高中数学 1.2.2.2同角三角函数的基本关系课件 新人教A版必修4

3．对于根为 sin θ，cos θ 的含参数 k 的一元二次方程，应利用 sin θ＋cos θ＝fk 根与系数的关系建立参数 k 的方程组 ，将 sin sin θ cos θ ＝ g k θcos θ＝g(k)代入 sin θ＋cos θ＝f(k)平方后的式子， 整理得到一个关 于 k 的方程，解这个方程可求出 k 值．在解题过程中，一定要注意 判别式．
自学导引
1＋2sin αcos α ； 1．(sin α＋cos α)2＝________________ 1 2．(sin α－cos α)2＝________ －2sin αcos α； sin α＋cos α2－1 2 3．sin αcos α＝____________________ ； 1－sin α－cos α2 4．sin αcos α＝____________________. 2
典例剖析 知识点 1 利用 sin α± cos α 与 sin αcos α 之间的关系解题 2 π 【例 1】 设 sin θ＋cos θ＝ ， ＜θ＜π， 求 sin3θ＋cos3θ 与 tan 3 2 1 θ－cot θ 的值(其中 cot θ＝ )． tan θ 思路点拨： 利用 sin θ＋cos θ 的值可求出 sin θcos θ， sin θ－cos θ 的值，再把要求的式子变形为与 sin θ± cos θ 和 sin θcos θ 有关的 形式，代入求值．
【解析】 2 7 由已知得，1＋2sin θcos θ＝ ，即 sin θcos θ＝－ . 9 18 16 16 2 于是 1－2sin θcos θ＝ ，即(sin θ－cos θ) ＝ ， 9 9 π 而 ＜θ＜π，所以 cos θ＜0＜sin θ，即 sin θ－cos θ＞0，于是得 2 4 到 sin θ－cos θ＝ . 3 2 3 3 2 2 故 sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)(sin θ－sin θcos θ＋cos θ)＝ 3 7 25 ×1＋18＝ 2. 54 2 4 × 2 2 sin θ cos θ sin θ－cos θ 3 3 8 2 tan θ－cot θ＝ － ＝ ＝ ＝－ . cos θ sin θ sin θcos θ 7 7 － 18
解： tan α 3 解法一：由 ＝ 得，tan α＝3， tan α－1 2 10 即 sin α＝3cos α，代入 sin α＋cos α＝1 得，cos α＝± 10 . 10 3 10 当 cos α＝ 10 时，sin α＝ 10 ，此时， 13 13 ＝ ＝10； sin2 α＋sin αcos α＋cos2α 3 102 3 10 10 102 ＋ × ＋ 10 10 10 10
自主探究 已知 cos α＋2sin α＝－ 5，能求出 tan α 的值吗？ 【答案】能． 解法一： 由 cos α＋2sin α＝－ 5得 cos α＝－ 5－2sin α， 代入 sin2α＋cos2α＝1 得 sin2α＋(－ 5－2sin α)2＝1， 整理为 5sin2α＋4 5 2 5 sin α＋4＝0， 解得 sin α＝－ ， 于是 cos α＝－ 5－2sin α＝－ 5 5 4 5 5 ＋ ＝－ ，故 tan α＝2. 5 5 解法二：将 cos α＋2sin α＝－ 5两边同时平方得，cos2α＋4sin 2 2 cos α ＋ 4sin α cos α ＋ 4sin α 2 αcos α ＋ 4sin α ＝ 5 ， 于 是 ＝5，即 sin2α＋cos2α 1＋4tan α ＋4tan2α 2 ＝ 5 ，整理为 tan α－4tan α＋4＝0，故 tan α＝2. tan2α＋1
预习测评 sin α－2cos α 1．若 ＝－5，则 tan α＝( 3sin α＋5cos α 23 23 A．－2 B．2 C. D．－ 16 16
)
【答案】D
1 π 2．若 sin αcos α＝ ，0＜α＜ ，则 sin α＋cos α＝( 8 2 3 1 3 5 A. B. C．－ D. 2 4 2 2 )
【答案】D
1 3．已知 sin α－cos α＝5，则 sin αcos α＝________.
12 【答案】 25
3 tan αcos3α 4．已知 cos α＝－5且 tan α＞0，则 ＝________. 1－sin α
4 【答案】－ 25
要点阐释 1．sin α＋cos α 与 sin αcos α，sin α－cos α 与 sin αcos α 可以互 相表示． 即(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α· cos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin sin α＋cos α2－1 αcos α ； sin αcos α ＝ ； sin αcos α ＝ 2 1－sin α－cos α2 .利用这些关系式可 的条件下，求关于 sin α，cos α 的齐次式 问题时要注意：一是一定要为关于 sin α，cos α 的齐次式(即 sin α， cos α 的次数一样，就是含 sinnα，cosnα 的式子)；二是须 cos α≠0， 才能用 cosn α 去除原式的分子或分母，这样才可将原式化为关于 tann α 的 式 子 ； 三 是 必 要 时 须 添 加 分 母 ， 如 3 sin2αcos2α ＝ 3sin2αcos2α 3sin2αcos2α ＝ 2 . 1 sin α＋cos2α
1＋sin x 1 cos x 1．若 ＝－ ，则 ＝________. cos x 2 sin x－1
1 【答案】 2
知识点 2 已知角 α 的正切函数值， 求含 sin α 与 cos α 的齐次 式的三角函数值 tan α 3 13 【例 2】 设 ＝ ，求 2 2 的值． 2 tan α－1 sin α＋sin αcos α＋cos α 思路点拨：由已知可解得 tan α 的值，可以再利用同角三角函 数的关系求得 sin α，cos α 的值，代入所求式子；也可以把齐次式 化为关于 tan α 的式子再求值．