Gauss型求积公式

Gauss型求积公式 一、Gauss型求积公式 定义： 个节点的具有2 定义 ： 把具有 n＋1 个节点的具有 2 n+1 次代 数精确度的插值型求积公式
∫
b
a
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
k=0
n
称为Gauss型求积公式， 称为Gauss型求积公式，其求积节点 xk k=0， Gauss型求积公式 （ =0， 称为高斯点 高斯点， 高斯系数。 1，……n）称为高斯点，系数 A 称为高斯系数 k称为高斯系数 Remark：构造Gauss Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 Remark：构造Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 个高斯点构造基函数， 点，再由n＋1个高斯点构造基函数，从而得到高斯 系数。 系数。
f (x) = P x) n+1(x) ( ω 的次数不超过2n+1。
故有
∫ω
a
b
n+1
( x )P( x )dx = ∑A ωn+1( xk )P( xk ) = 0 k
k=0
n
充分性 ： 设 ∫ ωn+1(x)P(x)dx = 0 对于任意次数不超过 a ω 2n+1的多项式 f (x),设 n+1(x)除f(x)的商为p(x),余 项为q(x)。
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
6
7 4 0.3478548451 0.6521451549
x1 = −
3 5
, x2 =
3 5
故两点Gauss公式为
x 2 f ( x)dx ≈ 1 [ f (− ∫−1 3
1
3 5
)+ f(
3 5
)]
利用两点Gauss-Legendre求积公式计算 例 利用两点 求积公式计算 sin x 为偶函数 解:因为 因为 x 1 1
( x 2 , p 0 ( x)) ( x 2 , p1 ( x)) p 2 ( x) = x 2 − p 0 ( x) − p1 ( x) ( p 0 ( x), p 0 ( x)) ( p1 ( x), p1 ( x))
3 =x − 1 2 − 1 4 x=x − 5 ∫−1 x dx ∫−1 x dx
5
±0.9061798459 ±0.5384693101 0
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
8
Gauss型求积公式的构造方法 (1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式 pn(x) . (2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为Gsuss点. (3)计算积分系数
A= k
1
1 dn+1 2 xk (k = 0,1L n)为P+1(x) = , , (x −1 n+1 ) n n+ 1 n+ 1 (n +1 2 dx )! 的零点 。
2 (1− xk ) P'+1(xk ) n 一点Gauss Legendre求积公式 Gauss求积公式为 一点Gauss-Legendre求积公式为：
n b k ∫ dx = ∑A a k=0 n b ∫ xdx = ∑A xk k a k=0 M n b n n x dx = ∑A xk k ∫ a k=0
确定. 确定.
即可由线性方程组
也可以由插值型求积公式中的系数公式 k a 也可以由插值型求积公式中的系数公式 A = ∫ lk (x)dx 插值 确定。 确定。
三次Legendre多项式及其零点为： 三次Legendre多项式及其零点为： Legendre多项式及其零点为
1 3 P(x) = (5x −3x), x0 = − 0.6, x1 = 0, x2 = 0.6 3 2
三、Gauss-Legendre求积公式 Gauss-Legendre求积公式
∫
节点 xi ⇒ Ai , (i = 0,1, L , n)，但是如何确定
xi
？只要求解
∫
b
a
x ρ ( x)dx =∑ Ai xim , m = 0,1, L , 2n + 1.
m i =0
n
例 试构造高斯求积公式 思路：
A0 + A1 = 2, A x + A x = 0, 1 1 0 0 2 2 2 A0 x0 + A1 x1 = 3 , 3 3 A0 x0 + A1 x1 = 0.
k
( 的n+1次多项式 ωn+1(x) =∏ x − xj ) 与任意次数不超 次多项式
的多项式P(x)正交，即 正交， 过n的多项式 的多项式 正交
j=0
n
∫ω
a
b
n+1
( x )P( x )dx = 0
证明： 证明： 必要性 ：
, , 设 xk (k = 0,1L n)是高斯点，于是对任意次数不超过n 的多项式P(x) ，
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
k=0
n
[
2
]
2
(k = 0,1L n) , ,
∫
1
1
− 1
f (x)dx ≈ 2 f (0)
两点Gauss-Legendre求积公式为 两点Gauss-Legendre求积公式为： Gauss 求积公式
3 3 ∫−1 f (x)dx ≈ f (− 3 ) + f ( 3 )
b
即 (x) = P(x)ωn+1(x) +q(x) f
其 P(x), q(x)的 数≤ n 中 次
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ P( x )ωn+1( x )dx + ∫ q( x )dx
a a
b
b
由 件 P(x)ωn+1(x)dx = 0 条 ∫ ，
a
b
所给的求积公式是插值型的， 所给的求积公式是插值型的，其代数精度至少为n。
x= a +b b −a + t 2 2
即可将区间[ 变换到[ 1,1]上 即可将区间[a,b]变换到[-1,1]上：
∫
b
a
1 b −a 1 a +b b − a f (x)dx = ∫−1 f ( 2 + 2 t)dt = ∫−1ϕ(t)dt 2
n 1 2 3
xk 0 ±0.5773502692 ±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
Gauss型求积公式 Gauss型求积公式
由前面的讨论已经知道， 为节点的N-C求积公式 由前面的讨论已经知道，以a=x0<x1<…<xn=b为节点的 为节点的 求积公式 的代数精度一般为n或 这时节点简单地按照闭式等距的方式确定。 的代数精度一般为 或n+1,这时节点简单地按照闭式等距的方式确定。 这时节点简单地按照闭式等距的方式确定 对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置， 对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置， 在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高， 在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高， 最多能达到多少?高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式 高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式. 最多能达到多少 高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式
∫
1
−1
f ( x)dx ≈ w0 f ( x0 ) + w1 f ( x1 )
1 1 ⇒ ∫ f (x)dx ≈ f (− ) + f ( ) −1 3 3
1
定理： 插值型求积公式中的节点 定理 ： 插值 型求积公式中的节点 x (k = 0,1L n) , , 是高 斯点的充要条件是， 斯点的充要条件是，在[a,b]上，以这些点为零点 上
三点Gauss-Legendre求积公式为 三点Gauss-Legendre求积公式为： Gauss 求积公式
5 8 5 ∫−1 f (x)dx ≈ 9 f (− 0.6) + 9 f (0) + 9 f ( 0.6)A
1
实际上我们可以给出任意次Gauss-Legendre求 实际上我们可以给出任意次Gauss-Legendre求 Gauss 积公式在任意区间上的节点与系数 在任意区间上的节点与系数， 积公式在任意区间上的节点与系数，从而得到任意 区间上的Gauss Legendre求积公式 Gauss求积公式。 区间上的Gauss-Legendre求积公式。 事实上， 事实上，作变换
n
{1, x, L , x } 变为正交基 {p ( x), p ( x),L, p ( x)}
0 1 n
例： 解
求积分
x 2 f ( x)dx 的2点Gauss公式. ∫−1
1
按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:
p0 ( x) = 1
( x, p 0 ( x)) p1 ( x) = x − p 0 ( x) ( p 0 ( x), p 0 ( x))
利用Schmidt正交化过程，
g ( x) = f ( x) 0 0 M n −1 ( f ( x), gi ( x)) g n ( x) = f n ( x) − ∑ n g i ( x) i = 0 ( g i ( x ), g i ( x ))
就可以将多项式基函数
2 2