201X年秋九年级数学下册 第27章 圆 27.2 与圆有关的位置关系 27.2.3 切线(第2课时

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7．如图所示，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角 板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出 AB＝3 cm，求此光盘 的直径．
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解：(1)∵PA，PB，EF 是⊙O 的切线， ∴PA＝PB，EA＝EQ， FQ＝FB， ∴△PEF 的周长＝PE＋PF＋EQ＋FQ＝PA＋PB＝24 cm. (2)∵PA，PB，EF 是⊙O 的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB，EF⊥OQ， 即∠PAO＝∠EQO＝∠FQO＝∠PBO＝90°， ∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO，
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归类探究
类型之一 利用切线长定理进行计算 ︵
如图所示，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别是 A，B，Q 为AB上一点， 过点 Q 作⊙O 的切线，分别交 PA，PB 于 E，F 两点，已知 PA＝12 cm，∠P＝ 70°.
(1)求△PEF 的周长； (2)求∠EOF 的度数．
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∴∠AOE＝∠EOQ，∠QOF＝∠BOF，
∴∠EOF＝21∠AOB. ∵∠AOB＝360°－∠P－∠PAO－∠PBO＝110°，
∴∠EOF＝21∠AOB＝55°. ︵
【点悟】(1)当点 Q 在AB上移动时，△PEF 的周长不随 Q 点的移动而变化．(2) 求此类三角形的周长，通常利用切线长定理进行线段的等价代换．
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类型之二 利用切线长定理进行证明 如图所示，在△ABC 中，∠B＝90°，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，
OB 长为半径的圆与 AB 交于点 E，与 AC 相切于点 D.求证：DE∥OC.
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证明：连结 OD. ∵AC 与⊙O 相切于点 D， ∴OD⊥AC. 在△COD 与△COB 中，OOCD＝＝OOCB，， ∴△COD≌△COB(HL)， ∴∠DOC＝∠BOC.
A．65° C．65°或 115°
B．115° D．135°或 65°
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3 4．边长为 1 的正三角形的内切圆半径为___6_____． 5．[2018·湖州]如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连结 OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD 的度数是_7_0_°_．
A．56° B．60° C．62° D．不可求
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2．如图所示，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点．若∠C＝65°，则∠P 的度数为( C )
A. 65° B. 130° C. 50° D. 100°
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3．如图所示，AB，AC 是⊙O 的切线，B，C 为切点，∠A＝50°，点 P 是圆 上异于 B，C 的一动点，则∠BPC 的度数是( C )
图1
图
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知识管理
1．切线长定理 切线长：圆的切线上某一点与_切__点__之间的线段的长叫做这点到圆的切线 长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_切__线___长__相等，这
一点和圆心的连线平分这两条_切___线__的夹角．
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常用结论：如图所示，OP⊥AB.
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2．如图所示，已知△ABC 中，⊙I 内切于△ABC，切点分别为 D，E，F， 则 I 是△DEF 的( A )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
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分层作业
1．如图所示，已知 PA，PB 切⊙O 于 A，B，C 是劣弧 AB 上一动点，过 C 作⊙O 的切线交 PA 于 M，交 PB 于 N.已知∠P＝56°，则∠MON＝( C )
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6．如图所示，PA 和 PB 是⊙O 的切线，点 A 和 B 是切点，AC 是⊙O 的直径， 已知∠P＝40°，求∠ACB 的大小．
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解：连结 OB.∵PA 和 PB 是⊙O 的切线，点 A 和 B 是切点，∴∠OAP＝∠OBP ＝90°.根据四边形内角和为 360°且∠P＝40°，得∠COB＝40°，故∠ACB＝ 180°－2 40°＝70°.
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3．三角形内心的性质 内心性质：(1)三角形内心到三边的距离相等； (2)三角形内心与顶点的连线平分三角形内角； (3)三角形内心一定在三角形的内部． 三角形的面积：已知三角形 ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，三边长为 a，
b，c，则有 S＝12(a＋b＋c)r.
内切圆半径：r＝a＋2b－c(其中 a，b 为直角边长，c 为斜边长)
又∵∠DEO＝12∠DOB， ∴∠DEO＝∠BOC，∴DE∥OC.
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类型之三 三角形的内切圆 如图所示，⊙I 是△ABC 的内切圆，D，E，F 为三个切点．若∠DEF
＝52°，则∠A 的度数为__7_6_°___．
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当堂测评
1．[2017·广州]如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点 O 是△ABC 的( B ) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点
第27章 圆
3. 切线 第2课时 切线长定理和三角形的内切圆
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
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学习指南
★教学目标★ 1．掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算； 2．了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆。
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★情景问题引入★
同学们玩过悠悠球(如图 1)吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中 还包含着数学知识呢？图 2 是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图，从中你能抽 象出什么样的数学图形(球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽 象成线段)？这些图形的位置关系是怎样的？
相似三角形：△OAP∽△ODA∽△ADP. 相等的线段：PA＝PB，OA＝OB，AD＝BD. 相等的角：∠OPA＝∠OPB，∠POA＝∠POB，∠PAB＝∠PBA，∠OAB＝ ∠OBA，∠OAP＝∠OBP＝∠ODA＝∠ODB＝90°.
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2．三角形的内切圆 定 义：与三角形__各__边__都__相___切__的__圆___叫做三角形的内切圆，这个三角 形叫做圆的外切三角形． 内 心：三角形的__内__切___圆____的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心 是三角形_三___条__内__角__平__分__线__的交点．