河北省唐山一中高考数学模拟试卷(理科)

河北省唐山一中2008年高考数学模拟试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设A 、B 为两个非空子集，定义：},{B b A a b a B A ∈∈+=+，若A={0，2，5}， B={1，2，6}，则A+B 子集的个数是（ ）A ．29B ．28C ．27D ．26 2．=+--→231lim 21x x x x（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．不存在3．设等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，且1q ≠，n S 为数列{}n a 的前n 项和，记nn na T S =，则（ ）A ．36T T ≤B ．36T T <C ．36T T ≥D ．36T T >4．如图是函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像，则BA OB ⋅= （ ）A ．4B ．－ 4C ．2D ．－25．已知函数()5432510105f x x x x x x =-+-+，则()f x 的反函数为 （ ）A ．()11f x -=B ．()()5111f x x -=-+C ．()11f x -=D ．()11f x -=6．若0m b a <<<，那么下列不等式中正确的是（ ）A ．m a m b a b m a m b ++<<--lg lg lgB ．m a mb m a m b a b ++<--<lg lg lgC ．m a m b a b m a m b --<<++lg lg lgD ．abm a m b m a m b lg lg lg <--<++ 7．在直二面角l αβ--中，直线a α⊂，直线b β⊂，,a b 与l 斜交，则 （ ）A ．a 不和b 垂直，但可能a ∥bB ．a 可能和b 垂直，也可能a ∥bC ．a 不和b 垂直，a 也不和b 平行 D ．a 不和b 平行，但可能a b ⊥8．已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，左、右顶点为12,AA ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段112,PF A A 为直径的两个圆的位置关系为 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能 9．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且sinC=2sinA ，则cosB=（ ）A ．14 B ．34C ．4D ．310．过点(1,1)P 作3y x =的两条切线1l 、2l ，设1l 、2l 的夹角为θ，则tan θ等于 （ ）AB ．913C ．1513 D ．9511．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为a ，右焦点为F （c ，0），方程2ax bx c +-=的两个实根分别为1x ，2x ，则点12(,)P x x（ ）A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能12．设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，则t 的取值范围是 （ ）A ．22t -≤≤B ． 1122t -≤≤C ．2t ≤-或0t =或2t ≥D ．12t ≤-或0t =或12t ≥第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．）13．在正三棱锥P ABC -中，侧棱PC ⊥侧面PAB ，侧棱PC =球的表面积为__________________.14．抛物线2(0)y ax a =≠的准线与x 轴交于点P ，直线l 经过点P ，且与抛物线有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是 _________________.15．任取集合{1，2，3，4，……，14}中的三个不同数1a ，2a ，3a ，且满足213a a -≥，322a a -≥，则选取这样的三个数方法种数共有 。

（用数字作答） 16．给出以下五个命题，所有正确命题的序号为 . ①两个向量夹角的范围与两条异面直线的夹角的范围一致； ②1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的充要条件； ③函数962+-=kx kx y 的定域为R ，则k 的取值范围是10≤<k ；④要得到)42sin(3π+=x y 的图象，只需将x y 2sin 3=的图象左移8π个单位；⑤0a >时，),1[)(3+∞-=在ax x x f 上是单调递增函数，则a 的最大值是3.三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数()22cos sin 2x f x a x b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）当0a <且[]0,x π∈时，函数()f x 的值域是[]3,4，求a b +的值。

18．（本小题满分12分）令人瞩目的2008年奥运会即将在中国举行，为了迎接这次奥运盛会，沈阳市从某中学选出100名优秀学生代表，在举行奥运之前每人至少参加一次社会公益活动，他们参加活动的次数统计如图所示。

（1）求100名优秀学生代表参加活动的人均次数;（2）从100名优秀代表中任选两名，求他们参加活动次数恰好相等的概率;（3）从100名优秀代表中任选两个，求这两人参加活动次数之差的绝对值不小于1的概率.19．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面），被一平面 截得的几何体，截面为ABC ，已知11111A B B C ==，∠011190A B C =，14AA=，12BB =，13CC = （1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C （2）求AB 与平面1AA 1CC 所成角的大小。

20．（本小题满分12分）函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），（1）当0>a 时，求函数()f x 的极大值和极小值；（2）当3a >时，求对于任意实数[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x -≥-恒成立的x 取值范围.AC1A 1121．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，(A ，过坐标原点的直线l 垂直平分线段1AF ，交椭圆左准线于M ，交1AF 于N ，且3OM ON =（1） 求椭圆C 的方程；（2）过点2F 的且不垂直于x 轴的直线m 交椭圆于,P Q两点，若θcot 2e OQOP =⋅，（其中θ是向量 ,OP OQ 的夹角），求直线m 的方程.22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*n N ∈，满足关系2 2.n n S a =-（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为T n ，且22)(l o g1nn a b =，求证：对任意正整数n ，总有;2<n T（3）在正数数列{}n c 中，设)(21)(*111N n a n c n n n n ∈+=+++，求数列{}n c ln 中的最大项.参考答案一、选择题 1－5 BBDBC 6－10 ACBBB 11－12 AC 二、填空题 13．36π 14．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭15．165 16．②④⑤ 三、解答题17．解 ()()cos 1sin sin 4f x a x x b x a b π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭（1）当1a =时，()14f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ ………2分∴当22()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时，()f x 是增函数，所以函数()f x 的单调递增区间为32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. ………6分（2）由[]0,x π∈得5444x πππ≤+≤，sin 124x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭因为0a < ，所以当sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取最小值33(1)a b ++=当sin 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 取最大值4，即4b =将4b =代入（1）式得1a =5a b += . ………10分18．解：（1）人均次数为3.2100403502101=⨯+⨯+⨯ ………4分（2）设从100名优秀代表中任选2名，他们都参加1次活动事件为A ，都参加两次活动事件为B ，都参加三次活动事件为C ，则210024021002502100210)()()(C C C P C C B P C C A P ===A 、B 、C 之间彼此互斥，参加次数相等的概率为9941)()()()(2100240250210=++=++=++C C C C C P B P A P C B A P 所以从100名优秀代表中任选两名，他们参加活动次数恰好相等的概率为9941…8分（3）设从100名优秀代表中任选两个，这两人参加活动次数之差的绝对值不小于1的事件为事件D ，则2100140150150110)(C C C C C D P +=99582100140110=+C C C 或9958)(1)(=++-=C B A P D P所以从100名优秀代表中任选两个，这两人参加活动次数之差的绝对值不小于1的概率 为9958.…12分 19．解：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥， 因为O 是AB 的中点，所以1111()32OD AA BB CC =+==. 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ， 且OC ⊄平面111C B A则OC ∥面111A B C . ……6分（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ，作22BH A C ⊥于H ，12C因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C .连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角.…9分因为2BH =，AB =sin 10BH BAH AB ==∠AB 与面11AAC C 所成的角为BAH =∠. ……12分 20．（1）2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+- 22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---令()0f x '=解得3ax =或x a =． ……… 3分0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：……… 6分因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =. ……… 8分（2）由3a >，得13a >，当[]10k ∈-，时，cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤． 由（I ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥， 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤，即k k x x -≤-22cos cos 对一切[]10k ∈-，恒成立.令k k k g -=2)(，当[]10k ∈-，，0)(min =k g ，0cos cos 2≤-∴x x ，解得1cos 0≤≤x ，即Z k k x k ∈+≤≤-,2222ππππ ………12分21．解：（1）因为l 垂直平分1AF ，1OA OF ∴=()1,0F ∴，即半焦距c =时l 为第三象限的平分线，故:l y x =- 22,a a M c c ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭又22N ⎛- ⎝⎭∴根据3OM ON =23a c = 23a ∴= 2221b a c =-=所以椭圆方程为2213x y += ………4分 （2）由（1）有3c e a == ，再由θcot 2e =⋅有θθθsin cos 2cos ||||eOQ OP =⋅ c o s 0θ∴=或e =⋅θsin ||21即OP OQ ⊥或3POQ S ∆=设()()1122,.,P x y Q x y 设直线m 的斜率为k ，则m的方程为(y k x =-由(2213y k x xy ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ 消去y 整理得()222213630k x x k +-+-=2212122263,1313k x x x x k k -∴=+=++ ………6分 222222221212212131]231123136[]2)(2[)2()2(k k k k k k k x x x x k x k x k y y +-=++-+-=++-=-⋅-=如果OP OQ ⊥，则12120x x y y +=22226301313k k k k-∴-=++解得k = 此时m的方程为y x = ………9分如果POQ S ∆=，即36||21=⋅d PQ （ｄ为原点到ｍ的距离）2222212212)31(121214)(1||k k k x x x x k PQ ++⋅+=-+⋅+=d =12∴= 解得k = m ∴的方程为y x =综上ｍ的方程为y x =或y x =. ………12分 22．（1）解：),(22*N n a S n n ∈-= ① ),2(22*11N n n a S n n ∈≥-=∴-- ② ……1分①－②，得.221--=n n n a a a ),2(*N n n ∈≥,0≠n a .21=∴-n na a ),2(*N n n ∈≥ 即数列{}n a 是等比数列 ……3分,11S a = .2,22111=-=∴a a a 即).(2*N n a n n ∈=∴ ……4分（2）证明：∵对任意正整数n ，总有.1)(log 1222na b n n ==……5分2221111111121223(1)n T n n n ∴=+++≤++++⋅⋅-111111112 2.2231n n n=+-+-++-=-<- ……7分 （3）解：由1*111ln(1)()()ln .21n n n n n n n c a n N c n +++++=∈=+知 令.ln 111)(,ln )(22x x x nx x x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵在区间（0，e ）上，.0)(,),(,0)(<'+∞>'x f e x f 上在区间在区间)(),(x f e 上+∞为单调递减函数 ……10分 ∴.|ln |,2*是递减数列时且n c N n n ∈≥又.3ln 31ln |ln |,ln ln 221=∴<c c c c n 中的最大项为数列……12分。