南京财经大学继续教育经济数学基础题1参考答案

南 京 财 经 大 学

经济数学基础课程习题参考答案

（一）

一、填空题

1．0 2．)(2x f '- 3．14-=x y 4.1±=x 5. )2,2(- 6. c x +cos 7. 10<

8.),(),(21y xy f y xy f x z y '+'=' 9.1 10. 2

x

Ce

y =).(为任意常数C 二、单项选择题 1.C 2．C 3．A 4．B 5． A

三、计算题 1. x x x x

x x 1

sin

)1(lim

1

+∞→+=

x

x x

x x x x x x x x x x

x

x 1

1

sin )1()1(lim 1sin

)1(lim 1

++∞→=

+∞→+

e e x

x x

x x x x

=⋅⋅=++∞→=

111

1

sin )

1()11(lim .

2.30

x dt

t lim

x

tan x

sin x ⎰→ =53

2306x

x cos x sin x sec x tan lim x -→ =x cos x x )x cos (x sin lim x 52363061-→=26061x x cos lim x -→ =x

x sin x cos lim x 1265

0→=21. 3.解：)(x f 在0=x 处可导，则)(x f 在0=x 处一定连续，

因此由 )(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→= 可得 2=a ， 又 ='-

)0(f b x

bx x =-+-→2

2lim 0

， ='+

)0(f 12

)1ln(2lim 0

=-+++→x

x x . 因此由 ='-

)0(f )0(+'f 可得1=b . 4.解：令 6)sin(),,(--+=xy z e z y x F xyz ，则 )cos(xy y yze F xyz x -='，

)cos(xy x xze F xyz y

-='， 1+='xyz z xye F ，因此，

dy F F dx F F dy y z

dx x z dz z y z x ''-''-=∂∂+∂∂=

=++-dx xye yze xy y xyz

xyz 1

)cos(dy xye xze xy x xyz xyz

1)cos(+-. 5.解：令t x =-2，则dt t t f S ⎰=201)(dt t

t f dt t t f ⎰⎰+=+→21101

)(1)(lim εε 2ln 22lim 2110=-+=⎰⎰+→dt t t dt ε

ε. 6.

dx e

x x 2

3-+∞

∞

-⎰

=2221x e d x -+∞∞-⎰-⎰∞+∞---+∞-∞+-=22222121dx e e x x x ∞-∞

+-=-22

10x e

0=. 7.dx e dy dxdy e

y y x

D

y

x

⎰⎰⎰⎰-

-=210=dy ye y )(21

1⎰

-- =)1(2

3

1--e .

8.解：方程改写为 x e y x y x =+'1，则通解为 ))((1

1

c dx e x

e e y dx x x dx x

+⎰⎰=⎰-， 即

)(1c e x

y x

+=

. 四、应用题

1．解：100005025)(2++=x x x C ，x

x x C 10000

525.0)(+

+= ， 010000

25.0)(2

=-='x

x C ，得驻点 200=x . 又 0)200(>"C ，点 200=x 为极小值点，因此当 200=x 时，单位成本最小。最小单位成本为105)200(=C （元）.

2．解：由 ⎩⎨⎧==x

y x y 22 解得 2,021==x x ，故平面图形的面积 ⎰=-=202

34)2(dx x x S .

旋转体体积 ππ15

64

)4(4

2

02

=

-=⎰dx x x V x . 五、证明题

证 函数)(x f 在闭区间],[c a 上满足拉格朗日中值定理条件，故有，

)(),()

()(11c a f a

c a f c f <<'=--ξξ，函数)(x f 在闭区间],[b c 上满足拉格朗日中值定

理条件，故有：

)(),()

()(22b c f c

b c f b f <<'=--ξξ. 因为))(,(a f a ，))(,(c f c ，

))(,(b f b 三点共线，故

c

b c f b f a c a f c f --=--)

()()()(，即))()((),()(2121b f c f a f f <'<<'<'='ξξξξ . 由)(x f '在],[21ξξ上满足罗尔定理的

条件，知存在),(21ξξξ∈，使0)(=''ξf .