2019-2020学年高中数学课时分层作业12余弦定理
新教材2020学年人教A版数学必修第二册课时分层作业11 余弦定理
课时分层作业(十一) 余弦定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° B [由题意知，(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15 B ．－16 C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C [由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．]4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23A [由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.]5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．1<a <5 C.3<a < 5D ．不确定C [若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.]二、填空题6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 0 [∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.]7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.1 [∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1.]8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________. 4 [因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.] 三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . [解] 在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．[解] (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.[等级过关练]1．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 D [∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32， 即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0＜B ＜π，∴角B 的值为π3或2π3.]2．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π A [cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A.] 3．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为________． 7 [由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.]4．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________. (1，7)∪(5,7) [①若x >4，则x 所对的角为钝角， ∴32＋42－x 22×3×4<0且x <3＋4＝7，∴5<x <7. ②若x <4，则4对的角为钝角， ∴32＋x 2－422×3×x <0且3＋x >4，∴1<x <7.∴x 的取值范围是(1，7)∪(5,7)．]5．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝4，a ＋c ＝2b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4，c ＝b －4.∴a ＞b ＞c ，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10. 当b ＝10时，a ＝14，c ＝6.。
2019 2020高中数学课时分层作业12余弦定理含解析北师大版必修5
)(十二课时分层作业)60分钟(建议用时：][基础达标练一、选择题cbCABCa) ＝6，( 1．在△＝120°，则边中，已知＝4，的值是17 ．．8 2BA19D62．C．2222cCababc＝－2×4×6cos 120°＝76cos ，所以＝D [由余弦定理得：16＝＋＋－236] D．219，故选13CabABC)＝，则最大角的余弦值是＝7，cos 2．在△( 中，若8＝，1411 ．－BA．－6511 ．－DC．－871322222Cabcab，－2×8×7×＝9[由余弦定理，得＝＝8＋＋－27cos C14222222abc17＋－＋－38Aac.]＝－，故＝最大，所以最大角的余弦值为cos 所以＝＝3bc72×7×322BbaccABCABCab)，，则，( 3．在△的对边，且中，的取值范围是，，＝为角ππ????????π0，，． BA．????33ππ????????π0，，．D C．????6622222caccbaacaπ1－???＋＋－－?1????BBB，0.]π，所以[cos ＝＝＝＋≥，因为0<∈<A??acacac322222ABCaBABCbA) ( ．在△中，若，则△cos ＝是cos 4 ．等腰三角形BA．等边三角形．锐角三角形DC．直角三角形BAab＝因为B [，cos cos222222bacabc－＋＋－ab.＝所以··acbc22222222bbacca. ＋所以＝＋－－22ba.所以＝．ab]所以＝故此三角形是等腰三角形．acbaCBAABCcC)( ，则2＝＝120°，，若，，所对的边分别为，，中，角．在△5．ba >A．ba <B．ba＝C．ba与D．的大小关系不能确定b??222222222??abbbaaabacababC，则＝＋＋＋－2cos ＝由余弦定理，知A [，则＝2＋，即a??bb15－ba] A，所以＝>．，故选<1，所以＝＋－10aa2 二、填空题BcbBaCcAaABCABCb，则，若2cos ＋的对边分别为，＝6．△的内角，，，cos ，cos________.＝222222222ababbccac－＋＋－－π＋222acbccaba，所以＋＝＝×－×＋× [依题意得2，即bcacab2322π1BBacBacB.]2，所以cos ＝＝cos >0，.＝又0<<π32AbaABCC________. ＝＝60°，则＝3，sin 7．在△中，若，＝2121222Cabbca，＝7＋－2cos ＋＝49 [由余弦定理得＝－2×2×3×2732×2Ca21sin Ac.]＝7，由正弦定理得sin ＝＝＝c77Ba,cAbcaBABCACb，＝3sin ＝2，，5sin .若．设△8＋的内角，，所对边的长分别为C________.则角＝π2 利用正弦定理、余弦定理求解．[ 3baBA . ＝5，得3由3sin 5sin ＝75bcaabcb ，＝＋＝2，，所以＝又因为 3375????222bb ????b －＋ 222????33cba 1＋－C .所以cos ＝＝＝－ ab 225bb ×2× 3π2CC ＝)，所以因为，∈.] (0π 3 三、解答题abCABcABC 值的边和，角求，15°＝，22＝，2＝知已，中△在．9．??26－6＋2??.15°＝sin cos 15°＝，??44222Ccabab ＋2cos 解] 由余弦定理知＝－[26＋ 43，＝88＝4＋－2×2×22×－42c 2. 6－?6－∴2?＝8＝－43＝26－2×4aCa 1sin 15°sin A ＝＝，由正弦定理得sin ＝＝cc 22－6BAbaA ＝30°，>> ，∴，∴∵BAC ＝135°，＝180°－ ∴－cAB＝135°.， ＝30°，＝6－2∴2222CcbCBbcBABC sin ＋cos sin 中，若，试判断三角形的形状．＝210．在△·cosabc 22222RBRCR sin 解[] 法一：由4·sin ，则条件化为：4sin ＝＝＋＝2 CAB sin sin sin22BCBCBRBCC ≠0，·sin sin ．又·sinsin ·cos ·sin ·cos ＝8BCBCBC )＝，即·sin cos(＝cos 0. cos sin ∴＋BCBC ＝90°，＋<180°，∴又0°< ＋AABC 为直角三角形．＝90°，故△∴法二：将已知等式变形为：222cab －＋??22222222??bbCBbcBCcbc ··cos ，－cos(1－即)＋－(1－cos)＝2＋cosab ??2222bca －＋??22??c · ac ??2222222caabcb －＋＋－bc ··，＝2acab 2222cb ＋＝即42222222abacabc 4??＋?＋?[]＋－－2Aa ＝＝＝90°，，∴22aa 44ABC 为直角三角形．∴△]能力提升练[222bca －－ABCABCabcABC ( )，，>0，若，则△．在△1中，，，的对边分别为 ab 2A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形．一定是钝角三角形C ．D ．是锐角或直角三角形222bac －－222222ABCcabcab ]＋．<为钝角三角形，故选－，∴△－C>0，∴，∴C [∵>0 ab 2→→BCBDADABABCBACACDBCDC ·，则＝1，＝2．如图，在△是边中，∠＝120°，2＝2，上一点，) ( 等于821 A ．－ ．－B 3227 C ．－ ．－D 75222BCABAC －＋BAC B ＝cos ∠， [由余弦定理得 ACAB ·2BC ，解得＝7222222ADABABBCBDAC －－＋＋B ＝cos ＝，又 BDABABBC ··2213AD ＝，解得3→→ADBADBC ，又的夹角大小为∠，222ABADBD －＋ADB ＝cos ∠ ADBD ·2????137222????2－＋????338 ＝，＝－91713×2×338→→→→ADBBCADBCAD .]·|·cos ∠＝|＝－所以|·| 3BCACABCABCA ． 的长为1＝，△3．在△________中，∠的面积为3＝60°，，则122SABACAABBCABACABACA ＝13.]－sin 2?cos ＝4，∴＝[13 ·＝＋·ABC△2ABCABCabcbcAca cos6，则＋＝3，，．在△4＝中，三个角4，cos ，所对边长分别为＝BabC的值为________＋．cos222222222cabbcbaac－－61＋＋－＋ababbcAcaBCbcca＝＋＝＋∵ [·cos ＋·cos ＋·cosabbcac22226111222222222222cabbcbabcaac.] ＝)＋＝)＋－＋－(＋＋＋－(＋222．2BxABCABCaACbabx＝＋．在△2中，＝＝，0＝的两根，，且，2cos(是方程)－32＋51.C的度数；(1)求角AB(2)求的长．1CABCCABAB(π－＝－＋，∴)]＝－cos(＋＝120°.)][解 (1)在△中，cos ＝cos[22xbxa－的两根，230＋2(2)∵，＝是方程abba2. ＝23，＝∴＋根据余弦定理，222abaABb－＝2＋cos 120°2abab＋)＝(－210. ＝23)＝(2－AB10. ∴＝。
2019版高考数学(理)一轮复习课时分层作业3.6正弦定理和余弦定理.docx
2019 版高考数学 ( 理) 一轮复习课时分层作业课时分层作业二十四正弦定理和余弦定理一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 25 分)1.(2016 ·全国卷Ⅰ ) △ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a= , c=2,cos A=, 则 b 等于()A. B. C.2 D.3【解析】选 D. 在△ ABC 中由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4- , 解得 b=3 或 b=-( 舍去 ).2.(2018 ·潍坊模拟 ) 在△ ABC中,cos 2 =(a,b,c分别为角A,B,C的对边 ), 则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选 B. 因为 cos 2 =,cos 2=,所以 (1+cos B) ·c=a+c, 所以 a=cos B ·c=,所以 2a2=a2+c2 -b 2, 所以 a2+b2=c2,2019 版高考数学 ( 理) 一轮复习课时分层作业所以△ ABC为直角三角形 .3. 在△ ABC 中 , 已知b=40,c=20,C=60°, 则此三角形的解的情况是()A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定【解析】选 C.因为=, 所以 sin B=== >1,故此三角形无解 .4.(2017 ·山东高考 ) 在△ ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若△ABC为锐角三角形 , 且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解题指南】逆用两角和的正弦公式将原式化简, 再结合正弦定理去判断 .【解析】选 A.2sin A cos C+cos Asin C=sin Acos C+(sin Acos C+cosAsin C)=sin Acos C+sin B=sin B+2sin BcosC,即sin Acos C=2sin Bcos C,由于△ ABC为锐角三角形 , 所以 cos C ≠0,sin A=2sin B,由正弦定理可得a=2b.5.(2018 ·长沙模拟 ) 在△ ABC中,A= ,b 2 sin C=4sin B, 则△ ABC的面积为()A.1B.2C.3D.4【解析】选 B. 因为 b2sin C=4sin B, 所以 b2 c=4 b, 即 bc=4 ,故S△ABC=bcsin A=2.【变式备选】在锐角△ ABC中, 角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sinA=, a=3,S=2, 则 b 的值为 ()△ABCA.6B.3C.2D.2 或 3【解析】选 D.因为 S△ABC=2 = bcsin A,所以 bc=6, 又因为 sin A=, 所以 cos A= , 又 a=3, 由余弦定理得9=b2+c2 -2bccos A=b 2+c2-4,b 2+c2=13, 可得 b=2 或 b=3.二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 15 分)6.(2017 ·全国卷Ⅱ ) △ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若2bcos B=acos C +ccos A, 则 B=________.【解析】由正弦定理可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,所以cos B=, 又因为 0<B<π, 所以 B= .答案 :7.(2018 ·杭州模拟 ) 在△ ABC中, 内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知A=, b=,△ABC 的面积为,则c=________,B=________.【解析】因为A= ,b=, △ ABC 的面积为=bcsinA= ××c×, 所以解得 :c=1+, 所以由余弦定理可得 :a==2, 可得 :cos B== , 又0<B<π, 故 B= .答案 : 1+8. 设△ ABC的内角 A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B,则cos B 的值为 ________.【解析】因为 A=2B,=,b=3,c=1,所以=, 可得 a=6cos B,由余弦定理可得 :a=6 ×, 所以 a=2 ,所以 cos B= = .4答案 :三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分)9.(2018 ·成都模拟 ) 已知三角形 ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若sin 2A =cos 2A, 且角 A 为锐角 .(1) 求三角形内角 A 的大小 .(2) 若 a=5,b=8, 求 c 的值 .【解析】 (1) 由题意 ,sin 2A=cos 2A, 即 tan 2A=.所以 2A= 或者 2A= , 因为角 A为锐角 , 所以 A= .(2) 由 (1) 可知A= ,a=5,b=8;由余弦定理,2bccos A=c2+b2-a 2, 可得:c 2-8c+39=0,解得 c=4 +3 或者 4 -3.10.(2017 ·全国卷Ⅲ ) △ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求 c.(2)设 D 为 BC边上一点 , 且 AD⊥AC,求△ ABD的面积 .【解析】 (1) 因为 sin A+cos A=0,所以 sin A=-cos A,所以 tan A=-.因为 A∈(0, π),所以 A= .由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,代入 a=2,b=2 得 c2 +2c-24=0,解得 c=-6( 舍去 ) 或 c=4,所以 c=4.(2) 由(1) 知 c=4.因为 c2 =a2+b2-2abcos C,所以 16=28+4-2×2×2×cos C,所以 cos C=, 所以 sin C=,所以 tan C=.在 Rt△CAD中 ,tan C=,所以=, 即 AD= .则S△ADC= ×2× = ,由(1) 知 S△ABC= ·bc·sin A=×2×4×=2 ,所以 S△ABD=S△ABC-S△ADC=2 -= .1.(5 分)(2016 ·全国卷Ⅲ ) 在△ ABC中,B= ,BC 边上的高等于BC,则sin A=()A. B. C. D.【解析】选 D.设 BC边上的高为 AD,且 AD=m,因为 B= , 则 BD=m,AB= m,又因为 AD= BC,所以 DC=2m,AC= m,由正弦定理=得sin∠BAC==.【变式备选】设△ ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b等于()A.3B.2C.2D.【解析】选 C. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 即 4=b2+12-6b ?b2-6b+8=0? (b-2)(b-4)=0, 由 b<c, 得 b=2.2.(5 分) 在△ ABC中, 若= 且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ ABC的形状为()A. 直角三角形B. 等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形【解析】选 C.由正弦定理得= , 又由已知得= , 故 b=c, 又因为 (b+c+a)(b+c-a)=3bc,即(b+c)2-a2=3bc,故b2+c2-a2=bc,所以cosA== , 因为 0<A<π, 所以 A= , 故△ ABC是等边三角形 .2019 版高考数学 ( 理) 一轮复习课时分层作业3.(5分)(2018·大连模拟)如图,在四边形ABCD中, ∠ABD=45°, ∠ADB=30°,BC=1,DC=2,cos∠BCD=, 则 BD=________;三角形 ABD的面积为 ________.【解析】在△CBD中,由余弦定理,可得BD==2, 在△ ABD 中 , 利用正弦定理, 可得AD==2 -2, 所以三角形 ABD的面积为×2× (2-2) ×=-1.答案 : 2-14.(12 分)(2018 ·泉州模拟 ) 已知 a,b,c分别是△ ABC中角A,B,C的对边,acsin A +4sin C=4csin A.(1)求 a 的值 .(2) 圆 O为△ ABC的外接圆 (O 在△ ABC内部 ), △OBC的面积为,b+c=4,判断△ ABC的形状 , 并说明理由 .【解析】 (1) 由正弦定理可知 ,sin A= ,sin C= , 则 acsinA+4sin C=4csin A ? a2 c+4c=4ac,2019 版高考数学 ( 理) 一轮复习课时分层作业因为 c≠0, 所以 a2c+4c=4ac? a2+4=4a? (a-2) 2 =0, 可得 a=2.(2) 设 BC的中点为 D,则 OD⊥BC,所以 S△OBC= BC·OD.又因为 S△OBC= ,BC=2, 所以 OD= ,在 Rt△BOD中 ,tan ∠BOD= == = ,又0°<∠BOD<180°, 所以∠ BOD =60° ,所以∠ BOC=2∠BOD=120°,因为 O在△ ABC内部 , 所以∠ A= ∠BOC=60°,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A.所以 4=b2+c2-bc=(b+c) 2-3bc, 又 b+c=4,所以 bc=4, 所以 b=c=2,所以△ ABC为等边三角形 .5.(13 分)(2017 ·全国卷Ⅰ ) △ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ ABC的面积为.(1)求 sin Bsin C.(2)若 6cos Bcos C=1,a=3, 求△ABC的周长 .【解析】 (1) 因为△ ABC面积 S=且S= bcsin A,所以= bcsin A,所以 a2 = bcsin 2A,由正弦定理得 sin 2 A= sin Bsin Csin2A,由 sin A ≠0 得 sin Bsin C= .(2) 由(1) 得 sin Bsin C=, 又 cos Bcos C= ,因为 A+B+C=π,所以 cos A = cos=-cos=sin Bsin C-cos Bcos C =,又因为 A∈,所以 A= ,sin A=,cos A= ,由余弦定理得 a2=b2+c2-bc=9①,由正弦定理得 b=·sin B,c=·sin C,所以 bc=·sin Bsin C=8②,由①②得 b+c=,所以 a+b+c=3+, 即△ ABC的周长为 3+.。
2020年高中数学 人教A版 必修5 课后作业本《余弦定理》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《余弦定理》一、选择题1.△ABC 中，a 2=bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60°2.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B<sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3.若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A=4sin B=3sin C ，则cos B=( )A.154B.34C.31516D.11164.在△ABC 中，B=π4，AB=2，BC=3，则sin A=( )A.1010 B.103 C.31010 D.555.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A.518B.34C.32D.786.边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°7.如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定 8.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a=2，c=23，cos A=32，且b<c ，则b=( ) A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．3二、填空题9.在△ABC 中，若a=2，b ＋c=7，cos B=－14，则b=________.10.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2=ac ，且c=2a ，则cos B=________.11.在△ABC 中，若(a －c)(a ＋c)=b(b ＋c)，则A=________.12.若2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边长，则实数a 的取值范围是________．三、解答题13.在△ABC 中，A ＋C=2B ，a ＋c=8，ac=15，求b.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=3，b=4，c=6，求bccos A ＋accos B ＋abcos C 的值．15.如图所示，△ABC 中，AB=2，cos C=277，D 是AC 上一点，且cos ∠DBC=5714.求∠BDA 的大小．16.已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A=0.(1)求内角A 的大小；(2)若a=23，b=2，求c 的值．答案解析1.答案为：A ；解析：由余弦定理：cos A=b 2＋c 2－a 22bc =b 2＋c 2－bc 2bc =b －c 2＋bc2bc>0，∴A<90°.2.答案为：A ；解析：由正弦定理，a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 22ab<0，即cos C<0，∴C>90°.3.答案为：D ；解析：由正弦定理：6a=4b=3c ，∴b=32a ，c=2a ，由余弦定理cos B=a 2＋c 2－b22ac =a 2＋4a 2－94a 22a 2=1116.4.答案为：C ；解析：在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos B =2＋9－6=5，∴AC=5，由正弦定理BC sin A =AC sin B ，解得sin A=31010.5.答案为：D ；解析：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cos α=2a 2＋2a 2－a 22×2a×2a =78.6.答案为：B ；解析：设边长为5,7,8的对角分别为A ，B ，C ，则A<B<C.∴cos B=52＋82－722×5×8=12.∴cos(A ＋C)=－cos B=－12，∴A ＋C=120°.7.答案为：A ；解析：设直角三角形的三条边分别为a ，b ，c ，c 为直角边，设同时增加长度k ， 则三边长变为a ＋k ，b ＋k ，c ＋k(k>0)，最大角仍为角C ，由余弦定理cos C=a ＋k 2＋b ＋k 2－c ＋k 22a ＋k b ＋k =a 2＋2ak ＋k 2＋b 2＋2bk ＋k 2－c 2－2ck －k22a ＋k b ＋k=2k a ＋b －c ＋k 22a ＋k b ＋k >0，∴新三角形为锐角三角形．8.答案为：B ；解析：由余弦定理a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，所以22=b 2＋()232－2×b×23×32，即b 2－6b ＋8=0，解得：b=2或b=4，因为b<c ，所以b=2，故选B.9.答案为：4；解析：∵b ＋c=7，∴c=7－b.由余弦定理得b 2=a 2＋c 2－2accos B ，即b 2=4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b=4.10.答案为：34；解析：因为b 2=ac ，且c=2a ，所以cos B=a 2＋c 2－b 22ac =a 2＋4a 2－2a 22a·2a =34.11.答案为：120°；解析：由已知：a 2－c 2=b 2＋bc ，∴b 2＋c 2－a 2=－bc ， ∴b 2＋c 2－a 22bc =－12，由余弦定理：cos A=－12，∴A=120°.12.答案为：(2,8)；解析：因为2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边长，所以{ 2a ＋1>0a>02a －1>0，解得a>12，此时2a ＋1最大，要使2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边长，还需a ＋2a －1>2a＋1，解得a>2.设最长边2a ＋1所对的角为θ，则θ>90°，所以cos θ=a 2＋2a －12－2a ＋122a 2a －1=a a －82a 2a －1<0，解得12<a<8.综上可知实数a 的取值范围是(2,8)．13.解：在△ABC 中，由A ＋C=2B ，A ＋B ＋C=180°，知B=60°.a ＋c=8，ac=15，则a ，c 是方程x 2－8x ＋15=0的两根． 解得a=5，c=3或a=3，c=5.由余弦定理，得b 2=a 2＋c 2－2accos B=9＋25－2×3×5×12=19.∴b=19.14.解：∵cos A=b 2＋c 2－a 22bc ，∴bccos A=12(b 2＋c 2－a 2)．同理accos B=12(a 2＋c 2－b 2)，abcos C=12(a 2＋b 2－c 2)．∴bccos A ＋accos B ＋abcos C=12(a 2＋b 2＋c 2)=612.15.解：由已知得cos ∠DBC=5714，cos C=277，从而sin ∠DBC=2114，sin C=217， ∴cos ∠BDA=cos(∠DBC ＋C)=5714·277－2114·217=12，∴∠BDA=60°. 16.解：(1)∵cos A=2cos 2A2－1，又2cos 2A2＋cos A=0，∴2cos A ＋1=0，∴cos A=－12，∴A=120°.(2)由余弦定理知a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，又a=23，b=2，cos A=－12.∴(23)2=22＋c 2－2×2×c×(－12)，化简，得c 2＋2c －8=0，解得c=2或c=－4(舍去).。
2019-2020学年度新人教A版必修第二册6.4.3、余弦定理课时分层作业
课时分层作业(十一) 余弦定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [由题意知，(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.] 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C [由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．]4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23A [由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.]5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )A ．1<a <3B ．1<a <5 C.3<a < 5 D ．不确定C [若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.]二、填空题6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 0 [∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.]7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.1 [∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1.]8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.4 [因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b .由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14， 解得b ＝4.]三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解] 在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．[解] (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.[等级过关练]1．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3D [∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32， 即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0＜B ＜π，∴角B 的值为π3或2π3.]2．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π A [cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A.] 3．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为________． 7 [由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23， 设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7. 所以AC 边上的中线长为7.]4．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________. (1，7)∪(5,7) [①若x >4，则x 所对的角为钝角，∴32＋42－x 22×3×4<0且x <3＋4＝7，∴5<x <7. ②若x <4，则4对的角为钝角，∴32＋x 2－422×3×x<0且3＋x >4， ∴1<x <7.∴x 的取值范围是(1，7)∪(5,7)．]5．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长．[解] 由⎩⎨⎧ a －b ＝4，a ＋c ＝2b ， 得⎩⎨⎧a ＝b ＋4，c ＝b －4.∴a ＞b ＞c ，∴A ＝120°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10.当b ＝10时，a ＝14，c ＝6.。
2019_2020学年新教材高中数学课时分层作业20半角的正弦、余弦和正切新人教B版第三册
课时分层作业(二十) 半角的正弦、余弦和正切(建议用时：60分钟) [合格基础练]一、选择题1.已知cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．105B ．－105C ．265D ．255A [∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105.] 2.设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2等于( )A ．－55B ．55C ．35D ．－35A [因为α是第二象限角，且sin α2<cos α2，所以α2为第三象限角，所以cos α2<0.因为tan α＝－43，所以cos α＝－35，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－55.] 3.若sin74°＝m ，则cos 8°＝( ) A ．1－m 2 B ．±1－m2 C ．1＋m2D ．±1＋m2C [∵sin74°＝m ＝cos 16°，∴cos 8°＝1＋cos 16°2＝1＋m2，故选C ．] 4．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2的值为( )A ．2B ．－2C ．12 D ．－12B [法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2.]5．已知tan θ2＝3，则cos θ等于( )A ．45B ．－45C ．415D ．－35B [cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2cos 2θ2＋sin 2θ2＝1－tan2θ21＋tan2θ2＝1－321＋32＝－45.]6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12B ．12C ．2D ．－2A [∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tanα2＝1＋sinα2cosα21－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A ．] 二、填空题7．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于________． －1－a 2 [由sin 2θ4＝1－cosθ22，∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2， ∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.] 8．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝________. －19 [sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝－19.] 9．已知α是第三象限角，sin α＝－2425，则tan α2的值是________．－43 [∵α是第三象限角，∴2k π＋π＜α＜2k π＋3π2， ∴k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，∴tan α2＜－1，sin α＝2tanα21＋tan2α2＝－2425，整理得12tan2α2＋25tan α2＋12＝0 ∴tan α2＝－43或－34(排除)．]三、解答题10．已知0＜x ＜π2＜y ＜π，cos(y －x )＝513.若tan x 2＝12，分别求：(1)sin x 2和cos x2的值；(2)cos x 及cos y 的值．[解](1)由tan x ＝2tan x21－tan 2x 2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43且x 为锐角，所以cos x ＝11＋tan 2x ＝35， 因为cos x ＝2cos 2x 2－1＝35，解得cos x 2＝255， 而tan x 2＝sin x2cos x 2＝12，所以sin x 2＝12cos x ＝55.(2)由题知0＜y －x ＜π，而cos(y －x )＝513得到y －x 为锐角，所以sin(y －x )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，则tan(y －x )＝tan y －tan x 1+tan y tan x ＝125.由tan x ＝43，所以tan y ＝－5633.则cos x ＝35，因为y 为钝角，所以cos y ＝－11＋tan 2y＝－3365.[等级过关练]1.已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5B [由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π.∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5.]2.若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan α2等于( )A ．23B ．12C ．32D ．32D [∵α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝6sin α2cos α2＋2(2cos 2α2－1)＝2，∴6sinα2cos α2＋4cos 2α2＝4，即3sin α2cos α2＋2cos 2α2＝2，∴3sin α2cos α2＋2cos 2α2sin 2α2＋cos2α2＝3tan α2＋2tan 2α2＋1＝2，解得tan α2＝32或tan α2＝0(舍去)，故选D ．]3.sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝________.tan x2[原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝tan x2.] 4．设0≤ α≤ π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [由题意知，Δ＝(8sinα)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤ 0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤ sin α≤ 12.因为0≤ α≤ π，所以0≤ α≤ π6或5π6≤α≤π.]5．如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？[解] 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R .∵0＜α＜π2，∴π4＜α＋π4＜3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．。
课时分层作业12 余弦定理
课时分层作业(十二)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120° ，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．6 2D ．2192．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15 B ．－16 C ．－17D ．－183．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4．在△ABC 中，若b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题6．△ABC 的内角，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则sin A ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.三、解答题9．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A ，B 和边c 的值⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 15°＝6＋24，sin 15°＝6－24.10．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cos C ，试判断三角形的形状．[能力提升练]1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．是锐角或直角三角形2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →等于( )A ．－212 B ．－83 C ．－75D ．－273．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝1，△ABC 的面积为3，则BC 的长为________．4．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 所对边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．5．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．。
2019-2020年人教B版数学必修五课时分层作业2+余弦定理+Word版含解析
课时分层作业(二) 余弦定理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝13，b ＝3，∠A ＝60°，则c ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．6C [a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)，故选C ．]2．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23B [∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a＝34.]3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°B [设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，∠θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．]4．△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．都有可能A [由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，∴cos C <0，又0°<∠C <180°， ∴∠C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．]5．若△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且∠C ＝60°，则ab 的值为( )A ．43B ．8－4 3C ．1D ．23A [由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.]二、填空题6．在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则∠B 的值为________．π6 [根据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又∠B ∈(0，π)，所以∠B ＝π6.]7．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________． 35[由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°， 整理得：AC 2＋5·AC －24＝0， 解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35.]8．在△ABC 中，若b ＝2，c ＝23，∠C ＝2π3，则a ＝________. 2 [∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(23)2＝a 2＋22－2a ×2×cos 2π3，∴a 2＋2a －8＝0，即(a ＋4)(a －2)＝0，∴a ＝2或a ＝－4(舍去)．∴a ＝2.] 三、解答题9．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17. (2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45. 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C ，所以sin C ＝41717.10．已知△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[解] 法一：(利用边的关系判断) 由正弦定理，得sin C sin B ＝cb .∵2cos A sin B ＝sin C ，∴cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b . ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝c2b ，∴c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b . ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab .∵a ＝b ，∴4b 2－c 2＝3b 2， ∴b 2＝c 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形． 法二：(利用角的关系判断)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴sin C ＝sin(A ＋B )． ∵2cos A sin B ＝sin C ，∴2cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0. ∵0°<∠A <180°，0°<∠B <180°， ∴－180°<∠A －∠B <180°， ∴∠A －∠B ＝0°，即∠A ＝∠B ．∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升练]1．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则∠A ＝( )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6C [由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<∠A <π，所以∠A ＝π4.]2．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且b 2＝ac ，则∠B 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πA [cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12， ∵0<∠B <π，∴∠B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A ．] 3．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ，则△ABC 是________三角形．直角 [由c 2＝bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ，得c 2＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b22＋a 2＋b 2－c 22，化简得c 2＝a 2＋b 2，所以∠C ＝90°，所以△ABC 是直角三角形．] 4．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________. 1 [由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.]5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的周长．[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32. 又0<A <π，所以A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C <0，即C 为钝角．所以B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，所以B ＝π6.(2)由(1)，知a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2.由a sin A ＝c sin C ，可得c ＝a sin Csin A ，即c ＝2 3. 所以△ABC 的周长为4＋2 3.。
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价十三余弦定理正弦定理应用举例--距离问题新人教A版必修2
课时素养评价十三余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019·诸暨高一检测)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测得AC的距离为50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点间的距离为( )A.50 mB.50 mC.25 mD. m【解析】选A.由题意知，在△ABC中，AC=50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，所以∠CBA=180°-45°-105°=30°，所以由正弦定理可得，AB===50(m).2.(2019·苏州高一检测) 某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为( )A.4 kmB.6 kmC.7 kmD.9 km【解析】选C.如图所示，由题意可知AB=3，BC=2，∠ABC=150°，由余弦定理得AC2=27+4-2×3×2×cos 150°=49，所以AC=7，所以A，C两地距离为7 km.3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( )A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时【解析】选B.设t小时后，B市恰好处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2+402-2×20t×40cos 45°=302.化简得：4t2-8t+7=0，所以t1+t2=2，t1t2=.从而|t1-t2|==1.4.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为正三角形，且DC= km，当目标出现在B点时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A.1.1 kmB.2.2 kmC.2.9 kmD.3.5 km【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.在△BCD中由正弦定理得BD==.在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 105°=3++2×××=5+2.所以AB=≈2.9(km).答：炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km.二、填空题(每小题4分，共8分)5.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，2019年第1号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示，没有完全断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号).【解析】如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠AOB=75°，∠ABO=45°，所以∠OAB=60°.由正弦定理知，==，所以OA=米，AB=米，所以OA+AB=米.答案：(5+5)6.(2019·宁德高二检测)一艘船以每小时20 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶2 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为_______km.【解析】由题意知，△ABC中，AC=20×2=40，∠BAC=30°，∠B=180°-30°-(90°+15°)=45°，由正弦定理得，BC===20(km)，所以船与灯塔的距离为20 km.答案：20三、解答题(共26分)7.(12分)海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B，在货轮南偏东60°.求：(1)A处与D处的距离.(2)灯塔C与D处之间的距离.【解析】由题意，画出示意图，如图所示.(1)在△ABD中，由已知∠ADB=60°，∠DAB=75°，则B=45°.由正弦定理，得AD==24(n mile).答：A处与D处之间距离为24 n mile.(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2=AD2+AC2-2AD×ACcos30°=242+(8)2-2×24×8×=(8)2，所以CD=8(n mile).答：灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.【加练·固】如图所示，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB=6 m，∠ABD=60°，∠DBC=90°，∠DAB=75°.试求C，D间的距离.【解析】∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+90°=150°，所以∠C=180°-150°=30°，∠ADB=180°-75°-60°=45°.△ABD中，由正弦定理得AD==3.由余弦定理得BD==3+3.在Rt△BDC中，CD==6+6，即CD的长为(6+6) m.8.(14分)(2019·眉山高一检测)如图，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离.【解析】在△ABP中，AB=30×=20，∠APB=30°，∠BAP=120°，由正弦定理得BP===20，在△BPC中，BC=30×=40，由已知∠PBC=90°，所以PC===20(海里).答：P，C间的距离为20海里.(15分钟·30分)1.(4分)如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m，吊杆AC=15 m，吊索AB=5 m，起吊的货物与岸的距离AD为 ( )A.30 mB. mC.15 mD.45 m【解析】选B.在△ABC中，AC=15 m，AB=5 m，BC=10 m，由余弦定理得cos ∠ACB===-，所以sin ∠ACB=.又∠ACB+∠ACD=180°，所以sin ∠ACD=sin ∠ACB=.在Rt△ACD中，AD=ACsin ∠ACD=15×= (m).2.(4分)甲船在岛B的正南A处，AB=10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时乙船自岛B出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )A. minB. hC.21.5 minD.2.15 h【解析】选A.由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t小时后，甲船位于C点，乙船位于D点，如图.则BC=10-4t，BD=6t，∠CBD=120°，根据余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠CBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2-20t+100，所以当t=时，CD2取得最小值，即两船间的距离最近，所以此时它们的航行时间是 min.3.(4分)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________.【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以∠D+∠B=π.在△ABC和△ADC中由余弦定理可得82+52-2×8×5×cos(π-D) =32+52-2×3×5×cos D，整理得cos D=-，代入得AC2=32+52-2×3×5×=49，故AC=7.答案：74.(4分)如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD=10 km，AB=14 km，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则两景点B与C的距离为________(精确到0.1 km).参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236.【解析】在△ABD中，设BD=x km，则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos ∠BDA，即142=x2+102-2·10x·cos 60°，整理得，x2-10x-96=0，解得，x1=16，x2=-6(舍去)，故BD=16 km，又因为∠BDA=60°，AD⊥CD，所以∠CDB=30°.由正弦定理，得：=，所以BC=·sin 30°=8≈11.3(km).所以两景点B与C的距离约为11.3 km.答案：11.3 km5.(14分)(2019·怀化高二检测) 轮船A从某港口C将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口C北偏西30°且与C相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以v海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇，若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度应为多少？【解析】设相遇时轮船A航行的距离为S海里，则 S===.所以当t=时，S min=10，v==30.答：轮船A以30海里/小时的速度航行，相遇时轮船A航距最短.1.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度v为( )A.8 km/hB.6 km/hC.2 km/hD.10 km/h【解析】选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ==，从而cos θ=，所以由余弦定理得=+12-2××2×1×，解得v=6(km/h).2.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上.一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B 后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？【解析】设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行.在△OBC中由题意易得∠BOC=30°，∠CBO=60°，所以∠OCB=90°，因为BO=120，所以BC=60，OC=60.故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.在△OCD中，由题意易得∠COD=30°，OD=20x，CD=60(x-2).由余弦定理，得CD2=OD2+OC2-2OD·OCcos∠COD，所以602(x-2)2=(20x)2+(60)2-2×20x×60×cos30°.解得x=3或x=，因为x>1，所以x=3.所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇.【加练·固】如图所示，海中小岛A周围38n mile内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30n mile后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【解题指南】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38n mile的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38n mile比较大小即可.【解析】在△ABC中，BC=30，B=30°，∠ACB=135°，所以∠BAC=15°，由正弦定理，得=，即=，所以AC=60cos 15°=60cos(45°-30°)=60(cos 45°cos30°+sin45°sin 30°)=15(+)，所以A到BC的距离为d=ACsin 45°=15(+1)，≈40.98n mile>38n mile，所以继续向南航行，没有触礁危险.。
2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十一余弦定理新人教A版必修2
课时素养评价十一余弦定理(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019·嘉兴高一检测)在△ABC中，如果BC=6，AB=4，cos B=，则AC= ( )A.6B.2C.3D.4【解析】选A.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=42+62-2×4×6×=36，所以AC=6.2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=，c=2，cos A=，则b=( )A. B.C.2D.3【解析】选D.由余弦定理，得5=b2+22-2×b×2×，解得b=3.3.在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2+b2，则△ABC为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不存在【解析】选B.因为c2<a2+b2，所以∠C为锐角.因为a<b<c，所以∠C为最大角，所以△ABC为锐角三角形.【加练·固】在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形【解析】选C.由题意知<0，即cos C<0，所以△ABC为钝角三角形.4.若a，b，c为△ABC的三边，B=120°，则a2+c2+ac-b2的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定【解析】选C.由题意知，cos B==cos 120°=-，所以a2+c2-b2=-ac，所以a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.二、填空题(每小题4分，共8分)5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=，b=2，A=60°，则c=________. 【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，所以7=4+c2-2c，解得c=3(负值舍去)答案：36.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ccos B=2a+b，则∠C=________.【解析】因为2ccos B=2a+b，所以由余弦定理得2c×=2a+b，整理得a2+b2-c2=-ab，所以cos C==-，又因为0°<C<180°，所以C=120°.答案：120°三、解答题(共26分)7.(12分)在△ABC中，A+C=2B，a+c=8，ac=15，求b.【解析】在△ABC中，因为A+C=2B，A+B+C=180°，所以B=60°.由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B=82-2×15-2×15×=19.所以b=.8.(14分)在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2-2x+2=0的两根，2cos(A+B)=1，(1)求角C的度数.(2)求AB的长.【解析】(1)因为cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-，且C∈(0，π)，所以C=.(2)因为a，b是方程x2-2x+2=0的两根，所以所以AB2=b2+a2-2abcos 120°=(a+b)2-ab=10，所以AB=.(15分钟·30分)1.(4分)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos =，BC=1，AC=5，则AB=( ) A.4 B.C. D.2【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-，在△ABC中，由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C，所以AB2=1+25-2×1×5×=32，所以AB=4.2.(4分)△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p=(a+c，b)，q=(b-a，c-a)，若p∥q，则C的大小为( )A. B.C. D.【解析】选B.因为p=(a+c，b)，q=(b-a，c-a)，p∥q，所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，即a2+b2-c2=ab.由余弦定理，得cos C===，因为0<C<π，所以C=.3.(4分)三角形一边长为14，它的对角为，另外两边之比为8∶5，则此三角形的面积为________.【解析】设此三角形未知的两边之长为8k，5k(k>0)，结合已知条件，由余弦定理得142=(8k)2+(5k)2-2×8k×5kcos，解得k=2，所以该三角形三边长分别为14，16，10，长度为16的边上的高为10×sin，所以此三角形的面积为×16×10×sin=40.答案：404.(4分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2+c2-b2)tan B=ac，则角B的度数为【解析】由余弦定理，得2accos B·tan B=ac，整理，得sin B=，所以B=60°或120°.答案：60°或120°5.(14分)(2019·北京高考)在△ABC中，a=3，b-c=2，cos B=-.(1)求b，c的值.(2)求sin(B+C)的值.【解析】(1)由已知及余弦定理，cos B====-，即9-2b+c=0，又b-c=2，所以b=7，c=5.(2)由(1)及余弦定理，cos C===，又sin2C+cos2C=1，0<C<π，所以sin C=，同理sin B=，所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B=×+×=.1.若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( ) A.(1，) B.(，5)C.(，)D.(1，)∪(，5)【解析】选D.(1)若x>3，则x对角的余弦值<0且2+3>x，解得<x<5.(2)若x<3，则3对角的余弦值<0且x+2>3，解得1<x<.故x的取值范围是(1，)∪(，5).【加练·固】如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定【解析】选A.设直角三角形三边为a，b，c，且a2+b2=c2.则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0.设最大边(c+x)所对的角为θ，则cos θ=>0，所以θ为锐角，故三角形的形状为锐角三角形.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2-(b-c)2=(2-)bc，sin Asin B=cos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小.(2)求△ABC的周长.【解析】(1)由a2-(b-c)2=(2-)bc，得a2-b2-c2=-bc所以cos A==.又0<A<π，所以A=.由sin Asin B=cos2，得sin B=，即sin B=1+cos C，则cos C<0，即C为钝角.所以B为锐角，且B+C=，则sin=1+cos C，化简得cos=-1，解得C=，所以B=.(2)由(1)知，a=b，在△ACM中，由余弦定理得AM2=b2+-2b··cos C=b2++=()2，解得b=2，所以a=2. 在△ABC中c2=a2+b2-2abcos C=22+22-2×2×2×cos=12，所以c=2.所以△ABC的周长为4+2.。
2019-2020学年高中数学课时分层作业7余弦函数的图像与性质含解析北师大版必修53
课时分层作业(七) 余弦函数的图像与性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．对余弦函数y ＝cos x 的图像，有如下描述：①向左向右无限延伸；②与y ＝sin x 的图像形状完全一样，只是位置不同；③与x 轴有无数多个交点；④关于y 轴对称．其中正确的描述有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个D [由余弦函数的图像(图略)知①②③④均正确．] 2．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是( ) A ．2k π(k ∈Z ) B ．3π C ．πD ．2πC [∵函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致， 由函数y ＝|cos x |的图像知其最小正周期为π， ∴y ＝|cos x |－1的最小正周期也是π，故选C.] 3．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π C [函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上y ＝|cos x |是减少的．]4．从函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像来看，对应于cos x ＝12的x 有( )A ．1个值B ．2个值C ．3个值D ．4个值B [由于函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝12有且只有两个交点，所以选B.]5．函数y ＝x 2cos x 的部分图像是( )A B C D A [设f (x )＝x 2cos x ，f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故排除B ，D.当x ＝π4时，y ＝π216cos π4＝2π232＞0，故排除C.]二、填空题6．设P ，Q 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则P ＋2Q ＝________.－103[∵－1≤cos x ≤1， ∴y max ＝13×1－1＝－23，y min ＝13×(－1)－1＝－43，∴P ＋2Q ＝－23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－103.]7．比较大小：cos 15π8________sin π18.> [∵cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，sin π18＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π18＝cos 4π9.而0<π8<4π9<π2，∴cos π8>cos 4π9，即cos 15π8>sin π18.]8．函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数f (cos x )的定义域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z ) [∵f (x )的定义域为[0,1]，∴0≤cos x ≤1，∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z .]三、解答题9．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)讨论此函数的单调性． [解] 按五个关键点列表如下，(1)当cos x ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3＋2＝5，当cos x ＝－1，即x ∈{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }时，y min ＝3－2＝1.(2)令t ＝cos x ，则y ＝3＋2t ，因为函数y ＝3＋2t ，当t ∈R 时是增加的，所以当x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是增加的，y ＝3＋2cos x 也是增加的，当x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是减少的，y ＝3＋2cos x 也是减少的．10．求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝1－2cos x ； (2)y ＝lg(2cos x －3)．[解] (1)由题意，得1－2cos x ≥0，所以cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )．所以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z . 因为－1≤cos x ≤1，所以－2≤－2cos x ≤2， 所以－1≤1－2cos x ≤3，又y ＝1－2cos x ≥0， 所以原函数的值域为[0，3]．(2)由题意，得2cos x －3＞0，所以cos x ＞32，结合y ＝cos x 的图像(如图)可得：－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π(k ∈Z )．所以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π，k ∈Z. 因为－1≤cos x ≤1，所以－2－3≤2cos x －3≤2－ 3. 因为y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数．所以y ＝lg(2cos x －3)的值域为(－∞，lg(2－3))．[等级过关练]1．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图像为( )A B C DD [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，故选D.]2．已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为( ) A.π4B.π3C.0D.π2D [当φ＝π2时，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，其定义域为R ，且f (－x )＝－sin(－x )＝sin x ＝－f (x )，f (x )为奇函数．]3．若cos x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，则m 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3时，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 由2m ＋3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1.]4．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，又0≤φ≤π，解得φ＝π6.]5．已知函数y ＝12cos x －12|cos x |.(1)画出函数的图像；(2)由图像判断函数的奇偶性，周期性； (3)求出该函数的单调递减区间． [解] (1)y ＝12cos x －12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z ).函数图像如图所示：(2)由图像可知，函数图像关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 函数图像每隔2k π(k ∈Z )重新出现，故为周期函数． (3)该函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )．。
2020学年高中数学课时训练(三)余弦定理苏教版必修5(2021-2022学年)
课时跟踪检测(三） 余弦定理层级一 学业水平达标1.在△ＡB Ｃ中,已知A ＝30°，且3ａ=错误!未定义书签。
b =１２,则c 的值为( )Ａ．４Ｂ.8 C.4或８ Ｄ．无解解析:选C 由3ａ＝＼ｒ（3)b ＝12，得a ＝4，b ＝4错误!,利用余弦定理可得a 2＝b ２＋c 2-2bc ｃｏs A ，即16=4８＋c 2－１2c ,解得c ＝4或c =8.２．在△ABC 中,已知（a ＋b +ｃ)（b ＋c -a ）＝3bc ,则角A 等于（ ）Ａ．30°Ｂ.60° C.120°D ．150° 解析:选Ｂ ∵（ｂ+c ）2-a ２=ｂ2+c 2+2b ｃ-a 2=３ｂｃ，∴b 2＋c ２－a 2＝ｂｃ，∴cos A ＝错误!=错误!，∴A ＝６0°。
３．在△A ＢC 中,若ａ＝8,b =7,cos C =错误!未定义书签。
，则最大角的余弦值是（ )A ．-＼f(1,5)B ．－错误!未定义书签。
Ｃ．－１7Ｄ．－错误!未定义书签。
解析:选C 由余弦定理，得 ｃ2=a 2+ｂ２-2ab c ｏs C ＝82+７2-2×８×７×错误!未定义书签。
＝9,所以c =3，故a 最大，所以最大角的余弦值为co ｓ A ＝＼ｆ（b 2＋ｃ2－ａ2,2bc )＝错误!未定义书签。
=-错误!。
４.若△ABC 的内角A ,Ｂ，C 所对的边ａ,b ，c 满足(a ＋b )２－c ２=4,且C ＝60°,则ａb 的值为( ）A 。
错误!未定义书签。
ﻩB ．8－4错误!C.1 ﻩＤ.错误!解析：选Ａ 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a ２+b 2－ｃ2＋2ab =4，由余弦定理得ａ2+ｂ2-c 2=2ab ｃｏs ﻬC ＝2a ｂc ｏs 6０°=ab ,则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝错误!.５.在△ＡBC 中,若a 4＋b 4＋c 4＝２c 2（a 2＋ｂ2)，则角C =（ ）A.60°Ｂ.４5° C ．135° Ｄ.4５°或１35°解析：选D∵cｏs Ｃ＝错误!未定义书签。
2020高考数学总复习课时作业：正弦定理和余弦定理及其应用 含解析
(2)△ABC＝ ＝ ；
又f(B)＝1，∴sin ＝1，
∴B＋ ＝ ，解得B＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
解得a＝8.
10．(2020·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2，C＝ .
化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，
∴b＝AC＝3.故选B.]
2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不确定
解析：B[∵ ＝ ，∴sinB＝ sinA
＝ sin 45°，∴sinB＝ .
又∵a＜b，∴B有两个．]
(1)写出f(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值；
(2)已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，b＝5 ，cosA＝ 且f(B)＝1，求边a的长．
解：f(x)＝ sin －cosx＝ sinxcos ＋ cosxsin －cosx＝ sinx＋ cosx
＝sin ；
(1)f(x)的最小正周期T＝ ＝2π，
∴由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－ bc，①
由正弦定理可得：2b2－c2＝2a2，②
又S△ABC＝ bcsinA＝3，即bc＝6 ，③
由①②③联立解得b＝3.
答案：3
8．(20xx·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.
6．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝ ，2cos2 ＝( －1)cosB，c＝________，求角A.(答案提示：A＝60°，请将条件补充完整)
课时分层作业12 余弦定理
课时分层作业(十二)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120° ，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．6 2D ．219D [由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219，故选D ．]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15 B ．－16 C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9， 所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.]3．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πA [cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac ＝(a －c )22ac ＋12≥12，因为0<B <π，所以B∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.]4．在△ABC 中，若b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形B [因为b cos A ＝a cos B ， 所以b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac . 所以b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2. 所以a 2＝b 2.所以a ＝b ．故此三角形是等腰三角形．]5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定A [由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，则2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，即a 2＝b 2＋ab ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋ba －1＝0，所以b a ＝5－12<1，所以a >b ，故选A ．]二、填空题6．△ABC 的内角，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.π3 [依题意得2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac >0，cos B ＝12.又0<B <π，所以B ＝π3.]7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则sin A ＝________. 217 [由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×12＝7，c ＝7，由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝2×327＝217.]8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.2π3 [利用正弦定理、余弦定理求解． 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12. 因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.] 三、解答题9．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A ，B 和边c 的值⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 15°＝6＋24，sin 15°＝6－24. [解] 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43， ∴c ＝8－43＝(6－2)2＝6－ 2.由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝a sin 15°c ＝2×6－246－2＝12，∵b >a ，∴B >A ，∴A ＝30°， ∴B ＝180°－A －C ＝135°， ∴c ＝6－2，A ＝30°，B ＝135°.10．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cos C ，试判断三角形的形状．[解] 法一：由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，则条件化为：4R 2sin 2C ·sin 2B ＋4R 2sin 2 C ·sin 2B ＝8R 2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ．又sin B ·sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°， ∴A ＝90°，故△ABC 为直角三角形． 法二：将已知等式变形为：b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B ·cosC ，即b 2＋c 2－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab ， 即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．[能力提升练]1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．是锐角或直角三角形C [∵c 2－a 2－b 22ab >0，∴c 2－a 2－b 2>0，∴a 2＋b 2<c 2，∴△ABC 为钝角三角形，故选C ．]2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →等于()A ．－212 B ．－83 C ．－75D ．－27B [由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，解得BC ＝7，又cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ，解得AD ＝133，又AD →，BC →的夹角大小为∠ADB ， cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1332－222×73×133＝－891，所以AD →·BC →＝|AD →|·|BC →|·cos ∠ADB ＝－83.]3．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝1，△ABC 的面积为3，则BC 的长为________．13 [S △ABC ＝12AB ·AC sin A ⇒AB ＝4，∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝13.]4．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 所对边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．612 [∵bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc＋ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝12(b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 2)＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612.]5．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．[解] (1)在△ABC 中，cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，∴C ＝120°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2. 根据余弦定理，AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10. ∴AB ＝10.。
2019_2020学年高中数学课时达标训练二余弦定理含解析新人教A版必修25
课时达标训练(二) 余 弦 定 理[即时达标对点练]题组1 利用余弦定理解三角形1．已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D ．5 解析：选A 由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，∴c ＝3，故选A.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析：选B ∵a >b >c ， ∴C 为最小角，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋（43）2－（13）22×7×43＝32，∴C ＝π6.3．已知在△ABC 中，b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 解析：选B ∵b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 4．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝ AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝4 2.5．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝_______，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 6．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.求a ，c 的值．解：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )． 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9， 解得a ＝3，c ＝3.7．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． 解：(1)∵cos A ＝2cos 2A2－1，∴2cos 2A2＝cos A ＋1.又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12，∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，化简，得c 2＋2c －8＝0，解得c ＝2或c ＝－4(舍去)． 题组2 利用余弦定理判断三角形的形状8．在△ABC 中，三边上的高依次为113，15，111，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在这样的三角形解析：选C 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，113，15，111分别为a ，b ，c 上的高．因为S △ABC ＝12a ×113＝12b ×15＝12c ×111，所以可设a ＝13k ，b ＝5k ，c ＝11k (k >0)．由余弦定理，得cos A ＝k2＋k 2－k22×5k ×11k＝－23110<0，则，所以△ABC为钝角三角形，故选C.9．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a, b, c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 解析：选B ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，化简，得a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．10．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A ·sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．解：法一：(角化边) 由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A ·sin B ＝sin C ， 得cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b. 又由余弦定理的推论得cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2， ∴a ＝b .又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝3b 2， ∴4b 2－c 2＝3b 2， ∴b ＝c . ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形． 法二：(边化角) ∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴sin C ＝sin(A ＋B )． 又∵2cos A ·sin B ＝sin C ，∴2cos A ·sin B ＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ， ∴sin(A －B )＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角， ∴A ＝B .又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝12，而0°<C <180°，∴C ＝60°. 又∵A ＝B ，∴△ABC 为等边三角形．[能力提升综合练]1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若sin(C －A )＝12sin B ，且b＝4，则c 2－a 2＝( )A ．10B ．8C ．7D ．4解析：选B 在△ABC 中，sin(C －A )＝12sin B ＝12sin(A ＋C )，即2sin C cos A －2cos C sinA ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴sin C cos A ＝3sin A cos C .由正弦定理和余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3a ·a 2＋b 2－c 22ab，∴b 2＋c 2－a 2＝3a 2＋3b 2－3c 2，∴4c 2－4a 2＝2b 2＝2×16＝32，∴c 2－a 2＝8.故选B.2．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定解析：选A 设直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，三边都增加x ，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )·x ＋x 2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．3．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 解析：选C 由题意可知c <b <a ， 或a <b <c ，不妨设c ＝2x ， 则a ＝(3＋1)x ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac.即12＝（3＋1）2x 2＋4x 2－b 22·（3＋1）x ·2x . ∴b 2＝6x 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（3＋1）2x 2＋6x 2－4x 22（3＋1）x ·6x＝22， ∴C ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.4．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为________． 解析：由已知条件，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23.设AC 边上的中线长为x ， 由余弦定理，得x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，解得x ＝7， 所以所求中线长为7. 答案：75．设2a ＋1，a ，2a －1为钝角三角形的三边长，那么a 的取值范围是________． 解析：∵2a －1>0， ∴a >12，∴最大边的边长为2a ＋1.设其所对的角为A . ∵三角形为钝角三角形，∴cos A ＝a 2＋（2a －1）2－（2a ＋1）22a （2a －1）<0，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 解得0<a <8，又a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，综上得2<a <8. 答案：(2，8)6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.解析：在△ABC 中，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，整理得cos A ＝32.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得1＝3＋c 2－3c ，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，a ＝c ＝1，b ＝3，此时A ＝C ＝30°，B ＝120°，不满足B ＝2A ，舍去； 当c ＝2时，a ＝1，b ＝3，此时A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，满足题意，则c ＝2. 答案：27．(2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以tan B ＝ 3. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27.所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，AB ⊥AD ，AC ⊥CD .(1)若sin ∠BAC ＝14，求sin ∠BCA 的值；(2)若AD ＝3AC ，求AC 的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin ∠BCA ＝BC sin ∠BAC ，得2sin ∠BCA ＝314，解得sin ∠BCA ＝612.。
2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价十一 余弦定理 新人教A版必修2
课时素养评价十一余弦定理(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019·嘉兴高一检测)在△ABC中，如果BC=6，AB=4，cos B=，则AC= ( )A.6B.2C.3D.4【解析】选A.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=42+62-2×4×6×=36，所以AC=6.2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=，c=2，cos A=，则b=( )A. B.C.2D.3【解析】选D.由余弦定理，得5=b2+22-2×b×2×，解得b=3.3.在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2+b2，则△ABC为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不存在【解析】选B.因为c2<a2+b2，所以∠C为锐角.因为a<b<c，所以∠C为最大角，所以△ABC为锐角三角形.【加练·固】在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形【解析】选C.由题意知<0，即cos C<0，所以△ABC为钝角三角形.4.若a，b，c为△ABC的三边，B=120°，则a2+c2+ac-b2的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定【解析】选C.由题意知，cos B==cos 120°=-，所以a2+c2-b2=-ac，所以a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.二、填空题(每小题4分，共8分)5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=，b=2，A=60°，则c=________. 【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，所以7=4+c2-2c，解得c=3(负值舍去)答案：36.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ccos B=2a+b，则∠C=________.【解析】因为2ccos B=2a+b，所以由余弦定理得2c×=2a+b，整理得a2+b2-c2=-ab，所以cos C==-，又因为0°<C<180°，所以C=120°.答案：120°三、解答题(共26分)7.(12分)在△ABC中，A+C=2B，a+c=8，ac=15，求b.【解析】在△ABC中，因为A+C=2B，A+B+C=180°，所以B=60°.由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B=82-2×15-2×15×=19.所以b=.8.(14分)在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2-2x+2=0的两根，2cos(A+B)=1，(1)求角C的度数.(2)求AB的长.【解析】(1)因为cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-，且C∈(0，π)，所以C=.(2)因为a，b是方程x2-2x+2=0的两根，所以所以AB2=b2+a2-2abcos 120°=(a+b)2-ab=10，所以AB=.(15分钟·30分)1.(4分)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos =，BC=1，AC=5，则AB=( ) A.4 B.C. D.2【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-，在△ABC中，由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C，所以AB2=1+25-2×1×5×=32，所以AB=4.2.(4分)△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p=(a+c，b)，q=(b-a，c-a)，若p∥q，则C的大小为( )A. B.C. D.【解析】选B.因为p=(a+c，b)，q=(b-a，c-a)，p∥q，所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，即a2+b2-c2=ab.由余弦定理，得cos C===，因为0<C<π，所以C=.3.(4分)三角形一边长为14，它的对角为，另外两边之比为8∶5，则此三角形的面积为________.【解析】设此三角形未知的两边之长为8k，5k(k>0)，结合已知条件，由余弦定理得142=(8k)2+(5k)2-2×8k×5kcos，解得k=2，所以该三角形三边长分别为14，16，10，长度为16的边上的高为10×sin，所以此三角形的面积为×16×10×sin=40.答案：404.(4分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2+c2-b2)tan B=ac，则角B的度数为【解析】由余弦定理，得2accos B·tan B=ac，整理，得sin B=，所以B=60°或120°.答案：60°或120°5.(14分)(2019·北京高考)在△ABC中，a=3，b-c=2，cos B=-.(1)求b，c的值.(2)求sin(B+C)的值.【解析】(1)由已知及余弦定理，cos B====-，即9-2b+c=0，又b-c=2，所以b=7，c=5.(2)由(1)及余弦定理，cos C===，又sin2C+cos2C=1，0<C<π，所以sin C=，同理sin B=，所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B=×+×=.1.若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( ) A.(1，) B.(，5)C.(，)D.(1，)∪(，5)【解析】选D.(1)若x>3，则x对角的余弦值<0且2+3>x，解得<x<5.(2)若x<3，则3对角的余弦值<0且x+2>3，解得1<x<.故x的取值范围是(1，)∪(，5).【加练·固】如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定【解析】选A.设直角三角形三边为a，b，c，且a2+b2=c2.则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0.设最大边(c+x)所对的角为θ，则cos θ=>0，所以θ为锐角，故三角形的形状为锐角三角形.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2-(b-c)2=(2-)bc，sin Asin B=cos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小.(2)求△ABC的周长.【解析】(1)由a2-(b-c)2=(2-)bc，得a2-b2-c2=-bc所以cos A==.又0<A<π，所以A=.由sin Asin B=cos2，得sin B=，即sin B=1+cos C，则cos C<0，即C为钝角.所以B为锐角，且B+C=，则sin=1+cos C，化简得cos=-1，解得C=，所以B=.(2)由(1)知，a=b，在△ACM中，由余弦定理得AM2=b2+-2b··cos C=b2++=()2，解得b=2，所以a=2. 在△ABC中c2=a2+b2-2abcos C=22+22-2×2×2×cos=12，所以c=2.所以△ABC的周长为4+2.。
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课时分层作业(十二)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120° ，则边c 的值是( )A ．8 B ．217C ．6D ．2219D [由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝2，故选D ．]192．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝，则最大角的余弦值是( )1314A ．－B ．－1516C ．－D ．－1718C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×＝9，1314所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝＝＝－.]b 2＋c 2－a 22bc 72＋32－822×7×3173．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．B ．(0，π3][π3，π)C ．D ．(0，π6][π6，π)A [cos B ＝＝＝＋≥，因为0<B <π，所以B ∈.]a 2＋c 2－b 22ac (a －c )2＋ac 2ac (a －c )22ac 1212(0，π3]4．在△ABC 中，若b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形B [因为b cos A ＝a cos B ，所以b ·＝a ·.b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac 所以b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2.所以a 2＝b 2.所以a ＝b ．故此三角形是等腰三角形．]5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝a ，则( )2A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定A [由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC ，则2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，即a 2＝b 2＋ab ，则2＋－1＝0，所以＝<1，所以a >b ，故选A ．](b a )b a b a 5－12二、填空题6．△ABC 的内角，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________. [依题意得2b ×＝a ×＋c ×，即π3a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac >0，cos B ＝.又0<B <π，所以B ＝.]12π37．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则sin A ＝________. [由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×＝7，21712c ＝，由正弦定理得sin A ＝＝＝.]7a sin Cc 2×3272178．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. [利用正弦定理、余弦定理求解．2π3由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝b ，c ＝b ，5373所以cos C ＝＝＝－.a 2＋b 2－c 22ab (53b )2＋b 2－(73b )22×53b ×b12因为C ∈(0，π)，所以C ＝.]2π3三、解答题9．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，C ＝15°，求角A ，B 和边c 的值2.(cos 15°＝6＋24，sin 15°＝6－24)[解] 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝4＋8－2×2×2×＝8－4，26＋243∴c ＝＝＝－.8－43(6－2)262由正弦定理得sin A ＝＝＝＝，a sin C c a sin 15°c 2×6－246－212∵b >a ，∴B >A ，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝135°，∴c ＝－，A ＝30°，B ＝135°.6210．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cos C ，试判断三角形的形状．[解] 法一：由＝＝＝2R ，则条件化为：4R 2sin 2C ·sin 2B ＋4R 2sin 2a sin Ab sin B csin C C ·sin 2B ＝8R 2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ．又sin B ·sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0.又0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．法二：将已知等式变形为：b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B ·cos C ，即b 2＋c 2－b 2·2－c 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2(a 2＋c 2－b 22ac )＝2bc ··，a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab 即b 2＋c 2＝＝＝a 2，∴A ＝90°，[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 24a 44a 2∴△ABC 为直角三角形．[能力提升练]1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若>0，则△ABC ( )c 2－a 2－b 22ab A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C [∵>0，∴c 2－a 2－b 2>0，∴a 2＋b 2<c 2，∴△ABC 为钝角三角形，故选C ．]c 2－a 2－b 22ab2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则·等于( )AD → BC→A ．－B ．－21283C ．－D ．－7527B [由余弦定理得cos∠BAC ＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC 解得BC ＝，7又cos B ＝＝，AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD 解得AD ＝，133又，的夹角大小为∠ADB ，AD → BC→cos∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD＝＝－，(73)2＋(133)2－222×73×133891所以·＝||·||·cos∠ADB ＝－.]AD → BC → AD → BC→833．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝1，△ABC 的面积为，则BC 的长为________．3 [S △ABC ＝AB ·AC sin A ⇒AB ＝4，∴BC ＝＝.]1312AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A 134．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 所对边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cosA ＋ca cosB ＋ab cosC 的值为________． [∵bc cosA ＋ca cosB ＋ab cosC ＝bc ·＋ca ·＋ab ·612b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac ＝(b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 2)＝(a 2＋b 2＋c 2)＝.]a 2＋b 2－c 22ab 12126125．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )3＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．[解] (1)在△ABC 中，cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－，∴C ＝120°.12(2)∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3根据余弦定理，AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝(2)2－2＝10.3∴AB ＝.10。