安徽省师大附中2018-2019学年高二第一学期期中考试题数学(理)Word版含答案
2017-2018学年安徽师大附中高二(上)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（）A．s2B．2s2C．4s2D．s22．（3分）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则（）A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0 5．（3分）有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（）A．B．C．D．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．8．（3分）已知圆C：x2+y2=1，过点P（0，2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q．若M（m，n）为线段PQ上的动点（不含端点），则的最小值为（）A．4B．1C．3D．39．（3分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α10．（3分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个11．（3分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+B．10+C．6+2+D．6++ 12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为．14．（3分）已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．16．（3分）点D是直角△ABC斜边AB上一动点，AC=3，BC=2，将直角△ABC 沿着CD翻折，使△B'DC与△ADC构成直二面角，则翻折后AB'的最小值是．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）下表数据是退水温度x（℃）对黄铜延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程．．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣B的大小；（3）在线段EB上是否存在一点G，使得CG与AF所成的角为30°？若存在，求出BG的长度；若不存在，请说明理由．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（）A．s2B．2s2C．4s2D．s2【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都乘以a，所以平均数变，方差也变．【解答】解：由题意知，原来的平均数为，新数据的平均数变为a，（a=2）原来的方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2]，现在的方差S′2=[（ax1﹣a）2+（ax2﹣a）2+（ax3﹣a）2]=[a2（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]=a2s2，∴求得新数据的方差为4s2．故选：C．【点评】本题说明了当数据都乘以一个数a时，方差变为原来的a2倍．2．（3分）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则（）A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同【分析】根据抽样的原理知道，不管采用哪一种抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，被抽到的概率不随着抽样方法变化．【解答】解：有抽样的原理知道，不管采用哪一种抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，被抽到的概率不随着抽样方法变化，将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是，故选：A．【点评】本题考查三种抽样方法和函数的值域，本题解题的关键是理解三种抽样方法在抽样过程中，每个个体被抽到的概率是相等的，这和选择的方法无关，只与样本容量和总体个数有关．3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选：B．【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故选：C．【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．5．（3分）有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据2个人离开的方法种数为92=81，2个人在不同层离开的方法数为9×8=72，由此2个人在不同层离开的概率．【解答】解：2个人离开的方法种数为92=81，2个人在不同层离开的方法数为9×8=72，则2个人在不同层离开的概率为=，故选：D．【点评】本题主要考查等可能事件的概率，求出2个人在不同层离开的方法数为9×8，是解题的关键，属于中档题．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．故选：A．【点评】本题是中档题，考查正四面体的外接球的表面积的求法，注意正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球是本题解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．【分析】一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，设出底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，根据圆锥体积公式V=，和球的体积公式V=πR3，代入即可求得圆锥的母线与轴所成角正弦值．【解答】解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高H=R•ctgθ圆锥的体积，V1==ctgθ半球的体积V2=∵V1=V2解得ctgθ=2，∵ctgθ==2，sin2θ+cos2θ=1解得sinθ=．故选：C．【点评】考查圆锥和球的体积公式，及线线角的问题，在计算过程中注意公式的灵活应用，属基础题．8．（3分）已知圆C：x2+y2=1，过点P（0，2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q．若M（m，n）为线段PQ上的动点（不含端点），则的最小值为（）A．4B．1C．3D．3【分析】根据题意画出相应的图形，连接CN，由PQ与圆C相切，利用切线的性质得到CN垂直于PQ，且CN等于圆C半径，可得出CN为CP的一半，得到∠CPQ为30°，进而求出直线PQ的斜率，确定出直线PQ的解析式，由M 为直线PQ上的点，将M（m，n）代入直线方程，用m表示出n，将所求式子利用基本不等式变形后，得到取等号时m与n的关系，将表示出的n代入求出m的值，进而得到n的值，即可确定出所求式子的最小值．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：连接CN，∵PQ与圆C相切，∴CN⊥PQ，且CN=1，又P（0，2），即CP=2，∴在Rt△PCN中，CN=PC，∴∠CPN=30°，∴直线PQ的倾斜角为120°，即斜率k=﹣，故直线PQ解析式为y=﹣x+2，∴M（m，﹣m+2），又≥2，当且仅当，即m=n时取等号，∴m=（﹣m+2）=﹣3m+2，即m=，n=，则的最小值为2=4．故选：A．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查直线方程、圆等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．（3分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．10．（3分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形，故①正确，②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x ﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③正确；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=±1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=±1}，集合是两条平行线，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．【点评】本题主要考查了“折线距离”的定义，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．11．（3分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+B．10+C．6+2+D．6++【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA ⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．PC=2，PB=，BC=．∴S==．△PBC该几何体的表面积S=++++=6+．故选：C．【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其表面积的计算公式、勾股定理，考查了计算能力，属于基础题．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M 和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|=，即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故选：B．【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．14．（3分）已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为．【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可．【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，可知（﹣1，0）在圆外要使得弦长|AB|≥2 由半径是，设过圆心垂直于AB的直线垂足为D，可得出圆心到AB的距离是，再由（﹣1，0），（1，0）和D点构成的直角三角形中可知过（﹣1，0）的直线与x轴成45°当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°所以概率为：．故答案为：．【点评】本题主要考查集合概型，属于基础题．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．【分析】设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r【解答】解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ∵=+两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：．【点评】本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．16．（3分）点D是直角△ABC斜边AB上一动点，AC=3，BC=2，将直角△ABC 沿着CD翻折，使△B'DC与△ADC构成直二面角，则翻折后AB'的最小值是．【分析】过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE，设∠BCD=∠B′CD=α，则有B′E=2sinα，CE=2cosα，，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当时，AB′取得最小值．【解答】解：过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE，设∠BCD=∠B′CD=α，则有B′E=2sinα，CE=2cosα，，在△AEC中，由余弦定理得：=9+4cos2α﹣12sinαcosα，在Rt△AEB′中，由勾股定理得：AB'2=AE2+B′E2=9+4cos2α﹣12sinαcosα+4sin2α=13﹣6sin2α，∴当时，AB′取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）下表数据是退水温度x（℃）对黄铜延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程．．【分析】（1）根据所给数据，可得散点图．（2）利用公式，计算出b，a，即可得出y对x的线性回归方程．【解答】解：（1）散点图如下：由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近．（2）列出下表并用科学计算器进行有关计算．=550，57于是可得b==≈0.05886．a=﹣b=57﹣0.05886×550=27.57．因此所求的回归直线的方程为：=0.05886x+27.57．【点评】本题考查散点图，考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．【分析】（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A 1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．【解答】解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．【点评】本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．【分析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9，由此能求出t的取值范围．（2）r==，由此能求出r max=，此时圆的面积最大，并能求出对应的圆的方程．（3）由点P恒在所给圆内，得（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，由此能求出0＜t＜．【解答】解：（1）已知方程可化为：（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，r max=，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣B的大小；（3）在线段EB上是否存在一点G，使得CG与AF所成的角为30°？若存在，求出BG的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）取AD的中点N，连结MN、NF，推导出四边形MNFE是平行四边形，从而EM∥FN，由此能证明EM∥平面ADF．（2）设AB、AF的中点分别为P，Q，则FP=EB=，AP=1，AF=2，△ABF是正三角形，由BD⊥AB，BD⊥EB，得BD⊥平面ABF，从而∠BQD是二面角D﹣AF ﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣AF﹣B的大小．（3）在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．只需验算点G和端点B、E重合时，CG与AF所成角即∠DAQ和∠CEP的大小即可．【解答】证明：（1）取AD的中点N，连结MN、NF，在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN∥AB，MN=AB，又∵EF∥AB，EF=AB，∴MN EF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴EM∥FN，∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF．解：（2）设AB、AF的中点分别为P，Q，则FP=EB=，AP=1，AF=2，△ABF是正三角形，∵BD⊥AB，BD⊥EB，∴BD⊥平面ABF，BQ是DQ在平面ABF内的射影，∴DQ⊥AF，∴∠BQD是二面角D﹣AF﹣B的平面角，在△BQD中，QD==，BQ=，∴cos，∴∠BQD=60°，∴二面角D﹣AF﹣B的大小为60°．（3）在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．理由如下：只需验算点G和端点B、E重合时，CG与AF所成角即∠DAQ和∠CEP的大小即可．在△DAQ和△CEP中，cos，cos，∵，，∴∠DAQ和∠CEP都大于30°，∴在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求直线l1的方程；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣4），再利用圆C2的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；（3）设出过P点的直线l4与l5的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，可得⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】（1）解：由题意，直线的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y ﹣2k=0．圆心到直线的距离为=2，∴k=，∴直线l1的方程y=（x﹣2）；直线的斜率不存在时，方程为x=2也满足题意，综上所述，直线l1的方程为y=（x﹣2）或x=2；（2）解：设直线l2的方程为y=k（x﹣4），被圆C2截得的弦长为2，∴圆C2的圆心到l的距离为1．由点到直线l的距离公式得d==1，解得k=0或﹣，所以直线l的方程为y=0或y=﹣（x﹣4）；（3）证明：设点P（a，b），由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l4的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l5方程为：y﹣b=﹣（x﹣a），∵⊙C1的圆心坐标为（4，5），半径r1=2，⊙C2的圆心坐标为（﹣3，1），半径为r2=2，圆心距O102=3，∵直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，∴=整理得k（3﹣a+b）+b+a﹣2=0或（5﹣b﹣a）k﹣a+b﹣8=0，∵k的取值有无穷多个，∴或∴或∴直线l3的方程是x=，直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．。
2018-2019学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考试理科数学试题 解析版
再对场馆分配，共有 种，
所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种，
故选A.
【点睛】
解析：（1）∵ ，又 在 处有极值 ，∴ 即 解得 .
（2）由（1）可知 ，其定义域是 ， ，由 ，得 ；由 ，得 .所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ．
18．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)比21034大的偶数；
(2)左起第二、四位是奇数的偶数．
当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是3时，有A＝6个五位数；
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．
(2)可分为两类：末位数是0，个数有A·A＝4；末位数是2或4，个数有A·C＝4；
故共有A·A＋A·C＝8个满足条件的五位数．
19．已知数列 满足 .
评卷人
得分
三、解答题
17．已知函数 在 处有极值 ．
(1)求 的值；
（2）判断函数 的单调性并求出单调区间.
【答案】（1） ，b=﹣1．（2）函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）
【解析】
试题分析：（1）因为 在 处有极值，故 ，从而 .（2）求得 ，则当 时， ，因此增区间为 ；当 时，有 ，因此减区间为 .
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有 种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法.
安徽省安师大附中高二数学上学期期中试题 理
安师大附中2014～2015学年度第一学期期中考查高 二 数 学 试 题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A .对立事件B .互斥但不对立事件C .不可能事件D .必然事件 2、在下列四个命题中，其中正确命题的是（ ） A . 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B . 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 C . 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D . 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.3、如图给出的是计算201614121++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A .8i >?B .9i >?C .10i >?D .11i >?4、从2 014名学生中抽取50名组成参观团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000 人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是( )A .不全相等 B .均不相等C .都相等，且为251007D .都相等，且为1405、如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A B C 、、为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，ABC ∠等于（ ）A . 45°B . 60°C . 90°D . 120°6、从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程y ＝0.56x ＋a ，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )A . 70.09B . 70.12C . 70.55D . 71.057、已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是直角三角形,则此几何体的体积为第3题图3311俯视图侧视图主视图5（ ）A .163B .103C .D 8、甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ）A .318 B .418 C .518 D .6189、甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a ，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（ ）A . a 34B .a 362 C . a 27 D . a 938 10、三棱柱111ABC-A B C 的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,所有棱长都是6,则四面体111A ABC, B ABC, C ABC的公共部分的体积等于（ ）A .B .C .D . 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11、117,182的最大公约数是 ．12、若空间某条直线与某长方体的十二条棱所在直线成角均为α,则cos α= ．13、在某次综合素质测试中，共设有40个考场，每个考场30名考生．在考试结束后， 统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．这40个考场成绩的众数是 , 中位数是 .14、已知正三棱锥ABC P -，点C B A P ,,,都在半径为4的球面上，若PC PB PA ,,两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________.15、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P,Q,R 分别是棱BC,CD,DD 1的中点.下列命题：①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个； ②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形； ③AC 1与QR 所成的角为60°;④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，且EF+GH =1，则三棱锥E-FGH 体积的最大值是121； ⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正方体表面上运动，则OM ON 的取值范围是[0，2].其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16、 （本小题满分6分）如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，CD =2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积17、（本小题满分6分）斜三棱柱111ABC-A B C 的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长等于b ，一条侧棱1AA 与底面相邻两边AB AC 、都成450角，求这个三棱柱的侧面积。
2019-2020学年安徽师大附中高二(上)期中数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 已知直线的方程是y +2=−x −1，则( )A. 直线经过点(−1,2)，斜率为−1B. 直线经过点(2,−1)，斜率为−1C. 直线经过点(−1,−2)，斜率为−1D. 直线经过点(−2,−1)，斜率为12. 已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若m ⊂α，n ⊂β，且α⊥β，则m ⊥nB. 若m ⊂α，n ⊂α，且m//β，n//β，则α//βC. 若m ⊥α，n//β，且α⊥β，则m ⊥nD. 若m ⊥α，n//β，且α//β，则m ⊥n3. 直线方程3x +2y −6=0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A. k =−23，b =3 B. k =−32，b =3 C. k =−23，b =−3D. k =−32，b =−34. 对于平面α，β，γ和直线a ，b ，m ，n ，下列命题中真命题是( )A. 若a ⊥m ，a ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则a ⊥αB. 若α//β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a//bC. 若a//b ，b ⊂α，则a//αD. 若a ⊂β，b ⊂β，a//α，b//α，则β//α．5. 圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为( )A. 6π+4B. 5π+2C. 5π+4D.20π+166. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面为直角梯形，AD//BC ，∠BAD =90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =AB =2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求CD 与平面ADMN 所成的角．A. arcsin √105B. arcsin √55C. arcsin √102D. arcsin √257.在三棱锥D−ABC中，已知AB=BC=AD=√2，BD=AC=2，BC⊥AD，则三棱锥D−ABC外接球的表面积为()A. 6πB. 12πC. 6√3πD. 6√2π8.已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上，则√a2+b2的最小值为()A. 2B. 3C. 154D. 59.如图所示的图形中，是四棱锥的三视图的是()A. B.C. D.10.直线x+y−2=0与坐标轴围成的三角形的面积为()A. 1B. 2C. 12D. 1411.对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是()A. 若m，n与平面α所成的角相等，则m//nB. 若m//α，n//α，则m//nC. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m⊂α，n//α，则m//n12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为C1D1与AB的中点，B1到平面A1FCE的距离为()A. √105B. √305C. √32D. √63二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E、F分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AE⊥BC，④平面AEF⊥平面PBC，⑤△AFE是直角三角形，其中正确的命题的序号是______ ．14.直线x+6y+2=0在x轴上的截距是_________．15.若一个球的表面积与体积在数值上相等，则它的半径为________．16.已知三棱锥P−ABC的体积为4√3，，，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥3平面PBC，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.根据下列条件，写出直线方程：(1)过点M(1,−2)，且与直线2x−y+5=0平行，(2)过点N(2,−3)，且与直线x−2y−3=0垂直。
2018-2019学年安徽省芜湖市安师大附中高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
芜湖市安师大附中2018-2019学年度第二学期期中考查高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 为虚数单位，则复数2534i+的虚部为（ ） A ．254B ．4C ． 4-D ．4i -2.下列求导运算正确的是（ ）A ．2()x x '=B ．(sin )cos x x '=-C ．()x xe e --'= D ．1(ln 5)x x'=3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．24.在用数学归纳法证明:“22n n >对从0n 开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的0n 等于( )A ．1B ．3C ．5D ．75.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的 染色方案共有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．12种6.函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )A B C D7.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样 的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A ．①④B ．②⑤C ．③⑤D ．②③8.向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方 的概率是( )A ．π4B ．12C ．π2－1D ．2π9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解 集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1} 10.已知函数2()32sin cos 23cos (0)f x x x x ωωωω=+->在区间(),2ππ内没有极值 点，则ω的取值范围为（ ） A ．511,1224⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．55110,,241224⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．51110,,12242⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11.某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个 场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种A ．222B ．253C ．276D ．284 12.三棱锥P ABC -中，底面ABC 满足BA BC =，2ABC π∠=，点P 在底面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为196，当其外接球的表面积最小时，P 到底面ABC 的距离为（ ）A ．3B ．319 C ．3192 D ．3193二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
数学-高二-安徽师大附中高二上学期期中考试理科数学试题1
安徽师范大学附属中学 期中考查 高 二 理 科 数 学 试 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、下列说法正确的是（ ）A ．任意三点可确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面 2、某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）第2题图A ．B ．C ．D ．3、已知水平放置的ΔABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中3''''1,''2B O C O A O ===， 那么原ΔABC 是一个（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．仅有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形 4、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．35、在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π 6、对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线7、若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβC ．若αβ⊥，α⊂m ，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，α⊄m ，则//m α'O 'B 'A 'C 'x8、如图正方体中,o,1o为底面中心,以1 oo所在直线为旋转轴,线段1BC形成的几何体的正视图为（）第8题图9、给出以下四个命题，①如果平面α，β，γ满足l=⊥⊥βαγβγα,,,则γ⊥l②若直线l上有无数个点不在平面α内，则α//l③已知a,b是异面直线，βα,为两个平面，若αββα//,,//,bbaa⊂⊂，则βα//④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个10、在棱长为2的正方体内有一四面体A－BCD，其中B，C分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体A－BCD的体积为( )A.83B．2 C.43D．111、设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面α （）A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个12、如图，正方体1111ABCD A B C D-，则下列四个命题：①P在直线1BC上运动时，三棱锥1A D PC-的体积不变；②P在直线1BC上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线1BC上运动时，二面角1P AD C--的大小不变；④M是平面1111A B C D上到点D和1C距离相等的点，则M点必在直线11A D上其中真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.）(A)(B)(C)(D)AA1B1C1D1BCDOO113、如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则 AB 与平面β所成的角的正弦值是 . 14、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标 出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 ．15、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一 个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan(α＋β)的值是_____ _．16、一个半径为1的小球在一个内壁棱长为64的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）17、（8分）如图所示的三幅图中，图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图（2）（3）所示(单位：cm)。
2018-2019学年安徽省芜湖市安师大附中高二下学期期中考试数学(理)试题(Word版)
芜湖市安师大附中2018-2019学年度第二学期期中考查高二数学（理）试题命题教师： 审题教师：一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 为虚数单位，则复数2534i+的虚部为（ ） A ．254B ．4C ． 4-D ．4i -2.下列求导运算正确的是（ ）A ．2()x x '=B ．(sin )cos x x '=-C ．()x xe e --'= D ．1(ln 5)x x'=3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．24.在用数学归纳法证明:“22n n >对从0n 开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的0n 等于( )A ．1B ．3C ．5D ．75.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的 染色方案共有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．12种6.函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )A B C D7.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样 的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A ．①④B ．②⑤C ．③⑤D ．②③8.向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方 的概率是( )A ．π4B ．12C ．π2－1D ．2π9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解 集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1} 10.已知函数2()32sin cos 23(0)f x x x x ωωωω=+->在区间(),2ππ内没有极值 点，则ω的取值范围为（ ） A ．511,1224⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．55110,,241224⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．51110,,12242⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11.某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个 场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种A ．222B ．253C ．276D ．284 12.三棱锥P ABC -中，底面ABC 满足BA BC =，2ABC π∠=，点P 在底面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为196，当其外接球的表面积最小时，P 到底面ABC 的距离为（ ）A ．3B 319319 D 319二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
安徽省师大附中高二数学上学期期中考查试题 理 新人教A版
高 二 数 学 试 题（理）命题教师：李 娟一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、下列说法错误的是（ ）A 、用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.B 、有两个面平行，其余各个面都是梯形的几何体一定都是棱台.C 、圆锥的轴截面是等腰三角形.D 、用一个平面去截球，截面是圆.2 、如图所示为一平面图形的斜二测画法的直观图，则此平面图形可能是下图中的（ ）A B C D3、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积和侧面积的比是（ ）A.122ππ+ B. 12ππ+ C. 144ππ+ D. 142ππ+ 4、 如图，平面EFGH 为长方体1111-ABCD A B C D 的截面，E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，11//EH A D ，则四边形EFGH 的形状是（ ）A. 平行四边形B. 梯形C. 菱形D. 矩形5、下列命题正确的是（ ）A. 直线a 与平面α不平行，则直线a 与平面α内的所有直线都不平行 B ．如果两条直线在平面α内的射影平行，则这两条直线平行 C ．垂直于同一直线的两个平面平行D ．直线a 与平面α不垂直，则直线a 与平面α内的所有直线都不垂直6、下图中三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =（ ） A. 6 B. 8 C. 4 D. 12第6题图 第D 1B 1DC C 1B A 1HG E F y 'o 'x '8题图 第9题图7、已知点,,,,P A B C D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 的边长为3的正方形. 若=6PA ，则球O 的表面积为（ ）A. 9πB. 12πC. 18πD. 6π8、如图，ABCD 四边形为矩形，CF ABCD ⊥平面，DE ABCD ⊥平面，==2CF BC ，AB = 4，P 为AB 的中点，则四面体EPCF 的体积为（ ） A. 8B.83 C. 23 D. 439、如图，正方体1111-ABCD A B C D 中，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（ ） A. 有无数条B ．有2条C ．有1条D ．不存在10、有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围为（ ）A.062)+（，B.12)（，2 C. 6-262)+（，D.2)（0，2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11、如图，直角梯形ABCD 绕直线AD 旋转一周形成的曲面所围成的几何体是______________.12、在正方体1111-ABCD A B C D 中，与对角线1AC 异面的棱有 条.第11题图第13题图 第15题图13、如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ,分D ABC别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为 .14、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成的角的大小为 .15、正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为1，P 为线段BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则所有正确的命题是_______.①当0<CQ <12时，S 为四边形； ②当CQ =12时，S 为等腰梯形； ③当CQ =34时，S 与11C D 的交点R 满足1RD =13；④当34<CQ <1时，S 为五边形；⑤ 当CQ =1时，S 的面积为32.安师大附中2013～2014学年第一学期期中考查高二数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上） 11、 12、 13、 14、 15、三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16、(本题满分9分)如图，已知P 平行四边形ABCD 所在平面外的一点，,E N 分别是,AB PC 的中点.（Ⅰ）求证：//EN PAD 平面；（Ⅱ）若==EN BC 4，=PA 43，求异面直线PA ,EN 所成角的大小.17、(本题满分9分)已知点P 在矩形ABCD 的边DC 上，=2,1AB BC =，点F 在AB 边上且DF AP ⊥，垂足为E ，将ADP ∆沿AP 边折起，使点D 位于1D 位置，连接11,D B D C 得四棱锥1D ABCP -. （Ⅰ）求证：1D F AP ⊥；（Ⅱ）若=1,PD 且平面1D AP ⊥平面ABCP ，求四棱锥1D ABCP -的体积.18、(本题满分10分)在圆锥PO 中，已知2,PO O =的直径2,,点在上,且CAB=30为的中点．=∠AB C AB D AC⊥平面；（Ⅰ）求证：AC POD和平面所成角的正弦值.（Ⅱ）求直线OC PAC∆是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且19、(本题满分10分)已知如图，ABC6PA=，A点关于平面PBC的对称点为A'，连线AA'交面PBC于O点.4⊥；（Ⅰ）求证：PO BC（Ⅱ）求线段AA'的长度；'--的余弦值.（Ⅲ）求二面角A AB C20、(本题满分12分)在棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 中，点12,P P 分别是线段1AB BD ，（不包括端点）上的动点，且线段12P P //平面11A ADD . (1) 证明： 121PP A D ⊥ ； (2) 求四面体211P P AB 的体积最大值.安徽师大附中2013～2014学年第一学期期中考查高 二 数 学 试 题（理）答案1---10题. .........B C A D AC B B A A11.圆台 12.6 13.213S S S >> 14. 60 15. ①②④16. （1）PD 取的中点,M 连,MN AM ，M 为PC 的中点，得1//2MN CD . E 为AB 的中点.得//MN AE .AMNE ∴为平行四边形. //NE AM AM APD ⊂平面，NE APD⊄平面//NE PAD 平面（2）连AC 并取其中点O ，连,ON OE1//2ON PA ，1//2OE AD,NOM PA MN ∴∠或其角是所成的角。
安徽师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考查数学(理)参考答案
高二数学试卷（理）参考答案一．选择题CABAA, CADDC, AD二．填空题13. ()1,0,2- 14.x ＋2y －4＝0. 15. 16. ①②三．解答题17.解：（1）设圆心的坐标为（t ，t+1），则有（t ﹣1）2+（t+1）2=（t+1）2+（t+3）2， 整理求得t=﹣1，故圆心为（﹣1，0），r 2=（t ﹣1）2+（t+1）2=4， 则圆的方程为（x+1）2+y 2=4． （2）设线段CD 中点M （x ，y ），C （x 1，y 1），由题意知：x 1=2x ﹣4，y 1=2y ﹣3，∵点C 在圆（x+1）2+y 2=4上运动， ∴（2x ﹣4+1）2+（2y ﹣3）2=4，∴M 的轨迹方程为（x ﹣1.5）2+（y ﹣1.5）2=1．(](]分为真分真：假，假：真分且真真解：12)........15,7(:)2(8........231,157,57,5231,15)1(4.........15505552:231772407024:.18q p m q p q p m m m e q m m m m m p ∧⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃∈∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡<<⇒><+=<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧->->->- 19．答案：⑴.依据题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C D P .由E 为棱PC 的中点,得(1,1,1)E .证明:向量(0,1,1),(2,0,0)BE DC ==,故0BE DC ⋅=.所以BE DC ⊥.⑵.向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=-.设(,,)n x y z =为平面PBD 的法向量,则0,{0,n BD n PB ⋅=⋅=即20,{20,x y x z -+=-= 不妨令1y =,可得(2,1,1)n =为平面PBD 的一个法向量.于是有cos ,6n BE n BE n BE ⋅〈〉===⋅所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. 20、解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得 y 2－4ty －4b ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．21.（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴ …………1分 又∵是正方形， ∴，…………2分 ∵，∴平面．…………3分（Ⅱ）∵， ，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系， ......4分 ∵ ，得．…………5分 则，，，，， ∴，，…………6分设平面的法向量为，则，即， 令，则．......8分 因为平面，所以为平面的法向量，∴，...... 9分 所以． 因为二面角为锐角，故二面角D BE F --的余弦值为．…………10分22．解：（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意⎪⎩⎪⎨⎧==,3a ,36a c ∴1b =，∴所求椭圆方程为1y 3x 22=+。
安徽师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
安徽师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题 “()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定（ ）A ．()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-B ．()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=- C. ()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠- D ．()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-2.向量()()2,4,,2,,2a x b y ==，若6a =，且a b ⊥，则x y +的值为（ ） A ．3- B ．1 C. 3或1 D ．3-或13.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2 C. 4 D ．84.已知x 为实数，条件2:p x x <，条件1:2q x>，则p 是q 的（ ） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.在四面体OABC 中，点M 在OA 上，且2O M M A =，N 为BC 的中点，若1344x x OG OA OB OC =++，则使G 与M N 、共线的x 的值为（ ）A ．1B ．2 C. 23 D ．436.已知12,F F 为双曲线22:13y C x -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠=（ ）A ．14B ．13 D 7.已知,m n 为两个不相等的非零实数，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是（ ）A ．B ． C. D ．8.下列四个命题：①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； ②“4πα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件；③若p q ∧为假，p q ∨为真，则,p q 有且仅有一个是真命题；④对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，使得210x x ++≥. 其中，正确的命题个数为（ ）A ．1个B ．2个 C. 3个 D ．4个 9.椭圆2224x y +=的以()1,1为中点的弦所在直线的方程是（ ）A ．430x y -+=B ．450x y +-= C. 210x y -+= D ．230x y +-=10.若椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同焦点12,F F ，P 是这两条曲线的一个交点，则12F PF ∆的面积是（ ）A ．4B ．1 C. 2 D ．1211.如图所示，已知椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，A 为椭圆的左顶点，B C 、在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且45OAB ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A B 12.抛物线20)2(y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=.设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值为（ ）A B 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若命题“()2,110x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．14.若圆锥曲线22145x y k k +=-+的焦距与实数k 无关，则它的焦点坐标为 ．15.已知：如图，在60︒的二面角的棱上有A B 、两点，直线AC BD 、分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直AB ，已知4,6,8AB AC BD ===，则CD = ．16. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线221169x y -=与椭圆2214924x y +=有相同的焦点；②在平面内，设,A B 为两个定点，P 为动点，且PA PB k +=，其中常数k 为正实数，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22310x x -+=的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；④过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于,A B 两点，若4AB =，则这样的直线l 有且仅有3条.其中真命题的序号为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设命題:p 方程2210x mx ++=有两个不相等的负根，命题:q ()2,223100x R x m x m ∀∈+--+≥恒成立.（1）若命题,p q 均为真命题，求m 的取值范围；（2）若命题p q ∧为假，命题p q ∨为真，求m 的取值范围.18.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12F F 、，点P 在椭圆C 上，且112P F F F ⊥,12414,33PF PF ==.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过圆22420x y x y ++-=的圆心M ，交椭圆C 于A B 、两点，且A B 、关于点M 对称，求直线l 的方程.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ,4,2BC AB PA ===.M 为线段PC 的中点，N 在线段BC 上，且1BN =.（1）证明：BM AN ⊥.（2）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.20. 已知点()1,P m 在抛物线()2:20C y px p =>上，F 为焦点，且3PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()4,0T 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，O 为坐标原点，求OA OB ⋅的值. 21.在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形，2BAD ADC π∠=∠=,平面ADE ⊥平面ABCD ，244EF DC AB ===，ADE ∆是边长为2的正三角形.（1）证明：BE ⊥平面ACF ； （2）求二面角A BC F --的余弦值.22.已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e = 2. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点，（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.安徽师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题答案一、选择题1-5: CDCBA 6-10: ACDDB 11、12：CA 二、填空题13.13a -≤≤ 14.()0,3±15.①④ 三、解答题17. 解：（1）若命题p 为真，则有21212402010m m x x m x x ⎧∆=->⎪+=-<⎨⎪=>⎩，解得1m > 若命题q 为真，则有()()24241030m m ∆=---≤，解得23m -≤≤ 若,p q 均为真命题，则123m m >⎧⎨-≤≤⎩，即13m -<≤.即m 的取值范围是(]1,3.（2）若命题p q ∧为假，命题p q ∨为真，则,p q 一真一假. 当p 真q 假，则123m m m >⎧⎨<->⎩或，解得3m >；当p 假q 真，则123m m ≤⎧⎨-≤≤⎩，解得21m -≤≤；所以m 的取值范围为[]()2,13,-⋃+∞. 18.解：（1）∵1226a PF PF =+= ∴3a = 在12Rt PF F ∆中，12F F ==∴c ∴2224b a c =-=∴22194x y += （2）圆的方程为()()22215x y ++-= ∴圆心()2,1M -当l 的斜率不存在时，不符合题意 设():21l y k x =++联立()2221194y k x x y ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()22224936183636270k x k k x k k +++++-=设()()1122,,,A x y B x y ，则21223618449k kx x k ++=-=-+ 解得89k = ∴直线l 的方程为89250x y -+=19.解：如图，以A 为原点，分别以,,AB AD AP 的方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系A zyz -，则()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,0,4,0A B C D ,()()()0,0,2,1,2,1,2,1,0P M N . （1）()()2,1,0,1,2,1AN BM ==- 所以0AN BM ⋅=,所以AN BM ⊥，即BM AN ⊥.（2）设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，()()2,4,2,0,4,2PC PD =-=-，由0n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2420420x y z y z +-=⎧⇒⎨-=⎩，解得02x z y =⎧⎨=⎩取1y =，去平面PCD 的一个法向量为()0,1,2n =， 设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则由()1,1,1MN =--，得sin cos ,3MN n MN n MN nθ⋅====20.解：（1）抛物线()2:20C y px p => ，焦点,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭，由132pPF =+=得4p =. ∴抛物线C 得方程为28y x =.（2）依题意，可设过点()4,0T 的直线l 的方程为4x ty =+，由284y x x ty ⎧=⎨=+⎩得28320y ty --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1232y y =-， ∴222212111688x x y y =⨯=，∴121216OA OB x x y y ⋅=+=-.21.解：（1）取AD 的中点N ，连接,NB NE ，依题意易知NE AD ⊥， 平面ADE ⊥平面ABCD NE ⇒⊥平面ABCD NE AC ⇒⊥. 又4ANB NAC AC BN π∠=∠=⇒⊥，所以AC ⊥平面BNE ，所以AC BE ⊥.在Rt AEF ∆和Rt ABE ∆中，1tan tan 2AEB AFE BE AF ∠=∠=⇒⊥. 因为AF AC A ⋂=，,AF AC ⊂平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF .（2）分別以直线,NA NE 为x 轴和z 轴，N 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.依题意有：()()(1,1,0,1,2,0,B C F -，设平面BCF 的一个法向量()1,,n x y z =，由1nBC ⊥，得2y x =， 由1n BF ⊥，得30x y -+=，令1x =-，可得11,n ⎛=-- ⎝⎭. 又平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =，所以125cos ,n n ==.所以二面角A BC F --的余弦值为.22.解：（1）由题设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>.由已知得：2c b a ==，又222a b c +=，∴2,1a b ==，所以双曲线的标准方程为2214x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()()222148410k x mkx m ---+= 故()()()222221222122140641614108144114k m k k m mk x x k m x x k ⎧-≠⎪∆=+-+>⎪⎪⎪⎨+=-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=- 以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -，∴1AD BD k k ⋅=-，∴1212111y yx x ⋅=-++ ∴()121212240y y x x x x ++++=，∴()2222224141640141414m m k mkk k k-+-+++=--- ∴22316200m mk k -+=，∴12102,3km k m ==当12m k =时，l 的方程为()2y k x =+，直线过定点()2,0-，与已知矛盾；当1103m k =时，l 的方程为103y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，经检验符号已知条件所以，直线l 过定点，定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭。
安徽师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考查数学(理)试题 Word版含答案
2018-2019学年安徽师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分）1．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0 C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥02．抛物线的准线方程是（）A．x＝﹣4 B．x＝﹣2 C．y＝﹣4 D．y＝﹣2 3．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+8y+4＝0的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离4．双曲线﹣x2＝1过点（，4），则它的渐近线方程为（（）A．y＝±2x B．y＝x C．y＝±4x D．y＝x5．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣6．以点C（﹣4，3）为圆心的圆与直线2x+y﹣5＝0相离，则圆C的半径R的取值范围是（）A．（0，20）B．（0，）C．（0，2）D．（0，10）7．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为（）A．B．C．D．8．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|＝a+（a＞0），则点P 的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段9．双曲线上一点P，点P到一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离是（）A．22或2 B．7 C．22 D．210．过点（0，1）与双曲线x2﹣y2＝1有且只有一个公共点的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．6条11．椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．直线过椭圆： +＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若＝3，∠POQ＝120°，则椭圆离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共16分）13．已知点A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，1），（2，1，1），点P的坐标为（x，0，z），若⊥，⊥，则点P的坐标为．14．过椭圆+＝1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为．15．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A（﹣1，1）的距离与点P到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为M，若B（3，2），记|PB|+|PF|的最小值为N，则M+N＝．16．给出下列命题：①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；②“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件；③“函数f（x）＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件的“•＜0”．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题的序号都写上）三、解答题（本大题有6题，共48分）17．（6分）已知圆心为C的圆经过点A（1，0）和B（﹣1，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上，（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）若线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆C上运动，求AB的中点M的轨迹方程．18．（6分）已知命题p：方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣＝1的离心率e．（1）若“p∨q“为真，p∧q为假”求m取值范围．（2）若“￢p∨（￢q）”是假命题，求m取值范围．19．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．20．（8分）在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；（Ⅱ）如果＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．21．（10分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF＝3．（1）（文理）求证：AC⊥平面BDE；（2）（理）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（文）求三棱锥F﹣BDE的体积．22．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2018-2019学年安徽师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解+析一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分）1．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选：C．【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．2．抛物线的准线方程是（）A．x＝﹣4 B．x＝﹣2 C．y＝﹣4 D．y＝﹣2【分析】抛物线化为标准方程，可得抛物线的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝8，由此可得抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线可化为y2＝8x，∴抛物线的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝8∴＝2，∴抛物线的准线方程是x＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．3．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+8y+4＝0的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和与差的关系判断两圆位置关系．【解答】解：圆C1：x2+y2+2x＝0 即（x+1）2+y2＝1，的圆心C1（﹣1，0），半径等于1．圆C2：x2+y2﹣4x+8y+4＝0化为（x﹣2）2+（y+4）2＝16 的圆心C2（2，﹣4），半径等于4．两圆的圆心距等于＝5，而 5＝1+4，故两圆相外切，故选：B．【点评】本题考查两圆的位置关系，根据两圆的圆心距和两圆的半径之间的关系，判断两圆的位置关系．4．双曲线﹣x2＝1过点（，4），则它的渐近线方程为（（）A．y＝±2x B．y＝x C．y＝±4x D．y＝x【分析】把点（，4）代入双曲线方程，求出双曲线的方程，再求渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣x2＝1过点（，4），可得，解得a＝4，由其渐近线方程为y＝±2x，故选：A．【点评】本题考查了双曲线的方程和简单性质，属于基础题．5．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：＝，＝+﹣+，＝++﹣，＝﹣++，∵＝，＝，＝，∴＝﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．6．以点C（﹣4，3）为圆心的圆与直线2x+y﹣5＝0相离，则圆C的半径R的取值范围是（）A．（0，20）B．（0，）C．（0，2）D．（0，10）【分析】依题意可知，圆心点C（﹣4，3）到直线2x+y﹣5＝0的距离大于半径，从而可得答案．【解答】解：要使点C（﹣4，3）为圆心的圆与直线2x+y﹣5＝0相离，则圆心点C（﹣4，3）到直线2x+y﹣5＝0的距离大于半径，∵圆心点C（﹣4，3）到直线2x+y﹣5＝0的距离d＝＝2，∴R＜2，又R＞0，∴0＜R＜2．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线间的距离公式，属于基础题．7．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为（）A．B．C．D．【分析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小．【解答】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长为2，则A（0，0，0），B1（，1，2），A1（0，0，2），C（0，2，0），＝（），＝（0，2，﹣2），设异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|＝a+（a＞0），则点P 的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【分析】由基本不等式可得a+≥6，当a+＝6 时，点P满足|PF1|+|PF2|＝|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆．【解答】解：∵a＞0，∴a+≥2＝6．当a+＝6＝|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|＝a+＝|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2．当a+＞6＝|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|＝a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．综上，点P的轨迹是线段F1F2 或椭圆，故选：D．【点评】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定a+的范围是解题的关键．9．双曲线上一点P，点P到一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离是（）A．22或2 B．7 C．22 D．2【分析】设双曲线﹣＝1的左右焦点分别为F1，F2，利用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||＝2a＝10，即可求得答案．【解答】解：设双曲线﹣＝1的左右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝，不妨令|PF1|＝12（12＞a+c＝5+），∴点P可能在左支，也可能在右支，由||PF1|﹣|PF2||＝2a＝10得：|12﹣|PF2||＝10，∴|PF2|＝22或2．∴点P到另一个焦点的距离是22或2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查细心审题与准确规范解答的能力，属于中档题．10．过点（0，1）与双曲线x2﹣y2＝1有且只有一个公共点的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．6条【分析】用代数法，先联立方程，消元后得到一个方程，先研究相切的情况，即判别式等于零，再研究与渐近线平行的情况．【解答】解：设过点（0，1）与双曲线x2﹣y2＝1有且只有一个公共点的直线为y＝kx+1．根据题意：，消去y整理得（1﹣k2）x2﹣2kx﹣2＝0，∵△＝0，∴k＝±．又注意直线恒过点（0，1）且渐近线的斜率为±1，与渐近线平行时也成立．故过点（0，1）与双曲线x2﹣y2＝1有且只有一个公共点的直线有4条．故选：C．【点评】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，在只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况．11．椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】联立椭圆（a＞b＞0）与圆，消去y2，可得，根据椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，可知方程有两个不等的根，结合椭圆的范围，即可求得离心率的取值范围．【解答】解：联立椭圆（a＞b＞0）与圆，消去y2，可得∵椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，∴0＜x2＜a2∴∴∴∴∴∴∴故选：A．【点评】本题考查的重点是椭圆的几何性质，解题的关键是将椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）联立，利用有四个不同交点，结合0＜x2＜a2，从而使问题得解，综合性强．12．直线过椭圆： +＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若＝3，∠POQ＝120°，则椭圆离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据圆的性质求出直线PQ的斜率，再根据A，F的坐标得出直线PQ的斜率，从而得出b，c的关系，进而求出椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴a＞b＞0，∴F（﹣c，0），A（0，b），故直线FA的方程为，即bx﹣cy+bc＝0．过O作PQ的垂线OM，则M为PQ的中点，∵∠POQ＝120°，∴∠POM＝30°，∴＝tan30°＝，∵，∴F是MQ的中点，∴直线PQ的斜率k＝tan∠MFO＝＝2•＝，∴＝，不妨令b＝2，c＝3，则a＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共16分）13．已知点A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，1），（2，1，1），点P的坐标为（x，0，z），若⊥，⊥，则点P的坐标为（）．【分析】利用⊥，⊥⇔．即可得出．【解答】解：∵，，．∵⊥，⊥，∴．∴，解得．∴P．故答案为P．【点评】熟练正确向量垂直与数量积是解题的关键．14．过椭圆+＝1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为x+2y﹣4＝0 ．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意可得，两式相减可得由中点坐标公式可得，，＝＝﹣∴所求的直线的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2）即x+2y﹣4＝0故答案为x+2y﹣4＝0【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．15．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A（﹣1，1）的距离与点P到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为M，若B（3，2），记|PB|+|PF|的最小值为N，则M+N＝．【分析】过点P作PG垂直于直线x＝﹣1，利用定义得出|PG|＝|PF|，再利用当A、P、F三点共线时，|PA|+|PG|取得最小值，可得出M＝|AF|．过点P作PH垂直于直线x＝﹣1，利用定义得出|PF|＝|PH|，再利用当B、P、G三点共线时，|PB|+|PF|取得最小值4，得出N＝4，再将两个结果相加可得出答案．【解答】解：如下图所示，过点P作PG垂直于直线x＝﹣1，垂足为点G，由抛物线的定义可得|PG|＝|PF|，所以，点P到直线x＝﹣1的距离为|PG|，所以，，当且仅当A、P、F三点共线时，|PA|+|PG|取到最小值，即．如下图所示，过点P 作直线PH 垂直于直线x ＝﹣1，垂足为点H ，由抛物线的定义可得|PH |＝|PF |， 点B 到直线x ＝﹣1的距离为d ＝4，所以，|PB |+|PF |＝|PB |+|PH |≥4，当且仅当B 、P 、H 三点共线时，等号成立，即N ＝4，因此，．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，解决本题的关键在于利用抛物线的定义进行转化，结合三点共线来求解，属于中等题． 16．给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x ＜0”是“ln （x +1）＜0”的必要不充分条件；③“函数f （x ）＝cos 2ax ﹣sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件的“•＜0”． 其中正确命题的序号是 ①② ．（把所有正确命题的序号都写上）【分析】求出A ⊆B 时对应a 的值，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断①，根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断②，利用充分、必要条件的概念与二倍角的余弦及余弦函数的周期性可判断③，当“平面向量与的夹角是钝角”时，“ •＜0”，反之不成立，由于向量反向共线时，“ •＜0”可判断④．【解答】解：对于①，当a ＝3时，A ＝{1，a }＝{1，3}，满足A ⊆B ，若A ⊆B ，则a ＝2或3， ∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确； 对于②，∵x ＜0，∴x +1＜1，当x +1＞0时，ln （x +1）＜0； ∵ln （x +1）＜0，∴0＜x +1＜1，∴﹣1＜x ＜0，∴x ＜0， ∴“x ＜0”是ln （x +1）＜0的必要不充分条件，故②正确； 对于③，函数f （x ）＝cos 2ax ﹣sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π，则＝π，|a |＝1，解得：a ＝±1，故充分性不成立；反之，若a ＝1，则f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x ＝cos2x 的最小正周期为π，必要性成立； 故函数f （x ）＝cos 2ax ﹣sin 2ax 的最小正周期为π是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；对于④，当“平面向量与的夹角是钝角”时，“ •＜0”，反之不成立，由于向量反向共线时，“ •＜0”，故④错误． ∴正确命题的序号是：①②．故答案为：①②．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，充分条件和必要条件的应用，考查集合关系的判定以及不等式的性质，考查三角函数的周期性以及向量的数量积及其夹角公式，考查了推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题有6题，共48分）17．（6分）已知圆心为C的圆经过点A（1，0）和B（﹣1，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上，（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）若线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆C上运动，求AB的中点M的轨迹方程．【分析】（1）设出圆心的坐标，利用半径相等求得t，进而利用两点的距离公式求得半径，则圆的方程可得．（2）线段CD中点M（x，y），C（x1，y1），由题意知x1＝2x﹣4，y1＝2y﹣3，由点A在圆（x+1）2+y2＝4上运动，能求出点M的轨迹方程．【解答】解：（1）设圆心的坐标为（t，t+1），则有（t﹣1）2+（t+1）2＝（t+1）2+（t+3）2，整理求得t＝﹣1，故圆心为（﹣1，0），r2＝（t﹣1）2+（t+1）2＝4，则圆的方程为（x+1）2+y2＝4．（2）设线段CD中点M（x，y），C（x1，y1），由题意知：x1＝2x﹣4，y1＝2y﹣3，∵点C在圆（x+1）2+y2＝4上运动，∴（2x﹣4+1）2+（2y﹣3）2＝4，∴M的轨迹方程为（x﹣1.5）2+（y﹣1.5）2＝1．【点评】本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．18．（6分）已知命题p：方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣＝1的离心率e．（1）若“p∨q“为真，p∧q为假”求m取值范围．（2）若“￢p∨（￢q）”是假命题，求m取值范围．【分析】首先求出p真q真的范围（1）由已知得p、q一真一假，分p真q假和p假q真两类求范围，取并集即可；（2）由已知得p真、q真，求交集即可．【解答】解：p真：24﹣m＞m﹣7＞0⇒7＜m＜，q真：＜e＝＜2且m＞0⇒5＜m＜15，（1）∵“p∨q“为真，p∧q为假”，∴p、q一真一假，①p真q假⇒15≤m＜②p假q真⇒5＜m≤7∴m取值范围为（5，7]∪[15，）．（2）∵“￢p∨（￢q）”是假命题，∴￢p假、￢q假，∴p真、q真，∴⇒7＜m＜15，∴m取值范围为（7，15）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、椭圆的性质、双曲线的性质，考查了推理能力，属于基础题．19．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．【分析】（1）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，CD⊥平面PAD，由此能证明BE⊥DC．（2）连接BM，推导出PD⊥EM，PD⊥AM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∠EBM 为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣P的余弦值．【解答】证明：（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM＝DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM＝AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴BE⊥DC．解：（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD＝AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD＝2，而M为PD中点，∴AM＝，∴BE＝．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM＝＝，∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，2），设平面BDP的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，1，1），平面ABD的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣BD﹣P的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣BD﹣P的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（8分）在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；（Ⅱ）如果＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x＝ty+1代入抛物线y2＝4x消去x得，y2﹣4ty﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4∴＝x1x2+y1y2＝（ty1+1）（ty2+1）+y1y2＝t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2＝﹣4t2+4t2+1﹣4＝﹣3．（Ⅱ）设l：x＝ty+b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2﹣4ty﹣4b＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4b∴＝（ty1+b）（ty2+b）+y1y2＝t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2＝﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b＝b2﹣4b令b2﹣4b＝﹣4，∴b2﹣4b+4＝0∴b＝2．∴直线l过定点（2，0）．【点评】从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量同解+析几何，三角函数，立体几何结合起来考的比较多．21．（10分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF＝3．（1）（文理）求证：AC⊥平面BDE；（2）（理）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（文）求三棱锥F﹣BDE的体积．【分析】（1）推导出DE⊥AC，AC⊥BD，由此能证明AC⊥平面BDE．（2）（理）由DA、DC、DE两两垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值．（2）（文）AF∥平面BDE，从而三棱锥F﹣BDE的体积V F﹣BDE＝V A﹣BDE，由此能求出结果．【解答】证明：（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD＝D，从而AC⊥平面BDE．解：（2）（理）因为DA、DC、DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，所以．由AD＝3，知DE＝3，AF＝．则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），所以＝（0，﹣3，），＝（3，0，﹣2），设平面BEF的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝，则＝（4，2，）．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，＝（3，﹣3，0），所以cos＜＞＝＝＝．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．（2）（文）∵AF∥DE，AF⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE∴三棱锥F﹣BDE的体积：V F﹣BDE＝V A﹣BDE＝＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．22．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m．由已知，得．把y＝kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，然后由根与系数的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b＝1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m．由已知，得．把y＝kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，∴，．∴|AB|2＝（1+k2）（x2﹣x1）2＝＝＝＝＝．当且仅当，即时等号成立．当k＝0时，，综上所述|AB|max＝2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．。
安徽省师范大学附属中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题文(含解析)
安徽省师范大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.若直线的倾斜角为,则该直线的斜率为( )A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】解：直线的倾斜角为,该直线的斜率为．故选：D．由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查直线倾斜角与斜率的关系,是基础的计算题．2.若点到直线的距离是,则实数a为A. B. 5 C. 或5 D. 或3【答案】C【解析】【分析】本题考查了点到直线的距离公式的应用,属于基础题解题时应熟记点到直线的距离公式．由点到直线的距离公式即可求出实数a的值．【解答】解：点到直线的距离是,所以；即,解得,或,所以实数a的值为或5．故选C．3.若三直线：,：,：经过同一个点,则( )A. 1B.C. 3D.【答案】D【解析】解：三直线：,：,：经过同一个点,故：,：的交点在直线：上,故有,求的,故选：D．三直线经过同一个点,其中两条直线的交点也在第三条直线上,从而求得a的值．本题主要考查三直线经过同一个点问题,属于基础题．4.一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为,则这个圆锥的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：圆锥的展开图为扇形,半径,侧面积为为扇形的面积,所以扇形的面积,解得,所以弧长,所以底面周长为,由此可知底面半径,所以底面面积为,圆锥体的高为,故圆锥的体积,故选：C．利用圆锥的侧面展开图,扇形的面积,然后转化求解圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法,考查转化思想以及计算能力．5.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：底面ABCD,,,,,可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形,分别为：,,．故选：C．画出三视图的直观图,判断各个面的三角形的情况,即可推出结果．本题考查简单几何体的三视图的应用,是基本知识的考查．6.过点作直线,若直线在两条坐标轴上的截距相等,则满足条件的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】B【解析】解：当直线过原点时,直线方程为,即．当直线不过原点时,设直线方程为,把点代入可得,,此时,直线方程为,故满足条件的直线有2条,故选：B．当直线过原点时,用点斜式求得直线方程；当直线不过原点时,设直线方程为,把点代入可得,故满足条件的直线有2条．本题考查直线在两条坐标轴上的截距的定义,体现了分类讨论的数学思想,注意考虑直线过原点的情况,这是解题的易错点．7.已知三棱锥中,PA,PB,PC两两垂直,且,则三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查多面体外接球表面积的求法,训练了利用“分割补形法”求多面体的体积,是基础题．由三棱锥的侧棱PA,PB,PC两两垂直且相等,直接补形为正方体求解．【解答】解：如图,把三棱锥补形为正方体,可得三棱锥外接球的半径．三棱锥外接球的表面积为．故选：D．8.已知点,,直线m过,且与线段AB相交,求直线m的斜率k的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意,直线m过,设直线m的方程为,即,若直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上,则有,解可得：或；故选：A．根据题意,设直线m的方程为,分析可得若直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上,则有,解可得k的范围,即可得答案．本题考查一元二次不等式组表示平面区域的问题,注意直线m与线段AB相交,即A、B在直线的两侧或直线上．9.已知a、b为不重合的直线,为平面,下列命题：若,,则；若,,则；若,,则；若,,则,其中正确的有( )个A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：错,若,,则或,错,若,,则a与b平行或异面,错,若,,则或,错,若,,则或．故选：A．由空间中的线面关系逐个核对四个命题得出答案属于基础题,考查直线与平面的位置关系,空间想象能力．10.已知直线和直线都过点,则过点和点的直线方程是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解：把坐标代入两条直线和,得,,,过点,的直线的方程是：,,则,,,所求直线方程为：．故选：B．把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程．本题考查直线方程的求法,解题时要结合题设条件,合理地选用解题方法,注意公式的灵活运用,是基础题．11.如图,正方体的棱长为1,动点E在线段上,F、M分别是AD、CD的中点,则下列结论中错误的是( )A.B. 平面C. 存在点E,使得平面平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】C【解析】解：在A中,因为F、M分别是AD、CD的中点,所以,故A正确；在B中,由平面几何得,又有,所以平面,故B正确；在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面,故C错误．在D中,三棱锥以面BCF为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故D正确．故选：C．在A中,由F、M分别是AD、CD的中点,得到；在B中,由,,得平面；在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面；在D中,三棱锥以面BCF为底,则高是定值,从而三棱锥的体积为定值．本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．12.如图,在棱长为1的正方体中,点分别是棱的中点,P是侧面内一点,若平面则线段长度的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如下图所示：分别取棱、的中点M、N,连接MN,连接,、N、E、F为所在棱的中点,,,,又平面AEF,平面AEF,平面AEF；,,四边形为平行四边形,,又平面AEF,平面AEF,平面AEF,又,平面平面AEF,是侧面内一点,且平面AEF,则P必在线段MN上,在中,,同理,在中,求得,为等腰三角形,当P在MN中点O时,此时最短,P位于M、N处时最长,,,所以线段长度的取值范围是故选：B．分别取棱、的中点M、N,连接MN,易证平面平面AEF,由题意知点P必在线段MN上,由此可判断P在M或N处时最长,位于线段MN中点处时最短,通过解直角三角形即可求得．本题考查点、线、面间的距离问题,考查学生的运算能力及推理转化能力,属中档题,解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．二、填空题（本大题共4小题）13.过点且垂直于直线的直线方程为______．【答案】【解析】解：直线的斜率为,由垂直关系可得所求直线的斜率为,所求直线的方程为,化为一般式可得故答案为：由垂直关系可得直线的斜率,进而可得点斜式方程,化为一般式即可．本题考查直线的一般式方程与垂直关系,属基础题．14.底面边长6,侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为______．【答案】【解析】解：过A向底面BCD做垂线,垂足为O,由正三棱锥知,底面为正三角形,O为三角形ABC的中心,所以,因为侧面为等腰直角三角形,所以侧棱,在中,有勾股定理所以．故答案为．由正三棱锥知,底面为正三角形,得OB长,在直角三角形OAB中得AO即为正三棱锥的高．本题考查正三棱锥的性质,属于简单题．15.已知动点A,B分别在x轴和直上,C为定点,则周长的最小值为______．【答案】【解析】解：点C关于直线的对称点为,点C关于x轴的对称点为三角形PAB周长的最小值为与两点之间的直线距离, ．故答案为：．点C关于直线的对称点为,点C关于x轴的对称点为三角形PAB周长的最小值为与两点之间的直线距离．本题考查点到直线的距离公式,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化．16.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且；则此棱锥的体积为______．【答案】【解析】解：根据题意作出图形：设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心为,则平面ABC,延长交球于点D,则平面ABC．,,高,是边长为1的正三角形,,．故答案为．根据题意作出图形,利用截面圆的性质即可求出,进而求出底面ABC上的高SD,即可计算出三棱锥的体积．利用截面圆的性质求出是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题）17.已知直线：,：,求：若,求m的值；若,求m的值．【答案】解：时,两条直线不垂直,舍去．时,,,解得．综上可得：．由,解得：或．经过验证时两条直线重合,舍去．时,．【解析】对m分类讨论,利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．由,解得：或．经过验证时两条直线重合,舍去．本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．18.在四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,且．求证：平面PAC；求异面直线BC与PD所成的角．【答案】解：证明：平面ABCD,平面ABCD,,又为正方形,,,AC是平面PAC内的两条相交直线,平面PAC解：为正方形,,为异面直线BC与PD所成的角由已知可知,为直角三角形,且,,,异面直线BC与AD所成的角为．【解析】由题意易得且,又由PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,即可得平面PAC,所以为异面直线BC与PD所成的角解三角形得所以异面直线BC与AD所成的角为．本题考查线面垂直的条件直线垂直于平面内的两条相交直线,解决异面直线的夹角关键是平移线段使其相交且存在于同一个三角形中．19.已知直线l：．证明：直线l过定点；若直线l不经过第四象限,求k的取值范围；若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程．【答案】解：直线l的方程可化为,故无论k取何值,直线l总过定点．直线l的方程可化为,则直线l在y轴上的截距为,要使直线l不经过第四象限,则,解得k的取值范围是．依题意,直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为,,,又且,,故,当且仅当,即时,取等号,故S的最小值为4,此时直线l的方程为．【解析】本题考查直线过定点问题,直线在坐标系中的位置,以及基本不等式的应用注意检验等号成立的条件属难题．直线l的方程可化为,直线l过定点；要使直线l不经过第四象限,则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数,解出k的取值范围；先求出直线在两个坐标轴上的截距,代入三角形的面积公式,再使用基本不等式可求得面积的最小值．20.如图,在直三棱柱中,M,N分别为棱AC,的中点,且求证：平面平面求证：平面【答案】证明：因为M为棱AC的中点,且,所以,又因为是直三棱柱,所以平面ABC因为平面ABC,所以又因为AC,平面且,所以平面因为平面BMN,所以：平面平面取BC的中点P,连接和MP因为M、P为棱AC、BC的中点,所以,且,因为是直三棱柱,所以,因为N为棱的中点,所以,且；所以,且；所以是平行四边形,所以又因为平面BCC,平面所以平面注意：也可以取的中点,同理用线面平行的判定定理证得说明：如用面面平行的性质定理证的话,一定先证线面平行,得到面面平行,再用面面平行的性质定理证得．【解析】利用线线垂直,可得线面垂直平面,再有线面垂直得平面平面利用证明是平行四边形得证平面本题考查线面垂直,面面垂直的判定定理和性质定理,线面平行的性质和判定定理考查证明平行垂直的线的关系,属于中档题．21.如图,ABCD是边长为3的正方形,平面ABCD,平面ABCD,．证明：平面平面DCE；在DE上是否存在一点G,使平面FBG将几何体ABCDEF分成上下两部分的体积比为3：11？若存在,求出点G的位置；若不存在,请说明理由．【答案】解：平面ABCD,平面ABCD,,平面DCE,是正方形,,平面DCE,,平面ABF,平面ABF,平面平面DCE．假设存在一点G,过G作交EC于M,连接BG,BM,如图所示；,设,则,设M到ED的距离为h,则,,；,解得；即存在点G且满足条件．【解析】由平面ABCD,平面ABCD得出,由平面DCE,平面DCE,得出平面平面DCE；假设存在一点G,过G作交EC于M,连接BG,BM,计算几何体ABCDEF和GFBME的体积,从而求得EG的值．本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题,也考查了几何体体积的计算问题,是中档题．。
安徽省师范大学附属中学20182018学年高二数学下学期期中考查试题 理-精选文档
安徽师范大学附属中学2019-2019学年度第二学期期中考查高二数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数11-2+1-2i i +的虚部是（ ）A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．下列求导运算正确的是（ ）A ．(cos )sin x x '=B ．1(ln 2)x x'=C ．3(3)3log x xe '= D ．2()2x x x e xe '= 3. 函数()y=f x 在点00(,)x y 处的切线方程为21y=x+ ，则000()(2)lim x f x f x x x∆→--∆∆等于（ ） A.－4 B.－2 C. 2 D. 44．由曲线,,x x y e y e -==以及1x =所围成的图形的面积等于（ ）A ．2B ．22e -C ．12e-D ．12e e+- 5．直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值为（ ）A ．2B ．ln2+1C ．ln2﹣1D ．ln26”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A. 12k -B. 21k -C. 2kD. 21k + 7．已知(0,)x ??有下列各式：221442,3,22x x x x x x x +?=++? 3327274,333x x x x x x +=+++?成立，观察上面各式，按此规律若4+5,a x x³则正数a =（ ）A ．4B ．5C ．44D ．558．设函数()f x 在R 上可导，其导函数'()f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数'()y xf x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若ln 3ln 5ln 6,,,356a b a ===则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<10．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13-22（，） B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ． [)1,2 D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．若点(,)P a b 在函数2ln y x x =-+的图象上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图象上，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．B ．8C ．2D ．212.若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23()2()0f x af x b ++=的不同实数根个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上） 13．设复数21iz i-=+，则z 的共轭复数为 ． 14．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．15．如图所示的数阵中，第15行第216．以下判断正确的序号是（1）集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，}{4M N ?，则复数4z i =-.（2）4(13)10.x x dx -+-=ò（3）已知函数3()f x x x =+，对任意的[2,2],(2)()0m f mx f x ?-+<恒成立，则x 的取值范围为2(2,)3-．（4）设1()c o s f x x =，定义1()n f x +为()n f x 的导数，即'1()=()n n f x f x n N +Î，若△ABC 的内角A 满足1220181()()()3f A f A f A L +++=，则8sin 2.9A = 三、解答题 （本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分8分）已知函数()()ln 3f x ax b x bx =+-+在(1,(1))f 处的切线方程为2y =. （1）求,a b 的值； （2）求函数()f x 的极值. 18．（本小题满分8分） 由下列不等式：112>,111123++>,111312372+++>L ,111122315+++>L,…，你能得到一个怎样的一般不等式？并请加以证明． 19．（本小题满分8分）（1）已知0,0a b >>且2a b +>，求证：1+1,b aa b+中至少有一个小于2；（2）已知110,1,ab a>-> 20. （本小题满分8分）已知函数()3ln af x ax x x=+-. （1）当2a =时，求()f x 的最小值；（2）若()f x 在(]1,e 上为单调函数，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分8分）已知函数(),x e af x a R x-=∈.（1）若()f x 在定义域内无极值点，求实数a 的取值范围； （2）求证：当1,0a x <<>0时，()1f x >恒成立. 22．（本小题满分12分）． 已知函数()(ln 1)f x x x =+ （1）求函数()f x 的最小值；（2）设2'()()()F x ax f x a R =+∈，讨论函数()F x 的单调性；（3） 若斜率为k 的直线与曲线'()y f x =交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点，求证：121x x k<<.高二数学（理）参考答案：BBDDC CCABB BA13.14. B 15.110616. (1) (2)(3)(4) 17.解（1）因为()132f b =-+=，所以1b =；...............................1分 又()1ln ln 1b f x a x a b a x a x x'=++-=++-，..............................2分 而函数()()ln 3f x ax b x bx =+-+在()()1,1f 处的切线方程为2y =，所以()1110f a '=+-=，所以0a =；......................................3分 （2）由（1）得()ln 3f x x x =-+，()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '>； 当1x >时，()0f x '<；所以()f x 在()0,1上单调递增，()f x 在()1,+∞上单调递减，....................6分 所以()f x 有极大值()12f =,无极小值．......................................8分 18.解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：． (2)分用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1②假设n=k 时猜想成立，即则n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n ∈N +，不等式成立．......................................8分19．证明：（1）假设都不小于2，则，∵a ＞0，b ＞0，∴1+b ≥2a ，1+a ≥2b ，两式相加得：2+a+b ≥2（a+b ），解得 a+b ≤2，这与已知a+b ＞2矛盾，故假设不成立，∴中至少有一个小于2．......................................4分（2）∵1，a ＞0，∴0＜b ＜1，要证＞，只需证•＞1，只需证1+a ﹣b ﹣ab ＞1，只需证a ﹣b ﹣ab ＞0，即＞1．即﹣＞1．这是已知条件，所以原不等式成立．...................................8分20.解：（1）当2a =时，2()23ln f x x x x =+-，∴22223232()2x x f x x x x --'=--=.令()0f x '=，得2x =或1x =-（舍）.又当2x =时，()=(2)53ln 2f x f =-极小，∴当2a =时，函数()f x 的最小值为53ln 2-.................................3分 （2）∵()3ln a f x ax x x =+-，∴223()ax x af x x --'=，又()f x 在(]1,e 上为单调函数，∴当(]1,x e ∈时，()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，也就是230ax x a --≥或230ax x a --≤对(]1,x e ∀∈恒成立， 即231x a x ≥-或231x a x ≤-对(]1,x e ∀∈恒成立.令23()1xG x x =-，则2223(1)()(1)x G x x -+'=-.∴当(]1,x e ∈时，()0G x '<.∴()G x 在(]1,e 上单调递减，又当1x → 时，()G x →+∞；当x e =时，23()1eG x e =-，................................8分 ∴231ea e ≤-，故()f x 在(]1,e 上为单调函数时，实数a 的取值范围为23,1e e ⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦. 21.解：（1）由题意知()()21x e x af x x -+'=，令()()()1,0x g x e x a x =-+≠，则()xg x e x '=⋅，当0x <时，()0,()x g g x '<在(),0-∞上单调递减， 当0x >时，()0,()x g g x '>在()0,+∞上单调递增， 又()01g a =-，∵()f x 在定义域内无极值点，∴1a >又当1a =时，()f x 在(),0-∞和()0,+∞上都单调递增也满足题意，所以1a ≥ ................................4分（2）()()21x e x af x x-+'=，令()()1xg x e x a =-+，由（1）可知()g x 在()0,+∞上单调递増，又()()01010g a g a ⎧=-<⎪⎨=>⎪⎩，所以()f x '存在唯一的零点()00,1x ∈，故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递増，∴()()0f x f x ≥由()0010x e x a -+=知()001xf x e =>即当01,0a x <<>时，()1f x >恒成立. ................................8分则2211()(0,)(+)f x e e ∞在上递减，在，上递增 .1)11(ln 1)(,1222min 2ee e xf e x -=+==∴时当 ......................3分).0(1212)(,2ln )()2(22>+=+='++=x xax x ax x F x ax x F .............4分① 0≥a 当时，恒有0)(>'x F ，)(x F 在),0(+∞上是增函数；② 0<a 当时, ;210,012,0)(2ax ax x F -<<>+>'解得即令 综上，当0≥a 时，)(x F 在),0(+∞上是增函数； .........................5分0<a 当时，)(x F 在)21,0(a -上单调递增，在),21(+∞-a上单调递减....6分 （3）221''12121ln ln ()().x x f x f x k x x x x --==--则只要证:111t t nt-<<，由,0ln 1>>t ，t 知 故等价于证:ln 1ln (1)t t t t t <-<>(*) ...............................8分 ①()1ln (1),g t t t t =-->设.ln 1t t >-∴ ......................................................10分②()ln (1)(1),()ln 0(1),h t t t t t h t t t '=-->=>>设则由①②知（*）成立，.121x kx <<∴ .......................................12分。
安徽师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试化学试卷 word
安徽师范大学附属中学2018-2019学年度第一学期期中考查高 二 化 学 试 题可能用到的相对原子质量： H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23第Ⅰ卷（选择题，共54分）一．选择题（本题包括18小题，每小题3分，共54分。
每小题只有一个选项符合题意）1．N A 代表阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A ．密闭容器中，2 mol SO 2和1 mol O 2催化反应后分子总数为2N AB ．25 ℃时，1L 0.1mol/L Na 2S 溶液中阴离子总数小于0.1N AC ．25℃时pH ＝13的NaOH 溶液中含有OH －的数目为0.1 N AD ．钠在空气中燃烧可生成多种氧化物。
23g 钠充分燃烧时转移电子数为N A 2．我国科研人员提出了由CO 2和CH 4转化为高附加值产品CH 3COOH 的催化反应历程。
该历程示意图如下：则下列说法错误的是A ．生成CH 3COOH 总反应是化合反应B ．①→②过程形成了C―C 键 C ．CH 4→CH 3COOH 过程中，有C―H 键发生断裂D ．①→②吸收能量 3. CH 4-CO 2催化重整反应为：CH 4(g)+ CO 2(g)=2CO(g)+2H 2(g)。
已知：①C(s)+2H 2(g)=CH 4(g) ΔH =-75 kJ·mol −1 ②C(s)+O 2(g)=CO 2(g) ΔH =-394 kJ·mol −1 ③C(s)+(g)=CO(g) ΔH =-111 kJ·mol −1 则该催化重整反应的ΔH 等于A ．-580 kJ·mol −1B ． 247 kJ·mol −1C ． 208 kJ·mol −1D ．-430kJ·mol −1 4．下列说法正确的是A.将纯水加热至较高温度，Kw 变大、pH 变小、呈酸性B.常温下，将pH=4的醋酸溶液稀释后，溶液中所有离子的浓度均降低C.向0.1 mol·L -1醋酸溶液中加入少量冰醋酸，溶液的pH 减小，醋酸电离程度变大D.等体积、pH 都为3的酸HA 和HB 分别与足量的Zn 反应，HA 放出的H 2多， 说明HA 的酸性小于HB21O 25．H2NCOONH4是工业由氨气合成尿素的中间产物。
2019-2020学年安徽师大附中高二(上)期中数学试卷(理科)试题及答案(解析版)
2019-2020学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．方程0()(o y y k x x -=- ) A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线C ．不能表示与y 轴垂直的直线D ．不能表示与x 轴垂直的直线2．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，(n β⊂ ) A ．若m ，n 是异面直线，则α与β相交 B ．若//m β，//n α则//αβC ．若m n ⊥，则αβ⊥D ．若m β⊥，则αβ⊥3．过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -=C ．210x y --=D ．210x y --=或250x y -=4．给出三个命题：①线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面，②在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面，③空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行．正确的是( ) A ．②③B ．①②C ．①②③D ．②5．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是平行四边形A B C D ''''，如图2所示．其中24A B A D ''=''=，则该几何体的表面积为( )A ．1612π+B ．168π+C ．1610π+D ．8π6．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是( )A ．PB AD ⊥B ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线//BC 平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒7．已知三棱锥A BCD -中，BC CD ⊥，AB AD =，1BC =，CD =，则该三棱锥的外接球的体积为( )A ．43π B ．83π C D ．36π8．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是( )A ．8B ．CD ．169．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知{(x ，)|(3)34}{(y m x y m x ++=-，)|7(5)80}y x m y +--==∅，则直线(3)34m x y m ++=+与坐标轴围成的三角形面积是( )A ．2B ．4C ．1287D ．2或128711．如图，正四面体D ABC -的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz上，则在下列命题中，错误的是( )A ．O ABC -是正三棱锥B ．直线OB 与平面ACD 相交C ．直线CD 与平面ABCD ．异面直线AB 和CD 所成角是90︒12．如图，正方体1AC 的棱长为a ，作平面α（与底面不平行）与棱1A A ，1B B ，1C C ，1D D 分别交于E ，F ，G ，H ，记EA ，FB ，GC ，HD 分别为1h ，2h ，3h ，4h ，若1232h h h +=，3433h h h +=，则多面体EFGH ABCD -的体积为( )A ．21710a h B ．2278a hC ．2376a hD ．2474a h二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分把答案填在答题卡的相应位置. 13．在正三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC PB ⊥；②//AC 平面PDE ； ③AB ⊥平面PDE ．其中正确的个数是 ．14．若直线2(1)(2)1m x m m y m ++--=+在y 轴上的截距等于1，则实数m 的值为 ．15．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为 ．16．表面积为20π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为1，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)0l a x y b -++=．求分别满足下列条件的a ，b 的值．（1）直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与2l 垂直；（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且2AB =，60BAD ∠=︒． （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）当三棱锥M BCD -PB 的长．19．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈． （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．20．如图．在直棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC ==，13AA =，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动． （1）证明：1AD C E ⊥；（2）当异面直线AC ，1C E 所成的角为60︒时，求三棱锥111C A B E -的体积．21．如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，//CB DA ，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．（1）求异面直线DM 与BE 所成角的大小； （2）求二面角M BD A --的余弦值．2019-2020学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．方程0()(o y y k x x -=- ) A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线C ．不能表示与y 轴垂直的直线D ．不能表示与x 轴垂直的直线【解答】解：方程0()o y y k x x -=-是直线的点斜式方程， 当直线垂直x 轴时，斜率不存在，不能用点斜式表示． 故选：D ．2．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，(n β⊂ ) A ．若m ，n 是异面直线，则α与β相交 B ．若//m β，//n α则//αβC ．若m n ⊥，则αβ⊥D ．若m β⊥，则αβ⊥【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m α⊂，n β⊂，知：在A 中，若m ，n 是异面直线，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若//m β，//n α，则α与β相交或平行，故B 错误； 在C 中，若m n ⊥，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m β⊥，则由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．3．过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -=C ．210x y --=D ．210x y --=或250x y -=【解答】解：当直线过原点时，再由直线过点(5,2)，可得直线的斜率为25， 故直线的方程为25y x =，即250x y -=． 当直线不过原点时，设直线在x 轴上的截距为k ，则在y 轴上的截距是2k ，直线的方程为12x y k k+=， 把点(5,2)代入可得5212k k+=，解得6k =． 故直线的方程为1612x y+=，即2120x y +-=． 故选：B ．4．给出三个命题：①线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面，②在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面，③空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行．正确的是( ) A ．②③B ．①②C ．①②③D ．②【解答】解：①错误．如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交．②正确．如图，平面//αβ，A α∈，C α∈，D β∈，B β∈且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过C 作//CG AB 交平面β于G ，连接BG 、GD ． 设H 是CG 的中点，则//EH BG ，//HF GD ． //EH ∴平面β，//HF 平面β． ∴平面//EHF 平面//β平面α．//EF α∴，//EF β．③不正确．如图，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 的中点，过E 作//a a '，//b b '，则a '、b '确定的平面即为与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等的平面，并且它是唯一确定的．与平面EFH 平行的平面（与异面直线不重合的平面）与两条异面直线都平行．故选：D ．5．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是平行四边形A B C D ''''，如图2所示．其中24A B A D ''=''=，则该几何体的表面积为( )A ．1612π+B ．168π+C ．1610π+D ．8π【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是半个圆柱， 所以几何体的表面积为：2224441612πππ++⨯=+． 故选：A ．6．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是( )A ．PB AD ⊥B ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线//BC 平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒ 【解答】解：AD 与PB 在平面的射影AB 不垂直，所以A 不成立，又，平面PAB ⊥平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PBC 也不成立；////BC AD 平面PAD ， ∴直线//BC 平面PAE 也不成立．在Rt PAD ∆中，2PA AD AB ==，45PDA ∴∠=︒， 故选：D ．7．已知三棱锥A BCD -中，BC CD ⊥，AB AD =，1BC =，CD =，则该三棱锥的外接球的体积为( )A ．43π B ．83π C D ．36π【解答】解：如图，BC CD ⊥，1BC =，CD =， 2BD ∴=，AB AD ==，AB AD ∴⊥，BD ∴的中点O 为外接球球心，故半径为1， 体积为43π， 故选：A ．8．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是( )A ．8B ．CD ．16【解答】解：根据题意，点(,)P x y 在直线40x y +-=上， 则有4x y +=，即4x y =-，则222222(4)28162(2)8x y y y y y y +=-+=-+=-+， 分析可得：当2y =时，22x y +取得最小值8， 故选：A ．9．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA ⊥底面ABCD ，AC =，CD =，3PC =，PD =，可得三角形PCD 不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：PAB ∆，PBC ∆， PAD ∆．故选：C ．10．已知{(x ，)|(3)34}{(y m x y m x ++=-，)|7(5)80}y x m y +--==∅，则直线(3)34m x y m ++=+与坐标轴围成的三角形面积是( )A ．2B ．4C ．1287D ．2或1287【解答】解：因为{(x ，)|(3)34}{(y m x y m x ++=-，)|7(5)80}y x m y +--==∅， 所以3134758m m m +-=≠-，解得2m =-． 所以直线方程为20x y ++=．它与坐标轴的交点为(2,0)-与(0,2)-．直线20x y++=与坐标轴围成的三角形面积是12222⨯⨯=．故选：A．11．如图，正四面体D ABC-的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz 上，则在下列命题中，错误的是()A．O ABC-是正三棱锥B．直线OB与平面ACD相交C．直线CD与平面ABCD．异面直线AB和CD所成角是90︒【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，ABC∴∆为等边三角形，又OA、OB、OC两两垂直，OA∴⊥面OBC，OA BC∴⊥．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC AM⊥，M∴为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，N∴为底面ABC∆中心，O ABC∴-是正三棱锥，故A正确；对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．则B正确；对于C，CD在平面ABC AC，直线CD与平面ABC C错误；对于D，AB和OE垂直，且OE平行于CD，则异面直线AB和CD所成的角为90︒，故D正确．故选：C．12．如图，正方体1AC 的棱长为a ，作平面α（与底面不平行）与棱1A A ，1B B ，1C C ，1D D 分别交于E ，F ，G ，H ，记EA ，FB ，GC ，HD 分别为1h ，2h ，3h ，4h ，若1232h h h +=，3433h h h +=，则多面体EFGH ABCD -的体积为( )A ．21710a h B ．2278a hC ．2376a hD ．2474a h【解答】解：由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得： //EF GH ，//EH FH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，连结AC ，BD 交于点O ，连结EG ，FH ，交于点1O ， 连结1OO ，则123412h h h h OO +=+=， 1232h h h +=，3433h h h +=，∴1343h h =，2323h h =，4353h h =， 两个多面体EFGHABCD 可以拼成都市个长方体， ∴多面体EFGHABCD 的体积为：222221331247777268410h h V a a h a h a h a h +=====． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分把答案填在答题卡的相应位置. 13．在正三棱锥P ABC -中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC PB ⊥；②//AC 平面PDE ； ③AB ⊥平面PDE ．其中正确的个数是 2 ．【解答】解：①根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确； ②//AC DE ，AC ⊂/面PDE ，DE ⊂面PDE ，//AC ∴平面PDE ，故正确；③若AB ⊥平面PDE ，则AB DE ⊥，因为//DE AC ，AC 与AB 不垂直，如图，③显然不正确．故答案为：2．14．若直线2(1)(2)1m x m m y m ++--=+在y 轴上的截距等于1，则实数m 的值为 3 ． 【解答】解：由题意可知直线过(0,1)，代入可得221m m m --=+，变形可得2230m m --=， 解得3m =，或1m =-当1m =-时，2120m m m +=--=，不满足题意， 故答案为：315．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为 61:4 ．【解答】解：设球的半径为R ，则圆柱的表面积为2212226S R R R R πππ=+=， 圆锥的表面积2225(51)S R R R R πππ=+=+， 球的表面积234S R π=，所以表面积之比为61:4+．故答案为：61:4+．16．表面积为20π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为1，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为 【解答】解：过球心O 作平面ABC 的垂线段OD ，垂足为D ，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ， 连接BD ，则OD BD ⊥，OD DE ⊥，如图所示；则球的表面积为2420OB ππ=，解得半径OB =；又1OD =，2BD ∴===； 又ABC ∆是等边三角形，D ∴是ABC ∆的中心， 112DE BD ∴==，2AB BE ====；223ABC S AB ∆∴=== 由球的对称性可知当S 在AB 的中垂线上时，S 到平面ABC 的距离最大， 过O 作平面SAB 的垂线段SH ，垂足为H ，平面SAB ⊥平面ABC ，DE AB ⊥，平面SAB ⋂平面ABC AB =，DE ⊂平面ABC ， DE ∴⊥平面SAB ；又SE ⊂平面SAB ， DE SE ∴⊥，∴四边形ODEH 是矩形，1OH DE ∴==，1HE OD ==，OS OB ==2SH ∴===，213SE SH HE ∴=+=+=；则三棱锥面积的最大值为：11333ABC S ABC V S SE ∆-=⋅⋅=⨯=三棱锥．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)0l a x y b -++=．求分别满足下列条件的a ，b 的值．（1）直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与2l 垂直；（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等． 【解答】解：（1）12l l ⊥，(1)()10a a b ∴-+-=，即20a a b --=①又点(3,1)--在1l 上， 340a b ∴-++=②由①②得2a =，2b =． （2）12//l l ，∴1a a b =-，1ab a∴=-，故1l 和2l 的方程可分别表示为： 4(1)(1)0a a x y a --++=，(1)01aa x y a-++=-， 又原点到1l 与2l 的距离相等． 14||||1a a a a -∴=-，2a ∴=或23a =， 2a ∴=，2b =-或23a =，2b =． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且2AB =，60BAD ∠=︒． （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）当三棱锥M BCD -PB 的长．【解答】证明：（1）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，底面ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥， AC ⊂面PAC ，PA ⊂面PAC ，ACPA A =，BD ∴⊥平面PAC ，BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC ．（2）因为底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点，所以1124M BCD M ABCD P ABCD V V V ---==，从而P ABCD V -=．又2AB =，60BAD ∠=︒，所以ABCD S =，四棱锥P ABCD -的高为PA ，∴13PA ⨯=，得32PA =，PA ⊥面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PA AB ∴⊥．在Rt PAB ∆中，52PB ===．19．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈． （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解答】解：（1）直线l 的方程可化为：21y kx k =++，则直线l 在y 轴上的截距为21k +， 要使直线l 不经过第四象限，则0120k k ⎧⎨+⎩……，解得k 的取值范围是：0k ⋯…（2）依题意，直线l 在x 轴上的截距为：12kk+-，在y 轴上的截距为12k +， 12(k A k +∴-，0)，(0,12)B k +，又120kk+-<且120k +>， 0k ∴>，故1112111||||(12)(44)(44)42222k S OA OB k k k k +==⨯+=+++=…，当且仅当14k k=，即12k =时取等号， 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=⋯20．如图．在直棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC ==，13AA =，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动． （1）证明：1AD C E ⊥；（2）当异面直线AC ，1C E 所成的角为60︒时，求三棱锥111C A B E -的体积．【解答】解：（1）直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，1AD BB ∴⊥ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 中点，AD BC ∴⊥又BC 、1BB ⊂平面11BB C C ，1BC BB B =AD ∴⊥平面11BB C C ，结合1C E ⊂平面11BB C C ，可得1AD C E ⊥；（2）直棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，11EC A ∴∠（或其补角）即为异面直线AC 、1C E 所成的角 11190BAC B A C ∠=∠=︒，1111A C A B ∴⊥，又1AA ⊥平面111A B C ，可得111A C AA ⊥，∴结合1111A B AA A =，可得11A C ⊥平面11AA B B ，1A E ⊂平面11AA B B ，111A C A E ∴⊥因此，Rt △11A C E 中，1160EC A ∠=︒，可得111111cos 2A C EC A C E ∠==，得1112C E A C ==又112B C ==，12B E ∴==由此可得1111111111223323C A B E A B EV SA C -=⨯=⨯⨯=21．如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，//CB DA ，2EA DA AB CB ===，EA AB ⊥，M 是EC 的中点．（1）求异面直线DM 与BE 所成角的大小； （2）求二面角M BD A--的余弦值．【解答】解：DA ⊥平面EAB ， ∴平面ABCD ⊥平面EAB ，又EA AB ⊥，且平面ABCD ⋂平面EAB AB =， EA ∴⊥平面ABCD ，∴直线AE 、AB 、AD 两两垂直，以点A 为原点，AE 、AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设4EA =，(0A ∴，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，4，2)，(0D ，0，4)，(4E ，0，0)，M 是EC 的中点， (2M ∴，2，1)，（1）(2,2,3)DM =-，(4,4,0)BE =-，∴cos ,0||||491616DM BE DM BE DM BE <>===+，∴异面直线DM 与BE 所成角的大小为90︒；（2）设二面角M BD A --的大小为θ， (0,4,4)BD =-，(2,2,1)BM =-，(0,4,0)AB =，∴平面BDM 的一个法向量1(4,8,8)n =，平面BDA 的一个法向量2(16,0,0)n =-∴121212||1|cos ||cos ,|3||||16n n n n n n θ=<>===，由图可知，θ为锐角，∴二面角M BD A --的余弦值为13．。
安徽师大附中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
安徽师大附中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.直线AB的倾斜角为45°，则直线AB的斜率等于()A. 1B. −1C. 5D. −52.点(2,3)到3x+4y+2=0的距离是()A. 2B. 3C. 4D. 53.若三直线2x+3y+8=0，x−y−1=0，x+ky+k+12=0相交于一点，则k的值为()A. −2B. −12C. 2 D. 124.圆锥SO的侧面展开图是一个半圆形，且圆锥的母线长为2，则圆锥SO的体积为()A. 2πB. √3πC. πD. √33π5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是()A. 4B. √5C. 2D. √26.过点(5,2)且在y轴上的截距与在x轴上的截距相等的直线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 0条7.已知三棱锥P−ABC中，PB⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=√5，AB=BC=1，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为()A. 12πB. 6πC. 24πD. 4√6π38.直线kx+y+k+2=0与线段AB有交点，其中A(−4,2) , B(2,1)，则实数k的取值范围是()A. [−43,1] B. [−1,43]C. D.9.关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是()A. 若a//b，b⊂α，则a//αB. 若a//α，b⊂α，则a//bC. 若a//α，b//α，则a//bD. 若a⊥α，b⊥α，则a//b10.过点(−2,1)，(3,−3)的直线方程为()A. 4x−5y+13=0B. 4x+5y+3=0C. 5x+4y+5=0D. 5x−4y+8=011.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，在线段A1D上取点M，在线段CD1上取点N，使得MN//平面AA1C1C.连接A1N，当线段MN的长度取最小值时，三棱锥A1−MND1的体积为()A. 13B. 1C. √3D. 312.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，BC=3，AA1=4，则直线A1B1与平面ABC1D1的距离为()．A. 52B. 154C. 125D. 203二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.过点(1,−2)且与直线l：x+2y+1=0垂直的直线方程为______ ．14.已知正三棱锥S−ABC中，底面△ABC的边长等于6，SA=4，则该正三棱锥的高为__________．15.若点M(m,n)为直线l:3x+4y+2=0上的动点，则m2+n2的最小值为________．16.已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，△ABC是正三角形，则棱锥P−ABC的体积为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+(a−1)y+a2−1=0(1)当l1⊥l2时，求a的值；(2)在(1)的条件下，若直线l3//l2，且l3过点A(1,−3)，求直线l3的一般方程．18.如图，在四面体PABC中，PA⊥平面ABC，面PAC⊥面PBC．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若PA=AB=2，BC=1，求异面直线AB与PC所成角的正弦值．19.已知直线l:a2x+2y−2a2−4=0．(1)求证直线l过定点并求此定点的坐标；(2)若直线l分别交x、y轴正半轴于A、B两点，O为坐标原点，求ΔAOB面积的最小值．20.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC，A′A，AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．CD=1．21.如图，在四棱锥E−ABCD中，ED⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AB=AD=12(1)求证：BC⊥平面BDE；(2)当几何体ABCE的体积等于1时，求四棱锥E−ABCD的侧面积．3-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析： 【分析】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题． 直接由斜率等于倾斜角的正切值得答案． 【解答】解：∵直线的倾斜角为45°， ∴该直线的斜率k =tan45°=1． 故选：A ．2.答案：C解析：解：点(2,3)到直线3x +4y +2=0的距离 d =√32+42=205=4．∴点(2,3)到直线3x +4y +2=0的距离为4． 故选：C ．利用点到直线的距离公式即可解答． 本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．3.答案：B解析： 【分析】本题考查两条直线的交点坐标，属基础题.先联立已知的两条直线方程求出两直线的交点，然后把交点坐标代入第三条直线中即可求出k 的值． 【解答】解：由{2x +3y +8=0x −y −1=0得交点为(−1,−2)，代入x +ky +k +12=0， 得k =−12． 故选B ．4.答案：D解析：【分析】本题考查圆锥的侧面展开问题以及圆锥的体积，题目比较基础．首先设出圆锥底面半径r，高h，母线长l，由题意列出等式，求得r=1，故ℎ=√l2−r2=√3，故圆锥SO的体积为，问题得解．【解答】解：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，则l=2，由题意，解得r=1，所以ℎ=√l2−r2=√4−1=√3，所以圆锥SO的体积为．故选D．5.答案：B解析：【分析】本题考查三视图，确定空间几何体的形状是解题的关键，属于基础题．首先由三视图还原出几何体，即可求解．【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面在左边的四棱锥，如图，S ABCD=2×1=2，S△PAB=12×2×2=2，S△PAD=12×1×2=1，S△PBC=12×1×2√2=√2，PD=√22+12=√5，SΔPCD=12×CD×PD=12×2×√5=√5，故选B．6.答案：B解析：【分析】本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．根据题意，讨论直线过原点时和直线不过原点时，求出直线的方程．x，符合题意;【解答】解：当直线过坐标原点时，方程为y=25当直线不过坐标原点时，设直线方程为x+y=a，代入(5,2)得a=5+2=7，则直线方程为x+y=7．∴过点(5,2)且在x轴、y轴上的截距相等的直线共有2条．故选B．7.答案：B解析：解：如图，∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AB，∵AB=1，PA=√5，∴PB=2，又AB⊥BC，把三棱锥P−ABC补形为长方体，则长方体对角线长为√22+12+12=√6，，则三棱锥P−ABC外接球的半径为√62∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4π×(√6)2=6π．2故选：B．由题意画出图形，求出PB的长度，然后利用分割补形法求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查了“分割补形法”，是中档题．8.答案：D解析： 【分析】本题考查一元二次不等式表示平面区域，注意直线与线段AB 相交，即A 、B 在直线的异侧或在直线上．根据题意，分析可得A 、B 在直线的异侧或在直线上，进而可得[k ×(−1)−2−k +1]×[2k −3−k +1]≤0，解可得k 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，若直线l ：kx +y +k +2=0与线段AB 相交，则A 、B 在直线的异侧或在直线上， 则有[k ×(−4)+2+k +2]×[2k +1+k +2]≤0， 即(3k −4)(k +1)≥0，解可得k ≤−1或k ≥43，即k 的取值范围是(−∞,−1]∪[43,+∞)． 故选D ．9.答案：D解析：解：选项A ，根据线面平行的判定定理可知，缺一条件a ⊄α，故不正确 选项B ，若a//α，b ⊂α，a 与b 有可能异面，故不正确选项C ，若a//α，b//α，a 与b 有可能异面，相交，平行，故不正确 选项D ，若a ⊥α，b ⊥α，则a//b ，满足线面垂直的性质定理，故正确 故选：D ．根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，不正确的只需取出反例即可．本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，以及直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10.答案：B解析：解：设该直线的斜率为k ， ∵直线过(−2,1)和(3,−3) ∴k =−3−13−(−2)=−45，∴直线方程为y −1=−45×[x −(−2)]， 化简得：4x +5y +3=0，∴过点(−2,1)，(3,−3)的直线方程为4x+5y+3=0．故选：B．根据两个点的坐标先求出直线的斜率，然后根据斜率和其中一点的坐标得到直线的方程，化简即可求出所求．本题主要考查学生会根据两个点的坐标求直线的两点式方程，以及根据两点的坐标会求过两点的斜率，同时考查了运算能力，属于基础题．11.答案：B解析：【分析】本题考查了线面平行的性质和棱锥的体积，属于较难题．分别过M，N两点向上底面引垂线，则分别交A1D1，C1D1于M1、N1点，可得M1N1A1C1=D1N1D1C1，从而求得MN取最小值时M，N的位置，再根据三棱锥体积公式求解即可．【解答】解：如图，分别过M，N两点向上底面引垂线，则分别交A1D1，C1D1于M1、N1点，过N点向MM1引垂线并交其于点O，则有MM1//NN1，所以M、O、N、N1、M1五点共面，又因为NN1⊥M1N1，OM1⊥M1N1，NO⊥MM1，所以四边形ONN1M1为矩形，则有M 1N 1=ON ，NN 1=OM 1，NN 1//CC 1，从而可以得到NN1CC 1=D 1N 1D 1C 1，MM1DD 1=A 1M 1A 1D 1，因为NN 1//CC 1，CC 1⊂平面AA 1C 1C ，NN 1⊄平面AA 1C 1C ， 所以NN 1//平面AA 1C 1C ，因为MN//平面AA 1C 1C ，MN ∩NN 1=N ，MN 、NN 1⊂平面MNN 1M 1， 所以平面MNN 1M 1//平面AA 1C 1C ，因为平面MNN 1M 1∩平面A 1B 1C 1D 1=M 1N 1，平面AA 1C 1C ∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1C 1， 所以M 1N 1//A 1C 1， 所以M 1N 1A1C 1=D 1N 1D 1C 1，因为正方体的棱长为3，所以其面对角线长度为3√2， 设D 1N 1的长度为x ，可得NO =√2x ，MM 1=3−x ，M 1O =x ， 所以MO =3−x −x =3−2x ，则MN =√NO 2+MO 2=√(√2x)2+(3−2x)2=√6x 2−12x +9， 所以当x =1时，MN 最小值为√3，此时MM 1=2， 所以S △A 1MD 1=12×3×2=3，则三棱锥A 1−MND 1的体积为V A 1−MND 1=V N−MA 1D 1=13S △A 1MD 1×D 1N 1=13×3×1=1， 故选B ．12.答案：C解析： 【分析】本题考查了线面平行的判定，利用等体积求点到平面的距离，属于中档题．利用线面平行的判定定理，判断直线A1B1//平面ABC1D1，直线A1B1与平面ABC1D1的距离即为点点A1到直线AD1的距离，即可求出答案．【解答】解：∵几何体为长方体ABCD−A1B1C1D1，∴AB//A1B1∵AB⊂平面ABC1D1，A1B1⊄平面ABC1D1，∴直线A1B1//平面ABC1D1，所以直线A1B1与平面ABC1D1的距离即为点A1到直线AD1的距离，设点A1到直线AD1的距离为h，因为AB=5，BC=3，AA1=4，故可得AD1=5，故可得ℎ=3×45=125，故选C．13.答案：2x−y−4=0解析：解：∵直线l：x+2y+1=0的斜率为−12，∴与l垂直的直线的斜率为2，又直线过点(1,−2)，∴所求直线的方程为y+2=2(x−1)，化为一般式可得2x−y−4=0故答案为：2x−y−4=0由l的方程可得其斜率，进而由垂直关系可得所求直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属基础题．14.答案：2解析：【分析】本题考查三棱锥的结构特点，属于基础题．利用正三棱锥的结构特征求解即可．【解答】解：取底面等边△ABC的中心O，则AO=√33×6=2√3，所以高．故答案为2．15.答案：425解析：【分析】本题考查两点距离公式的应用，点到直线的距离公式，属基础题．把m2+n2转化为两点距离的平方求解．【解答】解：由题意知m2+n2的最小值表示：直线l:3x+4y+2=0上的点M(m,n)到点(0,0)的最近距离的平方，由点(0,0)到直线l:3x+4y+2=0的距离为：|0+0+2|√9+16=25，所以m2+n2最小值为425．故答案为425．16.答案：9√34解析：解：棱锥P−ABC为正三棱锥，如图是球的一个切面的一部分，∵PQ=4，=∠CPQ=30°，∴正三棱锥P−ABC的高PD=PC×cos30°=PQ×cos30°×cos30°=4×√32×√32=3，底面ABC的高为32CD=32×PQ×cos30°×sin30°=3√32，底面边长为3√32÷√32=3，则底面面积为S=12×3×3√32=9√34，则其体积为V=13×S×PD=13×9√34×3=9√34，故答案为：9√34． 由题意确定棱锥P −ABC 是正三棱锥，作出过直径PQ 及点C 的平面截出的三角形，从而解出体积． 考查了学生的空间想象力，及作图能力，注意量的相等． 17.答案：解：(1)由A 1A 2+B 1B 2=0⇒a +2(a −1)=0⇒a =23；(2)由(1)，l 2：x −13y −59=0，又l 3//l 2，设l 3：x −13y +C =0，把(1,−3)代入上式解得C =−2，所以l 3：x −13y −2=0．解析：本题考查了两条直线平行、两条直线垂直的条件，属于基础题．(1)利用两条直线垂直的充要条件即可得出;(2)根据平行可设l 3：x −13y +C =0，代值计算即可． 18.答案：(1)证明：在四面体PABC 中，∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ，又面PAC ⊥面PBC ，在平面PAC 中，过A 作AE ⊥PC ，AE ⊂平面PAC ， 面PAC ∩面PBC =PC ，则AE ⊥平面PBC ，BC ⊂平面ABC ，∴AE ⊥BC ，而AE ∩PA =A ，AE ，PA ⊂平面PAC ，∴BC ⊥平面PAC ；(2)解：分别取PB ，BC ，AC 中点F ，G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，则FG//PC ，GH//AB ，则∠FGH 为异面直线AB 与PC 所成角或补角．由PA =AB =2，BC =1，结合(1)可得AC =√3，PC =√7，FH =√52． 则FG =√72，GH =1， 在△FGH 中，由余弦定理可得：cos∠FGH =1+74−542×1×√72=3√714． ∴异面直线AB 与PC 所成角的正弦值sin∠FGH =(3√714)=√13314．解析：本题考查线面垂直的证明与异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．(1)由已知可得PA ⊥BC ，在平面PAC 中，过A 作AE ⊥PC ，由面面垂直的性质得AE ⊥平面PBC ，则AE ⊥BC ，再由线面垂直的判定可得BC ⊥平面PAC ；(2)分别取PB ，BC ，AC 中点F ，G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，则FG//PC ，GH//AB ，则∠FGH 为异面直线AB 与PC 所成角或补角，再由已知求解三角形得答案．19.答案：(1)证明：由已知得(x −2)a 2=4−2y ，令{x −2=04−2y =0⇒{x =2y =2, 故直线l 经过定点，且这个定点的坐标为(2,2)；(2)设l:y =k(x −2)+2,k <0，令x =0⇒y =2−2k >0，令y =0⇒y =2−2k >0，则S =12|OA|⋅|OB|=2(1−k)(1−1k )=2[2+(−k)+(1−k )]≥8，等号当且仅当 k =−1时成立，故ΔAOB 面积的最小值为8．解析：本本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求表达式的最小值．考查转化思想以及计算能力．(1)直线l 过定点，说明定点的坐标与参数k 无关，故让k 的系数为0可得定点坐标．(2)求出A 、B 的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k 值，从而得到直线方程．20.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC ，BB′⊂平面B′C′CB ，∴平面B′C′CB ⊥平面ABC ，∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，又平面B′C′CB ⊥平面ABC ，平面B′C′CB ∩平面ABC =BC ，∴AD ⊥平面B′C′CB ，∵AD ⊂平面AB′D ，∴平面AB′D ⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M ，连接EM ，DM ，DF ．∵D 、E 、F 、M 分别为棱BC ，A′A ，AC ，AB′的中点，∴DF = //12AB ，EM = //12A′B′，∵AB=//A′B′，∴DF=//EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．21.答案：解：(1)证明：取CD的中点F，连接BF，则直角梯形ABCD中，BF⊥CD，BF=CF=DF，∴∠CBD=90°，即BC⊥BD，又ED⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥DE，又BD∩DE=D，∴BC⊥平面BDE；(2)∵ED⊥平面ABCD，∴DE⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面ADE，∴AB⊥AE，∴V三棱锥A−BCE =V三棱锥E−ABC=13⋅DE⋅12AB⋅AD=16DE=13，解得DE=2，又AD=12CD=1，DE⊥AD，∴EA=√5，又AB=1，∴BE=√6；∴BE2=AB2+AE2，∴AB⊥AE，∴四棱锥E−ABCD的侧面积为S 侧=12DE⋅AD+12AE⋅AB+12DE⋅CD+12BC⋅BE=6+2√3+√52．解析：(1)取CD的中点F，连接BF，证明BC⊥BD，再由ED⊥平面ABCD得出BC⊥DC，由此证明BC⊥平面BDE；(2)由三棱锥E−ABC的面积求出DE的值，利用勾股定理判断AB⊥AE，再求四棱锥E−ABCD的侧面积．本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了锥体的体积与表面积的计算问题，是中档题．。
2018—2019上学期师大附中高二数学(理科)期中考试试卷(解析版)
江西师大附中高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题1.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（ ）A.2B.4C.12D.14【答案】D 【解析】椭圆方程可化为：2211y x m+= 椭圆焦点在y 轴上a∴=1b = 222a b ∴=⨯，即2a b =2=，解得：14m =2.已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 为（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】试题分析：x 2+y 2−6x −7=0∴(x −3)2+y 2=16，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线准线为x =−p2，由圆与直线相切可知p2=1∴p =23.已知点)M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =交于,A B 点，则ABM ∆的周长为（ ） A.4B.8C.12D.16【答案】B 【解析】试题分析：直线(y k x =+过定点()N ，由题设知M N 、是椭圆的焦点，由椭圆定义知：=24AN AM a +=，=24BN BM a +=．ABM ∆的周长为()()()=8AB BM AM AN BN BM AM AN AM BN BM +++++=+++=,故选B4.直线:l y kx =与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是（ ） A.()0,1B.(C.()1,1-D.[]1,1-【答案】C 【解析】由双曲线22:2C x y -=与直线:l ykx =联立可()22120k x --= ，因为直线:l y kx =与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，所以()2210810k k ⎧-≠⎪⎨->⎪⎩ 可得11k -<< ，斜率k 的取值范围是()1,1-，故选C.5.已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【答案】D 【解析】试题分析：因为，双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=中，2222cos ,sin a b θθ==，222tan b a θ=；222222:1sin sin tan y x C θθθ-=中，222tan b a θ=，所以，两双曲线离心率e =相同，选D 。
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安徽省师大附中2018-2019学年第一学期期中考试高二数学（理）题时间120分钟，满分100分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2所得到的一组新数据的方差为( )A ．212s B ．22s C ．24s D ．2s 2．在100个零件中，有一级品20个、二级品30个、三级品50个，从中抽取20个作为样本．①将零件编号为00,01，…，99，抽签取出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下面说法正确的是( )A ．不论采用哪一种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都是15B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为15，③并非如此C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为15，②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的 3．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝05．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( )A ．19B ．29C ．49D ．896( )A ．3πB ．4πC ．D ．6π7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为( )A ．45 B ．35 C ．5 D ．58．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，过点P （0，2）作圆C 的切线，交x 轴正半轴于点Q ．若M （m ，n ）为线段PQ 上的动点（不含端点），则1m n+的最小值为( )A ．2+．1+．3 D ．3 9．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆翻折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α ( ) A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥ C ．A CB α'∠≤ D ．A CB α'∠≥10．在平面直角坐标系中，定义d （P ，Q ）＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为点P （x 1，y 1）到点Q （x 2，y 2）的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；③到M （－1，0），N （1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x ＝0；④到M （－1，0），N （1，0）两点的“折线距离”之差的绝对值为1的点的轨迹是两条平行线. 其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．10B ．10C ．6＋D ．612．已知点()1,0A -，()1,0B ，()0,1C ，直线()0y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( )A ．()0,1B ．112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上)13．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，若圆C的面积最小，则圆C 的方程为________．14．已知直线l 过点(－1,0)，l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝3相交于A 、B 两点，则弦长|AB |≥2的概率为________．15．在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于A ，B 两点，O为坐标原点，若圆上有一个C 满足5344OC OA OB →→→=+，则r = ．16．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3AC =，2BC =，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是________．三、解答题(本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分8分)下表数据是退水温度x(℃ )对黄硐延长性y(%)效应的试验结果，y 是以延长度计算的，且对于给定的x ，y 为正态变量，其方差与x 无关.(1)(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程．18．(本题满分9分)如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为AA 1＝3，点E 在棱B 1B 上运动．(1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)当三棱锥B 1A 1D 1E 的体积为23时，求异面直线AD ，D 1E 所成的角．19．(本小题满分10分)已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R)的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．20．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，090ABD ∠=，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，2AB =，EB =1EF =，BC =M 是BD的中点．（1）求证：EM ∥平面ADF ； （2）求二面角D AF B --的大小；（3）在线段EB 上是否存在一点G ，使得 CG 与AF 所成的角为030？若存在，求出BG 的长度；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆1C ：()()22454x y -+-=和圆2C ：()()22314x y ++-=．（1）若直线1l 过点()2,0A ，且与圆1C 相切，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点()4,0B ，且被圆2C 截得的弦长为2l 的方程； （3）直线3l 的方程是52x =，证明：直线3l 上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线4l 和5l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线4l 被圆1C 截得的弦长与直线5l 被圆2C 截得的弦长相等．高二上学期期中考试数学试卷答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)13．[答案] (x －2)2＋(y －1)2＝5[解析] 由题易知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，能覆盖它且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径为|PQ |2＝5，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.14．[答案]33[解析] 设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入(x －1)2＋y 2＝3中得，(k 2＋1)x 2＋2(k 2－1)x ＋k 2－1＝0，∵l 与⊙C 相交于A 、B 两点，∴Δ＝4(k 2－1)2－4(k 2＋1)(k 2－2)>0，∴k 2<3，∴－3<k <3， 又当弦长|AB |≥2时，∵圆半径r ＝3，∴圆心到直线的距离d ≤2，即|2k |1＋k 2≤2，∴k 2≤1，∴－1≤k ≤1. 由几何概型知，事件M ：“直线l 与圆C 相交弦长|AB |≥2”的概率P (M )＝1－(－1)3－(－3)＝33.15．[答案] r16．（文）[答案]17（理）[答案三、解答题(本大题共6个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．[解析] (1)散点图如下：由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近． (2)列出下表并用科学计算器进行有关计算．于是可得b ＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x 2＝198400－6×550×571990000－6×5502≈0.05886. a ＝y －－b x －＝57－0.05886×550＝27.57.因此所求的回归直线的方程为：y ^＝0.05886x ＋27.57.18．[解析](1)证明：连接BD ， 因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， 因为B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以B 1B ⊥AC .又因为B 1B ∩BD ＝B ， 所以AC ⊥平面B 1BDD 1. 因为D 1E ⊂平面B 1BDD 1， 所以AC ⊥D 1E .(2)因为V 三棱锥B 1A 1D 1E ＝V 三棱锥E A 1B 1D 1，EB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1.所以V 三棱锥E A 1B 1D 1＝13S △A 1B 1D 1·EB 1.又因为S △A 1B 1D 1＝12A 1B 1·A 1D 1＝1，所以V 三棱锥E A 1B 1D 1＝13EB 1＝23，所以EB 1＝2.因为AD ∥A 1D 1，所以∠A 1D 1B 1为异面直线AD ，D 1E 所成的角． 在Rt △EB 1D 1中，可求得ED 1＝2 2.因为D 1A 1⊥平面A 1ABB 1，所以D 1A 1⊥A 1E .在Rt △EA 1D 1中，cos ∠A 1D 1E ＝222＝12，所以∠A 1D 1E ＝60°，所以异面直线AD ，D 1E 所成的角为60°.19．[解析] (1)方程即(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝－7t 2＋6t ＋1，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0.∴－17<t <1.(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167， ∴t ＝37时，r max ＝477，此时圆面积最大，所对应的圆的方程得⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 在圆内． ∴8t 2－6t <0，即0<t <34.20．解析：21．解析：。