高三数学二轮复习 圆锥曲线方程及几何性质 课件 (全国通用)

3 (ii)当 λ≠ 时，方程变形 4

x2 y2 ＋ ＝1， 112 112 16λ2－9 16λ2
. － 4 ， 4 其中 x∈ 3 当 0<λ< 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 y 4 轴上的双曲线满足－4≤x≤4 的部分． 3 当 <λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 x 4 轴上的椭圆满足－4≤x≤4 的部分． 当 λ≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆．
x2 y2 【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为 2＋ 2＝1a>b>0，半焦 a b a－c＝1 距为 c，则由已知得 ，解得 a＝4，c＝3， a＋c＝7 则 b2＝a2－c2＝7， x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1. 16 7 |OP|2 2 (Ⅱ)设 M(x，y)，其中 x∈[－4，4]．由已知 2 ＝λ |OM| 9x2＋112 及点 P 在椭圆 C 上可得 ＝λ2， 2 2 16（x ＋y ） 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中 x∈[－4，4]． 3 (i)当 λ＝ 时，化简得 9y2＝112，所以点 M 的轨迹方 4 4 7 程为 y＝± (－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于 x 轴的线 3 段．
【分析】1.解决本题的关键是利用好点 P，M 坐标之 |OP| 间的关系和几何条件 ＝λ，在分析这个关系时注意根 |OM| 据|OP|，|OM|是点 P，M 到坐标原点的距离，对几何条件 OP 便于利用点 P 在椭圆上的条件， ＝λ 的两端进行平方， OM 这样就建立了关于点 M 坐标之间的一个方程，化简整理 就可得出点 M 的轨迹方程．在解答数学试题时，对题目 中的已知条件进行有目的的变换是解决问题的重要技巧 之一．
2．预计高考对本节知识的考查体现在： (1)圆锥曲线内部综 合，即以选择题、填空题的形式考查椭圆、双曲线、抛物线的几 何性质，特别是求离心率、焦点关系等．以解答题形式考查主要 是解答题的第一问，求最值及过定点问题． 【备考建议】 圆锥曲线的几何性质一直是高考命题的热点内容之一 ，小题 与解答题均有考查，往往具有信息量大、思维量大、运算量大的 特点．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上 ，要在解题方 法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代 数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质 ，代数方程是解题 的桥梁，要掌握一些解方程 (组)的方法，掌握一元二次方程的知 识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题 方法；而且要求考生要有不怕困难的精神，良好的心理品质，细 心认真的态度，有较强的运算能力．要善于观察、发现题目的特 点，根据圆锥曲线各基本量的几何特征，运用数形结合，分类讨 论思想、函数与方程思想、化归与转化等思想方法简化计算．
探究一
轨迹问题
例1 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点， 焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x |OP| 轴的直线上的点， ＝λ(λ 为实数)，求点 M 的轨迹方 |OM| 程，并说明轨迹是什么曲线．
2．求曲线方程常用的 5 种方法：(1)直接法：直接利 用条件建立 x，y 之间的关系 Fx，y＝0.(2)待定系数法： 先根据条件设出所求曲线的方程， 再由条件确定其待定系 数．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知 曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． (4)相 关点法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而 变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，可先用 x，y 的 代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0 带入已知曲线得到要求的 轨迹方程．(5)参数法：当动点 P(x，y)的横、纵坐标之间 的关系不易直接找到时， 可将 x， y 均用一中间变量(参数) 表示，得参数方程，再消参，得普通方程．
探究二
离心率问题
x2 y2 例 2 (1)已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别 a b 为 F1，F2，短轴的一个顶点为 P，若∠F1PF2 为钝角，则 椭圆离心率的取值范围为________．
【解析】 2 ，1 2
2 2
c 2a ＜(2c) ，所以 ＞ a 2 2 ，即椭圆的离心率 e 的取值范围为 ，1. 2 2
2 2 由题意知，PF2 1＋PF2＜F1F2，即
x 2 y2 (2)若双曲线 C1： 2－ 2＝1(m＞0，b＞0)与椭圆 C2： m b x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0)有相同的焦点，双曲线 C1 的离心率是 a2 b2 1 1 e1，椭圆 C2 的离心率是 e2，则 2＋ 2＝______． e1 e2 【解析】2 在双曲线中，c2＝m2＋b2， 在椭圆中，c2＝a2－b2， 所以 c2＝a2－b2＝m2＋b2，即 m2＝a2－2b2， 2 2 2 2 2 2 2 a － 2b 2a － 2b 2 （ a － b ） 1 1 a 所以 2＋ 2＝ ＋ 2＝ ＝ ＝ e1 e2 c2 c c2 c2 2.
第 14 讲
圆锥曲线方程及几何性质
【命题趋势】 1． 圆锥曲线的几何性质常与代数、 三角函数、 平面向量、 不等式等知识交汇在一起进行命题，综合性强，体现了在知 识的交汇点处命题的原则，尤其是使用新教材后，与平面向 量、导数等知识综合命题又是一个新的热点． (1)离心率与范 围问题：离心率范围问题是近几年高考的又一热点，选择题、 填空题及解答题中都会出现．(2)求参数取值问题：解析几何 中的求参数取值问题，是从动态角度去研究数学问题，因而 倍受高考命题组的青睐， 其解法是运用待定系数法设出方程， 然后根据题设条件寻找参数满足的不等关系 ，从而求出相关 参数的取值范围 ， 在高考试题中时常出现 ， 应引起足够重 视．(3)求最值问题：利用圆锥曲线的几何性质求最值问题也 是高考命题的又一趋势，常用的解题方法是数形结合法．