高考数学命题热点名师解密专题：解三角形的方法(理)
新高考解三角形解答题技巧
新高考解三角形解答题技巧
解三角形解答题是高考的热点题型，主要涉及正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等知识。
以下是一些解题技巧：
1. 熟悉基础知识：解三角形的问题需要熟练掌握正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等基础知识。
2. 审题清晰：认真审题，明确题目要求，弄清楚已知条件和未知数，再根据已知条件进行推导。
3. 善于运用三角形的性质：在解题过程中，要善于运用三角形的性质，如角平分线定理、中线定理等，这些性质可以帮助我们简化计算过程。
4. 观察三角形形状：通过已知条件和推导结果，观察三角形的形状，如直角三角形、等腰三角形等，这有助于我们找到解题的突破口。
5. 灵活运用公式：在解题过程中，要灵活运用正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等公式，以适应不同的情况。
6. 逻辑清晰：在推导过程中，逻辑要清晰，每一步都要有明确的依据，避免出现跳跃或错误。
7. 细心计算：在计算过程中，要细心，避免因计算错误导致整个解题过程失败。
8. 多做练习：通过多做练习，可以熟悉各种题型，提高解题速度和准确性。
总之，解三角形解答题需要熟练掌握基础知识、善于运用三角形的性质和公式、逻辑清晰、细心计算等多方面的技巧。
同时，多做练习也是提高解题能力的有效途径。
高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)
高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。
解三角形的各种方法与注意事项
解三角形的各种方法与注意事项在几何学中，三角形是一个有着很多有趣性质的形状。
在解决三角形的问题时，我们需要了解不同的解法和注意事项，以便确保我们的解答是正确的。
本文将介绍解三角形的各种方法和注意事项。
第一种方法：正弦定理正弦定理是解三角形问题中经常使用的方法之一。
它是指在任何三角形ABC中，一条边的长度与其对应角的正弦值成比例。
公式如下： sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c在这个公式中，a、b和c是三角形的边长，A、B和C则是三角形对应的角度。
如果我们已知三角形中两个角的度数和一条边的长度，我们可以使用正弦定理来计算另外两条边的长度。
第二种方法：余弦定理余弦定理也是解决三角形问题的有效方法之一。
它指出，在任何三角形ABC中，一条边的长度和与之相邻的两个角的余弦值成反比例。
公式如下：c² = a² + b² - 2ab cos(C)根据这个公式，如果我们知道了三角形中的三条边中的两条边和这两条边之间所形成的角度，我们就可以计算第三条边的长度。
第三种方法：海伦公式海伦公式是解决三角形问题中的另一个重要工具。
它可以用来计算任何三角形的面积。
它指出，在任何三角形ABC中，如果知道了三条边的长度，可以使用以下公式来计算三角形的面积：S = √s(s-a)(s-b)(s-c)其中，S是三角形的面积，a，b和c是三角形的边长，s是周长一半（也就是三条边的和除以2）。
注意事项解决三角形问题时，我们还需要注意一些细节。
首先，我们需要确保我们选取的角是正确的。
如果我们错误地选择了一个不是对应角度的角，我们得到的结果可能是错误的。
其次，我们需要注意在使用正弦定理，余弦定理和海伦公式时单位的一致性。
我们不能同时使用英寸和厘米或者度和弧度，必须确保我们在使用相同的单位。
最后，我们需要在计算时注意精度。
如果我们使用了不够精确的坐标，我们可能会得到不准确的答案。
2019高考文科数学命题热点名师解密专题：解三角形的方法
【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.【三角形解题方法类型】（一）正余弦定理的灵活应用例1．在中，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可求解的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，化简，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）因为,由正弦定理，得，由余弦定理，又因为，所以（二）三角形中的中线问题例2．在中，内角的对边分别为，若，.（Ⅰ）求；(Ⅱ)若为边的中线，且，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理得，，进而得到即，由，∴.由得到，最后由正弦定理可得的值；（Ⅱ）设.在中，由余弦定理得，解得.得到三边长，结合（Ⅰ）可求的面积．（Ⅱ）设.在中，由余弦定理得即解得.∴.∴的面积.练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，2sinC＝5sinA．（1）求B；（2）求BC边上的中线长．【答案】（1）60°；（2）.【解析】（1）又2sin C＝5sin A，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．练习2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1) (2) .【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.【详解】(1)∵∴∴由正弦定理得：即∴∵C为三角形的内角，∴【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（三）面积的最值问题例3．在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即可求解，（2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值.（2）由余弦定理，得因为，所以，又因为，所以三角形的面积为，此时.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.练习1．已知△ABC的内角A，B，C满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）; （2）.【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；（2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，从而由可得解.（2），所以，所以（时取等号）．练习1．在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知(sin A+sin B)(a+b)=c·(sin C+sin B).（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围。
解三角解题方法归纳总结
解三角解题方法归纳总结在数学学科中，三角函数是一种重要的概念。
而解三角形问题，在中学数学中占据着重要的位置。
为了帮助学生更好地掌握解三角解题方法，本文将对解三角解题方法进行归纳总结。
一、正弦定理正弦定理是解决三角形中任意一角的问题时常用的方法之一。
正弦定理的表达式为：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中 a、b、c 代表三角形的三边的长度，A、B、C 代表对应的三个内角。
以解题中常见的“已知三边求三角形内角”问题为例，可以利用正弦定理进行求解。
首先，根据正弦定理的表达式，将已知数据代入，得到一个含有未知角度的等式。
然后，通过解等式，求得未知角度的数值。
二、余弦定理余弦定理也是解决三角形中任意一边的问题时常用的方法之一。
余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中 a、b、c 代表三角形的三边的长度，C 代表对应的夹角度数。
以解题中常见的“已知两边和夹角求第三边”问题为例，可以利用余弦定理进行求解。
首先，根据余弦定理的表达式，将已知数据代入，得到一个含有未知边长的等式。
然后，通过解等式，求得未知边长的数值。
三、正切函数正切函数是三角函数中的一种，解决三角形内角问题时，可以通过正切函数来求解。
正切函数的表达式为：tanθ = 对边/邻边。
以解题中常见的“已知一角和对边求邻边”问题为例，可以利用正切函数进行求解。
首先，根据正切函数的表达式，将已知数据代入，得到一个含有未知边长的等式。
然后，通过解等式，求得未知边长的数值。
四、角平分线定理角平分线定理是解决三角形内角问题时常用的方法之一。
角平分线定理指出，三角形内一条角平分线将对边分成两条线段，那么这两条线段的比等于另外两条边的比。
以解题中常见的“已知两边和其夹角，求夹角的平分线”问题为例，可以利用角平分线定理进行求解。
首先，根据角平分线定理的表达式，将已知的两边和夹角的数据代入，得到一个含有未知角度的等式。
高中数学解三角形方法
高中数学解三角形方法解三角形是高中数学中的重要内容之一，它涉及到了三角函数、三角关系等知识点。
本文将介绍常见的解三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、正切定理以及解决特殊三角形的方法。
通过学习和掌握这些方法，我们可以准确地解决各类三角形相关题目。
1. 正弦定理正弦定理是解三角形常用的方法之一。
它适用于已知一个角和两边的情况下，求解其他两个角或边的长度。
正弦定理的表达式为：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$其中，$a$、$b$、$c$ 分别表示三角形的边长，$A$、$B$、$C$ 表示对应的角度。
2. 余弦定理余弦定理也是解三角形中常用的方法之一。
它适用于已知三边的长度，求解其中一个角的情况。
余弦定理的表达式为：$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$$$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$$$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$3. 正切定理正切定理也是解三角形的一种方法，它适用于已知一个角和边长的情况下，求解其他两个角的大小。
正切定理的表达式为：$$\tan A=\frac{a}{b}$$$$\tan B=\frac{b}{a}$$$$\tan C=\frac{a}{c}$$4. 解决特殊三角形的方法在解三角形问题中，有时会遇到特殊的三角形，如等腰三角形和直角三角形。
对于这些特殊的三角形，可以利用其特点来简化解题过程。
（1）等腰三角形：等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。
在解决等腰三角形问题时，可以利用等边性质得出两个角相等。
例如，已知等腰三角形的底边长度和顶角，可以利用等边性质求解其他两个角。
（2）直角三角形：直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在解决直角三角形问题时，可以利用勾股定理求解三个边的长度。
通过掌握上述解三角形的方法，我们可以灵活运用并解决各类三角形相关题目。
高中数学的解三角形方法大全(总9页)
高中数学的解三角形方法大全(总9页) 解三角形的题目在高一数学中是一个重要的内容，以下是一些解三角形题目的技巧：
1.利用三角形内角和定理：三角形内角和为180度。
当已知部分角度时，可以通过180度减去已知角度的和，得到未知角度。
2.利用三角形的相似性：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
利用三角形的相似性可以通过已知的比例关系求解未知的边长或角度。
3.利用三角形的正弦、余弦和正切定理：根据三角形的边长关系和对应的角度，可以利用正弦定理、余弦定理和正切定理计算未知边长或角度。
4.利用勾股定理：如果一个三角形是直角三角形，可以利用勾股定理（a²+b²=c²）求解未知边长。
5.利用海伦公式：如果已知三角形的三个边长，可以使用海伦公式（面积=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为半周长）求解三角形的面积。
6.利用角平分线定理：通过角平分线定理，可以求解三角形内部的角度或边长。
7.利用相似三角形的高度比：如果两个三角形相似，可以利用相似三角形的高度比来求解未知高度。
以上是一些常用的解三角形的技巧，根据题目的具体内容选择合适的方法。
在解题时，注意将所给的条件和已知信息合理应用，
进行逻辑推理和计算。
多进行练习和积累经验，逐步提高解题的能力。
近几年高考数学卷“解三角形”专题分析
＝槡２３犮，而根据题目条件知犪＝２犮，结合图形可得犆犇 ＝
犅犆－犅犇＝３ ２犮，那么由题目条件有犫＝６．在Ｒｔ△犃犇犆
（ ） （ ） 中，利用勾股定理可得
２
槡２３犮 ＋
３ ２犮
２＝３６，化简解Fra bibliotek得犮２
＝１２，则
△犃犅犆
的面积犛
＝
１ ２
·犪·犃犇
＝
１ ２
·
２犮·槡２３犮＝槡２３犮２ ＝６槡３．故填答案：６槡３． 点评：解决本题的常规思维是借助余弦定理加以
教学
２０２０年４月 新颖试题
参谋
犫 ２
＝犮，则有
犅犇
＝槡２２犪．在
Ｒｔ△犆犇犅
中，可得ｃｏｓ犅
＝
角三角形来直观处理其中的边与角的关系问题，易于 操作，直观形象．
槡２，则 ２
犅
＝４５°，即
∠犅犆犇
＝４５°，所 以
ｓｉｎ犆
＝
ｓｉｎ（∠犃犆犇 ＋∠犅犆犇）＝ｓｉｎ（３０°＋４５°）＝ｓｉｎ３０°ｃｏｓ４５°
＋ｃｏｓ３０°ｓｉｎ４５°＝
１ ２
×
槡２ ２
槡３ ＋２
×
槡２ ２
＝槡２４＋槡６．
点评：解决本 题 第 （２）问 的 常 规 思 维 是 借 助 条 件
的转化与 正 弦 定 理 的 应 用，利 用 整 体 思 维，并 结 合 三
角恒等变换公式来求解对应角的正弦值，学生处理起
来要有比较高的逻辑推理能力与思维习惯．而利用题 目条件对具体的三角形作高，把一般性的三角形问题 转化为直 角 三 角 形，利 用 平 面 几 何 知 识 来 处 理，思 维 简单易操作，破解过程直观形象，处理起来方向性高， 目的性强．
解三角形的几种方法
解三角形的几种方法三角形是初中数学学科的基础内容之一，解三角形问题是常见的数学题型之一。
通过解三角形问题可以帮助我们深入理解三角函数的定义和性质。
本文将介绍解三角形的几种常见方法。
一、正弦定理正弦定理是解三角形问题中最基本也是最常用的方法之一。
它的原理是：在任意三角形ABC中，有以下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表示三个对应角的大小。
根据正弦定理，我们可以通过已知角和边的数据来求解未知角和边的长度。
例如，已知三角形的两个角的大小以及一个边的长度，可以通过正弦定理求解出三角形的其他边和角的大小。
二、余弦定理余弦定理也是解三角形问题中常用的方法之一。
它的原理是：在任意三角形ABC中，有以下关系成立：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，C表示夹在两边a 和b之间的角的大小，cosC表示角C的余弦值。
通过余弦定理，我们可以通过已知角和边的数据来求解未知角和边的长度。
例如，已知三角形的三个边的长度，可以通过余弦定理求解出三角形的角的大小。
三、正切定理正切定理是解三角形问题中较少使用的方法之一。
它的原理是：在任意三角形ABC中，有以下关系成立：tanA = (b - c) / atanB = (c - a) / btanC = (a - b) / c其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表示三个对应角的大小。
通过正切定理，我们可以通过已知边的长度来求解未知角的大小。
例如，已知三角形的两边的长度和一个角的大小，可以通过正切定理求解出其他两个角的大小。
四、利用勾股定理解直角三角形在解直角三角形问题中，我们可以应用勾股定理。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
即，设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有：c² = a² + b²通过勾股定理，我们可以通过已知两边的长度来求解未知边的长度。
解三角形方法与技巧例题和知识点总结
解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。
解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。
三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。
解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。
正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。
首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。
然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。
同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。
例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。
由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。
三角形在数学解题中的思维方法与技巧
三角形在数学解题中的思维方法与技巧三角形是数学中常见的几何图形之一，广泛应用于解题中。
本文将重点探讨三角形在数学解题中的思维方法与技巧，并给出相关实例来进一步说明。
在解三角形相关的问题时，常常需要运用几何知识和三角函数进行分析和计算。
以下是解题中常用的思维方法与技巧。
1. 利用三角形的基本性质三角形有一些基本的性质，例如三角形内角和为180度，三边之间存在一些关系等。
在解题中，我们可以利用这些性质来得出有用的结论。
例如，题目给出一个三角形的两个角度，要求求出第三个角度的大小。
根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得出第三个角度的大小为180度减去另外两个已知角度的和。
2. 利用三角形的相似性质在解决与三角形相似性质有关的问题时，我们可以利用相似三角形的性质来推导出结论。
例如，已知两个三角形的三个角均相等，我们可以推测这两个三角形是全等的。
利用全等三角形的性质，我们可以得出两个三角形的对应边长相等。
3. 利用三角函数三角函数是研究三角形的一类重要工具，应用于解决各种与三角形有关的问题中。
例如，题目给出一个直角三角形的一个角度和对边的长度，要求求出斜边的长度。
我们可以利用正弦函数将所给的已知量与待求的斜边的长度联系起来。
4. 利用三角形的特殊性质三角形有一些特殊的形态，例如等边三角形、等腰三角形等，这些特殊的三角形具有独特的性质，可以帮助我们在解题中找到更加简洁的解法。
例如，题目给出一个等边三角形的边长，要求求出该三角形的面积。
由于等边三角形的高与底边相等，且等边三角形的高与边长有一定的关系，我们可以利用这些性质来计算等边三角形的面积。
在实际解题过程中，我们还可以结合其他几何图形和概念来进一步分析和解决与三角形有关的问题。
以下是一些实例，用来详细说明上述的思维方法与技巧。
实例1：已知一个三角形的两个角度分别为30度和60度，求第三个角度的大小。
解：根据三角形内角和为180度的性质，第三个角度的大小为180度减去30度和60度的和，即90度。
解三角形大题难题的九种技巧
解三角形大题难题的九种技巧
解三角形是高中数学中的一个重要知识点，以下是解三角形大题难题的九种技巧：
1. 边角互化：这是解三角形最基本的方法，通过正弦定理、余弦定理将边和角进行转化，从而简化问题。
2. 数边数角：在解决三角形问题时，要养成数边数角的习惯，这样可以帮助我们快速判断三角形的类型，以及使用相应的定理。
3. 三角化两角：当遇到求周长的取值范围或者最大值、求某角三角函数值的最值、求连续2-3 个角的三角函数值之和的取值范围、角平分线题以及三个三角形的问题时，可以利用三角函数的性质将问题转化为两角之间的关系。
4. 利用正余弦定理：正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工具，要熟练掌握它们的公式，并在解题时灵活运用。
5. 三角形面积公式：三角形的面积可以通过底和高的乘积的一半来计算，也可以使用海伦公式或其他公式，根据具体题目选择合适的公式可以简化计算。
6. 利用三角形的内角和：三角形的内角和为180 度，在解题时可以利用这个性质来化简角度关系。
7. 利用三角形的外角定理：三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，利用这个定理可以求解一些角度问题。
8. 利用特殊角：对于一些特殊角，如30 度、45 度、60 度等，可以利用它们的三角函数值来简化计算。
9. 画图辅助：在解决一些复杂的三角形问题时，可以通过画图来辅助理解和分析问题，有时可以帮助我们找到解题的思路。
这些技巧需要在实践中不断练习和掌握，通过多做练习题，可以提高解三角形的能力和技巧。
高中解三角形题型及解题方法归纳总结
高中解三角形题型及解题方法归纳总结
1.根据角度关系求解三角形：通过已知角度的大小关系，可以确定三角形的形状和大小，常见的题型包括等腰三角形、直角三角形等。
2. 利用三角函数求解三角形：三角函数包括正弦、余弦、正切等，通过已知角度和边长的关系，可以利用三角函数求解三角形。
3. 利用勾股定理求解三角形：勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和，通过已知两条直角边的长度，可以求出斜边的长度，从而确定三角形的形状和大小。
4. 利用海龙公式求解三角形：海龙公式是指通过三角形三条边的长度求出其面积的公式，通过已知三条边的长度，可以求出三角形的面积和其他相关信息。
解题方法：
1. 画图：在解决三角形问题时，画图是非常重要的，可以帮助我们更好地理解题意和确定解题思路。
2. 建立方程：通过已知条件，可以建立方程，从而求解未知量。
3. 利用三角函数：当已知角度和边长的关系时，可以利用三角函数求解未知量。
4. 应用勾股定理：当已知直角边的长度时，可以应用勾股定理求解斜边的长度和其他相关信息。
5. 应用海龙公式：当已知三条边的长度时，可以应用海龙公式求解三角形面积和其他相关信息。
总结：
解决三角形问题需要掌握一定的基础知识和解题方法，其中画图、建立方程、利用三角函数、应用勾股定理和海龙公式等是常用的解题方法。
此外，需要注意理解题意和确定解题思路，以便正确地解决问题。
高三理数解三角知识点形
高三理数解三角知识点形高三理数解异数学是理科学习中非常重要的一门学科，而数学的一大难点便是解题。
在高三的数学学习中，解三角形必定是一个难点。
接下来，我将为大家介绍一些高三理数解三角知识点形。
首先，我们来谈谈如何解决三角形题目中的角度求解问题。
在解三角形问题时，我们经常需要计算角度的值。
我们可以利用三角函数的性质来帮助我们进行角度求解。
以求解sin角的值为例，我们可以通过题目中给定的信息，结合对应的三角函数性质，利用sin函数的定义域来限定可能的取值范围，然后再根据具体的条件来确定最终的角度。
当然，在实际运算时，我们需要利用计算器等工具来帮助我们更快地得出结果。
其次，我们来探讨一下如何解决三角形题目中的边长求解问题。
在解决边长问题时，我们通常需要利用三角函数的关系式和定理来辅助求解。
例如，利用正弦定理、余弦定理和正切定理等可以帮助我们求解未知边长的长度。
这些定理可以帮助我们在已知某个角的值和至少两个边长的情况下，推导出其他边长的长度，从而解决边长求解问题。
另外，在解决三角形题目时，我们还经常遇到解决特殊三角形的问题。
特殊三角形是指具有特定边长和角度关系的三角形，例如等腰三角形和平面直角三角形等。
对于这些特殊三角形，我们可以根据其特点和性质，利用已知的信息来解决问题。
例如，对于等腰三角形，我们知道其两条底边是相等的，可以通过已知的角度或边长推导出其他未知的值。
而对于平面直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解边长和角度。
解决三角形问题时，我们还需要注意一些常见的解题技巧。
首先是化简题目，将复杂的问题转化为简单的问题，从而更好地理解和解决问题。
其次是运用图形分析法，通过画图的方式来帮助我们更好地理解题目，并找到解题的思路。
此外，推导公式和运用已知条件也是解题中常用的技巧。
通过推导，我们可以得到问题的关键方程或关系式，从而更好地解决问题。
最后，在解题时，我们还需要注意一些常见的错误和易忽略的点。
例如，忽略题目中的约束条件，没有严格按照已知条件推导和计算，以及计算精度不足等。
高考数学 黄金考点精析精训 考点13 解三角形 理
考点13 解三角形【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容. (2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． (3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 2.命题方向预测：(1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点． (2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 3.课本结论总结：（1）正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C（2）余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.（3）S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B（4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则（5在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．4.名师二级结论：（1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .（2）正弦定理的变形：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．①a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； ②a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；③sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．（4）三角形的面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . （5）解三角形的常用途径：①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 5.课本经典习题：(1)新课标A 版第10 页，第 B2 题（例题）在ABC ∆中，如果有性质B b A a cos cos =，试问这个三角形的形状具有什么特点．【经典理由】一题多解，既可利用正弦定理进行求解，也可利用余弦定理进行求解。
2021高考数学必考点解题方式秘籍 解三角形 理(1)
2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：解三角形说明：本资料适于针对学生对本单元存在问题，纠错后的平行题练习 A 型，是二边一角，多数用正弦定理的题型，先断解的个数为宜 B 型：两个定理同时运用的简易题C 型：乘法公式转化，用余弦定理与求面积公式的变式D 型；有必然演变能力的，运算能力，切化弦，适于理科学生 N 型；求取值范围的题型H 型：函数与三角形交汇命题，值得关注 F 型：方程思想 A-1型已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边别离为a,b,c 假设a=c=26+且75A ∠=，那么b=B ．4＋C ．4—D A-2型在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长别离为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b 。
解法sin cos 3cos sin A C A C =，sin()4cos sin A C A C ∴+=，sin()sin A C B +=，化角为边，取得c bc a c b b ⨯-+=24222，化简得，22222()b b c a =+-，)(2222c a b -=， 24b b =，4b =。
A-3型 （易题）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边别离为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==.（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.A-4 2020山东．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边别离为a ，b ，c ，假设a =2b =，sin cos B B +=，那么角A 的大小为 ．【答案】6π【解析】由2cos sin =+B B 得B B cos sin 21+=2，即B 2sin =1，因为0<B<π，因此B=45°，又因为2,2==b a ，因此在△ABC ，由正弦定理得：45sin 2sin 2=A ，解得21sin =A ，又b a <，因此A<B=45°，因此A=30°A-5 型设ABC △的内角A 、B 、C 的对边长别离为ａ、ｂ、ｃ，3cos()cos 2A C B -+=，2b ac =，求B 。
高考数学命题热点名师解密专题 解三角形的方法(理)
【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.【三角形解题方法类型】（一）正余弦定理的灵活应用例1．在中，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可求解的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，化简，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）因为,由正弦定理，得，由余弦定理，又因为，所以（Ⅱ）设.在中，由余弦定理得即解得.∴.∴的面积.练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，2sinC＝5sinA．（1）求B；（2）求BC边上的中线长．【答案】（1）60°；（2）.【解析】（1）又2sin C＝5sin A，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．练习2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1) (2) .【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.(2)由（1）知，∴∴△ABC为等腰三角形，即CA=CB又∵M为CB中点∴CM=BM设CA=CB=2x则CM=BM=x∴解得：x=2∴CA=4,CM=2【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（三）面积的最值问题例3．在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即可求解，（2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.练习1．已知△ABC的内角A，B，C满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）; （2）.【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；练习1．在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知(sin A+sin B)(a+b)=c·(sin C+sin B).（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围。
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【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.【三角形解题方法类型】（一）正余弦定理的灵活应用例1．在中，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可求解的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，化简，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）因为,由正弦定理，得，由余弦定理，又因为，所以（Ⅱ）设.在中，由余弦定理得即解得.∴.∴的面积.练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，2sinC＝5sinA．（1）求B；（2）求BC边上的中线长．【答案】（1）60°；（2）.【解析】（1）又2sin C＝5sin A，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．练习2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1) (2) .【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.(2)由（1）知，∴∴△ABC为等腰三角形，即CA=CB又∵M为CB中点∴CM=BM设CA=CB=2x则CM=BM=x∴解得：x=2∴CA=4,CM=2【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（三）面积的最值问题例3．在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即可求解，（2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.练习1．已知△ABC的内角A，B，C满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）; （2） .【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；练习1．在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知(sin A+sin B)(a+b)=c·(sin C+sin B).（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围。
【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理将题目所给方程转化为边的形式，再利用余弦定理化简，可求得角的余弦值，并求得角的大小.（2）先利用余弦定理得到，利用基本不等式求得，由此求得周长的最大值.再根据三角形两边的和大于第三边，求得周长的范围.（五）三角形与三角函数综合例5．已知向量，函数.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简得出，通过配凑角的方法即可得出的值.(Ⅱ)由，结合余弦定理即可得出从而，得出B的范围即可求得的取值范围.(Ⅱ)由，得,从而得故【详解】（1）令，，解得；，；所以函数的单调递増区间为，.（2），.，，，即.由得，又由余弦定理得，解得.【点睛】题目条件给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系，然后求解，对于面积公式，一般考查哪个角就使用哪一个公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化（六）角的范围问题例6．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．【答案】【解析】由已知及正弦定理可解得2cos B，由，可得B，解得cos B的范围，即可解得的取值范围．【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质的应用，熟练掌握正弦定理，余弦函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题．练习1．已知的内角的对边分别为,且2a cos C＋c＝2b.（1）若点在边上,且,求的面积；（2）若为锐角三角形,且,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1) 2a cos C＋c＝2b，由正弦定理化简得A＝.再利用正弦定理求出AB=4，利用余弦定理求出AM=5，最后求三角形的面积.(2)先利用余弦定理求出a=2,再利用正弦定理得到再求出，再求出函数的值域,得到的取值范围.（2）由A＝知,.又∵，所以由正弦定理,则由△ABC为锐角三角形,则所以b+c=4sin,即b+c的取值范围为.【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.（2）由（1）得．由正弦定理得，即．因为、，所以或，即或，即或．所以知等腰三角形或直角三角形．当时，，所以；当时，，所以．练习1．已知向量，，且函数．（1）若，求的值；（2）在中，且，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算可得，利用正角函数的二倍角公式即可求解（2）由，可得，再根据余弦定理及均值不等式得，即可求出三角形面积的最值.（2）由题可得，因为，所以，又，所以．在中，由余弦定理可得，即．所以，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．练习2．在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）已知公差为的等差数列中，，且成等比数列，记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得，再根据三角函数恒等变换即可求出，又为三角形的内角，可得（2）先求出等差数列，再根据裂项相消法求的前n项和.（2）根据题意，因为平分，所以，故，变形可得，，则，所以.练习1．在中，角所对的边分别是，为其面积，若（1）求角的大小；（2）设的平分线交于，.求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由余弦定理可得，代入题中条件即可得解；（2）在中,由正弦定理得，从而得，可得，再由代入即可得解.【详解】（1）由得得练习2．在中，角所对的边分别是，为其面积，若.（1）求角的大小；（2）设的平分线交于，.求的值.【答案】：（1）(2)【解析】（I）由已知及余弦定理可求得cosB=，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（II）由正弦定理可得sin∠BAD，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos∠BAD，根据二倍角的正弦函数公式即可求解sin∠BAC的值．【详解】（1）因为所，所以，,即,所以.(2)在中，由余弦定理，,由正弦定理，，以为所以,所以,,所以，,,所以=也可以由角分线定理，再用余弦定理解（十）三角形的判断问题例10．在中，角的对边分别为，满足.(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，试求的面积的最大值，并判断此时的形状.【答案】（I）；（II）等边三角形.【解析】（I）由正弦定理可化条件为，利用三角恒等变换即可求解（II）利用余弦定理及均值不等式可得，结合面积公式即可求出最值，根据等号成立条件知三角形形状.练习1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C..(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状.【答案】（1）；（2）等边三角形.【解析】（1）利用余弦定理表示出cosA，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化简后求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由A为60°，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B 为60°，可得出三角形ABC三个角相等，都为60°，则三角形ABC为等边三角形．【点睛】此题考查了三角形形状的判断，正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等边三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．。