2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高三(上)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)
河北省正定中学2014-2015学年高二4月月考数学(文)试题及答案
数学一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． 1．已知集合1{|0}1xA x x+=≥-,集合{sin ,}B y y x x R ==∈,则R B A =ðI （ ） A ．∅ B ．{1} C ．{－1} D ．{－1,1}2．命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是（ ）A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,x x e x ∃∈≤R 3．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（ ）A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 4．已知为{}n a 等比数列，n S 是它的前n 项和.若35114a a a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值为（ ） A.35 B.33 C.31D.295．实数m 为区间[0,6]上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ） A.14 B. 13C. 12D. 23 6．已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为（ ） A ．[]8,2 B ．(]8,2 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,516 D ．⎥⎦⎤⎝⎛8,516 7．已知角α是第二象限角,且3sin 5α=, ()sin 2cos cos2sin f x x x αα=+的图像关于直线0x x =对称,则0tan x =（ ）A ．724－B ．247C ．34－ D ．438．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的 表面积是（单位2m ）（ ）A ．624+B ．64+C ．224+D ．24+ 9.下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中123,,x x x 为三个评阅人对该题的独立评分，p 为该题的最终得分，当126,9,8.5x x p ===时，3x 等于（ ）A ．11B ．10C ．8D ．710. 函数21()x f x e -=的部分图象大致是（ ）11. 已知定义在R 上的函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()01f =，则不等式()<x f x e 的解集为（ ）A. 4(,)-∞eB. 4(,)+∞eC. (,0)-∞D. (0,)+∞12.已知椭圆2215x y +=，椭圆的中心为坐标原点O ，点F 是椭圆的右焦点，点A 是椭圆短轴的一个端点，过点F 的直线l 与椭圆交于M N 、两点，与OA 所在直线交于E 点，若12,,EM MF EN NF λλ==，则12λλ+=（ ）A.10-B.10C. 5-D. 5第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第 象限．14．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点K ，直线l 过焦点F 且倾斜角为α，则点K 到直线l 的距离为 ． 15.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 ．16．方程(0)169x x y yλλ+=<的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，下列命题中正确的是 ．（请写出所有正确命题的序号）①函数()y f x =在R 上是单调递减函数； ②函数()y f x =的值域是R ；③函数()y f x =的图像不经过第一象限； ④函数()y f x =的图像关于直线y x =对称； ⑤函数()4()3F x f x x =+至少存在一个零点三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，31 , cos . 4AB BC C ===（1）求sin A 的值； （2）求CA CB ⋅的值.18．（本小题满分12分）某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4． （Ⅰ）估计成绩在80分以上学生的比例； （Ⅱ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．19．（本小题满分12分）已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=o，2,AB EC ==AE BE ==,O 为AB 的中点.（1）求证：EO ⊥平面ABCD ； （2）求点D 到面AEC 的距离． 20．（本小题满分12分）如图，已知圆E ：22(16x y +=，点F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知,,A B C 是轨迹Γ的三个动点，A 与B 关于原点对称，且||||CA CB =，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知a R ∈，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）判断函数()f x 在区间(0,]e 上的单调性；（2）是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直?若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．如图，PA 为圆 O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA=10，PB=5．求：(Ⅰ)圆 O 的半径；(Ⅱ) sin BAP ∠的值． 23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程在直 角 坐 标 系xOy 中，曲线1C 的参数方程为 sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参 数)，以 原点O 为 极 点，以x 轴 正 半 轴为 极 轴，建立极 坐 标 系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ(1) 求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程;(2) 设P 为曲线1C 上的 动 点，求 点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 坐标.解：（I ）证明：连接CO 2AE EB AB ===Q AEB ∴V 为等腰直角三角形Q O 为AB 的中点,1EO AB EO ∴⊥=……………………2分 又,60AB BC ABC =∠=oQACB ∴V 是等边三角形CO ∴=，………………………………4分 又2,EC =222EC EO CO ∴=+，即E O ∴⊥EO ABCD ∴⊥平面……………………6分（II ）设点D 到面AEC 的距离为h 2AE AC EC ===Q∴2AEC S =V …………8分Q ADC S =V ,E 到面ACB 的距离1EO =D AECE ADC V V --=Q ∴AEC ADC S h S EO ⋅=⋅V V ………………………………10分h ∴=∴点D 到面AEC ……………………12分20解：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||EF >=故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． ··································· 2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，c =1b =， ····· 3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=． ····························································· 4分（Ⅱ）存在最小值． ··································································································· 5分 （ⅰ）当AB 为长轴（或短轴）时，可知点C 就是椭圆的上、下顶点（或左、右顶点），则1||||22ABC S OC AB ab ∆=⨯⨯==． ··········································································· 6分（ⅱ）方法一、当直线AB 的斜率存在且不为0时，设斜率为k ，则直线AB 的直线方程为y kx =，设点(,)A A A x y ，联立方程组221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得22414A x k =+，222414A k y k =+， 由||||CA CB =，知△ABC 是等腰三角形，O 为AB 的中点，则OC ⊥AB ，可知直线OC 的方程为1y x k =-，同理可得点C 的坐标满足22244C k x k =+，2244C y k =+，则222222444(1)||141414k k OA k k k +=+=+++，222222444(1)||444k k OC k k k +=+=+++，……8分则222||||||ABC OACS S OA OC OA ∆∆==⨯=． 9分222(14)(4)5(1)22k k k ++++≤， 所以224(1)825(1)52ABC OAC k S S k ∆∆+=≥=+，当且仅当22144k k +=+，即21k =时取等号． 综合（ⅰ）（ⅱ），当21k =时，△ABC 的面积取最小值85， ··································· 11分此时2224445C k x k ==+，22444Cy ==，即C x =C y =， 所以点C的坐标为，，(，(． 12分 方法二、前同（ⅰ），记21t k =+，则1t ≥，所以101t<≤，故ABC S ∆=== 当112t =，即21k =时，211259()24t --+有最大值254，此时ABC S ∆取得最小值85．综合（ⅰ）（ⅱ），当21k =时，△ABC 的面积取得最小值85． ······························· 11分此时2224445C k x k ==+，22444Cy ==，即C x =C y =， 所以点C的坐标为，，(，(． 12分 2当(]00,x e ∈，00x e>，001ln 10x x +-≥，∴00001()ln 1110x g x x e x ⎛⎫'=+-+≥> ⎪⎝⎭．曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解． 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解．故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在0x x =处的切线与y 轴垂直……12分。
2014-2015学年河北省石家庄市正定一中高三(上)周测数学试卷(4)
2014-2015学年河北省石家庄市正定一中高三（上）周测数学试卷（4）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共9小题，共27.0分)1.下列四类函数中，有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f （y）”的是（）A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数【答案】C【解析】解：根据题意，要求找到符合“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的函数；分析选项可得，A、B、D不符合f（x+y）=f（x）f（y），只有C中，对于指数函数有：a x+y=a x•a y，成立；故选C．根据题意，要求找到符合“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f （y）”的函数；分析选项可得答案．本题考查指数函数的运算性质，注意与对数函数、幂函数的区分．2.函数的值域是（）A.[0，+∞）B.[0，4]C.[0，4）D.（0，4）【答案】C【解析】解：∵4x＞0，∴＜，．故选C．本题可以由4x的范围入手，逐步扩充出的范围．指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的值域为（0，+∞）．3.设a=0.32，b=20.3，c=log20.3，则a，b，c的大小关系为（）A.c＜a＜bB.c＜b＜aC.a＜b＜cD.a＜c＜b【答案】A【解析】解：∵0＜a=0.32＜0.30=1，b=20.3＞20=1，c=log20.3＜log21=0，∴c＜a＜b．故选A．由0＜a=0.32＜0.30=1，b=20.3＞20=1，c=log20.3＜log21=0，知c＜a＜b．本题考查对数值和指数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4.如果log x＜log y＜0，那么（）A.y＜x＜1B.x＜y＜1C.1＜x＜yD.1＜y＜x【答案】D【解析】解：不等式＜＜可化为：＜＜又∵函数的底数0＜＜1故函数为减函数∴x＞y＞1故选D本题所给的不等式是一个对数不等式，我们要先将不等式的三项均化为同底根据对数函数的单调性，即可得到答案．本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据对数函数的性质将对数不等式转化为一个整式不等式是解答本题的关键．5.设2a=5b=m，且，则m=（）A. B.10 C.20 D.100【答案】A【解析】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故选A直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．6.函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．7.已知点，在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数【答案】A【解析】解：设幂函数为f（x）=xα，∵点，在幂函数f（x）的图象上，∴f（）=（），即，∴，即α=-1，∴f（x）=为奇函数，故选：A．根据幂函数的定义，利用待定系数法求出幂函数的不等式，然后根据幂函数的性质进行判断．本题主要考查幂函数的定义和性质，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．8.设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A.[-1，2]B.[0，2]C.[1，+∞）D.[0，+∞）【答案】D【解析】解：当x≤1时，21-x≤2的可变形为1-x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1-log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．9.已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A.（1，+∞）B.[1，+∞）C.（2，+∞）D.[2，+∞）【答案】C【解析】解：（方法一）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=-lgb，lga+lgb=0∴lg（ab）=0∴ab=1，又a＞0，b＞0，且a≠b（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：＜＜＜，整理得线性规划表达式为：＜＜＜，因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y⇒y=-x+z，即求函数的截距最值．根据导数定义，⇒＜⇒函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），∴a+b的取值范围是（2，+∞）．故选：C．由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，则lga=-lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，根据条件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号）列出关系式（a+b）2＞4ab=4，进而解决问题．二、填空题(本大题共3小题，共9.0分)10.（）+log3+log3= ______ ．【答案】【解析】解：（）+log3+log3==．故答案为：．直接利用分数指数幂的运算法则，对数的运算法则求解即可．本题考查分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力．11.若指数函数y=a x在[-1，1]上的最大值和最小值的差为1，则实数a= ______ ．【答案】或【解析】解：当a＞1时，y=a x在[-1，1]上单调递增，∴当x=-1时，y取到最小值a-1，当x=1时，y取到最大值a，∴a-a-1=1，当0＜a＜1时，y=a x在[-1，1]上单调递减，∴当x=-1时，y取到最大值a-1，当x=1时，y取到最小值a，∴a-1-a=1，解得a=；故答案为：或．分a＞1和0＜a＜1两种情况分别讨论y=a x在[-1，1]上的最大值和最小值，结合题意求解即可．本题考查了指数函数y=a x的单调性，当a＞1时，y=a x在R上单调递增，当0＜a＜1时，y=a x在R上单调递减，同时考查了分类讨论数学思想及学生的运算能力．12.关于函数，有下列命题①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；③f（x）的最小值是lg2；④f（x）在区间（-1，0）、（2，+∞）上是增函数；⑤f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是______ ．【答案】①③④【解析】解：①定义域为R，又满足f（-x）=f（x），所以函数y=f（x）的图象关于y轴对称，正确．②令t=（x＞0），在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．③t=≥2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．④当-1＜x＜0或x＞1时函数t=是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．⑤由③知，不正确．故答案为：①③④①判断函数是否为偶函数即可．②将复合函数转化为两个基本函数，令t=（x＞0），易知在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数．③因为t=≥2（x＞0），再由偶函数，可知正确．④当-1＜x＜0或x＞1时函数t=是增函数，再根据复合函数判断．⑤用③来判断．本小题主要考查对数函数的单调性与特殊点、对数函数的值域与最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．13.已知f（x）=log3x，x∈[1，9]，求函数y=f（x2）+f2（x）的值域．【答案】解：∵f（x）=log3x，x∈[1，9]，∴1≤x2≤9，1≤x≤9，∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴y=f（x2）+f2（x）=2log3x+log23x=（log3x+1）2-1，∴0≤（log3x+1）2-1≤3．故函数y=f（x2）+f2（x）的值域为[0，3]．【解析】由f（x）=log3x，x∈[1，9]，求函数y=f（x2）+f2（x）的定义域，再求函数的值域．本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．同时要注意函数的定义域．14.已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．【答案】解：（1）由对数函数的定义知＞．如果＞＞，则-1＜x＜1；如果＜＜，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（-1，1）（2）∵，∴f（x）为奇函数．（3）（ⅰ）对a＞1，log a＞等价于＞，①1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a＞等价于0＜＜．②而从（1）知1-x＞0，故②等价于-1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（-1，0）时有f（x）＞0．【解析】（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f（-x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（-x）+f（x）=0得到．（3）由对数函数的图象可知，要使f（x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．。
河北省正定中学2014届高三三轮模拟练习(五)数学(文)试题 Word版含答案
河北正定中学三轮模拟练习文科数学试卷（五）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若复数1aiz i-=对应的点在直线052=++y x 上，则实数a 的值为 A. 1 B.2 C.3 D.42.如下图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分集合．若,x y R ∈，{}22A x y x x ==-，{}3,0x B yy x ==>，则A *B =A.(2,)+∞ B ．[)0,1(2,)⋃+∞ C ．),1(]2,0[+∞ D ．[]0,1[2,)⋃+∞3.命题“[1,2]x ∀∈，02≤-a x ”为真命题的一个充分不必要条件是 A ．4≥a B ．4≤a C ．5≥a D ．5≤a 4.已知向量(sin(),1)6a πα→=+，(4,4cos 3)b α→=-，若a b →→⊥，则)34sin(πα+= A ．43-B .41- C. 43D. 415.设n S 是等差数列n a 的前n 项和，若612310S S =，则39S S = A.16 B. 13 C. 14 D.196.对任意非零实数b a ,，若b a ⊗的运算规则如图的程序框图，则4)23(⊗⊗的值是 A ．0 B ．21 C ．9D ．237．设实数,x y 满足约束条件202502x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22x y u x y +=+的取值范围是A ．39,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．47,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．17,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦4600600 正视图 600侧视图俯视图28. 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是A ．112πB ．112π+6C ．11πD ．112π+33 9.过点(0,1)-的直线l 与两曲线ln y x =和22x py =相切，则p 的值为 A ．14 B ．12C ．2D ．4 10．如下面左图所示，半径为2的⊙M 切直线AB 于O ，射线OC 从OA 出发绕着O点顺时针旋转到OB ．旋转过程中，OC 交⊙M 于P ．记PM O ∠为x ，弓形PnO 的面积为)(x f S =，那么)(x f 的图象是下面右图中的11. 设,P Q 是双曲线2242x y -=上关于原点O 对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l 折成直二面角，则折叠后线段PQ 长的最小值为 A ．22 B ．32 C ．42 D ．4 12. 数列{}n a 满足13,a =11[]()n n n a a a +=+()([]n n a a 与分别表示n a 的整数部分与分数部分），则=2014a A. 33020+ B. 2133020-+C. 33018+D. 2133018-+ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知1a →=，2b →=，且,a b →→不共线，则a b →→-与b →的夹角θ的范围为________ ．14．已知()()x e x x f 12+=，经过点()()1,0≠t t P 有且只有一条直线与曲线()x f 相切，则t 的取值范围是 .15. 已知P 是221(0,0)168x y x y +=≠≠上的点，1F ，2F 是椭圆的焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠角平分线上一点，且10FM MP ⋅=则OM 的取值范围是 . 16.对于定义在区间D 上的函数)(x f ,若存在闭区间[,]a b D Ü和常数c ，使得对任意x 1],[b a ∈,都有c x f =)(1，且对任意D x ∈2,当],[2b a x ∉时，c x f <)(2恒成立，则称函数f(x)为区间D 上的“平顶型”函数.给出下列说法： ①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数2)(--=x x x f 为R 上的“平顶型”函数； ③函数x x x f sin sin )(-=为R 上的“平顶型”函数；④当43≤t 时，函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)1()(log )1(2)(21x t x x x f 是区间),0[+∞上的“平顶型”函数.其中正确的是_______.(填上所有正确结论的序号）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河北省石家庄市正定中学2015届高三数学文1月月考试卷
河北省石家庄市正定中学2015届高三数学文1月月考试卷1．定义{}|,A B z z xy x A ⨯==∈∈且y B ，若{}{}|12,1,2A x x B =-<<=-，则A B ⨯=（ ）A.{}|12x x -<<B.{}1,2-C.{}|22x x -<<D. {}|24x x -<< 2．下列命题中，真命题是（ ）A.00,0x R x ∃∈≤B.,xex R e x ∀∈>C.0a b -=的充要条件是1ab= D. 若p q ∧为假，则p q ∨为假3．设,a b 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面（ ） A.若α∥,,,a b βαβ⊂⊂则a ∥b B.若α⊥,a β∥β，则a α⊥ C.若,,a a b a α⊥⊥∥,β则b ∥β D.若α⊥,,,a b βαβ⊥⊥则a b ⊥ 4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D.75. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 （ ） A.16643π-B.32643π-C.6416π-D.64643π-6． 将函数()2sin(2)4h x x π=+的图象向右平移4π个单位，再向上平移2个单位，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线0x =对称 B.关于直线8x π=对称C.关于点3(,2)8π对称D.关于点(,2)8π对称7.已知函数0(),x f x xe =10()'(),f x f x =21()'(),,f x f x =⋅⋅⋅1()()()n n f x f x n N *-'=∈ 则2014'(0)f =（ ）A.2013B.2014C.2 015D.2 016 8.已知数列{}n a 为等比数列，则123:p a a a <<是45:q a a <的（ ）俯视图侧视图正视图第（5）题(第4题)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以x 轴的正半轴为始边，若终边经过点P 00(,)x y 且(0)OP r r =>，定义：00cos y x si rθ-=，称“cos si θ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx ，有同学得到以下性质：①该函数的值域为⎡⎣；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线34x π=对称；④该函数的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,则这些性质中正确的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比q 是正整数，前n项和为n T ，若211,a d b d ==，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则298S T 等于（ ）A.4517 B. 13517 C. 9017 D.2701711.如图，过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点，交其准线于 点C，且4AF =+，则p =（ ）A.1B.2C.52D. 3 12.对于函数()f x ，若存在区间[]m,n ()m n <，使得()f x 在区间[]m,n 上的值域为[]m,n λλ，则称()f x 为“λ倍函数”，若()(1)xf x a a =>为“1倍函数”，则a 的取值范围为（ ）A.B.)eC.1(1,)ee D.1(,)ee e 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知函数1()ln2x f x x -=-，则78()()55f f +=__________ 14.若向量a,b 是单位向量，则向量a b -在向量a b +方向上的投影是________15.已知变量,x y 满足约束条件121x y x ≤+≤⎧⎨≤-⎩，则xy 的取值范围是_________16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段EF ,GH 分别在AB ，1CC 上移动，且12EF GH +=，则三棱锥EFGH 的体积最大值为__________ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分10分)等比数列 {}n a 中， 130(),4n a n N a a *>∈=，且 31a +是 2a 和 4a 的等差中项，若21log n n b a +=.(1)求数列 {}n b 的通项公式； (2)若数列 {}n c 满足 121211n n n n c a b b +-+=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和;18. (本小题满分12分)已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数→-→-⋅=b a x f )(． (1)求函数()f x 的对称中心；(2)在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．19. (本小题满分12分)如图, 四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形,O 为底面中心, 1A O ⊥平面ABCD.1AB AA ==(1) 证明: 1A C ⊥平面11BB D D ； (2) 求三棱柱111ABD A B D -的体积.20. (本小题满分12分)已知函数 3()sin ,()6x f x x g x x ==-(1)求曲线 ()y f x =在点 (,())44P f ππ处的切线方程； (2)证明：当0x >时， ()()x f x g x >>．1A21. (本小题满分12分)如图，已知点A 是离心率为的椭圆C ：的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值．22. (本小题满分12分) 已知函数1()ln f x x x=+. （1）求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程；（2）若mx x f x g +=)()(在[)1,+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围； （3）若在],[e 1上至少存在一个0x ，使得0002x ex f kx>-)(成立，求实数k 的取值范围.\18．解：（Ⅰ） x x x x b a x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(22+=⋅=⋅=→-→- 1)62sin(22sin 312cos ++=++=πx x x对称中心为(,1)212k ππ-（k ∈z ）………………6分 （Ⅱ） 31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62sin(=+πCC 是三角形内角 ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C 即：6π=C ∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a 将32=ab 代入k 式可得：71222=+aa 解之得：432或=a ∴23或=a ∴32或=bb a > ∴2=a 3=b ……………………12分19.(1)证明1,,A AO ABCD BD C ABCD ⊥∈平面平面 11,AO BD AO AC ∴⊥⊥BD AC BD AC O ⊥⋂=又，11,BD A AC BD AC ∴⊥∴⊥平面111RT AOA A =在中,11RT AOC A =在中2221111A A A C AC A A A C∴+=∴⊥1111111//,,,,A A B B AC B B B B BD B B B BD B BBD ∴⊥⋂=⊂又平面 111AC BD D ⊥平面B ………8分（2）10A ABCD ⊥平面11111=12ABD A B D V -∴=….12分，又222a b c =+， ….1分解得∴0m ≠，设11(,)D x y ，的斜率之和为定值0. …… 12分22．（1）ln 24y x =+ ……4分（2）2221111x x mx m x x x g mx x x mx x f x g -+=++-='⇒++=+=)(ln )()( ∵)(x g 在其定义域内为单调函数，∴012≥-+x mx 或者012≤-+x mx 在[1，＋∞）恒成立．…………7分21x x m -≥∴或者21x xm -≤∴在[1，＋∞）恒成立． 01412≤-≤-xx∴m 的取值范围是1,04m m ≤-≥或。
河北省石家庄市正定县第五中学高三数学文月考试题含解析
河北省石家庄市正定县第五中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，角所对的边分别为，若的三边成等比数列，则的值为（）A． B． C． D．不能确定参考答案：B2. 双曲线的一条渐近线与椭圆交于点M、N，则|MN|=（） A． B． C． D．参考答案：C略3. 已知函数，则函数的图象可能是（）参考答案：B4. 若非零向量满足,则与的夹角为（）A．B．C．D．参考答案：A略5. 设,当实数满足不等式组时，目标函数的最大值等于2，则的值是A. 2B.3C.D.参考答案：D略6. 已知x,y满足条件（k为常数），若目标函数的最大值为8，则k=A. B. C. D.6参考答案：7. （3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）（B）（C）（D）参考答案：C；；，输出所以答案选择C8. 已知是虚数单位，，则A. B. C. D.参考答案：C9. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（?U A）∪B=（）A．{3} B．{4，5} C．{1，2，3} D．{2，3，4，5}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，∴?U A={3，4，5}，∵B={2，3}，则（?U A）∪B={2，3，4，5}．故选D【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10. 已知实数，，，则a，b，c的大小关系是A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某算法的程序框图如图所示，执行该算法后输出的结果i 的值为参考答案：６略12. 已知偶函数f（x），当时，f（x）=2sinx，当时，，则参考答案：13. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，记S为△ABC的面积，若A=60°，b=1，S=，则c= ，cosB= ．参考答案：3，．【考点】HP ：正弦定理．【分析】由已知及三角形面积公式可求c 的值，进而利用余弦定理可求a 及cosB 的值．【解答】解：∵A=60°，b=1，S==bcsinA=，∴解得：c=3．∴由余弦定理可得：a===，∴cosB===．故答案为：3，．14. 若,且，则实数m的值为 .参考答案：1或-3略15. 若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则它的侧视图的面积为参考答案：略16. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）参考答案：2.6【考点】数列的应用．【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则A n=，B n=，由题意可得：=，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，，则--------________参考答案：【知识点】函数的周期性．B4【答案解析】．解析：设0＜x≤2，则﹣2≤﹣x＜0，f（﹣x）=﹣ax+b，f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）=﹣ax+1=﹣ax+b，∴b=1，而f（﹣2）=f（2），∴﹣2a+1=2a﹣1，即a=，所以f（2015）=f（﹣1）=．故答案为：．【思路点拨】先根据奇偶性求出b，然后根据周期性可求出a的值，从而可求出f（2015）的值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
【精品】2014-2015年河北省石家庄市正定中学高二上学期数学期末试卷(文科)与答案
2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）设集合M={x|x2+2x﹣15＜0}，N={x|x2+6x﹣7≥0}，则M∩N=（）A．（﹣5，1]B．[1，3）C．[﹣7，3）D．（﹣5，3）2．（5分）已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=7+ni，则（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．（5分）已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）x0123y1357A．（2，2）B．（，0）C．（1，2）D．（，4）4．（5分）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6B．12C．24D．365．（5分）“实数m=﹣”是“直线l1：x+2my﹣1=0和直线l2：（3m+1）x﹣my﹣1=0”相互平行的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16B．8C．D．48．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为（）A．B．4C．1D．9．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个C．1个D．2个10．（5分）设x，y想，满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．411．（5分）过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）若定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．14．（5分）在[﹣6，9]内任取一个实数m，设f（x）=﹣x2+mx+m，则函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于．15．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx，若存在x∈（0，π），使得f′（x）＞λx 成立，则实数λ的取值范围是．16．（5分）（1）“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件．（2）“a=2”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的充要条件．（3）已知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；p2：∀x∈[1，2]，使得x2﹣1≥0．则p1∧p2是真命题．（4）设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若a=1，b=．则A=30°是B=60°的必要不充分条件．其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{a n}为等比数列，其中a1=1，且a2，a3+a5，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式：（2）设b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在三角形ABC中，sin2CcosC+cosC=cos2CsinC+．（1）求角C的大小；（2）若AB=2，且sinBcosA=sin2A，求△ABC的面积．19．（12分）某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得x＜y，且A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．20．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=4．（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；（Ⅱ）在BC边上是否存在一点M，使得D点到平面PAM的距离为2，若存在，求BM的值，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=﹣2于点M，N．（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O为原点，求证：∠MON为定值．22．（12分）设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2．（1）若函数f（x）的图象在x=﹣1处的切线与直线y=3x平行，求a的值；（2）若a=1，求函数f（x）的极值与单调区间；（3）若函数f（x）=ax3﹣3x2的图象与直线y=﹣2有三个公共点，求a的取值范围．2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）设集合M={x|x2+2x﹣15＜0}，N={x|x2+6x﹣7≥0}，则M∩N=（）A．（﹣5，1]B．[1，3）C．[﹣7，3）D．（﹣5，3）【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+5）＜0，解得：﹣5＜x＜3，即M=（﹣5，3），由N中不等式变形得：（x﹣1）（x+7）≥0，解得：x≤﹣7或x≥1，即N=（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞），则M∩N=[1，3），故选：B．2．（5分）已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=7+ni，则（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【解答】解：由m（1+i）=7+ni，得m+mi=7+ni，即m=n=7，∴=．故选：D．3．（5分）已知研究x与y之间关系的一组数据如表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（）A．（2，2）B．（，0）C．（1，2）D．（，4）【解答】解：∵=1.5，=4，∴这组数据的样本中心点是（1.5，4）根据线性回归方程一定过样本中心点得到，线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（1.5，4）故选：D．4．（5分）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（）A．6B．12C．24D．36【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12故选：B．5．（5分）“实数m=﹣”是“直线l1：x+2my﹣1=0和直线l2：（3m+1）x﹣my﹣1=0”相互平行的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m=0时，两直线分别为x=1和x=1，此时两直线重合，故m≠0，若两直线平行，则等价为，即m=﹣，则“实数m=﹣”是“直线l1：x+2my﹣1=0和直线l2：（3m+1）x﹣my﹣1=0”相互平行的充要条件，故选：A．6．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选：D．7．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16B．8C．D．4【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，∴a4•a14=（2）2=8，∴a7•a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a 7+a11≥2=2=8．故选：B．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为（）A．B．4C．1D．【解答】解：当输入的x值为10时，y=x﹣1=4，此时|y﹣x|=6，不满足退出循环的条件，继续执行循环，此时x=4，y=1；当x=4，y=1时，|y﹣x|=3，不满足退出循环的条件，继续执行循环，此时x=1，y=；当x=1，y=时，|y﹣x|=，不满足退出循环的条件，继续执行循环，此时x=，y=；当x=，y=时，|y﹣x|=＜1，满足退出循环的条件，故输出结果为故选：A．9．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个C．1个D．2个【解答】解：因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线mx+ny﹣4=0的距离d=＞2，所以m2+n2＜4，所以点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．∵椭圆的长半轴3，短半轴为2∴圆x2+y2=4内切于椭圆∴点P是椭圆内的点∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．故选：D．10．（5分）设x，y想，满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（4，6）．此时z=4a+6b=12，即=1，则+=（+）（）=1+1++≥2+2=4，当且仅当=时取=号，故选：D．11．（5分）过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵，∴，∴，∴，故选：C．12．（5分）若定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，函数g（x）=则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则f（x+2）=f[（x+1）+1]=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x），所以函数y=f（x）是以2周期的函数．在同一坐标系内画出y=f（x），y=g（x）在区间[﹣5，5]上的图象，共有8个交点，所以函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8个故选：C．二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：2514．（5分）在[﹣6，9]内任取一个实数m，设f（x）=﹣x2+mx+m，则函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于．【解答】解：∵f（x）=﹣x2+mx+m的图象与x轴有公共点，∴△=m2+4m＞0，∴m＜﹣4或m＞0，∴在[﹣6，9]内任取一个实数m，函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于=．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx，若存在x∈（0，π），使得f′（x）＞λx 成立，则实数λ的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：f（x）=sinx﹣xcosx的导数为f′（x）=cosx﹣（cosx﹣xsinx）=xsinx，因为f′（x）＞λx，所以xsinx＞λx．当0＜x＜π时，λ＜sinx，当0＜x＜π时，sinx∈（0，1]，当x=时，sinx取得最大值1．即有λ＜1．故答案为：（﹣∞，1）．16．（5分）（1）“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件．（2）“a=2”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的充要条件．（3）已知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；p2：∀x∈[1，2]，使得x2﹣1≥0．则p1∧p2是真命题．（4）设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若a=1，b=．则A=30°是B=60°的必要不充分条件．其中真命题的序号是①④（写出所有真命题的序号）【解答】解：对于（1），数列{a n}为等比数列，设其公比为q，则=q2为定值，数列{a n a n+1}为等比数列，充分性成立；反之，若数列{a n a n+1}为等比数列成立，例如数列1，3，2，6，4，12，8…满足数列{a n a n+1}为等比数列，但数列{a n}不为等比数列，故“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件，故（1）正确；对于（2），例如a=1时，f（x）在区间[2，+∞）为增函数，所以）“a=2”不是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）为增函数”的充要条件，故（2）不对；对于（3），由于x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，故命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0为假命题；p2：∀x∈[1，2]，使得x2﹣1≥0，为证明题，故p1∧p2是假命题，即（3）错误；对于（4），设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若a=1，b=．则A=30°是B=60°的必要不充分条件．因为a=1．b=，若A=30°”成立，由正弦定理=，所以sinB=，所以B=60°或120°，反之，若“B=60°”成立，由正弦定理得=，得sinA=，因为a＜b，所以A=30°，所以A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件．故（4）对；综上所述，真命题的序号是①④，故答案为：①④．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{a n}为等比数列，其中a1=1，且a2，a3+a5，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式：（2）设b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设在等比数列{a n}中，公比为q，∵a1=1，且a2，a3+a5，a4成等差数列，∴2（a3+a5）=a2+a4，∴2（q2+q4）=q+q3，解得q=，∴a n=．（2）∵，∴b n=（2n﹣1）•a n=（2n﹣1）•（）n﹣1，∴，①，②①﹣②，得：﹣（2n﹣1）•=1+2[1﹣（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n=3﹣，∴．18．（12分）在三角形ABC中，sin2CcosC+cosC=cos2CsinC+．（1）求角C的大小；（2）若AB=2，且sinBcosA=sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在三角形ABC中，sin2CcosC+cosC=cos2CsinC+．化简得：sinC=cosC，即sinC+cosC=，得2sin（C+）=，则sin（C+）=．故C+=或（舍），则C=．（6分）（2）因为sinBcosA=sin2A=2sinAcosA，所以cosA=0或sinB=2sinA．当cosA=0时，A=90°，则b=，==；（8分）当sinB=2sinA时，由正弦定理得b=2a．由cosC===，可知a2=．（10分）所以===．（12分）19．（12分）某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得x＜y，且A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．【解答】解：（1）∵=（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y），∵=，∴x+y=17…①∵=（1+1+0.25+1+2.25）=1.1，=[4+（x﹣8）2+0.25+0.25+（y﹣8）2]，∵=，∴（x﹣8）2+（y﹣8）2=1…②由①②结合x＜y得：x=8，y=9．（2）记被检测的5件B种元件为：A，B，C，D，E，其中A，B，C，D为正品，从中选取的两件为（x，y）则共有=10种不同的情况，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），记“抽取2件都为正品”为事件A，则事件A共包含=6种不同的情况，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），故P（A）==，即2件都为正品的概率为．20．（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=4．（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；（Ⅱ）在BC边上是否存在一点M，使得D点到平面PAM的距离为2，若存在，求BM的值，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵ABCD是矩形，∴CD⊥AB，又∵PA⊥底面ABCD，且CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；（Ⅱ）解：假设BC边上存在一点M满足题设条件，令BM=x，∵AB=2，BC=4．且PA⊥底面ABCD，PA=2，则在Rt△ABM中，，∵PA⊥底面ABCD，∴，．又∵V P=V D﹣PAM，﹣AMD∴，解得＜4．故存在点M，当BM=时，使点D到平面PAM的距离为2．21．（12分）已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=﹣2于点M，N．（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O为原点，求证：∠MON为定值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：将E（2，2）代入y2=2px，得p=1，所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（，0）．…（3分）（Ⅱ）证明：设A（，y1），B（，y2），M（x M，y M），N（x N，y N），因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率设直线l方程为y=k（x﹣2），与抛物线方程联立得到，消去x，得：ky2﹣2y﹣4k=0，则由韦达定理得：y1y2=﹣4，，…（6分）直线AE的方程为：y﹣2=，即y=，令x=﹣2，得y M=，…（9分）同理可得：，…（10分）又∵，，所以=4+y M y N=4+=4+=4+=0…（13分）所以OM⊥ON，即∠MON为定值…（14分）．22．（12分）设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2．（1）若函数f（x）的图象在x=﹣1处的切线与直线y=3x平行，求a的值；（2）若a=1，求函数f（x）的极值与单调区间；（3）若函数f（x）=ax3﹣3x2的图象与直线y=﹣2有三个公共点，求a的取值范围．【解答】解：f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），（1）函数f（x）的图象在x=﹣1处的切线与直线y=3x平行，即有f′（﹣1）=3a+6=3，解得a=﹣1，此时，切点为（﹣1，﹣2），切线方程为y=3x+1，它与已知直线平行，符合题意．故a=﹣1；（2）a=1时，f′（x）=3x（x﹣2），当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＜0，或x＞2时，f′（x）＞0，所以，f（x）的单调减区间为[0，2]，单调增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）；当x=2时，f（x）有极小值f（2）=﹣4，当x=0时，f（x）有极大值f（0）=0；（3）当a=0时，f（x）=﹣3x2，它与y=﹣2没有三个公共点，不符合题意，当a＞0时，由f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）知，f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，又f（0）=0，f（）=﹣，所以﹣＜﹣2，即﹣＜a＜，又因为a＞0，所以0＜a＜；当a＜0时，由f′（x）=3x（ax﹣2）知，f（x）在（﹣∞，）和（0，+∞）上单调递减，在（0，）上单调递增，又f（0）=0，f（）=﹣，所以﹣＜﹣2，即﹣＜a＜，又因为a＜0，所以﹣＜a＜0；综上所述，a的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．第21页（共23页）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔第22⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = xxxxx第23页（共23页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
河北省正定中学高三上学期期末考试(文)数学试题
2015-2016学年第一学期高三文科期末考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}0342<+-=x x x A ，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 2.已知，若复数为纯虚数，则（ ） A ． B ． C ． D ．3.已知)(sin )(3R x x x x f ∈+=是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 4.抛物线的焦点坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．5为了了解高一、高二、高三的身体状况，现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，三个年级学生数之比依次为，已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为（ ） A ． B ． C ． D ．6.函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）7.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ） A ． B ． C ． D ．8.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以的的速度由处出发，沿北偏东方向进行海面巡逻，当航行半小时到达处时，发现北偏西方向有一艘船，若船位于的北偏东方向上，则缉私艇所在的处与船的距离是（ ）10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D.11.已知分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左，右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量，为单位向量且夹角为，向量与垂直，则________.14.若满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-131y y x x y ，则的最大值为_______.15.直三棱柱中，，，，则该三棱柱的外接球的体积为________.16.函数ϕωϕω,,)(sin()(A x A x f +=是常数，且)的部分图象如图所示，下列结论： ①最小正周期为；②将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数； ③； ④；⑤，其中正确的是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列的前项和，且是的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18.（本小题满分12分）随机抽取某中学甲乙两班各名同学，测量他们的身高（单位：），获得身高数据的茎叶图如图.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这名同学中随机抽取两名身高不低于的同学，求身高为的同学身高被抽中的概率.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，面，为的中点. （1）求证：平面；（2）设，，，求点到平面的距离.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为和，由个点，，和组成了一个高为，面积为的等腰梯形.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线和椭圆交于两点，求面积的最大值. 21.（本小题满分12分）设函数..已知曲线在点处的切线与直线平行. （1）求的值；（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的实根？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知是半圆的直径，，点是半圆上一点，过作半圆的切线，过点作于，交半圆于，. （1）求证：平分； （2）求的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线)4sin(22:πθρ-=C ，为曲线上的动点，定点.（1）将曲线的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求、两点的最短距离.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为,求参数的取值范围.高三文科数学答案一、选择题 1.【答案】B【解析】因为{}{}310342<<=<+-=x x x x x A ，{}{}{}414231<<=<<<<=x x x x x x B A .故选B.2.【答案】D 【解析】2)2()2()1)(1()1)(2(12ia a i i i i a i i a z +--=-+--=+-=为纯虚数，则. 3.【答案】B【解析】，所以是奇函数. 4.【答案】C 5.【答案】C【解析】由已知高一年级抽取的比例为，所以，得， 故高三年级抽取的人数为. 6.【答案】C坐标为，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足. 综上所述，排除A ，B ，D.故选C. 7.【答案】B【解析】第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；周期为，则执行该程序后输出的结果是. 8.【答案】C【解析】由题意，知 303060=-=∠BAC ，754530=+=∠ABC ，753075180=--=∠ACB ，∴)(202140km AB AC =⨯==，由余弦定理，得)32(400340080030cos 202022020cos 22222-=-=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+= BAC AB AC AB AC BC ∴))(26(10)13(210)13(200)32(4002km BC -=-=-=-=.9.【答案】B【解析】若，则，符合题意，若，则82222c a c a x a x ≥⇒≥≥+，于是.所以. 10.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为，高为的圆柱，再加上一个半圆锥：122111221221222++=⨯⨯+⨯⨯+⨯++πππππ，故选B. 11.【答案】B【解析】本题以双曲线为素材，综合考察双曲线的离心率和函数的最值，难度中等.设，则a c t t a PF -≥+=,21.又a a ta t t t a PF PF 844)2(22221≥++=+=，当且仅当时等号成立.所以，所以.故选A. 12.【答案】B【解析】若不等式对所有的，都成立， 即对所有的，都成立， 即对所有的，都成立， 即对都成立，即对都成立， 即大于等于在区间上的最大值， 令，则，当时，，单调递增， 所以，的最大值为，即， 所以的取值范围为. 二、填空题 13.【答案】 14.【答案】【解析】画出可行域，目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率，当其经过点时，取到最大值为.15.【答案】 16.【答案】①④⑤ 【解析】由图可知，ππϕπωππππ2321272,2431274,2+=+⨯=⇒=⇒=-==k T T A ， 3)0()32sin(2)(=⇒+=f x x f π，)322sin(2)332sin(2)6(ππππ+=++=+x x x f ，对称轴为直线，一个对称中心为，所以②、③不正确； 因为的图象关于直线对称，且的最大值为，121313141213111212131112⨯=->⨯=-ππππππ，所以，即④正确； 设为函数的图象上任意一点，其对称中心的对称点还在函数的图象上，即)35()()()35(x f x f x f x f --=⇒-=-ππ，故⑤正确. 三、解答题：17.【解析】（1）由已知，有)1(2211>-=-=--n a a S S a n n n n n ， 即.从而，.又因为是的等差中项，即.解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 故. ....................6分 （2）由（1）得，所以n n nT 223222132+⋅⋅⋅+++=， 12223112-+⋅⋅⋅+++=n n nT 两式相减 nn nn n n n n n T 2222211)21(12212121112+-=---=-+⋅⋅⋅+++=-. ................12分 18.【答案】（1）乙班同学的平均身高较高；（2）；（3）.试题解析：（1）由茎叶图知：设样本中甲班位同学身高为，乙班位同学身高为，则)(170)158162163168168170171179179182(101cm x =+++++++++=甲. 2分 )(1.171)159162165168170173176178179181(101cm x =+++++++++=乙. 4分∵，据此可以判断乙班同学的平均身高较高. （1）设甲班的样本方差为，由（1）知.则22222222)170168()170168()170170()17017()170179()170179()170182[(101-+-+-+-+-+-+-=1甲s )(2.57])170158()170162()170163(2222cm =-+-+-+， 8分（3）由茎叶图可知：乙班这名同学中身高不低于的同学有人，身高分别为、、、、.这名同学分别用字母、、、、表示.则记“随机抽取两名身高不低于的同学”为事件，则包含的基本事件有：、、、、、、、、、共个基本事件. 10分记“身高为的同学被抽中”为事件， 则包含的基本事件为：、、、共个基本事件. 由古典概型的概率计算公式可得：52104)()()(==Ω=n M n N P . 12分 19.（1）设与的交点为，连接，因为为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以 .平面，平面，所以平面. ............6分 （2）设交于点，由题设知平面， 所以面，作交于， 故平面，又，所以到平面的距离为. ...........12分 方法二：33120sin 6131=⋅⋅=⋅⋅=∆- AD AB PA PA S V ABD ABD P ， ，，， 所以，，，设到平面的距离为，所以有，， 所以到平面的距离为.20.【解析】（1）由条件，得，且，所以.又，解得，.所以椭圆的方程. ...............4分 （2）显然，直线的斜率不能为，设直线方程为，直线与椭圆交于，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422my x y x ，消去得，096)43(22=--+my y m .因为直线过椭圆内的点，无论为何值，直线和椭圆总相交. ∴439,436221221+-=+=+m y y m m y y . 22221221212121)43(1124)(212++=-+=-=-=∆m m y y y y y y y y F F S ABF )1(9132114)311(1422222++++=+++=m m m m , .................10分令，设，易知时，函数单调递减，函数单调递增， 所以当即时，，取最大值. ...........12分21.【解析】（1）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以. 又，所以. ...............4分 （2）时，方程在内存在唯一的根.设x ex x x x g x f x h 2ln )1()()()(-+=-=，当时，.又01148ln 42ln 3)2(22=->-=-=e e h ， 所以存在，使. 因为xex x x x x h )2(11ln )(-+++='，所以当时，， 当时，，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根. ....12分 22.解：（1）连接，因为，所以， 因为为半圆的切线，所以， 因为，所以， 所以，，所以平分. .....................5分 （2）连接，由（1）知，所以. 因为四点共圆，故，因为是半圆的直径，所以是直角，相似于，，. ..................10分23.解：（1）由)cos (sin 2)4sin(22θθπθρ-=-=，得到θρθρρcos 2sin 22-=，∴曲线的直角坐标方程为：且曲线是以为圆心，为半径的圆. ...........5分（2）点直角坐标为，点到圆心的距离为3)221()221(22=-+--， 的最短距离为. ..............10分24.解：（1）当时，，得到，当时，，得到，当时，，得到，综上，不等式解集为. .................5分（2）由题意知，对一切实数恒成立，当时，，当时，，当时，.综上，.故. ..............................10分。
河北省正定中学—度第一学期高三数学第五次月考
2007—2008学年度第一学期第五次月考高三年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共2页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．圆422=+y x 被直线0323=-+y x 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 （ ）A3π B 6π C 4π D 2π 2. 已知平面上三点A 、B 、C 满足⋅+⋅+⋅===则,5||,4||,3||的值等于 （ ）A 25B 24C －25D －243. 若集合}5|{},0162|{52≤=≤--=y C y B x x x A ，则B A ⋂中元素个数为 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个4.设2()lg()1f x a x=+-（0≠x ）是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 （ ） A (1,0)- B (0,1) C (,0)-∞ D(,0)(1,)-∞+∞5.函数|2sin 32cos |x x y -=的一条对称轴方程为 （ ） A 12π=x B 6π=x C 4π=x D 12π-=x6.若二项式23nx ⎛⎝*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 （ ）A 5B 6C 7D 87.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 （ ）A.3360 种B.2240种C.1680种D.1120种8. 已知样本容量为30，在样本频率分布直方图1中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别为（ ） A.0.4,12 B.0.6,16 C.0.4,16 D.0.6,129.在等差数列{n a }中，a 1>0, 95175a a =, 则数列{n a }前n 项和n S 取最大值时，n 的值等于（ ）A 12B 11C 10D 910.AB 是抛物线x y 22=的一条焦点弦，|AB |=4，则AB 中点C 的横坐标是 （ ）A 2B 21C 23D 2511. 已知三棱锥BCD A -中，060,,1,90=∠⊥===∠ADB BCD AB CD BC BCD 面，点E 、F 分别在AC 、AD 上，使面CD EF ACD BEF //,且面⊥，则平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为 （ ） A66 B 77 C 42D 3112．定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足： f （－x ）＝－f （x ）， f （1＋x ）＝f （1－x ），当x ∈[－1,1]时， f （x ）＝x 3，则f （2 007）的值是 （ ） (A)－1(B)0(C)1(D)2二、填空题: （每小题5分，共20分） 13.已知数列{n a }的通项公式为121+=-n n a ，则01n C a +12n C a + +33n C a +n n n C a 1+=14.当实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥0220k y x x y x （k 为常数）时y x z 3+=有最大值为12，则实数k 的值为15. 椭圆14922=+y x 的焦点为21F ,F ，点P 为椭圆上的动点，当021<•PF PF 时，点P 的横坐标的取值范围是_________ 16.关于函数))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π有下列命题:①由0)()(21==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； ②)(x f y =的表达式可改写为)62cos(4π-=x y ；③)(x f y =的图象关于点（－)0,6π对称； ④)x (f y =的图象关于直线6π-=x 对称。
河北省正定中学2015届高三上学期第五次月考数学试题
河北省正定中学2015届高三上学期第五次月考数学试题第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1},{|,,,M N x x ab a b M =-==∈且}a b ≠，则集合M 与集合N 的关系是 A. M N =B. MN N = C. M N N = D. M N =∅2. 已知复数1(1i)a bi i +=-（其中,ab R ∈，i 是虚数单位），则a b +的值为A. 2-B. 1-C. 0D. 23．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是 A．y =B ．sin y x x =C ．1lg1x y x -=+D ．x xy e e -=- 4．已知角α的终边经过点)4,(m P ，且3cos 5α=-，则m = A. 3-B. 92-C. 92 D. 35. 已知实数x 、y 满足02010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为A.12B. 1C. 2D. 46．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是 A. 24π+ B. 20π+ C. 224π+ D. 220π+7．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m n= A.18 B. 8 C. 9D.198．设函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则 A ．()f x 的图象过点1(0,)2B ．()f x 在2[,]123ππ上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12πD ．将()f x 的图象向右平移||ϕ个单位得到2sin y x ω=的图象 9. 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S 为A ．12-B. 3-C.13D. 2 10．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的体积为 A. 8πB.3C. 3D. 311．设函数3,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩，若()f x x a =+有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是A. (,2)-∞B. (,2]-∞C. [1,2]D. [1,)+∞12．已知直线AB 与抛物线22y x =交于,A B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA CB∙取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则A. CM AB ⊥B. CM CB ⊥C. CM CA ⊥D. CM l ⊥第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的相应位置．13. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量的n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 ________. 14. 若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为________. 15．已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，若点2F 关于直线x aby =的对称点M 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为________. 16．设圆22:3C x y +=，直线:360l x y +-=，点00(,)P x y l ∈，若存在点Q C ∈， 使得60(OPQ O ∠=为坐标原点），则0x 的取值范围为________.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）. 17．（本小题满分10）已知sin 2cos 022x x-=. （1）求tan x 的值；（2）求cos2)sin 4xx xπ+⋅的值.18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）某工厂生产A 、B 两种元件，某质量按测试指标划分，指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试依据以频率估计概率的统计思想，分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（2）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下：（i ）记X 为生产一件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ii ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率.20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，底面ABC 为直角三角形，且90ABC ∠=，SA ⊥底面ABC ，且S A A B =，点M 是SB 的中点，AN SC ⊥且交SC 于点N . （1）求证：SC ⊥平面AMN ；（2）当AB BC =时，求二面角N MA C --的余弦值.21．（本小题满分12分）已知(1,0),(1,0)A B -，动点M 满足22,||||cos 3AMB AM BM θθ∠=⋅⋅=，设M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过A 的直线1l 与曲线C 交于E 、F 两点，过B 与1l 平行的直线2l 与曲线C 交于G 、H 两点，求四边形EFGH 的面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln ln ,(),xf x x ag x ae =-=其中a 为常数，函数()y f x =和()y g x =的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行.（1）求函数()()(1)F x f x g x =--的单调区间；（2）若不等式()(1)[(1)]0xf x k x f g x -+-≤在区间[1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.2015届高三第五次月考 数学参考答案及评分标准一、选择题 1-5 BCDAC 6-10 ABCAD 11-12 AD 二、填空题 13．80 14．4 1516．6[0,]5三、解答题 17．解：（1）sin2cos 022x x-=，则cos 02x ≠，tan22x∴= ……………………2分 222tan2242tan 1231tan 2x x x ⨯∴===--- ……………………4分 （2）原式22=………………6分(cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )sin sin x x x x x xx x x x-++==- ……………8分411tan 134tan 43x x -+===- ……………10分 【注】其他方法比照上述方法酌情给分.18．解：（1）由已知*n N ∈时，22n n n S a a =+，12112(2)n n n S a a n ---∴=+≥ 两式相减，得22112n n n n n a a a a a --=+-- ……………2分111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-又1,n n a a -为正数，11(2)n n a a n -∴-=≥ …………4分{}n a ∴是公差为1的等差数列，当1n =时，21112S a a =+得11a =或10a =（舍去）1(1)1n a n n ∴=+-⨯= …………6分（2）22n n n na nb == 12231232222n n n nT b b b ∴=+++=++++……① 由①12⨯得2341112322222n n nT +=++++………② ………8分由①-②得23111111222222n n n nT +=++++-111(1)221212n n n +-=-- …………………… 10分 222n n n T +∴=- …………………… 12分【注】答案形式不唯一.19．解：（1）原件A 为正品的概率约为4032841005++= …………1分原件B 为正品的概率约为4029631004++= …………2分 （2）（i ）随机变量X 的所有取值为15,30,45,90-. …………3分111(15)5420p X =-=⨯=；411(30)545p X ==⨯=；133(45)5420p X ==⨯=；433(90)545p X ==⨯=. ……………7分所以，随机变量X 的分布列为：…………8分1133(15)30459066205205EX ∴=-⨯+⨯+⨯+⨯=. …………9分 （ii ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件， 以题意，得5010(5)140n n --≥，解得196n ≥， 所以，4n =或5n = ……………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件C 则445531381()()().444128p C C =⨯+=…………12分 20．解：（1）证明SA ⊥底面ABC ，BC SA ∴⊥，又BC AB ⊥,SA AB A BC =∴⊥平面SAB ，AM ⊂平面SAB ，AM SB ∴⊥，…………2分又,SA AB M =是SB 的中点，AM SB ∴⊥，SB BC B =AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ⊥，…………2分又已知AN SC ⊥，ANAM A =SC ∴⊥平面AMN .……………6分（2）解法一：有（1）可知：AM ⊥平面NCM ，∴平面NCM 是二面角C AM N --的垂面，CMN ∴∠为二面角C AM N --的平面角 …………8分设1SA AB BC ===，在Rt SAB ∆中，122AM BM SB ===CM ∴==在Rt SAC ∆，1,SA AC SC ===3AN ∴==，则3CN ==…………10分在Rt CNM ∆中，MN ==1cos 3MN CMN CM ∴∠===∴二面角N MN C --的余弦值为13.……………12分（2）解法二:如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 设1AB SA ==，则(0,A B CS， 11(,0,)22M ， 11(,0,),(1,1,0)22AM AC ∴==，…………8分设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即011022x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1z =，可得(1,1,1)n =-，…………10分由（1）可知CS 是平面AMN 的法向量，且(1,1,1)CS =--1cos ,3||||CS n CS n CS n ⋅∴==∴二面角N MN C --的余弦值为13.…………12分21．解：（1）设(,)M x y ，在MAB ∆中，||1,2AB AMB θ=∠=由余弦定理得22||||2||||cos24AM BM AM BM θ+-=，…………2分 即2(||||)2||||2||||cos24AM BM AM BM AM BM θ+--=2(||||)2||||(1cos2)4AM BM AM BM θ+-+= 22(||||)4||||cos 4AM BM AM BM θ+-=又2cos 3AM BM θ⋅=，所以4AM BM +=. …………4分 由于42AM BM AB +=>=，因此点M 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，同时该椭圆的长半轴2a =，焦距22c =，所以，曲线C 的方程为22143x y +=； ……………………… 5分 （2）由题意可知四边形EFGH 为平行四边形，结合对称性，则4EFGH OEF S S ∆= 设直线EF 的方程为1,x my =-且1122(,),(,)E x y F x y由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my +--=，12122269,3434m y y y y m m ∴+==-++，且0∆>成立， 121||||2OEFOAE OAF S S SOA y y ∆∆∆=+=-==，令21m t +=，则1t ≥，OEF S ∆∴==， 又1()9g t t t∴=+在[1,)+∞上单调递增，()(1)10g t g ∴≥=，OEF S ∆∴的最大值为32，EFGH S ∴的最大值为6，此时0m =.【注】其他方法比照上述方法酌情给分.22．解：（1）()f x 与坐标轴交点为(,0)a ，1()f a a'=， ()g x 与坐标轴交点为(0,)a ，(0)g a '= 1a a∴=解得1a =±，又0a >，故1a =……………2分 ()ln ,()x f x x g x e ∴==， 1()ln ,(0,)x F x x e x -=-∈+∞1111()x x xe F x e x x---'∴=-=令1()1x h x xe -=-，显然函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =…………4分 当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0F x '∴>，()F x ∴在(0,1)上单调递增………5分 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0F x '∴<，()F x ∴在(1,)+∞上单调递减 故()F x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞. ……………6分 （2）原不等式等价于：2ln (1)0x x k x --≤在区间[1,)+∞上恒成立. 设2()ln (1)(1)x x x k x x ϕ=--≥则()ln 12x x kx ϕ'=+- …………7分 令()()ln 12(1)u x x x kx x ϕ'==+-≥112()2k u x k x x-'∴=-= …………8分 ①0k ≤时，()0,()u x x ϕ''>在区间[1,)+∞上单调递增，()(1)120x k ϕϕ''>=->()x ϕ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0x ϕϕ≥=不符合题意，舍去. ……………9分②当102k <<时，若1(1,),()02x u x k '∈> 则()x ϕ'在1(1,)2k上单调递增，()(1)120x k ϕϕ''>=-> ()x ϕ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0x ϕϕ≥=不符合题意，舍去. ……………10分 ③当12k ≥时，()0u x '≤在[1,)+∞恒成立， ()x ϕ'∴在[1,)+∞上单调递减()(1)120x k ϕϕ''∴≤=-≤ ()x ϕ∴在[1,)+∞上单调递减()(1)0x ϕϕ≤=即2ln (1)0x x k x --≤对x ∈[1,)+∞恒成立，综上所述，实数k 的取值范围是1[,)2+∞.………………12分 【注】其他方法比照上述方法酌情给分.。
河北正定中学高三上学期第五次月考数学文
河北正定中学高三年级第五次考试数学试题(文)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．已知集合R x x x y y B R x x x y y A ∈+==∈-+==,||1|{},,32|{2且}0≠x ,则 B A I =( )学A.]2,4[--B.]2,4[-C.),2[+∞D.),4[+∞-2．“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条3．在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的且222b c a ++=，则A ∠等于（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π4．给出下列命题：①若,,a b R a b +∈≠，则3322a b a b ab +>+.②若0,0,a b a b >><，则a m ab m b +<+；③若,,a bc 均为正数，则bc ac aba b c a b c++≥++.④若31,x y +=则 114x y+≥+ ） A.1个B.2个C.3个D.4个5．已知函数()log (01)a f x x a a =>≠且满足23()()f f a a >，则1(1)1f x->的解是（ ）A.111x a <<-B.11x a <<C.10x a <<D.101x a<<- 6．已知{}n a 是等比数列，251223112,,(N )4n n a a a a a a a a n *+==+++∈则…的取值范围是A ．[12,16]B ．32[8,]3 C ．32[8,)3 D ．1632[,]337．若△ABC 的内角满足sin cos 0A A +>，tan sin 0A A -<，则角A 的取值范围是（ ）A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．π3π(,)24D ．3π(,π)48．已知二次函数1)12()1(2++-+=x n x n n y ，当n 依次取1,2,3,4,,10⋅⋅⋅⋅⋅⋅时，其图 像在x 轴上所截得的线段的长度的总和为（ ）A ．1 B.1110 C.1112 D.1211 9．在直线21y x =+上有一点P ，过点P 且垂直于直线4330x y +-=的直线与圆2220x y x +-=有公共点，则点P 的横坐标取值范围是（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞UB ．（－1，1）C ． 122[,]55-- D ．122(,)55-- 10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222a y x =+的切线FM (切点为M ), 交y 轴于点P . 若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ） (A) 2(B) 3(C) 2(D) 511．已知C B A ,,是平面上不共线的三点,O 是ABC ∆重心,动点P 满足112663OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r,则点P 一定是ABC ∆的( )A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点学科12．过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若,2131<<k 则椭圆离心率的取值 范围是（ ）A ．)49,41(B ．)1,32(C ．)32,21( D ．)21,0(二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = 14. 如图：目标函数z kx y =-的可行域为OEFG （含边界），若点24(,)35是目标函数的最优解，则k 的取值范围是15．在等腰梯形ABCD 中, CD AB CD AB >,//.设以B A ,为焦点且过D 的双曲线的离心率为1e ,以D C ,为焦点且过A 的椭圆的离 心率为2e ,则21e e = .16. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”. 乙说：“不等式两边同除以x 2，再作分析”. 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是 ． 三.解答题17. （本题满分10分）已知锐角ABC ∆中，三个内角为A 、B 、C ，两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+u r，(sin cos ,1sin )q A A A =-+r 。
【解析】河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高二下学期4月月考数学(文)试卷Word版含解析
河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高二下学期4月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．已知集合A=，集合B={y|y=sinx，x∈R}，则B∩C R A=( )A．∅B．{1} C．{﹣1} D．{﹣1，1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：解分式不等式求得A，根据正弦函数的值域求得B，利用补集的定义求得C R A，再根据两个集合的交集的定义求得B∩C R A．解答：解：∵集合A=={x|≤0}={x|﹣1≤x＜1}，集合B={y|y=sinx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，则C R A={x|x＜﹣1，或x≥1}，∴B∩C R A={1}，故选：A．点评：本题主要考查分式不等式的解法，正弦函数的值域，求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．命题“∀x∈R，e x＞x”的否定是( )A．∃x0∈R，e x＜x B．∀x∈R，e x＜x C．∀x∈R，e x≤x D．∃x0∈R，e x≤x考点：命题的否定．专题：计算题．分析：全称命题的否定是特称命题，全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并同时把“e x＞x”否定．解答：解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，e x＞x”的否定是∃x0∈R，e x≤x．故选D．点评：本题主要考查了命题的否定，属于基础题之列．3．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( )A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据散点图中的点的分布，可以判断两个变化是否具有相关关系，根据点的单调性可以判断是正相关还是负相关，以及中位数．解答：解：由散点图可知点的分布都集中在一条直线附近，所以由此可以判断两个变量具有相关关系，而且是正相关，再由散点图中点的个数得到中位数为最中间两数的平均数，则且脂肪含量的中位数小于20%，故选：B．点评：本题主要考查利用散点图的判断变量相关关系已经线性相关性，比较基础．4．已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若，且a4与a7的等差中项为，则S5等于( )A．35 B．33 C．31 D．29考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由，可得 4 a1•a7=a1，解得a7=．再由=，解得a4=2，利用等比数列的通项公式求出首项和公比的值，代入等比数列的前n项和公式化简求值．解答：解：由，可得4 a1•a7=a1，解得a7=．再由a4与a7的等差中项为，可得=，解得a4=2．设公比为q，则=2•q3，解得q=，故a1==16，S5==31，故选C．点评：此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，是一道中档题．5．实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为( ) A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型计算公式，首先求出方程有实根的m的范围，然后用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．解答：解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，∴判别式△=m2﹣16≥0，∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，∴所求的概率为P==．故选：B．点评：本题着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识，给出在区间上取数的事件，求相应的概率值．关键是明确事件对应的是区间长度或者是面积或者体积．6．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y2的取值范围为( ) A．[2，8]B．（2，8]C．[，8]D．（，8]考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，设P（x，y）、Q （﹣1，0），可得（x+1）2+y2=|QP|2表示Q、P两点距离的平方，因此运动点P并加以观察得到|QP|的最大、最小值，即可得到（x+1）2+y2的取值范围．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（0，2），C（1，2）设P（x，y）为区域内一个动点，定点Q（﹣1，0）则|PQ|=，因此（x+1）2+y2=|QP|2表示Q、P两点距离的平方之值∵当P与C重合时|QP|==2达到最大值，当P与Q在AB上的射影D重合量，|QP|==达到最小值∴|QP|2的最小值为，最大值为8，即（x+1）2+y2的取值范围是[，8]故选：C点评：本题给出二元一次不等式组，求（x+1）2+y2的取值范围，着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．7．已知α是第二象限角，且sinα=，f（x）=sin2αcosx+cos2αsinx的图象关于直线x=x0对称，则tanx0=( )A．﹣B．C．﹣D．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦化简，再由f（x）的图象关于直线x=x0对称得到．则tanx0=．由已知求得tanα后代入二倍角的正切公式得答案．解答：解：∵f（x）=sin2αcosx+cos2αsinx=sin（x+2α）的图象关于直线x=x0对称，∴，．∴tanx0=tan（）=．∵α是第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣，tanα=．则tanx0===．故选：A．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象和性质，属中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；图表型．分析：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可解答：解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．9．下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于( )A．11 B．10 C．8 D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程分输入x3＜7.5时和输入x3≥7.5时两种情况，利用输出P的值求出输入x3的值．解答：解：根据框图的流程，当输入x1=6，x2=9时，不满足|x1﹣x2|=3＜2，当输入x3＜7.5时，满足|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，则执行x2=x3．输出P==8.5⇒x3=11（舍去）；当输入x3≥7.5时，不满足|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，则执行x1=x3，输出P==8.5⇒x3=8．故选：C．点评：本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程分类讨论是解答此类问题的常用方法．10．函数的部分图象大致是( )A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：计算题．分析：先判断函数的奇偶性，f（﹣x）==f（x），由指数函数的性质可知f（x）＞0恒成立，结合选项可判断解答：解：∵∴f（﹣x）==f（x）∴函数f（x）为偶函数由指数函数的性质可知f（x）＞0恒成立结合选项可知C正确故选C点评：本题主要考查了奇偶函数的图象特征及指数函数的性质的应用，解题的关键是灵活利用函数的性质11．已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为( )A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．解答：解：设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选：D．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．12．已知椭圆+y2=1，椭圆的中心为坐标原点O，点F是椭圆的右焦点，点A是椭圆短轴的一个端点，过点F的直线l与椭圆交于M、N两点，与OA所在直线交于E点，若=λ1，=λ2，则λ1+λ2=( )A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＞x2）则由=λ1，=λ2，可得λ1+λ2=+，设直线方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，利用韦达定理，即可得出结论．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＞x2）则∵椭圆+y2=1，∴c=2，∵=λ1，=λ2，∴λ1+λ2=+设直线方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程可得（1+5k2）x﹣20k2x+20k2﹣5=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴+==﹣10，∴λ1+λ2=﹣10．故选：A．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第二象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题；数形结合．分析：由图得到复数z1，z2，然后利用复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．解答：解：由图可知z1=﹣2﹣i，z2=i，则=．该复数对应的点为（﹣1，2），该点位于第二象限．故答案为二．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的除法运算，是基础的概念题．14．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴相交于点K，直线l过焦点F且倾斜角为α，则点K到直线l的距离为psinα．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点和准线，可得K的坐标，设出直线l：x=cotαy+，运用点到直线的距离公式，计算即可得到．解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），其准线为x=﹣，则K（﹣，0），可设直线l：x=cotαy+，则点K到直线l的距离为d===psinα．故答案为：psinα．点评：本题考查抛物线的方程和性质，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．方程+=λ（λ＜0）的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下列命题中正确的是①②③．（请写出所有正确命题的序号）①函数y=f（x）在R上是单调递减函数；②函数y=f（x）的值域是R；③函数y=f（x）的图象不经过第一象限；④函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称；⑤函数F（x）=4f（x）+3x至少存在一个零点．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨取λ=﹣1，根据x、y的正负去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且函数的值域为R，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=﹣．因为双曲线和﹣的渐近线为y=±，即可得出结论．解答：解：不妨取λ=﹣1，对于①，当x≥0且y≥0时，方程为，此时方程不成立．当x＜0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x≥0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x＜0且y≥0时，方程为﹣，即y=3．因此作出函数的图象，如图所示由图象可知函数在R上单调递减，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=﹣．因为双曲线和﹣的渐近线为y=±，所以函数y=f（x）与直线y=﹣无公共点，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得⑤不正确．故答案为：①②③．点评：本题给出含有绝对值的二次曲线，要我们判断并于曲线性质的几个命题的真假．着重考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于难题．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．在△ABC中，AB=（1）求sinA的值；（2）求的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由cosC=，0＜C＜π，先求出sinC的值，由正弦定理知：从而解得：sinA=．（2）由余弦定理知：cosC===，解得：AC=2或﹣（舍去），从而可求得=||•||•cosC=1×2×=．解答：解：（1）∵cosC=，0＜C＜π，∴sinC===，∴由正弦定理知：，即有，从而解得：sinA=．（2）由余弦定理知：cosC===从而解得：AC=2或﹣（舍去）∴=||•||•cosC=1×2×=．点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算，正弦定理、余弦定理的应用，属于基本知识的考查．18．某校从参加2015届高三年级期2015届中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4．（Ⅰ）估计成绩在80分以上学生的比例；（Ⅱ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（I）先求出成绩在[80，100）的学生数，再结合题意，计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，记成绩在[40，50）上的2名学生为a、甲，在[90，100）内的4名学生记为1、2、3、乙，列举“二帮一”的全部情况，可得其情况数目与甲乙两名同学恰好在同一小组的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案解答：解：（Ⅰ）由频率分布表可得，成绩在[80，100）的学生数为12+4=16，则成绩在80分以上的学生的比例为P1==32%，（Ⅱ）记成绩在[40，50）上的2名学生为a、甲，在[90，100）内的4名学生记为1、2、3、乙，则选取的情况有：（1，2，a）、（1，2，甲）、（1，3，a）、（1，3，甲）、（1，乙，a）、（1，乙，甲）、（2，3，a）、（2，3，甲）、（2，乙，a）、（2，乙，甲）、（3，乙，a）、（3，乙，甲），共12种；其中甲乙两名同学恰好在同一小组的情况有3种，则甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率P2==．点评：本题考查古典概型的计算与频率分布表的作法，关键是运用表中的数据，正确做出频率分布表．19．已知四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，，O为AB的中点．（Ⅰ）求证：EO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到面AEC的距离．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（I）连接CO，利用△AEB为等腰直角三角形，证明EO⊥AB，利用勾股定理，证明EO⊥CO，利用线面垂直的判定，可得EO⊥平面ABCD；（II）利用等体积，即V D﹣AEC=V E﹣ADC，从而可求点D到面AEC的距离．解答：（I）证明：连接CO∵∴△AEB为等腰直角三角形∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO=1…又∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ACB是等边三角形∴，…又EC=2，∴EC2=EO2+CO2，∴EO⊥CO，∵AB∩CO=O∴EO⊥平面ABCD…（II）解：设点D到面AEC的距离为h∵∴…∵，E到面ACB的距离EO=1，V D﹣AEC=V E﹣ADC∴S△AEC•h=S△ADC•EO…∴∴点D到面AEC的距离为…点评：本题考查线面垂直，考查点到面距离的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，考查等体积的运用，属于中档题．20．如图，已知圆E：（x+）2+y2=16，点F（，0），P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|=|CB|，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，可得动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出动点Q的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）分类讨论，当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则直线AB的直线方程为y=kx，与椭圆方程联立，求出A的坐标，同理可得点C的坐标，进而表示出△ABC的面积，利用基本不等式，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为（a＞b＞0），可知a=2，，则b=1，所以点Q的轨迹Γ的方程为为．（Ⅱ）存在最小值．（ⅰ）当AB为长轴（或短轴）时，可知点C就是椭圆的上、下顶点（或左、右顶点），则．（ⅱ）当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则直线AB的直线方程为y=kx，设点A（x A，y A），联立方程组消去y得，，由|CA|=|CB|，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，可知直线OC的方程为，同理可得点C的坐标满足，，则，，则S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=．由于≤，所以，当且仅当1+4k2=k2+4，即k2=1时取等号．综合（ⅰ）（ⅱ），当k2=1时，△ABC的面积取最小值，此时，，即，，所以点C的坐标为，，，．点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知a∈R，函数，g（x）=（lnx﹣1）e x+x（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：（1）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；（2）将曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直转化成方程g'（x0）=0有实数解，只需研究导函数的最小值即可．解答：解：（1）∵，∴令f'（x）=0，得x=a．①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时函数f（x）无最小值．②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x∈（a，e]时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，所以当x=a时，函数f（x）取得最小值lna③若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f（x）取得最小值．．综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为lna；当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为．（2）∵g（x）=（lnx﹣1）e x+x，x∈（0，e]，∴g'（x）=（lnx﹣1）′e x+（lnx﹣1）（e x）′+1=．由（1）可知，当a=1时，．此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即．当x0∈（0，e]，，，∴．曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g'（x0）=0有实数解．而g'（x0）＞0，即方程g'（x0）=0无实数解．、故不存在x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．求：（Ⅰ）⊙O的半径；（Ⅱ）sin∠BAP的值．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，求出BC，即可求出⊙O的半径；（Ⅱ）证明△PAB∽△PCA，求出AB，BC，即可sin∠BAP的值．解答：解：（Ⅰ）因为PA为⊙O的切线，所以PA2=PB•PC，又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20﹣5=15 …．因为BC为⊙O的直径，所以⊙O的半径为7.5．…（Ⅱ）∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB，…又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴…设AB=k，AC=2k，∵BC为⊙O的直径，∴AB⊥AC，∴…∴sin∠BAP=sin∠ACB=…点评：本题考查了切割线定理，考查三角形相似的判断与性质的运用，解题的关键是运用切割线定理列方程求解．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，运用点到直线的距离公式和两角和的正弦公式以及正弦函数的值域即可得到最小值．解答：解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），则由sin2α+cos2α=1化为+y2=1，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4，即有ρsinθcos+ρcosθsin=4，即为直线x+y﹣8=0；（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，则d==，则当sin（）=1，此时α=2k，k为整数，P的坐标为（，），距离的最小值为=3．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属中档题．。
河北正定中学高三上学期第五次月考数学理
河北正定中学高三年级第五次考试数学试题（理）一、选择题1.已知集合A2{y|y x 2x3, x R}, B{y| y x 1 x |x|,R 且x 0},则 A B =()A.[ 4, 2]B.[ 4,2] C.[2,)D. [4, )r rr r r r r rr r r r2•设i , j 是不共线的单位向量，a 5i 3j,b 3i 5j ，则a b 是 i j 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.A ABC 中，若 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，且 cos2B cosB cos （AC ） 1,则有（）A. a,c,b 成等比数列B. a, c, b 成等差数列C. a,b,c 成等差数列D. a, b, c 成等比数列4. 给出下列命题： ①若 a,b R , a b ,则 a 3 b 3a 2b ab 2.②若 a,bR ,a b , 则a m ab m b bc ③若a,b,c R ,则ac ab a b c .④若3x y 1,则-1 4 2、. 3a b cx y其中正确命题的个数为（)A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知等差数列｛a n ｝的前2006项的和S 2006 2008，其中所有的偶数项的和是2,则玄阴的值为（）① 如果平面 内的一条直线a 垂直于平面 内的任意一条直线，则丄② 如果直线a 与平面 内的一条直线平行，则 a // ③ 如果直线a 与平面 内的两条直线都垂直，则 a 丄A.1B . 26.在空间给出下列四个命题： C. 3 D. 4④如果平面 内的两条直线都平行于平面A.1B.27.方程(a 21)x 2 2ax 3 0的两根心 的取值范围是（)A. 1, 3B.1 3,，则 // .其中正确的个数是()C.3D.4x 2满足x 2为(1 x 2)且x 10 ,则实数aC. ( 3 , 1, 3 ) D.(-,)2 2&若△ ABC 的内角满足si nA cosA 0, ta nA sin A 0 ,则角A 的取值范围是（A©n B -(nn9•在等差数列｛a n ｝中，7a 5 5a g 0 ,且a g ，则使得数列｛%｝的前数列n 项和S n2x 2py （p 0）交于A, B 两点，点 代B 到y 轴的距离的差等于2k ，则抛物线的焦点坐标为 ______________ .15.定义区间［洛山2］（禺 X 2）的长度为X 2洛，已知函数f （x ） |log 1 x |的定义域为［a, b ］,2值域为［0,2］,则区间［a,b ］的长度的最大值与最小值的差为 16.三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ax 2 2y 2对于x 1,2 ,y 2,3恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路取得最小值的n 的值为（ ）C.7D.810.如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 丄底面ABC ，/ ACB =90 ,AE 丄PB 于E , AF 丄PC 于F ,若PA 则当 AEF 的面积最大时，tan 的值为（ AB )2，/ BPC =, A . 2 B1_ 211.已知代B,C 是平面上不共线的三点ABC 重心，动点P 满足uun 1 uuu 1 urn OP OA OB 6 6 A. AB 边中线的中点C.重心2 UUJTOC ,则点 3B.D. P 一定是 ABC 的（） AB 边中线的三等分点（非重心） AB 边的中点2 212 .过椭圆C ：笃笃 a b1(a b0）的左顶点A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个1点B ,且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,若—31,则椭圆离心率的取值范 2围是（）1 9、 A .（T ，B .1D.13.如图：目标函数zkx y 的可行域为OEF （含边界），若点（2,-） 3 5是目标函数的最优解，则k 的取值范围是14•已知不平行于x 轴的直线y kx b （b 0）与抛物线甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”2乙说：“不等式两边同除以 x ，再作分析” 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”(I)求点P 的轨迹C 对应的方程;(n)已知A, B 在曲线C 上，O 为坐标原点，且k oA k oB 4，判断：动直线 AB 是否过定点，若过，求出定点，不过，请说明理由。
河北省正定中学2015届高三上学期第五次月考数学试题Wo
高三年级第一学期第五次月考数学试卷第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1},{|,,,M N x x ab a b M =-==∈且}a b ≠，则集合M 与集合N 的关系是A. M N =B. M N N =C. M N N =D. M N =∅2. 已知复数1(1i)a bi i +=-（其中,ab R ∈，i 是虚数单位），则a b +的值为A. 2-B. 1-C. 0D. 23．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是 A．y =B ．sin y x x =C ．1lg1x y x -=+D ．x xy e e -=- 4．已知角α的终边经过点)4,(m P ，且3cos 5α=-，则m = A. 3-B. 92-C. 92 D. 35. 已知实数x 、y 满足02010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为A.12B. 1C. 2D. 46．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是 A. 24π+ B. 20π+ C. 224π+ D. 220π+7．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m n= A.18B. 8C. 9D.198．设函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则A ．()f x 的图象过点1(0,)2B ．()f x 在2[,]123ππ上是减函数C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12πD ．将()f x 的图象向右平移||ϕ个单位得到2sin y x ω=的图象 9. 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S 为A ．12-B. 3-C.13D. 2 10．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的体积为A. 8πB.3 C. 3 D. 311．设函数3,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩，若()f x x a =+有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是A. (,2)-∞B. (,2]-∞C. [1,2]D. [1,)+∞12．已知直线AB 与抛物线22y x =交于,A B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA CB ∙取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则A. CM AB ⊥B. CM CB ⊥C. CM CA ⊥D. CM l ⊥第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的相应位置． 13. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量的n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 ________. 14. 若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为________. 15．已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，若点2F 关于直线x aby =的对称点M 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为________.16．设圆22:3C x y +=，直线:360l x y +-=，点00(,)P x y l ∈，若存在点Q C ∈， 使得60(OPQ O ∠=为坐标原点），则0x 的取值范围为________.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）. 17．（本小题满分10）已知sin 2cos 022x x-=. （1）求tan x 的值；（2）求cos2)sin 4xx xπ+⋅的值.18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）某工厂生产A 、B 两种元件，某质量按测试指标划分，指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试依据以频率估计概率的统计思想，分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（2）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下：（i ）记X 为生产一件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ii ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率. 20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，底面ABC 为直角三角形，且90ABC ∠=，SA ⊥底面ABC ，且SA AB =，点M 是SB 的中点，AN SC ⊥且交SC 于点N.（1）求证：SC ⊥平面AMN ；（2）当AB BC =时，求二面角N MA C --的余弦值. 21．（本小题满分12分）已知(1,0),(1,0)A B -，动点M 满足22,||||cos 3AMB AM BM θθ∠=⋅⋅=，设M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过A 的直线1l 与曲线C 交于E 、F 两点，过B 与1l 平行的直线2l 与曲线C 交于G 、H 两点，求四边形EFGH 的面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln ln ,(),x f x x a g x ae =-=其中a 为常数，函数()y f x =和()y g x =的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行.（1）求函数()()(1)F x f x g x =--的单调区间；（2）若不等式()(1)[(1)]0xf x k x f g x -+-≤在区间[1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.2015届高三第五次月考 数学参考答案及评分标准一、选择题 1-5 BCDAC 6-10 ABCAD 11-12 AD 二、填空题 13．80 14．4 1516．6[0,]5三、解答题 17．解：（1）sin2cos 022x x-=，则cos 02x ≠，tan22x∴= ……………………2分 222tan2242tan 1231tan 2x x x ⨯∴===--- ……………………4分 （2）原式22= ………………6分(cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )sin sin x x x x x xx x x x-++==- ……………8分 411tan 134tan 43x x -+===- ……………10分 【注】其他方法比照上述方法酌情给分.18．解：（1）由已知*n N ∈时，22n n n S a a =+，12112(2)n n n S a a n ---∴=+≥ 两式相减，得22112n n n n n a a a a a --=+-- ……………2分111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-又1,n n a a -为正数，11(2)n n a a n -∴-=≥ …………4分{}n a ∴是公差为1的等差数列，当1n =时，21112S a a =+得11a =或10a =（舍去）1(1)1n a n n ∴=+-⨯= …………6分（2）22n n n n a nb == 12231232222n n n nT b b b ∴=+++=++++……① 由①12⨯得2341112322222n n nT +=++++………② ………8分由①-②得23111111222222n n n nT +=++++-111(1)221212n n n +-=-- …………………… 10分 222n n n T +∴=- …………………… 12分【注】答案形式不唯一.19．解：（1）原件A 为正品的概率约为4032841005++= …………1分原件B 为正品的概率约为4029631004++= …………2分（2）（i ）随机变量X 的所有取值为15,30,45,90-. …………3分111(15)5420p X =-=⨯=；411(30)545p X ==⨯=；133(45)5420p X ==⨯=；433(90)545p X ==⨯=. ……………7分所以，随机变量X 的分布列为：…………8分1133(15)30459066205205EX ∴=-⨯+⨯+⨯+⨯=. …………9分 （ii ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件， 以题意，得5010(5)140n n --≥，解得196n ≥， 所以，4n =或5n = ……………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件C 则445531381()()().444128p C C =⨯+=…………12分 20．解：（1）证明SA ⊥底面ABC ，BC SA ∴⊥，又BC AB ⊥,SA AB A BC =∴⊥平面SAB ，AM ⊂平面SAB ，AM SB ∴⊥，…………2分又,SA AB M =是SB 的中点，AM SB ∴⊥，SB BC B =AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ⊥，…………2分又已知AN SC ⊥，ANAM A =SC ∴⊥平面AMN .……………6分（2）解法一：有（1）可知：AM ⊥平面NCM ，∴平面NCM 是二面角C AM N --的垂面，CMN ∴∠为二面角C AM N --的平面角 …………8分设1SA AB BC ===，在Rt SAB ∆中，122AM BM SB ===2CM ∴==在Rt SAC ∆，1,SA AC SC ==AN ∴==，则CN ==…………10分在Rt CNM ∆中，6MN ==1cos 3MN CMN CM ∴∠===∴二面角N MN C --的余弦值为13.……………12分（2）解法二:如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AS 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 设1AB SA ==，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1)A B C S ，11(,0,)22M ，11(,0,),(1,1,0)22AM AC ∴==，…………8分设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即011022x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1z =，可得(1,1,1)n =-，…………10分由（1）可知CS 是平面AMN 的法向量，且(1,1,1)CS =--1cos ,3||||CS n CS n CS n ⋅∴==∴二面角N MN C --的余弦值为13.…………12分21．解：（1）设(,)M x y ，在MAB ∆中，||1,2AB AMB θ=∠=由余弦定理得22||||2||||cos24AM BM AM BM θ+-=，…………2分即2(||||)2||||2||||cos24AM BM AM BM AM BM θ+--=2(||||)2||||(1cos2)4AM BM AM BM θ+-+= 22(||||)4||||cos 4AM BM AM BM θ+-=又2cos 3AM BM θ⋅=，所以4AM BM +=. …………4分 由于42AM BM AB +=>=，因此点M 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，同时该椭圆的长半轴2a =，焦距22c =，所以，曲线C 的方程为22143x y +=； ……………………… 5分 （2）由题意可知四边形EFGH 为平行四边形，结合对称性，则4EFGH OEF S S ∆= 设直线EF 的方程为1,x my =-且1122(,),(,)E x y F x y由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my +--=，12122269,3434m y y y y m m ∴+==-++，且0∆>成立， 121||||2OEFOAE OAF S S S OA y y ∆∆∆=+=-==， 令21m t +=，则1t ≥，OEF S ∆∴==又1()9g t t t∴=+在[1,)+∞上单调递增，()(1)10g t g ∴≥=，OEF S ∆∴的最大值为32，EFGH S ∴的最大值为6，此时0m =.【注】其他方法比照上述方法酌情给分.22．解：（1）()f x 与坐标轴交点为(,0)a ，1()f a a'=，()g x 与坐标轴交点为(0,)a ，(0)g a '= 1a a∴=解得1a =±，又0a >，故1a =……………2分 ()ln ,()x f x x g x e ∴==， 1()ln ,(0,)x F x x e x -=-∈+∞1111()x x xe F x e x x---'∴=-=令1()1x h x xe -=-，显然函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =…………4分 当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0F x '∴>，()F x ∴在(0,1)上单调递增………5分 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0F x '∴<，()F x ∴在(1,)+∞上单调递减 故()F x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞. ……………6分 （2）原不等式等价于：2ln (1)0x x k x --≤在区间[1,)+∞上恒成立. 设2()ln (1)(1)x x x k x x ϕ=--≥则()ln 12x x kx ϕ'=+- …………7分 令()()ln 12(1)u x x x kx x ϕ'==+-≥112()2k u x k x x-'∴=-= …………8分 ①0k ≤时，()0,()u x x ϕ''>在区间[1,)+∞上单调递增，()(1)120x k ϕϕ''>=->()x ϕ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0x ϕϕ≥=不符合题意，舍去. ……………9分②当102k <<时，若1(1,),()02x u x k '∈> 则()x ϕ'在1(1,)2k上单调递增，()(1)120x k ϕϕ''>=-> ()x ϕ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0x ϕϕ≥=不符合题意，舍去. ……………10分③当12k ≥时，()0u x '≤在[1,)+∞恒成立， ()x ϕ'∴在[1,)+∞上单调递减()(1)120x k ϕϕ''∴≤=-≤ ()x ϕ∴在[1,)+∞上单调递减()(1)0x ϕϕ≤=即2ln (1)0x x k x --≤对x ∈[1,)+∞恒成立，综上所述，实数k 的取值范围是1[,)2+∞.………………12分 【注】其他方法比照上述方法酌情给分.。
河北正定中学2014届高三上学期第五次月考 数学试题 Word版含答案
2013-2014学年度第五次月考·数学试题第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}11|,,A B m m x y x A y A =-==+∈∈，，，则集合B 等于A. {}2,2-B. {}2,0,2-C. {}2,0-D. {}02. 已知i 是虚数单位，则复数2(1)1i i+-的虚部等于A.iB.i -C.1-D ．13. 若点(4,2)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．2100x y +-=B ．20x y -=C ．280x y +-=D ．260x y --=4. 在等差数列{}n a 中，()()3456814164336aa a a a a a ++++++=，那么该数列的前14项和为A ．20B ．21C ．42D ．845. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为 “同簇函数”．给出下列函数：①()sin cos f x x x =； ②()21f x x +； ③ ()2sin()4f x x π=+； ④ ()sin f x x x =．其中“同簇函数”的是A.①②B.①④C.②③D.③④6．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的 正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A.203B.163C.86π-D.83π-7. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线x x f sin )(= ,∈x ),0(π及 直线x a =,∈a ),0(π与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，a 的值是A.127π B.32π C.43π D.65π 8. 如图,,90PA PB APB =∠=︒,点C 在线段PA 的延长线上,,D E 分别俯视图侧视图正视图6题为ABC ∆的边,AB BC 上的点.若PE 与PA PB +共线,DE 与PA 共线,则PD BC ⋅的值为A ．1-B ．0C ．1D ．29. 在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为A.B.C.D. 10. 已知y x z +=2，x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥m x y x xy 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是A.41 B.51 C.61 D.71 11. 已知双曲线22221(0,0),x ya b a b-=>>,M N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线,PM PN 的斜率分别为1212,,0k k k k ≠，若12||||k k +的最小值为1，则双曲线的离心率为A.B.C. D. 3212. 可导函数)(x f 的导函数为)(x g ，且满足：①011)(>--x x g ；②x x f x f 22)()2(-=--，记1)2(-=f a ， 1)(+-=ππf b ，2)1(+-=f c 则c b a ,,的大小顺序为A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.c a b >>第II 卷二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸上） 13. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：3122+= 53132++= 753142+++= … 5323+= 119733++= 1917151343+++= …根据上述分解规律，若115312++++= m ，3p 的分解中最小的正整数是21，则=+p m ________．14. 若函数32231(0)()(0)axx x x f x e x ++≤⎧=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则实数a 的取值范围是 .15. ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ___63．_____.16. 已知函数()y f x =的定义域为R ,当0x <时,()1f x >,且对任意的实数,x y R ∈,等式()()()f x f y f x y =+成立．若数列{}n a 满足1(0)a f =,11()(2)n n f a f a +=--(*)n N ∈,则2009a 的值为 ．三、解答题（本大题共有6各小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，22b S q =. （1）求n a 与n b ； （2）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T .18. (本题满分12分)已知函数21cos 2sin 23)(2--=x x x f ，x R ∈． (1)若]43,245[ππ∈x ，求函数()f x 的最大值和最小值，并写出相应的x 的值；(2)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足c =()0f C =且sin 2sin B A =，求a 、b 的值.19. (本题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥面ABC ，,D E 分别是棱111,A B AA 的中点，点F 在棱AB 上，且AB AF 41=． (1)求证：//EF 平面1BDC ；(2)求二面角1E BC D --的余弦值．20.（本小题12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套. （1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）21．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2，求AO B ∆面积的最大值.22．（本小题12分）已知函数ln ()xx kf x e+=（k 为常数，e =2.71828……是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1g x e -<+.高三第五次月考·数学答案一、选择题：BDCBD ABBCA BC二、填空题：13.11 14.1(,ln 2]2-∞ 16.4017 三、解答题：17.解（1）设{}n a 的公差为d .因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126……………………3分解得 3=q 或4-=q （舍），3=d故()3313n a n n =+-= ，13-=n n b ……………………………………5分（2）由（1）可知，()332n n n S +=，所以()122113331n n c S n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭.……………………8分故()21111121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……………10分18.解（1）1cos 21()2sin(2)1226x f x x x π+=--=--.............3分 令,62π-=x t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,4ππt ()1sin -=∴t t f 。
河北省正定中学2014届高三三轮模拟练习(五)数学(文)试题Word版含答案
正视图600 侧视图俯视图河北正定中学三轮模拟练习文科数学试卷（五）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若复数1aiz i-=对应的点在直线052=++y x 上，则实数a 的值为 A. 1 B.2 C.3 D.42.如下图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分集合．若,x y R ∈，{}A x y ==，{}3,0x B yy x ==>，则A *B =A.(2,)+∞ B ．[)0,1(2,)⋃+∞ C ．),1(]2,0[+∞ D ．[]0,1[2,)⋃+∞3.命题“[1,2]x ∀∈，02≤-a x ”为真命题的一个充分不必要条件是 A ．4≥a B ．4≤a C ．5≥aD ．5≤a 4.已知向量(sin(),1)6a πα→=+，(4,4cos b α→=，若a b →→⊥，则)34sin(πα+= A ．43-B .41- C. 43 D. 41 5.设n S 是等差数列n a 的前n 项和，若612310S S =，则39S S = A.16 B. 13 C. 14 D.196.对任意非零实数b a ,，若b a ⊗的运算规则如图的程序框图，则4)23(⊗⊗的值是 A ．0 B ．21C ．9D ．23 7．设实数,x y 满足约束条件202502x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22x y u x y +=+的取值范围是A ．39,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．47,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．17,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.A ．112πB ．112π+6C．11π D ．112π9.过点(0,1)-的直线l 与两曲线ln y x =和22x py =相切，则p 的值为A ．14 B ．12C ．2D ．4 10．如下面左图所示，半径为2的⊙M 切直线AB 于O ，射线OC 从OA 出发绕着O 点顺时针旋转到OB ．旋转过程中，OC 交⊙M 于P ．记PMO ∠为x ，弓形PnO 的面积为)(x f S =，那么)(x f 的图象是下面右图中的11. 设,P Q 是双曲线22x y -=上关于原点O 对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l 折成直二面角，则折叠后线段PQ 长的最小值为A ．B ．．．412. 数列{}n a 满足1a =11[]()n n n a a a +=+()([]n n a a 与分别表示n a 的整数部分与分数部分），则=2014aA. 33020+B. 2133020-+3018+ D. 2133018-+ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知1a →=，2b →=，且,a b →→不共线，则a b →→-与b →的夹角θ的范围为________ ． 14．已知()()xe x xf 12+=，经过点()()1,0≠t t P 有且只有一条直线与曲线()x f 相切，则t 的取值范围是 .15. 已知P 是221(0,0)168x y x y +=≠≠上的点，1F ，2F 是椭圆的焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠角平分线上一点，且10F M MP ⋅=则OM 的取值范围是 .16.对于定义在区间D 上的函数)(x f ,若存在闭区间[,]a b D Ü和常数c ，使得对任意x 1],[b a ∈,都有c x f =)(1，且对任意D x ∈2,当],[2b a x ∉时，c x f <)(2恒成立，则称函数f(x)为区间D 上的“平顶型”函数.给出下列说法： ①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数2)(--=x x x f 为R 上的“平顶型”函数； ③函数x x x f sin sin )(-=为R 上的“平顶型”函数； ④当43≤t 时，函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)1()(log )1(2)(21x t x x x f 是区间),0[+∞上的“平顶型”函数. 其中正确的是_______.(填上所有正确结论的序号）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．定义A×B={z|z=xy，x∈A且y∈B}，若A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，2}，则A×B=（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{﹣1，2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜4}2．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，|x0|≤0 B．∀x∈R，e x＞x eC．a﹣b=0的充要条件是D．若p∧q为假，则p∨q为假3．设a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面（）A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b B．若α⊥β，a∥β，则a⊥αC．若a⊥α，a⊥b，a∥β，则b∥βD．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．6 B．5 C．8 D．75．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．64﹣B．64﹣C．64﹣16πD．64﹣6．将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=0对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点对称7．已知函数f0（x）=xe x，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…f n（x）=f n﹣1′（x）（n∈N*）则f2014′（0）=（）A．2013 B．2014 C．2015 D．20168．已知数列{a n}为等比数列，则p：a1＜a2＜a3是q：a4＜a5的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x=对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比q是正整数，前n项和为T n，若a1=d，b1=d2，且是正整数，则等于（）A．B．C．D．11．如图，过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|=|BF|，且|AF|=4+2，则p=（）A．1 B．2 C．D．312．对于函数f（x），若存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[λm，λn]，则称f（x）为“λ倍函数”，若f（x）=a x（a＞1）为“1倍函数”，则a的取值范围为（）A．（1，）B．（，e）C．（1，）D．（，e）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知函数f（x）=ln，则f（）+f（）=．14．向量，是单位向量，则向量﹣在+方向上的投影是．15．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC1上移动，且EF+GH=，则三棱锥EFGH的体积最大值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤．）17．等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），a1a3=4，且a3+1是a2和a4的等差中项，若b n=log2a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n=a n+1+，求数列{c n}的前n项和．18．已知向量，函数．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a＞b，求a，b的值．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD．AB=AA1=（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．20．已知函数f（x）=sinx，g（x）=x﹣（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当x＞0时，x＞f（x）＞g（x）．21．如图，已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．22．已知函数f（x）=+lnx．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）若g（x）=f（x）+mx在[1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；（3）若在[1，e]上至少存在一个x0，使得kx0﹣f（x0）＞成立，求实数k的取值范围．2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．定义A×B={z|z=xy，x∈A且y∈B}，若A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，2}，则A×B=（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{﹣1，2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜4}考点：集合的表示法．专题：集合．分析：结合给定信息，直接求解z=xy，x∈A且y∈B的取值范围即可．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={﹣1，2}，且z=xy，x∈A且y∈B∴﹣2＜z＜4，∴A×B={x|﹣2＜x＜4}．故选D．点评：本题重点考查了集合的元素特征，理解所给信息是解题的关键，属于中档题．2．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，|x0|≤0 B．∀x∈R，e x＞x eC．a﹣b=0的充要条件是D．若p∧q为假，则p∨q为假考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：通过特值法可判定A、B、C的正误，利用逻辑联接词的真值表可判断D的正误．解答：解：A，∃x0=0∈R，|x0|≤0，故A正确；B，不妨令x=e，则e e=e e，故B错误；C，a=b=0时，满足a﹣b=0，但不能推出，必要性不成立，故C错误；D，若p∧q为假，则p、q中至少有一假，当二者中有一真一假时，p∨q为真，故D错误．综上所述，真命题是A．故选：A．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查特值法的应用与逻辑联接词的真值表的应用，属于中档题．3．设a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面（）A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b B．若α⊥β，a∥β，则a⊥αC．若a⊥α，a⊥b，a∥β，则b∥βD．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由面面平行的定义和性质可判断A；由面面垂直的性质和线面平行的性质定理，可判断B；由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，可判断C；由面面垂直的定义和线面垂直的性质和判定，即可判断D．解答：解：A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a，b异面或平行，故A错；B．若α⊥β，a∥β，则设α∩β=m，若a⊂α，由a∥β，则a∥m，即a⊂α可能成立，故B错；C．若a⊥α，a⊥b，a∥β，则α，β相交，设交线为m，过a作一个平面γ，使γ∩β=c，由a∥β得a∥c，又a⊥α，则c⊥α，c⊂β，即β⊥α，由于a⊥b，故b⊂β，或b∥β，或b⊥β，故C 错；D．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a，b不平行，若a，b异面，则可将a，b平移至相交直线，并确定一平面γ，设γ∩α=m，γ∩β=n，α∩β=l．则可得到l⊥γ，l⊥m，l⊥n，由于α⊥β，则m⊥n，从而a⊥b，故D 正确．故选D．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查两种重要的位置关系：平行和垂直，记熟常见的线面和面面平行或垂直的定理，是迅速解题的关键．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．6 B．5 C．8 D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据直到型循环结构的程序框图，依次计算运行的结果，直到满足条件T≥S，运行终止，输出n值．解答：解：由程序框图知：第一次运行的结果是T=22=4，n=2+1=3，S=32=9；第二次运行的结果是T=23=8，n=3+1=4，S=42=16；第三次运行的结果是T=24=16，n=4+1=5，S=52=25；第四次运行的结果是T=25=32，n=5+1=6，S=62=36；第五次运行的结果是T=26=64，n=6+1=7，S=72=49，满足条件T≥S，运行终止，输出n=7．故选D．点评：本题流程了直到型循环结构的程序框图，读懂框图的流程是关键．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．64﹣B．64﹣C．64﹣16πD．64﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体内挖去两个圆锥，且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆，根据三视图判断正方体的边长，圆锥的底面半径与高，代入正方体与圆锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知：、几何体是正方体内挖去两个圆锥，且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆，两圆锥的顶点重合，∵正方体的边长为4，∴挖去两个圆锥的底面半径都为2，上圆锥的高为3，下圆锥的高为1，∴几何体的体积．故选：A．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．6．将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=0对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得f（x）=2sin（2x﹣）+2，再根据正弦函数的图象的对称性得出结论．解答：解：将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）的图象；再向上平移2个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）+2的图象．由于当x=时，sin（2x﹣）=0，可得函数f（x）=2sin（2x﹣）+2的图象关于点对称，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．已知函数f0（x）=xe x，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…f n（x）=f n﹣1′（x）（n∈N*）则f2014′（0）=（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导数，计算导数的规律性，即可得到结论．解答：解：∵f0（x）=xe x，∴f1（x）=f0′（x）=xe x+e x，f2（x）=f1′（x）=xe x+2e x，f3（x）=f2′（x）=xe x+3e x，…当n=2015时，f2015（x）=f2014′（x）=xe x+2015e x，此时f2014′（0）=2015e0=2015，故选：C点评：本题主要考查导数的计算，根据导数的公式，得到导数的规律是解决本题的关键．8．已知数列{a n}为等比数列，则p：a1＜a2＜a3是q：a4＜a5的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，∴由a1＜a2＜a3得，a1＜a1q＜a1q2，若a1＞0，则1＜q＜q2，解得q＞1，此时a4＜a5成立，若a1＜0，则1＞q＞q2，解得0＜q＜1，此时a1q3＜a1q4，即a4＜a5成立，若数列为{1，﹣1，1，﹣1，1}其中a4=﹣1，a5=1，满足a4＜a5成立，但a1＜a2＜a3不成立，即必要性不成立，则p是q的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键．9．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x=对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：进行简单的合情推理．专题：三角函数的图像与性质；推理和证明．分析：首先根据题意，求出y=sicosθ=sin（x﹣），然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．解答：解：①根据三角函数的定义可知x0=rcosx，y0=rsinx，所以sicosθ===sinx﹣cosx=sin（x﹣），因为，所以sin（x﹣），即该函数的值域为[﹣，]；②因为f（0）=sin（）=﹣1≠0，所以该函数图象不关于原点对称；③当x=时，f（）=sin=，所以该函数图象关于直线x=对称；④因为y=f（x）=sicosθ=sin（x﹣），所以由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，即该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z．综上，可得这些性质中正确的有3个：①③④．故选：C．点评：本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，解答此题的关键是首先求出函数y=sicosθ的表达式．10．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比q是正整数，前n项和为T n，若a1=d，b1=d2，且是正整数，则等于（）A．B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列{a n}是以d为公差的等差数列，且a1=d求得．再由数列{b n}是公比q的等比数列，且b1=d2求得，结合是正整数求得q的值，则可求．解答：解：∵数列{a n}是以d为公差的等差数列，且a1=d，∴a2=2d，a3=3d．．又数列{b n}是公比q的等比数列，且b1=d2，∴．∴=∈N*．∵q是正整数，∴1+q+q2=7，解得q=2．∴．故选：B．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的通项公式，解答此题的关键在于求得q的值，是中档题．11．如图，过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|=|BF|，且|AF|=4+2，则p=（）A．1 B．2 C．D．3考点：抛物线的简单性质．专题：常规题型；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，求出|CF|，可得|GF|，即可求出p的值．解答：解：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=45°，在直角三角形ACE中，∵|AE|=4+2，∴|AC|=4+4∵|AF|=4+2，∴|CF|=2，∴|GF|=2∴p=2，故选：B．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．12．对于函数f（x），若存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[λm，λn]，则称f（x）为“λ倍函数”，若f（x）=a x（a＞1）为“1倍函数”，则a的取值范围为（）A．（1，）B．（，e）C．（1，）D．（，e）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先根据函数的定义判断出方程a x=x，有两个不同实数解，进而分别设出f（x）=a x，g（x）=x，分别进行求导，通过极值的对比建立不等式求得a的范围．解答：解：∵f（x）=a x（a＞1）为“1倍函数”，∴f（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，∵a＞1，∴f（x）为增函数，∴，即方程a x=x，有两个不同实数解，设f（x）=a x，g（x）=x，则f′（x）=a x lna，g′（x）=1，令f′（x0）=g′（x0），即lna=1，∴a==log a e，x0=log a（log a e），如图可知g（x0）＞f（x0），∴x0＞a，即log a（log a e）＞log a e，∵a＞1，∴log a e＞e＞0，∴0＜log e a＜，∴1＜a＜e，故选：C．点评：本题主要考查了函数的性质，导数的性质与应用．考查了学生分析能力，数形结合思想起到了重要作用．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知函数f（x）=ln，则f（）+f（）=0．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质和运算法则求解．解答：解：∵函数f（x）=ln，∴f（）+f（）=ln（）=ln1=0．故答案为：0．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意对数的运算法则和运算性质的合理运用．14．向量，是单位向量，则向量﹣在+方向上的投影是0．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量投影的概念，在方向上的投影为||cosθ=，故求出，即可得到在方向上的投影，则本题求出（﹣）•（+），问题获解．解答：解：∵（﹣）•（+）==1﹣1=0，∴向量﹣在+方向上的投影是0，故答案为：0点评：本题考查向量的投影，转化为向量的数量积和模长来运算是解决问题的关键，属于基础题．15．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（﹣1，]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设k=，则z=利用k的几何意义即可得到结论．解答：解：设k=，则z=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，OB对应的直线的斜率最小，由，解得，即B（﹣1，3），∴OB的斜率k=﹣3，当过O的直线与直线AC平行时，k=﹣1，∴﹣3≤k＜﹣1，即，即﹣1＜≤，故答案为：（﹣1，]点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，注意要数形结合．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC1上移动，且EF+GH=，则三棱锥EFGH的体积最大值为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，求出几何体的体积的表达式，利用基本不等式求出几何体体积的最大值即可．解答：解：V EFGH=V H﹣EFC﹣V G﹣EFC===．（当且仅当EF=GH=时取得最大值）．故答案为：．点评：本题考查几何体的体积的求法，基本不等式的应用，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤．）17．等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），a1a3=4，且a3+1是a2和a4的等差中项，若b n=log2a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n=a n+1+，求数列{c n}的前n项和．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列的性质求出a2，由等差中项和等比数列的通项公式求出公比q，求出a n 和b n；（2）由（1）和题意求出c n，利用分组求和法、裂项相消法、等比数列的前n项和公式求出数列{c n}的前n项和．解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，在等比数列{a n}中，由a n＞0、a1a2=4得，a2=2，①又a3+1是a2和a4的等差中项，所以2（a3+1）=a2+a4，②把①代入②得，2（2q+1）=2+2q2，解得：q=2或q=0（舍去），所以a n=a2q n﹣2=2n﹣1，则b n=log2a n+1=log22n=n…（4分）（2）由（1）得，c n=a n+1+==，…（6分）所以数列{c n}的前n项和S n=2+22+…+2n+[（1﹣）++…+（）]=+= (12)点评：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式、性质，等差中项的性质，对数的运算性质，以及数列求和的常用方法：分组求和法、裂项相消法．18．已知向量，函数．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a＞b，求a，b的值．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；解三角形．分析：（1）通过向量的数量积以及二倍角的余弦函数，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的对称性求函数f（x）的对称中心；（2）通过，求出C的大小，以及余弦定理求出a，b的值．解答：解：（1），=．…（4分）令得，，∴函数f（x）的对称中心为．…（6分）（2），∵C是三角形内角，∴即：…（8分）∴即：a2+b2=7．将代入可得：，解之得：a2=3或4，…（10分）∵a＞b，∴．…（12分）∴或2，∴．点评：本题考查向量的数量积的应用，余弦定理以及两角和的正弦函数与二倍角公式的应用，考查计算能力．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD．AB=AA1=（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知A1O是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．解答：证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，A1O⊥AC；又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，且A1C⊂面A1AC，故A1C⊥BD．在正方形ABCD中，∵AB=，∴AO=1，在Rt△A1OA中，∵AA1=，∴A1O=1．设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O．又BD⊂面BB1D1D，且E10⊂面BB1D1D，且BD∩E1O=O，∴A1C⊥面BB1D1D；解：（2）∵四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O=1，A1B=AB=AA1=，∴A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA 中，A1O=1，∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O=×（）2×1=1．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱柱的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=sinx，g（x）=x﹣（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当x＞0时，x＞f（x）＞g（x）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）中求出斜率，代入点斜式方程即可，（2）中令h（x）=x﹣sinx，通过求导得：h（x）是[0，+∞）上的增函数，问题得解．令φ（x）=f（x）﹣g（x）同理可求．解答：解：（Ⅰ）由题意得所求切线的斜率．由切点，得切线方程为．即．（Ⅱ）令h（x）=x﹣sinx，x∈[0，+∞），h'（x）=1﹣cosx≥0，则h（x）是[0，+∞）上的增函数，故当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，所以x﹣sinx＞0，即x＞f（x）．令，，令u（x）=φ'（x），x∈[0，+∞），u'（x）=x﹣sinx≥0，则u（x）是[0，+∞）上的增函数，故当x≥0时，u（x）≥u（0）=0，即φ'（x）≥0，因此φ（x）是[0，+∞）上的增函数，则当x＞0时，φ（x）＞φ（0）=0，即，f（x）＞g（x）．综上，x＞0时，x＞f（x）＞g（x）．点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的大小．21．如图，已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据点A（1，）是离心率为的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线BD的方程为y=x+m，代入椭圆方程，设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD 的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB=，由此能导出即k AD+k AB=0．解答：解：（1）由题意，可得e==，代入A（1，）得，又a2=b2+c2，…（2分）解得a=2，b=c=，所以椭圆C的方程．…（5分）（2）证明：设直线BD的方程为y=x+m，又A、B、D三点不重合，∴m≠0，设D（x1，y1），B（x2，y2），则由得4x2+2mx+m2﹣4=0所以△=﹣8m2+64＞0，所以﹣2＜m＜2．x1+x2=﹣m，x1x2=﹣…（8分）设直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB==2+m•=2+m•=2﹣2=0 （*）所以k AD+k AB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值．…（12分）点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．22．已知函数f（x）=+lnx．（1）求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）若g（x）=f（x）+mx在[1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；（3）若在[1，e]上至少存在一个x0，使得kx0﹣f（x0）＞成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出导数，由条件g（x）在其定义域内为单调函数，则mx2+x﹣1≥0或者mx2+x﹣1≤0在[1，+∞）恒成立．运用分离参数，求出右边的最值即可；（3）构造F（x）=kx﹣lnx﹣﹣，则转化为：若在[1，e]上存在x0，使得F（x0）＞0，求实数k 的取值范围．讨论k＞0，k≤0，运用导数判断单调性，即可得到．解答：解：（1）函数f（x）=+lnx的导数f′（x）=﹣，则在（2，f（2））处的切线斜率为：f′（2）==，切点为（2，ln2），则切线方程为：y﹣（ln2）=（x﹣2），即有；（2）g（x）=f（x）+mx=+lnx+mx，g′（x）=﹣+m=，∵g（x）在其定义域内为单调函数，∴mx2+x﹣1≥0或者mx2+x﹣1≤0在[1，+∞）恒成立．∴m≥或者∴m≤在[1，+∞）恒成立．由于﹣，∴m的取值范围是；（3）构造F（x）=kx﹣lnx﹣﹣，则转化为：若在[1，e]上存在x0，使得F（x0）＞0，求实数k的取值范围．①当k≤0时，1≤x≤e，F（x）＜0在[1，e]恒成立，则在[1，e]上不存在x0，使得kx0﹣f（x0）＞成立；②当k＞0，F′（x）=k+，由于1≤x≤e，则e﹣x＞0，则F′（x）＞0在[1，e]恒成立．故F（x）在[1，e]递增，F（x）max=F（e）=ke﹣3﹣，只要ke﹣3﹣＞0，解得k＞，综上，k的取值范围是（，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调性和最值。