形，长4- 厘米，有短梗，向下弯垂，成熟前绿色，熟时淡黄色或淡褐黄色，常宿存树上近数年之久；中部种鳞近矩圆状倒卵形，长.厘米，宽约.4厘米，鳞盾肥厚、隆起或微隆起，扁菱形或菱状多角形，横脊显著，鳞脐凸起有尖刺；种子卵圆形或长卵圆形，淡褐色有斑纹，长-毫米，径4毫米，连翅长.-.厘米；子叶-枚，长.-.厘米；初生叶窄条形，长约4.厘米，先端尖，边缘有细锯齿。花期4-月，球果第二年月成熟。 [] 生长习性编辑 油松为 喜光、深根性树种，喜干冷气候，在土层深厚、排水良好的酸性、中性或钙质黄土上均能生长良好。 [] 地理分布编辑 中国特有树种，产吉林南部、辽宁、 河北、河南、山东、山西、内蒙古、陕西、甘肃、宁夏、青海及四川等省区，生于海拔-米地带，多组成单纯林。其垂直分布由东到西、由北到南逐渐增高。 辽宁、山东、河北、山西、陕西等省有人工林。早在十六世纪，瑞士的一名医生就发现了氢气。他说：“把铁屑投到硫酸里，就会产生气泡，像旋风一样腾 空而起。”他还发现这种气体可以燃烧。然而他是一位著名的医生，病人很多，没有时间去做进一步的研究。 十七世纪时又有一位医生发现了氢气。但那时
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(Q)
4
内容小结 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： 1 1 u u u F ( r , ), ( 0rr rr r 0), 2
r r
u|r f( ). r 0
(P)
思路2 将问题(P)的解看成两部分， 令
v(r,)
(r,) 分别满足 和w
u ( r , ) v ( r , ) w ( r , ),
f (x) cn yn(x),
(97)
( n 1 ,2 ,3 , );
其中
cn
n 1
(x) f (x)y (x)dx (x)y (x)dx
a n b a 2 n
b
10
(3) 类似于傅里叶级数，按固有函数系展开有下 面的收敛性：
f (x) cn yn(x),
n 1
(97)
若函数 f ( x), f (x) 在 ( a , b ) 内是分段连续函数， 则级数(97)在 f ( x) 的间断点 x 0 处收敛于
和
分离变 量法(或 试探法)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u|r f( ). r 0 1 1 ( 0rr v v F ( r , ), 0), rr r 2v r r (P1) v|rr0 0 . 1 1 0rr w w 0 ,( 0), rr r 2w r r (P2) w |r f( ). r 0
1
内容小结 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
●
当边界条件为非齐次时，则必须引进辅助函数 把边界条件化为齐次的， 然后再按照以前的方法 求解。 分离变量法、固有函数法、 作辅助函数法
方程和边界条 件齐次
方程非齐次， 定解条件齐次
边界条件非齐次
2
内容小结 2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言： 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系，使得 在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于
r r
u|r f( ). r 0
u ( r , ) v ( r , ) w ( r , ),
(P)
(r,), 令 思路1 (1)找出此泊松方程的一个特解 w
(2)将泊松方程化成拉普拉斯方程
可用分离变量法或试探法求解问题(Q)
1 1 v 0 , ( 0rr 0), rr v r 2v r r v | f ( ) w ( r , ). r r 0 0
内容小结 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
●
●
当方程和边界条件均为齐次时，不管初值条件 如何，可直接应用分离变量法求解； 当边界条件为齐次、 方程与初始条件为非齐次 时，原定解问题分解成两个， 其一是方程为齐次的并具有原初始条件的定解 问题，这个问题应用分离变量法求解； 其二是方程为非齐次的并具有齐次初始条件的 定解问题，该问题应用固有函数法求解；
1 1 ( 0rr v v F ( r , ), 0), rr r 2v r r
v|rr0 0 .
(P1)
5
内容小结 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： 1 1 u u u F ( r , ), ( 0rr rr r 0), 2
r r
固有函 数法
6
(P)
2.6 固有值与固有函数
本章的前三节，我们应用分离变量法求解弦振
动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的 有关定解问题时，都需要解决一个含参变量 的 常微分方程的边值问题，
X ( x ) X ( x ) 0 , X ( 0 ) X ( l ) 0 .
这样的问题称为固有值问题。 也属于施图姆-刘维尔问题
方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题 那些使施-刘问题存在非0解的 值，称为该问题 的固有值，而相应于给定的固有值的非0解，称为 固有函数。
8
关于固有值和固有函数的几点结论：
(1) 存在无穷多个实的固有值： , 1 2 n 当 q(x) 0时， 对应于这些固有值 0 ( n 1 , 2 , 3 , ); n 有无穷多个固有函数： (2) 如果把对应于固有值 n 的固有函数记为 y n ( x), 那么所有y n ( x )组成一个带权函数 ( x) 的正交函数 系，即 b (m n). (96) ( x ) y ( x ) y ( x ) dx 0 m n a
7
施图姆-刘维尔方程的一般形式
d dy p ( x ) q ( x ) y ( x ) y 0 dx dx
(95)
p ( x ) 0 ( a x b ); ( x ) , p ( x ) C [ a , b ], 其中 1. p ( x ) C ( a , b ),而在 ( x ) C [ a , b ], 2. q 或者 q (x ) 0 ; 区间端点处至多有一阶极点，且 q ( x ) C [ a , b ], (x ) 0 . 3.
● ●
求解。 例如， 对圆域、圆环域、扇形域等采用极坐标
x a , 0 y b ; x a , 0 y 对于像矩形0 带形 0 一类的区域采用直角坐标系
应当指出，只有当求解区域很规则时，才可以应 用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。
3
内容小结 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： 1 1 u u u F ( r , ), ( 0rr rr r 0), 2
y ( x ), y ( x ), ,y ( x ), . 1 2 n
例如
2 2 2 r F r F ( r n ) F 0
9
(3) 类似于傅里叶级数，按固有函数系展开有下 面的收敛性： 若函数 f ( x)在 ( a , b ) 内有一阶连续导数及分段 连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件， 则 f ( x)在 ( a , b ) 内可以按固有函数展开为绝对且 一致收敛的级数：