新人教A版必修32020-2021学年高中数学第3章概率3_3_2均匀随机数的产生学案

3.3.2 均匀随机数的产生1．了解均匀随机数的产生方法与意义．2．会用模拟试验求几何概型的概率．3．能利用模拟试验估计不规则图形的面积．1．均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．2．均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的．(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等．3．均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand”．(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生．4．用模拟方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟法：做两个转盘模型，进行模拟实验，并统计试验效果，进行近似计算．(2)计算机模拟法：用Excel软件产生[0,1]上的均匀随机数进行模拟，注意操作步骤．1．计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数，若试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你用什么办法解决？[提示]首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X＝RAND，然后利用伸缩和平移变换：Y＝(b－a)X＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数.2．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N和事件A发生的次数N 1，得到的值N 1N是P (A )的精确值．( )(2)用均匀随机数进行随机模拟不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积．( )(3)用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．( ) [提示] (1)× (2)√ (3)√题型一用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率【典例1】 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m 的概率．[思路导引] 在任意位置剪断绳子，则剪断位置到某一端点的距离取遍[0,3]内的任意数，并且取到每一个实数都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数，其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内，也就是剪得两段的长都不小于1 m ．这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内的随机数个数之比就是事件发生的频率．[解] 解法一：设“剪得两段长都不小于1 m”为事件A . ①利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随机数a 1＝RAND. ②经过伸缩变换，a ＝3a 1.③统计出[1,2]内随机数的个数N 1和[0,3]内随机数的个数N . ④计算频率f n (A )＝N 1N即为概率P (A ) 的近似值．解法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N 1及试验总次数N ，则f n (A )＝N 1N即为概率P (A )的近似值．用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的步骤(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND. (2)经过伸缩变换y ＝(b －a )x ＋a ，得到一组[a ，b ]上的均匀随机数． (3)统计出试验总次数N 和满足所求概率事件的随机数个数N 1. (4)计算频率f n (A )＝N 1N，即为所求概率的近似值．[针对训练1] 已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的试验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在49附近，那么点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为________．[解析] 设米粒落入△BCD 内的频率为P 1，米粒落入△BAD 内的频率为P 2，点C 和点A 到直线BD 的距离分别为d 1，d 2，根据题意得，P 2＝1－P 1＝1－49＝59，又∵P 1＝S △BCDS 四边形ABCD＝12×BD ×d 1S 四边形ABCD，P 2＝S △BAD S 四边形ABCD ＝12×BD ×d 2S 四边形ABCD ，∴P 2P 1＝d 2d 1＝54.[答案] 54题型二与面积有关的几何概型【典例2】 (1)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2n mC.4m nD.2m n(2)解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m ，宽为14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为5 m,2 m,1 m ．若着陆点在圆环B 内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．[思路导引] 本典例为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置．[解析] (1)设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C.(2)设事件A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．①利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ； ②经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝14b 1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数；③统计满足－8＜a ＜8，－7＜b ＜7的点(a ，b )的个数N .满足1＜a 2＋b 2＜4的点(a ，b )的个数N 1；④计算频率f n (A )＝N 1N，即为所求概率的近似值． [答案] (1)C (2)见解析引申探究：若本例(2)条件不变，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率？[解] 设事件C 表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”．①利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND. ②经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝14b 1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．③统计满足－8<a <8，－7<b <7的点(a ，b )的个数N ，满足a 2＋b 2>25的点(a ，b )的个数N 1.④计算频率f n (C )＝N 1N，即为所求概率的近似值．用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的区别与联系(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数．(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比.[针对训练2] 现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．[解] 第一步，利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a 1、b 1(共N 组)；第二步，经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*2，b ＝(b 1－0.5)*2；第三步，数出满足不等式b ＜2a －43，即6a －3b ＞4的数组数N 1.所求概率P ≈N 1N .可以发现，试验次数越多，概率P 越接近25144.题型三用随机模拟法求解不规则图形的面积【典例3】 (1)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．(2)利用随机模拟的方法计算曲线y ＝2x与x 轴，直线x ＝±1所围成图形(如图中阴影部分)的面积．[思路导引] 在坐标系中画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．[解析] (1)正方形的面积S ＝1，设阴影部分的面积为S ′，因为随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，所以由几何概型的概率公式进行估计得S ′S ＝1801000＝0.18，即S ′＝0.18.故填0.18.(2)①利用计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ；②进行伸缩和平移变换，a ＝2a 1－1，b ＝2b 1，分别得到[－1,1]和[0,2]上的均匀随机数； ③统计试验总次数N 和落在阴影部分的点数N 1； ④计算频率N 1N，即点落在阴影部分的概率的近似值；⑤设阴影部分的面积为S ，由几何概型的概率计算公式得点落在阴影部分的概率为S4.所以N 1N ≈S 4，则S ≈4N 1N.此即阴影部分面积的近似值．[答案] (1)0.18 (2)见解析利用随机模拟方法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示．(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P (A )＝N 1N. (3)设阴影部分的面积是S ，规则图形的面积是S ′，则有S S ′＝N 1N ，解得S ＝N 1NS ′，则所求图形面积的近似值为N 1NS ′.[针对训练3] 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y ＝x 3和x ＝2以及x 轴所围成的部分)的面积．[解] (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ； (2)经过伸缩变换，a ＝2a 1，b ＝8b 1；(3)统计出试验总次数N 和落在阴影部分(满足b <a 3)点(a ，b )的个数N 1； (4)计算频率N 1N就是点落在阴影部分的概率的近似值；(5)设阴影部分的面积为S .由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S 16.所以S16＝N 1N，所以S ≈16N 1N即为阴影部分面积的近似值．课堂归纳小结1．在区间[a ，b ]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( )A ．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B ．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C ．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D ．最适合估计古典概型的概率[解析] 很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．[答案] C2．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( ) A.12 B.13 C.14D ．1 [解析] 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13.[答案] B3．某校航模小组在一个棱长为6 m 的正方体房间试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1 m ，则模型飞机“安全飞行”的概率为( )A.127 B.116 C.38 D.827[解析] 由题意知模型飞机的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为4的正方体内．这个小正方体的体积为43，大正方体的体积为63，故安全飞行的概率为4363＝827.[答案] D4．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”的概率为________．[解析] 已知0≤a ≤1，事件“3a －1<0”发生时，0<a <13，由几何概型得其概率为13.[答案] 135．利用计算机随机模拟方法计算图中阴影部分的面积(如图所示)．第一步：利用计算机产生两个区间[0,1]上的均匀随机数a 1，b 1，经过伸缩变换和平移变换得到均匀随机数x ，y ，其中－1<x <1,0<y <1；第二步：以(x ，y )为点的坐标．共做此试验N 次．若落在阴影部分的点的个数为N 1，则可以计算阴影部分的面积S .例如：做了2000次试验，即N ＝2000，模拟得到N 1＝1396，所以S ＝________.[解析] ∵由题意可知矩形面积为2，∴S 2＝N 1N ＝13962000.故S ＝1.396.[答案] 1.396课后作业(二十二) (时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．m 是n 的近似值[解析] 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计． [答案] D2．某公司的班车在7∶00,8∶00,8∶30发车，小明在7∶50至8∶30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34[解析] 设小明到达发车站的时间为y ，当y 在7∶50至8∶00，或8∶20至8∶30时，小明等车时间不超过10分钟，故P ＝2040＝12.故选B.[答案] B3．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5 cm 的圆，中间有边长为0.5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A.49π B.94π C.4π9 D.9π4[解析] 由题意知所求的概率为P ＝0.5×0.5π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1.522＝49π.[答案] A4．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0,1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( )A.12B.34C.π4D.3π16[解析] 设两直角边分别为x ，y ，则x ，y 满足x ∈[0,1]，y ∈[0,1]，则P (x 2＋y 2＜1)＝π4. [答案] C5．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}， 事件C ＝{投中大圆之外}．(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数． (3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数)．则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( ) A.N 1N ，N 2N ，N －N 1NB.N 2N ，N 1N ，N －N 2NC.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2ND.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N[解析] P (A )的近似值为N 1N，P (B )的近似值为N 2N，P (C )的近似值为N －N 1N. [答案] A6．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，用计算器上的随机函数产生一个[－5,5]上的随机数x 0，那么使f (x 0)≤0的概率为( )A ．0.1 B.23C ．0.3D ．0.4[解析] 用计算器产生的x 0∈[－5,5]，其区间长度为10.使f (x 0)≤0，即x 20－x 0－2≤0，得－1≤x 0≤2，其区间长度为3，所以使f (x 0)≤0的概率为310＝0.3.[答案] C7．用随机模拟方法，近似计算由曲线y ＝x 2及直线y ＝1所围成部分的面积S .利用计算机产生N 组数，每组数由区间[0,1]上的两个均匀随机数a 1＝RAND ，b ＝RAND 组成，然后对a 1进行变换a ＝2(a 1－0.5)，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足x 2i≤y i ≤1(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到的近似值为( )A.2N 1N B.N 1N C.N 12N D.4N 1N[解析] 由题意，对a 1进行变换a ＝2(a 1－0.5)，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足x 2i ≤y i ≤1(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，所以由随机模拟方法可得到的近似值为N 1N.[答案] B8．b 1是[0,1]上的均匀随机数，b ＝3(b 1－2)，则b 是区间________上的均匀随机数． [解析] 0≤b 1≤1，则函数b ＝3(b 1－2)的值域是－6≤b ≤－3，即b 是区间[－6，－3]上的均匀随机数．[答案] [－6，－3]9．利用随机模拟方法计算如图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴，x ＝±1围成的部分)的面积．[解] ①利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.②经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)×2，b ＝b 1×2，得到一组[－1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数．③统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1.④计算频率N 1N，即为点落在阴影部分的概率的近似值．⑤用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S 4，N 1N ＝S 4，所以S ≈4N 1N，即为阴影部分的面积值．10．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：(1)小燕比小明先到校；(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．[解] 记事件A “小燕比小明先到校”；记事件B “小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ，c ＝RAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；②统计出试验总次数N 及其中满足b <c 的次数N 1，满足b <c <a 的次数N 2； ③计算频率f n (A )＝N 1N ，f n (B )＝N 2N，即分别为事件A ，B 的概率的近似值．应试能力等级练(时间20分钟)11．P 为圆C 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，Q 为圆C 2：x 2＋y 2＝25上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.1325 B.35 C.1325π D.35π[解析] 设Q (x 0，y 0)，中点(x ，y )，则P (2x －x 0,2y －y 0)，代入x 2＋y 2＝9，得(2x －x 0)2＋(2y －y 0)2＝9，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝94，故中点的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02为圆心，以32为半径的圆，又点Q (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝25上，所以区域M 为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x 2＋y 2＝r 2(1≤r ≤4)，所以在C 2内部任取一点落在M 内的概率为16π－π25π＝35.[答案] B12．在利用随机模拟法计算如右图阴影部分(曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与x 轴，x ＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数( )A ．[－1,1][0,1]B ．[－1,1]，[0,2]C ．[0,1]，[0,2]D ．[0,1]，[0,1][解析] 用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x 表示所投的点的横坐标；用变换rad()*2产生0～2之间的均匀随机数y 表示所投点的纵坐标．故选B. [答案] B13．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)0～1区间上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为________．[解析] 由0≤f (x )≤1可知曲线y ＝f (x )与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0围成了一个曲边图形．因为产生的随机数对在题图的正方形内，正方形的面积为1，共有N 对数，即有N 个点，且满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的有N 1个点，即在函数f (x )图象上及下方有N 1个点，所以由几何概型的求概率公式得：曲线y ＝f (x )与x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的面积的近似值为N 1N×1＝N 1N.[答案]N 1N14．某校早上8∶00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7∶30～7∶50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)[解析]设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7∶30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.[答案]93215．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 h ，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4 h ，乙船的停泊时间为2 h ，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．[解] (1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ， 则0≤x ≤24,0≤y ≤24，|y －x |≥4， 分别作出区域D 1，D 2，其中D 1：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24≤y ≤24，D 2：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤240≤y ≤24|y －x |≥4.D 1为正方形区域，D 2为图(1)中的阴影部分，设“两船不需要等待码头空出”为事件A ，则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)设“两船不需等待码头空出”为事件B ，则区域D 3：y －x >4或x －y >2为如图(2)所示的阴影部分，则P (B )＝S 阴影部分S 正方形＝221288.。