2019届江苏省如皋市高三教学质量调研(三)数学试题(解析版)

2019届江苏省如皋市高三教学质量调研（三）数学试题一、填空题1．若集合，集合，则_______．【答案】【解析】由集合A和集合B列举的元素，找出两个集合的公共元素，组成集合即为所求【详解】由集合，集合，所以且，所以【点睛】考查集合的交并补运算，要了解集合里面的元素种类及范围，再进行运算2．在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，则以为焦点的抛物线的标准方程是_______．【答案】【解析】由双曲线的标准方程得双曲线右焦点F坐标为，写出以为焦点的抛物线的标准方程即为所求【详解】因为双曲线的标准方程为，所以，双曲线的右焦点F坐标为，设抛物线标准方程为，则，得，所以抛物线的标准方程为【点睛】本题考查双曲线及抛物线的标准方程及几何性质，要求对双曲线及抛物线的标准方程里的数值对应的几何关系，如焦点坐标，渐近线方程，准线方程等熟练掌握3．如下图是一个算法的伪代码，其输出的结果为__________．【答案】10 11【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案10 11。

4．某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400人，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高中部的学生数为_______．【答案】900【解析】由样本容量为45，及高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，得在高一年级抽取样本容量为20，又因为高一年级有学生400人，故高中部学生人数为人【详解】因为抽取样本容量为45，且高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，那么高一年级抽取人，设高中部学生数为，则，得人【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，用样本容量除以每个个体被抽到的概率等于个体的总数5．已知角的终边经过点，且，则_______．【答案】【解析】已知角的终边经过点，且，得，所以，由两角和的正切公式，求得【详解】已知角的终边经过点，所以，解得，所以，所以【点睛】已知角终边上一点，则点P 到坐标原点的距离，得，，6．正项等比数列中，为其前项和，已知，，则_______．【答案】【解析】由正项等比数列中，，得，所以，求得【详解】由正项等比数列中，所以，又因为，所以，，所以【点睛】本题考查等比数列的有关计算，要求对等比数列的通项公式及前n 项和公式熟练掌握7．已知函数()()()sin f x x x ϕϕ=++， 0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____． 【答案】-1【解析】函数为奇函数，则： ()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， 据此有： ,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得： 23πϕ=，故： ()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 8．如图所示的几何体是一个五面体，四边形为矩形，，，且，，与都是正三角形，则此五面体的体积为_______．【答案】【解析】将五面体补全为直三棱柱，根据五面体的几何特征，求三棱柱底面积，再用割补法求五面体体积 【详解】如图，将五面体补全为直三棱柱，因为，，且，，与都是正三角形，所以，，，所以，取中点，则，所以，故五面体的体积为：【点睛】不规则几何体体积的求法，关键是将几何体看作是多个规则几何体如柱、锥、台、球的组合体，利用割补法求解，注意运算的准确性9．已知，若，满足，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由，且，，所以，得，所以，所以【详解】由，且，，所以，即，所以，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式10．在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是_______．【答案】【解析】设，且，则，，得，求得取值范围【详解】因为，，，所以，，，设，且，则，，所以，由，得【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量基本定理以及数量积的应用，二次函数求最值问题，要将题目中的向量用已知基底表示，再进行数量积运算11．如图，已知为等腰直角三角形，其中，且，光线从边上的中点出发，经，反射后又回到点（反射点分别为，），则光线经过的路径总长_______．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB、AC分别为x轴y轴建立平面直角坐标系，求P关于直线BC及y轴的对称点，两点间距离即为所求【详解】以A为坐标原点，AB、AC分别为x轴y轴建立平面直角坐标系，因为为等腰直角三角形，其中，且，则，点，所以点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为，则且，解得，则【点睛】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光线的反射原理的应用，要根据光线的反射原理，将折现问题转化为直线问题求解12．在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是_______．【答案】或【解析】由曲线及直线：的图象都关于原点对称，所以B为原点，且为AC中点，，因为直线：上存在满足，所以直线上存在点到原点的距离为，得，解得k的取值范围【详解】因为曲线及直线：的图象都关于原点对称，所以B为原点，且B为AC中点，所以，因为直线：上存在满足，即，所以直线上存在点到原点的距离为，得，解得或【点睛】根据函数性质，数形结合，理解题目问题的几何意义，建立不等关系求解参数的取值范围13．在平面直角坐标系中，已知圆：，过点的直线交圆于，两点，且，则满足上述条件的所有直线斜率之和为_______．【答案】【解析】设点，，因为过点的直线交圆于，两点，且，所以，得，，又由，且，得或，得直线斜率为或，斜率之和为【详解】设点，，因为过点的直线交圆于，两点，且，所以，即，得，，代入，且，得或，又因为，直线斜率为或，斜率之和为【点睛】根据题设几何特征，建立未知量的方程式，通过计算解出未知数，将几何问题转化为代数问题解决14．已知，为曲线：上在轴两侧的点，过，分别作曲线的切线，则两条切线与轴围成的三角形面积的最小值为_______．【答案】【解析】因为P，Q为曲线：上在轴两侧的点，设，，且，又因为曲线：在点的切线斜率为，得曲线在P，Q两点处的切线和，求出直线与x轴交点，，直线和的交点，所求图形面积，求最小值即为所求【详解】因为P，Q为曲线：上在轴两侧的点，设，，且，又因为曲线：在点的切线斜率为，所以曲线在P，Q两点处的切线分别为和，与x轴交点分别为，，直线和的交点为，所求图形面积，即，令，假设时，才能取最小值，令，则，当，即时，，同理，当时，，所以当且时，最小，解得，，【点睛】本题以抛物线为背景考查三角形面积的最值，综合直线方程，导数的性质，三角形面积等知识，要将求最值的几何量表示为某个参数的函数式，然后用函数或不等式知识求最值15．在中，，．（1）求角的大小；（2）设，其中，求取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，因为，所以解得，由余弦定理，得，得C；（2）由（1），，，因为，得取值范围【详解】（1）因为，所以，所以，又因为，所以，解得，由余弦定理得，因为，所以.（2），因为，所以，所以取值范围为.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，及三角恒等变换，三角函数求值域，要根据题设条件判断选择正弦定理还是余弦定理解决三角形中的边角关系，三角恒等变换时一看“角”，二看三角函数名，三看式子的形式，三角函数求值域要将函数用一个自变量表示，再根据定义域求值域二、解答题16．如图在六面体中，平面平面，平面平面．（1）若，求证：；（2）求证：平面．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为，平面，所以，同理，所以.（2）在平面内任取一点，过点分别作直线，，且，分别垂直于和，因为平面平面，，所以平面，所以，同理，则平面.【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以，同理，所以.（2）在平面内任取一点，过点分别作直线，，且，分别垂直于和，因为平面平面，平面，平面平面，，所以平面，平面，所以，同理，平面，，则平面.【点睛】空间中直线、平面的平行或垂直的证明，要根据题设条件，判定定理及性质定理，将线线、线面、面面之间的平行或垂直关系相互转化，要求灵活掌握线面平行及垂直关系17．如图，为某开发商设计的阳光房屋顶剖面图，根据实际需求，的面积为，且.（1）当时，求的长；（2）根据客户需求，当至少才能符合阳光房采光要求，请问该开发商设计的阳光房是否符合客户需求?【答案】（1）（2）当时，的最小值是. 该开发商设计的阳光房符合客户需求【解析】（1）因为，，所以，，在中由余弦定理解得（2）设，，，，所以，.在中由余弦定理得，令，求得的最小值与4比较大小，可得结论.【详解】（1）因为，，所以，，在中由余弦定理得，所以.（2）设，，，，所以，.在中由余弦定理得，令，，，令，当时，的最小值是.【点睛】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，导数的应用等知识，在使用三角形面积公式，一般考查哪个角就使用哪一个公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化，解决最值问题时可先利用导数求解函数的单调性，在求最值18．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使，延长，分別交椭圆于，．（1）求椭圆离心率的最小值；（2）当椭圆的离心率取最小值时，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，则，因为，所以，得在上有解，得离心率取值范围；（2）方程变为，即，，.由点差法得.【详解】（1）设，则，因为，所以A在以OF为直径的圆上，所以，得在上有解.，.（2）方程变为，即，，.，因为，，所以两式相减得：，.【点睛】求解离心率问题关键是建立关于，，的关系式（等式或不等式），并且最后要把用，表示，转化为关于离心率的关系式19．已知函数.（1）若函数在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若函数在和两处取得极值，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意得：，，解得，.（2）由题意知：有两个零点，，令，而.对时和时分类讨论，解得：.经检验，合题；（3）由题意得，，即.所以，令，即，令，求导，得在上单调递减，即.，.令，求导得在上单调递减，得的取值范围.【详解】（1），由题意得：，即，即，所以，.（2）由题意知：有两个零点，，令，而.①当时，恒成立所以单调递减，此时至多1个零点（舍）.②当时，令，解得：，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为有两个零点，所以，解得：.因为，，且，而在上单调递减，所以在上有1个零点；又因为（易证），则且，而在上单调递增，所以在上有1个零点.综上：.（3）由题意得，，即.所以，令，即，令，，令，而，所以在上单调递减，即，所以在上单调递减，即.因为，.令，而恒成立，所以在上单调递减，又，所以.【点睛】根据函数的极值情况求参数的要领：1.列式，根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；2.验证，求解后验证根的合理性，含参数时，要讨论参数的大小20．设无穷数列的前项和为，已知，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在数列的一个无穷子数列，使对一切均成立?若存在，请写出数列的所有通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不存在数列的一个无穷子数列，使，对一切均成立..【解析】（1）令，则，解得.（2），，，两式相减得，又因为，故数列的首项为1，公差为1的等差数列，所以，故.（3）假设存在数列的一个无穷子数列，使对一切均成立，则，因为为无穷子数列，则存在使得.所以整理得，与为递增数列矛盾，故假设不成立，即不存在数列的一个无穷子数列，使，对一切均成立.【详解】（1）令，（2），，，两式相减得，整理得，又因为，故数列的首项为1，公差为1的等差数列，所以，故.（3）假设存在数列的一个无穷子数列，使对一切均成立，则，因为为无穷子数列，则存在使得.所以整理得，由（2）得，数列为数列的一个无穷子数列，则为递增数列，这与矛盾，故假设不成立，即不存在数列的一个无穷子数列，使，对一切均成立.【点睛】已知，求的步骤：1.当时，2.当时，3.对时的情况进行检验，若适合的通项公式则可以合并，若不适合则写成分段形式当存在性问题不好证明时可以使用反证法，假设问题的反面成立，利用题设条件和已有知识推出矛盾，假设不成立，则原命题得证21．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合．若直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，求曲线被直线截得的弦长．【答案】【解析】因为，所以曲线C的直角坐标方程为圆，由圆心到直线的距离，及半径，求得弦长【详解】因为，所以曲线C的直角坐标方程为圆，直线，圆心到直线的距离是，所以弦长是.【点睛】直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式，直接代入并化简；极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难些，常通过变形，进行整体代换；消去参数的方法一般有三种：（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数（2）利用三角恒等式消去参数（3）根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数22．已知，，求．【答案】见解析【解析】先利用矩阵的乘法公式求AB，然后利用逆矩阵公式求解【详解】.【点睛】对矩阵的乘法公式和逆矩阵公式的考查，要求熟记公式，将数据代入即可解决23．四棱锥中，面，底面为菱形，且有，，，是线段上一点．（1）求与所成角的余弦值；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）过作，则，同理，以，，为基底建立空间直角坐标系，计算，所以与所成角的余弦值为.（2）设，平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，，令，，，由二面角的平面角的余弦值为，解得，得.【详解】（1）过作，平面，平面，所以，同理，以，，为基底建立空间直角坐标系，则，，，，，.，所以与所成角的余弦值为.（2）设，平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，，，令，，，因为二面角的平面角的余弦值为，所以，即，得，所以.【点睛】用向量法求直线所成的角先确定直线的方向向量，再利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值，直线所成角的余弦值等于向量夹角余弦值的绝对值。