【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-8]
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.3(含答案)
第二章 ２．3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )A ．y ＝e x －e －xB ．y ＝lg 1＋x1－xC ．y ＝cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x 答案 D2．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )f (－x )是奇函数 B ．f (x )|f (－x )|是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数 D ．f (x )＋f (－x )是偶函数 答案 D3．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x ) 答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．4．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案 A解析 由f (x )是偶函数知b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx 是奇函数．5．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3 答案 D解析 令x ≤0，则－x ≥0，所以f (－x )＝2－x －2x ＋b ，又因为f (x )在R 上是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0，即b ＝－1，f (x )＝－2－x ＋2x ＋1，所以f (－1)＝－2－2＋1＝－3，故选D.6．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2011(x )＝( )A ．－1x B ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x 答案 C解析 由题得f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝x －1x ＋1，f 4(x )＝f (x －1x ＋1)＝x ，f 5(x )＝1＋x 1－x ＝f 1(x )，其周期为4，所以f 2011(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1. 7．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2}答案 B解析 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8， 又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)3－8，x ≥0－(x －2)3－8，x <0， ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－(x －2)3－8>0，解得x >4或x <0.故选B. 二、填空题8．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝________. 答案 －1解析 f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a .∵f (x )为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.9．设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a ，b ，c 为常数，x ∈R )，若f (－2011)＝－17，则f (2011)＝________.答案 31解析 f (2011)＝a ·20115＋b ·20113＋c ·2011＋7 f (－2011)＝a (－2011)5＋b (－2011)3＋c (－2011)＋7 ∴f (2011)＋f (－2011)＝14，∴f (2011)＝14＋17＝31.10．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象关于________点对称． 答案(0,1)解析 f (x )的图象是由y ＝x 3＋sin x 的图象向上平移一个单位得到的．11．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，总有f (x ＋2)＝－f (x )成立，则f (19)＝________.答案 0解析 依题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，因此有f (19)＝f (4×5－1)＝f (－1)＝f (1)，且f (－1＋2)＝－f (－1)，即f (1)＝－f (1)，f (1)＝0，因此f (19)＝0.12．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________．答案 f (512)<f (－1)<f (4)解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数 ∴y ＝f (x )关于x ＝2对称又y ＝f (x )在(－∞，2)上为增函数∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上为减函数，而f (－1)＝f (5)∴f (512)＜f (－1)＜f (4)．13．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)，其中正确的序号是________．答案①②⑤解析由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的函数，①正确，f(x)关于直线x＝1对称，②正确，f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．三、解答题14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的解析式．答案f(x)＝x2－2，g(x)＝x解析∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2.①∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋(－x)－2.又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.②由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x)在[0,1)上单调递减，并满足f(2－x)＝f(x)，若方程f(x)＝－1在[0,1)上有实数根，求该方程在区间[－1,3]上的所有实根之和．答案 2解析由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为函数f(x)是奇函数，则f(x)在(－1,1)上单调递减，根据函数f(x)的单调性，方程f(x)＝－1在(－1,1)上有唯一的实根，根据函数f(x)的对称性，方程f(x)＝－1在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线x＝1对称，故两根之和等于2.16．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．答案(1)a＝2，b＝1(2)k<－1 3解析(Ⅰ)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0⇒b＝1∴f(x)＝1－2x a＋2x＋1又由f(1)＝－f (－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1⇒a＝2.(Ⅱ)解法一由(Ⅰ)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－1 3拓展练习·自助餐1．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.答案02．设函数f(x)＝x(e x＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．答案－1解析令g(x)＝x，h(x)＝e x＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝e x＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.3．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是()A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5答案 B解析先考查函数f(x)在[－7，－3]上的最值，由已知，当3≤x≤7时，f(x)≥5，则当－7≤x≤－3时，f(－x)＝－f(x)≤－5即f(x)在[－7，－3]上最大值为－5.再考查函数f(x)在[－7，－3]上的单调性，设－7≤x1<x2≤－3.则3≤－x2<－x1≤7，由已知－f(x2)＝f(－x2)<f(－x1)＝－f(x1)，从而f(x2)>f(x1)，即f(x)在[－7，－3]上是单调递增的．4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且{x|f(x)＞0}＝{x|1＜x＜3}，则f(π)＋f(－2)与0的大小关系是()A．f(π)＋f(－2)＞0 B．f(π)＋f(－2)＝0C．f(π)＋f(－2)＜0 D．不确定答案 C解析 由已知得f (π)<0，f (－2)＝－f (2)＜0，因此f (π)＋f (－2)＜0.5．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为________．答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为奇函数，则不等式化为xf (x )<0法一：(图象法)由，可得－1<x <0或0<x <1时，x ·f (x )<0.法二：(特值法)取f (x )＝x －1x ，则x 2－1<0且x ≠0，解得－1<x <1，且x ≠0. 6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (－1<x ≤0)－1 (0<x ≤1)，则f (3)＝________.解析 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x )＝－f (x ＋1)＝－[－f (x ＋2)]＝f (x ＋2)，则f (x )的周期为2，f (3)＝f (1)＝－1.教师备选题1．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)证明函数f (x )为周期函数；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．解析(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (2－x )＝f (2＋x )f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (4－x )f (x )＝f (14－x )⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)∴f (x )为周期函数，T ＝10.(2)∵f (3)＝f (1)＝0, f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0 故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2005]上有402个解， 在[－2005,0]上有400个解，所以函数y ＝f (x )在[－2005,2005]上有802个解．。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-3(含答案)
第十章10.3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．在(ax－1)7展开式中含x4项的系数为－35，则a为() A．±1B．－1C．－12D．±12答案 A解析由通项公式可得C37(ax)4(－1)3＝－35x4，∴C37a4(－1)3＝－35，∴a4＝1，∴a＝±1.2．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是通项公式为a n＝3n－5的数列的()A．第20项B．第18项C．第11项D．第3项答案 A解析∵x4的系数是C45＋C46＋C47＝C15＋C26＋C37＝5＋15＋35＝55，则由a n＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.3．在(x＋1)(2x＋1)……(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为()A．C2n B．C2n＋1C．C n－1n D.12C3n＋1答案 B解析1＋2＋3＋…＋n＝n·(n＋1)2＝C2n＋14．设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N ＝240，则展开式中x3项的系数为()A．500 B．－500C．150 D．－150答案 C解析N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2，∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项T r＋1＝C r4·(5x)4－r·(－x)r＝(－1)r·C r4·54－r·x4－r2.令4－r2＝3，即r＝2，此时C24·52·(－1)2＝150.5．如果(x2－12x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是()A．0 B．256C．64 D.1 64答案 D解析 解法一由已知得⎩⎪⎨⎪⎧C 3n >C 4nC 3n >C 2n ，∴5<n <7，∵n ∈N *，∴n ＝6. 令x ＝1，则原式＝(1－12)6＝164.解法二 由题意知，只有第4项的二项式系数最大，∴n ＝6，令x ＝1，则原式＝(1－12)6＝164.6．二项展开式(2x －1)10中x 的奇次幂项的系数之和为( ) A.1＋3102 B.1－3102 C.310－12 D ．－1＋3102答案 B解析 设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＋a 10，两式相减可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102，故选B.7．已知(1－2)10＝a ＋2b (a ，b 为有理数)，则a 2－2b 2＝( ) A ．(1－2)20 B ．0 C ．－1 D ．1 答案 D解析 在二项式(a ＋b )n 与(a －b )n 的展开式中，奇数项是完全相同的，偶数项互为相反数，根据这个特点，当(1－2)10＝a ＋2b 时，必有(1＋2)10＝a －2b ，故a 2－2b 2＝(a ＋2b )(a －2b )＝(1－2)10(1＋2)10＝1.二、填空题8．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为________． 答案 179解析 (x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x 8及x 10的系数T r ＋1＝C r 10x10－r · 2r取r ＝2，r ＝0得x 8的系数为C 210×22＝180；x 10的系数为C 210＝1，∴所求系数为180－1＝179.9．设a n (n ＝2,3,4，…)是(3－x )n的展开式中x 的一次项的系数，则32a 2＋33a 3＋…＋318a 18的值为____________． 答案 17解析 由通项C r n 3n －r (－1)r x r 2知，展开式中x 的一次项的系数为a n ＝C 2n 3n －2，所以32a 2＋33a 3＋…＋318a 18＝32(21×2＋22×3＋23×4＋…＋217×18)＝17.10．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 答案 6解析 注意到二项式(x ＋43y )20的展开式的通项是T r ＋1＝c r 20·x 20－r ·(43y )r ＝C r 20·3r 4·x 20－r ·y r .当r ＝0,4,8,12,16,20时，相应的项的系数是有理数．因此(x ＋43y )20的展开式中，系数是有理数的项共有6项．11．(2011·安徽江南十校)a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0＝x 4，则a 3－a 2＋a 1＝________.答案 －14解析 [(x ＋1)－1]4＝a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0，∴a 3－a 2＋a 1＝(－C 14)－C 24＋(－C 34)＝－14.12．二项式(1＋sin x )n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，则x 在[0,2π]内的值为________．答案 π6或5π6解析 二项式(1＋sin x )n 的展开式中，末尾两项的系数之和C n －1n ＋C nn ＝1＋n ＝7，∴n ＝6，系数最大的项为第4项，T 4＝C 36(sin x )3＝52，∴(sin x )3＝18，∴sin x ＝12，又x ∈[0,2π]，∴x ＝π6或56π.13．(1－3a ＋2b )5展开式中不含b 项的系数之和是________． 答案 －32解析 令a ＝1，b ＝0，即得不含b 项的系数和(1－3)5＝－32. 三、解答题14．设m ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)dt ，求二项式(m x －1x )6展开式中含x 2项的系数及各项系数之和．答案 －192,1解析 ∵m ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)dt ＝(sin t －cos t)| π0＝2.∴(m x －1x )6＝(2x －1x )6，又T r ＋1＝C 626－r(－1)r x 3－r ，令3－r ＝2，∴r ＝1，∴x 2项的系数为－192. 令x ＝1知各项系数之和为1.15．设(2－3x)100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. 解析 (1)(2－3x)100展开式中的常数项为 C 0100·2100，即a 0＝2100，或令x ＝0， 则展开式可化为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100② 与x ＝1所得到的①联立相减可得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100(2＋3)100＝1.拓展练习·自助餐1．把(3i －x)10(i 是虚数单位)按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( )A ．135B ．－135C ．－3603iD ．3603i 答案 D解析 ∵T 7＋1＝C 710(3i )3(－x)7＝－C 71033i 3x 7＝C 71033i x 7.所以展开式的第8项的系数为33·C 710i ，即3603i .2．若(2x －22)9的展开式的第7项为214，则x ＝________.答案 －13解析 T 7＝T 6＋1＝C 69(2x )3(－22)6＝214，即9×8×73×2×1·23x ·18＝214， 所以23x －1＝2－2，因此有3x －1＝－2，即x ＝－13.3． (x ＋1)3＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 6＝________.答案 28解析 ∵(x ＋1)3＋(x －2)8＝[(x －1)＋2]3＋[(x －1)－1]8，∴a 6(x －1)6＝C 28(x －1)6(－1)2＝28(x －1)6，∴a 6＝28.4． (1＋ax ＋by)n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 答案 D解析 注意到(1＋ax ＋by)n ＝[(1＋ax)＋by]n ＝[(1＋by)＋ax]n ，因此依题意得(1＋|b|)n ＝243 ＝35， (1＋|a|)n ＝32＝25，于是结合各选项逐一检验可知，当n ＝5时，|b|＝2，|a|＝1，因此选D .5．请先阅读：在等式cos 2x ＝2cos 2x －1(x ∈R )的两边对x 求导，即(cos2x )′＝(2cos 2x －1)′；由求导法则得(－sin2x )·2＝4cos x ·(－sin x )， 化简后得等式sin2x ＝2sin x cos x .(1)利用上述想法(或者其他方法)，试由等式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n(x ∈R ，整数n ≥2)证明：n [(1＋x )n －1－1]＝∑nk ＝2k C k n xk －1. (2)对于整数n ≥3，求证：∑nk ＝1 (－1)k k C k n ＝0.解析 (1)在等式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n xn －1＋C n n x n 两边对x 求导得 n (1＋x )n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋…＋(n －1)C n －1n x n －2＋n C n n xn －1. 移项得n [(1＋x )n －1－1]＝∑nk ＝2k C k n xk －1.(*) (2)在(*)式中，令x ＝－1，整理得∑nk ＝1 (－1)k －1k C kn ＝0，所以∑nk ＝1(－1)k k C k n ＝0.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-6(含答案)
第十章 10.6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)、在其内部随机地撒一粒黄豆、则它落在阴影部分的概率为()A.2πB.1πC.12 D ．1－2π 答案 D解析 S 扇形＝14πR 2＝π、S △＝12×2×2＝2、S 阴影＝S扇形－S △＝π－2.由几何概型概率公式得黄豆落在阴影部分的概率P ＝π－2π＝1－2π.2．在集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}内任取一个元素、能使不等式x 5＋y2－1≤0成立的概率为( )A.14B.34C.13D.23 答案 A解析 集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0、y ＝4所围成的长为5、宽为4的矩形、而不等式x 5＋y2－1≤0和集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形、由几何概型公式可以求得概率为12×5×25×4＝14.3.如右图、在一个长为π、宽为2的矩形OABC 内、曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成的如图所示的阴影部分、向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能 )、则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 答案 A解析 S 矩形OABC ＝2π、S 阴影＝⎠⎛0πsin x d x ＝2、由几何概型概率公式得P ＝22π＝1π.4．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 、其中0≤b ≤4,0≤c ≤4、记函数f(x)满足条件⎩⎨⎧f (2)≤12f (－2)≤4为事件A 、则事件A 发生的概率为( ) A .14 B .58 C .12 D .38 答案 C解析 由题意知、事件A 所对应的线性约束条件为⎩⎨⎧0≤b ≤40≤c ≤44＋2b ＋c ≤124－2b ＋c ≤14、其对应的可行域如图中阴影部分所示、所以事件A 的概率P(A)＝S △OAD S 正方形OABC＝12、选C .5．已知实数a 满足－3<a<4、函数f(x)＝lg (x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1、定义域为R 的概率为P 2、则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定 答案 C解析 若f (x )的值域为R 、则Δ1＝a 2－4≥0、得a ≤－2或a ≥2.故P 1＝－2－(－3)4－(－3)＋4－24－(－3)＝37.若f (x )的定义域为R 、则Δ2＝a 2－4<0、得－2<a <2故P 2＝47.∴P 1<P 2. 二、填空题6．函数f (x )＝x 2－x －2、x ∈[－5,5]、那么任取一点x 0使f (x 0)≤0的概率为________．答案 0.3 解析 如图、在[－5,5]上函数的图象与x 轴交于两点(－1,0)、(2,0)、而x 0∈[－1,2]、那么f (x 0)≤0.所以P ＝区间[－1，2]的长度区间[－5，5]的长度＝310＝0.3.7．在区间(0,2)内任取两数m 、n (m ≠n )、则椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率大于32的概率为________．答案 12解析 如图、m 、n 的取值在边长为2的正方形中．当m >n 时、椭圆离心率e ＝m 2－n 2m ＝1－(nm )2、由e >32、得m >2n .同理、当m <n 时、n >2m .故满足条件的m 、n 为图中阴影部分．所求概率P ＝2×12×2×122＝12.8．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.其中实数a 、b 满足⎩⎨⎧a ＋b －8≤0a >0，b >0，则函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率是________．答案 13分析 这个概率就是函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数时点(a 、b )在已知区域中所占有的面积和已知区域的面积之比．解析函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在[1、＋∞)单调递增的充要条件是2b a ≤1、即b ≤a2.作出平面区域如图所示、问题等价于向区域OAB 中任意掷点、点落在区域OAC (其中点C 的坐标是(163、83))中的概率、这个概率值是12×83×812×8×8＝13.9．已知菱形ABCD 的边长为2、∠A ＝30°、则该菱形内的点到菱形的顶点A 、B 的距离均不小于1的概率是________．解析如图所示、只有当点位于图中的空白区域时、其到A 、B 的距离才均不小于1、菱形的面积为2×2×sin30°＝2、两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆、其面积为π2、故空白区域的面积为2－π2、所求的概率是2－π22＝4－π4＝1－π4.10．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P 、则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析 满足条件的点在半径为a 的18球内、所以所求概率为p ＝18×43πa 3a 3＝π6.11．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a 和b 、则方程x ＝－2a －abx 有实根的概率为________．答案 14解析 方程x ＝－2a －abx 即x 2＋2ax ＋ab ＝0若方程有实根、则有Δ＝4a 2－4ab ≥0、即b ≤a 、其所求概率可转化为几何概率、如图、其概率等于阴影面积与正方形面积之比．∴P ＝12.12．周长为定值的扇形OAB 、当其面积最大时、向其内任意掷一点、则点落在△OAB 内的概率是__________．答案 12sin2解析 设扇形周长为m 、半径为r 、则弧长l ＝m －2r 、扇形的面积是12rl ＝12r (m －2r )≤14·(2r ＋m －2r 2)2＝m 216、当且仅当r ＝m 4时等号成立、此时扇形的弧长为m2、故此时扇形的圆心角为lr ＝2弧度、点落在△OAB 内的概率是12r 2sin212×2×r2＝12sin2.三、解答题13．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头、它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时 、求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时、乙船的停泊时间为2小时、求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y 、则0≤x <24,0≤y <24且y －x >4或y －x <－4.作出区域⎩⎨⎧0≤x <24，0≤y <24y －x <4或y －x <－4设“两船无需等待码头空出”为事件A 、则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时、两船不需等待码头空出、则满足x －y >2或y －x >4、设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B 、画出区域⎩⎨⎧0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或x －y >2.P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.14．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1. (1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}、分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b 、求函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a 、b )是区域⎩⎨⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内随机点、求函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率．解析 (1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1、＋∞)上为增函数、当且仅当a >0且2ba ≤1、即2b ≤a . 若a ＝1、则b ＝－1、 若a ＝2、则b ＝－1,1、 若a ＝3、则b ＝－1,1∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.∴所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时、函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间 [1、＋∞)上为增函数、依条件事知试验的全部结果所构成的区域为{(a 、b )|⎩⎨⎧a ＋b －8≤0a >0b >0}构成所求事件的区域为三角形部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163、83)． ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.15．已知复数z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4、－3、－2,0}、Q ＝{0,1,2}、从集合P 中随机抽取一个数作为x 、从集合Q 中随机抽取一个数作为y 、求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]、y ∈[0,4]、求点M 落在不等式组：⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解析 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4、－4＋i 、－4＋2i 、－3、－3＋i 、－3＋2i 、－2、－2＋i 、.－2＋2i,0、i,2i 、且每种情况出现的可能性相等、属于古典概型、 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i 、∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知、点M 均匀地分布在平面区域{(x 、y )|⎩⎨⎧0≤x ≤30≤y ≤4}内、属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域、面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x 、y )|⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0}、其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0、32)、∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94. ∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.教师备选题1．平面上有一组平行线、且相邻平行线间的距离为3 cm 、把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面上、则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案 B 解析如图所示、这是长度型几何概型问题、当硬币中心落在阴影区域时、硬币不与任何一条平行线相碰、故所求概率为P ＝13.2．将长为l 的棒随机折成3段、求3段构成的三角形的概率．解析 设A ＝“3段构成三角形”x 、y 分别表示其中两段的长度、则第3段的长度为l －x －y .则试验的全部结果可构成集合Ω＝{(x 、y )|0<x <l,0<y <l,0<x ＋y <l }、要使3段构成三角形、当且仅当任意两段之和大于第3段、即x ＋y >l －x －y ⇒x ＋y >l2、x ＋l －x －y >y ⇒y <l2、y ＋l －x －y >x ⇒x <l2. 故所求结果构成的集合A ＝{(x 、y )|x ＋y >l 2、y <l 2、x <l2}． 由图可知、所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝12·(l 2)2l 22＝14.3．在区间[0,2]内任取两个数a 、b 、那么函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________．答案 34解析 依题意、方程x 2＋ax ＋b 2＝0无零点、则有Δ＝a 2－4b 2<0、即(a ＋2b )(a －2b ) <0.在平面直角坐标系aOb 内画出不等式组⎩⎨⎧0≤a ≤20≤b ≤2①与⎩⎨⎧0≤a ≤20≤b ≤2(a ＋2b )(a －2b )<0②表示的平面区域、注意到不等式组①表示的平面区域的面积是4、不等式组②表示的平面区域的面积是22－12×2×1＝3、因此所求的概率为34.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-10(含答案)
第十章10.10 第十课时一、选择题1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴上方；(2)曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是()A．只有(1)(4)(5)(6)B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6) D．只有(1)(5)(6)答案 A2．下列函数是正态密度函数的是()A．f(x)＝12πσe(x－μ)22σ2，μ、σ(σ＞0)都是实数B．f(x)＝2π2πe－x22C．f(x)＝12 2πe－x－σ4D．f(x)＝－12πex22答案 B解析A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图象在x轴下方，所以选B.3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝() A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84答案 A解析利用正态分布图象的对称性，P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.1587C．0.1586 D．0.1585答案 B解析P(X>4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587.5．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，已知P(400＜ξ＜450)＝0.3，则P(550＜ξ＜600)等于() A．0.3B．0.6 C．0.7D．0.4答案 A6．设随机变量ξ～M(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝P，则P的值为() A．0 B．1C.12D．不确定与σ无关答案 C解析∵P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝P，∴C＝μ，且P＝1 2.二、填空题7．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，则P(a≤x＜4－a)＝________.答案0.36解析由正态分布图象的对称性可得：P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.8.随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________.答案0.7解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P(ξ<2)＝0.7.9．若随机变量ξ～N(0,1)，且ξ在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系为________．答案P1＝P2解析如图所示，由正态分布图象的对称性可得，两阴影部分面积相等，即在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率P1＝P2.10．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案100解析∵数学考试成绩ξ－N(100，σ2)，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝13；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)，又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝13，∴P(ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．11．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则η＝ξ－32服从参数为________的正态分布．答案 (μ－32，σ2)解析 ∵ξ～N (μ，σ2)，∴Eξ＝μ，Dξ＝σ2.而η＝ξ－32也服从正态分布，即Eη＝E (ξ－32)＝12Eξ－32＝μ－32Dη＝D (ξ－32)＝14Dξ＝σ24∴Dη＝σ2服从(μ－32，σ2)的正态分布． 三、解答题12．设X ～N (1,22)，试求(1)P (－1＜X ≤3)；(2)P (3＜X ≤5)；(3)P (X ≥5)． 解析 ∵X ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤－1)，∴P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359. (3)∵P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，∴P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)] ＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝12[1－0.954]＝0.023.13．如下图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．解析 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12 π，所以μ＝20.由12πσ＝12 π，解得σ＝ 2.于是正态分布密度曲线的解析式是φμ，σ(x)＝12πe－(x－20)24，x∈(－∞，＋∞)．均值和方差分别是20和2.14．灯泡厂生产的白炽灯寿命X(单位：h)，已知X～N(1000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000 h的概率为99.7%，问灯泡的平均寿命应控制在多少小时以上？解析因为灯泡寿命X～N(1000,302)故X在(1000－3×30,1000＋3×30)的概率为99.7%，即在(910,1090)内取值的概率为99.7%，故灯泡最低使用寿命应控制在910 h以上．15．某市有210名学生参加一次数学竞赛，随机调阅了60名学生的答卷，成(1)(2)若总体服从正态分布，求此正态曲线近似的密度函数．解析(1)平均成绩x＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，S2＝160[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，S＝1.22.即样本平均成绩为6分，标准差为1.22.(2)以x＝6，S＝1.22作为总体学生的数学平均成绩和标准差估计值，即μ＝6，σ＝1.22.正态曲线密度函数近似地满足y＝11.22 2πe－(x－6)22×1.5.拓展练习·自助餐1．若随机变量ξ的密度函数为f(x)＝12πe－x22，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为P1，P2，则P1，P2的关系为()A．P1>P2B．P1<P2C．P1＝P2D．不确定答案 C解析由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P1＝P2.2．正态总体N(0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为()A．0.46 B．0.9974 C．0.03 D．0.0026 答案 D解析P(－2<ξ≤2)＝P(0－3×23<ξ≤0＋3×23)＝P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为：1－0.9974＝0.0026.3．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－(x－μi)22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则()A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3答案 D解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.4．设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，求c的值．解析由ξ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-7(含答案)
第十章 10.7 第七课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝1)等于( )A ．0 B.12C.13D.23答案 D解析 设失败率为p ，则成功率为2p ，分布列为由p ＋2p ＝1，得p ＝13，∴2p ＝23.2．设随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝i )＝a (23)i ，i ＝1,2,3，则a 的值是( )A.1738B.2738C.1719D.2719答案 B解析 1＝p (ξ＝1)＋p (ξ＝2)＋p (ξ＝3) ＝a [23＋(23)2＋(23)3] 解得a ＝2738.3．已知随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝12k (k ＝1,2，…)．则P (2<ξ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516答案 A解析 P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.二、填空题4．设随机变量X 的概率分布为则P ＝(|X －3|＝1)＝答案5 12解析13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝512.5．随机变量则①x＝答案①0②0.45③0.456．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的分布列为________．解析ξ可能取的值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C23C24C24C26＝15，P(ξ＝1)＝C13C24＋C23C12C14C24C26＝715，又P(ξ＝3)＝C13C24C26＝130，∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－15－715－130＝310.∴ξ的分布列为7.盒中装有82个来用，用ξ的分布列.答案解析“ξ＝2”所以在取球时已经将原来2个旧球全部取出，∴P(ξ＝2)＝C22C28＝128.“ξ＝3”表明原来2个旧球只取1个，∴P(ξ＝3)＝C16C12C28＝37.“ξ＝4”表明原来2个旧球1个不取．∴P(ξ＝4)＝C26C28＝1528.三、解答题8．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．解析本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解．设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为P(ξ＝0)＝C02C313C315＝2235，P(ξ＝1)＝C12C213C315＝1235，P(ξ＝2)＝C22C113C315＝135.所以ξ的分布列为9.某地有A、B、C、D其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接．．受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X 的分布列(不要求写出计算过程)．解析随机变量X10.有5元、30元、40元、50元．从中任取3支，若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求ξ的分布列．解析ξ的可能取值为30,40,50.P(ξ＝30)＝1C35＝110，P(ξ＝40)＝C23C35＝310，P(ξ＝50)＝C24C35＝35，分布列为11.从一批含有10一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列：(Ⅰ)每次取出的产品都不放回此批产品中；(Ⅱ)每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；(Ⅲ)每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中．解析(Ⅰ)随机变量X的取值为1,2,3,4，且有P(X＝1)＝1013，P(X＝2)＝313×1012＝526，P(X＝3)＝313×212×1011＝5143，P(X＝4)＝313×212×111×1010＝1286，∴X的分布列为(Ⅱ)Y 的取值为且P (Y ＝1)＝1013，P (Y ＝2)＝313×1013，P (Y ＝3)＝313×313×1013，……，P (Y ＝n )＝(313)n －1×1013，(n ＝1,2,3……)(Ⅲ)Z 的取值为1,2,3,4且P (Z ＝1)＝1013，P (Z ＝2)＝313×1113＝33132P (Z ＝3)＝313×213×1213＝72133，P (Z ＝4)＝313×213×113×1313＝6133，∴Z 的分布列为12.50名一线教师参加，(1)从这(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解析 (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C 250＝1225.选出2人使用版本相同的方法数为C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350.故2人使用版本相同的概率为：P ＝3501225＝27.(2)∵P (ξ＝0)＝C 215C 235＝317， P (ξ＝1)＝C 120C 115C 235＝60119，P (ξ＝2)＝C 220C 235＝38119， ∴ξ的分布列为13.亚洲联合馆(一)A 片区与C 片区：其中亚洲联合馆(一)包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆等6个展馆；欧洲联合馆(一)包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆等4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆(一)与欧洲联合馆(一)中的10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率；(2)记X为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆(一)的展馆的个数，写出X的分布列并求X的数学期望．解析(1)旅游团从亚洲联合馆一与欧游联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的总结果数为C410＝210，记事件A为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必须再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是C28＝28，所以P(A)＝28210＝215.(2)根据题意可知X可能的取值为0,1,2,3,4.X＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P(X＝0)＝1C410＝1210，X＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P(X＝1)＝C34C16C410＝24210，X＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P(X＝2)＝C24·C26C410＝90210，X＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P(X＝3)＝C14·C36C410＝80210，X＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P(X＝4)＝C46C410＝15210.所以XX的数学期望为EX＝0×1210＋1×24210＋2×90210＋3×80210＋4×15210＝252105. 拓展练习·自助餐1．某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．解析(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2，－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X(2)设生产的44－n件．由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥14 5，又n∈N，得n＝3，或n＝4.所以P＝C34×0.83×0.2＋C44×0.84＝0.8192.故所求概率为0.8192.2．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列．(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解析(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C k3C3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝C k3C3－k7C310，k＝0,1,2,3.所以随机变量X(2)设“取出的3”为事件A.“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝C13C23C310＝340，P(A2)＝P(X＝2)＝740，P(A3)＝P(X＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝340＋740＋1120＝31120.3．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行．求抽取次数ξ的分布列和数学期望．解析(1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，所以P(A)＝C23C26＝15.(2)ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝C13C16＝12，P(ξ＝2)＝C13C16·C13C15＝310，P(ξ＝3)＝C13C16·C12C15·C13C14＝320，P (ξ＝4)＝C 13C 16·C 12C 15·C 11C 14·C 13C 13＝120； 故ξ的分布列为Eξ＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.答：ξ的数学期望为74.4．某地区试行高考改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔合理，且每次测试通过与否互相独立．(1)求该生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束高考，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．解析 (1)记“该生考上大学”为事件A ，其对立事件为A －，则P (A －)＝C 15×(13)×(23)4＋(23)5＝112243，∴P (A )＝1－112243＝131243.(2)参加测试的次数X 的可能取值为2,3,4,5，P (X ＝2)＝(13)2＝19， P (X ＝3)＝C 12×13×23×13＝427，P (X ＝4)＝C 13×13×(23)2×13＝427，P (X ＝5)＝C 14×13×(23)3＋(23)4＝1627.故X 的分布列为：EX ＝2×19＋3×427＋4×427＋5×1627＝389.即该生考上大学的概率为131243，所求数学期望是389.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-1(含答案)
第十章10.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．5B．4C．6 D．8答案 D解析分类考虑，当公比为2时，等比数列可为：1,2,4；2,4,8，当公比为3时，可为：1,3,9，当公比为32时，可为4,6,9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有4×2＝8个．2．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．6种B．9种C．10种D．12种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．3．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有()A．9种B．16种C．20种D．28种答案 D解析当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数，当a为其他数时，b都可以取3个数．故共有28种情形．4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为() A．42 B．30C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．5．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P所有的不同映射共有()A．32个B．27个C．81个D．64个答案 D解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.6．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，先从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有()A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙B车床，丙操作A车床这1种选派方法．∴共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．7．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种答案 A解析分两类，A类选修课1门，B类选修课2门，或者A类选修课2门，B 类选修课1门，因此，共有C23·C14＋C13·C24＝30种选法，故选A.二、填空题8．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．9．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的二件物品，则他抓的结果有________种．答案10解析设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)(b2，c)，共10种．10．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有________个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数有9×9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．11．有一名同学在填报高考志愿时，某批次的志愿需从A、B、C三所大学中选择两所大学作为第一志愿和第二志愿，剩余的一所大学和其他三所大学中再选择三所作为平行志愿，则该同学在这个批次填报志愿的方式有________．答案24种解析第一志愿和第二志愿的填报方式有A23种，平行志愿的填报方式有C34种，所以该生在这个批次填报志愿的方式有A23×C34＝24种．12.如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________．答案180种解析按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)13．春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况．答案45三、解答题14．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．15．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．①若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？②若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解析①若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．②若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．16．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘．根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒．则不同的选购方式共有多少种？答案7解析可设购买60元的单片软件和70元的盒装磁盘分别为x片、y盒，依照所用资金不超过500元，来建立数学模型，从而解决问题．设购买单片软件x片，盒装磁盘y盒，则依题意有60x＋70y≤500，(x，y∈N*，有x≥3，y≥2)按购买x片分类；x＝3，则y＝2,3,4，共3种方法；x＝4，则y＝2,3，共2种方法；x＝5，则y＝2，共1种方法；x＝6，则y＝2，共1种方法．依分类计数原理不同的选购方式有N＝3＋2＋1＋1＝7(种)．答：不同的选购方式有7种．探究本题主要考查分类计数原理的灵活运用，在解题中要特别注意知识的联想和应用．拓展练习·自助餐1．已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有()A．30种B．10种C．16种D．24种(提示：按有几个开关闭合分类)答案 C解析5个开关闭合有1种接通方式；4个开关闭合有5种接通方式；3个开关闭合有8种接通方式；2个开关闭合有2种接通方式，故共有1＋5＋8＋2＝16(种)．2．已知互不相同的集合A、B满足A∪B＝{a，b}，则符合条件的A，B的组数共有________种．答案9解析当A＝Ø时，集合B＝{a，b}；当A只1个元素时，B可以有2种情况，此时有2×2＝4种情况；当A＝{a，b}时，集合B＝Ø，{a，}，{b}或{a，b}，此时有4种情况，综上可知，符合条件的A、B共有1＋4＋4＝9种．3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．答案14个解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)．则共有14个点．4．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值．答案63解析对于每一张人民币来说，都有两种选择，用或不用，而都不用则形不成币值，由分步计数原理．可得N＝2×2×2×2×2×2－1＝26－1＝63(种)5．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1205秒B．1200秒C ．1195秒D ．1190秒答案 C解析 共有A 55＝120个闪烁，119个间隔，每个闪烁需用时5秒，每个间隔需用时5秒，故共需要至少120×(5＋5)－5＝1195秒．教师备选题1．有这样一种数字游戏：在3×3的表格中，要求要每个格子中都填上1,2,3三个数字中的某一个数字，并且每一行和每一列都不能出现重复的数字．若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1(如图①)，则此游戏有________种不同的填法；若游戏开始时表格是空白的(如图②)，则此游戏共有________种不同的填法．① ②答案 4 12解析 对于图①，第1行有2种填法，其余空格有2种填法，故共有4种填法．对于图②，第1行有6种填法，其余空格有2种填法，故共有6×2＝12(种)填法．2．设直线方程为Ax ＋By ＝0，从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数为( )A ．20B ．19C ．18D ．16答案 C解析 确定直线只需依次确定系数A ，B 即可．先确定A ，有5种取法，再确定B 有4种取法，由分步乘法计数原理得5×4＝20种，但是x ＋2y ＝0与2x ＋4y ＝0,2x ＋y ＝0与4x ＋2y ＝0表示相同的直线，所以不同的直线条数为20－2＝18(条)．3．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 型(每次旋转90°仍为L 形图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案的个数是( )A ．16B ．32C ．48D ．64答案C解析 每四个小正方形图案，都可画出四个不同的L 形图案，该图中共有12个这样的正方形，故可画出不同位置L 形图案的个数为4×12＝48个．4．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的系数，如果抛物线过原点且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？解析 由抛物线过原点知c ＝0，由(－b 2a ，4ac －b 24a)在第一象限得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a >0－b 24a >0，⇒⎩⎨⎧ ab <0，a <0，∴a <0，b >0，c ＝0.由分步乘法计数原理．得N ＝3×3×1＝9.即符合条件的抛物线有9条．。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.8(含答案)
第八章 8.8 第8课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系． 设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF→＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2) ∴EF →·BC 1→＝2，记EF →，BC 1→所成为θ 则cos θ＝22×22＝12.∴EF 和BC 1所成角为60°.2．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A. 2 B ．211 C ．3 2 D ．4 2 答案 B解析 设A 、B 在x 轴上的射影分别为C 、D ，则AC ＝3，BD ＝2，CD ＝5，又AB →＝AC →＋CD →＋DB →，AC →，DB →所夹的角为60°易求得|AB→|＝(AC →＋CD →＋DB →)2＝211.3．如右图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A.105B.155C.45D.23 答案 B解析 本题考查空间向量的运算．设正方体的边长为2，建立如右图所示的坐标系，O (1,1,0)，E (0,2,1)，F (1,0,0)，D 1(0,0,2)，∴FD 1→＝(－1,0,2)，OE →＝(－1,1,1)，∴cos <FD 1→，OE →> ＝FD 1→·OE →|FD 1→|·|OE →|＝1＋0＋25·3＝155.4．已知二面角α—l —β的大小为60°，m 、n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，由m 、n 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 画出图形可得B 正确． 5.如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB:A ′B ′等于( )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:3 答案 A解析 在Rt △ABB ′中，AB ′＝AB ·sin π4＝22AB .在Rt △ABA ′中，AA ′＝AB ·sin π6＝12AB .在Rt △AA ′B ′中，A ′B ′＝AB ′2－AA ′2＝12AB . ∴AB :A ′B ′＝2:1. 6.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 、F 分别是BC 、DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33B.55C.53D.255 答案 D解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B 1(1,1,0)，设F (0,0，12)，E (12，1,1)，B (1,1,1)AB →＝(0,1,0)，B 1E →＝(－12，0,1)，AF →＝(－1,0，－12)．∵AF →·B 1E →＝(－1,0，－12)·(－12，0,1)＝0， ∴AF →⊥B 1E →，又AB →⊥B 1E →，∴B 1E →⊥平面ABF ，平面ABF 的法向量为B 1E →＝(－12，0,1)，AB 1→＝(0,1，－1)． B 1到平面ABF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·B 1E →|B 1E →|＝255. 7．等腰Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，M 为AC 中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C —BM —A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 C解析 如图，由AB ＝BC ＝1， ∠ABC ＝90°，得AC ＝ 2.∵M 为AC 中点，∴MC ＝AM ＝22， 且CM ⊥BM ，AM ⊥BM .∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角．∵AC ＝1，MC ＝MA ＝22，∴∠CMA ＝90°.8．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32B.52C.105D.1010 答案 C解析 连结A 1C 1交B 1D 1于O 点，由已知条件得C 1O ⊥B 1D 1，且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以C 1O ⊥平面BDD 1B 1.连结BO ，则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影，∠C 1BO 即为所求，OC 1＝12A 1C 1＝12AC ＝22，BC 1＝42＋22＝2 5.通过计算得sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝105.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63 答案 D解析 B B 1与平面ACD 1所成的角等于DD 1与平面ACD 1所成的角，在三棱锥D －ACD 1中，由三条侧棱两两垂直得点D 在底面ACD 1内的射影为等边三角形ACD 1的垂心即中心H ，连接D 1H ，DH ，则∠DD 1H 为DD 1与平面ACD 1所成的角，设正方体棱长为a ，则cos ∠DD 1H ＝63a a ＝63，故选D二、填空题10．正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 和SC 所成的角等于________．答案 60°解析 建立如图所示空间直角坐标系，由于AB ＝3，SA ＝2，可以求得SO ＝22.B (32，32，0)，A (32，－32，0)， C (－32，32，0)，S (0,0，22)． 由于E 为SA 的中点，∴E (34，－34，24)， ∴BE→＝(－34，－334，24)，SC →＝(－32，32，－22)， ∵BE →·SC→＝－1，|BE →|＝2，|SC →|＝ 2. ∴cos BE →，SC →＝－12×2＝－12，BE →，SC →＝120°.∴异面直线BE 与SC 所成的角为60°. 三、解答题11．已知：正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离． (1)证明建立如右图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)， B (22，22，0)，E (22，2，0)， F (2，22，0)，D 1(0,0,4)， B 1(22，22，4)．EF→＝(－2，2，0)，DB →＝(22，22，0)，DD 1→＝(0,0,4)， ∴EF →·DB →＝0，EF →·DD 1→＝0. ∴EF ⊥DB ，EF ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1.又EF ⊂平面B 1EF ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)解析 由(1)知D 1B 1→＝(22，22，0)，EF →＝(－2，2，0)，B 1E →＝(0，－2，－4) 设平面B 1EF 的法向量为n ，且n ＝(x ，y ，z )则n ⊥EF →，n ⊥B 1E →即n ·EF →＝(x ，y ，z )·(－2，2，0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·B 1E →＝(x ，y ，z )·(0，－2，－4)＝－2y －4z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝－24，∴n ＝(1,1，－24)，∴D 1到平面B 1EF 的距离d ＝|D 1B 1→·n ||n |＝|22＋22|12＋12＋(－24)2＝161717.12．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，F A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明：CD ⊥平面ABF ；(3)求二面角B －EF －A 的正切值． 解析 (1)因为四边形ADEF 是正方形，所以F A ∥ED .故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角．因为F A ⊥平面ABCD ，所以F A ⊥CD ，故ED ⊥CD .在Rt △CDE 中，CD ＝1，ED ＝22，CE ＝CD 2＋ED 2＝3，故cos ∠CED ＝EDCE ＝223.所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223. (2)过点B 作BG ∥CD ，交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°，可得BG ⊥AB .从而CD ⊥AB .又CD ⊥F A ，F A ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF .(3)由(2)及已知，可得AG ＝ 2.即G 为AD 的中点．取EF 的中点N ，连接GN .则GN ⊥EF .因为BC ∥AD ，所以BC ∥EF .过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则∠GNM 为二面角B －EF －A 的平面角．连接GM ，可得AD ⊥平面GNM ，故AD ⊥GM .从而BC ⊥GM .由已知，可得GM ＝22.由NG ∥F A ，F A ⊥GM ，得NG ⊥GM .在Rt △NGM 中，tan ∠GNM ＝GM NG ＝14.所以二面角B －EF －A 的正切值为14. 13.如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(Ⅰ)求证：BC ⊥平面P AC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成的角的余弦值； (Ⅲ)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由． 解析解法一 (Ⅰ)∵P A ⊥底面ABC ， ∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AC ， (Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(Ⅰ)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面P AC ，垂足为点E ，∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AB .又P A ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形，∴AD ＝12AB .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°.∴BC ＝12AB ，∴Rt △ADE 中，sin DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24，∴cos ∠DAE ＝144. (Ⅲ)∵DE ∥BC ，又由(Ⅰ)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面P AC .又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ， ∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC . 这时，∠AEP ＝90°.故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角．解法二 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .设P A ＝a ，由已知可得A (0,0,0)，B (－12a ，32a,0)，C (0，32a,0)，P (0,0，a )．(Ⅰ)∵AP→＝(0,0，a )，BC →＝(12a,0,0)， ∴BC →·AP →＝0，∴BC ⊥AP . 又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面P AC .(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ， ∴E 为PC 的中点，∴D (－14a ，34a ，12a )，E (0，34a ，12a )． 又由(Ⅰ)知，BC ⊥平面P AC ， ∴DE ⊥平面P AC ，垂足为点E ，∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角． ∵AD→＝(－14a ，34a ，12a )，AE →＝(0，34a ，12a )， ∴cos DAE ＝AD →·AE →|AD →|·|AE →|＝144.(Ⅲ)同解法一． 14.已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC ＝90°，RB ＝BC ＝2.点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△P AD 位置．(1)求证：BC ⊥PB ；(2)求二面角A －CD －P 的余弦值． 解析 (1)∵点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，∴AD ∥BC 且AD ＝12BC .∴∠P AD ＝∠RAD ＝∠RBC ＝90°， ∴P A ⊥AD 又P A ⊥AB ，DA ∩AB ＝A ∴P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BC∵BC ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB . ∵PB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥PB .(2)法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF . ∵RA ＝AD ＝1，∴AF ⊥RC .又由(1)知P A ⊥面ABCD ，而RC ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥RC .∵AF ∩P A ＝A ， ∴RC ⊥平面P AF .∴∠AFP 是二面角A －CD －P 的平面角．在Rt △RAD 中，AF ＝12RD ＝12RA 2＋AD 2＝22，在Rt △P AF 中，PF ＝P A 2＋AF 2＝62，∴cos ∠AFP ＝AF PF ＝2262＝33.∴二面角A －CD －P 的余弦值是33.法二：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则D (－1,0,0)，C (－2,1,0)，P (0,0,1)．∴DC→＝(－1,1,0)，DP →＝(1,0,1)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝－x ＋y ＝0n ·DP →＝x ＋z ＝0，令x ＝1，得y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 显然，P A →是平面ACD 的一个法向量P A →＝(0,0，－1)．∴cos 〈n ，P A →〉＝|n ·P A →||n |·P A →|＝13×1＝33∴二面角A －CD －P 的余弦值是33. 15.如图，在五棱锥P －ABCDE 中，P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，∠ABC ＝45°，AB ＝22，BC ＝2AE ＝4，三角形P AB 是等腰三角形．(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； (3)求四棱锥P －ACDE 的体积．解析 (1)证明：在ΔABC 中，因为∠ABC ＝45°，BC ＝4，AB ＝22，所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝8，因此AC ＝22，故BC 2＝AC 2＋AB 2 所以∠BAC ＝90°.又P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ， 所以CD ⊥P A ，CD ⊥AC ，又P A ，AC ⊂平面P AC ，且P A ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ， 所以平面PCD ⊥平面P AC .(2)解法一：因为ΔP AB 是等腰三角形， 所以P A ＝AB ＝22， 因此PB ＝P A 2＋AB 2＝4. 又AB ∥CD ，所以点B 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离， 由于CD ⊥平面P AC ，在Rt ΔP AC 中，P A ＝22，AC ＝22， 所以PC ＝4，故PC 边上的高为2，此即为点A 到平面PCD 的距离． 设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，则sin θ＝h PB ＝24＝12，又θ∈[0，π2]，所以θ＝π6.解法二：由(1)知AB ，AC ，AP 两两相互垂直，分别以AB 、AC 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于ΔP AB 是等腰三角形，所以P A ＝AB ＝22， 又AC ＝22，因此A (0,0,0)，B (22，0,0)， C (0,22，0)，P (0,0,22)， 因为AC ∥ED ，CD ⊥AC ，所以四边形ACDE 是直角梯形， 因为AE ＝2，∠ABC ＝45°，AE ∥BC ，所以∠BAE ＝135°， 因此∠CAE ＝45°，故CD ＝AE ·sin 45°＝2×22＝2， 所以D (－2，22，0)． 因此C P →＝(0，－22，22)，C D →＝(－2，0,0)， 设m ＝(x ，y ，z )是平面PCD 的一个法向量，则m ·CP →＝0，m ·CD →＝0，解得x ＝0，y ＝z ， 取y ＝1，得m ＝(0,1,1)， 又BP →＝(－22，0,22)，设θ表示向量BP →与平面PCD 的法向量m 所成的角，则cos θ＝m ·BP →|m ||BP →|＝12，所以θ＝π3，因此直线PB 与平面PCD 所成的角为π6. (3)因为AC ∥ED ，CD ⊥AC ， 所以四边形ACDE 是直角梯形， 因为AE ＝2，∠ABC ＝45°，AE ∥BC ， 所以∠BAE ＝135°，因此∠CAE ＝45°，故CD ＝AE ·sin 45°＝2×22＝2，ED ＝AC －AE ·cos 45°＝22－2×22＝2，所以S 四边形ACDE ＝2＋222×2＝3.又P A ⊥平面ABCDE ，所以V P －ACDE ＝13×3×22＝2 2.拓展练习·自助餐1.以等腰Rt △ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折起(如图)，使折起后的△ABC 恰好为等边三角形．M 为高AD 的中点，则直线AB 与CM 所成角的余弦值为( )A.22B.66C.1010 D ．－1010 答案 C 解析设直角边AB ＝AC ＝2，则BC ＝2 2. 取BD 中点N ，连结MN ，则MN ∥AB ，所以∠NMC 即为所求．∵MN ＝12AB ＝1，MC ＝102＝NC ，在△NCM 中，由余弦定理可得cos ∠NMC ＝1010.2．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 C解析 如图是三棱柱ABC －A 1B 1C 1，不妨设各棱长为1.取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，∵CC 1⊥底面ABC ，∴侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC ，又E 为BC 的中点，且△ABC 为正三角形，∴AE ⊥BC ，由两平面垂直的性质定理知，AE ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠ADE 的大小就是AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小．容易计算∠ADE ＝60°.3．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱AB 上一点，过P 点在空间作直线l ，使l 与面ABCD 和ABC 1D 1均成30°角，则这样的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 由于二面角C 1－AB －C 的大小为45°，所以可在二面角内过棱上一点P 作两条直线．均能与平面ABCD 和ABC 1D 1成30°角．4．P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM 、PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为________．答案 90°解析 不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ，如图： ∵∠EPM ＝∠EPN ＝45°，∴PE ＝22a ，PF ＝22b ，∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN→－PF →) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF→ ＝ab cos60°－a ×22b cos45°－22ab cos45°＋22a ×22b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0， ∴EM →⊥FN →，∴二面角α－AB －β的大小为90°. 另外，本题也可不用向量法，由二面角的定义求解． 5.如右图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12.求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值．解析 以A 为坐标原点，BA 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 建立如图所示的空间直角坐标系，则S (0,0,1)，C (－1,1,0)，D (0，12，0)．∴SC→＝(－1,1，－1)，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥SC→，n ⊥SD →， ∴n ·SC →＝0，n ·SD →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －z ＝0，y 2－z ＝0.解得x ＝z ，y ＝2z .令z ＝1，则n ＝(1,2,1)．又∵平面SAB 的法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， ∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n |·|AD →|＝0＋1＋06×12＝63.由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角．∴所求二面角的大小为arccos 63. 6.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ，∠ABC ＝120°，E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使平面A ′DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ′C 的中点．(1)求证：BF ∥平面A ′DE ；(2)设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值．解析(1)取A ′D 的中点G ，连结GF ，GE ，由条件易知FG ∥CD ，FG ＝12CD ，BE ∥CD ，BE ＝12CD ，所以FG ∥BE ，FG ＝BE ，故四边形BEGF 为平行四边形， 所以BF ∥EG .因为EG ⊂平面A ′DE ，BF ⊄平面A ′DE ， 所以BF ∥平面A ′DE .(2)在平行四边形ABCD 中，设BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，AD ＝AE ＝EB ＝a ，连CE ，因为∠ABC ＝120°，在△BCE 中，可得CE ＝3a ，在△ADE 中，可得DE ＝a ， 在△CDE 中，因为CD 2＝CE 2＋DE 2，所以CE ⊥DE ， 在正三角形A ′DE 中，M 为DE 中点，所以A ′M ⊥DE . 由平面A ′DE ⊥平面BCD ，可知A ′M ⊥平面BCD ，A ′M ⊥CE .取A ′E 的中点N ，连结NM ，NF ，所以NF ⊥DE ，NF ⊥A ′M . 因为DE 交A ′M 于M ，所以NF ⊥平面A ′DE ， 则∠FMN 为直线FM 与平面A ′DE 所成角．在Rt △FMN 中，NF ＝32a ，MN ＝12a ，FM ＝a ，则cos ∠FMN ＝12，所以直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值为12. 7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； (2)证明AF ⊥平面A 1ED ；(3)求二面角A 1－ED －F 的正弦值．解析 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝1，依题意得D (0,2,0)，F (1,2,1)，A 1(0,0,4)，E (1，32，0)．(1)易得EF →＝(0，12，1)，A 1D →＝(0,2，－4)． 于是cos EF →，A 1D →＝EF →·A 1D →|EF →||A 1D →|＝－35.所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为35.(2)连接ED ，易知AF →＝(1,2,1)，EA 1→＝(－1，－32，4)，ED →＝(－1，12，0)，于是AF →·EA 1→＝0，AF →·ED→＝0.因此，AF ⊥EA 1，AF ⊥ED .又EA 1∩ED ＝E ， 所以AF ⊥平面A 1ED .(3)设平面EFD 的一个法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·EF →＝0，u ·ED →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y ＋z ＝0，－x ＋12y ＝0.不妨令x ＝1，可得u ＝(1,2，－1)．由(2)可知，AF →为平面A 1ED 的一个法向量． 于是cos <u ，AF →>＝u ·AF →|u ||AF →|＝23，从而sin <u ，AF→>＝53.所以二面角A 1－ED －F 的正弦值为53.教师备选题1．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达C 1点，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是( )A ．－34B ．－34 C.34 D.34 答案 D解析 如图，设正方形边长为1，则BC ＝BC 1＝1.∵AD ∥BC ，∴∠CBC 1就是异面直线AD 与BC 1所成的角．在△BC 1C 中，CC 1＝22，使用余弦定理，即可得出cos ∠CBC 1＝34.2．如图所示，已知四面体顶点A (2,3,1)，B (4,1，－2)，C (6,3,7)和D (－5，－4,8)，求从顶点D 所引的四面体的高h ＝________.答案 11解析 由题意知AB→＝(2，－2，－3)，AC→＝(4,0,6)，DA →＝(7,7，－7)． 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由AB →·n ＝0及AC →·n ＝0得⎩⎨⎧2x －2y －3z ＝04x ＋6z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z ，y ＝－3z . 令z ＝2，则有n ＝(－3，－6,2)．又∵DA →·n ＝(7,7，－7)·(－3，－6,2)＝－77.而|n |＝7，∴h ＝|DA →·n ||n |＝11. 3.如图所示，ABCD —EFGH 为边长等于1的正方体，若点P 在正方体的内部且满足AP →＝34AB →＋12AD →＋23AE →.则点P 到直线AB 的距离为________．答案 56 解析建立空间坐标系，则B (0,1,0)，D (－1,0,0)，A (0,0,0)，E (0,0,1)， AP→＝34AB →＋12AD →＋23AE → ＝(－12，34，23)，P 点到AB 的距离为(－12)2＋(23)2＝56.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.1(含答案)
第二章 2.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y 1 －1B.x 奇数 0 偶数 y 1 0 －1C.x 有理数 无理数 y 1 －1D.x 自然数 整数 有理数 y 1 0 －1答案 C解析 A 中0既是非负数又是非正数；B 中0又是偶数；D 中自然数也是整数，也是有理数．2．函数y ＝11－1x的定义域是( ) A ．{x |x ∈R 且x ≠0} B ．{x |x ∈R 且x ≠1}C ．{x |x ∈R 且x ≠0且x ≠1}D ．{x |x ∈R 且x ≠0或x ≠1} 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠01－1x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ≠1，故选C 3．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝2x ，④y ＝log 2|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案 D解析 对于①、②，M 中的2,4两元素在N 中找不到象与之对应，对于③，M 中的－1,2,4在N 中没有象与之对应．故选D.4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 B解析 要使g (x )有意义，则⎩⎨⎧0≤2x ≤2x －1≠0，解得0≤x <1，故定义域为[0,1)，选B.5．定义x ⊙y ＝3x －y ，则a ⊙(a ⊙a )等于( ) A ．－a B ．3a C ．a D ．－3a 答案 C解析 由题意知：a ⊙a ＝3a －a ，则a ⊙(a ⊙a )＝3a －(a ⊙a )＝3a －(3a －a )＝a .选C.6．设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝12，且f (2010)＝2，则f (0)等于( )A ．12B ．6C ．3D ．2 答案 B解析 ∵f (x ＋2)＝12f (x )，∴f (x ＋4)＝12f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )的周期为4，f (2010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.又f (2)＝12f (0)，∴f (0)＝122＝6.7．图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2) B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2) C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2) D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2) 答案 B解析 当x ∈[0,1]时，y ＝32x ＝32－32(1－x )＝32－32|x －1|；当x ∈[1,2]时，y ＝32－01－2(x －2)＝－32x ＋3＝32－32(x －1)＝32－32|x －1|.因此，图中所示的图象所表示的函数的解析式为y ＝32－32|x －1|.8．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )答案 A 解析 f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (1≤2x )2x(1>2x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)2x (x <0)，结合图象，选A .9已知蟑螂活动在如图所示的平行四边形OABC 内，现有一种利用声波消灭蟑螂的机器，工作时，所发出的圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播，若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设OD ＝x (0≤x ≤a )，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 本题主要考查应用函数知识解决实际问题的能力．由图象知，函数先增得快，后增得慢，故选D.二、填空题10．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________.答案 2解析 由图及题中已知可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －2)，0≤x ≤2x －2，2<x ≤6，f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2.11．下图中建立了集合P 中元素与集合M 中元素的对应f .其中为映射的对应是________．答案 (2)(5)解析 (1)中：P 中元素－3在M 中没有象．(3)中，P 中元素2在M 中有两个不同的元素与之对应．(4)中，P 中元素1在M 中有两个不同的元素与之对应．12．(07·北京)已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 答案 1,213．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，(x ≤2000)x －100，(x >2000)，则f [f (2010)]＝________.答案 －1解析 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，(x ≤2000)x －100，(x >2000)， 得f (2010)＝2010－100＝1910，f (1910)＝2cos(π3×1910)＝2cos(636π＋2π3)＝2cos 2π3＝－1，故f [f (2010)]＝－1.三、解答题14．一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以S cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y (cm)与注入时间t (s)的函数关系式及定义域．15．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值． 答案(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋2)2，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)11,9 (3)2或－14 解析(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)2，x ≥1，x 2＋2，x <1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去)． 若x <1，则x 2＋2＝16， 解得x ＝14(舍去)或x ＝ －14.综上，可得x ＝2或x ＝－14.16．函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式．答案 (1)－2 (2)f (x )＝x 2＋x －2 解析 用赋值法(1)由已知f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)·x . 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2. 又∵f (1)＝0，∴f (0)＝－2.(2)令y ＝0，得f (x )－f (0)＝(x ＋1)x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.拓展练习·自助餐1．下图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x＝0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D 图可以表示函数y＝f(x)，选D.2．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为___________________．答案 1解析[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.3．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )答案 C解析 函数在[0，π]上的解析式为 d ＝12＋12－2×1×1×cos l ＝2－2cos l ＝4sin 2l 2＝2sin l 2.在[π，2π]上的解析式为d ＝2－2cos (2π－l )＝2sin l2，故函数的解析式为d ＝2sin l2，l ∈[0,2π]．探究 这类题目也是近年来的一个小热点．解决的基本方法有二：一是通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；二是求出具体的函数解析式．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤0，x ，x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 当x 0≤0时，由－x 0－1>1得x 0<－2，∴x 0<－2；当x 0>0时，由x 0>1，∴x 0>1，∴x 0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．5．国家以前规定个人稿费纳税的办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税．(1)根据上述规定建立某人所得稿费x (元)与纳税额y (元)之间的函数关系式；(2)某人出了一本书，共纳税660元，则这个人的稿费是多少元？解析 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (0≤x ≤800)，0.14(x －800) (800<x ≤4000)0.11x (x >4000).(2)令0.14(x －800)＝660，得x ＝551427≈5514.29∉(800,4000]． 令0.11x ＝660，得x ＝6000∈(4000，＋∞)． 故稿费是6000元．探究 本类题是分段函数的应用中最常见的问题，写解析式时按规定的税率表达即可，应注意超过4000元的要按全部稿费的11%纳税，第(2)问则利用了方程的方法来求解．教师备选题1．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1] 答案 C解析 由⎩⎨⎧－x 2－3x ＋4＞0x ＋1＞0得－1＜x ＜1，即该函数的定义域是(－1,1)，选C.2．测量大气温度T 时，发现在高空11千米以内，离地面距离越远，温度T 越低，大约每升高1千米降温6℃，在11千米以外的上空，其温度几乎不变．如果地面温度为19℃，则T 与h 之间的函数关系是________．答案 T ＝⎩⎨⎧19－6h ，0≤h ≤11，－47，h >113．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．答案 (－∞，1]解析 由题意得f (x )＝⎩⎨⎧x ， x ≤1，2－x ，x >1.画函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≤0)4sin x (0<x ≤π)，则集合M ＝{x |f (f (x ))＝0}中元素的个数是________．答案 5解析 结合函数表达式知若f (f (x ))＝0得f (x )＝0或f (x )＝π.若f (x )＝0，则x ＝0或x ＝π；若f (x )＝π，则x 2＝π(x ≤0)⇒x ＝－π或4sin x ＝π(0<x ≤π)⇒有2个根．故集合M 中有5个元素．5．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.答案 12解析 因为f (1)＝14，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝f (1)＋f (1)，所以f (0)＝12.令y ＝1，得4f (x )f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)，所以f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )．所以f (x ＋2)＝－f (x －1)，即f (x ＋3)＝－f (x )．所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )周期为6，故f (2010)＝f (0)＝12.6．为了预防甲型H1N1型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，116t －0.1，t >0.1 (2)0.6 解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1) (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：1.3(含答案)
第一章 1.3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列全称命题中假命题的个数()①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x>3；③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；④任何直线都有斜率．A．1B．2C．3 D．4答案 C解析①②④是假命题．2．下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B3．下列命题中正确的是()A．对所有正实数t，有t<tB．不存在实数x，使x<4，且x2＋5x－24＝0C．存在实数x，使|x＋1|≤1且x2>0D．不存在实数x，使x3＋x＋1＝0答案 C解析选项A不正确，如t＝14时，有t>t；选项B不正确，如x＝3<4，而x2＋5x－24＝0；选项D不正确，设f(x)＝x3＋x＋1，f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，故方程x3＋x＋1＝0在(－1,0)上至少有一个实数根．对于C，x＝－1时即满足条件，故选C.4．已知命题p：∀x∈R，x2＋x－6<0，则命题綈p是()A．∀x∈R，x2＋x－6≥0B．∃x∈R，x2＋x－6≥0C．∀x∈R，x2＋x－6>0D．∃x∈R，x2＋x－6<0答案 B解析全称命题的否定为特称命题，选B.5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)答案 C解析由题知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，选C.6．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q 为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2答案 A解析若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，则綈p：∀x∈R，mx2＋1>0与綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0均为真命题．根据綈p：∀x∈R，mx2＋1>0为真命题可得m≥0，根据綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.二、填空题7．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案∃x0，y0∈R，x0＋y0>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假8．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠09若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．答案－22≤a≤2 2解析因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤2 2.10．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R 为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．答案q1，q4解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1，q4.11．已知：p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为______________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1∴綈p：－1≤x≤212．设命题p：若a>b，则1a<1b；命题q：1ab<0⇔ab <0.给出下面四个复合命题：①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．其中真命题的个数有________个．答案2个解析p假，q真，故①④真三、解答题13．已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m 的取值范围．答案 －2≤m ≤－1解析 2x >m (x 2＋1)可化为mx 2－2x ＋m <0.若p ：∀x ∈R,2x >m (x 2＋1)为真，则mx 2－2x ＋m <0对任意的x ∈R 恒成立．当m ＝0时，不等式可化为－2x <0，显然不恒成立；当m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，4－4m 2<0，∴m <－1.若q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0为真，则方程x 2＋2x －m －1＝0有实根，∴4＋4(m ＋1)≥0，∴m ≥－2.又p ∧q 为真，故p 、q 均为真命题． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1，m ≥－2，∴－2≤m <－1. 14．已知命题p ：|x 2－x |≥6; q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“綈q ”同时为假命题，求x 的值．答案 －1,0,1,2解析 ∵“p 且q ”为假，∴p 、q 中至少有一个命题为假命题；又“綈q ”为假，∴q 为真，从而知p 为假命题故有⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |＜6，x ∈Z 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6＜0，x 2－x ＋6＞0，x ∈Z得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜3，x ∈R ，x ∈Z .∴x 的值为：－1,0,1,2 15．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋14a )的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x ＜a 对一切正实数均成立．如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．答案 0≤a ≤1解析 若命题p 为真，即ax 2－x ＋14a ＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＜0，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞01－a 2＜0，∴a ＞1.令y ＝3x －9x ＝－(3x －12)2＋14，由x ＞0得3x ＞1，∴y ＝3x －9x 的值域为(－∞，0)．∴若命题q 为真，则a ≥0.由命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，得命题p 、q 一真一假．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1.拓展练习·自助餐1．下列命题中正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否定为：“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”D ．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1≥0答案 B解析 若p ∨q 为真命题，则p 、q 有可能一真一假，此时p ∧q 为假命题，故A 错；易知由“x ＝5”可以得到“x 2－4x －5＝0”，但反之不成立，故B 正确；选项C 错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D 错．2．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根答案 C解析 特称命题的否定是全称命题．3．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＞3”的否定是________．答案 存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3”4．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：函数y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤23B ．0<a <12C.12<a ≤23D.12<a <1答案 C解析 命题p 等价于3a 2≤1,3a ≤2，即a ≤23.命题q ：由函数y ＝(2a －1)x 为减函数得：0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以取交集得12<a ≤23，因此选C.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.6(含答案)
第八章 8.6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知向量a ＝(8，12x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x >0.若a ∥b ，则x 的值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0 答案 B解析 因x ＝8,2,0时都不满足a ∥b .而x ＝4时，a ＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b ，∴a ∥b .另解：a ∥b ⇔存在λ>0使a ＝λb ⇔(8，x2，x )＝(λx ，λ，2λ)⇔⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝8x 2＝λx ＝2λ⇔⎩⎨⎧λ＝2x ＝4.∴选B. 2．已知点O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA→＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA→ B.OB → C.OC → D.OA →或OB → 答案 C解析 根据题意得OC→＝12(a －b )，∴OC →，a ，b 共面．3．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB→＋12 (BD →＋BC→)等于( ) A.AG→ B.CG → C.BC→ D.12BC → 答案 A解析 依题意有 AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12·2BG →＝AG →.4．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形 答案 D解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．5．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA→＋OB →＋OC →＝λOG→，则λ等于( ) A ．1 B ．3 C.13 D ．2 答案 B解析 若设BC 边的中点为M ，则OA →＋OB →＋OC →＝OA →＋2OM →＝OG →＋GA →＋2OM →＝OG→＋2MG →＋2OM →＝3OG →，而OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，所以λ＝3. 6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，则EF 与BD 1所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0° 答案 D解析 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A 1(a,0，a )，D (0,0,0)，A (a,0,0)，C (0，a,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，∴DA 1→＝ (a,0，a )， AC →＝(－a ，a,0)，BD 1→＝(－a ，－a ，a )． ∵EF 是直线AC 与A 1D 的公垂线． ∴EF →⊥DA 1→，EF →⊥AC →.设EF →＝(x ，y ，z )， ∴EF →·DA 1→＝(x ，y ，z )·(a,0，a )＝ax ＋az ＝0，∴EF →·AC →＝(x ，y ，z )·(－a ，a,0)＝－ax ＋ay ＝0. ∵a ≠0，∴x ＝y ＝－z .∴EF →＝(x ，x ，－x )．∴BD 1→＝－a xEF →. ∴BD1→∥EF →，即BD 1∥EF . 二、填空题 7.在四面体O －ABC 中，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →) ＝OA →＋14×(OB→－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题：①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0. ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°④此正方体体积为：|AB →·AA 1→·AD →|则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号)． 答案 ③④解析 ③AD 1与A 1B 两异面直线夹角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，A 1B→＝D 1C →，注意方向．④∵AB →·AA 1→＝0.正确的应是|AB →|·|AA 1→|·|AD→|. 9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱C 1D 1上移动，则|OP |的最小值为____．答案 5 解析以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则O (1,1,0)．设P (x,1,1)(0≤x ≤2)．则|OP |＝ (1－x )2＋( 1－2) 2＋ (0－2) 2 ＝( x －1) 2＋5.所以当x ＝1，即P 为C 1D 1中点时，|OP |取最小值 5.10．已知空间四边形ABCD ，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD→＝________.答案 0解析 AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝AB →(AD →－AC →)＋BC →·AD →＋CA →·BD → ＝AB →·AD →－AB →·AC →＋BC →·AD →＋CA →·BD → ＝AD →·(AB →＋BC →)－AC →(AB →＋BD →) ＝AD →·AC →－AC →·AD→＝0. 11．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝ (1＋t )2＋ (2t －1 )2三、解答题12．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a .求证：A ′B ⊥AC ′.解析 解法1 A ′B →＝AB →－AA ′→，AC′→＝AB →＋AA ′→＋AD →， ∴A ′B →·AC ′→＝(AB →－AA ′→)(AB →＋AA ′→＋AD →) ＝AB 2→＋AB →·AA ′→＋AB →·AD →－AA ′→·AB →－AA ′2→－AA ′→·AD → 由已知：|AB →|＝|AA ′→|＝a ，知AB 2→＝AA ′2→ 又AB →·AA ′→＝AB →·AD →＝AA ′→·AD→＝0 ∴A ′B →·AC′→＝0，即A ′B ⊥AC ′. 解法2 建立空间直角坐标系，也易证．13．如图所示，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是(32，12，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD→的坐标；(2)设向量AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．解析(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ， 在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin30°＝32.OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝12.∴D 点坐标为(0，－12，32)，即向量OD→的坐标为(0，－12，32)．OB→＝(0，－1,0)，OC →＝(0,1,0)． ∴AD→＝OD →－OA →＝(－32，－1，32)， BC→＝OC →－OB →＝(0,2,0)． 设向量AD→和BC →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·BC→|AD →||BC →|＝－32×0＋ (－1) ×2＋32×0(－32 )2＋ (－1 )2＋ （32 ）2·02＋22＋02＝－210＝－1510.∴cos θ＝－105.14．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C ，求证：AB 1＝A 1C .解析 ∵A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →，BC 1→＝BC →＋CC 1→，A 1C →·BC 1→＝(A 1C 1→＋C 1C →)·(BC→＋CC 1→)＝A 1C 1→·BC →－|C 1C →|2＝0，∴|C 1C →|2＝A 1C 1→·BC→. 同理，AB 1→＝AB →＋BB 1→， BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→，AB 1→·BC 1→＝AB →·BC →＋|CC 1→|2＝0(∵BB 1→＝CC 1→)， ∴AB →·BC →＋A 1C 1→·BC→＝0. 又A 1C 1→＝AC →，∴BC →·(AB →＋AC →)＝0. 设D 为BC 的中点，连AD ，则AB→＋AC →＝2AD →.∴2BC →·AD →＝0，∴BC ⊥AD ，∴AB ＝AC .又A 1A ＝B 1B ，∴Rt △A 1AC ≌Rt △B 1BA (SAS )， ∴A 1C ＝AB 1.15．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a ·b 以及a 与b 所成角的余弦值，并确定λ、μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．解析 ∵2a ＋3b ＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(12,13,16)， 3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21， |a |＝32＋52＋ （－4 ）2＝50， |b |＝22＋12＋82＝69，由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0知，只要λ，μ满足λ＝2μ即可使λa ＋μb 与z 轴垂直．教师备选题1．如右图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN→＝2MG →，现用基向量OA →，OB →，OC→表示向量OG →，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x 、y 、z 的值分别是( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13 D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13 答案 D解析 因为GN→＝2MG →，所以MG →＝23MN →，所以OG→＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23(12OB →＋12OC →－12OA →) ＝12OA →＋13OB →＋13OC →－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →，故选D.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成60°角，求B 、D 间的距离．解析 ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD →＝0.同理BA →·AC→＝0.∵AB 和CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD→＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·CD→ ＝3＋2×1×1×cos 〈BA→，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°，2 〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD→|＝2或2，即B 、D 间的距离为2或 2.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.1(含答案)
第八章8.1 第1课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体的对角线是()A．23B．3 2C．6 D. 6答案 D解析设长方体共一顶点的三棱长分别为a、b、c，则ab＝2，bc＝3，ac＝6，解得：a＝2，b＝1，c＝3，故对角线长l＝a2＋b2＋c2＝ 6.2．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为() A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π)(3π＋2)答案 C解析分清哪个为母线，哪个为底面圆周长，应分类讨论．3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．2 2 B.23 3C.423 D.433答案 D解析由题意知V＝43πR3＝32π3，∴R＝2，外接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a，则体对角线l＝3a＝4，a＝43 3.4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2 B.73πa2C.113πa2D．5πa2答案 B解析 如图，O 1，O 分别为上、下底面的中心，D 为O 1O 的中点，则DB 为球的半径，有r ＝DB ＝OD 2＋OB 2＝a 24＋a 23＝7a 212，∴S 表＝4πr 2＝4π×7a 212＝73πa 2. 5．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为( )A ．7 3B ．6 3C ．3 3D ．9 3 答案 A解析 原正四面体的表面积为4×934＝93，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×34＝23，故所得几何体的表面积为7 3.故选A.6.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．0 B．8C．奥D．运答案 B7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积()A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关答案 D解析由于点Q到直线A1B1的距离为22，EF＝1，故ΔEFQ的面积为定值，所以这个三角形的面积与x，y无关，由于点P到平面EFQ的距离等于点P到平面A1B1CD的距离，这个距离等于点P到直线A1D的距离，等于22z，故四面体PEFQ的体积为13×12×1×22×22z＝13z，故四面体PEFQ的体积只与z有关，与x，y无关．8．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.5π：6B.6π：2C．π：2 D．5π：12答案 B解析方法一：作过正方体对角面的截面，如图，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝2 2a.在Rt△C′CO中，由勾股定理得CC′2＋OC2＝OC′2，即a2＋(22a)2＝R2，∴ R＝62a，∴V半球＝23πR3＝23π(62a)3＝62πa3，V正方体＝a3.因此V半球：V正方体＝62πa3:a3＝6π:2.方法二：将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径，设原正方体棱长为a，球的半径是R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，∴R＝6 2a.从而V半球＝23πR3＝23π(62a)3＝62πa3，V正方体＝a3.因此V 半球:V 正方体＝62πa 3:a 3＝6π:2.9.如图所示，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上．如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是( )A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π 答案 D 二、填空题 10.如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为________．解析 方法一 设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ， 则长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc .又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a .∴V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′DD ′·CD ＝16abc .则剩余部分的几何体积V 剩＝abc －16abc ＝56abc . 故V 棱锥C －A ′D ′D ∶V 剩＝16abc ∶56abc ＝1∶5.方法二 已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′－BCC ′B ′，设它的底面ADD ′A ′面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A ′DD ′的底面面积为12S ，高是h ， 因此，棱锥C －A ′DD ′的体积V C －A ′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh .余下的体积是Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为 16Sh ∶56Sh ＝1∶5.11．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．答案 22π3解析 因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.12．已知A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)，D (0,3)，四边形ABCD 绕y 轴旋转210°，则所得几何体的体积为________．答案35π12解析 如图，∵V 圆锥＝13(π·2)2·2＝83π.V 圆台＝13π·1·(22＋2×1＋12)＝73π.∴四边形ABCD 绕y 轴旋转360°所得几何体的体积为8π3＋7π3＝5π.∴绕y 轴旋转210°所得几何体的体积为210360×5π＝35π12.13．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为________．答案 4π3 三、解答题14．已知正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为多少？解析 设正四棱锥S －ABCD 的底边长为2x ，则AC ＝BD ＝22x ，高h ＝12－2x 2，所以体积V ＝13×4x 212－2x 2.∴V 2＝169x 4(12－2x 2)，∴(V 2)′＝64×129x 3－643x 5，由(V 2)′＝0，得x ＝2.15．已知六棱锥P －ABCDEF ，其中底面为正六边形，点P 在底面上的投影为正六边形中心，底面边长为2cm ，侧棱长为3cm ，求六棱锥P －ABCDEF 的体积．分析 由已知条件可以判断六棱锥为正六棱锥，要求其体积，求出高即可． 解析如图，O 为正六边形中心，则PO 为六棱锥的高，G 为CD 中点，则PG 为六棱锥的斜高，由已知得：CD ＝2cm ，则OG ＝3，CG ＝1，在Rt △PCG 中，PC ＝3，CG ＝1，则 PG ＝PC 2－CG 2＝2 2.在Rt △POG 中，PG ＝22，OG ＝3，则 PO ＝PG 2－OG 2＝ 5.V P －ABCDEF ＝13S ABCDEF ·PO ＝13×6×34×22×5＝215.16．棱长为a 的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积． 解析以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正方体，则该正四面体的外接球也就是正方体的外接球．由图知正方体的棱长为22a ，正方体的对角线长为62a ，设正四面体的外接球的半径为R ，则2R ＝62a ，∴R ＝64a ，于是球的表面积S ＝4π·(64a )2＝32πa 2.拓展练习·自助餐1．正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2 答案 C 解析如图，设棱锥的高为h ，V D -GAC ＝V G -DAC ＝13S △ADC ·12h ， V P -GAC ＝12V P -ABC ＝V G -ABC ＝13S △ABC ·h2. 又S △ADC ∶S △ABC ＝2∶1， 故V D -GAC ∶V P -GAC ＝2∶1.2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使体积最大，则高应为________．答案 2033解析 设圆锥底面半径为r ，高为h ，则h 2＋r 2＝202，∴r ＝400－h 2，∴圆锥体积V ＝13πr 2h ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)，令V ′＝13π(400－3h 2)＝0得h ＝2033，当h <2033时，V ′>0；当h >2033时，V ′<0，∴h ＝2033时，体积最大． 3.在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm ，母线长最短50 cm 、最长为80 cm ，则斜截圆柱侧面面积S ＝________cm 2.答案 2600π4．把一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．答案 18a 2教师备选题1．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是________．图1图2答案3 2a解析如图1中容器内液面的高度为h，液体的体积为V，则V＝S△ABCh，又如题图2中液体组成了一个直四棱柱，其底面积为34S△ABC，高度为2a，则V＝34S△ABC·2a，∴h＝34S ABC·2aS△ABC＝32a，故填32a.2．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，长度为2的线段MN 的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P 的轨迹(曲面)与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为______．答案π6解析由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以DD1⊥DN，故三角形DMN是直角三角形，斜边MN＝2，又因为P为MN中点，所以DP＝1，即P点到定点D 的距离等于常数1，因此P点的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面被正方体所截得的部分，所以所求几何体的体积V＝18×43π×13＝π6.3．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A.26 B.23 C.33 D.23答案 B解析由正方体的对称性可知，任意两个面的中心的连线长度相等，故所得凸多面体为两个共底的特殊正四棱锥，且其棱长均为1，如图，在正四棱锥P－O1O2O3O4中，底面O1O2O3O4为正方形，易得其面积为1，在三角形PO2O4中，易求得其高为22，故VP－O1O2O3O4＝13·1·22，从而所求凸多面体的体积为2VP－O1O2O3O4＝23，选B.4.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．答案2 3解析过A、B两点分别作AM、BN垂直于EF，垂足分别为M、N，连结DM、CN，可证得DM⊥EF、CN⊥EF，多面体ABCDEF分为三部分，多面体的体积为V ABCDEF＝V AMD－BNC＋V E－AMD＋V F－BNC，∵NF＝12，BF＝1，∴BN＝32.作NH垂直于BC于上H，则H为BC的中点，则NH＝2 2.∴S△BNC ＝12·BC·NH＝12×1×22＝24.∴V F－BNC ＝13·S△BNC·NF＝224，V E－AMD＝V F－BNC＝224，V AMD－BNC＝S△BNC·MN＝24.∴V ABCDEF＝2 3.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.7(含答案)
第八章 8.7 第7课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知AB→＝(2,4,5)、CD →＝(3、x 、y )、若AB →∥CD →、则( )A ．x ＝6、y ＝15B ．x ＝3、y ＝152C ．x ＝3、y ＝15D ．x ＝6、y ＝152 答案 D解析 ∵AB→∥CD →、∴32＝x 4＝y 5、∴x ＝6、y ＝152.2．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)、则平面ABC 的一个单位法向量是( )A ．(33、33、－33)B ．(33、－33、33)C ．(－33、33、33)D ．(－33、－33、－33) 答案 D解析 AB→＝(－1,1,0)、AC →＝(－1,0,1)设平面ABC 的一个法向量n ＝(x 、y 、z ) ∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝0－x ＋z ＝0 令x ＝1、则y ＝1、z ＝1、∴n ＝(1,1,1)单位法向量为：±n|n |＝±(33、33、33)．3．设点C (2a ＋1、a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1、－3,2)、B (8、－1,4)确定的平面上、则a 等于( )A ．16B ．4C ．2D ．8 答案 A解析 P A →＝(－1、－3,2)、PB →＝(6、－1,4)．根据共面向量定理、设PC →＝xP A →＋yPB→(x 、y ∈R )、则 (2a －1、a ＋1,2)＝x (－1、－3,2)＋y (6、－1,4) ＝(－x ＋6y 、－3x －y,2x ＋4y )、∴⎩⎨⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7、y ＝4、a ＝16.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、O 是底面ABCD 的中心、M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点、则直线OM ( )A ．是AC 和MN 的公垂线B ．垂直于AC 、但不垂直于MN C ．垂直于MN 、但不垂直于ACD ．与AC 、MC 都不垂直 答案 A解析 建立空间直角坐标系、通过向量运算可得． 5．(2011·中山模拟)△ABC 的顶点分别为A (1、－1,2)、B (5、－6,2)、C (1,3、－1)、则AC 边上的高BD 等于( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5 答案 A解析 设AD →＝λAC →、D (x 、y 、z )、∴由AC →·BD →＝0、得λ＝－45、∴BD→＝(－4、95、125)、∴|BD →|＝5.6．如图所示、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、E 、F 分别在A 1D 、AC 上、且A 1E ＝23A 1D 、AF ＝13AC 、则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D 、AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B解析 设AB ＝1、以D 为原点、DA 所在直线为x 轴、DC 所在直线为y 轴、DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．则A 1(1,0,1)、D (0,0,0)、A (1,0,0)、C (0,1,0)、E (13、0、13)、F (23、13、0)、B (1,1,0)、D 1(0,0,1)、A 1D →＝(－1,0、－1)、AC →＝(－1,1,0)、EF →＝(13、13、－13)、BD 1→＝(－1、－1、1)、EF →＝－13BD 1→、A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0、从而EF ∥BD 1、EF ⊥A 1D 、EF ⊥AC .7．已知AB →＝(1,5、－2)、BC →＝(3,1、z )、若AB →⊥BC →、BP →＝(x －1、y 、－3)、且BP ⊥平面ABC 、则实数x 、y 、z 分别为( )A.337、－157、4B.407、－157、4C.407、－2,4 D ．4、407、－15 答案 B解析 ∵AB →⊥BC →、∴AB →·BC →＝0、即3＋5－2z ＝0、得z ＝4、又BP ⊥平面ABC 、∴BP ⊥AB 、BP ⊥BC 、BC→＝(3,1,4)、 则⎩⎨⎧x －＋5y ＋6＝0，x －＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.二、填空题8．设平面α与向量a ＝(－1,2、－4)垂直、平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直、则平面α与β位置关系是________．答案 垂直解析 由已知a 、b 分别是平面α、β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0、 ∴a ⊥b 、∴α⊥β.9．若|a |=17、b ＝(1,2、－2)、c ＝(2,3,6)、且a ⊥b 、a ⊥c 、则a ＝________.答案 (－185、2、15)或(185、－2、－15) 解析 设a ＝(x 、y 、z )、 ∵a ⊥b 、∴x ＋2y －2z ＝0.① ∵a ⊥c 、∴2x ＋3y ＋6z ＝0.② ∵|a |＝17.∴x 2＋y 2＋z 2＝17.③ ∴联立①②得x ＝－18z 、y ＝10z 、代入③得425z 2＝17、z ＝±15.∴a ＝(－185、2、15)或(185、－2、－15)．10．设a ＝(1,2,0)、b ＝(1,0,1)、则“c ＝(23、－13、－23)”是“c ⊥a 、c ⊥b 且c 为单位向量”的________．(将正确的序号填上)．①充要条件②充分不必要条件 ③必要不充分条件④既非充分条件也非必要条件 答案 ②解析 当c ＝(23、－13、－23)时、c ⊥a 、c ⊥b 且c 为单位向量、反之则不成立． 三、解答题11．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、在棱DD 1上是否存在一点P 使B 1D ⊥平面P AC?解析以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系设存在点P (0,0、z )、AP →＝(－a,0、z )、AC →＝(－a 、a,0)、DB 1→＝(a 、a 、a )．∵B 1D ⊥平面P AC 、 ∴DB 1→·AP →＝0、DB 1→·AC →＝0. ∴－a 2＋az ＝0.∴z ＝a 、即点P 与D 1重合．∴存在一点P 、即点P 与D 1重合时、DB 1⊥平面P AC . 12.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、E 是棱BC 的中点、试在棱CC 1上求一点P 、使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .解析 如图所示、以D 为原点、直线DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1、CP ＝a 、则P (0,1、a )、A 1(1,0,1)、B 1(1,1,1)、E (12、1,0)、C 1(0,1,1)、∴A 1B 1→＝(0,1,0)、A 1P →＝ (－1,1、a －1)、DE →＝(12、1,0)、DC 1→＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(x 1、y 1、z 1)、 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B 1→＝0， n 1·A 1P →＝0即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋(a －1)z 1＝0.令z 1＝1、得x 1＝a －1、∴n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2、y 2、z 2)、则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0.令x 2＝－2、y 2＝1、z 2＝－1、∴n 2＝(－2,1、－1)． ∵面A 1B 1P ⊥面C 1DE 、∴n 1·n 2＝0⇒－2(a －1)－1＝0、得a ＝12.∴当P 为C 1C 的中点时、平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .13．已知在四棱锥P －ABCD 中、底面ABCD 是直角梯形、∠BAD ＝90°、2AB ＝2AD ＝CD 、侧面P AD 是正三角形且垂直于底面ABCD 、E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F 、使AF ∥平面BDE?解析 (1)证明 以AD 的中点O 为坐标原点、建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝AD ＝2、则有B (1,2,0)、C (－1,4,0)、D (－1,0,0)、P (0,0、3)、E (－12、2、32)、∴BE →＝(－32、0、32)、PC →＝(－1,4、－3)、 CD→＝(0、－4,0)、 ∴BE →·PC→＝(－32、0、32)·(－1,4、－3)＝0、BE →·CD→＝(－32、0、32)·(0、－4,0)＝0.即BE ⊥PC 、BE ⊥CD .又PC ∩CD ＝C 、∴BE ⊥平面PCD .(2)解析 设平面BDE 的法向量为n ＝(x 、y 、z )、∵n ⊥BE →、n ⊥DE →、∴n ·BE →＝0、n ·DE →＝0、 ∴⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋32z ＝012x ＋2y ＋32z ＝0、令y ＝－1、则x ＝1、z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为(1、－1、3)．取PB 中点F 、则有F (12、1、 32)．又A (1,0,0)、∴AF→＝(－12、1、32)、∵AF →·n ＝(－12、1、32)·(1、－1、3)＝－12－1＋32＝0、 ∴AF→⊥n . 又n 是平面BDE 的法向量、且AF ⊄平面BDE 、 ∴AF ∥平面BDE .故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE . 14.如图、正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直、CE ⊥AC 、EF ∥AC 、AB ＝2、CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .解析 (1)设AC 与BD 交于点G 、因为EF ∥AG 、且EF ＝1、AG ＝12AC ＝1、所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE 、AF ⊄平面BDE 、所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直、且CE ⊥AC 、所以CE ⊥平面ABCD .如图、以C 为原点、建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)、A (2、2、0)、B (0、2、0)、D (2、0,0)、E (0,0,1)、F (22、22、1)．所以CF →＝(22、 22、1)、BE →＝(0、－2、1)、DE →＝(－2、0,1)．所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0、CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE 、CF ⊥DE 、所以CF ⊥平面BDE .拓展练习·自主餐1．如图、正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中、AA 1＝2AB ＝4、点E 在CC 1上、且C 1E ＝3EC .证明：A 1C ⊥平面BED .解析 以D 为坐标原点、射线DA 为x 轴的正半轴、建立如图所示直角坐标系D —xyz .依题设B (2,2,0)、C (0,2,0)、E (0,2,1)、A 1(2,0,4)． DE→＝(0,2,1)、DB →＝(2,2,0)、 A 1C →＝(－2,2、－4)、DA 1→＝(2,0,4)．因为A 1C →·DB →＝0、A 1C →·DE→＝0、 故A 1C ⊥BD 、A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D 、所以A 1C ⊥平面BED .2．如图、在五面体ABCDEF 中、F A ⊥平面ABCD 、AD ∥BC ∥FE 、AB ⊥AD 、M 为EC 的中点、AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .证明：平面AMD ⊥平面CDE .解析 方法一 因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点、所以DM ⊥CE .取AD 中点为P 、连接MP 、则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M 、故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE 、所以平面AMD ⊥平面CDE .方法二 如图所示、建立空间直角坐标系、点A 为坐标原点．设AB ＝1、依题意得B (1,0,0)、C (1,1,0)、D (0,2,0)、E (0,1,1)、F (0,0,1)、M (12、1、12)．由AM →＝(12、1、12)、CE →＝(－1,0,1)、AD →＝(0,2,0)、可得CE →·AM →＝0、CE →·AD→＝0.因此、CE ⊥AM 、CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A 、故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE 、所以平面AMD ⊥平面CDE .3．如图、已知直角梯形ABCD 中、AB ∥CD 、AB ⊥BC 、AB ＝1、BC ＝2、CD ＝1＋3、过A 作AE ⊥CD 、垂足为E 、G 、F 分别为AD 、CE 的中点、现将△ADE 沿AE 折叠、使得DE ⊥EC .(1)求证：BC ⊥平面CDE ； (2)求证：FG ∥平面BCD ；(3)在线段AE 上找一点R 、使得平面BDR ⊥平面DCB 、并说明理由． 解析 (1)证明：由已知得DE ⊥AE 、DE ⊥EC 、 ∵AE ∩EC ＝E 、AE 、EC ⊂平面ABCE 、 ∴DE ⊥平面ABCE 、∴DE ⊥BC . 又BC ⊥CE 、CE ∩DE ＝E 、 ∴BC ⊥平面CDE .(2)证明：取AB 中点H 、连接GH 、FH 、如右图、∴GH ∥BD 、FH ∥BC 、∴GH ∥平面BCD 、FH ∥平面BCD 、 ∴平面FHG ∥平面BCD 、∴GF ∥平面BCD .(3)分析可知、R 点满足3AR ＝RE 时、平面BDR ⊥平面DCB . 证明：取BD 中点Q 、连接DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ 、如下图．容易计算CD ＝2、BR ＝52、CR ＝132、DR ＝212、CQ ＝2、在△BDR 中、∵BR ＝52、DR ＝212、BD ＝22、可知RQ ＝52、∴在△CRQ 中、CQ 2＋RQ 2＝CR 2、∴CQ ⊥RQ .又在△CBD 中、CD ＝CB 、Q 为BD 中点、∴CQ ⊥BD 、∴CQ ⊥平面BDR 、∴平面BDC ⊥平面BDR .(说明：若设AR ＝x 、通过分析、利用平面BDC ⊥平面BDR 推算出x ＝12亦可、不必再作证明．)4．如图所示、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中、B 1C 1＝A 1C 1、AC 1⊥A 1B 、M 、N 分别是A1B1、AB的中点．(1)求证：C1M⊥平面A1ABB1；(2)求证：A1B⊥AM；(3)求证：平面AMC1∥平面NB1C；(4)求A1B与B1C所成的角．思路分析(1)考虑使用线面垂直的判定定理；(2)利用三垂线定理或逆定理；(3)利用两平面平行的判定定理；(4)由于题目中未给出相关的线段长、因此该角一定是特殊角、从90°、60°、45°、30°入手考虑．解析(1)方法一：由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1、又∵C1M⊂平面A1B1C1、∴AA1⊥MC1.又∵C1A1＝C1B1、M为A1B1中点、∴C1M⊥A1B1.又A1B1∩A1A＝A1、∴C1M⊥平面A1B1.方法二：由直棱柱性质得：面AA1B1B⊥平面A1B1C1、交线为A1B1、又∵C1A1＝C1B1、M为A1B1的中点、∴C1M⊥A1B1于M.由面面垂直的性质定理可得C1M⊥面AA1B1B.(2)由(1)知C1M⊥平面A1ABB1、∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.∵AC1⊥A1B、∴A1B⊥AM.(3)方法一：由棱柱性质知AA1B1B是矩形、M、N分别是A1B1、AB的中点、∴AN綊B1M.∴AMB1N是平行四边形．∴AM∥B1N.连结MN、在矩形AA1B1B中有MB1綊BN、∴BB1MN是平行四边形．∴BB1綊MN.又由BB1綊CC1、知MN綊CC1.∴MNCC1是平行四边形．∴C1M綊CN.又C1M∩AM＝M、CN∩NB1＝N、∴平面AMC1∥平面NB1C.方法二：由(1)知C 1M ⊥平面AA 1B 1B 、 A 1B ⊂平面AA 1B 1B 、∴C 1M ⊥A 1B . 又∵A 1B ⊥AC 1、而AC 1∩C 1M ＝C 1、 ∴A 1B ⊥平面AMC 1.同理、可以证明A 1B ⊥平面B 1NC . ∴平面AMC 1∥平面B 1NC .(4)方法一：由(2)知A 1B ⊥AM 、又由已知A 1B ⊥AC 1、AM ∩AC 1＝A 、 ∴A 1B ⊥平面AMC 1又∵平面AMC 1∥平面NB 1C . ∴A 1B ⊥平面NB 1C .又B 1C ⊂平面NB 1C 、∴A 1B ⊥B 1C . ∴A 1B 与B 1C 所成的角为90°. 方法二：由棱柱性质有面ABC ⊥平面AA 1B 1B 、交线为AB 、又CA ＝CB ＝C 1A 1、N 为AB 的中点、∴CN ⊥AB .∴CN ⊥面AA 1B 1B .∴CB 1在侧面AA 1B 1B 上的射影是NB 1. 又由(2)知A 1B ⊥AM 、由(3)知B 1N ∥AM 、 ∴A 1B ⊥B 1N .由三垂线定理知B 1C ⊥A 1B . ∴A 1B 与B 1C 所成的角为90°.教师备选题1．如图、在多面体ABCDEF 中、四边形ABCD 是正方形、EF ∥AB 、EF ⊥FB 、AB ＝2EF 、∠BFC ＝90°、BF ＝FC 、H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ；解析 (1)解法一 设AC 与BD 交于点G 、则G 为AC 的中点、连EG 、GH 、又H 为BC 的中点、∴GH 綊12AB .又EF 綊12AB 、∴EF 綊GH 、∴四边形EFHG 为平行四边形、∴EG ∥FH .而EG ⊂平面EDB 、∴FH ∥平面EDB .(2)由四边形ABCD 为正方形、有AB ⊥BC . 又EF ∥AB 、∴EF ⊥BC .而EF ⊥FB 、∴EF ⊥平面BFC 、 ∴EF ⊥FH 、∴AB ⊥FH .又BF ＝FC 、H 为BC 的中点、∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABCD .∴FH ⊥AC .又FH ∥EG 、∴AC ⊥EG .又AC ⊥BD 、EG ∩BD ＝G 、∴AC ⊥平面EDB .2．如图、正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直、△ABE是等腰直角三角形、AB ＝AE 、F A ＝FE 、∠AEF ＝45°.(1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)设线段CD 的中点为P 、在直线AE 上是否存在一点M 、使得PM ∥平面BCE ？若存在、请指出点M 的位置、并证明你的结论；若不存在、请说明理由．解析 解法一：(1)如图、因为平面ABEF ⊥平面ABCD 、BC ⊂平面ABCD 、BC ⊥AB 、平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB 、所以BC ⊥平面ABEF .所以BC ⊥EF .因为△ABE 为等腰直角三角形、AB ＝AE 、所以∠AEB ＝45°.又因为∠AEF ＝45°、所以∠FEB ＝45°＋45°＝90°、即EF ⊥BE .因为BC ⊂平面BCE 、BE ⊂平面BCE 、BC ∩BE ＝B 、所以EF ⊥平面BCE .(2)存在点M 、当M 为线段AE 的中点时、PM ∥平面BCE .取BE 的中点N 、连接CN 、MN 、则MN 綊12AB 綊PC 、所以四边形PMNC 为平行四边形、所以PM ∥CN .因为CN 在平面BCE 内、PM 不在平面BCE 内、所以PM ∥平面BCE .解法二：(1)因为△ABE 为等腰直角三角形、AB ＝AE 、所以AE ⊥AB .又因为平面ABEF ⊥平面ABCD 、AE ⊂平面ABEF 、平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB .∴AE ⊥平面ABCD 、所以AE ⊥AD .因此、AD 、AB 、AE 两两垂直．以A 为坐标原点、建立如下图所示的直角坐标系A －xyz .不妨设AB ＝1、则AE ＝1、B (0,1,0)、D (1,0,0)、E (0,0,1)、C (1,1,0)．因为F A ＝FE 、∠AEF ＝45°、所以∠AFE ＝90°、从而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，12.所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12、BE →＝(0、－1,1)、BC →＝(1,0,0).EF →·BE →＝0＋12－12＝0、EF →·BC→＝0. 所以EF ⊥BE 、EF ⊥BC .因为BE ⊂平面BCE 、BC ⊂平面BCE 、BC ∩BE ＝B 、所以EF ⊥平面BCE .(2)存在点M 、当M 为AE 中点时、PM ∥平面BCE .M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12、P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.从而PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12、于是PM →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12＝0. 所以PM ⊥FE 、又EF ⊥平面BCE 、直线PM 不在平面BCE 内、故PM ∥ 平面BCE .。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.3(含答案)
第八章8.3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．室内有一根直尺、无论怎样放置、在地面上总有这样的直线、它与直尺所在的直线()A．异面B．相交C．平行D．垂直答案 D解析本题考查直线与直线的位置关系、无论尺子所在的直线与地面所在平面是相交、平行或是在平面内、在地面所在的平面总可以找到与尺子所在直线垂直的直线．故选D.2．已知直线l、m、平面α、β、则下列命题中假命题是()A．若α∥β、l⊂α、则l∥βB．若α∥β、l⊥α、则l⊥βC．若l∥α、m⊂α、则l∥mD．若α⊥β、α∩β＝l、m⊂α、m⊥l、则m⊥β答案 C解析对于选项C、直线l与m可能构成异面直线．故选C.3．设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内、并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时()A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件答案 C解析当甲成立、即“相交直线l、m都在平面α内、并且都不在平面β内”时、若“l、m中至少有一条与平面β相交”、则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”、则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立、故选C.4．设A、B、C、D是空间四个不同的点、在下列命题中、不正确的是() A．若AC与BD共面、则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线、则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC、DB＝DC、则AD⊥BCD．若AB＝AC、DB＝DC、则AD＝BC答案 D解析ABCD可能为平面四边形、也可能为空间四边形、D不成立．5．右图是正方体的平面展开图、在这个正方体中、①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中、正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④答案 C解析如图、把正方体的平面展开图还原到原来的正方体、显然BM与ED为异面直线、故命题①不成立；而CN与BE平行、故命题②不成立；又四个选项中仅有选项C不含②、运用排除法、故应选C.6．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中、AA1＝2AB、E为AA1中点、则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.1010 B.15C.31010 D.35答案 C解析连接BA1、则CD1∥BA1、于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)、设AB＝1、则BE＝2、BA1＝5、A1E＝1、在△A1BE中、cos∠A1BE＝5＋2－125·2＝31010、选C.7．已知直线m、n及平面α、其中m∥n、那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是()A．(1)(2)(3) B．(1)(4)C．(1)(2)( 4) D．(2)(4)答案 C解析如图1、当直线m或直线n在平面α内时不可能有符合题意的点；如图2、直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直、则已知平面α为符合题意的点；如图3、直线m、n所在平面与已知平面α平行、则符合题意的点为一条直线、从而选C.8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中、E、F分别为棱AA1、CC1的中点、则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条答案 D9．如图所示、设地球半径为R、点A、B在赤道上、O为地心、点C在北纬30°的纬线(O′为其圆心)上、且点A、C、D、O′、O共面、点D、O′、O共线．若∠AOB＝90°、则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.6 4B．－64C.6＋24 D.6－24答案 A解析分别以OB、OA、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz、易得A(0、R,0)、B(R,0,0)、C(0、32R、12R)、D(0,0、R)、AB→＝(R、－R,0)、CD→＝(0、－32R、12R)、cos AB→、CD→＝AB→·CD→|AB→||CD→|＝32R22R2＝64、选A.二、填空题10．已知a、b是异面直线、下列命题：①存在一个平面α、使a∥α、且b∥α；②存在一个平面α、使a⊥α且b⊥α；③存在一个平面α、使a⊂α、且b与α相交；④存在一个平面α、使a、b到平面α的距离相等．其中正确命题是________．答案①③④11．在正方体ABCD－A′B′C′D′中、过对角线BD′的一个平面交AA′于E、交CC′于F、则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的序号)答案①③④解析如图、由面面平行的性质可知：BE∥FD′、ED′∥BF、∴四边形BFD′E是平行四边形、∴①正确；它不可能是正方形、否则BE⊥平面A′ADD′、∴②错误；又∵四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD、∴它一定是正方形、∴③正确；当E、F分别为所在棱的中点时、EF⊥平面BB′D、∴此时面BFDE′垂直于面BB′D.∴④正确．12．在图中、G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点、则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案(2)、(4)解析如题干图(1)中、直线GH∥MN、因此GH与MN共面；图(2)中、G、H、N三点共面、但M ∉平面GHN、因此直线GH与MN异面；图(3)中、连接MG、GM∥HN、因此GH与MN共面；图(4)中、G、M、N三点共面、但H∉平面GMN、∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．三、解答题13．如图、长方体ABCD－A1B1C1D1中、AA1＝AB＝2、AD＝1、点E、F、G 分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．解连结B1G、EG、B1F、CF.∵E、G是棱DD1、CC1的中点、∴A1B1∥EG.∴四边形A1B1GE是平行四边形、∴B1G∥A1E.所以∠B1GF(或其补角)就是异面直线A1E与GF所成的角．在Rt△B1C1G中、B1C1＝AD＝1、C1G＝12AA1＝1、∴B1G＝ 2.在Rt△FBC中、BC＝BF＝1、∴FC＝ 2.在Rt△FCG中、CF＝2、CG＝1、∴FG＝ 3.在Rt△B1BF中、BF＝1、B1B＝2、∴B1F＝ 5.在△B1FG中、B1G2＋FG2＝B1F2、∴∠B1GF＝90°. 因此、异面直线A1E与GF所成的角为90°.14.如图所示、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明 (1)如图、连结CD 1、EF 、A 1B 、∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点、∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B 、又∵A 1D 1綊BC 、∴四边形A 1BCD 1是平行四边形、∴A 1B ∥CD 1、∴EF ∥CD 1、∴EF 与CD 1确定一个平面α、∴E 、F 、C 、D 1∈α、即E 、C 、D 1、F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1、且EF ＝12CD 1、∴四边形CD 1FE 是梯形、∴CE 与D 1F 必相交、设交点为P 、则P ∈CE ⊂平面ABCD 、且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1、∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1、又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD 、∴P ∈AD 、∴CE 、D 1F 、DA 三线共点． 15.如图所示、设A 是BCD 所在平面外一点、AD ＝BC ＝2cm 、 E 、F 分别是AB 、CD 的中点．(1)若EF ＝2cm 、求异面直线AD 和BC 所成的角；(2)若EF ＝3cm 、求异面直线AD 和BC 所成的角．解 取AC 的中点G 、连结EG 、FG .∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点、∴EG ∥BC 且EG ＝12BC ＝1cm 、FG ∥AD 且FG ＝12AD ＝1cm ∴∠EGF 即为所求异面直线的角或其补角．(1)当EF ＝2cm 时、由EF 2＝EG 2＋FG 2、得∠EGF ＝90°. ∴异面直线AD 和BC 所成的角为90°.(2)当EF ＝3cm 时、在△EFG 中、取EF 的中点H 、连结GH 、∵EG ＝GF ＝1cm 、∴GH ⊥EF 、EH ＝FH ＝32cm 、∴GH ＝GF 2－HF 2＝12cm得∠GFH ＝∠GEH ＝30°、∴∠FGE ＝120°、其补角为60°.∴ 异面直线AD 和BC 所成的角为60°.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：9.4(含答案)
第九章9.4第4课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k 的取值范围是()A．(－22，22)B．(－2，2)C．(－24，24) D．(－18，18)答案 C解析设l的方程y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k＋2k|k2＋1<1，∴－24<k<24.2．直线x sinθ＋y cosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是() A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案 B解析圆心到直线的距离d＝|sinθ－2－sinθ|sin2θ＋cos2θ＝2.所以直线与圆相切．3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为()A.2－1 B．2－ 2C. 2D.2－1与2＋1答案 A解析如图，圆心(2,1)到直线l0：x－y＋1＝0的距离d＝|2－1＋1|2＝2，圆的半径为1，故直线l0与l1的距离为2－1，∴平移的最短距离为2－1，故选A.4．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4；O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，那么两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切答案 C解析由两圆方程易知其圆心坐标分别为O1(a，b)、O2(a＋1，b＋2)，经计算得：O1O2＝5，由于R－r＝1<O1O2＝5<R＋r＝3，故两圆相交．5．函数y＝f(x)的图象是圆心在原点的单位圆在Ⅰ、Ⅲ象限内的两段圆孤，如图，则不等式f(x)<f(－x)＋2x的解集为()A ．(－1，－22)∪(0，22)B ．(－1，－22)∪(22，1)C ．(－22，0)∪(0，22)D ．(－22，0)∪(22，1) 答案 D 6．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．3 答案C 解析设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，∴|PM |最小值为22，|PQ |＝|PM |2－1＝（22）2－1)＝7，选C. 7．若圆O 1方程为：(x ＋1)2＋(y ＋1)2－4＝0，圆O 2方程为：(x －3)2＋(y －2)2－1＝0，则方程(x ＋1)2＋(y ＋1)2－4＝(x －3)2＋(y －2)2－1表示的轨迹是( )A ．线段O 1O 2的中垂线B ．过两圆的公切线交点且垂直于线段O 1O 2的直线C ．两圆公共弦所在的直线D ．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等 答案 D解析 ∵圆心距|O 1O 2|＝（＋1）2＋（2＋）2＝5>2＋1＝3，∴两圆相离．把所给的轨迹方程化简得4x ＋3y －7＝0显然线段O 1O 2的中点不在直线4x ＋3y －7＝0上，排除A 、C ，由计算知，到两圆的切线长相等的点的轨迹恰为直线4x ＋3y －7＝0.8．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (2，a )，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－433)∪(433，＋∞) D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 答案 C解析 解法一：(直接法)写出直线方程，将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决．过A 、B 两点的直线方程为y ＝a 4x ＋a2， 即ax －4y ＋2a ＝0，则d ＝|2a |a 2＋16＝1，化简后，得3a 2＝16，解得a ＝±433.再进一步判断便可得到正确答案为C.解法二：设AB 1直线方程为⎩⎨⎧y ＝k (x ＋)x 2＋y 2＝1⇒(1＋k 2)x 2＋4k 2x ＋4k 2－1＝0，Δ＝0，k＝±33，直线AB 1方程为y ＝33(x ＋2)，直线AB 2方程为y ＝－33(x ＋2)，可得B 1(2，433)，B 2(2，－433)，要使从A 看B 不被圆挡住，B 纵坐标即实数a 的取值范围为(－∞，－433)∪(433，＋∞)．9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6] 答案 A 二、填空题10．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于________．答案 ±2解析 由|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|知OA ⊥OB ，所以由题意可得|a |2＝2，所以a＝±2.11．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l 的方程为________．答案 x －2y ＋3＝0解析 设圆心为N (2,0)，由圆的性质得直线l ⊥MN 时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.12．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是________．答案 [－34，0]解析 如图，记题中圆的圆心为C (3,2)，作CD ⊥MN 于D ，则|CD |＝|3k ＋1|1＋k 2，于是有|MN |＝2|MD |＝2|CM |2－|CD |2＝24－9k 2＋6k ＋11＋k 2≥23，即4－9k 2＋6k ＋11＋k 2≥3，解得－34≤k ≤0.13．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 取值范围是__________．答案 －1＜b ≤1或b ＝－ 2解析 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)方程x 2＋y 2＝1(x ≥0)所表示的曲线为半圆(如图) 当直线与圆相切时或在l 2与l 3之间时，适合题意． 三、解答题14．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．解析 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1.设切线方程为y ＝－x ＋b 或y ＝x ＋c ，分别代入圆C 的方程得2x 2－2(b －3)x ＋(b 2－4b ＋3)＝0或2x 2＋2(c －1)x ＋(c 2－4c ＋3)＝0， 由于相切，则方程有等根，即b ＝3或b ＝－1，c ＝5或c ＝1. 故所求切线方程为：x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.15．已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ→＝－2，求实数k 的值；(3)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．解 设圆心C (a ，a )，半径为r .因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)， 所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2， 所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(2)因为OP →·OQ →＝2×2×cos 〈OP→，OQ →〉＝－2，且OP →与OQ →的夹角为∠POQ ，所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°，所以圆心到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，又d ＝1k 2＋1，所以k ＝0.(3)设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l ⊥l 1，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又易知|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12·|PQ |·|MN |，即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－(d 21＋d 2)＋d 21·d 2＝212＋d 21·d 2≤2 12＋(d 21＋d 22)2＝2 12＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以S 的最大值为7.教师备选题1．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －1＝0上，则|PQ |的最小值是________．答案 35－3－ 6解析 转化为一个圆上的动点到另一个圆圆心距离的最小值．2．已知：过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)求证：AM →·AN→为定值；(3)若O 为坐标原点，且OM →·ON→＝12，求k 的值． 解析 (1)解法一：∵直线l 过点A (0,1)且斜率为k ， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将其代入圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0 ① 由题意：△＝[－4(1＋k )]2－4×(1＋k 2)×7>0， 得4－73<k <4＋73.解法二：同解法一得直线方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0，又圆心到直线距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，∴d ＝|2k －2|k 2＋1<1，解得4－73<k <4＋73.(2)设过A 点的圆的切线为AT ，T 为切点， 则|AT |2＝|AM |·|AN |，|AT |2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7， ∴|AM →|·|AN →|＝7. 根据向量的运算： AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|·cos0°＝7为定值． (3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由①得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4＋4k1＋k 2x 1x 2＝71＋k 2∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12⇒k ＝1(代入(1)检验符合题意)．3．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至多有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．(－∞，2－3]B ．[2＋3，＋∞)C ．(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)D ．[2－3，2＋3] 答案 C 解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径为32，要求圆上至多有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则圆心到直线的距离应大于等于2，∴|2a ＋2b |a 2＋b2≥2，∴(a b )2＋4(ab )＋1≥0，∴a b ≤－2－3或a b ≥－2＋3，又l 的斜率k ＝－ab ，∴k ≤2－3或k ≥2＋3，选C.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.5(含答案)
第八章8.5 第5课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知不同直线m、n及不重合平面P、Q、给出下列结论：①m⊂P、n⊂Q、m⊥n⇒P⊥Q②m⊂P、n⊂Q、m∥n⇒P∥Q③m⊂P、n⊂P、m∥n⇒P∥Q④m⊥P、n⊥Q、m⊥n⇒P⊥Q其中的假命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析①为假命题、m不一定与平面Q垂直、所以平面P与Q不一定垂直．命题②与③为假命题、②中两平面可以相交、③没有任何实质意义．只有④是真命题、因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．2．命题p：若平面α⊥β、平面β⊥γ、则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等、则必有α∥β.对以上两个命题、下列结论中正确的是()A．命题“p∧q”为真B．命题“p∨q”为假C．命题“p∨q”为真D．命题“綈p或非q”为假答案 B解析据题意可知对于命题p、显然与一平面都垂直的两平面的位置关系是平行或相交、如将一本书打开、每一张纸所在平面都与桌面垂直、但这些平面相交、即命题p是假命题；对命题q、只需使平面α内的两点连线与平面β平行、使第三点与这两点的连线与平面β的交点为线段的中点即可满足条件、故命题q是假命题；A.由于p和q都是假命题、因此命题：“p且q”应为假命题；B.由于p和q都是假命题、故“p或q”应为假命题．故B正确；C错误；D.由于p和q都是假命题、故非p和非q都是真命题、从而“非p或非q”为真命题、故D是错误的．3．如图、在正方形ABCD中、E、F分别是BC和CD的中点、G是EF的中点、现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体、使B、C、D三点重合、重合后的点记为H、那么、在四面体A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AG⊥△EFH所在平面答案 A解析∵AD⊥DF、AB⊥BE∵B、C、D重合记为H∴AH⊥HF、AH⊥HE∴AH⊥面EFH.4．设m、n是两条不同的直线、α、β是两个不同的平面、给出下列四个命题：①若m⊥n、m⊥α、n⊄α、则n∥α；②若m∥α、α⊥β、则m⊥β；③若m⊥β、α⊥β、则m∥α或m⊂α；④若m⊥n、m⊥α、n⊥β、则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．答案①③④解析①③④正确．②中、可能有m∥β、故②不正确．5．若平面α、β、满足α⊥β、α∩β＝l、P∈α、P∉l、则下列命题中的假命题为()A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面βC．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内答案 D解析根据面面垂直的性质定理、得选项B、C正确．对于A、由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于β内垂直于交线的直线、因此平行于平面β.因此A 正确．6．如图所示、正方体ABCD－A1B1C1D1中、点P在侧面BCC1B1及其边界上运动、并且总是保持AP⊥BD1、则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段答案 A解析BD1⊥平面AB1C.7．如图、在斜三棱柱ABC－A1B1C1中、∠BAC＝90°、BC1⊥AC、则C1在面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部答案 A解析∵CA⊥AB、CA⊥BC1、AB∩BC1＝B、∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.∴过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内、∴H∈AB.二、解答题8．(09·江苏)设α和β为不重合的两个平面、给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线、则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行、则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l、若α内有一条直线垂直于l、则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中、真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案(1)(2)解析(1)α内两条相交直线分别平行于平面β、则两条相交直线确定的平面α平行于平面β、正确．(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行、则l平行于α、正确．(3)如图、α∩β＝l、a⊂α、a⊥l、但不一定有α⊥β、错误．(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直、而该命题缺少“相交”两字、故为假命题．综上所述、真命题的序号为(1)(2)．9．如图所示、P A⊥圆O所在的平面、AB是圆O的直径、C是圆O上的一点、E、F分别是点A在PB、PC上的正投影、给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知P A⊥平面ABC、∴P A⊥BC.又AC⊥BC、P A∩AC＝A、∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC、BC∩PC＝C、∴AF⊥平面PBC、∴AF⊥PB、AF⊥BC.又AE⊥PB、AE∩AF＝A、∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．三、解答题10．四面体ABCD中、AC＝BD、E、F分别是AD、BC的中点、且EF＝22AC、∠BDC＝90°.求证：BD⊥平面ACD.证明如图所示、取CD 的中点G 、连结EG 、FG 、EF . ∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点、∴EG 綊12AC 、FG 綊12BD .又AC ＝BD 、∴FG ＝12AC .∴在△EFG 中、EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2. ∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC . 又∠BDC ＝90°、即BD ⊥CD 、AC ∩CD ＝C 、 ∴BD ⊥平面ACD . 11.如图、平行四边形ABCD 中、∠DAB ＝60°、AB ＝2、AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置、使平面EBD ⊥平面ABD .(Ⅰ)求证：AB ⊥DE ；(Ⅱ)求三棱锥E －ABD 的侧面积．解析 (Ⅰ)在△ABD 中、∵AB ＝2、AD ＝4、∠DAB ＝60°、 ∴BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ＝2 3.∴AB 2＋BD 2＝AD 2、∴AB ⊥BD . 又∵平面EBD ⊥平面ABD 、平面EBD ∩平面ABD ＝BD 、AB ⊂平面ABD 、 ∴AB ⊥平面EBD .∵DE ⊂平面EBD 、AB ⊥DE .(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB ⊥BD .∵CD ∥AB 、∴CD ⊥BD 、从而DE ⊥BD . 在Rt △DBE 中、∵DB ＝23、DE ＝DC ＝AB ＝2、∴S △DBE ＝12DB ·DE ＝2 3.又∵AB ⊥平面EBD 、BE ⊂平面EBD 、∴AB ⊥BE .∵BE ＝BC ＝AD ＝4、∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝4. ∵DE ⊥BD 、平面EBD ⊥平面ABD 、 ∴ED ⊥平面ABD .而AD ⊂平面ABD 、∴ED ⊥AD 、∴S △ADE ＝12AD ·DE ＝4. 综上、三棱锥E －ABD 的侧面积S ＝8＋2 3.12．如图、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、AD ＝AA 1＝1、AB ＝2、点E 在棱AB 上移动．(1)证明D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时、求点E 到面ACD 1的距离．解析 (1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知、AE ⊥平面AA 1D 1D 、 ∵A 1D ⊂平面AA 1D 1D 、∴AE ⊥A 1D .又∵AD ＝AA 1、∴四边形AA 1D 1D 是正方形、 ∴A 1D ⊥AD 1.又∵AD 1∩AE ＝A 、∴A 1D ⊥平面AD 1E 、 又∵D 1E ⊂平面AD 1E 、∴D 1E ⊥A 1D . (2)设点E 到平面ACD 1的距离为h 、在△ACD 1中、AC ＝CD 1＝5、AD 1＝2、 AD 1上的高为(5)2－(22)2、 ∴S △AD 1C ＝12 ·2·(5)2－(22)2＝32、而S △AEC ＝12AE ·BC ＝12、∵VD 1－AEC ＝13S △AEC ·DD 1＝13S △AD 1C ·h 、 ∴12×1＝32×h 、∴h ＝13、∴点E 到平面ACD 1的距离是13.13．如图、已知AB ⊥平面ACD 、DE ∥AB 、△ACD 是正三角形、AD ＝DE ＝2AB 、且F 是CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)取CE 中点P 、连结FP 、BP 、∵F 为CD 的中点、∴FP ∥DE 、且FP ＝12DE .又AB ∥DE 、且AB ＝12DE 、 ∴AB ∥FP 、且AB ＝FP 、∴ABPF 为平行四边形、∴AF ∥BP . 又∵A F ⊄ 平面BCE 、BP ⊂平面BCE 、 ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为正三角形、∴AF ⊥CD . ∵AB ⊥平面ACD 、DE ∥AB 、 ∴DE ⊥平面ACD . 又AF ⊂平面ACD 、∴DE ⊥AF .又AF ⊥CD 、CD ∩DE ＝D 、 ∴AF ⊥平面CDE .又BP ∥AF 、∴BP ⊥平面CDE . 又∵BP ⊂平面BCE 、 ∴平面BCE ⊥平面CDE .14．如图、正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直、EF ∥AC 、AB ＝2、CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .解析 (1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG 、且EF ＝1、AG ＝12AC ＝1、 所以四边形AGEF 为平行四边形、 所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE 、AF ⊄平面BDE 、 所以AF ∥平面BDE .(2)连结FG .因为EF ∥CG 、EF ＝CG ＝1、且CE ＝1、 所以四边形CEFG 为菱形、所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD为正方形、所以BD⊥AC、又因为平面ACEF⊥平面ABCD、且平面ACEF∩平面ABCD＝AC、所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G、所以CF⊥平面BDE.15．如图、四棱锥P－ABCD中、P A⊥底面ABCD、AB⊥AD、AC⊥CD、∠ABC ＝60°、P A＝AB＝BC、E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)∵P A⊥底面ABCD、∴CD⊥P A、又CD⊥AC、P A∩AC＝A、故CD⊥平面P AC、AE⊂平面P AC、故CD⊥AE.(2)∵P A＝AB＝BC、∠ABC＝60°、故P A＝AC.∵E是PC的中点、故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE、从而AE⊥平面PCD、故AE⊥PD.易知BA⊥PD、故PD⊥平面ABE.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.6(含答案)
第八章 8.6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知向量a ＝(8，12x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x >0.若a ∥b ，则x 的值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．0 答案 B解析 因x ＝8,2,0时都不满足a ∥b .而x ＝4时，a ＝(8,2,4)＝2(4,1,2)＝2b ，∴a ∥b .另解：a ∥b ⇔存在λ>0使a ＝λb ⇔(8，x2，x )＝(λx ，λ，2λ) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝8x 2＝λx ＝2λ⇔⎩⎨⎧λ＝2x ＝4.∴选B. 2．已知点O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA→＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA→ B.OB → C.OC → D.OA →或OB → 答案 C解析 根据题意得OC→＝12(a －b )，∴OC →，a ，b 共面．3．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB→＋12 (BD →＋BC→)等于( ) A.AG→ B.CG → C.BC→ D.12BC → 答案 A解析 依题意有 AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12·2BG→＝AG →. 4．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形 答案 D解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．5．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG→，则λ等于( ) A ．1 B ．3 C.13 D ．2 答案 B解析 若设BC 边的中点为M ，则OA →＋OB →＋OC →＝OA →＋2OM →＝OG →＋GA →＋2OM →＝OG→＋2MG →＋2OM →＝3OG →，而OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，所以λ＝3. 6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，则EF 与BD 1所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0° 答案 D解析 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A 1(a,0，a )，D (0,0,0)，A (a,0,0)，C (0，a,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，∴DA 1→＝ (a,0，a )， AC →＝(－a ，a,0)，BD 1→＝(－a ，－a ，a )． ∵EF 是直线AC 与A 1D 的公垂线． ∴EF→⊥DA 1→，EF →⊥AC →.设EF →＝(x ，y ，z )， ∴EF →·DA 1→＝(x ，y ，z )·(a,0，a )＝ax ＋az ＝0， ∴EF →·AC →＝(x ，y ，z )·(－a ，a,0)＝－ax ＋ay ＝0. ∵a ≠0，∴x ＝y ＝－z .∴EF →＝(x ，x ，－x )．∴BD 1→＝－a xEF →. ∴BD1→∥EF →，即BD 1∥EF . 二、填空题 7.在四面体O －ABC 中，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD的中点，则OE→＝________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE→＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB→－OA →＋OC →－OA →) ＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题：①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0. ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°④此正方体体积为：|AB →·AA 1→·AD →|则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号)． 答案 ③④解析 ③AD 1与A 1B 两异面直线夹角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，A 1B→＝D 1C →，注意方向．④∵AB →·AA 1→＝0.正确的应是|AB →|·|AA 1→|·|AD→|. 9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱C 1D 1上移动，则|OP |的最小值为____．答案 5 解析以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则O (1,1,0)．设P (x,1,1)(0≤x ≤2)． 则|OP |＝(1－x )2＋(1－2)2＋(0－2)2 ＝(x －1)2＋5.所以当x ＝1，即P 为C 1D 1中点时，|OP |取最小值 5.10．已知空间四边形ABCD ，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD→＝________.答案 0解析 AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝AB →(AD →－AC →)＋BC →·AD →＋CA →·BD → ＝AB →·AD →－AB →·AC →＋BC →·AD →＋CA →·BD → ＝AD →·(AB →＋BC →)－AC →(AB →＋BD →) ＝AD →·AC →－AC →·AD→＝0. 11．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5(t －15)2＋95，∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355. 三、解答题12．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a .求证：A ′B ⊥AC ′.解析 解法1 A ′B →＝AB →－AA ′→，AC′→＝AB →＋AA ′→＋AD →， ∴A ′B →·AC ′→＝(AB →－AA ′→)(AB →＋AA ′→＋AD →) ＝AB 2→＋AB →·AA ′→＋AB →·AD →－AA ′→·AB →－AA ′2→－AA ′→·AD → 由已知：|AB →|＝|AA ′→|＝a ，知AB 2→＝AA ′2→ 又AB →·AA ′→＝AB →·AD →＝AA ′→·AD→＝0 ∴A ′B →·AC′→＝0，即A ′B ⊥AC ′. 解法2 建立空间直角坐标系，也易证．13．如图所示，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是(32，12，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD→的坐标；(2)设向量AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．解析(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ， 在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin30°＝32.OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝12.∴D 点坐标为(0，－12，32)，即向量OD →的坐标为(0，－12，32)．(2)依题意：OA→＝(32，12，0)，OB→＝(0，－1,0)，OC →＝(0,1,0)． ∴AD→＝OD →－OA →＝(－32，－1，32)， BC→＝OC →－OB →＝(0,2,0)． 设向量AD→和BC →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·BC→|AD →||BC →|＝－32×0＋(－1)×2＋32×0(－32)2＋(－1)2＋（32）2·02＋22＋02＝－210＝－1510.∴cos θ＝－105.14．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C ，求证：AB 1＝A 1C .解析 ∵A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →，BC 1→＝BC →＋CC 1→，A 1C →·BC 1→＝(A 1C 1→＋C 1C →)·(BC→＋CC 1→)＝A 1C 1→·BC →－|C 1C →|2＝0，∴|C 1C →|2＝A 1C 1→·BC→. 同理，AB 1→＝AB →＋BB 1→， BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→，AB 1→·BC 1→＝AB →·BC →＋|CC 1→|2＝0(∵BB 1→＝CC 1→)， ∴AB →·BC →＋A 1C 1→·BC→＝0. 又A 1C 1→＝AC →，∴BC →·(AB →＋AC →)＝0. 设D 为BC 的中点，连AD ，则AB→＋AC →＝2AD →.∴2BC →·AD→＝0，∴BC ⊥AD ，∴AB ＝AC . 又A 1A ＝B 1B ，∴Rt △A 1AC ≌Rt △B 1BA (SAS )， ∴A 1C ＝AB 1.15．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a ·b 以及a 与b 所成角的余弦值，并确定λ、μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．解析 ∵2a ＋3b ＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(12,13,16)， 3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21， |a |＝32＋52＋（－4）2＝50， |b |＝22＋12＋82＝69，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2150·69＝－7138230，由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0知，只要λ，μ满足λ＝2μ即可使λa ＋μb 与z 轴垂直．教师备选题1．如右图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN→＝2MG →，现用基向量OA →，OB →，OC→表示向量OG →，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x 、y 、z 的值分别是( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13 答案 D解析 因为GN →＝2MG →，所以MG →＝23MN →，所以OG→＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23(12OB →＋12OC →－12OA →) ＝12OA →＋13OB →＋13OC →－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →，故选D.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成60°角，求B 、D 间的距离．解析 ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD →＝0.同理BA →·AC→＝0.∵AB 和CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°.∵BD→＝BA →＋AC →＋CD →， ∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·CD→ ＝3＋2×1×1×cos 〈BA→，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4〈BA →，CD →〉＝60°，2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD→|＝2或2，即B 、D 间的距离为2或 2.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.7(含答案)
第八章 8.7 第7课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知AB→＝(2,4,5)，CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152 答案 D解析 ∵AB→∥CD →，∴32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.2．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A ．(33，33，－33)B ．(33，－33，33)C ．(－33，33，33)D ．(－33，－33，－33) 答案 D解析 AB→＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z ) ∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝0－x ＋z ＝0 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)单位法向量为：±n|n |＝±(33，33，33)．3．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a 等于( )A ．16B ．4C ．2D ．8 答案 A解析 P A →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB→(x 、y ∈R )，则 (2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，∴⎩⎨⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( )A ．是AC 和MN 的公垂线B ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MC 都不垂直 答案 A解析 建立空间直角坐标系，通过向量运算可得． 5．(2011·中山模拟)△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5 答案 A解析 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，∴由AC →·BD→＝0，得λ＝－45，∴BD→＝(－4，95，125)，∴|BD →|＝5. 6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D ，AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B解析 设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，13，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→＝(－1，－1，1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .7．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15 答案 B解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC→＝(3,1,4)，则⎩⎨⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －1＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.二、填空题8．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．答案 垂直解析 由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β.9．若|a |=17，b ＝(1,2，－2)，c ＝(2,3,6)，且a ⊥b ，a ⊥c ，则a ＝________.答案 (－185，2，15)或(185，－2，－15) 解析 设a ＝(x ，y ，z )， ∵a ⊥b ，∴x ＋2y －2z ＝0.① ∵a ⊥c ，∴2x ＋3y ＋6z ＝0.② ∵|a |＝17.∴x 2＋y 2＋z 2＝17.③ ∴联立①②得x ＝－18z ，y ＝10z ，代入③得425z 2＝17，z ＝±15.∴a ＝(－185，2，15)或(185，－2，－15)．10．设a ＝(1,2,0)，b ＝(1,0,1)，则“c ＝(23，－13，－23)”是“c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量”的________．(将正确的序号填上)．①充要条件②充分不必要条件 ③必要不充分条件④既非充分条件也非必要条件 答案 ②解析 当c ＝(23，－13，－23)时，c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量，反之则不成立． 三、解答题11．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在一点P 使B 1D ⊥平面P AC?解析以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系设存在点P (0,0，z )，AP →＝(－a,0，z )，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→＝(a ，a ，a )． ∵B 1D ⊥平面P AC ， ∴DB 1→·AP →＝0，DB 1→·AC →＝0. ∴－a 2＋az ＝0.∴z ＝a ，即点P 与D 1重合．∴存在一点P ，即点P 与D 1重合时，DB 1⊥平面P AC . 12.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .解析 如图所示，以D 为原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，CP ＝a ，则P (0,1，a )、A 1(1,0,1)、B 1(1,1,1)、E (12，1,0)、C 1(0,1,1)，∴A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1P →＝ (－1,1，a －1)，DE →＝(12，1,0)，DC 1→＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B 1→＝0， n 1·A 1P →＝0即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋(a －1)z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝a －1， ∴n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0.令x 2＝－2，y 2＝1，z 2＝－1，∴n 2＝(－2,1，－1)． ∵面A 1B 1P ⊥面C 1DE ，∴n 1·n 2＝0⇒－2(a －1)－1＝0，得a ＝12.∴当P 为C 1C 的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .13．已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面P AD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE?解析 (1)证明 以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝AD ＝2，则有B (1,2,0)，C (－1,4,0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，E (－12，2，32)， ∴BE→＝(－32，0，32)，PC →＝(－1,4，－3)， CD→＝(0，－4,0)，∴BE →·PC →＝(－32，0，32)·(－1,4，－3)＝0， BE →·CD→＝(－32，0，32)·(0，－4,0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD .又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD .(2)解析 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋32z ＝012x ＋2y ＋32z ＝0，令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为(1，－1，3)．取PB 中点F ，则有F (12，1， 32)．又A (1,0,0)，∴AF→＝(－12，1，32)，∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0， ∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE . 14.如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .解析 (1)设AC 与BD 交于点G ，因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD .如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F (22，22，1)．所以CF →＝(22， 22，1)，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)．所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE ，所以CF ⊥平面BDE .拓展练习·自主餐1．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC .证明：A 1C ⊥平面BED .解析 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D —xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)． DE→＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)， A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→＝(2,0,4)．因为A 1C →·DB →＝0，A 1C →·DE→＝0， 故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D ，所以A 1C ⊥平面BED .2．如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .证明：平面AMD ⊥平面CDE .解析 方法一 因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .取AD 中点为P ，连接MP ，则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .方法二 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD→＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .3．如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC .(1)求证：BC⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．解析(1)证明：由已知得DE⊥AE，DE⊥EC，∵AE∩EC＝E，AE、EC⊂平面ABCE，∴DE⊥平面ABCE，∴DE⊥BC.又BC⊥CE，CE∩DE＝E，∴BC⊥平面CDE.(2)证明：取AB中点H，连接GH、FH，如右图，∴GH∥BD，FH∥BC，∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD，∴平面FHG∥平面BCD，∴GF∥平面BCD.(3)分析可知，R点满足3AR＝RE时，平面BDR⊥平面DCB.证明：取BD中点Q，连接DR、BR、CR、CQ、RQ，如下图．容易计算CD＝2，BR＝52，CR＝132，DR＝212，CQ＝2，在△BDR中，∵BR＝52，DR＝212，BD＝22，可知RQ＝52，∴在△CRQ中，CQ2＋RQ2＝CR2，∴CQ⊥RQ.又在△CBD中，CD＝CB，Q为BD中点，∴CQ⊥BD，∴CQ⊥平面BDR，∴平面BDC⊥平面BDR.(说明：若设AR＝x，通过分析，利用平面BDC⊥平面BDR推算出x＝12亦可，不必再作证明．)4．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点．(1)求证：C1M⊥平面A1ABB1；(2)求证：A1B⊥AM；(3)求证：平面AMC1∥平面NB1C；(4)求A1B与B1C所成的角．思路分析(1)考虑使用线面垂直的判定定理；(2)利用三垂线定理或逆定理；(3)利用两平面平行的判定定理；(4)由于题目中未给出相关的线段长，因此该角一定是特殊角，从90°，60°，45°，30°入手考虑．解析(1)方法一：由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1，又∵C1M⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥MC1.又∵C1A1＝C1B1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1.又A1B1∩A1A＝A1，∴C1M⊥平面A1B1.方法二：由直棱柱性质得：面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线为A1B1，又∵C1A1＝C1B1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1于M.由面面垂直的性质定理可得C1M⊥面AA1B1B.(2)由(1)知C1M⊥平面A1ABB1，∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.∵AC1⊥A1B，∴A1B⊥AM.(3)方法一：由棱柱性质知AA1B1B是矩形，M、N分别是A1B1、AB的中点，∴AN綊B1M.∴AMB1N是平行四边形．∴AM∥B1N.连结MN，在矩形AA1B1B中有MB1綊BN，∴BB1MN是平行四边形．∴BB1綊MN.又由BB1綊CC1，知MN綊CC1.∴MNCC1是平行四边形．∴C1M綊CN.又C1M∩AM＝M，CN∩NB1＝N，∴平面AMC1∥平面NB1C.方法二：由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B.又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M＝C1，∴A1B⊥平面AMC1.同理，可以证明A1B⊥平面B1NC.∴平面AMC1∥平面B1NC.(4)方法一：由(2)知A1B⊥AM，又由已知A1B⊥AC1，AM∩AC1＝A，∴A1B⊥平面AMC1又∵平面AMC1∥平面NB1C.∴A1B⊥平面NB1C.又B1C⊂平面NB1C，∴A1B⊥B1C.∴A1B与B1C所成的角为90°.方法二：由棱柱性质有面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，又CA＝CB＝C1A1，N为AB的中点，∴CN⊥AB.∴CN⊥面AA1B1B.∴CB1在侧面AA1B1B上的射影是NB1.又由(2)知A1B⊥AM，由(3)知B1N∥AM，∴A1B⊥B1N.由三垂线定理知B1C⊥A1B.∴A1B与B1C所成的角为90°.教师备选题1．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；解析(1)解法一设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，又H为BC的中点，∴GH綊12AB.又EF綊12AB，∴EF綊GH，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.2．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解析 解法一：(1)如图，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面ABEF .所以BC ⊥EF .因为△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以∠AEB ＝45°.又因为∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝45°＋45°＝90°，即EF ⊥BE .因为BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE . (2)存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .取BE 的中点N ，连接CN 、MN ，则MN 綊12AB 綊PC ，所以四边形PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN .因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以PM ∥平面BCE .解法二：(1)因为△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以AE ⊥AB . 又因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB .∴AE ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥AD .因此，AD 、AB 、AE 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系A －xyz .不妨设AB ＝1，则AE ＝1，B (0,1,0)，D (1,0,0)，E (0,0,1)，C (1,1,0)．因为F A ＝FE ，∠AEF ＝45°，所以∠AFE ＝90°，从而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，12.所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，BE →＝(0，－1,1)，BC →＝(1,0,0).EF →·BE→＝0＋12－12＝0，EF →·BC →＝0.所以EF ⊥BE ，EF ⊥BC .因为BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE . (2)存在点M ，当M 为AE 中点时，PM ∥平面BCE .M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.从而PM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12，于是PM →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12＝0. 所以PM ⊥FE ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，故PM ∥ 平面BCE .。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：9.4(含答案)
第九章9.4第4课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知直线l过点(－2,0)、当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时、其斜率k 的取值范围是()A．(－22、22)B．(－2、2)C．(－24、24) D．(－18、18)答案 C解析设l的方程y＝k(x＋2)、即kx－y＋2k＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k＋2k|k2＋1<1、∴－24<k<24.2．直线x sinθ＋y cosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是() A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案 B解析圆心到直线的距离d＝|sinθ－2－sinθ|sin2θ＋cos2θ＝2.所以直线与圆相切．3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切、则平移的最短距离为()A.2－1 B．2－ 2C. 2D.2－1与2＋1答案 A解析如图、圆心(2,1)到直线l0：x－y＋1＝0的距离d＝|2－1＋1|2＝2、圆的半径为1、故直线l0与l1的距离为2－1、∴平移的最短距离为2－1、故选A.4．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4；O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a、b∈R)、那么两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切答案 C解析由两圆方程易知其圆心坐标分别为O1(a、b)、O2(a＋1、b＋2)、经计算得：O1O2＝5、由于R－r＝1<O1O2＝5<R＋r＝3、故两圆相交．5．函数y ＝f (x )的图象是圆心在原点的单位圆在Ⅰ、Ⅲ象限内的两段圆孤、如图、则不等式f (x )<f (－x )＋2x 的解集为 ( )A ．(－1、－22)∪(0、22)B ．(－1、－22)∪(22、1)C ．(－22、0)∪(0、22)D ．(－22、0)∪(22、1)答案 D6．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线、则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2C.7 D ．3答案 C解析设直线上一点P 、切点为Q 、圆心为M 、则|PQ |即为切线长、MQ 为圆M 的半径、长度为1、|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1、要使|PQ |最小、即求|PM |最小、此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离、设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d 、则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22、 ∴|PM |最小值为22、|PQ |＝|PM |2－1＝（22）2－1)＝7、选C.7．若圆O 1方程为：(x ＋1)2＋(y ＋1)2－4＝0、圆O 2方程为：(x －3)2＋(y －2)2－1＝0、则方程(x ＋1)2＋(y ＋1)2－4＝(x －3)2＋(y －2)2－1表示的轨迹是( )A ．线段O 1O 2的中垂线B ．过两圆的公切线交点且垂直于线段O 1O 2的直线C ．两圆公共弦所在的直线D ．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等答案 D解析 ∵圆心距|O 1O 2|＝（＋1）2＋（2＋）2＝5>2＋1＝3、∴两圆相离．把所给的轨迹方程化简得4x ＋3y －7＝0显然线段O 1O 2的中点不在直线4x ＋3y －7＝0上、排除A 、C 、由计算知、到两圆的切线长相等的点的轨迹恰为直线4x ＋3y －7＝0.8．已知圆C ：x 2＋y 2＝1、点A (－2,0)及点B (2、a )、从A 点观察B 点、要使视线不被圆C 挡住、则a 的取值范围是( )A ．(－∞、－1)∪(－1、＋∞)B ．(－∞、－2)∪(2、＋∞)C ．(－∞、－433)∪(433、＋∞)D ．(－∞、－4)∪(4、＋∞)答案 C解析 解法一：(直接法)写出直线方程、将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决．过A 、B 两点的直线方程为y ＝a 4x ＋a 2、即ax －4y ＋2a ＝0、则d ＝|2a |a 2＋16＝1、化简后、得3a 2＝16、解得a ＝±433.再进一步判断便可得到正确答案为C.解法二：设AB 1直线方程为⎩⎨⎧ y ＝k (x ＋)x 2＋y 2＝1⇒(1＋k 2)x 2＋4k 2x ＋4k 2－1＝0、Δ＝0、k＝±33、 直线AB 1方程为y ＝33(x ＋2)、直线AB 2方程为y ＝－33(x ＋2)、可得B 1(2、433)、B 2(2、－433)、要使从A 看B 不被圆挡住、B 纵坐标即实数a 的取值范围为(－∞、－433)∪(433、＋∞)．9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1、则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6]答案 A二、填空题10．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点、且|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)、则实数a 等于________．答案 ±2解析 由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|知OA ⊥OB 、所以由题意可得|a |2＝2、所以a＝±2.11．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧、其中的劣弧最短时、直线l 的方程为________．答案 x －2y ＋3＝0解析 设圆心为N (2,0)、由圆的性质得直线l ⊥MN 时、形成的劣弧最短、由点斜式得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.12．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M 、N 两点、若|MN |≥23、则k 的取值范围是________．答案 [－34、0]解析 如图、记题中圆的圆心为C (3,2)、作CD ⊥MN 于D 、则|CD |＝|3k ＋1|1＋k 2、于是有|MN |＝2|MD |＝2|CM |2－|CD |2＝24－9k 2＋6k ＋11＋k 2≥23、即4－9k 2＋6k ＋11＋k 2≥3、解得－34≤k ≤0.13．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点、则b 取值范围是__________．答案 －1＜b ≤1或b ＝－ 2解析 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)方程x 2＋y 2＝1(x ≥0)所表示的曲线为半圆(如图)当直线与圆相切时或在l 2与l 3之间时、适合题意．三、解答题14．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等、求此切线的方程．解析 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等、∴切线的斜率是±1.设切线方程为y ＝－x ＋b 或y ＝x ＋c 、分别代入圆C 的方程得2x 2－2(b －3)x ＋(b 2－4b ＋3)＝0或2x 2＋2(c －1)x ＋(c 2－4c ＋3)＝0、由于相切、则方程有等根、即b ＝3或b ＝－1、c ＝5或c ＝1.故所求切线方程为：x ＋y －3＝0、x ＋y ＋1＝0、x －y ＋5＝0、x －y ＋1＝0.15．已知圆C 经过点A (－2,0)、B (0,2)、且圆心C 在直线y ＝x 上、又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ→＝－2、求实数k 的值； (3)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直、且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点、求四边形PMQN 面积的最大值．解 设圆心C (a 、a )、半径为r .因为圆C 经过点A (－2,0)、B (0,2)、所以|AC |＝|BC |＝r 、易得a ＝0、r ＝2、所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(2)因为OP →·OQ →＝2×2×cos 〈OP→、OQ →〉＝－2、且OP →与OQ →的夹角为∠POQ 、 所以cos ∠POQ ＝－12、∠POQ ＝120°、所以圆心到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1、又d ＝1k 2＋1、所以k ＝0. (3)设圆心O 到直线l 、l 1的距离分别为d 、d 1、四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l 、l 1都经过点(0,1)、且l ⊥l 1、根据勾股定理、有d 21＋d 2＝1.又易知|PQ |＝2×4－d 2、|MN |＝2×4－d 21、所以S ＝12·|PQ |·|MN |、即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－(d 21＋d 2)＋d 21·d 2＝212＋d 21·d 2≤2 12＋(d 21＋d 22)2＝2 12＋14＝7、当且仅当d 1＝d 时、等号成立、所以S 的最大值为7.教师备选题1．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上、点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －1＝0上、则|PQ |的最小值是________．答案 35－3－ 6解析 转化为一个圆上的动点到另一个圆圆心距离的最小值．2．已知：过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)求证：AM →·AN→为定值； (3)若O 为坐标原点、且OM →·ON→＝12、求k 的值． 解析 (1)解法一：∵直线l 过点A (0,1)且斜率为k 、∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将其代入圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1、得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0 ①由题意：△＝[－4(1＋k )]2－4×(1＋k 2)×7>0、 得4－73<k <4＋73.解法二：同解法一得直线方程为y ＝kx ＋1、即kx －y ＋1＝0、又圆心到直线距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1、 ∴d ＝|2k －2|k 2＋1<1、 解得4－73<k <4＋73.(2)设过A 点的圆的切线为AT 、T 为切点、则|AT |2＝|AM |·|AN |、|AT |2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7、∴|AM →|·|AN→|＝7. 根据向量的运算：AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|·cos0°＝7为定值．(3)设M (x 1、y 1)、N (x 2、y 2)、则由①得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4＋4k 1＋k 2x 1x 2＝71＋k 2∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12 ⇒k ＝1(代入(1)检验符合题意)．3．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至多有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22、则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．(－∞、2－3]B ．[2＋3、＋∞)C ．(－∞、2－3]∪[2＋3、＋∞)D ．[2－3、2＋3]答案 C解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2、∴圆心坐标为(2,2)、半径为32、要求圆上至多有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22、则圆心到直线的距离应大于等于2、∴ |2a ＋2b |a 2＋b 2≥2、∴(a b )2＋4(a b )＋1≥0、ab≤－2－3或ab≥－2＋3、又l的斜率k＝－ab、∴k≤2－3或k≥2＋3、选C.∴。
【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-8(含答案)
P(C2)＝6
P(C3)＝3
设 “甲、乙、丙三地都恰为中雨 ”为事件 E，则
P(
E)
＝
P(A2)P(B2)P(C2)＝
12×12×
16＝
1 24.
(2)设甲、乙、丙三地都达到理想状态的概率分别为 P1，P2，P3，则 P1＝P(A2)
＝
12，
P2＝
P(B1)＝
14，
P3＝
P(C2)＋
P(C3)
5 ＝6.
＝(
1 3)
3＝217；
P(ξ＝1)＝P(A1 A 2 A 3)＋P( A 1A2 A 3)＋ P( A 1 A 2A3)
＝23×(13)2＋13×23×13＋(13)2×23＝29；
P(ξ＝2)＝P(A1 A 2A3)＝23×13×23＝247；
P(ξ＝3)＝P(A1A2
A
3)＋P(
A
1A2A3)
第十章 10.8 第八课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1 1．已知随机变量 ξ服从二项分布 ξ～B(6， 3)，即 P(ξ＝2)等于 ( )
3 A. 16
1 B.243
13 C.243
80 D.243
答案 D
解析
已知
ξ～
B(6，
1 3)，
P(ξ＝
k)
＝
Cknpk
qn－k，
1 当 ξ＝2，n＝ 6， p＝ 3时，
解析 (1)由人工降雨模拟的统计数据，用 A、 B、 C 三种人工降雨方式对甲、 乙、丙三地实施人工降雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示．
方式 实施地点
大雨
中雨
小雨
1
1
【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-9(含答案)
10．一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应 为 0.10，0.20 和 0.30.假设各部件的状态相互独立，以 ξ表示同时需要调整的部件 数，试求 ξ的数学期望 Eξ和方差 Dξ.
由①②解得 a＝0.3，b＝0.5，
∴ a× b＝ 0.3× 0.5＝ 0.15. 答案 C
3．已知离散型随机变量 ξ，η，满足 ξ＋η＝8，且 ξ～B(10,0.6)，则 Eη，Dη分 别是 ( )
A ． 6、 2.4
B ． 2、 2.4
C． 2、 5.6
D ． 6、 5.6
解析 由均值、方差的性质， ξ＋η＝8，得 η＝ 8－ ξ，
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)设团体总分为 ξ，求随机变量 ξ的分布列和数学期望．
解析 (1)设乙闯关成功的概率为 P1，丙闯关成功的概率为 P2，则由题意得
1 3P1
＝16，
P1·P2＝15.
解得 P1＝12，P2＝25.
即乙闯关成功的概率为
12，丙闯关成功的概率为
2 5.
(2)由题意知，ξ的可能取值为
4 ＝5，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
(1)由于事件 “该生至少有 1 门课程取得优秀成绩 ”，与事件“ ξ＝ 0”是对立的， 6 119
所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 1－ P(ξ＝ 0)＝1－ 125＝125.
(2)由题意知 P(ξ＝ 0)＝P( A 1 A 2 A 3)
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第十章 10.8 第八课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，13)，即P (ξ＝2)等于( )A.316B.1243C.13243D.80243答案 D解析 已知ξ～B (6，13)，P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k ， 当ξ＝2，n ＝6，p ＝13时，有P (ξ＝2)＝C 26(13)2(1－13)6－2＝C 26(13)2(23)4＝80243.2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012(38)10·(58)2B ．C 911(38)9(58)2·38C ．C 911(58)9·(38)2D ．C 911(38)9·(58)2答案 B解析 P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·(38)9(58)2×38. 3．在初三一个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数ξ～B (5，14)，则p (k ；14)取最大值的k 值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 C k 5(34)5－k (14)k ≥C k －15(34)5－(k －1)(14)k －1 C k 5(34)5－k (14)k ≥C k ＋15(34)5－(k ＋1)(14)k ＋1 ∴解得12≤k ≤32 ∴k ＝1，故选B4．若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于( )A ．0.665B ．0.00856C ．0.91854D ．0.99144答案 D5．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是()A．(99100)6B．0.01C.C16100(1－1100)5D．C26(1100)2(1－1100)4答案 C解析P＝C16·1%·(1－1 100)5.6．如果ξ～B(15，14)，则使p(ξ＝k)取最大值的k值为()A．3 B．4 C．5 D．3或4 答案 D解析采取特殊值法．∵P(ξ＝3)＝C315(14)3(34)12，P(ξ＝4)＝C415(14)4(34)11，P(ξ＝5)＝C515(14)5(34)10，从而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)＞(ξ＝5)．7．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为()A．(1－p)n B．1－p nC．p n D．1－(1－p)n答案 D解析显然n位同学参加某项选拔测试可看作n次独立重复试验，其中没有一位同学能通过测试的概率为(1－p)n，故至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.二、填空题8．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现在一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________．答案0.5解析设A＝“能活到20岁”，B＝“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故A∩B＝B，于是P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝P(B)P(A)＝0.40.8＝0.5，所以这个动物能活到25岁的概率是0.5.9．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.答案10 243解析考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B (5，13)，即有P (ξ＝k )＝C k 5(13)k ×(23)5－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.∴P (ξ＝4)＝C 45(13)4×(23)1＝10243.10．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．答案 35解析 设该队员每次罚球的命中率为p (其中0<p <1)，则依题意有1－p 2＝1625，p 2＝925.又0<p <1，因此有p ＝35.三、解答题11．2011年初，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解析 (1)记“该考生正确做出第i 道题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P (A i )＝34，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为：P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝34×34×14＝964.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B ，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故P (B )＝C 34×(34)3×14＋C 44×(34)4＝189256.12．在一次考试中出了六道是非题，正确的记“”，不正确的记“”，若某考生完全记上六个符号且答对每道题的概率均为12，试求：(1)全部正确的概率；(2)正确解答不少于4道的概率；(3)至少正确解答一半的概率．解析 (1)P 1＝P 6(6)＝C 66·(12)6＝164； (2)P 2＝P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 46·(12)4(1－12)2＋C 56·(12)5(1－12)1＋C 66(12)6(1－12)0＝1132；(3)P 3＝P 6(3)＋P 6(4)＋P 6(5)＋P 6(6)＝C 36·(12)3·(12)3＋C 46·(12)4·(12)2＋C 56·(12)5·(12)＋C 66(12)6＝2132. 13．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解析 (1)设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”为事件A ，则A ＝{(b ，c )|b 2－4c ≥0，b 、c ＝1， (6)Ω中的基本事件总数为：6×6＝36个．A 中的基本事件总数为：6＋6＋4＋2＋1＝19个故所求概率为：P (A )＝1936(2)由题意，ξ可能取值为0,1,2，则：P (ξ＝0)＝1736，P (ξ＝1)＝236＝118，P (ξ＝2)＝1736.∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望Eξ＝0×1736＋1×118＋2×1726＝1. (3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件B ，则P (B )＝1－2536＝1136.P (A ∩B )＝6＋136＝736，∴P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝7361136＝711. 14．某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解析 (1)设X 为射手在5次射击击中目标的次数，则X ～B (5，23)，在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 25×(23)2×(1－23)3＝40243.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中， 有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2＋(23)3＝881.(3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝(13)3＝127； P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×(13)2＋13×23×13＋(13)2×23＝29；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝(23)2×13＋13×(23)2＝827；P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝(23)3＝827.所以ξ拓展练习·自助餐1．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．答案 0.128解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.2．某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A 、B 、C 三种人工降拟试验的统计数据．(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只需小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量 ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.解析 (1)由人工降雨模拟的统计数据，用A 、B 、C 三种人工降雨方式对甲、乙、丙三地实施人工降雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示．设P (E )＝P (A 2)P (B 2)P (C 2)＝12×12×16＝124.(2)设甲、乙、丙三地都达到理想状态的概率分别为P 1，P 2，P 3，则P 1＝P (A 2)＝12，P 2＝P (B 1)＝14，P 3＝P (C 2)＋P (C 3)＝56.ξ的可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝(1－P 1)(1－P 2)(1－P 3)＝12×34×16＝116；P (ξ＝1)＝P 1(1－P 2)(1－P 3)＋(1－P 1)P 2(1－P 3)＋(1－P 1)(1－P 2)P 3＝12×34×16＋12×14×16＋12×34×56＝1948； P (ξ＝2)＝(1－P 1)P 2P 3＋P 1(1－P 2)P 3＋P 1P 2(1－P 3)＝12×14×56＋12×34×56＋12×14×16＝716；P (ξ＝3)＝P 1P 2P 3＝12×14×56＝548.所以随机变量ξ的分布列为所以，数学期望Eξ＝116×0＋1948×1＋716×2＋548×3＝1912.教师备选题1．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )A.34B.25C.110D.59答案 D2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160答案 B解析 三个人都不去北京旅游的概率为：(1－13)(1－14)(1－15)＝25所以至少有1人去北京旅游的概率：1－25＝35.3．金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时平均每小时实际开动12分钟，且开动与否相互独立．现因当地电力供应部门只提供50千瓦的电力，这10台机床能够正常工作的概率有多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多大？解析 (1)设10台机床中实际开动的台数为ξ，由于每台机床正在工作的概率为1260＝15，而且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况，故ξ～B (10，15)，从而P (ξ＝k )＝C k 10(15)k (45)10－k (k ＝0,1,2，……，10)． 50千瓦电力可同时供给5台机床开动，因而只要10台机床同时开动的台数不超过5台就可正常工作，这一事件的概率为P (ξ≤5)，P (ξ≤5)＝P 10(0)＋P 10(1)＋……＋P 10(5)＝C 010(45)10＋C 110(15)(45)9＋……＋C 510(15)5(45)5≈0.994. (2)由(1)知，在电力供应仅为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约只有8×60×0.006＝2.88(分钟)，这说明10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响．4．中国篮球职业联赛(CBA )某赛季总决赛在某两队之间进行，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)若组织者在此次决赛中获得的门票收入恰好为300万元，问此决赛共比赛了多少场？(2)求组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为多少？ 解析 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (10n ＋70)2＝300. 解得n ＝5或n ＝－12(舍去)．∴此次决赛共比赛了5场．(2)由S n ≥390得n 2＋7n ≥78，∴n ≥6.∴若要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场．①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2∶3，且第6场比赛为领先一场的球队获胜，其概率P (6)＝C 35×(12)5＝516；②若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3∶3，则概率为P (7)＝C 36×(12)6＝516；∴门票收入不少于390万元的概率为P ＝P (6)＋P (7)＝1016＝58＝0.625.5．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(2)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． 解析 (1)记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用．则D ＝A ＋B ·C ，P (A )＝0.5×0.5＝0.25，P (B )＝2×0.5×0.5＝0.5，P (C )＝0.3.P (D )＝P (A ＋B ·C )＝P (A )＋P (B ·C )＝P (A )＋P (B )P (C )＝0. 25＋0.5×0.3＝0.40.(2)X ～B (4,0.4)，其分布列为：P (X ＝0)＝(1－0.4)4＝0.1296，P (X ＝1)＝C 14×0.4×(1－0.4)3＝0.3456，P (X ＝2)＝C 24×0.42×(1－0.4)2＝0.3456，P (X ＝3)＝C 34×0.43×(1－0.4)＝0.1536，P (X ＝4)＝0.44＝0.0256.期望EX ＝4×0.4＝1.6.6．一个口袋中装有n 个红球(n ≥5且n ∈N *)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．(1)试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；(2)若n ＝5，求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为f (p )．当n 取多少时，f (p )最大？解析 (1)一次摸奖为从n ＋5个球中任选两个，有C 2n ＋5种，它们等可能发生，其中两球不同色有C 1n C 15种，一次摸奖中奖的概率p ＝C 1n C 15C 2n ＋5＝10n (n ＋5)(n ＋4)(n ≥5且n ∈N *)．(2)若n ＝5，一次摸奖中奖的概率p ＝10×5(5＋5)(5＋4)＝59，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是P 3(1)＝C 13·p ·(1－p )2＝80243.(3)设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为f (p )＝C 13·p ·(1－p )2＝3p 3－6p 2＋3p,0<p <1. 由f ′(p )＝9p 2－12p ＋3＝3(p －1)(3p －1)知，在(0，13]上f (p )为增函数，在[13，1)上f (p )为减函数，则当p ＝13时，f (p )取得最大值．即p ＝10n (n ＋5)(n ＋4)＝13，解得n ＝20或n ＝1.又∵n ≥5且n ∈N *.∴当n ＝20时，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大.。