高二数学选修2-1第二章椭圆练习卷
选修2-1椭圆二练习
1.已知直线l.: 20(1)2m x my m --=>，椭圆C ：2221x y m+=， ， 分别为椭圆C 的左、右焦点. （1）当直线l 过右焦点 时，求直线l 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点,△A ，△B 的重心分别为G,H ，若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.2. 在平面直角坐标系xOy 中, 如图, 已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A 、B, 右焦点为F. 设过点T(t, m) 的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M(x 1, y 1) 、N 22(,)x y , 其中m>0, y 1>0, y 2<0.(Ⅰ) 设动点P 满足PF 2-PB 2=4, 求点P 的轨迹;(Ⅱ) 设x 1=2, x 2= 13, 求点T 的坐标;(Ⅲ) 设t=9, 求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关) .3.设A,B 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线l ：24a x c==.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为直线l 上不同于点（4,0）的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N. 证明：点B 在以MN 为直径的圆内.4.如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率是2，点P (0,1)在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.5.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F, 2F .点M （1,0）与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点N （3,2），求证：AN BN k k +为定值.6.已知圆心为H 的圆222150x y x ++-=和定点（1,0），B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线C. （1）求C 的方程；（2）过点A 做两条相互垂直的直线分别与曲线C 交于P ，Q 和E ，F ，求PE QF ⋅的取值范围.。
高中数学人教A版选修2-1高二年级数学椭圆单元测试卷
河南省安阳市二中2013届高二年级数学椭圆单元测试卷班级 姓名一．选择题1．离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是() A ．15922=+y x B ．15922=+y x 或19522=+y x C ．1203622=+y x D ．1203622=+y x 或1362022=+y x 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(则动点的轨迹方程是()A ．1162522=+y xB ．)0(1162522≠=+y y xC ．1251622=+y xD ．)0(1251622≠=+y y x 4．若椭圆19922=++m y x 的离心率是21，则m 的值等于() A ．49-B ．41C ．49-或3D ．41或3 5．已知椭圆的对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,-7)，一个顶点是(9,0)，则该椭圆的方程是 []A +y =1B +x =1C +y =1D +x =12222．．．．x y x y 22228132813213081130816．椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离是25，则点P 到右焦点是距离是() A ．8B ．825C ．29D ．815 7．短轴长为5，离心率为32，两个焦点分别为1F 、2F 的椭圆，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为()A ．24B ．12C ．6D ．38．椭圆12222=+b y a x 和12222=-+-λλb y a x )0(22>>>λb a 的关系是() A ．有相同的长、短轴B ．有相同的离心率C ．有相同的准线D ．有相同的焦点9．直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是() A ．5>m B ．50<<m C ．1>m D ．1≥m10．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为()A ．1B ．2C ．2D ．2211．设P 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点，F 1、F 2为焦点，如果ο7521=∠F PF ，ο1512=∠F PF ，则椭圆的离心率为()A ．22B ．23C ．32D ．36 12．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与圆222)2(c b y x +=+（c 为椭圆半焦距）有四个不同交点，则椭圆离心率e 的取值范围是()A ．5355<<e B ．153<<e C ．155<<e D ．530<<e 二．填空题 13．过椭圆2222=+y x 的焦点引一条倾斜角为ο45的直线与椭圆交于A 、B 两点，椭圆的中心为O ，则AOB ∆的面积为14．椭圆的长轴的一个顶点与短轴的两个端点构成等边三角形，则此椭圆的离心率等于15．椭圆1422=+y m x 的焦距是2，则m 的值为 16．到椭圆192522=+y x 右焦点的距离与到直线6=x 的距离相等的轨迹方程是 三．解答题17．求以直线01243=-+y x 和两坐标轴的交点为顶点和焦点的椭圆的标准方程。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-2-2椭圆的几何性质
2.2.2椭圆的几何性质一、选择题1．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15[答案] B[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a ，b ，c 的方程式，消去b 得到关于e 的方程，由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0(两边都除以a 2)⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，故选B. 2．已知椭圆C ：x 2a 2y 2b 2＝1与椭圆x 24＋y 28＝1有相同的离心率，则椭圆C 的方程可能是( )A.x 28＋y 24＝m 2(m ≠0) B.x 216＋y 264＝1 C.x 28＋y 22＝1 D ．以上都不可能[答案] A[解析] 椭圆x 24＋y 28＝1中，a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，即a ＝22，c ＝2，离心率e ＝c a ＝22.容易求出B ，C 项中的离心率均不为此值，A 项中，m ≠0，所以m 2>0，有x 28m 2＋y 24m 2＝1，所以a 2＝8m 2，b 2＝4m 2.所以a ＝22|m |，c ＝2|m |，即e ＝c a ＝22. 3．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( )A ．相等的短轴长B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．相同的长轴长[答案] C[解析] 把C 1的方程化为标准方程，即C 1：x 22＋y 24＝1，从而得C 2：x 22＋y 2＝1. 因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22，e 2＝12＝e 1＝22， 故离心率相等，选C.4．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.32 [答案] D[解析] 由△ABF 1为等边三角形，∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32. 5．我们把离心率等于黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22·|AB |·|BF |＝a 2＋b 2－(a ＋c )22·|AB |·|BF |＝(2＋5－12)a 2－(1＋5－12)2a 22·|AB |·|BF | ＝(5＋32－5＋32)a 22·|AB |·|BF |0， ∴∠ABF ＝90°，选C. 6．椭圆x 2－m ＋y 2－n＝1(m <n <0)的焦点坐标分别是( ) A ．(0，－m ＋n )，(0－m ＋n )B ．(n －m ，0)，(－n －m ，0)C ．(0，m －n )，(0，－m －n )D ．(m －n ，0)，(－m －n ，0)[答案] B[解析] 因为m <n <0，所以－m >－m >0，故焦点在x 轴上，所以c ＝(－m )－(－n )＝n －m ，故焦点坐标为(n －m ，0)，(－n －m ，0)，故选B.7．(2010·福建文，11)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[答案] C[解析] 本题主要考查椭圆和向量等知识．由题易知F (－1,0)，设P (x ，y )，其－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2 当x ＝2时，(OP →·FP →)max ＝6.8．椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( )A.12B.13C.14D.22 [答案] A[解析] 由题意知a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12. 9．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能[答案] A[解析] 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2. 10．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( ) A.33 B.23 C.22 D.32[答案] A[解析] 如图，△ABF 2为正三角形，∴|AF 2|＝2|AF 1|，|AF 2|＋|AF 1|＝2a ，3|AF 1|＝|F 1F 2|.∴|AF 1|＝23，又|F 1F 2|＝2c ， ∴23a 2c ＝13. ∴c a ＝33.故选A. 二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径的圆过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0过P 作圆的两切线又互相垂直，则离心率e ＝________. [答案] 22 [解析] 如图，切线P A 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a＝22.12．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．[答案] 53[解析] 易知直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，与椭圆方程联立解得A (0，－2)，B ⎝⎛53，43，故S △ABC ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12×1×2＋12×1×43＝53. 13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.[答案] 8[解析] 由椭圆的第一定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，两式相加，得|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝4a ＝20⇒|AB |＝20－12＝8.14．在△ABC 中，∠A ＝90°，tan B ＝34.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________.[答案] 12[解析] 设|AC |＝3x ，|AB |＝4x ，又∵∠A ＝90°，∴|BC |＝5x ，由椭圆定义：|AC |＋|BC |＝2a ＝8x ，那么2c ＝|AB |＝4x ，∴e ＝c a ＝4x 8x ＝12. 三、解答题15．已知点P 在以坐标轴为对称轴，长轴在x 轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为43和23，且点P 与两焦点连线所张角的平分线交x 轴于点Q (1,0)，求椭圆的方程．[解析] 根据题意，设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵|PF 1|＝43，|PF 2|＝23，∴2a ＝63，即a ＝33，又根据三角形内角平分线的性质，得|PF 1| |P F 2|＝|F 1Q | |Q F 2|＝2 1，即c ＋1＝2(c －1)，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝18，故所求椭圆方程为x 227＋y 218＝1. 16. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，且∠F 1PF 2＝90°，求证：椭圆的圆心率e ≥22. [证明] 证法一：∵P 是椭圆上的点，F 1、F 2是焦点，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，由①2，得|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2(a 2－c 2)，②由①和②，知|PF 1|，|PF 2|是方程z 2－2az ＋2(a 2－c 2)＝0的两根，且两根均在(a －c ，a ＋c )之间． 令f (z )＝z 2－2az ＋2(a 2－c 2)则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0f (a －c )>0f (a ＋c )>0可得(c a )2≥12，即e ≥22. 证法二：由题意知c ≥b ，∴c 2≥b 2＝a 2－c 2∴c 2a 2≥12，故e ≥22. 17．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P 、Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．[解析] ∵e ＝32，∴b 2＝14a 2. ∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2.与x ＋2y ＋8＝0联立消去y 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54[64－2(64－a 2)]． ∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 18．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)的一条直线与椭圆交于A ，B 两点，如果弦AB 被M 点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．[解析] 设所求直线存在，方程y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k 2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，所以x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.又k ＝－12时，使得①式Δ>0，故这样的直线存在，直线方程为x ＋2y －4＝0.。
人教版高二数学选修21椭圆专项基础测试卷
人教版高二数学选修2-1椭圆专项基础测试卷
1 / 1 椭圆同步测试3
1.已知椭圆116
252
2=+y x 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为_______
2.中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是_____
3.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是_____
4.椭圆
2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于_____
5.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于_____
6.椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为______
7.椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|
的等差中项，则该椭圆方程是（_______）。
8.椭圆22
1259
x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为____
9.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ______
10.设(5,0)M -,(5,0)N ,△MNP 的周长是36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹______。
高二数学选修2-1第二章椭圆练习卷
高二数学选修2-1第二章椭圆练习卷一．选择题1. 已知动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数，则动点M 的轨迹是.A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在2.若方程m x -252+my +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( ) A.(-16，25)B.(29，25)C.(-16，29)D.(29，+∞) 3．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．516B ．566C ．875D ．8774. 参数方程 θ=cos x 4（θ为参数）表示的曲线是（ ）θ=sin y 3A. 以()07,±为焦点的椭圆 B. 以()04,±为焦点的椭圆 C. 离心率为57的椭圆 D. 离心率为53的椭圆 5、已知M 是椭圆14922=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ⋅的最大值是（ ）A 、4B 、6C 、9D 、126．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．41B ．22C ．42D ． 21 7．椭圆 221123x y += 的焦点为 1F 和 2F ，点P 在椭圆上，如果线段 1PF 的中点在 y 轴上，那么 1PF 是 2PF 的 （ A ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍8．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ） A ．25 B ．27 C ．3 D ．4 二．填空题8．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．9．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为． 10．已知直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=，对任意的k 值总有公共点，则m 的取值范围是___________11．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．三．解答题13、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1，（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长 14．设点P 在椭圆2214x y +=上，求P 到直线2320x y -+=的距离的最大值和最小值，并求出取最大值或最小值时P 点的坐标。
高中新课标数学选修(2-1)椭圆练习题
椭圆及其标准方程基础卷1．椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0)2．在方程22110064x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是（A ）2214x y += （B ）2214y x += （C ）22116x y += （D ）22116y x += 4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是（A ）2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）2211636x y += 5．若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 （A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）146．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 7．若y 2－lga ·x 2=31－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 . 8．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .9．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 .10．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .11．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。
高中数学选修2—1椭圆测试卷
高中数学选修2-1《圆锥曲线》2.2—2.3阶段训练（椭圆） 时间120分钟 总分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A 1B 2C 3 D2 【答案】B 2.已知椭圆C ：22221x y ab+=（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
则k =A1 B 2 C 3 D2 【答案】B3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线 【答案】 D解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B 4.椭圆22221()x y a b ab+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是A 20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C)21,1⎡-⎣ D 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.54 B.53 C.52 D.51【答案】B6.若点O 和点F 分别为椭圆22143xy+=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则O P FP的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C 7.椭圆()222210x y a ab+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 A （0，22] B （0，12] C[21-，1） D[12，1）【答案】D 8．椭圆141622=+yx上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．10【答案】D 9．在椭圆13422=+yx内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25 B ．27C ．3D ．4【答案】C10．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+yx交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21【答案】D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .【答案】1273622=+xy12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________． 【答案】1101522=+yx13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+yx上的点，则y x +的取值范围是________________ ．【答案】]13,13[-14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________． 【答案】5415．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程____________． 【答案】18014422=+yx或18014422=+xy.三、解答题（本大题共6题，16—18每小题12分，19—21题每小题13分，共75分） 16.已知A 、B 为椭圆22ax +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．【答案】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a58，∴x 1+x 2=a21，即AB 中点横坐标为a41，又左准线方程为ax 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．17.过椭圆4:),(148:220022=+=+yx O y x P yxC 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点． （1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标； （2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点） 【答案】（1）PBPA PB PA ⊥∴=⋅0∴OAPB 的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±）（2）设A （x1，y1），B （x2，y2）则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x0，y0） 即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，∴AB 的直线方程为：x0x+y0y=4（3）由)0,4(4000x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||21000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆22)48(22|222|24||20200000=+≤⋅=y x y x y x 22228||800=≥=∴∆y x S MON当且仅当22,|2||22|m in00==∆MONS y x 时.18.椭圆12222=+by ax (a＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O为坐标原点. （1）求2211ba+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.【答案】设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 又将代入x y-=112222=+by ax 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221ba ax x +=+∴>∆222221)1(ba b a x x +-=代入①化简得21122=+ba.(2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab ab ab ac e又由（1）知12222-=a ab26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a aa，∴长轴 2a ∈ [6,5].19.一条变动的直线L 与椭圆42x+2y2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．【答案】设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y的解，消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m 2－12(2m 2－4)>0，∴－6<m<6，且x 1+x 2=－3m 4，x 1x 2=34m22-，又∵|MP|=2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x－x 1||x －x 2|=1，也即 |x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13423422=-++mmx x∵m=y －x ，∴|x2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2－4=3，得椭圆172722=+x x夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1．20.椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.（14分） 【答案】（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a yax .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c ac c a 解得2,6==c a，所以椭圆的方程为12622=+yx，离心率36=e .（2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y yx 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+kk x x ， ①136272221+-=kk x x . ②，由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y. ③∵0=⋅OQOP ，∴02121=+y y x x. ④，由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k.所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .（2）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP-=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故 ),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--= .而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.21.在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922=+yx的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆22143x y +=的右焦点到直线33y x =的距离是（ ） Ａ．12Ｂ．32Ｃ．1 Ｄ．3答案：Ａ2．语句甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和2PA PB a += (0a >，且a 为常数)；语句乙：P 点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件 答案：Ｂ3．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（ ） Ａ．2211510x y += Ｂ．221225100x y += Ｃ．2211015x y += Ｄ．221100225x y += 答案：Ａ4．设P 是椭圆2211612x y +=上一点，P 到两焦点12F F ，的距离之差为2，则12PF F △是（ ） Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰直角三角形答案：Ｂ5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为πS ab =．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（ ） Ａ．15π Ｂ．15π4Ｃ．3πＤ．255π4答案：Ｄ6．(0)F c ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 距离为2m n+的点是（ ） Ａ．2b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｂ．b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｃ．(0)b ±，Ｄ．不存在答案：Ｃ二、填空题7．若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2150)，，则椭圆的标准方程 是 ．答案：2218020x y += 8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 在线段AB 上且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是 ．答案：221664x y +=9．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 等于 ． 答案：3210．已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12F F ，，且128F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为 ． 答案：44111．椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围 是 ． 答案：[45]，12．已知102A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ． 答案：22413x y += 三、解答题13．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程． 解：椭圆的长轴长是6，2cos 3OFA ∠=，∴点A 不是长轴的端点，而是短轴的端点，OF c ∴=，3AF a ==． 233c ∴=． 2c ∴=，222325b =-=．∴椭圆的方程是22195x y +=或22159x y +=．14．P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．证明：如右图，设1PF 的中点为M ， 则两圆圆心之间的距离为211111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-， 即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．∴两圆内切，即以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．15．在平面直角坐标系中，已知ABC △的两个顶点(30)B -，，(30)C ，且三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，求顶点A 的轨迹方程．解：三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，212AC AB BC BC ∴+==>，∴顶点A 的轨迹是以B C ，为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．由212a =，26c =，得6a =，3c =，则22236927b a c =-=-=．∴顶点A 的轨迹方程为221(6)3627x y x +=≠±．椭圆第1题. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值． 答案：解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ． 点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得222(0)y r x x r =-<<221(22)22S x r r x =+-222()x r r x =+-，其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得12x r =． 因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值．4rCDA B2r CDA B Oxy因此，当12x r =时，S 也取得最大值，最大值为213322f r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 即梯形面积S 的最大值为2332r ．第2题. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．202⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 答案：Ｄ第3题. 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=． 整理得22122102k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭， 解得22k <-或22k >．即k 的取值范围为2222⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ② 又1212()22y y k x x +=++． ③而(20)(01)(21)A B AB =-，，，，，． 所以OP OQ +与AB 共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得22k =． 由（Ⅰ）知22k <-或22k >，故没有符合题意的常数k ．第4题.在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得22(2)12x kx ++=． 整理得22122102k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭， 解得22k <-或22k >．即k 的取值范围为2222⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ② 又1212()22y y k x x +=++． ③而(20)(01)(21)A B AB =-，，，，，． 所以OP OQ +与AB 共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得22k =． 由（Ⅰ）知22k <-或22k >，故没有符合题意的常数k ．第5题.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在点,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．202⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．303⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D ．313⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 答案：D第6题.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c （c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A ．312- B ．12C ．512- D ．22答案：D第7题.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A CB+=_____． 答案：54第8题.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内Ｂ．必在圆222x y +=上Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能答案：A第9题.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=上Ｂ．必在圆222x y +=外Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能答案：Ｃ第10题.已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．答案：证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2222122212243(1)1(1)()432k BD kx x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-， 所以，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．第11题.已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 答案：（Ⅰ）椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+，2222122212243(1)1(1)()432k BD kx x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+；因为AC 与BC 相交于点p ，且AC 的斜率为1k-． 所以，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．第12题.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A ．13B ．33C ．12D ．32答案：D第13题. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求AOB △面积的最大值．答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意633c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥轴时，3AB =． （2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．由已知2321m k =+，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤． 当且仅当2219k k =，即33k =±时等号成立．当0k =时，3AB =，综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 133222S AB =⨯⨯=．第14题.椭圆2241x y +=的离心率为（ ）Ａ．32Ｂ．34Ｃ．22Ｄ．23答案：A第15题.已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______． 答案：21-第16题.已知长方形ABCD ，4AB =，3BC =，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______． 答案：12第17题.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y x=相切于坐标原点O ，椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解:(1) 设圆C 的圆心为 (m ，n )则 222m nn =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=(2) 由已知可得 210a = 5a =椭圆的方程为221259x y += ， 右焦点为 F ( 4，0) ； 假设存在Q 点()222cos ,222sin θθ-++使QF OF =，()()22222cos 4222sin 4θθ-+-++=整理得 sin 3cos 22θθ=+ 代入 22sin cos 1θθ+= 得:y O 1A2B2A 1B. . . M1FF2Fx. 210cos 122cos 70θθ++= ， 122812222cos 11010θ-±-±==<-因此不存在符合题意的Q 点.第18题.设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+，则||OM = ． 答案：2第19题.我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．答案：解：（1） ()()2222012(0)00F c F b c F b c ---，，，，，， ()222220212121F F bc c b F F b c ∴=-+===-=，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=． 当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(c c a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(c c a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．第20题.设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=-，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且A O B ∠为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．答案：解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b =，3c =．∴1(3,0)F -，2(3,0)F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(3,)(3,)34PF PF x y x y x y ⋅=-----=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22113342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，3(1,)2P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k =+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k kk k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+ ∴2144k -<<．② 综①②可知2344k <<，∴k 的取值范围是33(2,)(,2)22--第21题.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ． （Ⅰ）证明2a b =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．答案：（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，222221a b y a b-+=， 解得2b y a =，从而得到2b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得 2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即 242234c b cb a c=+， 将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即2a b =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△，故211BO F AOF F A= 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以 2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即2a b =． （Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=． 当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②的解．当00y ≠时，由①式得 200t x xy y -=代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=，于是2012220042t x x x x y +=+，422122200222t b y x x x y -=+ 2201121201t x x t x x y y y y --=422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭422220022t b x x y -=+． AO1F 2FHxy若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++． 所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为63t b =． 当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为63t b =． 另一方面，当63t b =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥． 综上所述，6(0)3t b b =∈，使得所述命题成立．。
数学选修2-1椭圆练习题含答案
数学选修2-1椭圆练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下图是圆锥曲线的知识结构图，在空白处应填入（ ）A.圆B.直线C.共轭双曲线D.椭圆2. 过原点作直线AB 与椭圆C ：x 220+y 24=1交于不同两点A ，B ，点F 为椭圆左焦点，则|AF|+|BF|的值为( ) A.√5 B.2√5 C.3√5 D.4√53. 双曲线3x 2−4y 2=−12的焦点坐标为（ ） A.(±5, 0) B.(0, ±√5) C.(±√7, 0) D.(0, ±√7)4. 若椭圆mx 2+ny 2=1与y =1−x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点连线的斜率为√2，则mn 的值等于( ) A.√33 B.√22C.√3D.√25. 已知椭圆的方程为x 2a 2+y 225=1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=8，弦AB 过F 1，则△ABF 2的周长为( ) A.10 B.20 C.2√41 D.4√416. 设F 1，F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若MF 1→=3F 1N →，且cos ∠MNF 2=45，则椭圆C 的离心率为（ ） A.√22 B.√33C.√2−12D.√2−137. 如图，F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，O为坐标原点，P是椭圆上的一点，且满足|F1F2|=2|OP|，若∠PF2F1=5∠PF1F2，则椭圆的离心率为（）A.√32B.√63C.√22D.√238. 已知F1,F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点(1,√22)在椭圆上，且点(−1,0)到直线PF2的距离为4√55，其中点P(−1,−4)，则椭圆E的标准方程为( )A.x2+y24=1 B.x24+y2=1 C.x2+y22=1 D.x22+y2=19. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4, 2)平分，则这条弦所在的直线方程是()A.x−2y=0B.5x+2y−4=0C.x+2y−8=0D.2x+3y−12=010. 如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )A.(0, +∞)B.(0, 2)C.(1, +∞)D.(0, 1)11. 已知椭圆x29+y25=1的两个焦点分别是F1、F2，△MF1F2的重心G恰为椭圆上的点，则点M的轨迹方程为________．12. 椭圆x23+y24=1的离心率是________．13. 在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α（α为锐角），l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行时，记β=0)，则：当π2>β>α时，平面π与圆锥面的交线为________．14. 已知椭圆C:x 216+y 212=1，F 1，F 2分别为椭圆的两焦点，点P 椭圆在椭圆上，且|PF 2|=3，则△PF 1F 2的面积为________．15. 已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，若直线x =a 2c上存在点P ，使△PF 1F 2为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是________.16. 已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120∘，则C 的离心率为________.17. 已知椭圆x 2m +y 29=1的离心率是13，则实数m 的值是________.18. 已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点F 恰为圆F:x 2+y 2−10√2y =0的圆心，直线l:y =3x −2截C 所得弦AB 的中点的横坐标为12，则C 的短轴长为_________.19. 过点(2, −3)且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点的椭圆的标准方程为________．20. 过点M(1, 1)且与椭圆x 216+y 24=1交于A ，B 两点，则被点M 平分的弦所在的直线方程为________．21. 已知椭圆M 的中心原点O ，点F(−1, 0)是它的一个焦点，直线L 过点F 与椭圆M 交于P 、Q 两点，当直线L 的斜率不存在时，OP →⋅OQ →=12．（1）求椭圆M 的方程；（2）设A 、B 、C 是椭圆M 上的不同三点，且OA →+OB →+OC →=0，证明直线AB 与OC 的斜率之积为定值．22. 已知离心率为√22的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)经过抛物线x 2=−4y 的焦点F ，斜率为1的直线l 经过(1,0)且与椭圆交于C ，D 两点． (1)求△COD 面积；(2)动直线m 与椭圆有且仅有一个交点，且与直线x =1，x =2分别交于A ，B 两点，F 2为椭圆的右焦点，证明|AF 2||BF 2|为定值．23. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为√22，一个焦点为 (−2,0)． (1)求椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距；(2)求椭圆C 的方程.24. 已知以椭圆短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形为正三角形，并且焦点到椭圆的最短距离为3，求椭圆的标准方程．25. 设 F 1 ，F 2为椭圆 C:x 29+y 25=1 的两个焦点，M 为C 上一点， 且M 在第一象限，若△MF 1F 2 为等腰三角形，则 M 的坐标为________．26. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√63，焦距是2√2． (1)求椭圆的方程；(2)若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，|CD|=6√25，求k 的值．27. 在①C 的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为8，②长轴长与短轴长之和为6，焦距为2√3；③离心率为√32，点M(2,√3)在C 上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，________，求C 的标准方程． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．28. 已知椭圆C:4x 2+y 2=16. (1)求椭圆C 的长轴长和短轴长 ;(2)求椭圆C 的焦点坐标和离心率;(3)直线l:y =−2x +4与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AB 的长． 29. 椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F 1，过右焦点F 2的直线与椭圆相交于点A ,B ,则△AF 1B 的周长是________．30. 椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1(−1, 0)，长轴为2√2． （1）求椭圆C 的标准方程（2）过左焦点F 1的直线交曲线C 于A ，B 两点，过右焦点F 2的直线交曲线C 于C ，D 两点，凸四边形ABCD 为菱形，求直线AB 的方程．31. 根据下列条件，求椭圆的标准方程．（1）两个焦点的坐标分别为(−4, 0)和(4, 0)，且椭圆经过点(5, 0)；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2, 0)和(0, 1)两点；（3）经过点(2, −3)且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点．32. 求下列椭圆的标准方程：(1)焦点在x 轴上，离心率e =35，且经过点A(5√32,−2)；(2) 以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3, 0)．33. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，离心率e =12，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l垂直于x轴且垂足为(√2a2,0)时，△AOB的面积为4√3（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AOB的面积为定值4√3，求弦AB中点的轨迹方程．34. 如图，B，A是椭圆C：x24+y2=1的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP．（1）求证：k BQ⋅k AQ=−14；（2）若直线PQ过定点(65,0)，求证：k AP=4k BQ．35. 中心在原点O、焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y−1=0交于A，B两点，C是AB的中点，若以AB为直径的圆过圆点，且OC的斜率为12，求椭圆的方程．36. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y2a +x2b=1(a>b>0)的离心率为√22，两个焦点分别为F1，F2，右顶点为M，且△MF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线l：x+ky=12(k≠0)对称，求实数k的取值范围．37. 如图，我区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆x 2a2+y2b2=1(x≤0)和y2b2+x281=1(x≥0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）．（1）求“挞圆”的方程；（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0.15)，求该网箱所占水面面积的最大值．38.如图，A，B是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线l是椭圆的右准线．(1)若椭圆C的离心率为12，直线l:x=4，求椭圆C的方程；(2)设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交MB于Q，若直线PQ恰好过原点，求椭圆C 的离心率．39. 已知椭圆的焦点为F1(−t, 0)，F2(t, 0)，(t>0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项．(1)求椭圆方程；(2)如果点P在第二象限且∠PF1F2=120∘，求tan∠F1PF2的值．40. 过椭圆C:x225+y29=1右焦点F的直线l交C于两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，且A不在x轴上．(Ⅰ)求|y1y2|的最大值；(Ⅱ)若|AF||FB|=14，求直线l的方程．参考答案与试题解析数学选修2-1椭圆练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】圆锥曲线的实际背景及作用【解析】此题暂无解析【解答】解：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线.故选D.2.【答案】D【考点】椭圆的简单几何性质椭圆的定义【解析】设F1为椭圆的右焦点，由椭圆对称性可知|AF|+|BF|=12(|AF|+|BF|+|AF1|+|BF1|)，再结合椭圆定义，则|AF|+|AF1|=2a,|BF|+|BF1|=2a,即可求解.【解答】解：设F1为椭圆的右焦点，则由椭圆的对称性以及定义可得：|AF|+|BF|=12(|AF|+|BF|+|AF1|+|BF1|)=12(|AF|+|AF1|+|BF|+|BF1|)=12(2a+2a)=2a.由椭圆方程可知a2=20,所以a=2√5.即|AF|+|BF|=4√5.故选D.3.【答案】D【考点】圆锥曲线的实际背景及作用双曲线的特性【解析】把双曲线3x2−4y2=−12化为标准方程，然后利用双曲线的基本性质求解即可．【解答】解：把双曲线3x2−4y2=−12化为标准方程：y23−x24=1，∴a2=3，b2=4，c=√7，∴双曲线3x2−4y2=−12的焦点坐标是(0, ±√7)．故选：D．4.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】设A(x,y1)B(x2,y2)，线段AB的中点M(x0,y0)由题意可得y1+y2x1+x2=y2x0=√2y2−y1x2−x1=−1（1）因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1mx22+ny22=1两式相减可得m(x1−x2)(x1+x2)+n(y1−y2)(y1+y2)=0（2）（1）（2）联立可得mn=√2.【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点M(x0,y0)，由题意可得y1+y2x1+x2=y0x0=√2，y2−y1x2−x1=−1①，因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1，mx22+ny22=1，两式相减可得m(x1−x2)(x1+x2)+n(y1−y2)(y1+y2)=0②，①②联立可得mn=√2.故选D.5.【答案】D【考点】椭圆的定义【解析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意得：b=5，c=4，则a=√b2+c2=√41.由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a . 即有△ABF 2的周长为： |AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2| =4a =4√41． 故选D ． 6.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】设|NF 1|＝m ，因为MF 1→=3F 1N →，及由椭圆的定义可得|MF 1|，|MF 2|，|NF 2|的值，在两个三角形中由余弦定理可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【解答】设|NF 1|＝m ，因为MF 1→=3F 1N →，所以|MF 1|＝3m ，由椭圆的定义可得|MF 2|＝2a −3m ，|NF 2|＝2a −m ，在△MNF 2中，由余弦定理可得|MF 2|2＝|MN|2+|NF 2|2−2|MN|⋅|NF 2|cos ∠MNF 2，即(2a −3m)2＝(4m)2+(2a −m)2−2⋅4m ⋅(2a −m)⋅45，整理可得m =a3①在△NF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2＝|NF 1|2+|NF 2|2−2|NF 1|⋅|NF 2|⋅cos ∠MNF 2，即(2c)2＝m 2+(2a −m)2−2m ⋅(2a −m)⋅45， 即4c 2=a 29+25a 29−2a 3⋅5a 3⋅45，整理可得：c 2a 2=12，所以椭圆的离心率e =ca =√22， 7.【答案】B【考点】 椭圆的定义 【解析】根据题意可知∠F 1PF 2=90∘，∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，进而求得∠PF 1F 2和∠PF 2F 1，在Rt △PF 1F 2分别表示出|PF 1|和|PF 2|，进而根据椭圆的定义表示出a ，进而求得a 和c 的关系，即椭圆的离心率． 【解答】解：∵ |F 1F 2|=2|OP|，O 是F 1F 2的中点， ∴ ∠F 1PF 2=90∘∵ ∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，∴ ∠PF 1F 2=15∘，∠PF 2F 1=75∘∴ |PF 1|=|F 1F 2|sin ∠PF 2F 1=2c ⋅sin 75∘， ∴ |PF 2|=|F 1F 2|sin ∠PF 1F 2=2c ⋅sin 15∘， ∴ 2a =|PF 1|+|PF 2|=2c ⋅sin 75∘+2c ⋅sin 15∘=4c sin 45∘cos 30∘=√6c , ∴ a =√62c , ∴ e =c a=√63. 故选B ． 8.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】左侧图片未给出解析． 【解答】解：设F 2的坐标为(c,0)(c >0)， 则k PF 2=4c+1，故直线PF 2的方程为y =4c+1(x −c)， 即4c+1x −y −4c c+1=0，点(−1,0)到直线PF 2的距离 d =|−4c+1−4c c+1|√(4c+1)2+1=√(4c+1)2+1=4√55，即(4c+1)2=4，解得c =1或c =−3（舍去）， 所以a 2−b 2=1，① 又点(1,√22)在椭圆E 上， 所以1a 2+12b 2=1，②由①②可得{a 2=2,b 2=1,所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1.故选D ． 9. 【答案】 C【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题 【解析】设这条弦的两端点为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 1236+y 129=1x 2236+y 229=1，两式相减再变形得x 1+x236+ky 1+y 29=0，又由弦中点为(4, 2)，可得k =−12，由此可求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设这条弦的两端点为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，斜率为k ，则{x 1236+y 129=1，x 2236+y 229=1，两式相减再变形得x 1+x 236+ky 1+y 29=0,又弦中点为(4, 2)，故k =−12，故这条弦所在的直线方程y −2=−12(x −4)， 整理得x +2y −8=0；故选C ． 10.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 椭圆的定义【解析】利用椭圆的定义求解． 【解答】解：∵ x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆， 把x 2+ky 2=2转化为椭圆的标准方程，得x 22+y 22k=1，∴ 2k >2，解得0<k <1．∴ 实数k 的取值范围是(0, 1)． 故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】x 281+y 245=1(x ≠±9) 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的实际背景及作用 椭圆的应用 【解析】设重心(x 1, y 1)，M(x 0, y 0) 而F 1(2, 0)，F 2(−2, 0)由重心坐标公式得x 1=2+(−2)+x 03=x 03，y 1=y 03，因为重心在椭圆上，所以(x 03)29+(y 03)25=1，由此可知M 的轨迹方程．【解答】解：设重心(x 1, y 1)，M(x 0, y 0) 而F 1(2, 0)，F 2(−2, 0)由重心坐标公式得 x 1=2+(−2)+x 03=x 03，y 1=y 03，∵ 重心在椭圆上． ∴x 129+y 125=1，所以(x 03)29+(y 03)25=1，即x 0281+y 0245=1， 所以M 的轨迹方程为：x 281+y 245=1(x ≠±9)．答案：x 281+y 245=1(x ≠±9)． 12. 【答案】12【考点】 椭圆的定义圆锥曲线的实际背景及作用 【解析】先根据由椭圆的标准方程求的a 和b ，再根据c =√a 2−b 2求得c ，进而根据离心率的公式求得答案． 【解答】解：由椭圆的标准方程x 23+y 24=1可知，a =2，b =√3，∴ c =√a 2−b 2=1 ∴ e =ca =12． 故答案为：12．13.【答案】 椭圆 【考点】平面与圆锥面的截线圆锥曲线的实际背景及作用【解析】根据平面π与圆锥的轴成角的大小，利用从不同角度截圆锥体得到的截面的形状，判断出相应的不可能的截面即可． 【解答】解：不同倾角的截面截割圆锥，无论是两个对顶的圆锥，还是一个单个的圆锥，都有下面的关系：(1)β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；(2)β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(3)β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．由于题中条件：π2>β>α，故平面π与圆锥面的交线为椭圆．故答案为：椭圆．14.【答案】6【考点】椭圆的定义【解析】本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，利用椭圆的定义，结合|PF1|+|PF2|=8，|PF2|=3可得|PF1|，进而|PF2|⊥|F1F2|，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意椭圆C:x 216+y212=1，a=4，|PF1|+|PF2|=8，∵|PF2|=3，∴|PF1|=5，∵|F1F2|=4，∴PF2⊥F1F2，∴△PF1F2的面积为12×4×3=6，故答案为：6．15.【答案】(√33,1)【考点】椭圆的离心率【解析】由已知P(a 2c ,y)，可得F1P的中点Q的坐标，求出斜率，利用k F1P⋅k F2Q＝−1，可得y2＝2b2－b4c2，由此可得结论。
高中数学选修2-1第二章第6课时同步练习§2.2.2(2)椭圆及其简单性质
§2.2.2椭圆的简单几何性质（2）1. 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．2. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．3. 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．4. 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．5. 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．6. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值．7. 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；8. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ． 求证：21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．9. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．参考答案及其解析1. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．2. 解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．3. 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ．解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹． （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．4. 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ① 又过点()62-，，因此有()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．5. 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．6. 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．7. 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线． 由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线． 建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．8. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ． 求证：21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 证明：在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．9. 分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
高中数学 选修2-1椭圆同步测试题
选修1-1椭圆同步力测试题基础卷一、选择题:1. 椭圆1692522y x +=1的焦点坐标是（ ） A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)2. 已知椭圆的方程为22216m y x +=1，焦点在x 轴上，则m 的范围是（ ） A.－4≤m ≤4 B.－4＜m ＜4 C.m ＞4或m ＜－4 D.0＜m ＜43. 已知椭圆过点P (53，－4)和点Q (－54，3)，则此椭圆的标准方程是（ ） A.252y +x 2=1 B.252x +y 2=1 C.252x +y 2=1或x 2+252y =1 D.以上都不对4. 椭圆252x ＋92y ＝1与k x -92＋ky -252＝1（0＜k ＜９）的关系为（ ）A.有相等的长、短轴 Ｂ.有相等的焦距Ｃ.有相同的焦点 Ｄ.有相同的准线 5. 中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A.812x ＋722y =1 B.812x ＋92y =1 C.812x ＋452y =1D. 812x ＋362y =16.21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．47 C ．27 D ．257二、填空题: (每小题5分,共20分)7.点P 是椭圆192522=+y x 上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于4，则P 点的坐标是 .8. P 是椭圆13422=+y x 上的点，F 1、F 2是两个焦点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差是 . 9.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k .10.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线会经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 . 三、解答题:11.求适合下列条件的标准方程：（1）两个焦点坐标分别是（－3，0），（3，0），椭圆经过点（5，0）； （2）两个焦点坐标分别是（0，5），（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26.12.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的焦点坐标是F 1(－c ,0)和F 2(c ,0),P （x 0,y 0）是椭圆上的任一点，求证：｜PF 1｜=a +ex 0,｜PF 2｜=a －ex 0，其中e 是椭圆的离心率.13.已知圆A ：（x +3）2+y 2=100，圆A 内一定点B （3，0），圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程.14.已知点A （1，2）在椭圆121622y x +=1内，F 的坐标为（2，0），在椭圆上求一点P 使|P A |+2|PF |最小.提高卷一、选择题:1. a =6,c =1的椭圆的标准方程是（ ）A.353622y x +=1B.353622x y +=1C.53622y x +=1 D.以上都不对 2. 椭圆92522y x +=1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.103.如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,04. 方程αsin 3422y x -=1表示椭圆，则α的取值范围是（ ） A.－2π＜α＜0 B.π＜α＜2πC.2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z )D.2k π+π＜α＜2k π+2π(k ∈Z )二、填空题:5.椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________ . 6. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cos ∠OFA=135，则椭圆的方程是 7. 椭圆的两焦点为(－2，0)和(2，0)，且椭圆过点(23,25-)，则椭圆方程是 . 8. 设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=____________ .三、解答题:9. 若一个动点P (x ,y )到两个定点A （－1，0），A ′（1，0）的距离的和为定值m ，试求P 点的轨迹方程.10. 已知椭圆的焦点是F 1（0，－1）和F 2（0，1），直线y =4是椭圆的一条准线.（1）求椭圆的方程；（2）又设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|=1，求∠F 1PF 2.备用题:1.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x .证明：.22022ab a x a b a -<<--证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，则中点1212(,)22x x y y M ++，得2121,AB y y k x x -=- 22222211,b x a y a b +=22222222,b x a y a b +=得2222222121()()0,b x x a y y -+-=即2222122221y y b x x a -=--，AB 的垂直平分线的斜率2121,x x k y y -=-- AB 的垂直平分线方程为12211221(),22y y x x x xy x y y +-+-=--- 当0y =时，222222121210221(1)2()2y y x x x x b x x x a -+-+==-- 而2122a x x a -<+<，22220.a b a b x a a--∴-<< 2.已知椭圆22143x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同 两点关于直线4y x m =+对称解析:设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，21211,4AB y y k x x -==--而22113412,x y +=22223412,x y +=相减得222221213()4()0,x x y y -+-= 即1212003(),3y y x x y x +=+∴=，000034,,3x x m x m y m =+=-=-而00(,)M x y 在椭圆内部，则2291,43m m +<即m <<.答案基础卷一、选择题:1.C 解析: a 2=169,b 2=25,∴c 2=169－25=144,∴c =12.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴椭圆的焦点坐标为（0，±12）.2.B 解析: ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴m 2＜16,∴－4＜m ＜4.3.A 解析: 设椭圆的方程为22ax +22b y =1(a ＞0，b ＞0).∵椭圆过P 、Q 两点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.1925161162592222b a b a解得：a 2=1,b 2=25,∴x 2+252y =1为所求.4.B 解析: ∵25－k －（９－k ）＝16，∴焦距相等.5.A 解析: ∵2a =18,2c =31×2a =6,∴a =9,c =3,b 2=81－9=72.6.C 解析:1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2AF AF AF AF -=-+=1772222S =⨯⨯=二、填空题: 7. （±3210，±1）解析: c=925-=4.设P 点的坐标为（x ，y ），则21×8×|y|=4,y=±1.把y=±1代入椭圆的方程得191252=+x .∴x=±3210. 8.1解析: 设P （x ，y ），则|PF 1|·|PF 2|=4-41x 2.∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为4，最小值为3. 9.1解析:焦点在y 轴上，则22251,14,151y x c k k k+==-== 10. 4a 解析:设A 、B 分别为椭圆的左、右焦点,若光线从A 点沿直线出发,经椭圆的左顶点反弹后,第一次经加到点A,小球经求的路程为2(a －c );若交线从A 点沿直线出发,经椭圆的右顶点反弹后,第一次经加到点A,小球经求的路程为2(a +c ); 若交线从A 点沿直线出发,经椭圆上非左右顶点反弹后,经过点B,再以过椭圆壁反弹后第一次回到点A,小球经求的路程为2(a +a )=4a . 三、解答题:11.解析:（1）∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：2222by a x +=1（a ＞b ＞0）.∵2a =100)35(0)35(22=+-+++,2c =6, ∴a =5,c =3,∴b 2=a 2－c 2=52－32=16.∴所求椭圆的方程为：162522y x +=1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为：2222b x a y +=1(a ＞b ＞0).∵2a =26,2c =10,∴a =13,c =5. ∴b 2=a 2－c 2=144.∴所求椭圆方程为：14416922x y +=1. 12.证明: 椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的两焦点F 1(－c ,0)、F 2(c ,0),相应的准线方程分别是x =－c a 2和x =c a 2.∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率.∴ca x PF 201+=e ,022x ca PF -=e .化简得：｜PF 1｜=a +ex 0,｜PF 2｜=a －ex 0. 13.解析: 设｜PB ｜=r .∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10. ∴两圆的圆心距｜P A ｜=10－r ,即｜P A ｜+｜PB ｜=10（大于｜AB ｜）.∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆. ∴2a =10,2c =｜AB ｜=6,∴a =5,c =3.∴b 2=a 2－c 2=25－9=16.即点P 的轨迹方程为162522y x +=1. 14.解析: ∵a 2=16,b 2=12,∴c 2=4,c =2.∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为2142=. 设P 到右准线的距离为d ，则|PF |=21d ,d =2|PF |. ∴|P A |+2|PF |=|P A |+d .由几何性质可知，当P 点的纵坐标（横坐标大于零）与A 点的纵坐标相同时，|P A |+d 最小.把y =2代入121622y x +=1得x =364(负舍之)，即P （364，2）为所求. 提高卷一、选择题:1.D 解析: ∵给出的条件不能确定焦点所在的坐标轴，∴椭圆的方程应有两种形式.2.A 解析: ∵2a =10,P 到一个焦点的距离为5，∴P 到另一个焦点的距离为10－5=5.3.D 解析:焦点在y 轴上，则2221,20122y x k k k+=>⇒<< 4.D 解析: ∵方程αsin 3422y x -=1表示椭圆， ∴3sin α＜0.∴2k π+π＜α＜2k π+2π(k ∈Z ). 二、填空题:5.54,4-或解析:当89k +>时，222891,484c k e k a k +-====+； 当89k +<时，2229815,944c k e k a --====- 6.14416922y x +=1或14416922x y +=1解析: 由cos ∠OFA=135，知A 是短轴的端点.∵长轴长是26，∴|FA|=13即a=13.∴13c =135，c=5，b 2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为14416922y x +=1或14416922x y +=1.7. 61022y x +=1解析: 把点(25，－23)的坐标代入可得61022y x +=1. 8. 22b a - 解析:设1122(,),(,)A x y B x y ，则中点1212(,)22x x y y M ++，得2121,AB y yk x x -=- 2121OMy y k x x +=+，22212221AB OM y y k k x x -⋅=-，22222211,b x a y a b += 22222222,b x a y a b +=得2222222121()()0,b x x a y y -+-=即2222122221y y b x x a-=-- 三、解答题:9.解析: ∵｜P A ｜+｜P A ′｜=m ,｜AA ′｜=2,｜P A ｜+｜P A ′｜≥｜AA ′｜， ∴m ≥2.（1）当m =2时，P 点的轨迹就是线段AA ′. ∴其方程为y =0(－1≤x ≤1).(2)当m ＞2时，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以A 、A ′为焦点的椭圆. ∵2c =2,2a =m ,∴a =2m ,c =1,b 2=a 2－c 2=42m －1∴点P 的轨迹方程为422m x +1422-my =1.10.解析: （1）∵c =1,ca 2=4,∴a =2,b 2=3.又椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，∴椭圆的方程为：4322y x +=1. (2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-==+,1422121PF PF a PF PF 解得251=PF ，232=PF .又21F F =2c =2，∴cos F 1PF 2=2122122212PF PF F F PF PF ⋅-+=53. 即∠F 1PF 2=arccos53.。
高二数学选修2-1椭圆练习含答案人教实验A版
2013高二数学（选修2-1）椭圆练习(含答案人教实验A版)2.2椭圆同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程是（）A.B.C.D.2．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（）A．B.C.D.3．若AB是过椭圆(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAMkBM=（）A．B.C．D．4．“-3m5”是“方程表示椭圆的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（每小题5分，共10分）5.如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为.6.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．三、解答题(共70分)7.（15分）已知点A(－2,0)、B(2,0)，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程8.（20分）如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D 是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C所截线段的长度9.（15分）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.(1）求椭圆的方程及左顶点的坐标；（2）设过点的直线交椭圆于两点，若△PAB的面积为，求直线的方程10.（20分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点P的坐标为(2，)，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程（2）（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，，且+=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标一、选择题1.D解析：由长轴长为12，离心率为，可得,所以.又焦点在轴上，所以椭圆的方程为.2.B解析：∵a=2b,故选B.3.B解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则kAMkBM=.∵A，M在椭圆上，∴，两式相减，可得kAMkBM=，故选B．4.B解析：由方程表示椭圆知即-3m5且m≠1.故选B.二、填空题5.4或-解析：①当焦点在x轴上时，，，∴=k-10.∴k1且e====.解得k=4.②当焦点在y轴上时，=9，=k+80，∴=9-k-8=1-k0.∴-8k1且e====.解得k=-.6.解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是椭圆，其中，,所以椭圆方程为.三、解答题7.解：易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．①又设椭圆方程为(a24)．②因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故＝1，解得k2＝13. 将①代入②整理，得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝13，即(a2－3)x2＋a2x－34a4＋4a2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，由题意有＝2×45(a23)，求得a2＝8.经检验，此时∆0.故所求的椭圆方程为.8.解：(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，由已知得∵点P在圆上，∴x2＋2＝25，即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入椭圆C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝3－412，x2＝3＋412.∴线段AB的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415.9.解：（1）由题意可知，，所以.所以.所以椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是.(2）根据题意可设直线的方程为,,由可得.所以∆所以△PAB的面积.因为△PAB的面积为，所以.令，则.解得（舍去），.所以.所以直线的方程为或.10.解：（1）由椭圆C的离心率e=，得，其中c=.∵椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|=|PF2|，∴(2c)2=()2+(2-c)2，解得c=1，a2=2，b2=1.∴椭圆的方程为+y2=1．（2）由题意，知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m．由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，且，由已知α+β=π，得即化简，得∴整理得m=2k．（3）∴直线MN的方程为y=k（x2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）。
高中数学人教A版选修2-1椭圆测试卷(二)
椭圆（二）一.选择题：（5×12=60分）1.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程221sin cos x y αα+=表示焦点在x 轴上椭圆，则α∈ （ ）A.0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦B.,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.椭圆的一个顶点和一个焦点在直线360x y +-=上，则此椭圆的标准方程是 （ ）A.221404x y += B.2213640x y += C.22221140363640x y x y +=+=或 D.2222114043640x y x y +=+=或 3.椭圆2214x ym +=的焦距为2，则m 的值等于 （ ） A.5或3 B.5 C.8 D.164.直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 （ ） Ａ.()0,1 Ｂ.()0,5 Ｃ.[)()1,55,+∞U Ｄ.()1,+∞5.过点M(-2 0)的直线l 与椭圆2212x y +=交于1p ， 2p 两点，线段12p p 中点为p ,设直线l 斜 率为11(0)k k ≠,直线op 斜率为2k ，则12k k 等于 （ ） A.2 B.–2 C.12 D.12- 6.已知F 为椭圆222222(b x a y a b a b +=>0)>一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，记c 则PQF ∆面积最大值 （ ） A.12ab B.ab C.ac D.bc 7.已知一定圆C 及其内一异于圆心C 的定点A ,过点A 且与圆C 相切的动圆圆心M 的轨迹是（ ）A.直线B.线段C.圆D.椭圆8.已知12,F F 是椭圆221169x y +=两焦点,过2F 的直线交椭圆于,A B 两点且5AB =,则 11AF BF += ( )A.11B.10C.9D.69.已知椭圆221169x y +=左右两焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若12,,P F F 是一个直角三角 形的三个顶点，则点P 到x 轴距离为 （ ） A.95B.3C.7D.9410.若椭圆22228925100mx y x y +=+=与的焦距相等，则m = （ ）A.9B.11C.9917或 D.91711.把圆229x y +=上每个点横坐标不变，纵坐标缩短为原来14，则所得曲线方程为 （ ）A.221916x y += B.2219144x y +=C.2216199x y +=D.22199x y +=12.给定四条曲线①2252x y +=②22194x y +=③2214y x +=④2214x y +=，其中与直线 0x y +=仅有一个交点的曲线是 （ ）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④二.填空题：（5×4=20分）13.若椭圆对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点；又焦点到同侧长 1，则椭圆的标准方程为14.如图，在AFB ∆中，150AFB ∠=︒,2AFB S ∆=,则以F 为 焦点，A,B 分别为长短轴端点的椭圆方程为 _____ . 15.设F 是椭圆22176x y +=右焦点，且椭圆上至少有21个不同 点(1,2,3,)i P i =L 使123,,,PF PF PF L 组成公差为d 的等差数列，则d 16.过椭圆2244x y +=上一点(0,1)A 的弦AP 的长度的最大值为 .三.解答题：（70分）17.(10分)已知椭圆2214520x y +=的焦点分别是1F ，2F ，过中心O 作直线与椭圆交于A,B 两点.若2ABF ∆的面积是20，求该直线方程.18.(12分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =，过点(,0)A a 和点(0,)B b -的直线与原点距离为2。
高中数学人教A版选修2-1高二同步练习——椭圆.docx
高二同步练习——椭圆一、选择题1．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 2．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．22 B 21-．22D 21 3．设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =u u u r u u u r 且1OQ AB =u u u r u u u r g ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>> 4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 5．设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要二、填空题6．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．8．已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .9．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ;三、解答题10．椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且P F 1⊥PF 2,,| P F 1|=34,,| P F 2|=314. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线L 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程。
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高二数学选修2-1第二章椭圆练习卷
一．选择题
1. 已知动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数，则动点M 的轨迹是 .A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在
2.若方程m x -252+m
y +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )
A.(-16，25)
B.(
2
9
，25) C.(-16，
2
9) D.(
2
9
，+∞) 3．已知P 是椭圆136
1002
2=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点
的距离是 （ ）
A ．516
B ．566
C ．875
D ．8
77
4. 参数方程 θ=cos x 4 （θ为参数）表示的曲线是（ ） θ=sin y 3
A. 以()
07,±为焦点的椭圆 B. 以()04,±为焦点的椭圆
C. 离心率为
57的椭圆 D. 离心率为53
的椭圆 5、已知M 是椭圆14
92
2=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ⋅的最大值是（ ）
A 、4
B 、6
C 、9
D 、12
6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为
（ ）
A ．41
B ．22
C ．4
2 D ． 21
7．椭圆
22
1123
x y += 的焦点为 1F 和 2F ，点P 在椭圆上，如果线段 1PF 的中点在 y 轴上，那么 1PF 是 2PF 的 （ A ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 8．在椭圆13
422=+y x 内有一点P
（1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是
（ ） A ．
25 B ．2
7 C ．3
D ．4
二．填空题
8．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．
9．点 是椭圆 上一点， 是其焦点，若 ，则 的
面积为 ．
10．已知直线1y kx =+与椭圆
22
15x y m
+=，对任意的k 值总有公共点，则m 的取值范围是___________
11．已知 ， 是椭圆 内的点， 是椭圆上的动点，则
的最大值为______________，最小值为___________．
三．解答题
13、斜率为1的直线与双曲线122
2
=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1，（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长
14．设点P 在椭圆2
214
x y +=上，求P 到直线2320x y -+=的距离的最大值和最小值，并求出取最大值或最小值时P 点的坐标。
15．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与
x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；
高二数学选修2-1第二章椭圆练习卷答案
一．选择题：CBBAC DAC 二．填空题
8． 9． 10. m 大于等于1且不等5
11．
，
三．解答题
13.(1)y=x+1 (2)AB=62
14.略解1：设[)2cos ,sin ,0,2p p x y θθθπ==∈，P ∴到此直线的距离
d ==
当34
π
θ=
时，min ,5d =此时P
点的坐标为(2， 当74πθ=
时，max d =P
点的坐标为⎭ 略解2
：设平行于20x y -+=的直线方程为20x y c -+=
由22
2014
x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩得222240x cx c ++-=。
由0∆=
，得c =±
当c =
P (2
，此时min 5
d =；
当c =-
2P ⎫
-
⎪⎪⎭
，此时max d = 15. [解析]：（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(1222
2>=+a y a x .由已知得⎪⎩
⎪
⎨⎧-==-).
(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a ，所以椭圆的方程为12
62
2=+y x ，离心率36=e .
（2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,126
2
2x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3
636<
<-k .
设),(),,(2211y x Q y x P ，则131822
21+=+k k x x ， ①1
36272221+-=k k x x . ②，由直线PQ 的方程得 )3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(212122122
1++-=--=x x x x k x x k y y . ③
∵0=⋅，∴02121=+y y x x . ④，由①②③④得152
=k ，从而)3
6,36
(55-∈±
=k .
所以直线PQ 的方程为035=--
y x 或035=-+y x .。