2014届高三理科数学一轮复习试题选编28：导数(学生版)

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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编29：二项式定理

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编29：二项式定理一、选择题 1．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））若()()()()()()923112012311132222xx a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-,则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为（）A ．0B ．5-C ．5D ．255【答案】C【解析】令2x =,则290(21)(23)5a =+-=-.令3x =,则01110a a a ++⋅⋅⋅+=,所以1110(5)5a a a +⋅⋅⋅+=-=--=,选C ．2 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））51()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A ．-20B ．—10C ．10D ．20【答案】C【解析】令1x =,可得各项系数和为5(1)(21)12a a +-=+=,所以1a =.所以555111()(21)()(21)()(12)ax x x x x x x x x+-=+-=-+-,5(12)x -的展开式的通项公式为155(2)(2)k k k k k k T C x x C +=-=-,当1k =时,125(2)10T C x x =-=-;所以展开式的常数项为1(10)10x x-⨯-=,选 C ．3 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）若2013(2)x -220130122013a a x a x a x =++++ ,则02420121352013a a a a a a a a ++++=++++（）A ．201320133131+-B ．201320133131+--C ．201220123131+-D ．201220123131+--【答案】B 【解析】令1=x 得01234520131a a a a a a a +++++++= ①,令1-=x 得201301234520133a a a a a a a -+-+-+-= ②,由①②联立,可得2012420a a a a ++++ 2013312+=,++31a a 52013a a ++ 2013132-=,从而02420121352013a a a a a a a a ++++++++ 20132013312132+=-201320133131+=--. 4 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）若4(1,)a a b +=+为有理数,则a+b=（）A ．36B ．46C ．34D ．44【答案】D二项式的展开式为11223344441118928C C C ++++=+++=+,所以28,16a b ==,281644a b +=+=,选 D ．5 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）二项式8(2x-的展开式中常数项是（）A ．28B ．-7C ．7D ．-28【答案】C展开式的通项公式为488831881()(()(1)22k k k k k k k k x T C C x ---+==-,由4803k -=得6k =,所以常数项为6866781()(1)72T C -=-=,选C ．6 ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试理科数学）51()(2)x a x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A ．-40B ．-20C ．20D ．40【答案】 .A ．7 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）设0(cos sin )a x x dx π=⎰-,则二项式26()a x x+展开式中的3x 项的系数为（）A ．-20B ．20C ．-160D ．160【答案】C 因为00(cos sin )(sin cos )2a x x dx x x ππ=⎰-=+=-,所以二项式为26262()()a x x x x+=-,所以展开式的通项公式为261231662()()(2)kk k k k k k T C x C x x--+=-=-,由1233k -=得3k =,所以333346(2)160T C x x =-=-,所以3x 项的系数为160-.选C ．8 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））设a=π0⎰sin x d x ,则二项式6⎛⎝的展开式的常数项是（）A ．160B ．-160C ．240D ．-240【答案】B【解析】由2)cos (sin 00=-=⎰ππx xdx ,所以2=a ,所以二项式为6)12(xx -,展开式的通项为22666661)1(2)1()2(k k kk k k k k k xxC xx C T ----+-=-=k k k k x C ---=366)1(2,所以当3=k ,为常数,此时160)1(23336-=-C ,选B ．9 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ,则二项式1()n x x-展开式中2x 项的系数为（）A ．15B ．15-C ．30D ．30-【答案】A 因为函数()|2||4|f x x x =++-的最小值为4(2)6--=,即6n =.展开式的通项公式为6621661()(1)k k k k k k k T C x C x x--+=-=-,由622k -=,得2k =,所以222236(1)15T C x x =-=,即2x 项的系数为15,选A ．10．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为（）A ．31280-xB ．1280-C ．240D ．240-【答案】A11．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）(82展开式中不含．．4x项的系数的和为（）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】C12．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）设22(13)40a x dx =-+⎰,则二项式26()a x x+展开式中不含．．3x 项的系数和是（）A ．160-B ．160C ．161D ．161-【答案】C13．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）()5a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10,则实数a 等于（）A ．-1B ．12C ．1D ．2【答案】D14．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）若2012(3)nnn x a a x a x a x -=++++ ,其二项式系数的和为16,则012n a a a a ++++=（）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B15．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（）A ．）若()()()()()()923112012311132222x x a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-,则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为（）A ．0B ．5-C ．5D ．255【答案】C【解析】令3x =,则有012110a a a a +++⋅⋅⋅+=,令2x =,则290(21)(23)5a =+-=-,所以121105a a a a ++⋅⋅⋅+=-=,选C ．二、填空题16．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则a 3=______________.【答案】8017．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）若261()xax -的二项展开式中3x 项的系数为52,则实数a =_______.【答案】-218．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）若31()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512,则该展开式中3x 的系数为______.【答案】84;19．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013滨州市一模)设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中的常数项等于________.【答案】-160词【解析】,3,2)1(,)12()1(,2|)cos (sin 36616600=∴-=-=-∴=-==--+⎰r x C T x x x x a x dx x a r r r r r ππ所以常数项为-160.20．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）8(2x -的展开式中,常数项为___________. 【答案】7展开式的通项公式为488831881()((1)()22k k k k k k kk x T C C x ---+==-,由4803k -=,解得6k =,所以常数项为226781(1)()72T C =-=.21．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若(x 2-nx)1的展开式中含x 的项为第6项,设(1-3x)n=a o +a 1x+a 2x 2++a n x n,则a l +a 2++a n 的值为_____________ 【答案】255展开式(x 2-n x )1的通项公式为22311()()(1)k n k k kk n k k n n T C x C x x--+=-=-,因为含x 的项为第6项,所以5,231k n k =-=,解得8n =,令1x =,得88018(13)2a a a +++=-= ,又01a =,所以81821255a a ++=-= .22．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）二项式)10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是____________. 【答案】523．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）在62(x )x-的二项展开式中,常数项等于_______. 【答案】【答案】160- 展开式的通项公式为6621662()(2)k k k k k kk T C x C x x--+=-=-,由620k -=,得3k =,所以3346(2)160T C =-=-,即常数项为160-.24．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）设dx x )12(20-⎰,则二项式4⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中的常数项为__________.___【答案】2425．（2011年高考（山东理））若62(x x -展开式的常数项为60,则常数a 的值为_________.【答案】解析:6(x 的展开式616(k k k k T C x -+=636(kk C x -=,令630,2,k k -==226(1560,4C a a ===,答案应填:4.26．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）25(ax的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为【答案】10【解析】因为展开式中各项系数的和为243,所以当1x =时,5(1)243a +=,解得2a =,展开式的通项公式为5102552155(2)2k kkk k kk T C x C x ---+==,由51002k -=,解得4k =,所以常数项为455210T C =⨯=.27．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）二项式6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项等于______(用数字作答). 【答案】1215展开式的通项公式为666316621(3)()3kk k k k kk T C x C x x---+==,由630k -=得2k =,所以常数项为423631215T C ==.28．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中的常数项等于________.【答案】160-00sin =cos 2a xdx x ππ=-=⎰,所以二项式的展开式为663166(((1)2k k kk k k k k T C C x ---+==-⋅⋅,由30k -=时,3k =,所以常数项为33346(1)2160T C =-⋅=-.29．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是_________.【答案】180。

交大附中2014版高考数学第一轮复习训练导数及其应用(word版含答案)

上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数321(02)3x y x x =-+<<图象上任意点处切线的斜率为k ，则k 的最小值是( ) A ． 1- B ． 0C ． 1D ．12【答案】A 2．曲线12-=x xy 在点（1，1）处的切线方程为( ) A ． 02=--y x B ． 02=-+y x C ． 054=-+y x D ． 054=--y x【答案】B3．曲线()ln f x x x =在点P （1，0）处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )A ．22111()()222x y +++=B ．22111()()222x y ++-=C ．22111()()222x y -++=D ．22111()()222x y -+-=【答案】C4．曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(-1,-4)或（1,0）D ．(-1,-4) 【答案】B5．设⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]2,1[2]1,0[)(2x x x x x f ，则⎰2)(dx x f 的值为( )A ．43 B ．54 C ．65 D ．67 【答案】C6．设函数f ′（x ）=x 2+3x －4，则y=f （x+1）的单调递减区间为( )A ．（－4，1）B ．（－5，0）C ．（3,2-+∞）D ．（5,2-+∞）【答案】B7．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量∆x( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零【答案】D8．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( ) A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞）【答案】B9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为 ( )A ．33B ．46C ．48D ．50【答案】C 10．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为( ) A ．( 1 , 0 )B ．( 2 , 8 )C ．( 1 , 0 )或(－1, －4)D ．( 2 , 8 )和或(－1, －4)【答案】C11．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( ) A ．4B ．14-C ．2D ．12-【答案】A12．曲线211y x =+在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．-9 B ．-3C ．9D ．15【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则n a =____________【答案】5)21(-n14．函数32x x y -=的单调增区间为 .【答案】2(0,)315．曲线y=3x 2与x 轴及直线x ＝1所围成的图形的面积为．【答案】1 16．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= 。

2014高考真题汇编函数与导数(二)学生版

2014高考真题汇编函数与导数（二）1．[2014·山东卷] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2D. 42、[2014·福建卷] 如图1-4，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1-43.[2014·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A ．－1 B ．－13 C .13D ．1 4．[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且⎰320πf(x)d x ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π65．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)6．[2014·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．[2014·黄冈中学期末] 已知f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝log 12(1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－20114＝( ) A ．－2 B.12C ．1D ．2 8．[2014·青岛期中] 若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1 9．[2014·内江模拟] 已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( ) A ．c ＜14 B ．c ≤14 C ．c ≥14 D ．c ＞1410．[2014·山东卷] 设函数f(x)＝e xx2－k⎝⎛⎭⎫2x＋ln x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．11．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．12、[2014·湖南卷] 已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－2xx＋2.(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范围．。

高三理科数学一轮复习考试试题精选()分类汇编集合含答案

广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于（） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则（）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是（）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。

2014届一轮复习数学试题选编33导数的应用(单调性、极值与最值)(学生版)

江苏省2014届一轮复习数学试题选编33：导数的应用（单调性、极值与最值）填空题1 ．（2009高考(江苏)）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为___★___.2 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知函数f (x )=3(21)34,,a x a x tx x x t -+-≤⎧⎨->⎩，无论t 取何值，函数f (x )在区间(-∞，+∞)总是不单调．则a 的取值范围是__▲___．3 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）分别在曲线xy e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ,则MN 的最小值为_____.4 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立,则实数a 的值为_____.5 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知函数xmx x f -=ln )((R m ∈)在区间],1[e 上取得最小值4,则=m ____. 6 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知f (x )＝x 3，g (x )＝－x 2＋x －29a ，若存在x 0∈[－1，a3](a ＞0)，使得f (x 0)＜g (x 0)，则实数a 的取值范围是．解答题7 ．（2010年高考（江苏））设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数,其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ,其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0,使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ,则称函数)(x f 具有性质)(a P .(1)设函数)(x f )1(12)(>+++=x x b x h ,其中b 为实数 ①求证:函数)(x f 具有性质)(b P ②求函数)(x f 的单调区间(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ,给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,且1,1>>βα,若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围8 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知常数0>a,函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥+=,2,449,2,3243a x x a ax x a x x f (Ⅰ)求()x f 的单调递增区间;(Ⅱ)若20≤<a ,求()x f 在区间[]2,1上的最小值()a g ; (Ⅲ)是否存在常数t ,使对于任意⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛-∈222,2a t a t ax 时,()()()()()[]()t f x t f x f t fx t f x f -+≥+-222恒成立,若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.9 ．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）已知x=12是()2ln bf x x x x=-+的一个极值点(Ⅰ)求b 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的单调增区间; (Ⅲ)设1()()g x f x x=-,试问过点(2,5)可作多少条曲线y=g(x )的切线?为什么?10．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知实数a ,b ,c R ∈,函数32()f x ax bx cx =++满足(1)0f =,设()f x 的导函数为()f x ',满足(0)(1)0f f ''>.(1)求ca的取值范围; (2)设a 为常数,且0a >,已知函数()f x 的两个极值点为1x ,2x ,11(,())A x f x ,22(,())B x f x ,求证:直线AB 的斜率2,96a a k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.11．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知函数2()ln f x x ax x =--,a ∈R .⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数,求a 的取值范围;⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c (点P 除外),该函数图象在点P 处的切线为l ,且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧,试求所有满足条件的a 的值.12．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知函数22()1x f x x x =-+,对一切正整数n ,数列{}n a 定义如下:112a =, 且1()n n a f a +=,前n 项和为n S . (1)求函数()f x 的单调区间,并求值域; (2)证明{}{}()(())x f x x x f f x x ===; (3)对一切正整数n ,证明:○1 1n n a a +<;○21n S <.13．（2013江苏高考数学）本小题满分16分.设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x-=)(,其中a 为实数.(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围; (2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.14．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题）已知函数||ln )(2x x x f =,(1)判断函数)(x f 的奇偶性; (2)求函数)(x f 的单调区间;(3)若关于x 的方程1)(-=kx x f 有实数解,求实数k 的取值范围.15．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数2()(1)x f x e x ax =++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行,求a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的极值.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））设函数()1,()(1)2(x f x e g x e x e =+=-+是自然对数的底数).(1)判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数,并说明理由; (2)设数列{}n a 满足:11(0,1),()(),n n a f a g a n N ++∈=∈且; ①求证:01n a <<;②比较a 与1(1)n e a +-的大小,17．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知函数322()39(0)f x x ax a x a =--≠.(1)当a=l 时,解不等式()0f x >;(2)若方程2()12169f x nx ax a a =---在【l,2】恰好有两个相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69):(3)当a>0时,若()f x 在【0,2】的最大值为h(a),求h(a)的表达式.18．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）设函数2()ln f x ax b x =+,其中0ab ≠.证明:当0ab >时,函数()f x 没有极值点;当0ab <时,函数()f x 有且只有一个极值点,并求出极值.19．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月）已知函数2233()[(log )(log )](log )(log )a x a x f x k x a x a =+--,2()(3)(log log )a x g x k x a =-+,(其中1a >),设log log a x t x a =+.(Ⅰ)当(1,)(,)x a a ∈⋃+∞时,试将()f x 表示成t 的函数()h t ,并探究函数()h t 是否有极值;(Ⅱ)当(1,)x ∈+∞时,若存在0(1,)x ∈+∞,使00()()f x g x >成立,试求k 的范围.20．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）(本小题满分16分)已知函数()ln a f x x x =+,21()222g x bx x =-+,,a b ∈R . ⑴求函数()f x 的单调区间;⑵记函数()()()h x f x g x =+,当0a =时,()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点,求实数b 的取值范围;⑶记函数()()F x f x =,证明:存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点.21．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知函数()ln f x x x =-, ()ln ag x x x=+,(0a >). (1)求函数()g x 的极值;(2)已知10x >,函数11()()()f x f x h x x x -=-, 1(,)x x ∈+∞,判断并证明()h x 的单调性;(3)设120x x <<,试比较12()2x x f +与121[()()]2f x f x +,并加以证明.22．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数,(1)若a b ≠,求证:函数f(x)存在极大值和极小值(2)设(1)中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ,令点 A11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-,求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度(3)若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立,求实数m,a,b 满足的条件2012~2013学年度第一学期期末考23．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知函数3211()33f x x mx x m =--+,其中m ∈R.(1)求函数y =f (x )的单调区间;(2)若对任意的x 1,x 2∈[-1,1],都有12|()()|4f x f x ''-≤,求实数m 的取值范围; (3)求函数()f x 的零点个数.24．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知函数f (x )=12m (x -1)2-2x +3+ln x ,m ∈R.(1)当m =0时,求函数f (x )的单调增区间;(2)当m >0时,若曲线y =f (x )在点P (1,1)处的切线l 与曲线y =f (x )有且只有一个公共点,求实数m 的值.25 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数,且不恒为0,记()()()n n f x g x n x=∈*N .若对定义域内的每一个x ,总有()0n g x <,则称()f x 为“n 阶负函数”;若对定义域内的每一个x ,总有[]()0n g x '≥,则称()f x 为“n 阶不减函数”([]()n g x '为函数()n g x 的导函数).(1)若31()(0)a f x x x x x =-->既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数a 的取值范围;(2)对任给的“2阶不减函数”()f x ,如果存在常数c ,使得()f x c <恒成立,试判断()f x 是否为“2阶负函数”?并说明理由.26 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x(1) 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程;(2) 求函数)(x f 单调区间;(3) 若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.27 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为x 亿元,其中用于风景区改造为y 亿元.该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境总费用至少a 亿元,至多b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%. (1)若2a =, 2.5b =,请你分析能否采用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案;(2)若a 、b 取正整数,并用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案,请你求出a 、b 的取值.28 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）记函数()()*1,n n f x a x a R n =⋅-∈∈N 的导函数为()n f x ',已知()3212f '=.(Ⅰ)求a 的值.(Ⅱ)设函数2()()ln n n g x f x n x =-,试问:是否存在正整数n 使得函数()n g x 有且只有一个零点?若存在,请求出所有n 的值;若不存在,请说明理由.(Ⅲ)若实数0x 和m (0m >,且1m ≠)满足:()()()()0101n n n n f x f m f x f m ++'=',试比较0x 与m 的大小,并加以证明.第二部分(加试部分)29 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）已知函数()()f x ax bx x a b ∈323R ＝＋－，在点()(11)f ，处的切线方程为20.y ＋＝(1)求函数()f x 的解析式;(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x x 12，，都有()()||f x f x c ≤12－，求实数c 的最小值.30 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设b >0，函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+，记()()F x f x '=（()f x '是函数()f x 的导函数），且当x = 1时，()F x 取得极小值2．（1）求函数()F x 的单调增区间；（2）证明[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥．31 ．（2011年高考（江苏卷））已知a ,b 是实数,函数32(),(),f x x ax g x x bx =+=+ )(x f '和)(x g '是()f x 和()g x 的导函数,若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立,则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致.(1)设0>a ,若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围;(2)设,0<a 且b a ≠,若函数)(x f 和)(x g 在以a ,b 为端点的开区间上单调性一致,求||a b -的最大值32 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））已知函数f (x )=x 3+x 2-ax (a ∈R).(1)当a =0时,求与直线x -y -10=0平行,且与曲线y =f (x )相切的直线的方程; (2)求函数g (x )=f (x )x-a ln x (x >1)的单调递增区间; (3)如果存在a ∈[3,9],使函数h (x )=f (x )+f '(x )(x ∈[-3,b ])在x =-3处取得最大值,试求b 的最大值.33 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E =kv 3t ,其中v 为鲑鱼在静水中的速度,t 为行进的时间(单位:h),k 为大于零的常数.如果水流的速度为3 km/h,鲑鱼在河中逆流行进100 km.(1)将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数; (2)v 为何值时,鲑鱼消耗的能量最少?34．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）已知函数32()2f x x ax x =--+.(a R ∈).(1)当1=a 时,求函数)(x f 的极值;(2)若对x R ∀∈,有4'()||3f x x ≥-成立,求实数a 的取值范围.(满分40分,答卷时间30分钟)35．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）设t >0,已知函数f(x )=x 2(x -t )的图象与x 轴交于A ､B 两点. (1)求函数f (x )的单调区间;(2)设函数y =f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线的斜率为k ,当x 0∈(0,1]时,k ≥-12恒成立,求t的最大值;(3)有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y =f (x )的图象有两个不同的交点C ,D ,若四边形ABCD 为菱形,求t 的值.36．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知函数()(0ln x f x ax x x=->且x ≠1).(1)若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数,求实数a 的最小值;(2)若212,[e,e ]x x ∃∈,使f (x 1)≤2()f x a '+成立,求实数a 的取值范围.37．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）已知函数f (x )=(m -3)x3+ 9x .(1)若函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求m 的取值范围; (2)若函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为4,求m 的值.38．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知函数f(x)=ax 2+1,g(x)=x 3+bx,其中a>0,b>0.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P 为切点), 求a,b 的值;(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为[,23a b --],求: (1)函数h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值M(a);(2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a 的取值范围.39．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知()()x x x g e x x ax x f )ln()(),0,(,ln --=-∈--=,其中e 是自然常数,.a R ∈(1)讨论1a =-时, ()f x 的单调性.极值; (2)求证:在(1)的条件下,21)(|)(|+>x g x f ;(3)是否存在实数a ,使()f x 的最小值是3,如果存在,求出a 的值;如果不存在,说明理由.40．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数.(1)若[2,1]x ∈--,不等式()()f x f x '≤恒成立,求a 的取值范围; (2)解关于x 的方程()|()|f x f x '=;(3)设函数(),()()()(),()()f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥,求()[2,4]g x x ∈在时的最小值41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）设0>a ，函数|1ln |)(2-+=x a x x f .(1) 当1=a 时,求曲线)(xf y =在1=x 处的切线方程; (2) 当),1[+∞∈x 时,求函数)(x f 的最小值.42．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知函数f(x)=12x 2+1nx. (Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值; (Ⅱ)设g(x)=f(x),求证:[()]()22()nnng x g x n N +-≥-∈.43．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）为了保护环境,某化工厂在政府部门的支持下,进行技术改造:每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体,经测算,该工厂每天处理废气的成本y (元)与处理废气量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为:[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+=70,40,5000130240,10,100016123x x x x x y ,且每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品.(1)当工厂日处理废气量[]70,40∈x 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现,国家至少每天财政补贴多少元?(2)若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴,当日废气处理量不足40吨时,给予每顿80元补贴,废气处理量不少于40吨时,超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴,当工厂的日处理量为多少吨时,工厂处理每顿废气的平均收益最大?44．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知函数()ln ()ln ,xf x x x h x x =-=.(1)求()h x 的最大值;(2)若关于x 的不等式2()212xf x x ax ≥-+-对一切()0,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围;(3)若关于x 的方程()3220f x x ex bx -+-=恰有一解,其中e 为自然对数的底数,求实数b 的值.45．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元(a 为常数,2≤a≤5 )的税收.设每件产品的售价为x 元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与xe (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x 元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.46．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知函数f (x )=13x 3+1－a2x 2-ax -a ,x ∈R,其中a >0. (1)求函数f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a 的取值范围;(3)当a =1时,设函数f (x )在区间[t ,t +3]上的最大值为M (t ),最小值为m (t ),记g (t )=M (t )-m (t ),求函数g (t )在区间[-3,-1]上的最小值.47．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）设函数b ax x x f n n ++-=3)((*N n ∈,R b a ∈,).⑴若1==b a ,求)(3x f 在[]2,0上的最大值和最小值;⑵若对任意]1,1[,21-∈x x ,都有1)()(2313≤-x f x f ,求a 的取值范围; ⑶若)(4x f 在]1,1[-上的最大值为21,求b a ,的值.48．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知a 为正的常数,函数2()ln f x ax x x =-+.(1)若2a =,求函数()f x 的单调增区间; (2)设()()f x g x x=,求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值.49．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）(1)设1x >-,试比较ln(1)x +与x 的大小;(2)是否存在常数N a ∈,使得111(1)1n kk a a n k=<+<+∑对任意大于1的自然数n 都成立?若存在,试求出a 的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由.50．（2011年高考（江苏卷））请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A B C D 、、、四个点重合于图中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E F 、在AB 上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点, 设AE FB x cm ==(1)某广告商要求包装盒侧面积2()S cm 最大,试问x 应取何值?x 60x E F AB CD P⇒(2)某广告商要求包装盒容积3()V cm 最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.51．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数x x x x x f 2)1ln()1(2)(2--++=,[)+∞∈,0x ,求)(x f 的最大值.52．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数32()2f x x ax x =--+.(a R ∈).(1)当1=a 时,求函数)(x f 的极值;(2)若对x R ∀∈,有4'()||3f x x ≥-成立,求实数a 的取值范围.53．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设b >0,函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+,记()()F x f x '=(()f x '是函数()f x 的导函数),且当x = 1时,()F x 取得极小值2. (1)求函数()F x 的单调增区间;(2)证明[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥.54．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量)(x P 件与月份x 的近似关系是：1()(1)(412)(12)2P x x x x x x N *=+-≤∈且(1) 写出第x 月的需求量()f x 的表达式；(2)若第x 月的销售量22()21,17,()1(1096),712,3x f x x x x N g x x x x x x N e **⎧-≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩且且（单位：件），每件利润()q x 元与月份x 的近似关系为：10()x eq x x= ，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（6403e ≈）55．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知函数()ln f x x x a x =--.(1)若a =1,求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; (2)求函数()f x 的单调区间;(3)若()0f x >恒成立,求a 的取值范围.56．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ,交曲线于点P ,设(,())P t f t (1)将OMN ∆(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数()S t ; (2)若在12t =处,()S t 取得最小值,求此时a 的值及()S t 的最小值.57．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷）设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值OxyMNP58．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知函数22()ln ()a f x x a x a x=+-∈R .(1)讨论函数()y f x =的单调区间;(2)设2()24ln 2g x x bx =-+-,当a =1时,若对任意的x 1,x 2∈[1,e](e 是自然对数的底数),12()()f x g x ≥,求实数b 的取值范围.59．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值; (3)若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ,求证:12()02x x f +'>.60．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）已知函数x a x x f ln )()(-=,(0≥a ).(1)当0=a 时,若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切,求m 的值; (2)若)(x f 在[]2,1上是单调减函数,求a 的最小值;(3)当[]e x 2,1∈时,e x f ≤)(恒成立,求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).61．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）已知函数f (x )=a x +x 2-x ln a (a >0,a ≠1).(1)当a >1时,求证:函数f (x )在(0,+∞)上单调递增; (2)若函数y =|f (x )-t |-1有三个零点,求t 的值;(3)若存在x 1,x 2∈[-1,1],使得|f (x 1)-f (x 2)|≥e -1,试求a 的取值范围.62．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数()ln f x x x =.(I)求函数()f x 的单调递减区间;(II)若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (III)过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线,求切线方程.江苏省2014届一轮复习数学试题选编33：导数的应用（单调性、极值与最值）参考答案填空题1. 【答案】(1,11)-；【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题(学生版)

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题一、选择题 1 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10人给一个代表名额,当班级人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([x]表示不大于*的最大整数)可表示为（）A ．[]10x y = B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y += 2 ．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知函数321,,1,12()111,0,.362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+ ,若存在[]12,0,1x x ∈,使得12()()f x g x =成立,则实数a 的取值范围是（）A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦3 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若对于定义在R 上的函数f(x),存在常数()t t R ∈,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x 均成立,则称f(x )是阶回旋函数,则下面命题正确的是（）A ．f(x)=2x是12-阶回旋函数 B ．f(x)=sin(πx)是1阶回旋函数C ．f (x)=x 2是1阶回旋函数D ．f(x)=log a x 是0阶回旋函数4 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知c b a ,,为互不相等的三个正实数,函数)(x f 可能满足如下性质:①)(a x f -为奇函数;②)(a x f +为奇函数;③)(b x f -为偶函数;④)(b x f +为偶函数;⑤()()f x c f c x +=-.类比函数2013sin y x =的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得到了如下结论:(i)若满足①②,则)(x f 的一个周期为4a ;(ii)若满足①③;则)(x f 的一个周期为||4b a -;(iii)若满足③④,则)(x f 的一个周期为||3b a -;(iv)若满足②⑤;则)(x f 的一个周期为||4c a +. 其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <,值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 6 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立若a=(20.2)·0.2(2),(12)f b n =·121(12),(1)4f n c og =·121(1)4f og ,则a,b,c 的大小关系是（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>7 ．（2012年山东理）(12)设函数f (x)=,g(x )=ax 2+bx 若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则下列判断正确的是（） A ．当a<0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2>0 B ．当a<0时, x 1+x 2>0, y 1+y 2<0 C ．当a>0时,x 1+x 2<0, y 1+y 2<0 D ．当a>0时,x 1+x 2>0, y 1+y 2>0 8 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）我们定义若函数)(x f 为D 上的凹函数须满足以下两条规则:(1)函数在区间D 上的任何取值有意义;(2)对于区间D 上的任意n 个值n x x x ,,,21 ,总满足)()()()(2121nx x x nf x f x f x f n n +++≥+++ ,那么下列四个图象中在]2,0[π上满足凹函数定义的是9 ．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）函数y=f(x),x∈D,若存在常数C,对任意的x l ∈D,仔在唯一的x 2∈D,使得C =,则称函数f(x)在D 上的几何平均数为C ．已知f(x)=x 3,x∈[1,2],则函数f(x)=x 3在[1,2]上的几何平均数为（）AB ．2C ．4D ． 10．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）对于函数(f x ,如果存在锐角θ使得()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转角θ,所得曲线仍是一函数,则称函数()f x 具备角θ的旋转性,下列函数具有角4π的旋转性的是（）A ．y =B ．ln y x =C ．1()2x y =D ．2y x =11．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件:①对于任意的x R ∈,都有(4)()f x f x +=;②对于任意的121212,,02,()();x x R x x f x f x ∈≤<≤<且都有③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称,则下列结论中正确的是（）A ．(4.5)(7)(6.5)f f f <<B ．(7)(4.5)(6.5)f f f <<C ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<D ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<12．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且[]0,2x ∈时,2()log (1)f x x =+,甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲:()31f =;乙:函数()f x 在[]6,2--上是减函数;丙:函数()f x 关于直线4x =对称;丁:若()0,1m ∈,则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-,其中正确的是（）A ．甲、乙、丁B ．乙、丙C ．甲、乙、丙D ．甲、丙二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）函数y = 1n|x-1|的图像与函数y=-2 cosπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于（）A ．8B ．6C ．4D ．2 14．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））对于正实数α,记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合:12,x x R ∀∈且21x x >,有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是（）A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈,则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>,则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈,则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠,则12()()f x M g x αα∈ 15．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知集合M={(x,y )|y f (x )=},若对于任意11(x ,y )M ∈,存在22(x ,y )M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={1(x,y )|y x=};②M={1(x,y )|y sin x =+}; ③M={2(x,y )|y log x =};④{(,)2}x M x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题 16．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知()f x 为R 上的偶函数,对任意x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+且当[]12,0,3x x ∈, 12x x ≠ 时,有1212()()0f x f x x x ->-成立,给出四个命题:①(3)0f = ② 直线6x =-是函数()y f x =的图像的一条对称轴③ 函数()y f x =在[]9,6--上为增函数 ④ 函数()y f x =在[]9,9--上有四个零点其中所有正确命题的序号为______________17．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））若函数)(x f 满足0,≠∈∃m R m ,对定义域内的任意)()()(,m f x f m x f x +=+恒成立,则称)(x f 为m 函数,现给出下列函数: ①xy 1=; ②x y 2=; ③x y sin =; ④nx y 1=其中为m 函数的序号是.(把你认为所有正确的序号都填上)18．（2009高考(山东理)）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=19．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）函数(x)f 的定义域为D,若存在闭区间[a,b]⊆D,使得函数f (x )满足:(1) f (x )在[a,b]内是单调函数;(2)f (x )在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为y=f (x )的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是_______ (只需填符合题意的函数序号) ①20f (x )x (x )=≥;②xf (x )e (x R )=∈; ③10f (x )(x )x =>;④2401xf (x )(x )x =≥+. 20．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如:函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数.给出下列命题:①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数; ②指数函数)(2)(R x x f x∈=是单函数;③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中的真命题是 ______________.(写出所有真命题的序号)21．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））具有性质:1()()f f x x=-的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:①1;y x x =-②1;y x x=+ ③,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中满足“倒负”变换的函数是________________.22．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）定义在R 上的函数()yf x =,若对任意不等实数12,x x 满足()()12120f x f x x x -<-,且对于任意的,x y R ∈,不等式()()22220f x x f y y -+-≤成立.又函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称,则当14x ≤≤时,yx的取值范围为_______________. 23．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()f x 的定义域为R ,若存在常数0m >,对任意R x ∈,有()f x m x ≤,则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数:①2()f x x =;②2()1x f x x =+;③()2xf x =;④()sin 2f x x =. 其中是F -函数的序号为_________________.24．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知函数()f x 在实数集R 上具有下列性质:①直线1x =是函数()f x 的一条对称轴;②()()2f x f x +=-;③当1213x x ≤<≤时,()()()21f x f x -⋅()210,x x -<则()2012f 、()2013f 从大到小的顺序为_______.25．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀,其中4AE =米,6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ,使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为_________平方米 .A MEPDCB N F三、解答题26．（2009高考(山东理)）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。

2014年高考理科数学试题分类汇编-导数-word版含答案

2014年高考数学试题汇编导数一．选择题1。

（2014大纲）曲线1x y xe -=在点（1，1）处切线的斜率等于（）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ． 2。

（2014浙江）已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f ( )A.3≤c B 。

63≤<c C 。

96≤<c D. 9>c C3。

（2014陕西)定积分1(2)x x e dx +⎰的值为（ ).2Ae + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4. （2014湖南）已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是（） A 。

56x π=B 。

712x π= C 。

3x π= D.6x π=5(2014山东）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）42（C)2（D ）46. (2014新课标II ）设曲线y=a x-ln(x+1)在点（0，0）处的切线方程为y=2x ，则a = A 。

0 B. 1 C 。

2 D. 3 【答案】 D..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+= 7. （2014江西）若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰( ）A 。

1- B.13- C 。

13D 。

1 【答案】B 【解析】设()1m f x dx=⎰，则2()2f x x m=+，()111123011()2()2233f x dx x f x dx dx x mx m m =+=+=+=⎰⎰⎰，所以13m =-.8。

2014高考数学真题——导数 (理)

【2014新课标I 理—第21题12分】设函数()xbe x ae x f x x1ln -+=，曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程为()21+-=x e y 。

（1）求b a ,；（2）证明：().1>x f【2014新课标II 理—第21题12分】已知函数()x ee xf xx2--=-。

（1）讨论()x f 的单调性；（2）设()()()x bf x f x g 42-=，当0>x 时，()0>x g ，求b 的最大值；（3）已知4143.124142.1<<，估计2ln 的近似值（精确到0.001）。

【2014大纲理—第22题12分】函数()()()11ln >+-+=a ax axx x f 。

（1）讨论()x f 的单调性；（2）设11=a ，()1ln 1+=+n n a a ，证明：2322+≤<+n a n n 。

【2014山东理—第20题13分】设函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x k x e x f x ln 22，（k 为常数，Λ71828.2=e 是自然对数的底数）。

（1）当0≤k 时，求函数()x f 的单调区间；（2）若函数()x f 在()2,1内存在两个极值点，求k 的取值范围。

【2014江苏—第19题16分】已知函数()xxee xf -+=，其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()1-+≤-m ex mf x在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在[)+∞∈,10x ，使得()()03003x x a x f +-<成立．试比较1-a e 与1-e a的大小，并证明你的结论．【2014江苏—第23题10分】已知函数()()0sin 0>=x xxx f ，设()x f n 为()x f n 1-的导数，n *∈N ．（1）求⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛222221πππf f 的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式224441=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππn n f nf 都成立．【2014安徽理—第18题12分】设函数()()3211x x x a x f --++=，其中0>a 。

山东省2014届理科一轮复习试题选编28：直线与圆(含解析)

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编28：直线与圆一、选择题1 ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是（）A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3[,)4ππ C ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B直线的斜截式方程为221111y x a a =--++,所以斜率为211k a =-+,即21tan 1a α=-+,所以1tan 0α-≤<,解得34παπ≤<,即倾斜角的取值范围是3[,)4ππ,选 B ． 2 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）在平面直角坐标系xoy 中,圆C的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =+上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是（）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53-【答案】A 因为圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,所以圆C 的圆心为(4,0),半径为1.因为由题意,直线2y kx =+上至少存在一点00(,2)A x kx +,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点;所以存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤. 因为min AC 即为点C 到直线2y kx =+,所以2≤,解得403k -≤≤.所以k 的最小值是43-,选A ． 3 ．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））在平面直角坐标系xoy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值为（）A ．2B ．43C ．23D ．3【答案】B4 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）若直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称,则,k b 的值分别为（）A ．1,42k b ==- B ．1,42k b =-= C ．1,42k b == D ．1,42k b =-=- 【答案】A 因为直线y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称,则y kx =与直线20x y b ++=垂直,且20x y b ++=过圆心,所以解得1,42k b ==-,选A ．5 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）在圆x y x 522=+内,过点(25,23)有n条弦的长度成等差数列,最小弦长为数列的首项1a ,最大弦长为n a ,若公差为d∈[61,31],那么n 的取值集合为（）A ．{4,5,6,7}B ．{4,5,6}C ．{3,4,5,6}D ．{ 3.4.5,6,7}【答案】A【解析】圆的标准方程为22525()24x y -+=,所以圆心为5(,0)2,半径52r =,则最大的弦为直径,即5n a =,当圆心到弦的距离为32时,即点(25,23)为垂足时,弦长最小为4,即14a =,所以由1(1)n a a n d =+-得,1541111n a a d n n n --===---,因为1163d ≤≤,所以111613n ≤≤-,即316n ≤-≤,所以47n ≤≤,即4,5,6,7n =,选A ． 6 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为,则实数a 的值为（）A ．0或4B ．1或3C ．-2或6D ．-1【答案】A 【解析】由圆的方程可知圆心坐标为(,0)a ,半径为2,因为弦AB的长为,所以圆心到直线的距离d ==.即圆心到直线20x y --=的距离d ,所以22a -=,解得4a =或0a =,选A ．7 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点,且,3=AB 则OB OA ⋅ 的值是（）A ．12-B ．12C ．34-D ．0【答案】A在三角形OAB 中,1cos 2OAB ∠==-,所以23OAB π∠=,所以11cos 11()22OA OB OA OB OAB ⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ,选A ．8 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知P 是直线:34110l x y -+=上的动点,P（）A ．PB是圆222210x y x y+--+=的两条切线,C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值是（）A B ．CD ．【答案】C【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=,圆心为(1,1)C ,半径为1r =.根据对称性可知四边形PACB 面积等于1222APC S PA r PA ∆=⨯==要使四边形PACB 面积的最小值,则只需PC最小,此时最小值为圆心到直线:34110l x y -+=的距离1025d =,所以四边形PACB 面积的最小值为2APC S ∆===,选C,9 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）若函数21m y x x n n =-+的图象在点1(0,)M n处的切线l 与圆22:1C x y +=相交,则点(,)P m n 与圆C 的位置关系是（）A ．圆内B ．圆内或圆外C ．圆上D ．圆外【答案】D10．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）在直角坐标系中,30y +-=的倾斜角是（）A ．6πB ．3πC ．65πD ．32π 【答案】D【解析】直线的斜截式方程为3y =+,即直线的斜率tan k α==,所以23πα=,选 D ． 11．（2013山东高考数学（理））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB的方程为（） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=【答案】A 【解析】由图象可知,(1,1)A 是一个切点,所以代入选项知,,B D 不成立,排除.又AB 直线的斜率为负,所以排除C,选A 12．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）若直线x-y=2被圆(x-a)2+y 2=4所截得的弦长为22,则实数a 的值为（） A ．-1或3 B ．1或3 C ．-2或6 D ．0或4 【答案】D 13．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，,则（）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥ 【答案】解: D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=有交点,则22111a b +1,≥.另解:设向量11(cos ,sin ),(,)a b ααm =n =,由题意知cos sin 1a bαα+=由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+ 14．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点,则实数a 取值范围是（）A ．[-3,-1]B ．[-1,3]C ．[-3,l ]D ．(-∞,-3] ⋃ [1.+∞)【答案】C 【解析】因为直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点,所以圆心(,0)a 到直线10x y -+=的距离+12d a ≤≤≤即，所以-3a 1.15．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）若点()n m ,在直线01034=-+y x 上,则22n m +的最小值是（）A ．2B ．22C ．4D ．32 【答案】C 16．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）若与向量(1,1)v =平行的直线l 与圆221x y +=交于（） A ．B 两点,则A B 最大值为（）A ．2B ．C ．4D ．【答案】A【解析】因为直线l 与向量(1,1)v =平行,所以直线的斜率为1,当直线与圆相交时,A B 最大值为直径2,所以选A ． 17．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行,则a 等于（） A ．1或-3 B ．-1或3 C ．1或3 D ．-1或3 【答案】A 【解析】因为直线2-=ax y 的斜率存在且为a ,所以(2)0a -+≠,所以01)2(3=++-y a x 的斜截式方程为3122y x a a =+++,因为两直线平行,所以32a a =+且122a ≠-+,解得1a =-或3a =,选A ．18．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知P(x,y)是直线)0(04>=++k y kx 上一动点,PA,PB 是圆C:0222=-+y y x 的两条切线, （） A ．B 是切点,若四边形PACB 的最小面积是2,则k 的值为（）A ．3B ．212 C ．22D ．2【答案】D 【解析】由圆的方程得22(1)1x y +-=,所以圆心为(0,1),半径为1r =,四边形的面积2S S PBC ∆=,所以若四边形PACB 的最小面积是2,所以S PBC ∆的最小值为1,而12S PBC r PB ∆=,即PB 的最小值为2,此时PC 最小为圆心到直线的距离,此时d ===,即24k =,因为0k >,所以2k =19．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）点()2,1P -为圆()22125x y -+=内弦AB 的中点,则直线AB 的方程为（）A ．10x y +-=B ．230x y +-=C ．30x y --=D ．250x y --= 【答案】C 20．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））直线1l :kx +(1-k )y -3=0和2l :(k -1)x +(2k +3)y -2=0互相垂直,则k =（）A ．-3或-1B ．3或1C ．-3或1D ．-1或3【答案】C【解析】若1=k ,直线3:1=x l ,52:2=y l ,满足两直线垂直.若1≠k ,直线21l l ，的效率分别为321,121+-=-=k k k k k k ,由121-=⋅k k 得,3-=k ,综上1=k 或3-=k ,选 C ．二、填空题21．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）直线y=x 的任意点P 与圆22102240x y x y +--+=的任意点Q 间距离的最小值为_______.【答案】2 圆的标准方程为22(5)(1)2x y -+-=,所以圆心为(5,1),半径为2r =.圆心到直线y x =的距离为51222d -==,所以PQ 的最小值为2222d r -=-=.22．（2010年高考（山东理））已知圆C 过点(1,0),且圆心在x 轴的正半轴上,直线l:1y x =-被圆C 所截得的弦长为22,则过圆心且与直线l 垂直的直线方程为_______________.【答案】x+y-3=0【解析】由题意,设所求的直线方程为x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),则由题意知:22()+2=(a-1)2,解得a=3或-1,又因为圆心在x 轴的正半轴上,所以a=3,故圆心坐标为 (3,0),因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有3+0+m=0,即m=-3,故所求的直线方程为 x+y-3=0. 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解决直线与圆问题的能力. 23．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）设点(1,0)A ,(2,1)B ,如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点,那么22a b +的最小值为_________【答案】15.24．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）如图放置的边长为2的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点),(y x P 的轨迹方程是)(x f y =,则)(x f y =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围成的区域的面积为______.【答案】44π+【解析】由于本题是求两个相邻零点问的图象与x 轴所围成的区域的面积,所以为了简便,可以直接将P 点移到原点,开始运动,如图所示,当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段相连的圆弧,它与x 轴围成的区域面积为2221112[2222]244444ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+（）.。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编19：等差与等比的综合问题(学生版)

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编19：等差与等比的综合问题一、选择题 1 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0,等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数.若d a =1,,21d b =且321232221b b b a a a ++++是正整数,则q 的值可以是（）A ．71 B ．-71 C ．21 D ．-21 2 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知数列{},{}n n a b 满足113a b ==,113n n n nb a a b ++-==,n N +∈,若数列{}n c 满足n n a c b =,则2013c = （）A ．20129B ．201227C ．20139D ．2013273 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量()()1,,,1,n n n n c a a b n n n N *+==+∈ .下列命题中真命题是（）A ．若n N *∀∈总有n n c b ⊥成立,则数列{}n a 是等比数列B ．若n N *∀∈总有//n n c b 成立,则数列{}n a 是等比数列C ．若n N *∀∈总有n n c b ⊥成立,则数列{}n a 是等差数列D ．若n N *∀∈总有//n n c b 成立,则数列{}n a 是等差数列二、填空题 4 ．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知等差数列{}n a 中,有11122012301030a a a a a a ++++++=成立.类似地,在正项等比数列{}n b 中,有_____________________成立.三、解答题 5 ．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知数列{}n a 满足13a =,*133()n n n a a n N +-=∈,数列{}n b 满足3nn na b =. (1)证明数列{}n b 是等差数列并求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列}{n a 的前n 项和n S .6 ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知数列{n a }的前n 项和1122n *n n S a ()(n N )-=--+∈,数列{n b }满足n b =2n n a .(I)求证数列{n b }是等差数列,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)设2n n n c log a =,数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ,求满足2521*n T (n N )<∈的n 的最大值.7 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）在等差数列{}n a 中,345842,30a a a a ++==.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n b满足2n a n b λ+=+(R λ∈),则是否存在这样的实数λ使得{}n b 为等比数列;(3)数列{}n c 满足112,1,2n n n n n c T a n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数为数列{}n c 的前n 项和,求2n T .8 ．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）设等比数列{}n a 的前项和为n S ,已知122n n a S +=+,(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)在n a 与1n a +之间插入n 个数,使这2+n 数组成公差为n d 的等差数列,求1{}nd 的前n 项和n T .9 ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-,等差数列{}n b 满足11b a =,43b S =.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设11n n n c b b +=,数列{}n c 的前n 项和为n T ,问n T >10012012的最小正整数n 是多少?10．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）等差数列}{n a 中,9,155432==++a a a a .(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设213+=n a n b ,求数列n n a 1{,b }2+的前n 项和n S .11．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））数列{a n }的前n 项和为1,2(1)n n n S S n +=-+,等差数列{}n b 的各项为正实数,其前n 项和为31122339,,,n T T a b a b a b =+++,且又成等比数列. (I)求数列{a n }、{}n b 的通项公式;(2)若.n n n c a b =,当n≥2时,求数列{}n c 的前n 项和A n .12．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知等差数列{}n a 的首项13,0a d =≠公差,其前n 项和为n S ,且1413,,a a a 分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项. (I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(II)证明1211113.34n S S S ≤++⋅⋅⋅+< 13．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设等比数列{}n a 的前n 项和为,415349,,,n S a a a a a =-成等差数列.(I)求数列{}n a 的通项公式;(II)证明:对任意21,,,k k k R N S S S +++∈成等差数列.14．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,且112a b ==,454b =,12323a a a b b ++=+.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式(2)数列{}n c 满足n n n c a b =,求数列{}n c 的前n 项和n S .15．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知{}n a 是公差为2的等差数列,且317111a a a +++是与的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令()12n n na b n N *-=∈,求数列{}n b 的前n 项和Tn. 16．（2012年山东理）(20)在等差数列{}n a 中,345984,73a a a a ++==.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)对任意*m ∈N ,将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为{}n b ,求数列{}n b 的前m 项和m S .17．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知数列{}n a 的前n 项和为1,3n n n S a S n +=-+且,1,2n a ∈=+N .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项; (Ⅱ)设()2n n nb n S n =∈-++N 的前n 项和为n T ,证明:n T <34. 18．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知{}n a 是公差不为零的等差数列,11391,,,a a a a =成等比数列.求: (I)数列{}n a 的通项公式; (II)数列{}2an n a ⋅的前n 项和n S19．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）设数列{}n a 为等差数列,且145=a ,720a =,且132(2,)n n S S n n N -=+≥∈;, (Ⅰ(Ⅱ为数列{}n c 的前n 项和. T n <m 恒成立对N n *∈,求m 的最小值.20．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知数列n a 满足222121na a a n n =+⋅⋅⋅++- (Ⅰ)求数列{}n a 的通项; (Ⅱ)若nn a nb =,求数列{}n b 的前n 项的和n S .21．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）数列{}n a 的前n 项的和为n S ,对于任意的自然数0n a >,()241n n S a =+(Ⅰ)求证:数列{}n a 是等差数列,并求通项公式 (Ⅱ)设3nn na b =,求和12n n T b b b =+++ 22．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知122(n n a S n +=+∈N *).(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数,使这n+2个数组成公差为n d 的等差数列,求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T . 23．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ,首项为1a ,且n n S a ,,21等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若n b n a )21(2=,设n n n a b c =,求数列{}n c 的前n 项和n T .24．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）在等比数列}{n a 中,412=a ,512163=⋅a a .设22122log 2log 2nn n a a b +=⋅,n T 为数列{}n b 的前n 项和.(Ⅰ)求n a 和n T ;(Ⅱ)若对任意的*∈N n ,不等式n n n T )1(2--<λ恒成立,求实数λ的取值范围.25．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,121n n a S +=+*()n N ∈,等差数列{}n b 满足 353,9b b ==.(1)分别求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)设*22()n n n b c n N a ++=∈,求证113n n c c +<≤.26．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,365,36a S ==,(1)求数列{}n a 的通项公式;(2) 设2n an b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .27．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））设数列{}n a 为等差数列,且9,553==a a ;数列{}n b 的前n 项和为n S ,且2=+n n b S .(I)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (II)若()+∈=N n b a c nnn ,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求n T .28．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,且222n n S a n =+.(Ⅰ)求,n n a S ;(Ⅱ)若2221,,k k k a a a -+成等比数列,求k 的值及公比.山东省2014届理科数学一轮复习试题选编19：等差与等比的综合问题参考答案一、选择题1. C 【解析】由题意知21312,23a a d d a a d d =+==+=,22222131,b b q d q b b q d q ====,所以2222221232222212349141a a a d d d b b b d d q d q qq++++==++++++,因为321232221b b b a a a ++++是正整数,所以令2141t q q=++,t 为正整数.所以2114t q q ++=,即21014t q q ++-=,解得5613t q +-+===,因为t 为正整数,所以当8t =时,12122q -+===.符合题意,选C2. D3. D 【解析】由//nn c b 得,1(1)n n na n a +=+,即11n n a a n n +=+,所以11n n a n a n ++=,所以1n a na =,故数列{}n a 是等差数列,选D.二、填空题4. 由算术平均数类比几何平均数,容易得出30302110201211b b b b b b =. 三、解答题5. 解(1)证明:由3n n n a b =,得1113n n n a b +++=, ∴1111333n n n n n n a a b b +++-=-=所以数列{}n b 是等差数列,首项11b =,公差为13∴121(1)33n n b n +=+-=(2)13(2)3n n n n a b n -==+⨯n n a a a S +++=∴ 2113)2(3413-⨯+++⨯+⨯=n n ----① n n n S 3)2(343332⨯+++⨯+⨯=∴ -------------------②①-②得n n n n S 3)2(33313212⨯+-++++⨯=--n n n 3)2(3331212⨯+-+++++=-n n n 3)2(233⨯+-+=23)2(433nn n n S +++-=∴6. 解:(Ⅰ)在2)21(1+--=-n n n a S 中,令n=1,可得1121a a S n =+--=,即211=a . 当2≥n 时,2)21(211+--=---n n n a S ∴111)21(---++-=-=n n n n n n a a S S a ,∴11)21(2--+=n n n a a ,即12211+=--n n n n a a .∵n n n a b 2=,∴11+=-n n b b ,即当2≥n 时,11=--n n b b . 又1211==a b ,∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.于是n n n a n n b 21)1(1==⋅-+=,∴nn n a 2= (Ⅱ)∵nn a nc 2log ==n n =2log 2, ∴22211(2)2n n+==-c c n n+n n+, ∴)211()1111()5131()4121()311(+-++--++-+-+-=n n n n T n =2111211+-+-+n n 由n T 2125<,得2111211+-+-+n n 2125<,即42132111>+++n n , =)(n f 2111+++n n 单调递减,∵4213)5(,209)4(==f f , ∴n 的最大值为47. 解:(1)因为{}n a 是一个等差数列,所以34544342,14a a a a a ++==∴=.设数列{}n a 的公差为d ,则84416d a a =-=,故4d =;故4(4)42n a a n d n =+-=-(2)29n a n n b λλ+=+=+.假设存在这样的λ使得{}n b 为等比数列,则212n n n b b b ++=⋅,即122(9)(9)(9)n n n λλλ+++=+⋅+,整理可得0λ=. 即存在0λ=使得{}n b 为等比数列(3)∵12,23,n n n c n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数,∴242221(223)2(243)22(223)n n T n -=+⨯-++⨯-++++⨯- 242212224(12)3n n n -=++++++++-214(1)414321423n n n n n n n -+-=+⨯-=+-- 8. 解:(Ⅰ)由122(n n a S n +=+∈ N +)得122(n n a S n -=+∈N +,2n ≥), 两式相减得:12n n n a a a +-=, 即13(n n a a n +=∈N +,2n ≥),∵{}n a 是等比数列,所以213a a = ; 又2122,a a =+则11223a a +=,∴12a =, ∴132-⨯=n n a(Ⅱ)由(1)知132-⨯=n n a ,则nn a 321⨯=+∵1(1)n n n a a n d +=++ , ∴1341+⨯=-n d n n∵123111n T d d d =+++1nd + ∴1210341344343342-⨯+++⨯+⨯+⨯=n n n T ① nn n n n T 34134344343342311321⨯++⨯++⨯+⨯+⨯=- ② ①-②得nn n n T 3413413413413413423213210⨯+-⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=-n n n 3413113113141211⨯+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=-n n 385285⨯+-= ∴1316521615-⨯+-=n n n T 9. 解:(1)当1n =时,11121a S a ==-,∴11a =当2n ≥时,111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-, 即12nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项,2为公比的等比数列,∴12,21n n n n a S -==- 设{}n b 的公差为,d 111b a ==,4137b d =+=,∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-(2)111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ 由n T >10012012,得21n n +>10012012,解得n >100.1∴n T >10012012的最小正整数n 是10110.解:(Ⅰ)设数列{}由题意得首项的公差为,1a d a n且⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==++941563915115432d a d a a a a a 即解得⎩⎨⎧==211d a所以数列{}12-=n a a n n 的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得n n n ab 3231==+所以n n n n b a3..21=+所以+++=323.33.23.11n S 13.+n n两式相减得++++-=433333(22n S 13.)3+++n n n 10 分43).12(323..1233.31313111+++-+=-+=+---=n n n n n n S n n n 即）（）（11.12.13.14. 【解析】:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q由341b b q =,得354272q ==,从而3q = 因此11132--⋅=⋅=n n n q b b又123223361824a a a a b b ++==+=+=,28a ∴= 从而216d a a =-=,故466)1(1-=⋅-+=n n a a n (Ⅱ)13)23(4-⋅-⋅==n n n n n b a c令122103)23(3)53(373431--⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n Tn n n n n T 3)23(3)53(37343131321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=-两式相减得13)13(3313)23(333333331211321--⨯+=⋅--⨯++⨯+⨯+⨯+=---n nn n n Tnn 3)23(⋅--n 1n 9(31)13n 2)32--=+--⋅（73(67)44n n n T -∴=+,又n n n S 4T 7(6n 7)3==+-⋅15.16. (20)解:(Ⅰ)因为{}n a 是一个等差数列,所以3454384a a a a ++==,即428a =. 所以,数列{}n a 的公差9473289945a a d --===-, 所以,*4(4)289(4)98()n a a n d n n n =+-=+-=-∈N (Ⅱ)对*m ∈N ,若 299m m n a <<,则 298998m m n +<<+,因此 121919m m n --+≤≤, 故得 2199m m m b -=-(lb ylfx) 于是 123...m m S b b b b =++++35212121(999...9)(199...9)9(181)19181199109180m m m m m m --+=++++-++++⨯--=----⨯+=17.解:(Ⅰ)()113,213n n n n a S n n a S n +-=-+≥=--+ 时， ,,12,111-=-=-∴++n n n n n a a a a a 即 112(1),(2,),n n a a n n +∴-=-≥∈N* 2221(1)232n n n a a --∴-=-=∙=n a ⎩⎨⎧≥+∙=-2,1231,22n n n (Ⅱ)113322n n n S a n n -+=+-=∙+- ,123-∙=∴n n nb⎪⎭⎫⎝⎛++++=∴-1222322131n n n T⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n n T 2232221312132 相减得,⎪⎭⎫⎝⎛-++++=-n n n n T 22121211312112 ,n n n nT 23221134∙-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴﹤34∴结论成立.18.解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,由题设知0d ≠,由11391,,,a a a a =成等比数列,得1218112d dd++=+ 解得1,0d d ==(舍去).故{}n a 的通项公式为11)1=+(n a n n -⨯=(Ⅱ)由(I)知22n a n n a n ⋅=⋅,1231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ , (1)23412122232(1)22n n n S n n +⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ,(2) (1)(2)-,得123122222n n n S n +-=++++-⨯所以11222.12n n n S n ++--=-⨯-从而1(1)2 2.=nS n +-⨯+19.∵T n <m 恒成立对N n *∈∴2≥m ∴m 的最小值是220.解:(Ⅰ)2111==a n 时222213221na a a a n n =+++- (1)21222123221-=+++--n a a a a n n (2) (1)-(2)得2121=-n n a 即n n a 21=(n 2≥),又211=a 也适合上式∴n n a 21=21.解 :(1)令(2)-(1)是等差数列(2)---①---②①-②所以22. (1)由122(n n a S n +=+∈ Z *)得122(n n a S n -=+∈ Z *,2n ≥),两式相减得:12n n n a a a +-=, 即13(n n a a n +=∈ Z *,2n ≥),∵{}n a 是等比数列,所以213a a = ; 又2122,a a =+则11223a a +=,∴12a =, ∴132-⨯=n n a(2)由(1)知132-⨯=n n a ,则n n a 321⨯=+ ∵1(1)n n n a a n d +=++ ,∴1341+⨯=-n d n n∵123111n T d d d =+++1nd +∴1210341344343342-⨯+++⨯+⨯+⨯=n n n T ① nn n n n T 34134344343342311321⨯++⨯++⨯+⨯+⨯=- ② ①-②得nn n n T 3413413413413413423213210⨯+-⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=- n n n 3413113113141211⨯+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=-nn 385285⨯+-= ∴1316521615-⨯+-=n n n T 23.解(1)由题意知0,212>+=n n n a S a当1=n 时,21212111=∴+=a a a当2≥n 时,212,21211-=-=--n n n n a S a S两式相减得1122---=-=n n n n n a a S S a整理得:21=-n n a a∴数列{}n a 是以21为首项,2为公比的等比数列.211122212---=⨯=⋅=n n n n a a(2)42222--==n b n n a∴n b n 24-=,nn n n n nn a b C 28162242-=-==-nn n nn T 28162824282028132-+-⋯+-++=- ① 13228162824202821+-+-+⋯++=n n n n n T ② ①-②得1322816)212121(8421+--+⋯++-=n n n nT 1112816)211442816211)2112184+-+----=----⋅-=n n n nn （（ n n 24= .28n n n T =∴24.解:(Ⅰ)设}{n a 的公比为q ,由5121161552263==⋅=q q a a a 得21=q , ∴n n n q a a )21(22=⋅=-22211211()2122()2log 2log 2=log 2log 21111()(21)(21)22121n n nn n a a b n n n n -++=⋅⋅==--+-+∴)1211215131311(21+--++-+-=n n T n 111)22n 121nn =-=++（ (Ⅱ)①当n 为偶数时,由2-<n T n λ恒成立得,322)12)(2(--=+-<nn n n n λ恒成立,即m in )322(--<nn λ, 而322--n n 随n 的增大而增大,∴2=n 时0)322(m in =--nn ,∴0<λ; ②当n 为奇数时,由2+<n T n λ恒成立得,522)12)(2(++=++<nn n n n λ恒成立,即m in )522(++<n n λ,而95222522=+⋅≥++n n n n ,当且仅当122=⇒=n nn 等号成立,∴9<λ综上,实数λ的取值范围0∞（-，）25.解:(1)由121n n a S +=+----① 得121n n a S -=+----②,①-②得112()n n n n a a S S +--=-,13n n a a +∴=13n n a -∴=;5326,3b b d d ∴-==∴= 36n b n ∴=-(2)因为 1223,3n n n a b n +++==所以 1333n n nn nc+==所以032111<-=-++n n n nc c1113n n c c c +<<⋅⋅⋅<=所以113n n c c +<≤26.解: (1)设{}n a 的公差为d , 36535a S =⎧∴⎨=⎩;则1125656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩即112556a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,*12(1)21,()n a n n n N ∴=+-=-∈(2) 2122na n nb -==135212222n n T -∴=++++2(14)2(41)143n n --==-27.28.解:(Ⅰ)∵{}n a 为其等差数列,设公差为d1n =,则有11112a a =+,∴12a = 2n =,有122142a a a +=+,∴24a =,∴21422d a a =-=-=∴2+2(1)2n a n n =-=,(22)(1)2n n n S n n +==+ (Ⅱ)若2221,,k k k a a a -+成等比数列,则有22221k k k a a a -+= 即24(22)22(21)k k k -=⋅+,整理得22940k k -+=, 解得4k =或12k =(舍) ∴469,,a a a 成等比数列,6432a q a ==。

2014年高考数学真题解析之导数真题(理科)

（Ⅰ）当 k 0 时，求函数 f ( x ) 的单调区间；（Ⅱ）若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 内存在两个极值点，求 k 的取值范围. 5．（本小题满分 12 分）已知函数（1）当时，求（2）若
. Байду номын сангаас极值；
1 在区间 (0, ) 上单调递增，求 b 的取值范围. 3
6．设函数 f x
f ( x ) 1 (1 a ) x x 2 x 3 ,其中 a 0 .
f ( x) 在其定义域上的单调性； f ( x) 取得最大值和最小值时的 x 的值.
*
（2）当 x [0,1] 时，求
17．设实数 c 0 ，整数 p 1 ， n N . （1）证明：当 x 1 且 x 0 时， (1 x ) 1 px ；
试题解答：（Ⅰ） g ( x ) e 2ax b, g ( x ) e 2a
变形为 x ln x xe x
f ( x) g ( x) 的充分不必要条件，意即当 f ( x) g ( x) 成立，最值之间不一定有上述关系．
试题解析：（I）函数的定义域为 (0, ) ． f ' ( x ) ae x ln x 由题意可得， f (1) 2, f (1) e ．故 a 1, b 2 ．
（1）若 b （2）若 b
1 ，求 a2 , a3 及数列 {an } 的通项公式； 1 ，问：是否存在实数 c 使得 a2 n c a2 n 1 对所有 n N * 成立？证明
．已知函数 y = f ( x) 有两个零点 x1 , x2 ，
你的结论. 9．已知函数且 x1 < x2 ．（1）求 a 的取值范围；（2）证明

2014年高考数学第一轮复习：导数及其应用-推荐下载

2014 年高考数学第一轮复习：导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，设 D 是图中边长为 4 的正方形区域， E 是 D 内函数 y x2 图象下方的点构成的区域．向 D 中随机投一点，则该点落入 E 中的概率为( )
令 '(x) 0,得x或 0 x 2 a .
x
1)dx
若 a 2 ， (x) 0 ，则(x) 在 R 上单调递减，不存在极大值，舍去；
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

浙江省2014届理科数学复习试题选编28：空间角和空间距离(学生版)

浙江省2014届理科数学复习试题选编28：空间角和空间距离一、选择题1 ．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）在平行四边形ABCD中,22,60BC AB B ==∠=o ,点E 是线段AD 上任一点(不包含点D ),沿直线CE 将△CDE 翻折成△E CD ',使'D 在平面ABCE 上的射影F 落在直线CE 上,则'AD 的最小值是（）A B C ．2D 2 ．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1在空间直角坐标系中移动,但保持点（）A ．B 分别在X 轴、y 轴上移动,则点C 1到原点O 的最远距离为（）A ．B ．C ．5D ．43 ．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）正方体1111ABCD A B C D -中,1CC 与平面1A BD所成角的余弦值为（）A B C ．23D 4 ．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,N M ,是对角线1AC 上的两点,动点P 在正方体表面上且满足||||PN PM =,则动点P 的轨迹长度的最大值为（） A ．3B ．23C ．33D ．65 ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图所示,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 为1DD 上一点,且131DD DE =,F 是侧面11C CDD 上的动点,且//1F B 平面BE A 1,则F B 1与平面11C CDD 所成角的正切值构成的集合是（）A ．}23{B ．}1352{C ．}22323|{≤≤m mD ．}231352|{≤≤m m6 ．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版））已知四面体A BCD -中,P为棱AD 的中点,则过点P 与侧面ABC 和底面BCD 所在平面都成60的平面共有(注:若二面角l αβ--的大小为120,则平面α与平面β所成的角也为60)（） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．无数个7 ．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知正四面体A BCD -中,P 为AD 的中点,则过点P 与侧面ABC 和底面BCD 所在平面都成 60的平面共有(注:若二面角l αβ--的大小为120,则平面α与平面β所成的角也为 60)（） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．无数个非选择题部分(共100分)8 ．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）如图ABC ∆是等腰直角三角形,其中90A ∠=︒,且,30DB BC BCD ⊥∠=︒,现将ABC ∆折起,使得二面角A BC D --为直角,则下列叙述正确的是①0BD AC ⋅=; ②平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直;1C （第10题图）ABCDE1A 1B 1D③异面直线BC 与AD 所成的角为60︒;④直线DC 与平面ABC 所成的角为30︒ （） A ．①③ B ．①④ C ．①③④ D ．①②③④9 ．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知12,F F 成120 角,且12,F F 的大小分别为1和2,则有（）A ．13,F F 成90 角B ．13,F F 成150 角C ．23,F F 成90 角D ．23,F F 成60 角10．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为06011．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与截面BB 1D 1D所成的角是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题12．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题）如图,斜边长为4的直角ABC ∆,=90B ∠ ,60A ∠= 且A 在平面α上,B ,C 在平面α的同侧,M 为BC 的中点.若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形''C AB ∆,则M 到平面α的距离的取值范围是____.13．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）在二面角βα--l 中,,,,,βα⊂⊂∈∈BD AC l B l A 且,,l BD l AC ⊥⊥已知,1=AB 2==BD AC ,5=CD , 则二面角βα--l 的余弦值为___________14．（浙江省宁波一中2013届高三12月月考数学（理）试题）正四面体S —ABC 中,E 为SA 的中点,F为ABC ∆的中心,则直线EF 与平面ABC 所成的角的正切值是___________________. 15．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）在三棱锥S-ABC 中,△ABC 为正三角形,且A 在面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心,又二面角H-AB-C 为300,则SAAB=________; 16．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别为线段AD ,BC 上的点,∠ABE =20°,∠CDF =30°.将△ABE 绕直线BE 、△CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周,则在所有旋转过程中,直线AB 与直线DF 所成角的最大值为_________.17．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）1ABC ∆和2ABC ∆是两个腰长均为 1 的等腰直角三角形,当二面角12C AB C --为60 时,点1C 和2C 之间的距离等于 __________.(请写出所有可能的值)三、解答题18．（浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1AC (如图2). (Ⅰ)求证:1A D ⊥平面BCED ;(Ⅱ)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.CDF19．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）如图,平面ABCD ⊥平面ADEF ,其中ABCD为矩形,ADEF 为梯形, AF ∥DE ,AF ⊥FE ,AF =AD =2 DE =2.(Ⅰ) 求异面直线EF 与BC 所成角的大小;(Ⅱ) 若二面角A-BF-D 的平面角的余弦值为13,求AB 的长.20．（浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷）如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1. (I)证明:EM⊥BF;(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.（第20题图）(第20题图)21．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）如图,AB 为圆O 的直径,点E 、F 在圆O 上,EF AB //,矩形ABCD 所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直.已知2=AB ,1=EF .(Ⅰ)求证:平面⊥DAF 平面CBF ;(Ⅱ)求直线AB 与平面CBF 所成角的大小;(Ⅲ)当AD 的长为何值时,平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60 ?22．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）如图,一个正ABC '∆和一个平行四边形ABDE 在同一个平面内,其中8AB BD AD ==，AB DE ，的中点分别为F G ，. 现沿直线AB 将ABC '∆翻折成ABC ∆,使二面角C AB D --为120︒,设CE 中点为H . (Ⅰ) (i)求证:平面//CDF 平面AGH ; (ii)求异面直线AB 与CE 所成角的正切值; (Ⅱ)求二面角C DE F --的余弦值.23．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）如图:在直三棱柱111ABC A B C -中,1AB AC ==,90BAC ∠= .(Ⅰ)若异面直线1A B 与11B C 所成的角为60 ,求棱柱的高h ;(Ⅱ)设D 是1BB 的中点,1DC 与平面11A BC 所成的角为θ,当棱柱的高h 变化时,求sin θ的最大值.24．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题）如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面A,AD AB ⊥,CD AC ⊥ ,︒=∠60ABC ,BC AB PA == ,E 是PC 的中点.(Ⅰ)证明:CD AE ⊥; (Ⅱ)证明:PD ⊥平面ABE ; (Ⅲ)求二面角A PD C --的正切值.25．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）如图,ABC∆中,90,1,B AB BC D E ∠== 、两点分别在线段AB AC 、上，满足,(0,1)AD AEAB ACλλ==∈.现将ABC ∆沿DE 折成直二面角A DE B --. (1)求证:当12λ=时,ADC ABE ⊥面面;(2)当(0,1)λ∈时,二面角E AC D --的大小能否等于4π?若能,求出λ的值;若不能,请说明理由. ABCDPE26．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图,在三棱锥ABCP -中,22,4======BC AB AC PC PB PA(I)求证:平面ABC ⊥平面APC(II)若动点M 在底面三角形ABC 上,二面角M PA C --的余弦值为322,求BM 的最小值.27．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）如图,在梯形ABCD中,//,,60AB CD AD CD CB a ABC ===∠=︒,平面ACFE ⊥ 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,AE a =,点M 在线段EF 上.(1)求证:BC ⊥平面ACFE ;(2)求二面角B EF D --的余弦值.ABCDEA B CD E28．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形,其重心为G 点, E 是线段1BC 上一点,且113BE BC =.(1)求证:GE //侧面11AA B B ;(2)求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值; (3)在直线．．AG 上是否存在点T ,使得AG T B ⊥1?若存在,指出点T 的位置;若不存在,说明理由.29．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）如图:在多面体EF-ABCD 中,四边形ABCD 是平行四边形,△EAD 为正三角形,且平面EAD ⊥平面ABCD,EF∥AB, AB=2EF=2AD=4,060=∠DAB .(Ⅰ)求多面体EF-ABCD 的体积;(Ⅱ)求直线BD 与平面BCF 所成角的大小.30．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）如图,在长方形ABCD中,2=AB ,1=AD ,E 为DC 的中点,现将DAE ∆沿AE 折起,使平面DAE ⊥平面ABCE , 连DB ,DC ,BE.第20题图(Ⅰ)求证:BE ⊥平面ADE ; (Ⅱ)求二面角C BD E --的余弦值.31．（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）如图,直角梯形ABCD有EC=FD=2.(I )求证:AD 丄B F :(II )若线段EC 上一点M 在平面BDF 上的射影恰好是BF 的中点N,试求二面角 B-MF-C 的余弦值.32．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版））如图,在矩形ABCD 中,21AB ,BC ,E ==为边AB 上一点,以直线EC 为折线将点B 折起至点,P 并保持PEB ∠为锐角,连接,,,PA PC PD 取PD 中点F ,若有//AF 平面.PEC (I)求线段AE 的长;(II)当60PEB ∠=时(i)求证:平面PEC ⊥平面CDAE ;(ii)求平面PEC 与平面PAD 所成角的余弦值.ACBAB（第20题）33．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）如图,1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体,四棱锥1111P A B C D -中,P ∈平面11DCC D,11PC PD ==. C1C A第20题(Ⅰ)求证:平面11PA B 平面11ABC D ;(Ⅱ)求直线1PA 与平面11ADD A 所成角的正切值.34．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,已知长方形ABCD中,1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起,使得平面⊥ADM 平面ABCM .(1)求证:BM AD ⊥(2)点E 是线段DB 上的一动点,当二面角D AM E --大小为3π时,试确定点E 的位置.35．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）如图,已知ABCD 是边长为1的正方形,AF ⊥平面ABCD ,CE ∥AF ,)1(>=λλAF CE . (Ⅰ)证明:BD ⊥EF ;(Ⅱ)若AF =1,且直线BE 与平面ACE 所成角的正弦值为1023,求λ的值.36．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）如图,底角为060的等腰梯形ABFE 垂直于矩形ABCD ,1,2==EF AB . (1)求证:平面⊥ADF 平面BCF ;(2)当AD 长为2时,求二面角A EF D --的余弦值的大小.A37．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ABC=60°,PA=AB=BC,E 是PC 的中点.(Ⅰ)证明:CD ⊥AE;(Ⅱ)证明:PD⊥平面ABE;(Ⅲ)求二面角A-PD-C 的正切值.38．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版））已知四棱锥ABCD P -,⊥PA 底面ABCD ,AC AD AB BC AD ,,//⊥与bd 交于点O ,又,6,32,2,3====BC AB AD PA(Ⅰ) 求证:⊥BD 平面PAC ;(Ⅱ)求二面角A PB O --的余弦值.39．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）如图,斜三棱柱111C B A ABC -,已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且∠BCA =90°,∠160B BC = ,1BB BC ==2,若二面角C B B A --1为30°,(Ⅰ)证明C C BB AC 11平面⊥及求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值; (Ⅱ)在平面B B AA 11内找一点P,使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥,并求P 到平面C BB 1距离40．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD为矩形,且1PA AD ==,2AB =,120,90PAB PBC ︒︒∠=∠=,(Ⅰ)平面PAD 与平面PAB 是否垂直?并说明理由;(Ⅱ)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值.DCBAP41．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCDA -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.ABC11 1A C B42．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）如图,已知四棱锥ABCDP -中,⊥PA 平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,90DAB ABC ∠=∠=︒,E 是线段PC 上一点,PC ⊥平面BDE . (Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC(Ⅱ)若4PA =,2AB =,1BC =,求直线AC 与平面PCD 所成角的正弦值.43．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）(本小题满分14分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E 分别是AC,AB 上的中点,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,作A 1F⊥CD,垂足为F,如图2. (1)求证:DE∥平面A 1CB; (2)求证:A 1F⊥BE;(3)若∠A=45°,AC=2,在线段CD 上是否存在点F,使得二面角A 1-BE-F 为45°.若存在,则指出点F 的位置,若不存在,请说明理由.44．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题）如图,在三棱锥ABC P -中,直线⊥PA 平面ABC ,且︒=∠90ABC ,又点Q ,M ,N 分别是线段PB ,AB ,BC 的中点,且点K 是线段MN 上的动点.ABDPQM（第20题图）(Ⅰ)证明:直线//QK 平面PAC ;(Ⅱ)若BC AB PA ===8,且二面角M AK Q --的平面角的余弦值为9,试求MK 的长度.KQ NMPCBA45．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图,边长为4的正方形ABCD 所在平面与正ΔPAD 所在平面互相垂直,M 、Q 分别为PC 、AD 的中点. (1)求证:PA ∥平面MBD ; (2)求二面角P -BD -A 的余弦值;(3)试问:在线段AB 上是否存在一点N ,使得平面PCN ⊥平面PQB ,若存在,试指出点N 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.PABMQDC（第20题图）46．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）在四棱锥P ABCD-中,AB //CD ,AB AD ⊥,4,2AB AD CD ===,PA ⊥平面ABCD ,4PA =.(Ⅰ)设平面PAB 平面PCD m =,求证:CD //m ; (Ⅱ)求证:BD ⊥平面PAC ;(Ⅲ)设点Q 为线段PB 上一点,且直线QC 与平面PAC,求PQ PB的值. PDCBA47．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）如图,在△ABC中,︒=∠90C ,a BC AC ==,点P 在AB 上,BC PE //交AC 于E ,AC PF //交BC 于F .沿PE 将△APE 翻折成△PE A ',使平面⊥PE A '平面ABC ;沿PF 将△BPF 翻折成△PF B ',使平面⊥PF B '平面ABC . (Ⅰ)求证://'C B 平面PE A '. (Ⅱ)设λ=PBAP,当λ为何值时,二面角P B A C --''的大小为︒60?48．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版））如图,在梯形ABCD中,//A B C D ,AD AB ⊥,4AD =.点P 在平面ABCD 上的射影为点O ,且PA P D ==,二面角P A D B--为45 . (Ⅰ)求直线O A 与平面PAB 所成角的大小; (Ⅱ)若8A B B P +=,求三棱锥P A B D -的体积.OPDCBA49．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）如图,在四边形ABCD中,4==AD AB ,7==CD BC ,点E 为线段AD 上的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC (点D 与点P 重合),使得平面PAC ⊥平面ABCE ,连接PA ,PB . (Ⅰ)证明:⊥BD 平面PAC ;(Ⅱ)若︒=∠60BAD ,且点E 为线段AD 的中点,求二面角C AB P --的大小.50．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题）BF PAF C'B 'A E（第20题）已知四棱锥ABCD P -,⊥PA 底面ABCD ,AD AB BC AD ⊥，∥,AC 与BD 交于点O ,又3=PA ,6,32,2===BC AB AD .(1)求证: ⊥BD 平面PAC ;[ (2)求二面角A PB O --的余弦值.51．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知矩形ABCD 中,AB= 2, AD = 5.E ,F 分别在A D,B C 上. 且AE =1, BF = 3,沿EF 将四边形AEFB 折成四边形B EF A '',使点B '在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上.(I)求证:D A '//平面FC B ' (II)求二面角A '-DE-F 的大小.浙江省2014届理科数学复习试题选编28：空间角和空间距离参考答案一、选择题 1. A 2. D 3. D 4. B 5. C6. B 提示:设平面ABC 的法向量为a ,平面BCD 的法向量为b,因为二面角A BC D --的平面角的余弦值为13,即平面角大约为71 ,所以过点P 与法向量,a b 都成60的向量有4个,所以过点P 与侧面ABC 和底面BCD 所在平面都成60的平面共有4个.7. B 8. 【答案】B解析:易证BD ABC ⊥面,则AC ABD ⊥面,到此很容易证明①④正确,②错误,而BC 与AD9. A. 10. A 11. A 二、填空题 12. 5(2,)213. 2115. 16. 70°三、解答题18.证明:(1)因为等边△ABC 的边长为3,且AD DB =12CE EA =,所以1AD =,2AE =.在△ADE 中,60DAE ∠= ,由余弦定理得DE ==. 因为222AD DE AE +=,所以AD DE ⊥.折叠后有1A D DE ⊥. 因为二面角1A DE B --是直二面角,所以平面1A DE ⊥平面BCED . 又平面1A DE 平面BCED DE =,1A D ⊂平面1A DE ,1A D DE ⊥,所以1A D ⊥平面BCED .(2)解法1:假设在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 .如图,作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P .由(1)有1A D ⊥平面BCED ,而PH ⊂平面BCED ,所以1A D ⊥PH .又1A D BD D = ,所以PH ⊥平面1A BD .所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角. 设PB x=()03x ≤≤,则2x BH =,PH x =.在Rt △1PA H 中,160PA H ∠= ,所以112A H x =. 在Rt △1A DH中,11A D =,122DH x =-. 由22211A D DH A H +=,得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意.所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ,此时52PB =. 解法2:由(1)的证明,可知ED DB ⊥,1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点,以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系D xyz -如图设2PB a =()023a ≤≤,则BH a =,PH =,2DH a =-. 所以()10,0,1A ,()2,0P a -,()E .所以()12,,1PA a =-.因为ED ⊥平面1A BD ,所以平面1A BD 的一个法向量为()DE = .因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ,所以11sin 60PA DE PA DE===, 解得54a =.即522PB a ==,满足023a ≤≤,符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ,此时52PB =.19.本题主要考查空间点、线、面位置关系,异面直线所成角、二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15分. (Ⅰ) 延长AD ,FE 交于Q .因为ABCD 是矩形,所以 BC ∥AD ,所以∠AQF 是异面直线EF 与B C 所成的角.在梯形ADEF 中,因为DE ∥AF ,AF ⊥FE ,AF =2,DE =1得 ∠AQF =30°(Ⅱ) 方法一:设AB =x .取AF 的中点G .由题意得 DG ⊥AF .因为平面ABCD ⊥平面ADEF ,A B ⊥AD,所以(第20题图)AB ⊥平面ADEF , 所以 AB ⊥DG . 所以DG ⊥平面ABF .过G 作GH ⊥BF ,垂足为H ,连结DH ,则DH ⊥BF , 所以∠DHG 为二面角A -BF -D 的平面角. 在直角△AGD 中,AD =2,AG =1,得DG 在直角△BAF 中,由AB BF =sin ∠AFB =GH FG,得 GHx =所以 GH.在直角△DGH 中,DG GH得DH =因为cos ∠DHG =GH DH =13,得x 所以AB方法二:设AB =x .以F 为原点,AF ,FQ 所在的直线分别为x 轴,y 轴建立空间直角坐标系Fxyz .则F (0,0,0),A (-2,0,0),E D B (-2,0,x ), 所以DF BF=(2,0,-x ). 因为EF ⊥平面ABF ,所以平面ABF 的法向量可取1n=(0,1,0). 设2n=(x 1,y 1,z 1)为平面BFD 的法向量,则111120,0,x z x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 所以,可取2n因为cos<1n ,2n >=1212||||n n n n ⋅⋅=13,得 x所以AB20.解:(1)3AM BM =，.如图,以A 为坐标原点,垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),3,0),(0,4,1)A M E B F,(0,3,3),(ME BF ∴=-=.由(0,3,3)(0ME BF ⋅=-⋅=,得MF BF ⊥ , EM BF ∴⊥(2)由(1)知(3,3),(BE BF =-=. 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =,由0,0,n BE n BF ⋅=⋅=得3300y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩,]令x 1,2y z ==,)2n ∴=,由已知EA ⊥平面ABC ,所以取面ABC 的法向量为(0,AE = 设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ,则cos cos ,2n AE θ→=<>=,平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的(第20题图)余弦值为221.(I)证明: 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥, 平面 ABCD 平面ABEF =AB ,⊥∴CB 平面ABEF .⊂AF 平面ABEF ,CB AF ⊥∴, 又AB 为圆O 的直径,BF AF ⊥∴, ⊥∴AF 平面CBF⊂AF 平面ADF ,∴平面⊥DAF 平面CBF .(II)根据(Ⅰ)的证明,有⊥AF 平面CBF , ∴FB 为AB 在平面CBF 内的射影,因此,ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角 6分 EF AB // ,∴四边形ABEF 为等腰梯形, 过点F 作AB FH ⊥,交AB 于H .2=AB ,1=EF ,则212=-=EF AB AH . 在AFB Rt ∆中,根据射影定理AB AH AF ⋅=2,得1=AF21sin ==∠AB AF ABF , 30=∠∴ABF . ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为 30(Ⅲ)设EF 中点为G ,以O 为坐标原点,OA 、OG 、AD 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系(如图).设t AD =)0(>t ,则点D 的坐标为),0,1(t 则 (1,0,)C t -,又1(1,0,0),(1,0,0),(2A B F -1(2,0,0),(,)2CD FD t ∴==设平面DCF 的法向量为),,(1z y x n =,则10n CD ⋅= ,10n FD ⋅=.即20,0.x y tz =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令3=z ,解得t y x 2,0== )3,2,0(1t n =∴由(I)可知AF ⊥平面CFB ,取平面CBF的一个法向量为21(,0)2n AF ==- ,依题意1n与2n 的夹角为 6060cos ∴12=,解得t =因此,当AD,平面与DFC 平面FCB 所成的锐二面角的大小为60 .22.解法一:(Ⅰ) (i)证明:连FD . 因为ABDE 为平行四边形,F G 、分别为AB DE 、中点,所以FDGA 为平行四边形,所以//FD AG又H G 、分别为CE DE 、的中点,所以//HG CD FD CD ⊄、平面AGH ,AG HG 、⊂平面AGH ,所以//FD 平面AGH ,//CD 平面AGH ,而FD CD ⊂、平面CDF ,所以平面//CDF 平面AGH(ii)因为//DE AB ,所以CED ∠或其补角即为异面直线AB 与CE 所成的角因为ABC 为正三角形,BD AD =,F 为AB 中点,所以AB CF AB DF ⊥⊥，,从而AB ⊥平面CFD ,而//DE AB ,所以DE ⊥平面CFD ,因为CD ⊂平面CFD ,所以DE CD ⊥由条件易得CF DF ===,又CFD ∠为二面角C AB D --的平面角,所以120CFD ∠=︒,所以CD ==所以tan CD CED DE ∠=(Ⅱ) 由(Ⅰ)的(ii)知DE ⊥平面CFD ,即CD DE FD DE ⊥⊥，,所以CDF ∠即为二面角C DE F--的平面角222cos2CD DF CFCDFCD DF+-∠===⋅解法二:(Ⅰ) (i)同解法一;(ii) 因为ABC为正三角形,BD AD=,F为AB中点,所以AB CF AB DF⊥⊥，,从而CFD∠为二面角C AB D--的平面角且AB⊥平面CFD,而AB⊂平面ABDE,所以平面CFD⊥平面ABDE.作CO⊥平面A B D E于O,则O在直线DF上,又由二面角C AB D--的平面角为120CFD∠=︒,故O在线段DF的延长线上.由CF=6FO CO==以F为原点,FA FD FZ、、为x y z、、轴建立空间直角坐标系,如图,则由上述及已知条件得各点坐标为()040A，，,()040B-，，,()00D，,()80E,()06C-，,所以()080AB=-，，,()86CE=-所以异面直线AB与CE所成角的余弦值为()cosAB CEAB CEAB CE∙=⋅，,=(Ⅱ)由(Ⅰ)的(ii)知()()06080CD DE=-=，，，，,设平面C D E的法向量为1=n()x y z，，,则由1⊥n CD,1⊥nDE得6080.zy⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令z=得1=n(60，又平面DEF的一个法向量为()2001=，，n,而二面角C DE F--为锐二面角,所以二面角C DE F--的余弦为121212cos∙==⋅，n nn nn n23.解法1:(Ⅰ)由三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱可知,1AA 即为高,如图1,因为11//C B BC ,所以BC A 1∠是异面直线B A 1与11C B 所成的角或其补角, 连接1AC ,因为AB AC =,所以11A B A C ==在Rt△ABC 中,由1AB AC ==,90BAC ∠= ,可得BC =又异面直线1A B 与11B C 所成的角为60 ,所以160A BC ∠= ,即△1A BC 为正三角形.于是111A B B C ==在Rt△1A AB 中,1A B =,得11AA =,即棱柱的高为1 (Ⅱ)设1(0)AA h h =>,如图1,过点D 在平面11A B BA 内作1DF A B ⊥于F ,则由11AC ⊥平面11BAA B ,DF ⊂平面11BAA B ,得11AC DF ⊥. 而1111AC A B A = ,所以DF ⊥平面11A BC .故1DC F ∠就是1DC 与平面11A BC 所成的角,即1DC F θ∠= 在Rt △DFB 中,由2hBD =,得DF =在Rt △11DB C 中,由12h B D =,11B C =得1DC 在Rt △1DFC 中,1sin DF DC θ===令()f h ==(Ⅰ)因为异面直线1A B 与11B C 所成的角60 ,所以111111||cos60||||B C A B B C A B ⋅=⋅,12=,=解得1h =(Ⅱ)由D 是1BB 的中点,得(1,0,)2h D ,于是1(1,1,)2hDC =- .设平面11A BC 的法向量为(,,)x y z =n ,于是由1A B ⊥ n ,11A C ⊥n ,可得1110,0,A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x hz y -=⎧⎨=⎩ 可取(,0,1)h =n , 于是1sin |cos ,|DC θ=<>n .而111|||||cos ,|||||h h DC DC DC -+⋅<>===⋅n n n令()f h ==因为22899h h++≥,当且仅当228h h =,即h =,等号成立.所以()f h ==,故当h ,sin θ的最大值1724.解法一:(Ⅰ)证明:在四棱锥P ABCD -中,因PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 故PA CD ⊥.AC CD PA AC A ⊥= ，∵,CD ⊥∴平面PAC .而AE ⊂平面PAC ,CD AE ⊥∴(Ⅱ)证明:由PA AB BC ==,60ABC ∠=°,可得AC PA =. E ∵是PC 的中点,AE PC ⊥∴.由(Ⅰ)知,AE CD ⊥,且PC CD C = ,所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ,AE PD ⊥∴.PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ,AB AD ⊥,AB PD ⊥∴. 又AB AE A = ∵,综上得PD ⊥平面ABE(Ⅲ)过点A 作AM PD ⊥,垂足为M ,连结EM .则(Ⅱ)知,AE ⊥平面PCD ,AM 在平面PCD 内的射影是EM ,则EM PD ⊥.因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角.由已知,得30CAD ∠=°.设AC a =,可得32PA a AD PD a AE ====，，，.在ADP Rt △中,AM PD ⊥∵,AM PD PA AD =∴··,则a PA AD AM a PD===·.[ 在AEM Rt △中,sin AE AME AM ==所以二面角A PD C --的正切值为7解法二:(Ⅰ)证明:以AB 、AD 、AP 为x 、y,z 轴建立空间直角坐标系,设AB=a.60ABC AB BC ABC ∠==∴∆o Q ，，是正三角形60303BAC DAC AD a ∴∠=∴∠=∴=o o ，， ABCDPEF MABCDP EM(),,0,0,,00,0,,223a C a D P a ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,42a a E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭,0,,242a a a CD AE ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r 220,88a a CD AE CD AE ∴⋅=-+=∴⊥uu u r uu u r(Ⅱ)证明:()(),0,0,,0,0,,B a AB a PD a ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uu u r Q 又 220,022a a PD AB PD AE ∴⋅=⋅=-=uu u r uu u r uu u r uu u r,PD AB PD AE ∴⊥⊥,AB AE A PD ADE =∴⊥I 又平面 (Ⅲ)设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =r则()0202az n a yx ⎧-=⎪⎧⎪⎪∴=⎨=⎪-+=⎪⎩r 即又平面APD 的法向量是()1,0,0,cos ,,m m n m n =∴==u r u r r u r rtan ,m n =u r r,所以二面角A PD C --的正切值是725.26. 解:(1)取AC 中点O,因为AP=BP,所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC 为直角三角形,∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC, ∵OP 在平面PAC 中,∴平面ABC ⊥平面APC ( ) ZXXK] (2) 以O 为坐标原点,OB 、OC 、OP 分别为 x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.由题意平面PAC 的法向量1(1,0,0)n OB →→==,设平面PAM 的法向量为()()2,,,,,0n x y z M m n =(()0,2,,,2,0AP AM m n ∴==+由220,0AP n AM n ⋅=⋅=()2020y mx n y ⎧+=⎪∴⎨++=⎪⎩,取)221n n m ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭21cos ,3n n →→∴<>===∴0-∴BM的最小值为垂直距离d =27. 证明:(1)在梯形ABCD 中,∵,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=︒ ,∴四边形ABCD 是等腰梯形, 且30,120,DCA DAC DCB ∠=∠=︒∠=︒∴90ACB DCB DCA ∠=∠-∠=︒,∴.AC BC ⊥又∵平面ACFE ⊥平面ABCD ,交线为AC ,∴BC ⊥平面ACFE .(2)方法一;(几何法)取EF 中点G ,EB 中点H ,连结DG 、GH 、DH , ∵容易证得DE =DF ,∴.DG EF ⊥∵BC ⊥平面ACFE ,∴.BC EF ⊥ 又∵EF FC ⊥,∴.EF FB ⊥又∵GH FB ,∴.EF GH ⊥∴DGH ∠是二面角B —EF —D 的平面角.在△BDE中,,.DE DB BE ==== ∴222BE DE DB =+∴90EDB ∠=︒,∴.DH =又,.DG GH ==∴在△DGH 中,由余弦定理得cos DGH ∠=即二面角B —EF —D 的平面角余弦值为1010方法二;(向量法)以C 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:)0,0,0(C ,)0,,0(a B ,),0,0(a F ,)0,2,23(a a D -,),0,3(a a E所以)0,0,3(a EF -=,),,0(a a BF -=,),2,23(a aa DF -=分别设平面BEF 与平面DEF 的法向量为),,(1111z y x n =,),,(2222z y x n =所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅00311111az ay BF n ax EF n ,令11=y ,则1,011==z x又⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=-=⋅022*********az y a x a DF n ax EF n ,显然02=x ,令21-,122==z y 则所以)1,1,0(1=n ,,设二面角的平面角为θθ,为锐角所以θ28. 【解析】解法1:(1)延长B 1E 交BC 于点F ,11B EC ∆ ∽△FEB ,BE =21EC 1,∴BF =21B 1C 1=21BC , 从而点F 为BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心,∴A 、G 、F 三点共线.且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==, 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ,∴GE //侧面AA 1B 1B .(2)在侧面AA 1B 1B 内,过B 1作B 1H ⊥AB ,垂足为H ,∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ,∴B 1H ⊥底面ABC .又侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,AA 1=2,∴∠B 1BH =60°,BH =1,B 1H =.3 在底面ABC 内,过H 作HT ⊥AF ,垂足为T ,连B 1T ,由三垂线定理有B 1T ⊥AF , 又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF ,∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH =AB +BH =3,∠HAT =30°,∴HT =AH 2330sin =︒.在Rt△B 1HT 中,332tan 11==∠HT HB TH B , 从而平面B 1GE 与底面ABC(3)(2)问中的T 点即为所求,T 在AG 的延长线上,距离A 点233处. 解法2:(1)∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ,侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,∴∠A 1AB =60°, 又AA 1=AB =2,取AB 的中点O ,则AO ⊥底面ABC . 以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图,则()0,1,0A -,()0,1,0B,)C,(1A,(10,B,1C .∵G 为△ABC的重心,∴G ⎫⎪⎪⎭.113BE BC =,∴E ,∴113CE AB ⎛== ⎝ . 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ,∴GE //侧面AA 1B 1B .(2)设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ,则由10,0.B E GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n得0,0.b b -=⎪=⎪⎩可取=-n 又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ,则cos ||||θ⋅==⋅m n m n .由于θ为锐角,所以sin θ==,进而tan θ=故平面B 1GE 与底面ABC (3))0,1,33(=AG ,设)0,,33(λλλ==AG AT , )3,3,33(11--=+=λλAT A B T B , 由AG T B ⊥1,03311=-+=⋅∴λλAG T B ,解得49=λ 所以存在T 在AG 延长线上,2332349===AF AG AT . 29.30.所以所求二面角的余弦值为11222 解法二(坐标法)如图,取AE 的中点O ,则⊥DO 面ABCE .作EB OF //,则AE OF ⊥. 以O 为原点,OA 、OF 、OD 为轴建立空间坐标系xyz O - 则)2200(，，D ,)0,222(，-B ,)022,2(，-C ,)0022(，，A .所以)02222(，，--=BC ,)22222(--=，，DB ,)22,0,22(-=DA . 设面DBC 的法向量为),,(1z y x n =,则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=⋅=--=⋅0222220222211z y x DB n y x BC n ,取)3,1,1(1--=n设面DBE 的法向量为2n ,则DA n //2,取)1,0,1(2-=n 11222,cos 21>=<n n ,所以所求二面角的余弦值为11222 31.解:(Ⅰ)证明:∵DC BC ⊥,且2==CD BC ,∴2=BD 且45=∠=∠BDC CBD ;又由DC AB //,可知45=∠=∠CBD DBA∵2=AD ,∴ADB ∆是等腰三角形,且45=∠=∠DBA DAB , ∴90=∠ADB ,即DB AD ⊥;∵⊥FD 底面ABCD 于D,⊂AD 平面ABCD,∴DF AD ⊥, ∴⊥AD 平面DBF.又∵⊂BF 平面DBF,∴可得BF AD ⊥(Ⅱ)解:如图,以点C 为原点,直线CD 、CB 、CE 方向为x 、y 、z 轴建系.可得)0,2,22(),2,0,2(),0,2,0(),0,0,2(A F B D ,又∵ N 恰好为BF 的中点,∴)1,22,22(N设),0,0(0z M ,∴)1,22,22(0z MN -=.又∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DF MN BD MN ,∴可得10=z .故M 为线段CE 的中点设平面BMF 的一个法向量为),,(1111z y x n =, 且)2,2,2(--=BF ,)1,2,0(-=BM ,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n BM n BF 可得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--02022211111z y z y x , 取⎪⎩⎪⎨⎧===213111z y x 得)2,1,3(1=n又∵平面MFC 的一个法向量为)0,1,0(2=n , ∴63,cos 21<n n .故所求二面角B-MF-C 的余弦值为63 你的首选资源互助社区32.解:(I)取PC 的中点G ,连接,FG EG ,//,//,//FG CD AE CD FG AE ∴ ,,,,A F G E ∴四点共面//AF 平面,//PCE AF GE ∴ AFGE ∴为平行四边形 11122,GF CD AE AB =∴== (II)(i)证明: 异面直线,PE CD 所成的角为60,60PEB ∴∠=1,1 PE BE PB ==∴=,取CE 中点O ,1PE PC == 且90EDC ∠= ,同理BO =所以222,,, OP OB BP PO OB PO CE PO CDAE +=∴⊥⊥∴⊥平面,PO PCE PCE CDAE ⊆∴⊥ 平面平面平面(ii)将该几何体补形成如图所示的长方体,以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系,1102012022(,(,,),(,,)P A D 取平面PCE 的一个法向量110(,,)m =设平面PAD 法向量为(,,)n x y z =,1310022(,,),(,AD AP ==- ,由00n AD n AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩得03(,,)n z =,取3z =,得03()n =cos ,||||m n m n m n ∴<>==平面PEC 与平面MAB 133.取11C D 的中点H ,连结PH ,AH.2511==PD PC ,111=C D ,∈P 平面11D DCC , ∴21,111=⊥H D C D PH ,∴12121=-=H D PD PH ,∴A A D D PH 11////, A A PH 1=,∴四边形AH PA 1为平行四边形,∴AH PA //1, 又⊂AH 平面11D ABC ,⊄1PA 平面11D ABC , ∴//1PA 平面11D ABC在正方体ABCD 中, AB B A //11, ∴//11B A 平面11D ABC ,1111A B A PA = ,∴平面//11B PA 平面11D ABC(II)方法1以直线1,,DD DC DA 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系,令,则)1,0,1(1A ,,2,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛P )0,0,0(D ∴ ,1,21,11⎪⎭⎫⎝⎛--=PA∵ =n (0,1,0)是平面11A ADD 的一个法向量设直线1PA 与平面11A ADD 所成角为θ31sin θ,42tan =θ （第20题）PBDC1B A1A 1C 1D H方法2:∵AH PA //1,∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角等于直线AH 与平面11A ADD 所成角. 正方体1111D C B A ABCD -中,显然⊥1HD 平面11A ADD , ∴1HAD ∠就是直线AH 与平面11A ADD 所成角在1HAD Rt ∆中,211=H D ,21=AD ,42tan 111==∠AD H D HAD∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角的正切值为42.34.取AM 的中点O,AB 的中点B,则OD OA ON ,,两两垂直,以O 为原点建立空间直角坐标系,如图.根据已知条件,得)0,0,22(A ,)0,2,22(-B ,)0,0,22(-M ,)22,0,0(D (1)由于)0,2,0(),22,0,22(-=-=BM AD ,则0=⋅BM AD ,故BM AD ⊥.(2)设存在满足条件的点E,并设DB DE λ=, 则)22,2,22()22,,(--=-λE E E z y x 则点E的坐标为)2222,2,22(λλλ--.(其中]1,0[∈λ)易得平面ADM 的法向量可以取)0,1,0(1=n ,设平面AME 的法向量为),,(2z y x n =,则)0,0,2(-=AM,)2222,2,2222(λλλ---=AE 则⎪⎩⎪⎨⎧=-++--=⋅=-=⋅0)2222()2()2222(0222λλλz y x AE n x AM n则λλ2:)1(:0::-=z y x ,取)2,1,0(2λλ-=n *由于二面角D AM E --大小为3π,则|||||,cos |3cos212121n n n n ⋅=><=π214)1(122=+--=λλλ,由于]1,0[∈λ,故解得332-=λ.故当E 位于线段DB 间,且332-=DB DE 时,二面角D AM E --大小为3π35.本题满分14分.(Ⅰ)方法1:连结BD 、AC ,交点为O .∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC∵AF ⊥平面ABCD ∴AF ⊥BD ∴BD ⊥平面ACEF ∴BD ⊥EF∵)0,0,1(B ,)0,1,0(D ∴)0,1,1(-=BD 设),0,0(h F ,那么),1,1(h E λ, 则))1(,1,1(h EF λ---= ∴0=⋅EF ∴BD ⊥EF(Ⅱ)方法1:连结OE ,由(Ⅰ)方法1知,BD ⊥平面ACEF , 所以∠BEO 即为直线BE 与平面ACE 所成的角∵AF ⊥平面ABCD ,CE ∥AF ,∴CE ⊥平面ABCD ,CE ⊥BC , ∵BC =1,AF =1,则CE =λ,BE =21λ+,BO =22, ∴Rt△BEO 中, 1023122sin 2=λ+==∠BE BO BEO , 因为1>λ,解得34=λ 方法2:∵),1,0(λ=,由(Ⅰ)法1知,BD ⊥平面ACEF , 故)0,1,1(-=是平面ACE 的法向量。

浙江省2014届理科数学复习试题选编29：平面解析几何(学生版)

浙江省2014届理科数学复习试题选编29：平面解析几何一、选择题1 ．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）任意的实数k,直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（）A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心2 ．（2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤,集合{}222(,)B x y x y r =+≤,若B A ⊂,则实数r 可以取的一个值是（）A 1BC ．2D ．12+3 ．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）已知函数 ()x f y=是定义在R 上的增函数,函数()1-=x f y 的图象关于点(1, 0)对称. 若对任意的R y x ∈,,不等式()()0821622<-++-y y f x x f 恒成立,则当x >3时,22y x +的取值范围是（）A ．(3, 7)B ．(9, 25)C ．(13, 49)D ．(9, 49)4 ．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）关于y x ,的方程04222=++++k y kx y x 在平面直角坐标系中的图形是圆,当这个圆取最大面积时,圆心的坐标为（）A ．)2,0(-B ．)0,2(-C ．)2,2(-D ．)2,2(-5 ．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版））直线03:=-y x l 截圆4)2(:22=+-y x C 所得弦长为（）A ．1B ．3C ．2D ．326 ．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是（）A ．403k ≤≤B ．<0k 或4>3k C ．3443k ≤≤D ．0k ≤或4>3k7 ．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知直线1sin cos :=+θθy x l ,且l OP ⊥于P ,O 为坐标原点,则点P 的轨迹方程为（）A ．122=+y xB ．122=-y xC ．1=+y xD ．1=-y x8 ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知圆M :()()22234x y -+-=,过x轴上的点(),0P a 存在圆M 的割线PBA ,使得PA AB =,则点P 的横坐标a 的取值范围是（）A ．[-B ．[-C ．[22-+D [22-+9 ．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满足12MF MF =,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（）A ．0x =B ．0x +=C 0y -=D 0y +=10．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）设点(1,1)A -,(0,1)B ,若直线1ax by +=与线段AB (包括端点)有公共点,则22b a +的最小值为（）A ．14B ．13C ．12D ．111．（浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷）已知两条直线1l :a y =和2l :1218+=a y (其中0>a ),1l 与函数|log |4x y =的图象从左至右相交于点A,B,2l 与函数|log |4x y =的图象从左至右相交于点C, D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为m ,n .当a 变化时,mn的最小值为（）A ．112B ．102C ．16D ．4二、填空题12．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）函数y =ax 2-2x 图象上有且仅有两个点到直线y =x 的距离等于2,则a 的取值范围是__________.13．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）已知两条直线1212:2,:4,3,x l y l y y l l ===设函数与分别交于点A,B,函数127,x y l l =与分别交于点C,D,则直线AB 与直线CD 的交点坐标是_______.14．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）若圆22:220C x mx y -+-+=与x 轴有公共点,则m 的取值范围是______.15．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点为A ,动点C B ,分别在1l 和2l 上,且23=BC ,则过C B A ,,三点的动圆．．扫过的区域的面积为_______.16．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版））过点01(,)A 和4(,)B m ,并且与x轴相切的圆有且只有一个,则m =___________.17．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）若点P 在直线1:30l x my ++=上,过点P 的直线2l 与圆22:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ,且||PM 的最小值为4,则m =_________18．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）设圆22:(3)(5)5C x y -+-=,过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点,与y 轴交于点P ,若A 恰好为线段BP 的中点,则直线l 的方程为____.19．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷）过点()2,1M 的直线l 将圆22(2)9x y -+=分成两段弧,其中的劣弧最短时,l 的方程为________;20．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知22sin cos 20,sin cos 20(,,,a a b b a b R q q q q q +-=+-= 且a b¹),直线l过点A(a,a 2),B(b,b 2),则直线l 被圆(22cos )(sin )4x y q q -+-=所截得的弦长为____.21．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是_________.22．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）在△ABC 中,B (10,0),直线BC 与圆Γ:x 2+(y-5)2=25相切,切点为线段BC 的中点.若△ABC 的重心恰好为圆Γ的圆心,则点A 的坐标为________.23．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）过点A(33，)作直线与圆422=+y x 交与B 、C 两点,B 在线段AC 上,且B 是AC 的中点,则直线AB 的方程为__________________. 24．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知圆的方程为08622=--+y x y x,设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_______.25．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）平面直角坐标系中,过原点斜率为k 的直线与曲线=y e 1-x 交于不同的A ,B 两点.分别过点A ,B 作y 轴的平行线,与曲线x y ln =交于点C ,D ,则直线CD 的斜率为_____26．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）直角坐标平面上,已知点A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t>0),点M 是线段AD 上的动点,如果||2||BM AM ≤恒成立,则正实数t 的最小值是__________.27．（2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别a ,b ,c ,若22212a b c +=.则直线0ax by c -+=被圆2x + 29y =所截得的弦长为________. 28．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程:区间(0,1)中的实数m 对应数轴上的点M(点A 对应实数0,点B 对应实数1),如图①;将线段AB 围成一个圆,使两端点A.B 恰好重合,如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y 轴上,点A 的坐标为(0,1),在图形变化过程中,图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧ADM 的长度,如图③,图③中直线AM 与x 轴交于点N(,0n ),则m 的象就是n ,记作().f m n =给出下列命题:①1()14f =; ②1()02f =; ③()f x 是奇函数; ④()f x 在定义域上单调递增,则所有真命题的序号是______________.(填出所有真命题的序号)DD浙江省2014届理科数学复习试题选编29：平面解析几何参考答案一、选择题 1. C2. A 解:22111(,)()()222A x y x y r ⎧⎫=-+-≤+⎨⎬⎩⎭、{}222(,)B x y x y r =+≤ 不难分析,A 、B 分别表示两个圆,要满足B A ⊂,即两圆内切或内含.故圆心距12122O O r r =≤-,即: 2211222210101210r r r r r r r r r r r ≤-⇔-⋅+≥⎛⎫⇔-≥⇔-≥⇔+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⇔--≥⇔≥显然,2r ≥>,故只有(A)项满足. 3. C4. A5. D6. A7. A【解析】设),(00y x P ,l OP ⊥ 于P ,1sin cos 1||222020=+=+=∴θθy x OP ,即12020=+y x ,选A 8. C.解:极端原理,或利用圆幂定理和切长定理设222,2(2)52422AB d d a a ==-+≤⨯⇒-≤≤+则9. D 10. C 11. A 二、填空题 12. a >89或a =0或a <-89提示 (1)当a =0时,函数y =-2x 图象上有且仅有两个点到x 轴的距离等于1,满足条件;(2)当a >0时,如图,函数y =ax 2-2x 与y =x-2相切时求出a =89,注意到当a >89时,随着a 增大,最小值a1－也增大,且a 1－<0,所以要两个点到y =x 轴的距离等于2,只需a >89.(3)当a <0时,如图,函数y =ax 2-2x 与y =x+2相切时求出a =-89,注意到当a <-89时,随着a 减小,最小值a 1－也减小,且a1－>0,所以要两个点到y =x轴的距离等于2,只需a <-89.13. (0,0)14.答案:m ≥解析:圆C 的标准方程为222()(2x m y m m -+-=+-,依题15. 18π 解析:分别以l 1、l 2为x 轴、y 轴建立直角坐标系,设线段BC 中点为E,则过A 、B 、C 三点的圆即为以E 为圆心、322为半径的圆,∵ B 、C 分别在l 1和l 2上运动,∴ 圆心E 在以A 为圆心、AE=322为半径的圆上运动,所以,过A 、B 、C 三点的动圆所形成的面积为以A 为圆心、32为半径的圆的面积为18π. 16. 0或1 17. 1±18. 210x y --=或2110x y +-= 19. ;032=+-y x 20. 32 21. (0,1)(1,4)⋃ 22. (0,15) 或 (-8,-1) 23. 0323=+-y x 或3=x提示当k 不存在时,3=x ;当k 存在时,设斜率为k,如图,由题意得AB=3CM,所以:222219363431936312kk k k k k ++-⋅=++-－－得k=33,所以直线方程为0323=+-y x . 24. 62025. 1;设A ,B 横坐标分别为1x ,2x .则111-=x e kx ,122-=x e kx ,得11ln 1kx x =-,即k x x ln 1ln 11--=,同理k x x ln 1ln 22--=.直线CD 的斜率为1)ln 1()ln 1(ln ln 21212121=------=--x x k x k x x x x x .26.327.:由题意:设弦长为圆心到直线的距离d ===28. ②④。

2014高考数学第一轮复习_导数应用(含答案)

第3讲导数的应用(二)【高考会这样考】1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实际问题．基础梳理1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件．如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件．双基自测1．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案 D2．已知函数f (x )＝14x 4－43x 3＋2x 2，则f (x )( )． A ．有极大值，无极小值 B ．有极大值，有极小值 C ．有极小值，无极大值 D ．无极小值，无极大值解析 f ′(x )＝x 3－4x 2＋4x ＝x (x －2)2，f ′(x )，f (x )随x 变化情况如下3．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )． A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件解析 y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0解得x ＝9(－9舍去)．当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0，则当x ＝9时，y 取得最大值，故选C4．(2011·广东)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)当x ＜0时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，故当x ＝2时取得极小值．答案 25．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析 ∵f (x )在x ＝1处取极值，∴f ′(1)＝0，又f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，∴f ′(1)＝2×1×(1＋1)－(1＋a )(1＋1)2＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3.答案 3考向一函数的极值与导数【例1】►(2011·重庆)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的极值．[审题视点] 由条件x ＝－12为y ＝f ′(x )图象的对称轴及f ′(1)＝0求得a ，b 的值，再由f ′(x )的符号求其极值．解 (1)因f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b .从而f ′(x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 62＋b －a 26，即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a 6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21，在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6.【训练1】 (2011·安徽)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立．因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.考向二函数的最值与导数【例2】►已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． [审题视点] 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值．解 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，有f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，所以f ′(x )＝3x 2－x －4. 令f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增，则f (a )是最小值，f (b )是最大值；反之，则f (a )是最大值，f (b )是最小值．【训练2】函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行(1)求a ，b ；(2)求函数f (x )在[0，t ](t >0)内的最大值和最小值．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax由已知条件⎩⎨⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝－3，即⎩⎨⎧ a ＋b ＋1＝0，2a ＋3＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， f ′(x )与f (x )随x 变化情况如下：由f (x )＝f (0)当0<t ≤2时，f (x )的最大值为f (0)＝2最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2；当2<t ≤3时，f (x )的最大值为f (0)＝2，最小值为f (2)＝－2；当t >3时，f (x )的最大值为f (t )＝t 3－3t 2＋2，最小值为f (2)＝－2.考向三用导数解决生活中的优化问题【例3】►(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[审题视点] 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义．解设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.【训练3】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝1128 000x3－380x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)设汽车以x千米/小时的速度行驶时，其耗油量为f(x)＝100x⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x3－380x＋8＝x21 280＋800x－154(0<x≤120)，f(40)＝17.5(升)，因此从甲地到乙地要耗油17.5升．(2)f′(x)＝x640－800x2＝x3－512 000640x2＝(x－80)(x2＋80x＋6 400)640x2又0<x≤120，令f′(x)＝0解得x＝80，当0<x<80时，f′(x)<0；当80<x≤120时，f′(x)>0.则当x＝80时，f(x)取到最小值f(80)＝11.25(升)因此当汽车以80千米/小时行驶时耗油最省，最小耗油量为11.25升．。

2014届高三理科数学一轮复习试题选编28：导数(教师版)

实用文档2014届高三理科数学一轮复习试题选编28：导数一、选择题1 ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知函数ln ,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则3z x y =-在D 上的最大值为A. 4B. 3C.D. 1- 【答案】B2 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线e ()1x f x x =-在0x =处的切线方程为( )A.10x y --=B.10x y ++=C.210x y --=D.210x y ++=【答案】D3 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数()f x 是定义域为R 的可导函数,且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立.若当1x ≠时,不等式(1)()0x f x '-⋅<成立,设(0.5)a f =,4()3b f =,(3)c f =,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.b a c >>B.c b a >>C.a b c >>D.b c a >> 【答案】A4 ．（2013北京东城高三二模数学理科）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,且当(,0)x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<(其中()f x '是()f x 的导函数),若实用文档0.30.3(3)(3)a f =⋅,(log 3)(log 3)b f ππ=⋅,3311(log )(log )99c f =⋅,则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A.a b c >>B.c b a >>C.c a b >>D.a c b >> 【答案】 C5 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知函数()sin f x x x =,则π()11f ,(1)f -,π3f -（）的大小关系为 A.ππ()(1)()311f f f ->-> B.ππ(1)()()311f f f ->->C.ππ()(1)()113f f f >->- D.ππ()()(1)311f f f ->>- 【答案】 A 二、填空题6 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为_____________【答案】),15[+∞【解析】(1)(1)(1)(1)(1)(1)f p f q f p f q p q p q +-++-+=-+-+,表示点(1,(1))p f p ++与点(1,(1))q f q ++连线的斜率,因为0,1p q <<,所以112p <+<,112q <+<,即函数图象在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1,即'()1f x >在(1,2)内恒成立.由定义域可知1x >-,所以'()211a f x x x =->+,即121ax x >++,所以12)(1)a x x >++（成立.设12)(1)y x x =++（,则22372312()48y x x x =++=++,当12x ≤≤时,函数2372()48y x =++的最大值为15,所以15a ≥,即a的取值范围为),15[+∞.实用文档7 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行,则切点坐标为_____________,切线方程为_____________.【答案】(1,2),42y x =-【解析】函数的导数为'31y x =+,已知直线43y x =+的斜率4k =,由314x +=,解得切点的横坐标1x =,所以2y =,即切点坐标为(1,2),切线方程为24(1)y x -=-,即42y x =-.8 ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）设定义在R 上的函数()x f 是最小正周期为π2的偶函数,()x f '是()x f 的导函数.当[]π,0∈x 时,()10<<x f ;当()π,0∈x 且2π≠x 时,()02<'⎪⎭⎫⎝⎛-x f x π.则函数()x x f y cos -=在[]ππ3,3-上的零点个数为___________. 【答案】 69 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值,则实数m 的取值范围是_______________【答案】6m >或3m <-【解析】函数的导数为2'()32(6)f x x mx m =+++,要使函数()f x 既存在极大值又存在极小值,则'()0f x =有两个不同的根,所以判别式0∆>,即2412(6)0m m ∆=-+>,所以23180m m -->,解得6m >或3m <-.10．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）曲线1()f x x x =+在12x =处的切线方程是______,在x=x 0处的切线与直线y x =和y 轴围成三角形的面积为________. 【答案】 3x+y-4=0, 2;11．（2009高考(北京理)）设()f x 是偶函数,若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1,则该实用文档曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 【答案】1-【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算的考查.取()2f x x =,如图,采用数形结合法,易得该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为1-. 故应填1-. 三、解答题12．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）(本小题满分13分) 设ax x x x f 22131)(23++-= （1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.【答案】解答（1）a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-= ……………………………2分 )(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间∴存在),32(+∞的子区间),(n m ，使得),(n m x ∈时0>)('x f)('x f 在),(+∞32上单调递减032>∴)('f ，即0292)32('>+=a f 解得91->a实用文档∴当91->a 时，)(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间 ………………………………6分（2）令0=)('x f 20<<a∴28111a x +-=；28112ax ++=∴)(x f 在),(),,(+∞-∞21x x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增20<<a 4121<<<∴x x∴)(x f 在),(21x 上单调递增，在),(42x 上单调递减 …………………………………8分所以)(x f 的最大值为)(2x f0622714<+-=-a f f )()( ，31634084-=-=∴a f )( ………………………10分解得212==x a , 310)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为 ……………………13分 13．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数()()()12,03123-+=>-=b bx x g a ax x x f . (I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; (II)当b a 21-=时,若函数()()x g x f +在区间()0,2-内恰有两个零点,求a 的取值范围; (III)当121=-=b a 时,求函数()()x g x f +在区间[]3,+t t 上的最大值. 【答案】解:(I)()()bx x g a x x f 2,2='-='.因为曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,所以()()11g f =,且()()11g f '=',即1231-+=-b b a ,且b a 21=-,实用文档解得31,31==b a (II)记()()()x g x f x h +=,当b a 21-=时,()a ax x a x x h ---+=232131, ()()()()a x x a x a x x h -+=--+='112,令()0='x h ,得0,121>=-=a x x . 当x 变化时,()()x h x h ,'的变化情况如下表:所以函数()x h 的单调递增区间为()()+∞-∞-,,1,a ;单调递减区间为()a ,1-, 故()x h 在区间()1,2--内单调递增,在区间()0,1-内单调递减, 从而函数()x h 在区间()0,2-内恰有两个零点,当且仅当()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-00,01,02h h h 解得310<<a ,所以a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 (III)记()()()x g x f x h +=,当121=-=b a 时,()1313--=x x x h . 由(II)可知,函数()x h 的单调递增区间为()()+∞-∞-,1,1,;单调递减区间为()1,1-.①当13-<+t 时,即4-<t 时,()x h 在区间[]3,+t t 上单调递增,所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为实用文档()()()58331133313233+++=-+-+=+t t t t t t h ; ②当1-<t 且131<+≤-t ,即24-<≤-t 时,()x h 在区间[)1,-t 上单调递增,在区间[]3,1+-t 上单调递减,所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()311-=-h ; 当1-<t 且13≥+t ,即12-<≤-t 时,t+3<2且h(2)=h(-1),所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()311-=-h ;③当11<≤-t 时,123>≥+t ,()x h 在区间[)1,t 上单调递减,在区间[]3,1+t 上单调递增,而最大值为()t h 与()3+t h 中的较大者.由()()()()2133++=-+t t t h t h 知,当11<≤-t 时,()()t h t h ≥+3, 所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()58331323+++=+t t t t h ; ④当1≥t 时,()x h 在区间[]3,+t t 上单调递增,所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()58331323+++=+t t t t h 14．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知:函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=,其中R a ∈.(Ⅰ)若2x =是)(x f 的极值点,求a 的值; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间;(Ⅲ)若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)解:(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. 依题意,令(2)0f '=,解得 13a =.实用文档经检验,13a =时,符合题意 (Ⅱ)解:① 当0=a 时,()1xf x x '=+. 故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞;单调减区间是)0,1(- ② 当0a >时,令()0f x '=,得10x =,或211x a=-. 当10<<a 时,()f x 与()f x '的情况如下:所以,()f x 的单调增区间是1(0,1)a -;单调减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞. 当1=a 时,)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. 当1a >时,210x -<<,()f x 与()f x '的情况如下:所以,()f x 的单调增区间是1(1,0)a -;单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时,)(x f 的单调增区间是(0,)+∞;单调减区间是)0,1(-. 综上,当0a ≤时,)(x f 的增区间是(0,)+∞,减区间是)0,1(-;实用文档当10<<a 时,()f x 的增区间是1(0,1)a -,减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞; 当1=a 时,)(x f 的减区间是),1(+∞-;当1a >时,()f x 的增区间是1(1,0)a -;减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞.(Ⅲ)由(Ⅱ)知 0a ≤时,)(x f 在(0,)+∞上单调递增,由0)0(=f ,知不合题意.当10<<a 时,)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-, 由1(1)(0)0f f a->=,知不合题意. 当1≥a 时,)(x f 在(0,)+∞单调递减,可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ,符合题意. 所以,)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时,a 的取值范围是[1,)+∞ 15．（2013届北京大兴区一模理科）已知函数2()=(1)x af x x ，(1,)x ．(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．【答案】解：（I ）4(1)(21)()(1)x x a f x x --+-'=-，(1,)x ∈+∞.由()0f x '=，得11x =，或221x a =-.①当211a -≤，即1a ≤时，在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减；②当211a ->，即1a >时，在(1,21)a -上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(21,)a -+∞上，()0f x '<，实用文档()f x 单调递减。

2014高考数学一轮汇总训练《导数的应用-》理-新人教A版

2014高考数学一轮汇总训练《导数的应用-》理-新人教A版D提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[探究] 3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f(x)＝e x－x的单调递增区间是( )A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．(－∞，0] D．(0，＋∞)解析：选D ∵f(x)＝e x－x，∴f′(x)＝e x －1，由f′(x)>0，得e x－1>0，即x>0.2．(教材习题改编)函数f(x)＝13x3－4x＋4有( )A．极大值283，极小值43B．极大值－43，极小值283C．极大值43，极小值－283D．极大值283，极小值－43解析：选D ∵f(x)＝13x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，则x＝±2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x) >0.∴f(x)极大值＝f(－2)＝283，f(x)极小值＝f(2)＝－43. 3．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间上单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．4．(教材习题改编)函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)．由于f (－1)＝－2，f (1)＝0，f (0)＝2，故f (x )在[－1,1]上的最大值为2.答案：25．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调函数，∴Δ＝4－12 m ≤0，即m ≥13答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞运用导数解决函数的单调性问题[例1] (2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ax ＋x ln x ，且图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 处的切线斜率为1(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝f x －xx －1，求g (x )的单调区间；(3)当m >n >1(m ，n ∈Z)时，证明：mn n m>nm .[自主解答] (1)f (x )＝ax ＋x ln x ，f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a ＝1，所以a ＝1.(2)因为g (x )＝f x －x x －1＝x ln xx －1，所以g ′(x )＝x －1－ln xx －12. 设φ(x )＝x －1－ln x ，则φ′(x )＝1－1x.当x >1时，φ′(x )＝1－1x>0，φ(x )是增函数，对∀x>1，φ(x)>φ(1)＝0，即当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上为增函数；当0<x<1时，φ′(x)＝1－1x<0，φ(x)是减函数，对∀x∈(0,1)，φ(x)>φ(1)＝0，即当0<x<1时，g′(x)>0，故g(x)在(0,1)上为增函数．所以g(x)的单调递增区间为(0,1)，(1，＋∞)．(3)要证mnnm>nm，即证ln nm－ln mn>ln n－lnm，即n－1nln m>m－1mln n，m ln mm－1>n ln nn－1.(*)因为m>n>1，由(2)知，g(m)>g(n)，故(*)式成立，所以mnnm>nm.———————————————————1．导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数．3．导数法求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)，转化为不等式恒成立求解．1．已知函数f(x)＝3xa－2x2＋ln x，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．解：(1)若a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋ln x，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－4x＋3＝－4x2＋3x＋1x＝－4x＋1x－1x(x>0)．当f′(x)>0，x∈(0,1)时，函数f(x)＝3x－2x 2＋ln x 单调递增．当f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a－4x ＋1x≤0，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立．即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x. 令h (x )＝4x －1x，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥152或3a≤3，解得a<0或0<a≤25或a≥1.利用导数解决函数的极值问题[例2] (2012·重庆高考)设f(x)＝a ln x＋12x ＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．[自主解答] (1)因f(x)＝a ln x＋12x＋32x＋1，故f′(x)＝ax－12x2＋32.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x2＝3x ＋1x －12x2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.———————————————————求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的附近两侧的符号：具体如下表：x x<x0x0x>x0f′( x)f′(x)>0f′(x)＝0f′(x)<0f(x)增极大值f(x0)减x x<x0x0x>x0f′( x)f′(x)<0f′(x)＝0f′(x)>0f(x)减极小值f(x0)增2．已知函数f (x )＝e－kx·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x －1k (k <0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数k ，使得函数f (x )的极大值等于3e －2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f (x )的定义域为R.f ′(x )＝－k e－kx⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x －1k ＋e －kx (2x ＋1)＝e－kx[－kx 2＋(2－k )x ＋2]，即f ′(x )＝－e －kx (kx －2)(x ＋1)(k <0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2k.当k ＝－2时，f ′(x )＝2e 2x (x ＋1)2≥0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)．当－2<k <0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2k 和(－1，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ，－1.当k <－2时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，2k . (2)当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2. 理由如下：当k ＝－2时，f (x )无极大值．当－2<k <0时，f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＝e －2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋1k ，令e －2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋1k ＝3e －2，即4k 2＋1k ＝3，解得k ＝－1或k ＝43(舍去)．当k <－2时，f (x )的极大值为f (－1)＝－e kk. 因为e k <e－2,0<－1k <12，所以－e kk<12e－2.因为12e－2<3e－2，所以f(x)的极大值不可能等于3e－2.综上所述，当k＝－1时，f(x)的极大值等于3e－2.利用导数解决函数的最值问题[例3] 已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[自主解答] (1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x (－∞，k－1)(k－1)(k－1，＋∞)f′(－0＋x)f(x)－e k－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.保持本例条件不变，求f(x)在[0,1]上的最大值．解：由本例(2)可知．①当k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)＝(1－k)e.②当1<k<2时，由于f(0)＝－k，f(1)＝(1－k)e.令f(1)－f(0)＝(1－k)e＋k＝0，得k＝ee－1.∴当1＜k<ee－1时，f(1)>f(0)．此时f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)＝(1－k)e.当ee－1<k<2时，f(1)<f(0)．此时f(x)在[0,1]上的最大值是f(0)＝－k.③当k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)＝－k.综上所述，当k<ee－1时，f(x)在[0,1]上的最大值为(1－k)e；当k>ee－1时，f(x)在[0,1]上的最大值为－k.———————————————————利用导数求函数最值的方法求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y ＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，也可利用函数的单调性求得．3．(2012·江西高考)已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x.依题意须对于任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x －a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以须f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－x e x<0，f(x)符合条件；当a<0时，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件．故a的取值范围为0≤a≤1.(2)因g(x)＝(－2ax＋1＋a)e x，所以g′(x)＝(－2ax＋1－a)e x.(ⅰ)当a＝0时，g′(x)＝e x>0，g(x)在x ＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e.(ⅱ)当a＝1时，对于任意x∈(0,1)有g′(x)＝－2x e x<0，g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，在x＝1处取得最小值g(1)＝0.(ⅲ)当0<a<1时，由g′(x)＝0得x＝1－a>0.2a①若1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.②若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a处取得最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＝2a e 12aa-，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时，g (x )在x ＝1处取得最小值 g (1)＝(1－a )e.1个流程——解决函数极值问题的一般流程2个防范——解决函数的极值或最值应注意的问题(1)根据极值的定义，导数为0的点只是一个可疑点，不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数也不一定为0，还要考察函数在该点处的导数是否存在．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.答题模板——函数的单调性、极值、最值问题[典例] (2012·北京高考)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有公共切线――――――――――――――――→两曲线在x ＝1处的纵坐标及导数相同⎩⎨⎧ f 1＝g 1，f ′1＝g ′1.2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求a ，b 的值―――――――――――――→需要建立关于a ，b 的方程组将⎩⎨⎧f 1＝g 1f ′1＝g ′1用a ，b 表示即可．3．建联系，找解题突破口问题转化为解方程组⎩⎨⎧f 1＝g 1f ′1＝g ′1――――――――――→须求f ′x 和g ′x f ′(x )＝2ax ， g ′(x )＝3x 2＋b ―――――――→将x ＝1代入 ⎩⎨⎧a ＋1＝b ＋12a ＝3＋b⇒a ＝b ＝3. 第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：a2＝4b―――――――――――――――――――――→可消掉一个参数，使f x 与g x 含有同一个参数s\do5( )f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋14a 2x .2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求函数f (x )＋g (x )的单调区间及其在区间(－∞，－1]上的最大值―――――――――――――→f x ＋g x 含x 3及参数a应利用导数解决． 3．建联系，找解题突破口问题转化为求函数h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1的导数―――――――――――――――→由h ′x >0和h ′x <0确定单调区间s\do5( )单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－a6，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6(]126a a-∞-−−−−−−−−−−−−→讨论-及-与区间，的关系，求最值错误![准确规范答题](1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，⇨(2分) 因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以错误!⇨(3分)即⎩⎨⎧a ＋1＝b ＋1，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.⇨(4分)(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )， ∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，易忽视条件“在它c 处具有公切线”的双重性而造b 的方程组，从而使题目无法求解解得，x1＝－a2，x2＝－a6.a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：∴函数h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6.⇨(6分)①当－1≤－a2，即 0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a24；⇨(8分)②当－a 2<－1≤－a6，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，h (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1；⇨(10分)③当－1>－a6，即a >6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.⇨(12分)综上所述：当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.⇨(13分)[答题模板速成]用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答：⇒⇒一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析：选 C 依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′x>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：选B 令函数g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2>0，因此，g(x)在R上是增函数，又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为g(x)>g(－1)，由g(x)的单调性，可得x>－1.3．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝x e x，则( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：选D 求导得f′(x)＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)，令f′(x)＝e x(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．4．函数f (x )＝x33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：选A f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.5．(2013·咸宁模拟)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1解析：选A ∵y ′＝3x 2－3，∴当y ′＝0时，x ＝±1.则x，y′，y的变化情况如下表：因此，当函数图象与轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.6．(2012·福建高考)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选C ∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)<0，得1<x<3，由f′(x)>0，得x<1或x>3，∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，∴y极大值＝f(1)＝4－abc>0，y极小值＝f(3)＝－abc<0.∴0<abc<4.∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．解析：由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)<0，即3(x－11)(x ＋1)<0，解得－1<x<11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)8．已知函数f(x)＝e x－2x＋a有零点，则a 的取值范围是______________．解析：由原函数有零点，可转化为方程e x －2x＋a＝0有解，即方程a＝2x－e x有解．令函数g(x)＝2x－e x，则g′(x)＝2－e x，令g′(x)>0，得x<ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以a的取值范围为(－∞，2ln 2－2]．答案：(－∞，2ln 2－2]9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．解析：由题求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.答案：－13三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(0,0)，(2,0)．(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．解：(1)由题设可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵f ′(x )的图象过点(0,0)，(2,0)，∴⎩⎨⎧b ＝0，12＋4a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝0.(2)由f ′(x )＝3x 2－6x >0，得x >2或x <0， ∴在(－∞，0)上f ′(x )>0，在(0,2)上f ′(x )<0，在(2，＋∞)上f ′(x )>0.∴f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f (x )在x ＝2处取得极小值．所以x 0＝2.由f (2)＝－5，得c ＝－1.∴f (x )＝x 3－3x 2－1.11．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有一个公共点，求实数a 的值；(3)若函数y ＝f (x )＋g (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，且x 2－x 1>ln 2，求实数a 的取值范围．解：(1)令f ′(x )＝ln x ＋1＝0得x ＝1e，①当0<t <1e 时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t ＋2上单调递增，此时函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；②当t ≥1e 时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，此时函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f (t )＝t ln t .(2)由题意得，f (x )－g (x )＝x ln x ＋x 2－ax ＋2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，即a ＝ln x ＋x ＋2x在(0，＋∞)上有且仅有一个根，令h (x )＝ln x ＋x ＋2x ，则h ′(x )＝1x ＋1－2x2＝x 2＋x －2x 2＝1x2(x ＋2)(x －1)，易知h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以a ＝h (x )min ＝h (1)＝3.(3)由题意得，y ＝f (x )＋g (x )＝x ln x －x2＋ax －2，则其导函数为y ′＝ln x －2x ＋1＋a ，由题意知y ′＝ln x －2x ＋1＋a ＝0有两个不同的实根x 1，x 2，等价于a ＝－ln x ＋2x －1有两个不同的实根x 1，x 2，且x 1<x 2，等价于直线y ＝a 与函数G (x )＝－ln x ＋2x－1的图象有两个不同的交点．由G ′(x )＝－1x ＋2，得G (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，画出函数G (x )图象的大致形状(如图)．由图象易知，当a >G (x )min ＝G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 2时，x 1，x 2存在，且x 2－x 1的值随着a 的增大而增大．而当x 2－x 1＝ln 2时，则有⎩⎨⎧ln x 1－2x 1＋1＋a ＝0，ln x 2－2x 2＋1＋a ＝0，两式相减可得ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)＝2ln 2，得x 2＝4x 1，代入上述方程组解得x 1＝ln 23，x 2＝43ln 2，此时实数a ＝23ln 2－ln ⎝⎛⎭⎪⎫ln 23－1，所以实数a 的取值范围为a >23ln 2－ln ⎝⎛⎭⎪⎫ln 23－1. 12．已知函数f (x )＝x －12ax 2－ln(1＋x )，其中a ∈R.(1)若x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 1－a －axx ＋1，x ∈(－1，＋∞)．依题意，得f ′(2)＝0，解得a ＝13.经检验，a ＝13时，符合题意．。

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高考数学精品资料2014届高三理科数学一轮复习试题选编28：导数一、选择题1 ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知函数ln ,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则3z x y =-在D 上的最大值为（）A ．4B ．3C ．D ． 1-2 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线e ()1xf x x =-在0x =处的切线方程为（）A ．10x y --=B ．10x y ++=C ．210x y --=D ．210x y ++=3 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数()f x 是定义域为R 的可导函数,且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立.若当1x ≠时,不等式(1)()0x f x '-⋅<成立,设(0.5)a f =,4()3b f =,(3)c f =,则a ,b ,c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >>4 ．（2013北京东城高三二模数学理科）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,且当(,0)x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<(其中()f x '是()f x 的导函数),若0.30.3(3)(3)a f =⋅,(log 3)(log 3)b f ππ=⋅,3311(log )(log )99c f =⋅,则a ,b ,c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>5 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知函数()sin f x x x =,则π()11f ,(1)f -,π3f -（）的大小关系为（）A ．ππ()(1)()311f f f ->-> B ．ππ(1)()()311f f f ->->C ．ππ()(1)()113f f f >->-D ．ππ()()(1)311f f f ->>-二、填空题6 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为_____________7 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行,则切点坐标为_____________,切线方程为_____________.8 ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）设定义在R 上的函数()x f 是最小正周期为π2的偶函数,()x f '是()x f 的导函数.当[]π,0∈x 时,()10<<x f ;当()π,0∈x 且2π≠x 时,()02<'⎪⎭⎫⎝⎛-x f x π.则函数()x x f y cos -=在[]ππ3,3-上的零点个数为___________.9 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值,则实数m 的取值范围是_______________10．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）曲线1()f x x x =+在12x =处的切线方程是______,在x=x 0处的切线与直线y x =和y 轴围成三角形的面积为________.11．（2009高考(北京理)）设()f x 是偶函数,若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1,则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________.三、解答题12．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）(本小题满分13分) 设ax x x x f 22131)(23++-= （1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.13．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数()()()12,03123-+=>-=b bx x g a ax x x f .(I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; (II)当b a 21-=时,若函数()()x g x f +在区间()0,2-内恰有两个零点,求a 的取值范围; (III)当121=-=b a 时,求函数()()x g x f +在区间[]3,+t t 上的最大值.14．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知:函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=,其中R a ∈.(Ⅰ)若2x =是)(x f 的极值点,求a 的值; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间;(Ⅲ)若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围.15．（2013届北京大兴区一模理科）已知函数2()=(1)x af x x --，(1,)x ??．(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)+?上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．16．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知函数2()()xaf x x x a e =+-(0a >).(Ⅰ)当1=a 时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当5x =-时,()f x 取得极值.① 若5m ≥-,求函数()f x 在[],1m m +上的最小值;② 求证:对任意12,[2,1]x x ∈-,都有12|()()|2f x f x -≤.17．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））设函数321()()3f x ax bx cx a b c =++<<,其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -. (Ⅰ)求证:01ba<≤; (Ⅱ)若函数()f x 的递增区间为[,]s t ,求||s t -的取值范围.18．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知函数ax x x a x f ++-=2221ln 2)()(R a ∈. (Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）当0<a 时，求函数)(x f 在区间],1[e 的最小值.19．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知函数()e (1)ax af x a x=⋅++,其中1a ≥-.(Ⅰ)求()f x 的单调递减区间;(Ⅱ)若存在10x >,20x <,使得12()()f x f x <,求a 的取值范围.20．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知函数2()(0)xax bx cf x a e ++=>的导函数'()y f x =的两个零点为-3和0. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为3e -，求f(x)在区间[5,)-+∞上的最大值.21．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）（本小题满分13分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在点P （1，)1(f ）处的切线的倾斜角为4π，求()f x 在[]1,1-上的最小值；（Ⅱ）若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．22．（2013届北京丰台区一模理科）已知函数1()f x x a=+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值； (Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()()()g x x f x ϕ=的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。

23．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极大值,求实数a 的值;(Ⅱ)若m ∀∈R ,直线y kx m =+都不是曲线()y f x =的切线,求k 的取值范围; (Ⅲ)若1a >-,求()f x 在区间[0,1]上的最大值.24．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分13分)已知函数21()ln (0).2f x x a x a =-> (Ⅰ)若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 在区间[1,e]上的最小值;(III)若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点,求a 的取值范围.25．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）已知函数f(x)=ax-1-1n x,a ∈R.(I)讨论函数f(x)的单调区间:(II)若函数f(x)在x=l 处取得极值,对∀x ∈(0,+∞),f(x)≥bx -2恒成立,求实数b 的取值范围.26．（2013北京东城高三二模数学理科）已知函数()ln af x x x=+(0)a >.(Ⅲ)讨论关于x 的方程32()1()22x bx a f x x ++=-的实根情况. 27．（2013北京西城高三二模数学理科）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+,其中a ∈R . (Ⅰ)若2a =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值.28．（2013届北京海滨一模理科）已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值.(I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.29．（2011年高考（北京理））已知函数2()()xkf x x k e =-(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)若对任意的(0,)x ∈+∞,都有1()f x e≤,求k 的取值范围. 30．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）(本小题满分13分)已知函数1)(2+-=x axb x f . （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值2，求,a b 的值；（Ⅱ）当221b a =-时，讨论函数()f x 的单调性.31．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知函数()mx f x x =++211(m ≠0),2()e ()axg x x a =∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)当m >0时,若对任意12,[0,2]x x ∈,12()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围.32．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知函数21()6ln(2)2f x ax x =-++在2x =处有极值.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若直线y kx =与函数'()f x 有交点,求实数k 的取值范围.33．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知函数1ln )(++=x xb a x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2=+y x .(I)求a ,b 的值;(II)对函数)(x f 定义域内的任一个实数x ,xmx f <)(恒成立,求实数m 的取值范围. 34．（2012北京理）18.已知函数()2()10f x ax a =+>,3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线,求a ,b 的值; (2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(],1-∞-上的最大值.35．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）已知函数x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=(Ⅰ)若2=a ，求函数)(x f 在（1，)1(f ）处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数)(x f 的单调区间36．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知函数 ()21()2ln (21)2f x x ax a x a R =+-+∈. (Ⅰ)当12a =-时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; (Ⅱ)若a >0,讨论()f x 的单调性.37．（2010年高考（北京理））已知函数f (x )=In (1+x )-x +22k x (k ≥0). (Ⅰ)当k =2时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求f (x )的单调区间.38．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知函数()21ax e x f x+=,其中a 为正实数, 718.2=e .(I)若21=x 是()x f y =的一个极值点,求a 的值; (II)求()x f 的单调区间.39．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知函数e ().1ax f x x =-（I ）当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.40．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ag x x =-．若至少存在一个0[1,e]x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．41．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知函数2(1)()a x f x x-=,其中0a >. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线,求实数a 的值;(Ⅲ)设2()ln ()g x x x x f x =-,求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.(其中e 为自然对数的底数)42．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）已知函数().(1)若,试确定函数的单调区间;(2)若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于,求实数的取值范围.(3)若,求的取值范围.43．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++,其中2a ≤.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点,求实数a 的取值范围.44．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题）已知函数()()322,.f x x ax bx a a b R =+++∈（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值．45．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . (I)当0a =时,求函数()S t 的单调区间;(II)当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.46．（2009高考(北京理)）设函数()(0)kx f x xe k =≠(Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅲ)若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增,求k 的取值范围.47．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）已知函数(为自然对数的底数)(1)求的最小值;(2)设不等式的解集为,若,且,求实数的取值范围(3)已知,且,是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比数列,使得?若存在,请求出数列的通项公式.若不存在,请说明理由.48．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知函数32ln )(+-=ax x a x f （0≠a ）.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ）函数)(x f y =的图像在2=x 处的切线的斜率为,23若函数])([31)('23m x f x x x g ++=，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围。