课时跟踪检测(七十五) 坐标系

课时跟踪检测（七十五） 坐标系
1．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2， 即y ＝3x －2.
ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，
把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，
得4x 2－83x ＋12＝0，
即(x －3)2＝0，
所以x ＝3，y ＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭
⎫2，π6. 2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32
中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C 经过点P ⎝
⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径|PC |＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4
＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
3．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)直线OP ：θ＝π6
(ρ∈R )与圆C 交于点M ，N ，求线段MN 的长． 解：(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0，
故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.
(2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，
得ρ2－2ρ－5＝0，
所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，
所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝
4＋20＝2 6.
4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极
坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；
(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭
⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32
y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．
当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭
⎫233，π2. (2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，
233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，
33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6
(ρ∈R )． 5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，直线C 2的方程为y ＝33x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |·|O Q |的值．
解：(1)∵曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4， 即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.
∵直线C 2的方程为y ＝33
x ， ∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6
(ρ∈R )．
(2)设P (ρ1，θ1)，Q (ρ2，θ2)，
将θ＝π6
(ρ∈R )代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0， 得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP |·|O Q |＝ρ1ρ2＝3.
6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3
，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积．
解：(1)∵曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，
即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.
∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.
(2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，B ⎝
⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6
代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3
代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB ＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6＝12＋2534
. 7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．
解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，
曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2y ＝0，
x 2＋y 2－23x ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，
y ＝0或⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．
所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪
⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6
时，|AB |取得最大值，最大值为4.
8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＋2x －4＝0，曲线C 2的方程为y 2＝x ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；
(2)求曲线C 1与C 2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.
解：(1)依题意，将⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2x －4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0. 将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ
代入y 2＝x ，得ρsin 2θ＝cos θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝cos θ.
(2)将y 2＝x 代入x 2＋y 2＋2x －4＝0，得x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1，x ＝－4(舍去)， 当x ＝1时，y ＝±1，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记A (1,1)，B (1，－1)，
所以ρA ＝1＋1＝2，ρB ＝1＋1＝2，tan θA ＝1，tan θB ＝－1， 因为ρ≥0,0≤θ<2π，点A 在第一象限，点B 在第四象限，
所以θA ＝π4，θB ＝7π4
，故曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，7π4.。