2018-2019学年最新高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(七) 三角函数的周期性-含答案
2018_2019高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式课件苏教版必修4
原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°· cos 50°
2
1 1 1 2 ＝(2sin 30° · cos 10° ) －2(sin 70° －sin 30° )＝cos 10° －2cos 20° ＋4
1＋cos 20° 1 1 3 ＝ － cos 20° ＋ ＝ . 2 2 4 4
α 同理 sin 2＝±
α sin 2 1－cos α α ， ∴ tan ＝ ＝ ± α 2 2 cos 2
1－cos α . 1＋cos α
答案
思考3
α sin α 利用tan α＝ 和倍角公式又能得到 tan 与sin α， cos α怎样的关系？ 2 cos α
答案 α α sin 2 sin2· 2cos α tan2＝ α＝ α cos 2 cos2· 2cos α · 2sin 2 α 2sin 2· α 2 sin α α＝1＋cos α， 2
1 1 1 ＝－4sin 80° ＋2×2(sin 100° ＋sin 60° )
1 1 3 3 ＝－4sin 80° ＋4sin 80° ＋8＝8.
解答
(3)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
1 1 ＝2[sin 90° ＋sin(－50° )]－2[cos 60° －cos(－40° )]
2＋1 1 ＝2(sin 45° ＋sin 30° )＝ 4 .
解答
(2)sin 20°· sin 40°· sin 80°； 解 sin 20°· sin 40°· sin 80°
1 ＝－2[cos 60° －cos(－20° )]· sin 80°
2019-2020学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(十一) 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 Word版含答案
课下能力提升(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象一、填空题1．电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系是I ＝50sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是________，频率是________，振幅是________，初相是________．2．函数y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的12倍，然后将图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向右平移π6个单位长度，得到的函数图象所对应的函数解析式是________________．3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值是________．4.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ ≤π2的部分图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．5．把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标变为原来的2倍，再把纵坐标变为原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，则f (x )的解析式为________．二、解答题6．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？ (3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间．7.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π6，试判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．答 案1.150 50 50 π32．解析：由题意知，y ＝sin x 12−−−−−−−→坐原的倍横标变为来y ＝sin 2x ――→向上平移2 个单位长度y ＝sin 2x ＋26π−−−−−−−→向右平移位度个单长y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2.答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2 3．解析：由已知得，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ωx ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＝cos ωx ，则ωx －ω3π＝ωx ＋2k π，k ∈Z ， ∴ω＝－6k ，又ω＞0，∴ω的最小值是6. 答案：64．解析：由图象可得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8－3π8＝π＝2πω，即得ω＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0，令3π4＋φ＝π，得φ＝π4，∴(ω，φ)的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，π45．解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π332−−−−−−−→坐原的倍纵标变为来y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π312−−−−−−−→坐原的倍横标变为来 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π36π−−−−−−→向左平移位个单 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x .∴f (x )＝3cos x . 答案：f (x )＝3cos x 6．解：(1)列表：描点连线；将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示，再将这部分图象左右平移4k π(k ∈Z )个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．(2)法一：①把y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象；②把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．法二：①把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象；②把y ＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象； ③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即函数的对称轴是直线x ＝3π2＋2k π，k ∈Z . 令12x －π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即函数的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，0，k ∈Z .令－π2＋2k π≤12x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z .解得－π2＋4k π≤x ≤3π2＋4k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋4k π，3π2＋4k π，k ∈Z .7．解：(1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2. 将点(π6，2)代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝2cos2x ，因为g (x )的定义域为R ，且g (－x )＝g (x )，故g (x )为偶函数． 8．解：∵f (x )在R 上是偶函数， ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值， 即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由图象关于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称可知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，∴3π4ω＋π2＝k π，k ∈Z ，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23，当k ＝2时，ω＝2.。
2019-2020学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(七) 三角函数的周期性 Word版含答案
课下能力提升(七) 三角函数的周期性一、填空题1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________． 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为________． 3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________． 4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________． ①f (x )是周期为1的函数②f (x )是周期为2的函数③f (x )是周期为12的函数 ④f (x )是周期为π的函数5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________．二、解答题6．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)．7．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z )，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)．8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？(3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？答 案1．解析：T ＝2π|－2|＝π. 答案：π2．解析：T ＝π3. 答案：π33．解析：∵T ＝2πk 4＝8πk≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13. 答案：134．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2ππ＝2. 答案：②5．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数，∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0.答案：06．解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m|，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m|. 7．解：由诱导公式知sin ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋126π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＋2π＝sin n π6， ∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋ f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3. 8．解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.4 三角函数的应用》1
浅谈高中数学建模核心素养的培养-----以“三角函数的应用”教学为例数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。
——恩格斯。
21世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化。
一方面，数学因其日益公理化、形式化而忽视与现实生活的密切联系。
另一方面，因数学应用的发展，数学几乎渗透到每一个学科领域及人们生活的方方面面。
割断数学与现实生活的联系的教学内容、教学方式，不仅会极大地降低学生数学学习的热情与动力，而且会造成学生对数学学科的错误理解，更无法让学生感受到数学在日常生活中的作用。
因此，必须沟通生活中的数学与教科书上的数学之间的联系，使数学与生活融为一体。
数学建模就很好的搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。
《普通高中数学课程标准2021年版》指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的过程。
数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。
数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
从核心素养的角度认识数学建模，这中间有三层意思：一是对现实问题的数学抽象，二是用数学语言表达问题，三是用数学方法构建模型解决问题。
通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。
数学建模的学业质量被划分成递进的三个水平，一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。
知道数学建模的过程包括：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。
能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。
高中数学 第3章 三角恒等变换章末复习提升课学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案
章末复习提升课1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β， cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β， tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.1．掌握相关公式本章中的公式较多，又比较相似，在应用过程中，可能因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误，熟练把握公式是关键．2．关注角的取值范围由于三角函数具有有界性，解题时往往会由于忽视角的范围而导致解题过程欠严密，结果不准，这种情况在解给值求角的问题中易出现．三角函数式的求值(1)sin 15°＋cos 15°sin 15°－cos 15°的值为________．(2)已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.【解】 (1)原式＝tan 15°＋1tan 15°－1＝－1＋tan 15°1－tan 15°＝－tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝－tan(45°＋15°)＝－tan 60°＝－ 3.故填－ 3. (2)因为0°<α<90°，且tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝17，sin α＝437.因为cos(α＋β)＝－1114，0°<α＋β<180°， 所以sin(α＋β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又0°<β<90°，所以β＝60°.三角恒等式的证明已知tan 2θ＝2tan 2φ＋1，求证：cos 2φ＝2cos 2θ＋1. 【证明】 法一：因为tan 2θ＝2tan 2φ＋1， 所以tan 2θ＋1＝2(tan 2φ＋1)， sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝2·sin 2φ＋cos 2φcos 2φ，即11＋cos 2θ2＝21＋cos 2φ2，所以cos 2φ＝2cos 2θ＋1.法二：cos 2φ＝2cos 2θ＋1⇔2cos 2φ－1＝2(2cos 2θ－1)＋1 ⇔cos 2φ＝2cos 2θ⇔1cos 2θ＝2cos 2φ⇔sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝2（sin 2φ＋cos 2φ）cos 2φ⇔tan 2θ＋1＝2(tan 2φ＋1)⇔tan 2θ＝2tan 2φ＋1. 而由已知，tan 2θ＝2tan 2φ＋1成立， 所以cos 2φ＝2cos 2θ＋1.三角恒等变换与三角函数的性质已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．【解】 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1．已知sin α＝25，则cos (π＋2α)＝( )A ．725B ．－725C ．1725D ．－1725解析：选D ．法一：因为sin α＝25，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－825＝1725，所以cos (π＋2α)＝ －cos 2α＝－1725，故选D ．法二：因为sin α＝25，所以cos 2α＝1－sin 2α＝2125，所以cos (π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝－1725，故选D ．2.3cos 15°－4sin 215°·cos 15°＝( ) A ．12 B ．22C ．1D ． 2解析：选D ．3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D ．3．已知tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋134π的值是________． 解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋134π＝tan α＋tan 134π1－tan αtan 134π＝－43＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×1＝－17.答案：－174．已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x . (1)求f (x )的最大值及相应的x 的值； (2)若f (θ)＝35，求cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2θ的值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋38π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 2.(2)由f (θ)＝sin 2θ－cos 2θ，及f (θ)＝35得：sin 2θ－cos 2θ＝35，两边平方得1－sin 4θ＝925，即sin 4θ＝1625，所以cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－4θ＝sin 4θ＝1625. 5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．解：(1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α. 因为cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝85cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.又α是第二象限角，则得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0或cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝58.①由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0，得α＋π4＝2k π＋π⇒α＝2k π＋34π(k ∈Z )，所以cos α－sin α＝cos 3π4－sin 3π4＝－ 2.②由cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝58⇒cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－522⇒12(cos α－sin α)＝－522， 所以cos α－sin α＝－52. 综上可知cos α－sin α＝－ 2 或cos α－sin α＝－52.。
[K12]2018-2019学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(二十七) 几个三角恒等式-含答案
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课下能力提升(二十七) 几个三角恒等式一、填空题1．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ； ④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ；⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]． 其中正确等式的个数是________．2．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________. 3．若tan θ＋1tan θ＝m ，则sin 2θ＝________. 4．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________． 二、解答题6．求值：cos2π7＋cos 4π7＋cos 6π7.7．求函数f (x )＝cos 4x cos 2x －cos 2 3x 的最大值和最小值．8．求值：cos271°＋cos 71°cos 49°＋cos249°.答案1．解析：只有⑤正确．答案：12．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2 α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2 α－sin 2 β. ∴cos 2 α－sin 2 β＝13. 答案：133．解析：∵tan θ＋1tan θ＝m ，即tan 2 θ＋1tan θ＝m ， ∴sin 2θ＝2tan θ1＋tan 2 θ＝2m . 答案：2m4．解析：∵A ＋B ＝π2， sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )． 又－π2<A －B <π2，而0<cos(A －B )≤1， ∴sin A sin B 有最大值12. 答案：125．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14， 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值为－34. 答案：－346．解：cos2π7＋cos 4π7＋cos 6π7 ＝12sin2π7⎝ ⎛ 2sin 2π7·cos 2π7＋2sin 2π7·cos 4π7＋2sin 2π7· ⎭⎪⎫cos 6π7 ＝12sin 2π7⎣⎢⎡ sin 4π7＋sin 6π7＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π7＋sin 8π7＋ ⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π7＝12sin 2π7⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π7＋sin π7－sin 2π7－sin π7－sin 4π7 ＝12sin 2π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 2π7＝－12. 7．解：f (x )＝12[cos(4x ＋2x )＋cos(4x －2x )]－1＋cos 6x 2＝12(cos 6x ＋cos 2x )－12－12cos 6x ＝12cos 2x －12＝－1－cos 2x 2＝－sin 2 x . ∵0≤sin 2x ≤1.∴f (x )的最大值为0，最小值是－1.8．解：原式＝1＋cos 142°2＋12(cos 120°＋cos 22°)＋1＋cos 98°2＝12＋12cos 142°－14＋12cos 22°＋12＋12cos 98° ＝34＋12(cos 142°＋cos 98°)＋12cos 22° ＝34＋cos 120°cos 22°＋12cos 22°＝34.。
(完整版)高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结
高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 ②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 ，判断2α所在的象限（5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（6）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0（2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
（3）特殊角的三角函数值：三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：诱导公式可用概括为：2K π±α,-α,2π±α,π±α,23π±α的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 α的三角函数作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o ,360o )或[0o ,180o )内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
2018-2019学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：(七) Word版含解析
课下能力提升(七) [学业水平达标练]题组1 化简求值1．下列与sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2的值相等的式子为( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θB ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θC ．cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θD ．sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ 2．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________．3．化简：1tan 2（－α）＋1sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan （π＋α）.题组2 条件求值问题4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）等于( )A ．2B ．－2C ．0 D.235．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－23m B.23mC ．－32m D.32m6．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°＜α＜－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223 B.223C ．－23D.237．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝45，则sin(α－95°)＝________．8．已知sin α是方程3x 2－10x －8＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α·tan 2（2π－α）·tan （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．题组3 三角恒等式的证明9．求证：tan （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos （6π－α）tan （π－α）sin ⎝⎛⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝1.10．求证：cos （π－θ）cos θ⎣⎡⎦⎤sin⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＋cos （2π－θ）cos （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝2sin 2θ.[能力提升综合练]1．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A 等于( )A ．－12B.12C ．－32D.322．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α的值为( )A ．－22B ．2 2C ．－24D.243．已知sin(75°＋α)＝13，则cos(15°－α)的值为( )A ．－13B.13C ．－223 D.2234．在△ABC 中，下列各表达式为常数的是( ) A ．sin(A ＋B )＋sin C B ．cos(B ＋C )－cos A C ．sin 2A ＋B 2＋sin 2C2 D ．sin A ＋B 2sin C 25．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________． 6．已知tan ()3π＋α＝2，则sin （α－3π）＋cos （π－α）＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝________．7．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．8．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．答 案[学业水平达标练]1. 解析：选D 因为sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－cos θ，对于A ，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ；对于B ，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ；对于C ，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝－sin θ；对于D ，sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋θ ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－cos θ.2. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·(－sin α)＝－sin 2α.答案：－sin 2α3. 解：∵tan(－α)＝－tan α，sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，tan(π＋α)＝tan α，∴原式＝1tan 2α＋1cos α·（－sin α）·tan α＝1sin 2αcos 2α＋1－sin 2α＝cos 2α－1sin 2α＝－sin 2αsin 2α＝－1.4. 解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.5. 解析：选C ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3×m 2＝－32m . 6. 解析：选A 由－180°＜α＜－90°，得－120°＜60°＋α＜－30°，又cos(60°＋α)＝13＞0，所以－90°＜60°＋α＜－30°，即－150°＜α＜－90°，所以120°＜30°－α＜180°，cos(30°－α)＜0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2（60°＋α）＝ －1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. 7. 解析：由α是第三象限角，cos(85°＋α)＝45＞0，知85°＋α是第四象限角， ∴sin(85°＋α)＝－35，sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝35.答案：358. 解：∵方程3x 2－10x －8＝0的两根为x 1＝4或x 2＝－23，又∵－1≤sin α≤1，∴sin α＝－23.又∵α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－53，tan α＝255. ∴原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2α·（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝255.9. 证明：左边＝tan （－α）⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （－α）（－tan α）⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝（－tan α）（－sin α）cos α（－tan α）（－cos α）sin α＝1＝右边．∴原式成立．10. 证明：左边＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ（1＋cos θ）（1－cos θ）＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝右边．∴原式成立． [能力提升综合练]1. 解析：选B cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝12.2. 解析：选A 由已知得，cos α＝13，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－19＝－223. 因此，tan α＝sin αcos α＝－2 2.3. 解析：选B ∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°， ∴cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)] ＝sin(75°＋α)＝13.4. 解析：选C sin 2A ＋B 2＋sin 2C 2＝sin 2π－C 2＋sin 2C 2＝cos 2C 2＋sin 2C2＝1.5. 解析：将sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°中的首末两项相加得1，第二项与倒数第二项相加得1，…，共有44组，和为44，剩下sin 245°＝12，则sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝892.答案：8926. 解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin （α－π）－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.答案：27. 解：原式＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π＋π2－αsin αcos α·tan 2α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin αcos α·tan 2α＝－cos αsin αsin αcos α·tan 2α＝－tan 2α.方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故原式＝－tan 2α＝－916.8. 解：假设存在角α，β满足条件，则⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，cos β＝32，∵0＜β＜π， ∴β＝π6；当α＝－π4时，cos β＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
(新课程)高中数学 三角函数阶段复习教案 苏教版必修4
三角函数阶段复习一、课题：三角函数阶段复习二、教学目标：1.复习巩固三角函数的定义、定义域；2.进一步理解三角函数的符号与角的终边所在位置的关系；3.进一步掌握三角函数的基本关系式（五个），并能熟练应用关系式解题。
三、基础训练：1．已知角α的终边过点(,3)a a (0)a ≠，则sin α= ，tan α= ．2．若α是第四象限角，则πα-是第 象限角，2πα-是第 象限角。
3．若23cos 4m mα-=-，且α为二、三象限角，则m 的取值范围是 ． 4．已知sin cos 2θθ-=，则44sin cos θθ+= ． 5．已知集合2{|2,}3A k k Z πααπ==±∈，2{|4,}3B k k Z πββπ==±∈， 2{|,}3C k k Z πγγπ==±∈， 则这三个集合之间的关系为（ ） ()A A B C ⊆⊆ ()B B A C ⊆⊆()C C A B ⊆⊆ ()D B C A ⊆⊆四、例题分析： 例1 求值：sin(1740)cos(1470)cos(660)sin 750tan 405-⋅+-⋅⋅．例2 已知cos 0α>，且tan 0α<，求（1）角α的集合；（2）2α、3α终边所在的象限；（3）试判断cot 2α，sin 2α，cos 2α的符号。
例3 化简：（1）sin (sin tan )tan (cos sin )1cos ααααααα+-++； （202πα<<） 例4 证明：（1）cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++； （2）已知22tan 2tan 1αβ=+，求证：22sin 2sin 1βα=-． 五、课后作业：1．已知αcos α+= ． 2．若α是三角形的内角，且3sin cos 4αα+=，则此三角形一定是 （）()A 等边三角形 ()B 直角三角形 ()C 锐角三角形 ()D 钝角三角形3．若sin cos 1αα=-，则角α的取值范围是 ． 求证：（1）1sec tan 1sin 1sec tan cos αααααα+++=+-；（2）22222(1sin )(sec 1)sin (csc cot )A A A A A --=-． 已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+，其中2πθπ<<，求满足条件的实数m 的取值的集合。
苏教版高中数学必修四学同步三角函数章末复习课课件
1＋sin2x≤3 a－2cos x≤3 a－2cos x≤1＋sin2x
sin2x≤2 ⇔a≤2cos x＋3
a≤1＋sin2x＋2cos x
目 开
⇔aa≤ ≤21＋ cossixn＋2x＋3m2icnos xmin
⇔aa≤ ≤1[－cos x－12＋3]min
研一研·题型解法、解题更高效
小结 已知角的某一个三角函数值为字母时，注意对字母是
本 否为 0、±1 及分象限作讨论，讨论标准要统一．在三角函数
课 时
部分，有不少题目都涉及到分类讨论的思想．
栏
目
开
研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练 2 函数 f(x)＝seixn－1π，x2x≥，0－. 1<x<0， 若 f(1)＋f(a)
开
交点．∴1112πω＋6π＝2π.
∴ω＝2，因此所求函数的解析式为 f(x)＝2sin(2x＋π6)．
以下，在同一坐标系中作函数 y＝
2sin2x＋6π和函数 y＝lg x 的示意图如图所
示：
研一研·题型解法、解题更高效
因为 f(x)的最大值为 2，令 lg x＝2，得 x＝100，令1112π＋
lg x 零点的个数为________．
研一研·题型解法、解题更高效
解析 显然 A＝2. 由图象过(0,1)点，则 f(0)＝1，即 sin φ＝12， 又|φ|<π2，则 φ＝π6.
本 课 时 栏 目
又1112π，0是图象上的点，则 f1112π＝0，即 sin1112πω＋π6＝0， 由图象可知，1112π，0是图象在 y 轴右侧部分与 x 轴的第二个
a2＝12，∴a＝－
2 2.
研一研·题型解法、解题更高效
2018-2019学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(八) 正弦曲线与余弦曲线-含答案
课下能力提升(八) 正弦曲线与余弦曲线一、填空题1．已知sin x＝m－1且x∈R，则m的取值范围是____________________．2．函数y＝log 12sin x的定义域是__________________．3．方程sin x＝lg x的解有________个．4．已知y＝cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，则该图形的面积为________．5．若cos x≥22，则x的取值范围为________________．二、解答题6．用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图：(1)y＝sin x；(2)y＝2sin x；(3)y＝2sin x2.7．设sin θ>cos θ，θ∈[0,2π]，借助正弦曲线和余弦曲线求θ的取值范围．8．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．答 案1．解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图象知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤22．解析：由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧log 12sin x ≥0，sin x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤1，sin x ＞0，∴0＜sin x ≤1，由正弦函数图象可得{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z}． 答案：{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z}3．解析：如图所示，y ＝sin x 与y ＝lg x 的图象有3个交点，故方程有3个解．答案：34．解析：S ＝2×2π×12＝2π.答案：2π5．解析：当cos x ＝22时，x ＝π4＋2k π或x ＝－π4＋2k π，k ∈Z.借助余弦曲线可知，x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z6．解：(1)(2)五点选取列表如下，图象如下图：(3)五点选取列表如下，图象如下图：7．解：作出正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 在一个周期[0,2π]上的图象如图所示，由图象可知：满足不等式sin θ>cos θ的θ的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.8．解：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈ π，2π]，如下图，则k 的取值范围是(1,3)．。
2018-2019学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(三) 任意角的三角函数-含答案
课下能力提升(三) 任意角的三角函数一、填空题1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________.2．有下列命题：(1)若sin α>0，则α是第一、二象限的角； (2)若α是第一、二象限角，则sin α>0； (3)三角函数线不能取负值；(4)若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的序号是________．3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．4．角α的终边上有一点P (a,4)，且tan α＝43，则3sin α－2cos α的值为________．5．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4； ③tanπ8>tan 3π8；④sin 3π5>sin 4π5. 其中判断正确的有________． 二、解答题6．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，若角α终边过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α的值．7．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．8．已知π4<θ<π2，试用三角函数线比较sin θ，cos θ，tan θ的大小．答案1．解析：∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：02．解析：只有(2)正确；∵sin π2＝1>0，但π2不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cos α＝x x 2＋y 2(∵α是第二象限角，已有x <0)，∴(4)不正确．答案：(2)3．解析：由cos α≤0及sin α＞0知角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上．故⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案：(－2,3]4．解析：∵tan α＝43，∴a ＝3.∴r ＝32＋42＝5，sin α＝45，cos α＝35，∴3sin α－2cos α＝125－65＝65. 答案：655．解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin π6＝－sin 7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4，tan π8<tan 3π8，sin 3π5>sin 4π5，∴②④正确． 答案：②④6．解：依题意，P 到原点O 的距离r ＝|OP |＝－32＋y 2＝3＋y 2. ∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16.∴y 2＝73，y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限， 且cos α＝－33＋y2＝－33＋73＝－34.7．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t＜0时，r＝－5t，sin α＝yr＝－3t－5t＝35，cos α＝xr＝4t－5t＝－45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.8．解：如图，在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线，sin θ＝MP>0, cos θ＝OM>0，tan θ＝AT>0，由图知OM<MP<AT，即cos θ<sin θ<tan θ.。
教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第3章 3.3 几个三角恒等式-含答案
问题1：我们已学过两角和与差的正弦、余弦公式，那么S (α＋β)＋S (α－β)，S (α＋β)－S (α－β)，C (α＋β)＋C (α－β)，C (α＋β)－C (α－β)会得到怎样的结论？提示：(1) sin(α＋β)＋sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)＋(sin αcos β－cos αsin β) ＝2sin αcos β；(2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)－(sin αcos β－cos αsin β)＝2cos αsin β；(3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)＋(cos αcos β＋sin αsin β)＝2cos αcos β；(4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)－(cos αcos β＋sin αsin β)＝－2sin αsin β.问题2：将问题1得到的结论中α＋β，α－β看作一个整体，又会得到什么样的结论？ 提示：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2； sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2； cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2.积化和差公式与和差化积公式(公式不要求记忆) (1)积化和差公式：sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]；cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式： sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2； sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2； cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2.问题：如何用tan α2表示sin α、cos α、tan α？提示：sin α＝2sinα2cos α2＝2sinα2cos α2cos 2α2＋sin 2α2＝2tan α21＋tan2α2；cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2.万能公式(1)sin α＝2tanα21＋tan2α2.(2)cos α＝1－tan2α21＋tan2α2.(3)tan α＝2tanα21－tan2α2.1．公式的推导积化和差公式的推导运用方程的思想把S (α＋β)与S (α－β)(或C (α＋β)与C (α－β))看作二元一次方程组解方程推得．和差化积公式的推导主要是角的变换．要认真体会这种思想方法．2．公式的记忆课标虽然对此二组公式不要求记忆，但记住运用起来总是方便些．可这样记忆公式： 积化和差由一项变两项应加系数12；和差化积由两项变一项加系数2；系数2则角半．“正加得正余弦，正减得余正弦，余加得余弦积，余减得正弦积”．“正余得正弦和，余正得正弦差，余积得余弦和，正积得正弦差”，角的规律是先和后差． 两角α、β的正弦、余弦的积都可化为12[f (α－β)±f (α＋β)]的形式．如果两角的函数同为正弦或余弦，则“f ”表示余弦；如果一个为正弦一个为余弦，则“f ”表示正弦．[例1] 求下列各式的值． (1)sin 37.5°cos 7.5°；(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.[思路点拨] 利用积化和差公式对所给式子进行变形，然后利用特殊角进行求解． [精解详析] (1)sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin 45°＋sin 30°) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12 ＝2＋14. (2)sin 20°cos70 °＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. [一点通] 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．1．函数y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期为________． 解析：cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝12⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －π3＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12cos π3 ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14， ∴最小正周期为π. 答案：π2．化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． 解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos (－2θ)] ＝－2sin θ(－12－cos 2θ)＝sin θ＋2sin θcos 2θ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ) ＝sin 3θ.[例2] 求函数f (x )＝sin 52x 2sinx 2－12的值域．[思路点拨] (1)先通分，将sin 5x 2－sin x2和差化积． (2)再积化和差得函数． (3)在定义域内求值域．[精解详析] f (x )＝sin5x 2－sin x 22sinx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2sinx 2＝2cos 3x2sin x 2sinx2＝2cos3x 2cos x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝cos2 x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.∵sin x 2≠0，∴x2≠k π，即x ≠2k π(k ∈Z)． ∴－1≤cos x <1.当cos x ＝－14时，f (x )min ＝－98，当cos x 趋于1时，f (x )趋于2.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－98，2.[一点通] 通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容，一般对同名异角三角函数的和或差可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差．3．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．解：法一：原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 100°)＋sin 20°·cos 50°＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12(sin 70°－sin 30°)＝34－sin 70°·sin 30°＋12sin 70° ＝34. 法二：原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°·cos 50° ＝(2sin 30°·cos 10°)2－12(sin 70°－sin 30°)＝cos 210°－12cos 20°＋14＝1＋cos 20°2－12cos 20°＋14＝34.4．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．解：∵cos α－cos β＝12，∴－2sinα＋β2sin α－β2＝12.① 又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.② ∵sinα－β2≠0， ∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32. ∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.[例3] 设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．[思路点拨] 利用万能公式，分别用t 表示sin θ，cos θ即可．[精解详析] 由sin θ＝2tanθ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan2θ2＝＋t21＋t2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan2θ2＝＋t 1＋t2，故1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．[一点通] 在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值．5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，求sin 2θ－2cos 2θ的值．解：令tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，∴tan θ＝12.sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2 θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 6．已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求sin(α＋β)，cos(α＋β)的值．解：∵sin α＋sin β＝2sinα＋β2cos α－β2＝14，cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2＝13.∴tan α＋β2＝34.∴sin(α＋β)＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝2×341＋916＝2425，cos(α＋β)＝1－tan2α＋β21＋tan2α＋β2＝1－9161＋916＝725.1．应用积化和差、和差化积公式应从以下几个方面考虑；(1)运用公式之后，能否出现特殊角；(2)运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；(3)运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．2．积化和差、和差化积公式的应用(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．(2)对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化简结果可能在形式上不一致．不论使用哪套公式，只要正确使用公式，结果一般会殊途同归．有时为回避使用积与和差互化，可凑角后使用诱导公式、倍角、半角、和差角公式等．课下能力提升(二十七)一、填空题1．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确等式的个数是________． 解析：只有⑤正确． 答案：12．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2 α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β. ∴cos 2 α－sin 2β＝13.答案：133．若tan θ＋1tan θ＝m ，则sin 2θ＝________.解析：∵tan θ＋1tan θ＝m ，即tan 2θ＋1tan θ＝m ，∴sin 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2m. 答案：2m4．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________． 解析：∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )． 又－π2<A －B <π2，而0<cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.答案：125．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－14， 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值为－34. 答案：－34二、解答题 6．求值：cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7. 解：cos2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝12sin2π7⎝⎛2sin 2π7·cos 2π7＋2sin 2π7·cos 4π7＋2sin 2π7·⎭⎪⎫cos6π7 ＝12sin2π7⎣⎢⎡sin 4π7＋sin 6π7＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π7＋sin 8π7＋⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π7＝12sin 2π7⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π7＋sin π7－sin 2π7－sin π7－sin 4π7 ＝12sin2π7·⎝⎛⎭⎪⎫－sin 2π7＝－12. 7．求函数f (x )＝cos 4x cos 2x －cos 23x 的最大值和最小值．小学+初中+高中小学+初中+高中 解：f (x )＝12[cos(4x ＋2x )＋cos(4x －2x )]－1＋cos 6x 2＝12(cos 6x ＋cos 2x )－12－12cos 6x ＝12cos 2x －12＝－1－cos 2x 2＝－sin 2x .∵0≤sin 2 x ≤1.∴f (x )的最大值为0，最小值是－1.8．求值：cos 2 71°＋cos 71°cos 49°＋cos 2 49°.解：原式＝1＋cos 142°2＋12(cos 120°＋cos 22°) ＋1＋cos 98°2 ＝12＋12cos 142°－14＋12cos 22°＋12＋12cos 98° ＝34＋12(cos 142°＋cos 98°)＋12cos 22° ＝34＋cos 120°cos 22°＋12cos 22°＝34.。
【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(九) 正、余弦函数的图象与
课下能力提升(九) 正、余弦函数的图象与性质一、填空题1．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3的值域是________． 2．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．3．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大的顺序排列为_______________________．4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 5．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________. 二、解答题6．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4的单调区间．7．求下列函数的值域：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6； (2)y ＝6－sin x －cos 2x .8．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．答 案1．解析：∵函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上单调递减，∴y max ＝sin π2＝1，y min ＝sin π6＝12. ∴该函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 2．解析：y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]．答案：(－π，0]3．解析：cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0，且cos 20°＞cos 40°，故cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.答案：cos 150°＜cos 760°＜sin 470°4．解析：由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωπ≤ωπ3＜π3，f (x )max ＝2sinωπ3＝2，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：345．解析：∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)， ∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2. 答案：3π26．解：y ＝sin(－2x ＋π4)＝－sin(2x －π4)． 因为2x －π4是关于x 的增函数，所以只需要考虑y ＝－sin(2x －π4)关于2x －π4的单调性即可．当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)时，y ＝sin(2x －π4)为增函数，y ＝sin(－2x ＋π4)为减函数，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)， 即函数y ＝sin(－2x ＋π4)的单调减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)； 同理，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)， 求得函数y ＝sin(－2x ＋π4)的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)． 7．解：(1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤π<π6的值域为[0,2]． (2)y ＝6－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x ＋5＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋194∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 即函数y ＝6－sin x －cos 2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 8．解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z)得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z)． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)． 据题意：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.。
苏教版数学高一-必修4教师用书 第1章《三角函数》归纳提升
任意角的三角函数概念(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)已知角α的终边过点P (－4m,3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值是________． (2)函数y ＝sin x ＋2cos x －1的定义域是________．【思路点拨】 (1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m 的正负． (2)利用三角函数线求解． 【规范解答】 (1)r ＝|OP |＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |.当m >0时，sin α＝y r ＝3m 5m ＝35，cos α＝x r ＝－4m 5m ＝－45.∴2sin α＋cos α＝25.当m <0时，sin α＝y r ＝3m －5m ＝－35，cos α＝x r ＝－4m －5m ＝45.∴2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1≥0得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，解得：2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．【答案】 (1)25或－25 (2){x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }已知P (－3，m )为角α的终边上的一点，且sin α＝1313，则m 的值为________． 【解析】 r ＝3＋m 2，∴sin α＝y r＝m 3＋m 2＝1313，平方解得m ＝±12， ∵sin α＝1313＞0，∴m ＞0，∴m ＝12. 【答案】 12同角三角函数的基本关系式和诱导公式1．在计算、化简或证明三角函数式时常用的三个技巧有：(1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin 2α＋cos 2α”代替．(2)切化弦．利用商数关系式把正切化为正弦和余弦函数．(3)整体代替．将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系．2．应用诱导公式需注意的五个问题：(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为：“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．(2)在运用这六组诱导公式时，要仔细体会其中的数学思想——化归思想，并在学习过程中能自觉地运用．(3)诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角函数有关问题(特别是化简、求值、证明)中常使用．(4)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似k π±α的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．(5)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”． 3．方程思想的渗透对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可以求出．(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.已知sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，求tan α的值．【思路点拨】 要求tan α的值，只需求得sin α，cos α的值．而由已知条件sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，再利用sin 2α＋cos 2α＝1，求得2sin αcos α的值，进而求得sin α－cos α的值．【规范解答】 ∵sin α＋cos α＝13，①将其两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝19，∴2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α＜0＜sin α. ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，∴sin α－cos α＝173.② 由①②得sin α＝1＋176，cos α＝1－176.∴tan α＝sin αcos α＝－9＋178.化简：1＋cos(π2＋α)·sin(π2－α)·tan(π＋α)．【解】 原式＝1－sin α·cos α·tan α ＝1－sin α·cos α·sin αcos α＝1－sin 2α＝cos 2α.三角函数的图象与性质1.现在三角函数图象的变换和解析式的确定，利用“五点法”作图或利用图象的伸缩和平移变换来作图．具体要求：①用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π； ②对于y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别；③已知函数图象来求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．2．解决三角函数有关性质的问题时，常用到数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想，主要体现在三角函数的奇偶性、单调性、周期性以及其图象的对称性等知识的考查．如图1－1所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的部分图象．图1－1(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的．【思路点拨】 (1)根据函数图象与A ，ω，φ的关系求出函数解析式；(2)根据函数图象变换的有关性质进行求解．【规范解答】 (1)由图象知A ＝－12－(－32)2＝12，k ＝－12＋(－32)2＝－1，T ＝2×(2π3－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴所求函数的解析式为y ＝12sin(2x ＋π6)－1.(2)把y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，再保持横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin(2x ＋π6)的图象，最后把函数y ＝12sin(2x ＋π6)的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin(2x ＋π6)－1的图象．函数y ＝2a ＋b sin x 的最大值是3，最小值是1，求函数y ＝－4a sin bx2的最大值和最小值，以及相应的x 的值．【解】 当b ＝0时，y ＝2a ，此时y max ＝y min ，与题意不符，故b ≠0.若b ＞0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝3，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，此时y ＝－4a sinbx 2＝－4sin x 2， 当x ＝4k π－π(k ∈Z )时，y 有最大值4； 当x ＝4k π＋π(k ∈Z )时，y 有最小值－4.若b ＜0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时y ＝－4a sinbx 2＝4sin x 2， 当x ＝4k π＋π(k ∈Z )时，y 有最大值4； 当x ＝4k π－π(k ∈Z )时，y 有最小值－4.数形结合思想1.对数形结合的认识(1)数形结合是重要的数学思想，它能把代数关系与几何图形有机结合起来，将抽象的思维方式转化为直观的思维方式，从而使问题变得简单明了．(2)数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．2．数形结合在本章中的体现本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略．试判断方程sin x ＝x100π实数根的个数．【思路点拨】 本题主要考查数形结合法求超越方程的根，在同一坐标系内作出函数y 1＝sin x 与y 2＝x100π的图象，由函数图象分析交点的个数．【规范解答】 令y 1＝sin x ，y 2＝x100π，即求两个函数图象的交点数．∵|sin x |≤1，∴|x100π|≤1，|x |≤100π，如图．每一个最小正周期有两个交点，内共有50个最小正周期，所以有100个交点．又y 1＝sin x ，y 2＝x100π均为奇函数，所以在内也有100个交点，而原点处的交点重复计算了一次，所以方程sin x ＝x100π实数根有199个．若集合M ＝{θ|sin θ≥12，0≤θ≤π}，N ＝{θ|cos θ≤12，0≤θ≤π}，求M ∩N .【解】 法一 首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y ＝12的图象．如图①②，结合图象得集合M ，N 分别为M ＝{θ|π6≤θ≤5π6}，N ＝{θ|π3≤θ≤π}．得M ∩N ＝{θ|π3≤θ≤56π}．法二 作出单位圆的正弦线和余弦线如图． 由单位圆三角函数线知M ＝{θ|π6≤θ≤5π6}，N ＝{θ|π3≤θ≤π}．由此可得M ∩N ＝{θ|π3≤θ≤5π6}．综合检测(一) 第1章 三角函数(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中横线上) 1．角α，β的终边关于x 轴对称，若α＝30°，则β＝________.【解析】 画出图形可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z . 【答案】 －30°＋k ·360°，k ∈Z2．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f (f (π4))＝________. 【解析】 ∵π4∈π＋(π2－A )－5，－π)∪(0，π)9．函数y ＝2cos(x －π3)(π6≤x ≤2π3)的最大值和最小值之积为________．【解析】 ∵π6≤x ≤23π，∴－π6≤x －π3≤π3，∴12≤cos(x －π3)≤1，∴1≤2cos(x －π3)≤2， 故所求最大值和最小值之积1×2＝2. 【答案】 210．将函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．【解析】 y ＝sin(3x ＋π4)向右平移π8个单位得y ＝sin ，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(x －π8)．【答案】 y ＝sin(x －π8)11．(2013·扬州高一检测)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．【解析】 由函数的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω＞0，∴2πω·k ＝43π(k ∈Z )，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32. 【答案】 32图112．如图1为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (ω＞0，A ＞0，|φ|＜π2)图象的一部分，则f (x )的解析式为________．【解析】 A ＝3－(－1)2＝2，B ＝3＋(－1)2＝1，由图可知2sin φ＝1，|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以2sin(－πω＋π6)＋1＝－1，可得－πω＋π6＝－π2，所以ω＝23，所以f (x )＝2sin(23x ＋π6)＋1.【答案】 2sin(23x ＋π6)＋113．(2013·合肥高一检测)函数y ＝2sin(2x ＋π3)在上的单调增区间为________．【解析】 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－512π＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，令k ＝0,1得所求单调递增区间为，712π，π0，π12712π，ππ2－(2x ＋π3)2×(－π6)＋π30，π2－5,10，π2π6，7π6－12，10，π2－π3＋k π，π6＋k ππ6＋k π，2π3＋k π0，π30，π3－π3，2π3－π3，2π332，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈时恰有两个不同的解的条件是m ∈3＋1,3)，即实数m 的取值范围是3＋1,3)．。
【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学苏教版必修4教案：第三章 三角恒等变换 第1课时
第1课时 §3.1.1 两角和与差的余弦【教学目标】一、知识与技能：1．掌握两点间的距离公式及其推导； 2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题 二、过程与方法经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；三、情感态度价值观：用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用 教学重点难点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导 【教学过程】 一．复习回顾1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． 二、新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,PM P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线 1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，那么11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-．由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+2212x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())Pββ--， 1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+） 3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。
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∴函数f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(6)＝f(2)．由f(2)＝－f(0)＝0，得f(6)＝0.
答案：0
6．解：(1)T＝ ＝12π，
即函数f(x)＝2sin 的最小正周期为12π.
(2)T＝ ，即函数f(x)＝3cos (m≠0)的最小正周期为 .
7．解：由诱导公式知sin ＝sin ＝sin ，
∴f(n＋12)＝f(n)，
且f(1)＋f()＋f(3)＋…＋f(12)＝0,102＝12×8＋6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋
f(6)＝sin ＋sin ＋…＋sin ＝2＋ .
8．解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.
课下能力提升(七)三角函数的周期性
一、填空题
1．函数y＝ sin 的最小正周期为________．
2．函数y＝tan 的最小正周期为________．
3．函数y＝cos (k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．
4．已知函数f(x)＝sin －1，则下列命题正确的是________．
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.
7．已知函数f(n)＝sin (n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)．
8．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
答案
1．解析：T＝ ＝π.
答案：π
2．解析：T＝ .
答案：
3．解析：∵T＝ ＝ ≤2，∴k≥4π，∴kmin＝13.
答案：13
4．解析：f(x)＝sin －1＝－cosπx－1，
∴f(x)的周期为 ＝2.
答案：②
5．解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
①f(x)是周期为1的函数
②f(x)是周期为2的函数
③f(x)是周期为 的函数
④f(x)是周期为π的函数
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．
二、解答题
6．求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝－2sin ；
(2)f(x)＝3cos (m≠0)．