河南省郑州市2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．sin780°等于（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣2．某商场想通过检查发票存根及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票存根上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（ ） A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．其他方式的抽样3．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A ．B ．2C ．2D ．24．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ）A ．，m 甲＞m 乙B ．，m 甲＜m 乙C ．，m 甲＞m 乙D ．，m 甲＜m 乙5．把函数y=sinx （x ∈R ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是（ ）A ．y=sin （2x ﹣）（x ∈R ）B ．y=sin （）（x ∈R ）C ．y=sin （2x+）（x ∈R ）D ．y=sin （2x+）（x ∈R ）6．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为（ ）A．25B．24C．23D．227．函数的一个递减区间为（）A．B．C．D．8．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）9．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．10．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]11．已知A为△ABC的最小内角，若向量=（cos2A，sin2A），=（，），则的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣1，）C．[﹣，）D．[﹣，+∞）12．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上的相应位置）13．已知，均为单位向量，＜，＞=60°，那么|+3|=．14．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是．15．求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域．16．f（x）=3sin（﹣x+），若实数m满足f（）＞f（），则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这种服装件数x（2）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元？已知：x=280，y=45309，x i y i=3487，=，=﹣．19．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．20．如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间．（1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？21．已知关于x的方程2x2﹣bx+=0的两根为sinθ、cosθ，θ∈（，）．（1）求实数b的值；（2）求+的值．22．已知x0，x0+是函数f（x）=cos2（wx﹣）﹣sin2wx（ω＞0）的两个相邻的零点（1）求的值；（2）若对，都有|f（x）﹣m|≤1，求实数m的取值范围．2015-2016学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．sin780°等于（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】解：sin780°=sin（2×360°+60°）=sin60°=．故选：B．2．某商场想通过检查发票存根及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票存根上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．其他方式的抽样【考点】系统抽样方法．【分析】本题所给的抽样的方法符合系统抽样的过程，分组时每50个个体一组，从第一组抽到15号，后面的号依次加50，得到整个样本．【解答】解：∵总体的个体比较多，抽样时某本50张的发票存根中随机抽一张，如15号，这是系统抽样中的分组，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票上的销售额组成一个调查样本．∴样本间隔相同，∴这种抽取样本的方法是系统抽样故选C．3．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．2C．2D．2【考点】扇形面积公式．【分析】半径为r的扇形圆心角的弧度数为α，则它的面积为S=αr2，由此结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数α的方程，解之即得该扇形的圆心角的弧度数．【解答】解：设扇形圆心角的弧度数为α，则扇形面积为S=αr2=α×22=4解得：α=2故选：D．4．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ）A ．，m 甲＞m 乙B ．，m 甲＜m 乙C ．，m 甲＞m 乙D ．，m 甲＜m 乙【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．【解答】解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m 甲＜m 乙 故选：B ．5．把函数y=sinx （x ∈R ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是（ ）A ．y=sin （2x ﹣）（x ∈R ）B ．y=sin （）（x ∈R ）C ．y=sin （2x+）（x ∈R ）D ．y=sin （2x+）（x ∈R ）【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据横坐标缩短到原来的倍时w 变为原来的2倍进行变换，再根据左加右减的原则进行平移，即可得到答案．【解答】解：由y=sinx 的所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin2x ，再把图象向左平行移动个单位得到y=sin2（x+）=sin （2x+），故选C6．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的x值为（）A．25B．24C．23D．22【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算x，并输出x值．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环x n循环前/2 1第一圈是 5 2第二圈是11 3第三圈是23 4第四圈否此时输出的x值为23故选C．7．函数的一个递减区间为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】先根据正弦函数的单调性求得函数y的单调递减时2x﹣的范围，进而求得x的范围得到了函数的单调递减区间，然后结合选项进行判定即可．【解答】解：由正弦函数的单调性可知y=sin（2x+）的单调减区间为2kπ+≤2x+≤2kπ+即k π+π≤x ≤k π+π（k ∈Z ）而⊂[k π+π，k π+π]（k ∈Z ）故选A ．8．函数y=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x ∈R ）的部分图象如图所示，则函数表达式（ ）A ．y=﹣4sin （x ﹣）B ．y=4sin （x ﹣）C ．y=﹣4sin （x+）D ．y=4sin （x+）【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由函数的解析式可得A=4， ==6+2，可得ω=．再根据sin[（﹣2）×+φ]=0，可得（﹣2）×+φ=k π，k ∈z ，再结合|φ|＜，∴φ=，∴y=4sin （x+），故选：D ．9．已知tan （α+β）=，tan （β﹣）=，那么tan （α+）等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】把已知的条件代入=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=，运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===，故选C．10．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围．【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），，∵=λ，∴λ∈[0，1]，，．•≥•，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：，∵λ∈[0，1]∴λ∈[，1]故选：B．11．已知A为△ABC的最小内角，若向量=（cos2A，sin2A），=（，），则的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣1，）C．[﹣，）D．[﹣，+∞）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积得出=cos2A•+sin2A•=2+，A∈（0，]，再利用单调性求解即可．【解答】解：∵A为△ABC的最小内角，若向量=（cos2A，sin2A），=（，），∴=cos2A•+sin2A•=2+，A∈（0，]根据函数解析式判断为减函数∴最大值为：2﹣=，（此值取不着）最小值为：2=∴的取值范围[，）故选：C12．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），由得•=，求出最小值．【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴•===2﹣，∴当y1=时•的最小值是故选：B．二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上的相应位置）13．已知，均为单位向量，＜，＞=60°，那么|+3|=\sqrt{13}．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】，均为单位向量，则它们的模都是1，要求向量|+3|的模，可求其平方，然后利用向量模的平方等于向量的平方，展开后再利用平面向量的数量积运算求解．【解答】解：∵，均为单位向量，∴．又＜，＞=60°，∴===．故答案为：．14．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是1﹣\frac{\sqrt{3}}{2}．【考点】几何概型．【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2；故飞镖落在阴影区域的概率．故答案为：1﹣．15．求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域．【考点】函数的值域；三角函数的最值．【分析】利用换元法令t=sinx+cosx=sin（x+），从而可得﹣≤t≤，sinxcosx=，从而可得f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=t+=（t2+2t﹣1）=（t+1）2﹣1；从而求函数的值域．【解答】解：令t=sinx+cosx=sin（x+），则﹣≤t≤，t2=1+2sinxcosx，则sinxcosx=，则f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=t+=（t2+2t﹣1）=（t+1）2﹣1；∵﹣≤t≤，∴﹣1≤（t+1）2﹣1≤+；故函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域为[﹣1，+]．16．f（x）=3sin（﹣x+），若实数m满足f（）＞f（），则m的取值范围是[﹣1，\frac{1}{2}）．【考点】正弦函数的图象．【分析】由二次函数性质可知0≤≤2，0≤≤2，根据正弦函数的性质可得f（x）在[0，2]上单调递减，于是0≤）≤≤2，利用二次函数性质解出m的范围．【解答】解：∵f（x）=3sin（﹣x+）=﹣3sin（﹣），实数m满足f（）＞f（），令﹣+2kπ≤﹣≤2kπ+，解得﹣π+10kπ≤x≤4π+10kπ，∴f（x）的单调减区间为[﹣π+10kπ，4π+10kπ]，k∈Z，∴f（x）在区间[0，2]上是减函数．∴，求得﹣1≤m＜，故不等式的解集为[﹣1，），故答案为：[﹣1，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分。