三角函数复习学案
学案1三角函数的概念
学案1三角函数的概念复习目标：理解任意角的概念；掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号；理解弧度制的意义，并能正确地进行角度与弧度之间的换算.重点：任意角三角函数的定义学习过程：课前预习：内化知识 夯实基础一． 知识回顾：1．角的定义：由一条射线绕着端点旋转而成，其中旋转开始的射线叫 正角的形成是由 ，负角的形成是由 ，当射线不转时也形成一个角，这个角是 .2．1弧度的角： .度与弧度的转化关系是 ,弧长、圆心角、半径及圆弧面积之间的关系有 ； .3．任意角的三角函数：),(y x P 为角α终边上一点，它与原点距离为)0( >r r ，则=αsin ；=αc o s ；αt a n= . 二．回顾性题组1．已知角α的终边过点)4,3(-，则=αsin ；=αc o s ；αt a n = .2．α是第一象限的角⇔2 ααcos sin + 1；ααcos sin +<1-⇔ ；ααcos sin 1+<-1<⇔ ；ααcos sin +1=⇔ ；ααc o s s i n <⇔ .3．角θ的终边在第二、第四象限的角平分线上，则角θ的集合为4．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则α、β的关系为 ；若角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系为5．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 6．比较大小：18sin 18cos7．时针走过1小时20分，则分针转过的角为8．若βαsin sin =，则α、β满足的关系为二、课堂互动：积极参与 领悟技巧例1．已知34πβαπ<+<，3πβαπ-<-<- . 求βα-2的范围.例2．求函数)21(cos log )(sin +=x x f x 的定义域三、强化训练：1．如果0cos sin <⋅αα，且)1,0(cos sin ∈+αα，那么角α终边在（ ）A ．第二象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限D ．第四象限2．设角α终边上一点)0( )3,4(<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值为（ ）A ．52B ．5252-或C ．52- D ．与α有关 3．已知点)tan ,cos (sin ααα-P 在第一象限，则在[]π2,0内α的取值范围是 .4．化简8sin 1-的结果是5．已知扇形周长为cm 20，当扇形的中心角α为 时，它有最大面积；最大面积6．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,42|ππ与⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k x x P ,4|π之间的关系为7．设α是第二象限的角，且2cos 2cos αα-=，则2sin α8．已知βαsin sin >，下列命题正确的是 （ ）A ．若βα、是第一象限的角，则βαcos cos >B ．若βα、是第二象限的角，则βαtan tan >C ．若βα、是第三象限的角，则βαcos cos >D ．若βα、是第四象限的角，则βαtan tan >9．ABC ∆中， B A sin sin >是A >B 成立的 条件滕州一中高三数学《必修4》作业班级： 姓名： 学号： 成绩 。
(完整版)高一数学《三角函数》复习教案
必修 4 第一章 三角函数 复习（一）一、 基本知识1、随意角：（1）正角：按逆时针旋转所形成的角（2）负角：按顺时间旋转所形成的角（3）零角：没有旋转（始边和终边重合） 2、象限角：终边所在象限 3、与角 终边同样的角： n 360o n Z 4、弧度制和角度制的转变：rad180o1R5、弧长公式： l21 扇形面积公式： SR 2 lR26、特别角三角函数值：角 0 30o45o60o90o 180o270o 360o弧度制3 2 643 22sin1 23 10 1 0222cos3 21 011 222tan31 3不存在不存在37、三角函数公式：（ 1）同角三角函数基本关系： sin 2cos 21tansin （ 2）三角函数引诱公式：cos公式一：角度制： sin(k 360 ) sin弧度制： sin(2k ) sincos( k 360 ) cos cos( 2k ) costan( k 360 ) tantan(2k ) tan公式二：角度制： sin(180 ） sin弧度制： sin(） sin cos(180 ）coscos( ）costan(180） tantan(） tan 公式三： sin( ) sincos( ) costan()tan公式四：角度制： sin(180） sin 弧度制： sin(） sin cos(180 ） cos cos(）costan(180） tantan(） tan 公式五：角度制： sin(90 o)cos 弧度制： sin(2) coscos(90o)sincos(2) sin公式六：角度制： sin(90 o)cos弧度制： sin(2) coscos(90 o)sincos()sin8、周期函数：2f一般地，对于函数 f ( x) ，假如存在一个非零常数 T ，使适当 x 取定义域内的每一个值时，都有( x ＋ T ＝fx ，那么函数 f ( x 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期) ( ))9、正弦函数： y=sinx（ 1）定义域： R 值域： [-1,1]（ 2）图象：五点法绘图正弦函数 y=sinx ，x∈[0 ， 2π ] 的图象中，五个重点点是： (0,0) (,1) (,0) (3,-1) (2 ,0)22（ 3）周期性： 2kπ (k ∈Z 且 k≠ 0) 都是它的周期，最小正周期是2π（4）奇偶性：正弦函数在定义域 R 内为奇函数，图象对于原点对称（5）单一性：在［－2＋ 2kπ，2＋2kπ］( k∈ Z) 上都是增函数；3在［2＋2kπ，2＋2kπ］( k∈ Z) 上都是减函数。
高三数学高考《三角函数》专题学案二倍角的正弦、余弦、正切
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切1．基本公式：sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 2．公式的变用：1＋cos2α＝ ； 1－cos2α＝ ． 例1. 求值：140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒解：原式＝︒+︒︒+︒80cos 40cos 80sin 40sin＝)2060cos()2060cos()2060sin()2060sin(︒+︒+︒-︒︒+︒+︒-︒＝3 变式训练1：)12sin12(cos ππ-(cos12π＋sin12π)＝ （ ） A ．－23 B ．－21 C ． 21 D ．23解：D例2． 已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值. 解：∵α为锐角 ∴ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -＝ααααα2cos cos sin 2)1cos 2(sin 2-＝αcos 1＝α2tan 1+＝45变式训练2：化简：)4(sin )4tan(21cos 222απαπα+⋅--解：原式＝)4(cos )4cos()4sin(22cos 2απαπαπα-⋅--＝1例3．已知x x x x f cos sin sin 3)(2+-=；(1) 求)625(πf 的值； (2) 设2341)2(),,0(-=∈απαf ，求sinα的值． 解：（1）∵23625cos21625sin ==π ∴0625cos 625sin 625cos 3)625(2=+-=ππππf （2）x x x f 2sin 21232cos 23)(+-= ∴234123sin 21cos 23)2(-=-+=ααa f 16sin22－4sinα－11＝0 解得8531sin ±=α ∵0sin ),0(2>∴∈απ 故8531sin +-=α 变式训练3：已知sin(απ-6)＝31，求cos(απ232+)的值． 解：cos(32π＋2α)＝2cos 2(3π＋α)－1 ＝2sin 2(6π－α) －1＝－97 例4．已知sin 2 2α＋sin 2α cosα－cos2α＝1，α∈(0，2π)，求s inα、tanα的值． 解：由已知得sin 22α＋sin2αcosα－2cos 2α＝0 即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0 cos 2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0 ∵α∈(0，2π) cosα≠0 sinα≠－1∴2sinα＝1 sinα＝21 ∴tanα＝33变式训练4：已知α、β、r 是公比为2的等比数列])2,0[(πα∈，且sinα、sinβ、sinr 也成等比数列，求α、β、r 的值．解：∵α、β、r 成公比为2的等比数列． ∴β＝2α，r ＝4α∵sinα、sinβ、sinr 成等比数列 ∴12cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 2-=⇒=⇔=αααααβαβr 即01cos 2cos 22=--α，解得cosα＝1或21cos -=α当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去 当21cos -=α时，∵2∈*0,2π+ ∴322π=或322π=∴38,34,32ππβπα===r 或316,38,34ππβπα===r1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)． 3．对三角函数式的变形有以下常用的方法： ① 降次（常用降次公式）② 消元（化同名或同角的三角函数） ③ 消去常数“1”或用“1”替换 ④ 角的范围的确定第5课时 三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少； ③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[2,2ππ-]、[0，π+、（2,2ππ-）的角．例1. （1）化简：40cos 170sin )10tan 31(50sin 40cos +++（2）化简：xx xx 4466cos sin 1cos sin 1----解：∵10cos 10sin 310cos 10tan 31+=+＝10cos 50cos 210cos )1060cos(2=- ∴原式20cos 220cos 220cos 2140cos 20cos 270sin 10cos 50cos 50sin 240cos 222=+=⋅+==2变式训练1：已知xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈，则+)(cos αf )cos (α-f 可化简为 ．解：αsin 2例2. 已知0cos 2cos sin sin 622=-+αααα，α∈[2π，π]，求sin （2α＋3π）的值． 解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝0⇔3sinα＋2cosα＝0或2sinα－cosα＝０由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠2π即α∈(2π,π) ∴tanα＝－32sin(2α＋3π)＝sin2αcos3π＋cos2αsin 3π＝sinαcosα＋23(cos 2α－sin 2α)＝αααααααα222222sin cos sin cos 23sin cos cos sin +-⨯++＝αααα222tan 1tan 123tan 1tan +-+++＝2635136+-解法二：由已知条件可知cosα≠0 则α≠2π从而条件可化为 6 tan 2α＋tanα－2＝0 ∵α∈(2π,π) 解得tanα＝－32(下同解法一)变式训练2：在△ABC 中，22cos sin =+A A ，2=AC ，3=AB ，求tan A 的值和△ABC 的面积． 解：∵sinA ＋cosA ＝22 ①∵2sinAcosA ＝－21从而cosA ＜0 A ∈(ππ,2)∴sinA －cosA ＝A A A A cos sin 4)cos (sin 2-+＝26 ②据①②可得 sinA ＝426+ cosA ＝426+- ∴tanA ＝－2－3S △ABC ＝4)26(3+例3. 已知tan(α－β)＝21，tan β＝-71，且α、β∈（0，π），求2α－β的值. 解：由tanβ＝－71 β∈(0，π)得β∈(2π, π) ①由tanα＝tan*(α－β)＋β+＝31 α∈(0，π)得0＜α＜2π ∴ 0＜2α＜π由tan2α＝43＞0 ∴知0＜2α＜2π ②∵tan(2α－β)＝βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1由①②知 2α－β∈(－π，0) ∴2α－β＝－43π (或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．解：由sinα＝415α为第二象限角∴cosα＝－41∴)cos (sin cos 2)4sin(12cos 2sin )4sin(αααπαααπα++=+++＝αcos 221＝－2例4．已知310cot tan ,43-=+<<ααπαπ． （1）求tanα的值； （2）求)2sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值．解：（1）由310cot tan -=+αα 得03tan 102tan 32=++α 解得tanα＝－3或31tan -=α 又παπ<<43，所以31tan -=α为所求．（2）原式：ααααcos 282cos 111sin 42cos 15--+⋅++-⋅=ααααcos 2216cos 1111sin 8cos 55--+++-=625226tan 8cos 22cos 66sin 8-=-+=-=αααα 变式训练4：已知k =++αααtan 12sin sin 22（4π<α<2π），试用k 表示sin α－cos α的值． 解：∵αααααcos sin 2tan 12sin sin 22=++∴k ＝2sinαcosα ∵(sinα－cosα)2＝1－k 又∵α∈(2,4ππ) ∴sinα－cosα＝k-11．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度 ② 变换函数名 ③ 变换解析式结构3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．。
高三数学一轮复习24.三角函数的性质学案
高三数学一轮复习 24.三角函数的性质学案【学习目标】1．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期． 2．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题． 预 习 案2. y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|. y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|. 3. (1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式． (2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数单调性，应利用复合函数单调性研究． (3)注意各性质应从图像上去认识，充分利用数形结合解决问题． 【预习自测】1．若函数y ＝cos(ωx －π6)(w >0)的最小正周期为π5，则w ＝________.2．比较下列两数的大小．(1)sin125°________sin152°；(2)cos(－π5)________cos 3π5；(3)tan(－3π5)________tan 2π5.3．(1)函数y ＝sin(x ＋π4)的单调递增区间是________ ；函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x对称性对称轴x ＝π2＋k πx ＝k π无 对称中心(k π，0)(π2＋k π，0) (k π2，0)(2)函数y＝tan(12x－π4)的单调递增区间是________ ．4．若y＝cos x在区间[－π，α]上为增函数，则α的取值范围是________．5．函数f(x)＝sin x cos x＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是 ( )A．π，1 B．π，2、 C．2π，1 D．2π，2探究案题型一：三角函数的周期性例1. 求下列函数的周期．(1)y＝2|sin(4x－π3)|； (2)y＝(a sin x＋cos x)2(a∈R)；(3)y＝2cos x sin(x＋π3)－3sin2x＋sin x cos x.拓展1. (1)f(x)＝|sin x－cos x|的最小正周期为________．(2)若f(x)＝sinωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是_____．题型二：三角函数的奇偶性例2.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cos(π2＋2x)c os(π＋x)； (2)f(x)＝x sin(5π－x) （3）f(x)＝sin(2x－3)＋sin(2x＋3)；（4）f(x)＝cos x－sin x1－sin x；（5）y＝sin(2x＋π2)；（6）y＝tan(x－3π)拓展2：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为 ( )A.3π4B.π4C．0 D．－π4题型三：三角函数的对称性例3.(1)函数f(x)＝sin(2x－π6)的对称中心为 .对称轴方程为．(2)设函数y＝sin2x＋a cos2x的图像关于直线x＝－π6对称，a= ．(3)函数y＝tan(x2＋π3)的图像的对称中心为__________．拓展3. (1)函数y＝sin(2x＋π3)的图像的对称轴方程可能是 ( )A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12(2)函数y＝2cos x(sin x＋cos x)的图像的一个对称中心的坐标是 ( )A．(3π8，0) B．(3π8，1) C．(π8，1) D．(－π8，－1)题型四：三角函数的单调性例4 (1)求函数y＝cos(－2x＋π3)的单调递减区间；(2)求函数y＝sin(π3－2x)的单调递减区间；(3)求y＝3tan(π6－x4)的最小正周期及单调递减区间；(4)求函数y＝－|sin(x＋π4)|的单调递减区间．拓展4：(1)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是A．[12，54] B．[12，34] C．(0，12] D．(0,2] ( )(2)求函数f(x)＝2sin x cos x－2cos2x＋2的单调区间．我的学习总结：（1）我对知识的总结 .（2）我对数学思想及方法的总结。
高三三角函数综合复习学案
授课主题三角函数综合复习1、熟记三角函数的最值、单调性、对称性、周期性教学目标2、运用知识点学会处理三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值等问题授课日期及时段教学内容第1讲三角函数的图象与性质考情解读(1)以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．(2)考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2kπ，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k∈Z )对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心：(k π2，0)(k ∈Z )3.三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x――→φ>0φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x ―――――――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx――→φ>0φ<0平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0).考点一 ：三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q 点的坐标为________．(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos π2＋αsinαcos 11π2－αsin 9π2＋α的值为________．思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式． 答案 (1)(－12，32) (2)－34解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.所以Q 点的坐标为(－12，32)．(2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义， 得tan α＝yx ＝－34，所以原式＝－34.变式训练： (1)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.(2)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________． 答案 (1)1825 (2)7π4解析 (1)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.(2)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.考点二 ：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式例2 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象解析式为________．(2)若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在[0，π2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．思维启迪 (1)先根据图象确定函数f (x )的解析式，再将得到的f (x )中的“x ”换成“x－π6”即可． (2)将零点个数转换成函数图象的交点个数． 答案 (1)y ＝sin(2x －π6) (2)(－2，－1]解析 (1)由图知，A ＝1，3T 4＝11π12－π6，故T ＝π＝2πω，所以ω＝2，又函数图象过点(π6，1)，代入解析式中，得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，故φ＝π6.则f (x )＝sin(2x ＋π6)向右平移π6后，得到y ＝sin[2(x －π6)＋π6)＝sin(2x －π6)．(2)由题意可知y ＝2sin(2x ＋π6)＋a ，该函数在[0，π2]上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin(2x ＋π6)在[0，π2]上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a <2，所以－2<a ≤－1.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．变式训练：(1)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为________．(2)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小正值为________．答案 (1)163 3 (2)12解析 (1)由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)． 则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得， PM ＝2－a22a22＝25，解得a ＝8，由此得，T2＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.(2)y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6，得到y ＝tan(ωx ＋π4－ωπ6)的图象，与y ＝tan(ωx ＋π6)重合，得π4－ωπ6＝k π＋π6，故ω＝－6k ＋12，k ∈Z ，所以ω的最小正值为12.考点三 三角函数的性质例3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)． 解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin(2x ＋π4)＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路：第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．变式训练： 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象；若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解 (1)由题意得f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx － 3 ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π3)，由周期为π，得ω＝1，得f (x )＝2sin(2x －π3)，函数的单调增区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin 2x ＋1的图象， 所以g (x )＝2sin 2x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间．(1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式． (1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5．特别提醒进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.真题感悟1．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数的单调增区间为________． 答案 [k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x－23π)的单调增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z . 2．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 3、已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，g (x )＝sin x －cos x ，有下列四个命题： ①将f (x )的图象向右平移π2个单位长度可得到g (x )的图象；②y ＝f (x )g (x )是偶函数；③f (x )与g (x )均在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④y ＝f xg x的最小正周期为2π.其中真命题的个数是________． 答案 3解析 f (x )＝2sin(x ＋π4)，g (x )＝sin x －cos x＝2sin(x －π4)，显然①正确；函数y ＝f (x )g (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ， 其为偶函数，故②正确；由0≤x ＋π4≤π2及－π2≤x －π4≤0都可得－π4≤x ≤π4，所以由图象可判断函数f (x )＝2sin(x ＋π4)和函数g (x )＝2sin(x －π4)在[－π4，π4]上都为增函数，故③正确；函数y ＝f xg x ＝sin x ＋cos x sin x －cos x ＝1＋tan x tan x －1＝－tan(x ＋π4)，由周期性定义可判断其周期为π，故④不正确．4、已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g (x )＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，因为0≤x ≤π2，所以－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1一、填空题1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为________．答案y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6解析 由三角函数的定义可知，初始位置点P 0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.2．(2014·四川改编)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点向________平移________个单位长度． 答案 左 12解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为____________________________________________． 答案 12解析 依题意知T 2＝2π3－π6，所以T ＝π＝2πω，所以ω＝2，将点(π6，1)代入y ＝sin(2x＋φ)得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，φ＝π6，故y ＝sin(2x ＋π6)，与y 轴交点纵坐标为12. 4．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM→·ON →＝0，则A ·ω＝________.答案7π6解析 由题中图象知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6.5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)<f (π)，则下列结论正确的是________． ①f (1112π)＝－1；②f (7π10)>f (π5)；③f (x )是奇函数；④f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．答案 ④解析 由f (x )≤|f (π6)|恒成立知x ＝π6是函数的对称轴，即2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又f (π2)<f (π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sin φ<sinφ.所以sin φ>0，得φ＝π6，即f (x )＝sin(2x ＋π6)，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．6．已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值分别为________________________________________________________________________．答案 2，π3解析 因为A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，A (－π6，0)，由题意得T ＝4×(π12＋π6)＝π，所以ω＝2，因为A (－π6，0)，所以f (－π6)＝sin(－π3＋φ)＝0,0<φ<π2，φ＝π3.7．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案 3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位长度得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案32解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f (2×π12)＝f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝32.9．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－32，3]解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]．10．给出命题：①函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x )(x ∈R )的最小值等于－1；②函数y ＝sin πx cos πx 是最小正周期为2的奇函数；③函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π2]上单调递增的；④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________． 答案 ①④解析 对于①，函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x )＝sin(π3－x )，所以其最小值为－1；对于②，函数y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数，但其最小正周期为1；对于③，函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π4]上单调递增，在区间[π4，π2]上单调递减；对于④，由⎩⎨⎧sin 2α<0，cos α－sin α<0⇒cos α<0，sin α>0，所以α一定为第二象限角．二、解答题11．已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α.解 (1)f (x )的最小正周期T ＝2π3.(2)由函数的最大值为4，可得A ＝4. 所以f (x )＝4sin(3x ＋φ)． 当x ＝π12时，4sin(3×π12＋φ)＝4，所以sin(π4＋φ)＝1，所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π4.所以f (x )的解析式是f (x )＝4sin(3x ＋π4)．(3)因为f (23α＋π12)＝125，故sin(2α＋π4＋π4)＝35.所以cos 2α＝35，即1－2sin 2α＝35，故sin 2α＝15.所以sin α＝±55.12．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在x ∈[0，π2]上的值域．解 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得 sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，∵x ∈[0，π2]，∴53x －π6∈[－π6，2π3]，∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2]．中国教育培训领军品牌31。
三角函数的复习教案
三角函数的复习教案教案标题：三角函数的复习教案教案目标：1. 复习学生对三角函数的基本概念和性质的理解。
2. 强化学生对三角函数的图像、周期、幅值和相位的掌握。
3. 提高学生解决与三角函数相关问题的能力。
4. 激发学生对数学的兴趣和学习动力。
教学资源：1. 教材：包括相关章节的教科书和练习册。
2. 多媒体设备：投影仪、电脑等。
3. 白板、彩色笔等。
教学过程：引入：1. 利用多媒体设备播放一个与三角函数相关的实际应用视频或图片，引起学生对三角函数的兴趣，并与他们讨论三角函数在现实生活中的应用。
概念复习：2. 回顾三角函数的基本定义：正弦函数、余弦函数和正切函数。
3. 通过示意图和实例，复习三角函数的图像、周期、幅值和相位的概念。
4. 引导学生回顾三角函数的性质，如奇偶性、周期性、对称性等。
图像练习：5. 在白板上绘制不同的三角函数图像，并要求学生根据图像确定函数的周期、幅值和相位。
6. 给学生一些练习题，要求他们根据函数的图像绘制出函数的表达式。
计算与问题解决：7. 给学生提供一些计算题和问题，要求他们运用三角函数的性质和公式进行计算和解决问题。
8. 强调解题过程中的思考方法和步骤，鼓励学生互相讨论和交流解题思路。
拓展应用：9. 提供一些拓展应用题，让学生运用三角函数解决实际问题，如测量高度、角度等。
10. 鼓励学生自主思考和探索，引导他们发现三角函数在不同学科和领域中的应用。
总结：11. 对本节课的内容进行总结，并强调三角函数的重要性和应用价值。
12. 鼓励学生继续深入学习和探索三角函数的更多应用和性质。
作业布置：13. 布置相关的练习题和作业，巩固学生对三角函数的理解和应用能力。
14. 鼓励学生在作业中提出问题和困惑，并在下节课中进行解答和讨论。
教案评估：15. 观察学生在课堂上的参与度和表现。
16. 收集学生完成的作业，评估他们对三角函数的掌握程度。
17. 针对学生的学习情况，进行个别辅导和指导。
三角函数诱导公式与恒等变换复习学案
三角函数的概念与三角公式时间2011.11知识小结：1、三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x rα=，()tan 0yx xα=≠． 2、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 3、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()()3sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()4sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．记忆口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin()cos 2παα-=，cos()sin 2παα-=． ()6sin()cos 2παα+=，cos()sin 2παα+=-． ()37sin()cos 2παα-=-，3cos()sin 2παα-=-．()38sin()cos 2παα+=-，3cos()sin 2παα+=．记忆口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．4、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：（1)()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； （2）()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； (3)()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．5、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．6、辅助角公式：()sin cos x x x ϕA +B =+．考点精练：1、（1）已知点P (1,-2)在角α的终边上，则6sin α＋cos α3sin α－2cos α＝__________.（2）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=____ 2、（1）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . （2）已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝__________.3、已知54)540sin(-=+α，（1）=-)270cos( α______， （2）若α为第二象限角，则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα________。
202新数学复习第三章三角函数解三角形3.4三角函数的图象与性质学案含解析
第四节三角函数的图象与性质课标要求考情分析1。
能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在错误!内的单调性．以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.知识点一用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0），错误!，(π，0),错误!，（2π，0）．2．余弦函数y＝cos x，x∈［0,2π］的图象中，五个关键点是：(0,1),错误!，(π，－1），错误!，(2π,1）．知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质下表中k∈Z1.对称与周期（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ）的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况,避免出现增减区间的混淆．3．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间错误!(k∈Z)内为增函数．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．（×)（2）已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1。
(×) (3）y＝sin｜x｜是偶函数．(√）(4)由sin错误!＝sin错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x（x∈R）的一个周期．（×）解析：根据三角函数的图象与性质知（1)(2）（4)是错误的，(3）是正确的．2．小题热身(1）函数y＝tan3x的定义域为（D）A。
高三数学一轮复习第1课时三角函数的基本概念学案
高三数学一轮复习第1课时三角函数的基本概念学案【学习目标】1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化．3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意义．预习案【课本导读】1．角的概念(1)象限角：角α的终边落在就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限．(2)终边相同的角：．(3)与α终边相同的角的集合为(4)各象限角的集合为，，，2．弧度制(1)什么叫1度的角：(2)什么叫1弧度的角：(3)1°＝弧度；1弧度＝度．(4)扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝，面积S＝＝ .3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝ .(2)三角函数在各象限的符号是：sinαcosαtanαⅠⅡⅢⅣ4．三角函数线如图所示，正弦线为 ；余弦线为 ；正切线为 .【教材回归】1．下列命题为真命题的是( ) A ．角α＝k π＋π3(k ∈Z )是第一象限角 B ．若sin α＝sin π7，则α＝π7C ．－300°角与60°角的终边相同D ．若A ＝{α|α＝2k π，k ∈Z }，B ＝{α|α＝4k π，k ∈Z }，则A ＝B2．若600°角的终边上有一点P (－4，a )，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．－4 3 C ．±4 3 D. 3 3．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是( ) A ．2 B.π3 C.π6 D.2π34．已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为______．5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 探 究 案 题型一： 角的有关概念例1 设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．思考题1 (1)在区间[－720°，0°]内找出所有与45°角终边相同的角β；(2)设集合M ＝{x |x ＝k 2³180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4³180°＋45°，k ∈Z }，那么两集合的关系是什么？例2 已知角 α是第三象限角，试判断①π－α是第几象限角？②α2是第几象限角？③2α是第几象限角？思考题2 (1)如果α为第一象限角，那么①sin2α，②cos2α；③sin α2；④cos α2中必定为正值的是________．(2)若sinθ2＝45，且sin θ<0，则θ所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 题型二：三角函数的定义例3 已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，则sin α＋1tan α的值为________．思考题3 (1)若角θ的终边与函数y ＝－2|x |的图像重合，求θ的各三角函数值． (2)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )题型三：利用三角函数线解三角不等式例4 (1)不等式sin x ≥32的解集为__________ ． (2)不等式cos x ≥－12的解集为__________．(3)函数f (x )＝2sin x ＋1＋lg(2cos x －2)的定义域为_____．思考题4 (1)求函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域 ．(2)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A．若α、β是第一象限的角，则cosα>cosβ B．若α、β是第二象限的角，则tanα>tanβC．若α、β是第三象限的角，则cosα>cosβD．若α、β是第四象限的角，则tanα>tanβ题型四：弧度制的应用例5已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？思考题5若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？训练案1．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－xx2＋y2.其中正确的命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．42．sin 2²cos 3²tan 4的值( )A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在3．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A．2 B．－2 C．2－π2D.π2－25．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．sinθ>tanθ>cosθD．tanθ>sinθ>cosθ。
学案5两角和与差的三角函数及倍角公式
学案5两角和与差的三角函数及倍角公式一、两角的和与差的三角函数公式在讨论两角的和与差的三角函数公式之前，我们先来复习一下两个重要的概念，同角和，即两角的终边相同，旋转角度可以不同，但和角的初边、终边相同；差角，即两角的初边相同，但终边不同。
接下来我们将给出两角的和与差的三角函数公式。
1.两角和的三角函数公式：设有两个角theta和phi，其对应的三角函数值分别为sin(theta), cos(theta), tan(theta), sin(phi), cos(phi), tan(phi)。
则两角的和的三角函数值可以通过以下公式求得：sin(theta + phi) = sin(theta) * cos(phi) + cos(theta) *sin(phi)cos(theta + phi) = cos(theta) * cos(phi) - sin(theta) *sin(phi)tan(theta + phi) = (tan(theta) + tan(phi)) / (1 - tan(theta) * tan(phi))2.两角差的三角函数公式：设有两个角theta和phi，其对应的三角函数值分别为sin(theta), cos(theta), tan(theta), sin(phi), cos(phi), tan(phi)。
则两角的差的三角函数值可以通过以下公式求得：sin(theta - phi) = sin(theta) * cos(phi) - cos(theta) *sin(phi)cos(theta - phi) = cos(theta) * cos(phi) + sin(theta) *sin(phi)tan(theta - phi) = (tan(theta) - tan(phi)) / (1 + tan(theta) * tan(phi))二、倍角公式倍角公式是指将一个角的角度加倍后，求其对应三角函数的值的公式。
学案----1.1锐角三角函数(1)
A
学案----1.1锐角三角函数（1）
班级 姓名
【我们要掌握的】
思考问题：小红在上山过程中，下列哪些量是变量和常量(坡角，上升高度，所走路程)？ 小红在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值有变化吗？
1、已知∠A=30°,在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 与点C,请计算
BC
AB
的值.
2、已知一个50o 的∠A,在一边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C.用刻度尺先量出AB,AC,BC,的长度(精确到１毫米),再计算,,BC AC BC
AB AB AC
的值(结果保留2个有效数字),当点B 位置发生改变的时候
,,BC AC BC
AB AB AC
会不会发生改变？
经过以上几题，你发现了什么？
【我们要完成的】
3、请写出sin A = sin B =
cos A = cos B =
tan A = tan B =
4、在Rt ⊿ABC 中，∠C=Rt ∠，AB=5，BC=3， 求锐角∠A 的正弦、余弦、正切.
5、在Rt ⊿ABC 中，∠C=Rt ∠，AC ：BC=1：2，求锐角∠B 的各三角函数的值.
6、在Rt ⊿ABC 中，∠C=Rt ∠，3
sinA =
5
，求锐角∠A 的余弦 .
7、根据右边的直角三角形，把左边的表格填写起来
并观察表中的计算结果，你发现了什么？请说明理由.
8、在Rt ABC ∆中，当0
30,45,60A ∠=时，把右边的表格填写起来
8
、如图:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6.则下列结论正确的是（ ）
56
.sin ,.sin ,.65
A B B B C ==以上结论都不正确。
寒假复习学案：3三角函数图像和性质(农垦中学)
8、已知函数 y＝tanωx＋π4 (ω<0)的周期为π2 ，求该函数的定义域、值域，并 判断函数的奇偶性． 9、指出将 y＝sin x 的图象变换为 y＝sin2x＋π3 的图象的两种方法．
10、如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)
A＞0，ω＞0，|φ|＜π2 的图象的一部分，求此函数的解析式
11、已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的最小 值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4 ，且图象经过点0，52，则函
寒假复习学案：3 三角函数图像和性质
一、基础知识
1．“五点作图法”是画出 y＝sin x 和 y＝cos x 在[0，2π]上的图象，通常选择(0，0) π2 ，1 (π，0) 3π 2 ，－1 (2π，0)五点。 2．周期函数定义的三个条件
(1)设函数 f(x)的定义域为 D;
(2)存在一个非零常数 T，使得对于每一个 x∈D 都有 x+T∈D；
5、定义在 R 上的函数 ƒ(x)既是偶函数又是周期函数，若 ƒ(x)的最小正周期是π，且当
x∈0，π2 时，f (x)＝sin x，求 f 5π3 的值．
6、求函数 y＝2sinπ4 －x的单调区间．
7、(1)求函数 y＝2cos2x＋π3 ，x∈－π6 ，π6 的值域；
． (2)求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的 x 的集合
2
A．
0,
6
B．
4
,
5 4
C．
4
,
3 4
D．
3 4
,
13．若函数
y
2 sin 2 sin 2
x sin 3x 2
高三数学一轮复习学案：三角函数的最值与综合应用
高三数学一轮复习学案：三角函数的最值与综合应用一、考试要求： 1、理解正弦函数、余弦函数在[]π2,0上最大值、最小值，理解正切函数在上性质。
，⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题。
二、知识梳理：1、型三角函数式，可化为x b x a cos sin y += )sin(y 22ϕ++=x b a ，再求最值。
2、c x b x a y ++=sin sin 2型三角函数式，利用换元法转化成二次函数在闭区间上的最值问题进行求解。
三、基础检测： 1.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）232.已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ） A. |,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. |22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C. 5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 3.已知函数()sin(2)f x x φ=+其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立， 且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （ ） （A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭4.函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为 5.函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f6.已知函数f （x ）=A tan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.7．函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)在[43,8ππ]上的最大值和最小值分别是 8.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________9.求f(x)=cos 2(x-12π)+sin2(x+12π)-1的最小正周期及单调区间，以及取最值时x 的集合。
个性化辅导：高一复习学案三角函数(8-10)
个性化课程辅导教案学员姓名性别女年级高一授课时间课时3课时教研老师教学课题三角函数教学目标1理解任意角的概念会进行弧度制和角度制的互化2三角函数概念理解应用3 记忆同角三角函数函数基本关系式并会利用他们来解题。
重点难点灵活运用和计算教学内容第一讲三角函数（第一部分）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广知识概述（自主学习，构建网络）1、角的概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有顺时针和逆时针两个相反的方向，习惯上规定，按照方向旋转而成的角叫做正角；按照方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做．注意：（1）角经过推广之后，可形成任意大小的角．（2）射线OA绕端点O旋转到OB位置所成角，记作∠AOB，其始边是，终边是；∠BOA的始边是，终边是．（3）角的减法可转化为加法，即αβ-=α+，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和．2、角的讨论——象限角和终边在轴上的角：通常在直角坐标系中讨论角，使角的顶点与重合，角的始边与重合．角的终边在第几象限，就把这个角叫做（象限角）；如果角的终边在上，就认为这个角不属于任何象限（终边在轴上的角）．3、与任意角α终边相同的所有角的集合：基础训练（自我检测，明确重点）1、判断下列各语句的真假：（1）第一象限的角一定是锐角； （2）终边相同的角一定相等； （3）相等的角终边一定相同； （4）小于900的角一定是锐角； （5）钝角的终边在第二象限．2、（1）射线OA 饶端点O 逆时针旋转2700到OB 位置，接着顺时针旋转一周到OC 位置，则∠AOC= ．（2）射线OA 饶端点O 顺时针旋转800到OB 位置，接着逆时针旋转2500到OC 位置，然后再顺时针旋转2700到OD 位置，则∠AOD= ． 3、判断下列各角是第几象限的角：（1）450， ；（2）-350， ；（3）1240， ； （4）2100， ；（5）4050， ；（6）-1350， ； （7）-3150， ；（8）8550， ；（9）-7500， ． 4、写出与下列各角终边相同角的集合：（1）300， ；（2）-700， ； （3）2200， ；（4）-3100， ．5、在000~360间，（1）终边在x 轴正半轴、y 轴正半轴、x 轴负半轴、y 轴负半轴上的角分别是 ；（2）终边在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限的角的范围分别是 ． 典型例题（点拨思路，归纳方法）例1、在00到0360间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． （1）0660；（2）0760；（3）045-；（4）0120-；（5）0480-；（6）0/95008-．例2、（1）终边在x 轴正半轴上的角的集合是 ； （2）终边在x 轴负半轴上的角的集合是 ； （3）终边在y 轴正半轴上的角的集合： ； （4）终边在y 轴负半轴上的角的集合： ． 例3、写出终边在x 轴上的角的集合．例4、写出终边在第一象限的角的集合．基础训练（自我检测，明确重点）1、（1）终边在x 轴正半轴上的角的集合是 ； （2）终边在x 轴负半轴上的角的集合是 ； （3）终边在y 轴正半轴上的角的集合： ； （4）终边在y 轴负半轴上的角的集合： ． （5）终边在x 轴上的角的集合： ； （6）终边在y 轴上的角的集合： ．2、（1）终边在射线(0)y x x =≥上的角的集合： ； （2）终边在射线(0)y x x =≤上的角的集合： ； （3）终边在射线(0)y x x =-≤上的角的集合： ； （4）终边在射线(0)y x x =-≥上的角的集合： ； （5）终边在直线y x =上的角的集合： ； （6）终边在直线y x =-上的角的集合： ．3、（1）终边在第一象限的角的集合： ； （2）终边在第二象限的角的集合： ； （3）终边在第三象限的角的集合： ； （4）终边在第四象限的角的集合： ． 强化训练（强化重点，提高能力）1、与-650终边相同角的集合是 ．2、在00到0360间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．3、在直角坐标系中，集合{}90,S k k Z ββ==⋅∈的元素表示的角的终边在 ． 4、终边在直线3y x =上的角的集合是 ． 5、若α是锐角，则角0360()k k Z α⋅+∈,α-,0180α+,0180α-,0360α-,090α-,090α+,0270α-,0270α+的终边分别在第 象限．6、角α与角0360()k k Z α⋅+∈、α-、0180α+、0180α-、0360α-的终边的关系分别是 ． 7、若α分别是第一、二、三、四象限的角，则2α分别是第 象限的角． 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算知识概述（自主学习，构建网络）1、1弧度角的定义：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 注意：这样规定出来的1弧度角的大小是完全确定的，与所用圆的大小 ．2、弧度制：以 为单位来度量角的制度叫做弧度制．弧度记作 ．注意：①在用弧度制表示角时，弧度二字或 可略去不写．②弧度制与角度制的主要区别是 ．③正角的弧度数是 ，负角的弧度数是 ，零角的弧度数是 ．④无论角度制还是弧度制，都在角的集合与实数集之间建立了一个 对应关系．3、公式：设圆半径为r ，弧长为l 的弧所对圆心角的弧度数为α，相应扇形面积为S ． （1）弧度数公式：α= ；（2）弧长公式：l = ；（3）扇形面积公式：S= ．4、弧度制与角度制的换算：①0360= rad ，0180= rad ．②()rad α=( )0，0n = （rad ）．（换算公式）注意：（1）根据换算公式，可写出算法、编写程序，利用计算机进行换算；（2）会用计算器进行换算；（3）熟练掌握特殊角的弧度数． 基础训练（自我检测，明确重点）1、（1）在半径不同的同心圆中，同一个圆心角所对的圆弧长与相对应的半径的比值 ． （2）一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是 弧度．2、填写下表：度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 弧度3、使用换算公式，把下列各角的度数化为弧度数：（1）150；（2）120；（3）22030/；（4）157.50；（5）10800；（6）-600；（7）-2250．4、把下列各角的弧度数化为度数： （1）12π；（2）53π；（3）310π；（4）8π；（5）32π-；（6）56π-．5、已知半径为120mm 的圆上，有一条弧长为144mm ，则此弧所对圆心角的弧度数和角度数分别是 ．6、把下列各角化为0到2π的角加上2()k k Z π∈的形式，并指出它们是第几象限角： （1）236π；（2）187π-；（3）-15000．强化训练（强化重点，提高能力）1、时间经过4h ，时针、分针各转了 度，各等于 弧度．2、航海罗盘将圆周32等分，则其中一等份所对圆心角的度数和弧度数分别是 ．3、（1）已知圆的半径是0.5m ，则2rad 圆心角所对的弧长和扇形面积分别是 ； （2）已知圆的半径是5cm ，则1200圆心角所对的弧长和扇形面积分别是 ．4、（1）在半径OA=100cm 的圆形板上，截取一个弧长AB =112cm 的扇形OAB ，则圆心角∠AOB 的度数是 （精确到10）．（2）已知2000的圆心角所对的弧长为50m ，则这个圆的半径等于 （精确到0.1）． （3）已知扇形的周长为cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ．度 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 360 弧度1.2 任意角的三角函数 1.2.1 三角函数的定义知识概述（自主学习，构建网络） 1、三角函数的定义：在直角坐标系xoy 中，已知任意角α．在α的终边上取 于原点的任一点(,)P x y ，P 到原点O 的距离为r ，则： 叫做角α的正弦，记作 ； 叫做角α的余弦，记作 ；叫做角α的正切，记作 ； 叫做角α的余切，记作 ； 叫做角α的正割，记作 ； 叫做角α的余割，记作 ．它们都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的函数．注意：倒数关系：sec α= ；csc α= ；cot α= ． 2、三角函数的定义域：（1）sin y α=， ；（2）cos y α=， ；（3）tan y α=， ． 基础训练（自我检测，明确重点） 1、已知角α终边过点13(,)22P ，则sin α＝ ；cos α＝ ；tan α＝ ； cot α= ；sec α= ；csc α= ．2、已知角β终边过点22(,)22Q -，则sin β＝ ，cos β＝ ，tan β＝ ． 3、已知角γ终边过点(3,1)M --，则sin γ＝ ，cos γ＝ ，tan γ＝ ． 4、若角α终边是射线3(0)y x x =≥，求α的六个三角函数值．典型例题（点拨思路，归纳方法）例题、已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的六个三角函数值．强化训练（强化重点，提高能力）1、sin300= ，cos300= ，tan300= ，sin450= ，cos450= ， tan450= ，sin600= ，cos600= ，tan600= ．2、已知角α的终边落在直线2y x =上，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．3、已知1sin ,2α=-3cos 2α=-，则α的终边与以原点为圆心、以2为半径的圆的交点 的坐标为 ．4、特殊角的三角函数值：（熟记）角α00 300 450 600 900 1800 2700 3600 α的弧度数sin αcos αtan α2、三角函数在各象限的符号：（将在各象限函数值为正的函数名称填在相应象限内）口诀； 。
三角函数学案
第一章 三角函数1．1．1 任意角【学习目标】1．能举例说明任意角的概念与区间角的概念(包括正角、负角、零角)及画法；2．会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写；3．同学们能感悟从特殊到一般的思想方法、提高推理能力、培养应用意识.【学习重点】1.任意角的概念的理解；2. 区间角与终边相同角的集合的书写与运用．【难点提示】终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写与运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材15P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备1.前面学习函数时，作函数的图象在哪里作的？我们生活中有周期性的实例吗？2.请同学们回顾一下，我们学习“数”，开始学的什么数？现在我们学到什么数了？从 正整数到实数是怎么发展的？3.角是平面几何中的一个基本图形，我们知道角在初中角有两种定义：一是静态的定义： 两条射线构成的图形叫角；二是动态定义：平面内一条射线 的图形叫角．端点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角的终边、始边．你怎样理解这两种定义，各有何特点？哪一种与我们的生活联系更紧密呢？（链接1）4.初中我们学习了0°～360°范围的角，在我们实际生活中有没有超过360°的角的问题？你能举出一些实例吗？（链接2）从而，你认为仅有0°～360°的概念能适应实际生活的需要吗？如果不适应，应如何发展或扩展呢？这就是我们现在要研究的！．二．学习探究 （一）角的概念请同学们仔细阅读教材P2-3，并写出以下概念：1.角的定义 ； 正角 ；负角 ； 零角 ；任意角 ； 任意角的记法 （注意品读教材）. 快乐体验 请画出角30°、390°、750°、-330°、-690 、60°、780°、-300°， 0°、90°、180°、270°、360°，观察这些角有哪些特点与联系，在画出这几个角的时候有何规定？挖掘拓展（1）一个角的始边与终边可以重合吗？始边和终边重合的角是零角吗？（2）一般的，与一个角的始边和终边都相同的角有多少？有没有始边与终边均相同的角？若有，有多少个？（ 链接3）（3）要确定一个角需要几个条件？始边一般如何画（ 链接4）？（4）角的概念推广后，角的大小可以任意取值吗？有哪些运用呢？你能举出实例吗？2.象限角阅读思考 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角．快乐体验 你能说出30°、390°、750°、-330°、-690、60°、780°、-300°、150-、300,60-、135°、0°、90°、180°、270°、360°分别是第几象限角吗？并在坐标系中作出这些角.挖掘拓展 （1）所有的角，在直角坐标系中一定都是象限角吗？（2）相同象限的角一定是正角？负角？或正角、负角、零角都有？（二）终边相同的角的集合由前面的讨论可知，与一个角终边相同的角不止一个，有无穷多个，那么我们怎样来体现这无数个同终边角的特点、或用同一个式子来表示这无数个角呢？观察思考 （1）30,390,330-、750°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？（2）与30°角终边相同的角有多少个？这些角与30°角在数量上相差多少？（3）所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S ，你能用描述法表示集合S 吗？归纳概括 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内它们相差周角的整数倍，它们所构成的集合S 可表示为 ．快乐体验 请写出与下面角终边相同的所有的角的集合：30°、-60°、-150°、135°、0°、90°、180°、270°.解：挖掘拓展 （1）你能用几种语言叙述所有与角α终边相同的角的这一特征？（链接5）（2）角是否具有一种“周而复始”的变化规律？这叫什么特点？生活中有吗？（3）把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应吗？在同一坐标系中终边相同的角一定相等吗？相等的角终边一定相同吗？三．典例赏析例1 在0360范围内，找出一个与95012'-角终边相同的角，并写出所有与该角终边相同的角的集合，在判定它是第几象限的角？●思路启迪 设法把所给角表示成Z k k ∈⋅+,360 α的形式.解：●解后反思 （1）判断角所在象限的方法是什么？你还有没有其它解法？（2）与角β终边相同的角有无数个，那么在0°～360°内与已知角β终边相同的角有多少个？怎么找这个角？（链接6）●变式练习 试判断下列角α所在象限．（1）α=2011（2）3601575,k k Z α=⋅-∈， 解：例2 写出终边分别在x 轴和y 轴上的角的集合N ．解：●解后反思： 终边在x 轴和y 轴上的各有什么特点？你是怎样写的？分正负半轴写 吗？能否将分正负半轴的角写在一起呢？●变式练习 写出终边在坐标轴上的角的集合是什么？解：例3写出终边在直线y=x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720β-≤<的元素写出来；请在平面坐标系中画出符合不等式60120α-≤<的α角的终边所在的范围.解：●解后反思 （1）集合S 与例2中的集合N 有什么区别与联系？（2）求满足条件的角β运用的是什么方法？你还能用其它方法表示吗？（3）你写的与教材写的一致吗？谁更好些呢？请感悟教材的解答与不书写！区间角的集合的表示唯一吗？●变式练习 （1）写出第一象限内所有角的集合M ．（2）已知角α是第二象限角，问2α角所在的象限在哪？并画出2α角的终边的区域. 解：顶点A O 四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：角的概念理解了吗？掌握了正角、负角、零角的定义了吗？任意角的代数和几何的双重意义都明白了吗？能三种语言叙述了吗？什么是象限角、轴线角呢？本节课见过哪些题型？用了哪些思想方法求解？都掌握了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（链接7）五、学习评价 1.下列角中，第一象限角为（ ）A.84310'- B 1000- C 3900 D 265-2．已知α是第一象限角，那么2α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C. 第三象限角；D.第一或第二象限角 .3．设β是一个第三象限角，则2β是（ ） A ．第一象限角 ；B ．第三象限角； C ．第一或第三象限角；D ．第二或第四象限角.4．时间过了20分钟，分针旋转了 度，时针旋转了 度．5．把下列集合用另一种形式表示出来：（1）｛钝角｝= ; （2）｛第四象限角｝= ．6. 教材Ｐ９习题1.1Ａ组4、5题．◆承前启后 现在我们学的角度是什么进制？还有其它进制吗？【学习链接】链接1.静态的定义：从一个顶点出发的两条射线构成的图形叫角；动态定义：平面内一条射线绕着它的端点O 从一个位置OA 旋转到另一个位置OB 所成的图形叫角．静态定义简洁、明了，实用的范围小；动态定义充分体现了角的形成过程，便于角的推广，与生活联系更紧密． 链接2. 生活中有许多大于360°角的实例，如： 2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届 世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体1080度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体1080度、 转体900度是什么意思？又如钟表的指针旋转形成的角、机器上的主动轮。
三角函数复习课教案
三角函数复习课教案重庆市实验中学校 马林刚（邮编：401320）教学目标：通过本节课的教学，让学生对三角函数及解三角形有整体认识，本节课是在已经复习了二轮资料专题二《三角函数及解三角形》之第一讲《三角函数的图像与性质》后，对三角函数及解三角形的综合复习。
目标指向为高考的三角函数备考。
教学重点：分析问题与解决问题的能力培养、整合；思想方法的提炼与掌握；知识点的巩固。
教学难点：思想方法的掌握与熟练运用于解决问题。
落实到一句话：能准确、迅速的解决问题。
教学准备：教师准备好教学用PPT ，学生完成专题二《三角函数及解三角形》之第一讲《三角函数的图像与性质》 教学过程：一、热身训练函数f (x )＝(1＋tan x )cos x 的最小正周期为________．师：（1）()1+tan )cos sin cos f x x x y x x ==+（与是同一个函数吗？（2）sin cos y x x =+的奇偶性如何？对称轴方程怎么求？对称中心呢？二、重点突破(一)范围问题例1、在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c 。
设向量 且 求sinA+sinB 的取值范围。
(,cos ),(,cos ),m a B n b A == ,.m n m n ∥≠1sin cos sin sin ,2sin sin()sin cos cos sin ,11sin cos sin ,sin 0,cos ,220,.3A C C B B A C A C A C C A C C A A A ππ+==+=+∴=≠∴=<<∴= 又又sin 22sin ,sin ,sin 21(sin sin )21sin()]11sin cos )2212sin()625,(0,),(,),a B b B c C A l a b c B C B A B B B B A B B ππππππ====++=++=+++=++=++=∴∈∴+∈ 师：1、考察了哪些知识点？ 2、范围从哪里产生？3、容易忽略的细节在哪里？怎样避免？变式训练：在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设平面向量1(,),(cos ,2),2m a n C c b ==- 且.m n ⊥ （1）求角A 的大小；（2）若a=1，求△ABC 的周长l 的取值范围。
高一复习学案三角函数3(3--5)
个性化课程辅导教案学员姓名性别女年级高一授课时间课时3课时教研老师教学课题三角函数（3）教学目标学习目标：1会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角．2掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，重点难点正余弦定理的灵活运用和综合题目的解答教学内容第五课时正弦定理与余弦定理●基础演练正弦定理：余弦定理：余弦定理变形：三角形面积公式：●基础自测【2012高考广东文6】在△ABC中，若60A∠=，45B∠=，32BC=，则AC=A. 43B. 23C. 3D.32【2012高考湖南文8】在△ABC中，AC=7，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于A．32B.332C.362+D.3394+【2102高考北京文11】在△ABC中，若a=3，b=3，∠A=3π，则∠C的大小为_________。
【2102高考福建文13】在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，3=BC，则AC=_______.●拓展提高1．（2013年高考大纲卷（文））已知a是第二象限角,5sin,cos13a a==则（）A ．1213-B ．513-C ．513D ．12132 ．【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是3．（2013年高考四川卷（文））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π4．．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知sin2α=,则cos 2(α+)= （ ）A ．B ．C ．D ．5.2013年高考天津卷（文））函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．22-C ．22D ．06.2013年高考浙江卷（文））函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 （ ）A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,27（2013年高考湖南（文））在锐角∆ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b. 若2asinB=3b,则角A 等于______ （ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π8. 2013年高考四川卷（文））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________.9．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,则||ϕ=___________.10（2013年上海高考数学试题（文科））若1cos cos sin sin 3x y x y +=,则()cos 22x y -=________.11（2013年高考北京卷（文））已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）. (I)求f x （）的最小正周期及最大值;(II)若(,)2παπ∈,且22f α=（）,求α的值. 第六课时 三角综合题目1 三角恒等变换方法指导：一、三角恒等式的证明1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题． 二、三角条件等式的证明1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立． 2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明． ⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法． ⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．典型例题例1． 求证：2sinsin 2cos cos 1θθθθ+++＝θθcos 1sin -变式训练1：求证：tan(α＋4π)＋tan(α－4π)＝2tan2α例2．求证：)3tan 5(tan 44cos 2cos 3tan 5tan αααααα-=+变式训练2：已知2tanA ＝3tanB ，求证：tan(A －B)＝BB2cos 52sin -．例3．如图所示，D 是直线三角形△ABC 斜边上BC 上一点，AB ＝AD ，记∠CAD=α，∠ABC=β． （1）证明：sinα＋cos2β=0； （2）若DC AC 3 ，求β的值．例4.在△ABC 中，若sinA·cos 22C ＋sinC·cos 22A ＝23sinB ，求证：sinA ＋sinC ＝2 sinB ．1．证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同”．2．条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式． A BDC小结归纳2三角函数的最值1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．典型例题例1. 求下列函数的最值． ⑴ y ＝xxx cos 1sin 2sin -⋅；⑵ y ＝2 cos(3π＋x)＋2cosx ； ⑶ xxy cos 3sin 1++=．变式训练1：求下列函数的值域： （1）y=xxx cos 1sin 2sin -;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos )3(x +π+2cosx.例2. 试求函数y ＝sinx ＋cosx ＋2sinxcosx ＋2的最大值与最小值，又若]2,0[π∈x 呢？、例3. 已知sinx ＋siny ＝31，求siny －cos 2x 的最大值．变式训练3：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b 2＝ac ，求y ＝BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围．例4．设a≥0，若y ＝cos 2x －asinx ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求出使y 取得最大、最小值时的x 值．变式训练4：设函数a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2（其中ω>0，a ∈R ），且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （1）求ω的值； （2）如果)(x f 在区间]65,3[xπ-的最小值为3，求a 的值．1．求三角函数最值的方法有：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合；④换元法；⑤基本不等式法．2．三角函数的最值都是在给定区间上取得的．因而特别要注意题设所给出的区间．3．求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性．4．含参数函数的最值，解题要注意参数的作用课后作业课时作业1、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°2、下列说法正确的有（）○1零向量比任何向量都小○2零向量的方向是任意的○3零向量与任一向量共线○4零向量只能与零向量共线A 0个B 1个C 2个D 3个3、已知角α的终边过点P（4a,－3a）（a<0）,则2sinα＋cos α的值是（）A．25B．－25C．0 D．与α的取值有关4、已知△ABC中，D是BC的中点，则++32AB BC CA=（）A、ADB、3ABC、OD、2AD5、已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM＝（）Ａ．21（a－b）Ｂ．－21（a－b）Ｃ．－21（a＋b）Ｄ．21（a＋b）6、函数tan()4y xπ=-的定义域是（）.A．|,4x x x Rπ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭B．|,4x x x Rπ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭C．|,,4x x k k R x Rππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭D．3|,,4x x k k Z x Rππ⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭7、已知θ是第三象限角，且95cossin44=+θθ，则=θθcossin（）AB DC 小结归纳11 A ． 32 B ．32- C ． 31 D ． 31- 8、已知M （3，-2）N （-5，-1），且=MP MN 2则MP =（ ）A ．（-8，1）B ．(,)-142C ．（-16,2）D ．(8,-1)二．填空题9、设=-=-=(1,3),(2,4),(0,5)a b c 则-+3a b c =_____________10、已知=-=-(,),(,)a b x 131，且//a b ，则x=11、已知1(1,3),(8,)2A B ，且A 、B 、C 三点共线，C 在Y 轴上，则C 点坐标是_______ 12、函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 的最小值是13、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于____________14、已知a b ⋅＝12，且a =3,b =5则b a 在方向上的投影为________15、已知函数)x Asin(y ϕω+=（A>0，ω>0，0<πϕ<）的两个邻近的最值点为（26，π）和（232-，π），则这个函数的解析式为_______。
三角函数第一轮复习学案
变式迁移1若α是第二象限的角，试分别确定2α，的终边所在位置．
探究点二 弧长与扇形面积
例2 已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
四、课堂练习
一、选择题
1．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q，则Q的坐标为（）
A．(－，) B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)
2．若0<x<π，则使sinx>和cosx<同时成立的x的取值范围是()
A.<x<B.<x<πC.<x<πD.<x<π
3．已知α为第三象限的角，则所在的象限是()
A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝
3．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为()
A.B．πC．2πD．4π
3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．
五、课堂练习
一、选择题
1．已知△ABC中，＝－，则cosA等于()
A.B.C．－D．－
2．已知tanα＝－，且α为第二象限角，则sinα的值等于()
A.B．－C.D．－
3．已知f(α)＝，则f(－π)的值为()
A.B．－C．－D.
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2 002)＝－1，则f(2003)等于(s(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.
(5)sin＝________，cos＝________.
答案寒假复习学案：3三角函数图像和性质
π ＜ 2 ，∴取
φ＝π3 .∴y＝3sin2x＋π3 .
11、已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的最小值是－5，图象上相邻两 个最高点与最低点的横坐标相差π4 ，且图象经过点0，52，则函数的解析式为________．
解析：由题意知 A＝5，T2＝π4 ，所以 T＝π2 ＝2ωπ，所以 ω＝4，所以 y＝5sin(4x＋φ)．又
寒假复习学案：3 三角函数图像和性质
一、基础知识
1．“五点作图法”是画出 y＝sin x 和 y＝cos x 在[0，2π]上的图象，通常选择(0，0) π2 ，1 (π，0) 3π 2 ，－1 (2π，0)五点。 2．周期函数定义的三个条件
(1)设函数 f(x)的定义域为 D;
(2)存在一个非零常数 T，使得对于每一个 x∈D 都有 x+T∈D；
[解] (1)∵－π6 <x<π6 ，∴0<2x＋π3 <2π 3 ，∴－12<cos2x＋π3 <1， ∴函数 y＝2cos2x＋π3 ，x∈－π6 ，π6 的值域为(－1，2)． (2)y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2 ＋5.所以当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋π2 ，k∈Z 时，ymax＝4；当 sin x＝－1，即 x ＝2kπ－π2 ，k∈Z 时，ymin＝－4.所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是
________．
[解析] 由 4x＋2π 3 ＝kπ(k∈Z)，得 x＝kπ4 －π6 (k∈Z) ∴函数 y＝2sin4x＋2π 3 的图象的对称中心坐标为kπ 4 －π6 ，0(k∈Z)．取 k＝1，得π 12，0
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§1.2.1 任意角的三角函数（1）学习目标：1.掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.2.掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号. 学习重点：任意角的正弦，余弦，正切的定义. 一、典型例题 题型1：求值问题例1：已知角α的终边经过点P （2，-3），求2sin α+cos α+tan α;变式训练⑴：已知角α的终边经过点P （2a ，-3a ） (a ≠0),求2sin α+cos α+tan α的值.变式训练⑵：角α的终边经过点P （-x ，-6）且cos α=-135，求x 的值.例2: 已知角35πα=，求sin α，cos α，tan α。
题型2：三角函数值的“符号问题” 例3:确定下列三角函数值的符号（1）cos 127π (2)sin(-465º) (3)tan 311π变式训练⑴：若cos α>0且tan α<0，试问角α为第几象限角；变式训练⑵：使sin α.cos α<0成立的角α的集合为A.{α|κπ+2π<α<κπ+π,Z ∈κ} B. {α|2κπ+2π<α<2κπ+π,Z ∈κ} C.{α|πk 2+23π<α<πk 2+π2,Z ∈κ}D. {α|2κπ+2π<α<2κπ+23π,Z ∈κ}四、巩固练习：1、函数x x y cos sin -+=的定义域是（）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈ 2、若θ是第三象限角，且02cos<θ，则2θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 3、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．5、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α+cos α=______． 五、小结反思：三角函数的定义及性质，特殊角的三角函数值，三角函数的符号问题. 各象限的三角函数的符号规律可概括为：“一正二正弦，三切四余弦”.六、自我测评：1、若角α终边上有一点)0|)(|,(≠∈a R a a a P 且，则αsin 的值为 （ ） A 、22 B 、－22 C 、±22 D 、以上都不对 2、下列各式中不成立的一个是 （ ）A 、0260cos <B 、0)1032tan(>-C 、056sin >⎪⎭⎫⎝⎛-π D 、0317tan >π 3、已知α终边经过)12,5(-P ，则=αsin .4、若解α是第二象限角，则点)cos ,(sin ααA 是第 象限的点.5、已知角θ的终边在直线y =33x 上，则sin θ= ；θtan = ． 6、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．7、设角x 的终边不在坐标轴上，求函数|tan |tan |cos |cos |sin |sin x xx x x x y ++=的值域. 8、(1) 已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；（2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；（3）已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sin α+cos α的值．．§1.2.1 任意角三角函数--------三角函数线 （2）学习目标：1.利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来，并能作出三角函数线。
2.培养分析、探究问题的能力。
促进对数形结合思想的理解和感悟。
学习重点：能作三角函数线，会用三角函数线。
学习难点：利用三角函数线比较大小以及求角的大小。
三、典型例题例1：作出下列各角的三角函数线（1）611π （2）32π-例2:比较下列各组数的大小 (1)sin1和sin 3π (2)cos74π和cos 75π (3)tan89π和tan 79π (4)sin5π和tan5π变式训练①：若π4 <θ < π2 ，则下列不等式中成立的是 （ ）A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ． tan θ>sin θ>cos θD ．sin θ>tan θ>cos θ 变式训练②：已知(),,0πα∈且m =+ααcos sin （1<m 2≤），试判断ααcos ,sin ，ααcos sin -的符号.变式训练③已知(),,0πα∈且m =+ααcos sin （0<m<1），试判断ααcos ,sin ，ααcos sin -的符号.思考题：若α是锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较α，sin α, tan α之间的大小关系。
例3：利用单位圆，解三角不等式（1）sin α=-21 （2）sin α>-21(3) |tan α|≤3变式训练①：利用单位圆写出符合下列条件的角x 的集合。
⑴若,21cos =x 则x ∈ ；⑵21cos >x ,则x ∈ ； 变式训练②：求函数()()xx x x f cos 9log sin 22--+= 的定义域 ；变式训练③：已知集合E={θ|cos θ<sin θ,0πθ2≤≤},F={θtan θ<sin θ}。
求集合E ⋂F 四、巩固练习3、若0<α<2π，且sin α<23 , cos α> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是（ ）A ．（－π３ ，π３ ）B ．（0，π３ ）C ．（5π３ ，2π）D ．（0，π３ ）∪（5π３ ，2π）4、依据三角函数线，作出如下四个判断：①sinπ6 =sin 7π6 ；②cos （－π4 ）=cos π4 ；③tan π8 >tan 3π8 ；④sin 3π5 >sin 4π5． 其中判断正确的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5、试作出角α=7π6正弦线、余弦线、正切线 五、小结反思：①正弦线、余弦线、正切线，它们分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，注意它们的方向。
② 利用数形结合来比较三角函数值的大小关键应注意正负。
六、自我测评：1、若角)20(παα<<的正弦与余弦线的长度相等且符号相同，那么角α的值为（ ）A 、4π B 、45π C 、4π或45π D 、以上都不对 2、用三角函数线判断1与|cos ||sin |αα+的大小关系是 （ ） A 、|cos ||sin |αα+>1 B 、|cos ||sin |αα+≥1 C 、|cos ||sin |αα+=1 D 、|cos ||sin |αα+<1 3、利用单位圆写出符合下列条件的角x 的集合。
⑴:22cos =x ；⑵:22cos >x ； ⑶:23|cos |≤x 。
4、已知角α的终边是OP ，角β的终边是OQ ，试在图中作出α，β的三角函数线，然后用不等号填空：⑴αsin βsin ； ⑵αcos βcos ⑶αtan βtan 。
5、若－2π３ ≤θ≤π6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ．6、若∣cos α∣＜∣sin α∣，则∈α ．7、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：⑴45π； ⑵67π； ⑶3π-。
8、已知α是第三象限角，问点)2sin ,2(cos ααP 在第几象限？请说明理由。
1) 已知角α的正弦线和余弦线是方向一正一反,长度相等的有向线段,则α的终边在 （ ）A 第一象限角平分线上B 第二象限角平分线上C 第三象限角平分线上D 第四象限角平分线上 2) 当角α,β满足什么条件时有sin α=sin β. 3) sin α>cos α,则α的取值范围是_________。
§1.2.2 同角三角函数基本关系的应用问题1：同角三角函数间的基本关系能由锐角范围推广到任意角吗？ 适用范围是什么？ 问题2：如何进行公式sin 2α+cos 2α=1, tan α=ααcos sin 的推导？ 问题3：公式sin 2α+cos 2α=1, tan α=ααcos sin 有哪些常见变形 ？ 三、典型例题题型1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，求出其余两个值（知一求二）。
例1：已知53sin -=α，且α是第二象限角，求ααtan ,cos 变式训练1：已知53sin -=α， 求ααtan ,cos . 变式训练2：已知3tan -=α，求ααcos ,sin. 变式训练3：已知,2tan =α则ααααcos sin cos sin -+=________;=-ααααcos sin cos sin 22_________;ααcos sin =________;αααα22cos 2cos sin sin 1--=____________;题型1.2 已知ααcos sin + ,ααcos sin -, ααcos sin ⋅中的一个，求出其余两个值（知一求二）。
例2、已知137cos sin =+αα，()πα,0∈，求ααcos sin ⋅，ααcos sin -的值 变式训练1：已知51cos sin -=-αα，()πα,0∈，求αtan 的值. 题型2.化简三角函数式 例2: 化简（1）1sin 1tan 2-αα，其中α是第二象限角（2）ααcos 1cos 1+-+ααcos 1cos 1-+ ，其中α是第四象限角（3）︒--︒︒︒-170cos 110cos 10cos 10sin 212题型3.证明简单的三角恒等式 例3：求证：ααααsin cos 1cos 1sin -=+四、巩固练习 1、已知,2tan =α求ααααcos sin cos sin -+的值。
2、已知51cos sin -=+αα，()πα,0∈，求αtan 的值 3、已知2cos sin =+αα,求ααcos sin 及αα44cos sin +的值4、化简：αα22sin 211cos 2--5、证明1cos sin cos 2442+=+θθθ 五、小结反思：1、在三角求值时，应注意：①注意角所在象限；②一般涉及到开方运算时要分类讨论。