2020-2021年高一数学 4.6两角和与差的正弦余弦正切(第二课时) 大纲人教版必修
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件(共13张PPT) 高一数学人教A版必修第一册
（3）
1+tan15°
1−tan15°
；
解：（1）原式 = sin (72°– 42°) = sin 30°=
1
；
2
（2）原式 = cos (20°+ 70°) = cos 90°= 0 ；
（3）原式 =
1+tan15°
1−tan15°
= tan (45°+ 15°) = tan (60°) = 3 .
5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 类比两角差的余弦公式的推导过程，能推导两角和与差的正弦、余弦、
正切公式；（重点）
2. 会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数化简、
求值等.（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1 ：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2 4
×
2
5
−
2
3
×(− )
2
5
=
7 2
；
10
于是有 sin ( − α) = sin ·cos α − cos
4
cos ( + α) = cos
tan(α −
)
4
4
4
3
；
4
4
3
tan α – tan 4
tan α – 1 – 4 – 1
=
=
=
=−7.
1 + tan α · tan 4 1 + tan α
tan α + tan β
T(α + β)：tan (α + β) =
高中数学必修一课件：两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时)
两角和与差的正弦、余弦公式的特征是什么？
答：两角和(差)的余弦：余余、正正、符号异(即公式右端分别是α与β的余
弦之积，以及正弦之积，中间的符号与左边相反)；两角和(差)的正弦：正余、 余正、符号同．
课时学案
题型一 正弦、余弦公式的基本应用
例 1 (1)求 cos 165°＋sin 255°的值．
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时) 两角和与差的正弦、余弦公式
要点 1 两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
要点 2 两角和与差的正弦公式
(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
π 12－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3 sin
π 12－sin
π 3 cos
π 12
＝－2sinπ3 －π 12
π ＝－2sin 4 ＝－ 2.
(3)cos 15°＋sin 15°
＝ 2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝ 2cos(45°－15°)
＝
2×
23＝
(2)化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A．2 2cosπ6 －x
B．2 2cosπ3 －x
C．2 2cosπ6 ＋x
D．2 2cosπ3 ＋x
【解析】
原式＝2
212cos
x－
3 2 sin
x
＝2 2cos－π3 cos x＋sin－π3 sin x
高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切知识精讲
高一数学两角和与差的正弦、余弦、正切知识精讲【本讲主要内容】两角和与差的正弦、余弦、正切【知识掌握】 【知识点精析】1. 两角和与差的三角函数公式 sin()sin cos cos sin ()αβαβαβαβ±±±=Scos()cos cos sin sin ()αβαβαβαβ±±=+Ctan()tan tan tan tan ()αβαβαβαβ±±±=+1T2. 两角和的余弦与正弦公式是本章各类公式的基础，在这两个公式中，两角和的余弦公式又是基础，因为两角和的正弦公式是它与诱导公式导出的。
3. 公式S C αβαβ±±，具有一般性，即α、β可为任意角，通过对S C αβαβ±±，展开式进行比较，可总结出规律：S αβ±的展开式是“异名同号”；C αβ±的展开式是“同名异号”。
公式T αβ±也具有一般性，但应明确：公式T αβ±是在αππβππ≠，≠k k ++22，αβππ±≠k +2时成立，否则不成立。
4. 注意公式的逆用或变形应用 例如：114+-=+tan tan tan()ααπα，114-+=-tan tan tan()ααπαtan tan tan()(tan tan )αβαβαβ+=+-1 tan tan tan()(tan tan )αβαβαβ-=-+1 5. 在公式的应用中还要注意“角的演变”规律 例如：2ααβαβ=++-()()；βαβααβαβαβαβαβ=+-+=++=+--()()；等等2226. 重要结论将a b sin cos αα+化为一个角的一种三角函数形式 解：a b a b a a bb a bsin cos (sin cos )αααα+=++++222222令a a bb a b2222+=+=cos sin ϕϕ，，则：a b a b a b sin cos (sin cos cos sin )sin()αααϕαϕαϕ+=++=++2222（其中ϕ角所在象限由a ，b 符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ba确定） 注意：将a b cos sin αα+化为一个角的一种三角函数形式与本题解法，类似本题解法具有一般性，并且有记忆价值，它是解答此类问题的基础。
合肥高一数学下学期目录
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第四章三角函数:
一、任意角的三角函数
4.1 角的概念的推广
4.2 弧度制
4.3 任意角的三角函数阅读材料三角函数与欧拉
4.4 同角三角函数的基本关系式
4.5 正弦、余弦的诱导公式二两角和与差的三角函数4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切
4.7 二倍角的正弦、余弦、正切三三角函数的图象和性质4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质
4.9 函数y=Asin（wx+φ）的图象
4.10 正切函数的图象和性质
4.11 已知三角函数值求角
阅读材料潮汐与港口水深小结与复习：
第五章平面向量：
一、向量及其运算
5.1 向量
5.2 向量的加法与减法
5.3 实数与向量的积
5.4 平面向量的坐标运算
5.5 线段的定比分点
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.7 平面向量数量积的坐标表示
5.8 平移
阅读材料向量的三种类型：
二、解斜三角形
5.9 正弦定理、余弦定理
5.10 解斜三角形应用举例
实习作业解三角形在测量中的应用
阅读材料人们早期怎样测量地球的半径?研究性学习课题;向量在物理中的应用小结与复习
复习参考题五。
两角和与差的正弦余弦和正切公式(课时2)课件高一上学期数学人教A版
16
＝
cos 3 8
1 sin
16
16
16 16
28
＝2·
cos
2
sin
8
8
＝
2sin 8
sin 8
＝2.
【答案】 2
利用二倍角公式给角求值的基本思路 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关 系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦 公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得 问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
A.
5 3
【解析】
5
1
1
B. 9 C. 9 D.± 9
若 sin
4
＝
2 3
，则
sin
4
＝-
2 3
，
∴
sin
2θ＝
cos
2
2
＝1-2sin
2
4
＝1-2×
4 9
1
＝9.
【答案】 C
条件求值问题解法 条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名 向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.
研究三角函数的性质；
4.反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
小结
2、注意正 用 、逆用、变形用 cos 2α＝1-2sin2α＝2cos2α-1.
升幂降角公式 降幂升角公式
2
6
-
1 2
=
3 10
，∴
sin
2
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第二课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
（2）由公式C（α＋β），得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70° ＝cos（20°＋70°）＝cos 90°＝0；
新知探究
立德树人 和谐发展
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（3） sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；
如果α是第四象限角，则所求的三个三角函数值依次是
72 10
，7 2 10
，7．
头脑风暴
立德树人 和谐发展
思考：由以上解答可以看到，在本题的条件下有sin( ) cos( ),
4
4
那么对于任意角，此等式都成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
解：方法一、sin( ) cos[ ( )] cos( )
解：（3）方法一：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝cos24°cos 36°－sin 36°sin 24°，
由公式C（α＋β），原式＝cos（36°＋24°）＝cos60°＝
1 2
．
方法二：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，
所以 sin
+π
π
π
=sinθcos +cosθsin
4
4
4
= 2× 2 2 + 1 =4+ 2,
2
3
3
6
sin - π =sinθcosπ-cosθsinπ
6
66Leabharlann =2 2× 3-1×1=2 . 6-1
3
23 2 6
【课件】两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(5)∵(1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°
=1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24°
=1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24°
4
变式训练1
sin50°-sin20°cos30°
求
的值.
cos20°
解
sin(20°+30°)-sin20°cos30°
原式=
cos20°
sin20°cos30°+cos20°sin30°-sin20°cos30°
=
cos20°
cos20°sin30°
=
=sin
cos20°
1
30°= .
2
探究点二 利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题
角和与差的正弦吗？
π
π
sin(α＋β)＝cos 2－α＋β ＝cos 2－α－β 利用两角差的余弦公式展开
即可，或者
π
sin(α＋β)＝－cos2＋α＋β利用两角和的余弦展开即可.
对于 sin(α－β)我们可利用已知的三种表示方法得到 sin(α－β)＝sin[α＋
也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,
是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=
两角和与差的正切公式(课件)-2022-2023学年北师大版必修4
2
5
（2）已知tan tan 2, tan( ) 4, 求 tan tan 的值。
二.选做题
已知sin 2 , ( , ),cos 3 , ( , 3 )，求tan( )的值。
3
2
4
2
请动手试试
tan(
-
)=
tan - tan 1+ tantan
记T( - )
归纳对比
两角和与差的正切公式
tan tan tan
1 tan tan
tan tan tan
1 tan tan
注意： 1、必须在定义域范围内使用上述公式。
即： k , k , k (k Z )
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin
相除
tan( ) tan tan 1 tan tan
以-替换
相除
tan( ) tan tan 1 tan tan
2.在应用两角和与差的正切公式解题时要注意做到 “三会”
北师大版高一数学下学期必修4 两角和与差的三角函数（第二课时）
两角和与差的正切公式
复习
一. 两角和与差的正弦、余弦公式：
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin 二. 同角三角函数间的商数关系：tan sin
课堂检测二
(1) 1 tan15 ; 1 tan15
(2) tan 50 tan 20 3 tan 50 tan 20 3
小结
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系：
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析1.若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值为()A．－B．－C．D．【答案】D【解析】cos2θ＋sin2θ＝＝＝.2.已知sin＝，则sin＝______.【答案】【解析】sin＝cos＝cos＝1－2sin2＝.3.已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．【答案】α＋β＝.【解析】由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α]∴tan(α＋β)＝2tanα①由4tan＝1－tan2得tanα＝＝②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<，∴α＋β＝.4.给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝logx D．f(x)＝tan x2【答案】B【解析】对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.5.已知tanα、tanβ是方程x2＋x－2＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值是()A．－B．－C．或－D．－或【答案】A【解析】由韦达定理得，tanα与tanβ一正一负，不妨设tanα>0，tanβ<0，则0<α<，－<β<0，∴－<α＋β<，又tan(α＋β)＝＝－.∴α＋β＝－.6.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.7.若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．【答案】【解析】tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.8.不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______.【答案】1【解析】tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.9.化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ [tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．【答案】1【解析】∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝＝tan30°＝∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝ [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋· [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.10.设tanα，tanβ是方程ax2－(2a＋1)x＋(a＋2)＝0的两根，求证：tan(α＋β)的最小值是－.【答案】见解析【解析】由tanα，tanβ是方程的两根得⇒a≤且a≠0，又，∴tan(α＋β)＝＝＝－－a≥－－＝－.∴tan(α＋β)的最小值是－.11. cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B．C．D．－【答案】B【解析】原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.12.已知α、β为锐角，cosα＝，cosβ＝，则tan(α－β)的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α、β为锐角，∴－ <α－β<，又∵cosα＝，cosβ＝，∴sinα＝，sinβ＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.∵y＝sin x在上单调递增，sinα＝>＝sinβ，∴α>β.∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝＝＝.∴tan(α－β)＝＝.13.若sinα－sinβ＝，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为()A．B．C．D．1【答案】A【解析】将条件式两边分别平方相加得：2－2sinαsinβ－2cosαcosβ＝1，∴2－2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝.14. cos15°＋sin15°＝________.【答案】【解析】 cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.15.化简＝________.【答案】【解析】＝＝＝.16.设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.【答案】【解析】∵α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，∴sin＝＝＝.cos＝＝＝.∴cos＝cos＝cos cos＋sin·sin＝－×＋×＝.17.已知△ABC中，sin C＝，cos B＝－，求cos A.【答案】【解析】在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，且B为钝角，∴C为锐角，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－＝－.sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C＝，∴cos A＝cos[(A＋B)－B]＝－×＋×＝.[点评]本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A＋B)＝而致误．18.设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a【答案】B【解析】a＝sin(14°＋45°)＝sin59°，b＝sin(16°＋45°)＝sin61°，c＝·＝sin60°，由y＝sin x在(0°，90°)上单调增知：a<c<b.19.若cosαcosβ＝1，则sin(α＋β)等于()A．－1B．0C．1D．±1【答案】B【解析】∵cosαcosβ＝1，∴cosα＝1，cosβ＝1或cosα＝－1，cosβ＝－1，∴sinα＝0，sinβ＝0，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0.20.函数y＝2sin－cos (x∈R)的最小值等于()A．－3B．－2C．－1D．－【答案】C【解析】y＝2sin－cos＝2cos－cos＝cos (x∈R)．∵x∈R，∴x＋∈R，∴y＝－1.min。
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2019-2020年高一数学 4.6两角和与差的正弦余弦正切（第二课时）大
纲人教版必修
●教学目标
(一)知识目标
1.两角差的余弦公式；
2.两个诱导公式.
(二)能力目标
1.掌握两角差的余弦公式及其诱导公式；
2.能用以上公式进行求值.
(三)德育目标
1.培养学生简单推理的思维能力；
2.使学生树立创新意识；
3.运用联系观点解决问题.
●教学重点
两角差的余弦公式及诱导公式.
●教学难点
灵活应用上述公式进行化简、求值.
●教学方法
引导学生发现联系、规律、启发诱导式
●教具准备
幻灯片二张
第一张：（§4.6.2 A）
第二张：（§4.6.2 B）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］请同学们回顾一下上节课咱们利用平面内两点间的距离公式推导出的两角和的余弦公式.
(学生回答，老师板书)
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ(C（α＋β））
这个公式对于任意的角α、β都成立.
Ⅱ.讲授新课
［师］两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?
(师生共同活动)
cos［α＋（－β）］
＝cosαcos（－β）－sinαsin（－β）
＝cosαcosβ＋sinαsinβ
即：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
［师］请同学们观察这一关系式与两角和的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?
［生］(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.
(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.
［师］请同学们仔细观察它们各自的特点.
(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.
(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.
［师］不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.
如：求cos 15°可化为求cos （45°－30°)或cos （60°－45°）利用这一式子而求得其值.
即：cos 15°＝cos （45°－30°）
＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30° ＝4
2621222322+=⋅+⋅ 或：cos 15°＝cos （60°－45°）
＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45° ＝4
6222232221+=⋅+⋅ 所以这一式子称作两角差的余弦公式.
cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C (α－β））
这个公式对于任意的角α、β都成立.
［师］请同学们将此公式中的α用代替，看可得到什么新的结果?
［生］cos （－α）＝coscos α＋sinsin α＝sin α
即：cos （－α）＝sin α
［师］再将此式中的α用－α代替，看可得到什么新的结果.
［生］cos ［－（－α）］＝cos α＝sin （－α）
即：sin （－α）＝cos α
［师］这两式反映的是互为余角间的三角函数关系，对于任意的角α都成立.
(打出幻灯片§4.6.2 A)
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ C（α－β））
cos（－α）＝sinα
sin（－α）＝cosα
注意这四个公式的如下关系：
Ⅲ.课堂练习
下面看它们的应用.
(打出幻灯片§4.6.2 B)
生(板演)：
1.证明：（1）左＝cos（α＋β）＋cos（α－β)
＝cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝2cosαcosβ＝右
∴原式得证.
（2）左＝cos（α－β）－cos（α＋β）
＝（cosαcosβ＋sinαsinβ）－（cosαcosβ－sinαsinβ）＝2sinαsinβ＝右
∴原式得证.
［师］这两式有一共同特点：左边为和差形式，右边为乘积形式.即将左边的和差形式转化为右边的乘积形式.反过来，将右边的乘积形式转化为左边的和差形式，这两式对于任意两角α、β都成立，所以又可称作为积化和差公式，它也可表述为：
(1)任意两角的余弦的乘积的两倍等于这两角和的余弦与这两角差的余弦的和.
(2)任意两角的正弦的乘积的两倍等于这两角差的余弦减去这两角和的余弦.
2.证明：左＝tan （－α） ＝αααααπαπ
tan cot sin cos 2
cos(2sin(1===)-)-＝右 ∴原式得证.
3.解：由已知cos （α－β）＝，
cos （α＋β）＝－
可得：cos （α－β）＋cos （α＋β）＝＝
即：2cos αcos β＝ ① cos （α－β）－cos （α＋β）＝1
即：2sin αsin β＝1 ②
由②÷①得＝tan α·tan β＝
∴tan α·tan β的值为.
4.解：由已知cos α－cos β＝
得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝
①
由sinα－sinβ＝－
得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝②
由①＋②得
2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝
即：2－2cos（α－β）＝
∴cos（α－β）＝
［师］要想正确求解此题，就必须在熟练公式的基础上，认真观察，仔细分析，寻求思路.
Ⅳ.课时小结
在两角和的余弦公式的基础上，进而推导了两角差的余弦公式及两个诱导公式.同学们需对这四个公式熟练掌握，灵活应用其解决一些相关问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P41习题4.6 7.(2)(3) 8.(8)
(二)1.预习内容
课本P36～P38
2.预习提纲
(1)将cos（－θ）＝sinθ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结果?
(2)将cos（－θ）＝sinθ中的θ用α－β代替，看会得到什么新的结果?
●板书设计。