辽宁省鞍山市第一中学2017-2018学年高三第四次模拟考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}|128xP x =≤<，{}1,2,3Q =，则P Q = （ ）A ．{}1,2B ．{}1C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】A考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.设复数z 满足2z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i -- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得22(2)12i i i z i i i --===--，故选D ． 考点：复数的运算．3.抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：由抛物线的方程知其准线方程为1x =-，则设P 的横坐标x ，则由抛物线的定义知13x +=，解得2x =，故选B ． 考点：抛物线的定义．4.已知向量a ，b 满足()2a b a ⋅+= ，且||1a = ，||2b =，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．5π C ．4π D ．3π 【答案】D考点：1、向量数量积运算；2、平面向量夹角公式．【思路点睛】根据定义计算数量积求向量,a b的数量积a b ，有以下两种思路：(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算；(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量,a b，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．5.某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（ ） 种A ．30B ．600C ．720D ．840【答案】C 【解析】试题分析：（1）甲乙两人中只有1人参加有134254480C C A =种发言顺序；（2）甲乙都参加有224254240C C A =种发言顺序，所以不同的发言顺序共有480240720+=种，故选C ．考点：排列与组合的应用．【技巧点睛】先组后排原则：对于有限制条件的排列组合问题，常可分步进行，先组合后排列，即先取出元素再安排元素，这是分步乘法计数原理的典型应用．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类，一般地，分类方法不同，分类的结果也不同．6.对任意的非零实数a 、b ，若a b ⊗的运算原理如图所示，且{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 中的最小值，则{}0.10.32min 1,log 0.1,3⊗的值为（ ）A ．0B ．1C ．0.32log 0.1-D ．0.123- 【答案】B考点：1、指数与对数函数的性质；2、程序框图；3、新定义． 7.关于函数()3sin(2)1()3f x x x R π=-+∈，下列正确的是（ ）A ．由12()()1f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成3cos(2)16y x π=++C ．()y f x =的图象关于点(,1)6π对称 D ．()y f x =的图象关于直线34x π=对称 【答案】C 【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、诱导公式．【方法点睛】求形如sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“x ωϕ+”看作一个整体，然后根据sin y x =和cos y x =图象的对称轴或对称中心进行求解．求函数tan()y A x ωϕ=+的图象的对称中心时，也是采用类似的方法．8.已知在三棱锥P ABC -中，3P ABC V -=，4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为( )A ．43πB ．3 C ．3D ．323π【答案】D 【解析】试题分析：取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，则2,,P C RP B RB C R ===．又AO R =，且由已知条件知AO ⊥平面PBC ，所以由体积可得1132P ABC V R R -=⨯⨯⨯=，解得2R =，所以三棱锥P ABC -外接球的体积为343233R ππ=，故选D ． 考点：1、平面垂直的性质；2、棱锥的外接球；3、球的体积． 9.已知函数()f x 满足1()()f x f x=，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若当1,x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x ax =-与x 轴有交点，则实数a 的取值范围是( )A ．ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]ln ,0ππ-C ．1ln (,]e ππ-D ．1(,]2e π-- 【答案】B考点：1、函数的零点；2、函数图象．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．7B ．7+．4+ D ．4【答案】A考点：1、空间几何体的三视图；2、三棱锥的表面积．11.设1F ，2F 分别为椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：2222111x y a b -=()110a b >>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率34e ⎡∈⎢⎣⎦，则双曲线2C 的离心率1e 的 取值范围为( )A ．⎣⎦B ．⎣C ．⎦D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】B考点：椭圆与双曲线的定义及几何性质．12.已知函数()f x 满足：()2'()0f x f x +>，那么下列不等式成立的是( )A ．(1)f> B ．(0)(2)f f e<C ．(1)(2)fD ．2(0)(4)f e f > 【答案】A 【解析】试题分析：令12()()x g x e f x =，则11122211()()()(()2())22x x x g x e f x e f x e f x f x '''=+=+，因为函数()f x 满足()2'()0f x f x +>，所以()0g x '>，所以函数()g x 在定义域内为增函数，所以(1)(0)g g >，即12(1)e f ＞(0)f ，亦即(1)f>，故选A ． 考点：利用导数研究函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若21()nx x-展开式的二次项系数之和为128，则展开式中2x 的系数为 ．【答案】35 【解析】试题分析：由题意，知2128n=，解得7n =，所以21()nx x-展开式的通项公式为27171()()r r r T C x r x-+=-＝14317(1)r r rr T C x-+=-，令1432r -=，解得4r =，所以展开式中2x 的系数为447(1)35C -=．考点：二项式定理．14.已知实数x ，y 满足10,10,1,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩则3y x -的最小值为 ．【答案】13-考点：简单的线性规划问题．15.当(],1x ∈-∞，不等式212401x x aa a ++⋅>-+恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】34a >-考点：1、指数函数的性质；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】分离参数法是解决含参问题的基本思想之一，对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性质就可以解决问题．16.在△ABC 中，cos cos cos cos 2b C c B a C c A +=+=，且cos sin a C C b c =+，则△ABC 的面积为 ．【解析】试题分析：由已知条件与余弦定理，得222222222a b c a c b b c ab ac+-+-+=，22222222a b c b c a a c ab ac+-+-+ ＝2，解得2a =，2b =．又c o s in a C C b c =+，即2c o s 24C C +=，即sin()16C π+=，所以62C ππ+=，所以3C π=，所以11sin 2222ABC S ab C ∆==⨯⨯=．考点：1、余弦定理；2、三角形面积公式；3、两角和与差的正弦．【策略点睛】三角形面积问题的解决策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形,求出三角形的有关元素之后,直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，求解；(2)把面积作为已知条件之一,与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分12分）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1S ，2S ，4S 成等比．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb S =，证明对任意的*n N ∈，1232n b b b b ++++<…恒成立． 【答案】（1）21n a n =-；（2）见解析．（2）由（1）得2n S n =，∴21n b n =． 当1n =时，112b =<成立； 当2n ≥时，()2111111n b n n n n n=<=---， ∴12n b b b +++< (11111111)1122223341n n n+-+-+-++-=-<-…成立， 所以对任意的正整数n ，不等式成立．考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质；3、不等式恒成立． 18.（本题满分12分）某网站点击量等级规定如下：（1）若从中任选两天，则点击数落在同一等级的概率；（2）从4月份点击量低于100万次的天数中随机抽取3天，记这3天点击等级为差的天数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）415；（2）分布列见解析，15()16E X =．随机变量X 的分布列为数学期望335522115()01231121121125616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 考点：1、古典概型；2、随机变量的分布列与数学期望．【方法点睛】较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法有：(1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；(2)采用间接法，先求事件A 的对立事件A 的概率，再由()()1P A P A =-求事件A 的概率．19.（本题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=︒，2AB PC ==，AP BP ==⊥；（1）求证：AB PC--的余弦值．（2）求二面角B PC D-．【答案】（1）见解析；（2）7考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．【思维点睛】在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，矩形的内角、直径所对的圆周角为90︒，菱形的对角线互相垂直，直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)，直角梯形等．20.（本题满分12分）已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，P 是椭圆E 上的点，且2PF x ⊥轴，212116PF PF a ⋅= ．直线l 经过1F ，与椭圆E 交于A ，B 两点，2F 与A ，B 两点构成△2ABF ． （1）求椭圆E 的离心率；（2）设△12F PF 的周长为2+2ABF 的面积的最大值．【答案】（1）e =（2）12．考点：1、椭圆的定义及性质；2、向量的数量积；3、弦长公式；4、基本不等式． 【方法点睛】离心率是椭圆的重要几何性质，也是高考考查的重点．此类问题一般有两类：一是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求椭圆的离心率的取值范围．无论是哪类问题，关键是借助图形建立关于,,a b c 的关系式（等式或不等式），转化为e 的关系式．21.（本题满分12分）设函数()(1)ln(1)f x ax x bx =-+-，其中a ，b 是实数．已知曲线()y f x =与x 轴相切于坐标原点． （1）求常数b 的值；（2）当01x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：1000.41001()1000e >． 【答案】（1）1b =；（2）1(,]2-∞-；（3）见解析． 【解析】试题分析：（1）求导后，由导数的几何意义求得b 的值；（2）通过二次求导后，分12a ≤-、0a ≥、102a -<<讨论函数的单调性，求得实数a 的取值范围；（3）将原不等式等价变形211(1)ln(1)05n n n++-<，结合（2）中函数的单调性可使问题得证．③当102a -<<时，令21min 1,a m a +⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，当[]0,x m ∈时，()221''()01ax a f x x ++=-<+，于是'()f x 在[]0,x m ∈上单调递减，从而'()'(0)0f x f ≤=，因此()f x 在[]0,x m ∈上单调递减，即()(0)0f x f ≤=，而且仅有(0)0f =，不符． 综上可知，所求实数a 的取值范围是1(,]2-∞-． （3）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n ，不等式251(1)n e n++<恒成立，等价变形211(1)ln(1)05n n n ++-<相当于（2）中25a =-， 12m =的情形，()f x 在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，即()(0)0f x f ≤=，而且仅有(0)0f =；取1x n =，得：对于任意正整数n 都有211(1)ln(1)05n n n++-<成立；令1000n =得证．考点：1、导数几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、不等式恒成立．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图△ABC 是O 的内接三角形，PA 是O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交O 于点D ，PA PE =，45ABC ∠=︒，1PD =，8DB =．（1）求△ABP 的面积； （2）求弦AC 的长．【答案】（1）272；（2）AC =（2）在Rt △APE 中，由勾股定理得AE = 又2ED EP PD =-=，6EB DB DE =-=，所以由相交弦定理得12EC EA EB ED ⋅=⋅=，所以EC =AC = 考点：1、弦切角定理；2、切割线定理；3、相交弦定理． 23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ=OM ：3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2PQ =．考点： 1、参考方程与普通方程及极坐标方程的互化；2、直线与圆的位置关系． 24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||1|f x x x =+--． （1）试求()f x 的值域；（2）设()233()0ax x g x a x-+=>，若对()0,s ∀∈+∞，(),t ∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]3,3-；（2）[3,)+∞．考点：1、绝对值三角不等式的性质；2、函数的最值域；3、不等式恒成立．。