中考数学培优满分专题突破专题1探索规律问题
2019年中考数学：专题(1)-规律探索问题(含答案)
数学精品复习资料第二篇专题能力突破专题一规律探索问题A组全国中考题组一、选择题1．(2015·湖北黄冈中学自主招生，9，3分)两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31…7，11，15，19，23，27，31，35，39…第1个相同的数是7，第10个相同的数是() A．115 B．127 C．139 D．151解析第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m＋4；第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n＋3.∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12.∵第一个相同的数为7，∴相同的数组成的数列的通式为12n－5.第10个相同的数是：12×10－5＝120－5＝115.答案 A2．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()A．32 B．29C．28 D．26解析观察图形发现：图1中有2个黑色正方形，图2中有2＋3×(2－1)＝5个黑色正方形，图3中有2＋3×(3－1)＝8个黑色正方形，图4中有2＋3×(4－1)＝11个黑色正方形，…，图n中有2＋3×(n－1)＝3n－1个黑色的正方形，当n＝11时，2＋3×(11－1)＝32.答案 A3．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为()A．21 B．24C．27 D．30解析观察图形得：第1个图形有3＋3×1＝6个圆圈，第2个图形有3＋3×2＝9个圆圈，第3个图形有3＋3×3＝12个圆圈，…，第n个图形有3＋3n＝3(n＋1)个圆圈．当n＝7时，3×(7＋1)＝24，故选B.答案 B4．(2015·浙江宁波，10，3分)一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n＋1＝b n，b2n＋2＝b n＋b n＋1，若b0＝1，则b2 015的值是()A．1 B．6 C．9 D．19解析∵b2n＋1＝b n，b2n＋2＝b n＋b n＋1，∴b2 015＝b1 007＝b503＝b251＝b125＝b62＝b30＋b31＝b14＋b15＋b15＝b6＋b7＋2b7＝3b3＋b2＋b3＝4b3＋b0＋b1＝5b1＋b0＝6b0.∵b0＝1，∴b2 015的值是6.答案 B5．(2015·山东德州，5，4分)一组数1，1，2，x，5，y，…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为() A．8 B．9 C．13 D．15解析∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x＝1＋2＝3，∴y＝x＋5＝3＋5＝8，即这组数中y表示的数为8.故选A.答案 A二、填空题6．(2015·广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．解析第一行小太阳的个数为1，2，3，4，…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1，2，4，8，…，2n－1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5＋16＝21个太阳．答案217．(2015·浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3，(如图所示)，以此类推…，若A 1C 1＝2，过点A ，D 2，D 3，…D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是________．解析 设A 1C 1交AD 10于点E ，根据正方形的排放规律，可知，△AD 1E ∽△D 2A 1E ，∴12＝1－A 1E A 1E ，解得A 1E ＝23；△D 2A 1E ∽△D 3A 2D 2，∴A 2D 3－223＝A 2D 32，解得A 2D 3＝3，△A 2D 2D 3∽△A 3D 3D 4，∴A 3D 4－31＝A 3D 43，解得A 3D 4＝92； △A 3D 3D 4∽△A 4D 4D 5，∴A 4D 5－9292－3＝A 4D 592，解得A 4D 5＝3322；∴A n D n ＋1＝3n －12n －2，A 9D 10＝3827(或6 561128)．答案 3827(或6 561128) 三、解答题8．(2015·四川自贡，22，12分)观察下表：我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4a ＋b .回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为________，第n 格的“特征多项式”为________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，求a ，b 的值． 解 (1)观察图形发现：第1格的“特征多项式”为 4a ＋b ， 第2格的“特征多项式”为 8a ＋4b ， 第3格的“特征多项式”为 12a ＋9b ， 第4格的“特征多项式”为16a ＋16b ， …第n 格的“特征多项式”为4na ＋n 2b ； 故填12a ＋9b 16a ＋16b 4na ＋n 2b .(2)∵第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，∴⎩⎨⎧4a ＋b ＝－10，8a ＋4b ＝－16，解得：a ＝－3；b ＝2，∴a ，b 的值分别为－3和2.B 组 全国中考题组一、选择题1．(2012·浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )图1图2A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 016解析∵图1中各三角形的棋子数分别是3，6，9，12，…，显然都是3的倍数，图2中各正方形棋子数分别是4，8，12，16，…，显然都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的棋子数必能被12整除，而2 010，2 012，2 014，2 016四个数中，只有2 016能被12整除，故答案选D.答案 D2．(2013·山东日照，11，4分)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是()A．M＝mn B．M＝n(m＋1)C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1)解析方法一：验证法：A中等式不满足第一个图形，故排除A；B中等式不满足第一个图形，故排除B；C中等式不满足第二个图形，故排除C；故选D.方法二：观察三个图形中数字的变化，可知1×(2＋1)＝3，3×(4＋1)＝15，5×(6＋1)＝35，故M与m，n的关系是M＝m(n＋1)，故选D.答案 D3．(2014·重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()A．22 B．24 C．26 D．28解析 已知三个图形中三角形的数目为：2，8，14，求差为：8－2＝6，14－8＝6，差相等，所以各个数据可以看作：2＝6－4，8＝6×2－4，14＝6×3－4，则第五个图形中三角形的个数是：6×5－4＝26，故选C. 答案 C4．(2012·浙江绍兴，10，4分)如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，D 为斜边BC 中点．第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；……；设P n －1D n －2的中点为D n －1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n －1重合，折痕与AD 交于点P n (n >2)．则AP 6的长为( )A.5×35212B.365×29C.5×36214D.375×211解析 在Rt △ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，所以BC ＝5.又D 是BC 的中点，所以AD ＝52.因为点A ，D 是一组对称点，所以AP 1＝52×12.因为D 1是DP 1的中点，所以AD 1＝52×12×32，∴AP 2＝52×12×32×12，同理AP 3＝52×12×(32×12)2，…，AP n ＝52×12×(32×12)n －1，所以AP 6＝52×12×(32×12)6－1＝52×12×(32×12)5＝5×35212，故应选A. 答案 A5．(2014·山东威海，12，3分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，…的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1＝∠A 2OC 2＝∠A 3OC 3＝∠A 4OC 4＝…＝30°.若点A 1的坐标为(3，0)，OA 1＝OC 2，OA 2＝OC 3，OA 3＝OC 4，…则依此规律，点A 2 014的纵坐标为( ) A ．0 B ．－3×(233)2 014C ．(23)2 014D ．3×(233)2 013解析 OA 2＝OC 2sin 60°＝OA 1sin 60°＝332＝3×233.同理可求：OA 3＝3×(233)2；OA 4＝3×(233)3......以此类推OA n ＝3×(233)n －1.又因为2 014÷4＝503…2，所以点A 2 014与点A 2在同一半轴上，故点A 2 014的纵坐标为3×(233)2 013，故选D. 答案 D 二、填空题6．★(2013·江西，11，3分)观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为________(用含n 的代数式表示)．解析 第一个图形共有4个点，第二个图形共有9个点，第三个图形共有16个点，4，9，16都是完全平方数，故可看作4＝(1＋1)2，9＝(2＋1)2，16＝(3＋1)2，则第n 个图形中所有点的个数为(n ＋1)2. 答案 (n ＋1)27．(2013·浙江湖州，15，4分)将连续的正整数按以下规律排列，则位于第七行、第七列的数x 是________． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第七列 … 第一行1 3 6 10 15 21 28第二行2 5 9 14 20 27第三行4 8 13 19 26 …第四行7 12 18 25 …第五行11 17 24 …第六行16 23 …第七行22 (x)……解析第一行的第一列与第二列相差2，第二列与第三列相差3，第三列与第四列相差4，…第六列与第七列相差7，第二行的第一列与第二列相差3，第二列与第三列相差4，第三列与第四列相差5，…第五列与第六列相差7，第三行的第一列与第二列相差4，第二列与第三列相差5，第三列与第四列相差6，第四列与第五列相差7，…第七行的第一列与第二列相差8，是30，第二列与第三列相差9，是39，第三列与第四列相差10，是49，第四列与第五列相差11，是60，第五列与第六列相差12，是72，第六列与第七列相差13，是85；故答案为85.答案858．(2014·贵州毕节，18，5分)观察下列一组数：14，39，516，725，936…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是________．解析分子依次为1，3，5，7，9，…，可表示为2n－1；分母依次为22，32，42，52，62，…，可表示为(n＋1)2，所以第n个数是2n－1（n＋1）2.答案2n－1（n＋1）29．(2012·浙江湖州，16，4分)如图，将正△ABC 分割成m 个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n 个边长为1的小正三角形，若m n ＝4725，则正△ABC 的边长是________．解析 设正△ABC 的边长为x ，则高为32x ，S △ABC ＝12x ·32x ＝34x 2.∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为32x －3，较短的对角线为(32x －3)33＝12x －1，∴黑色菱形的面积＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝38(x －2)2，∴m n ＝34x 2－38（x －2）238（x －2）2＝4725，整理得，11x 2－144x ＋144＝0，解得x 1＝1211(不符合题意，舍去)，x 2＝12.∴△ABC 的边长是12. 答案 1210．(2014·江苏扬州，18，3分)设a 1，a 2，…，a 2 014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2 014＋1)2＝4 001，则a 1，a 2，…，a 2 014中为0的个数是________．解析 设这些数中0的个数为a ，则由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝69可知：1的个数比－1的个数要多69，即1的个数为2 014－a ＋692，而－1的个数为2 014－a －692；再考虑到另一个等式(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2 014＋1)2＝4 001，得到每个数＋1后，其中平方后为4的数有2 014－a ＋692个，1有a 个，其余都是0，可知4·2 014－a ＋692＋a ＝4 001，解得a ＝165.答案 165三、解答题11．(2013·浙江绍兴，19，8分)如图，矩形ABCD中，AB＝6.第1次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1；第2次平移矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2；…；第n次平移矩形A n－1B n－1C n－1D n－1沿A n－1B n－1的方向向右平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n(n≥2)．(1)求AB1和AB2的长；(2)若AB n的长为56，求n.解(1)由题意可得，B点向右平移5个单位到达B1点，故AB1＝6＋5＝11；B1点再向右平移5个单位到达B2点，所以AB2＝11＋5＝16；(2)由(1)知AB1＝6＋5，AB2＝6＋2×5，依此类推，AB3＝6＋3×5，…，AB n＝6＋5n，∴AB n＝6＋5n＝56，n＝10.。
中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。
中考数学专题突破一_规律探索型问题
◆题型突破 例1 例2 例3 ◆专题集训 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
◆题型突破 例1 例2 例3 ◆专题集训 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
◆题型突破 例1 例2 例3 ◆专题集训 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
◆题型突破 例1 例2 例3 ◆专题集训 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
◆题型突破 例1 例2 例3 ◆专题集训 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
◆题型突破 例1 例2 例1
◆题型突破 例1 例2 例3 ◆专题集训 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
◆题型突破 例1 例2 例3 ◆专题集训 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
◆题型突破 例1 例2 例3 ◆专题集训 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
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中考数学复习攻略 专题1 规律探索与归纳推理(含答案)
重点专题突破专题一 规律探索与归纳推理中考重难点突破数式规律数式规律类问题通常是先给出一组数或式子，要求通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．常见数列 规律❶2，4，6，8，10，12，… 2n (从2开始的连续偶数) ❷1，3，5，7，9，11，… 2n －1(从1开始的连续奇数)❸1，4，9，16，25，36，… n 2(正整数平方) ❹2，4，8，16，32，64，… 2n (2的整数次幂) ❺－1，1，－1，1，－1，1，…(－1)n (奇负偶正)❻1，－1, 1，－1, 1，－1，… (－1)n ＋1或(－1)n －1(奇正偶负)【例1】(2021·铜仁中考)观察下列各项：112 ，214 ，318 ，4116 ，…，则第n 项是__n ＋12n __．【解析】根据已知可得出规律：第一项：112 ＝1＋121 ，第二项：214 ＝2＋122 ，第三项：318 ＝3＋123 ，…，从而可以得出第n 项．本题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 【例2】(2020·百色一模)观察下列等式：1－12 ＝12 ，2－25 ＝85 ，3－310 ＝2710 ，4－417 ＝6417，…，根据你发现的规律，则第20个等式为 __20－20401 ＝8 000401__ .【解析】根据题意可知，这列等式的左边的被减数是从1开始的连续整数，减数是一个分数，并且分子和被减数相同，分母是被减数的平方加1；右边也是一个分数，分子是被减数的立方，分母和减数的分母相同，由此可写出第20个等式为：20－20202＋1 ＝203202＋1 ，最后化简即可．1．按一定规律排列的单项式：a ，－2a ，4a ，－8a ，16a ，－32a ，…，则第n 个单项式是( A )A ．(－2)n －1a B ．(－2)n aC ．2n －1a D ．2n a 2．(2020·百色二模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是__21__.3．观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， ……猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n ＋3)＝__(n ＋2)2__．图形规律图形规律类问题主要涉及图形的组成、分拆等过程，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有发生变化，分析其联系和区别，有时需要多画出几个图形进行观察，有时规律是循环性的，在归纳时要运用对应思想和数形结合思想．【例3】观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是__32 n 2＋32 n __(用含n 的式子表示).【解析】本题可先依次列出n ＝1，2，3，…时的钢管数，再根据规律依次类推，可得出第n 个图的钢管数．第1个图的钢管数为1＋2＝3＝3×1； 第2个图的钢管数为2＋3＋4＝9＝3×(1＋2)； 第3个图的钢管数为3＋4＋5＋6＝18＝3×(1＋2＋3)；第4个图的钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝30＝3×(1＋2＋3＋4)；……依次类推，第n 个图的钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝32 n 2＋32n .4．(源于沪科七上P83)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( B )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株 5．(2021·遂宁中考)下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第__20__个图形共有210个小球．6．下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有m 个涂有阴影的小正方形，那么m 与n 的函数关系式为__m ＝4n ＋1__．与坐标有关的规律与坐标有关的规律类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比照，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．【例4】如图，直线l 为y ＝3 x ，过点A 1(1，0)作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x轴于点A 3……按此作法进行下去，则点A n 的坐标为(__2n －1，0__).【解析】∵直线l 为y ＝3 x ，点A 1(1，0)，A 1B 1⊥x 轴，∴当x ＝1时，y ＝3 ，即B 1(1，3 ).∴tan ∠A 1OB 1＝3 .∴∠A 1OB 1＝60°，∠A 1B 1O ＝30°.∴OB 1＝2OA 1＝2.∵以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2，∴A 2(2，0).同理可得A 3(4，0)，A 4(8，0)，…，∴A n (2n －1，0).7．如图，在平面直角坐标系中，A (－1，1)，B (－1，－2)，C (3，－2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2 021 s 瓢虫所在点的坐标是( A )A ．(3，1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(3，－2)8．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3，…均在直线y ＝－13 x ＋4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2 022＝__942 021 __．中考数学专题过关1．如图，第1个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第2个图形，图中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点得到第3个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第4个图形、第5个图形……，则第7个图形中共有正方形( B )A ．21个B ．25个C ．29个D ．32个2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A (4，0)，B (0，3)，则点C 100的坐标为( B )A ．⎝⎛⎭⎫1 200，125 B ．(600，0)C ．⎝⎛⎭⎫600，125 D ．(1 200，0)3．(2021·百色一模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第11对有序数对为 __(121，122)____．4．观察下列一组数：－23 ，69 ，－1227 ，2081 ，－30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__(－1)n ·n （n ＋1）3n__．5. (2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ；x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ；x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4；……根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021__．6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形(用含n 的代数式表示)．7．(2021·扬州中考)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为__1__275__．。
中考数学总复习 题型突破01 规律探索型问题课件
2021/12/9
第四页，共三十三页。
类型1
数式递变(dì biàn)规律
例 1 [2018·淄博] 将从 1 开始的自然数按以下规律排列,例如位
于第 3 行,第 4 列的数是 12,则位于第 45 行,第 8 列的数
…,
9
由此规律可知,正方形 AnBnCnDn 的面积=（ ）n-1,
2
9
故答案为:（ ）n-1.
2
2021/12/9
9
9
2
2
,∴正方形 A2B2C2D2 的面积= =（ ）2-1,
第十六页，共三十三页。
类型2
图形(túxíng)递变规律
4. [2018·葫芦岛] 如图 Z1-7,∠MON=30°,点 B1 在边 OM 上,且 OB1=2,过点 B1 作 B1A1⊥OM 交 ON 于点 A1,以
是
[答案] 2018
[解析] 观察图表可知:第 n 行第一个
.
数是 n2,
∴第 45 行第一个数是 2025,
【分层分析】
∴第 45 行,第 8 列的数是
图 Z1-1
(1)观察图表可知:第 1 行,第 2 行,第 3 行,第 4 行的第一个数各
故答案为 2018.
是什么?有什么发现?
(2)猜想第 n 行第一个数是什么?
的图形变化为主,有时也出现计算线段长度或图形面积大小的情况.
2021/12/9
第二页，共三十三页。
类型1
数式递变(dì biàn)规律
知识(zhī
shi)储备
1. 需要熟记的数字规律:
中考数学复习方案 题型突破(01) 规律探索型问题
例 1 [2019·安徽]观察以下等式:
2 1
1
2 1
1
3 2
6
2 1
1
2 1
1
2 1
1
9 5
45
第 1 个等式:1=1 + 1,
第 2 个等式: = + ,
第 3 个等式:5=3 + 15 ,
第 4 个等式:7=4 + 28 ,
第 5 个等式: = +
……
,
按照以上规律,解决下列问题:
(2)写出你猜想的第 n 个等式:
1-
1
1-2
=-1,-1 的差倒数为
1
1
= ,已知 a1=5,a2 是 a1 的差倒数,a3 是 a2 的差倒数,a4 是 a3
1-(-1) 2
的差倒数…,以此类推,a2019 的值是 (
A.5
C.
4
3
B.D.
1
4
4
5
)
[答案] D
[解析]∵a1=5,
∴a2=
1
1- 1
=
1
1-5
1
=- ,a3=
(+1)
(5)正整数和:1+2+…+n=
2
(n≥1,且 n 为整数);
(6)正整数平方:1,4,9,16,…,n2(n≥1,且 n 为整数).
2.解决数字规律题的策略:
具体策略:①分别观察分式中分子、分母的特征;②注意相邻项的变化特征,如递
增时可考虑以an+b(a,b为常数)的形式递增或以2n,3n等形式递增;③拆项后的特
征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤对于分式可考虑化异分母为同分母,还
中考数学总复习专题一：探索规律问题含真题分类汇编解析
聚焦泰安类型一 数式规律(2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…第n 个三角数记为a n ，计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…，由此推算a 399＋a 400＝ ．1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为23，1，87，119，1411，1713，…，按此规律，这列数中的第100个数是__________． 类型二 图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题：先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．(2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A ．64B ．77C ．80D ．85【分析】 观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株4．(2017·绵阳)如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 19的值为( )A.2021B.6184C.589840D.431760 类型三 点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．(2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l 于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2 017的横坐标是．【分析】利用直线的表达式及等边三角形的性质计算出A1，A2，A3，A4的横坐标，得出规律，写出A2 017的横坐标即可．5．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2 018的坐标是( )A．(22 017，22 017) B．(22 018，22 018)C．(22 017，22 018) D．(22 018，22 017)6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 的顶点B n 的横坐标为_________.参考答案【聚焦泰安】【例1】 ∵a 1＋a 2＝1＋3＝4＝22，a 2＋a 3＝3＋6＝9＝32，a 3＋a 4＝6＋10＝16＝42，…，∴a n ＋a n ＋1＝(n ＋1)2.∴a 399＋a 400＝4002＝160 000.故答案为160 000. 变式训练 1. 299201 2.nn ＋1【例2】 通过观察，得到小圆圈的个数分别是： 第①个图形：3＋12＝（1＋2）×22＋12＝4；第③个图形：10＋32＝（1＋4）×42＋32＝19；第④个图形：15＋42＝（1＋5）×52＋42＝31；…所以第n 个图形：（n ＋1）（n ＋2）2＋n 2.当n ＝7时，图中小圆圈的个数为（7＋2）（7＋1）2＋72＝85.故选D .变式训练 3.B 4.C【例3】 由直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B 1，可得B 1(1，0)，D(0，－33)，∴OB 1＝1，∠OB 1D ＝30°.如图，过A 1作A 1A⊥OB 1于A ，则OA ＝12OB 1＝12，由题可得∠A 1B 2B 1＝∠OB 1D ＝30°， ∠B 2A 1B 1＝∠A 1B 1O ＝60°，∴∠A 1B 1B 2＝90°，∴A 1B 2＝2A 1B 1＝2. 过A 2作A 2B⊥A 1B 2于B ，则A 1B ＝12A 1B 2＝1，即A 2的横坐标为12＋1＝32＝22－12.过A 3作A 3C⊥A 2B 3于C ，同理可得，A 2B 3＝2A 2B 2＝4，A 2C ＝12A 2B 3＝2，即A 3的横坐标为12＋1＋2＝72＝23－12.同理可得，A 4的横坐标为12＋1＋2＋4＝152＝24－12，由此可得，A n 的横坐标为2n －12，∴点A 2 017的横坐标为22 017－12.故答案为22 017－12.变式训练 5.A 6.2n ＋1－2。
中考数学专项复习突破：题型1 规律探索型问题
题型1 规律探索型问题题型解读对于规律探索题型常常会有一定的通式或循环规律，解题时一般先列出前几项，找出规律或通式求解.1.常考类型：①数字规律探索；②数式规律探索；③图形规律探索；④坐标系中图形规律探索；⑤与函数图象相关的规律探索.2.考查形式与题型：一般都是给出一列数字或者图形，求其第n 个数字、第n 个式子或第n 个图形或求末位数值；题型为选择、 填空.类型一 数字规律探索1.观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是( )A . 9B . 7C . 6D . 02.按一定规律排列的一列数：12，1，1， ，911，1113，1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．3.观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个．位数字．．．是________． 类型二 数式规律探索4. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH 4，乙烷的化学式是C 2H 6，丙烷的化学式是C 3H 8，…，设碳原子的数目为n(n 为正整数)，则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示( )A . C n H 2n ＋2B .C n H 2n C . C n H 2n －2D . C n H n ＋35.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…，第n 个三角形数记为x n ，则x n ＋x n ＋1＝________．6.观察下列等式：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝12n(n ＋1)；1＋3＋6＋10＋…＋12n(n ＋1)＝16n(n ＋1)(n ＋2)1＋4＋10＋20＋…＋16n(n ＋1)(n ＋2)＝124n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3);则有：1＋5＋15＋35＋…＋124n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________．类型三图形规律探索7.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为( )A. (12)6B. (12)7C. (22)6D. (22)7第7题图第8题图第9题图8.如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )A. 2015πB. 3019.5πC. 3018πD. 3024π9.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n＝________．10.如图，△ABC的面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过________次操作．第10题图第11题图第12题图11.如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．类型四坐标中的图形规律探索12.如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)13.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，依次类推…，则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．第13题图第14题图第15题图14.如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6，…，按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为____________．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B2…，依此规律，得到的矩形An OCnBn的对角线交点的坐标为________．16.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．类型五与函数图象相关的规律探索17.如图，在坐标轴上取点A1(2，0)，作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An (n为正整数)点时，则An的坐标是________．第16题图第17题图第18题图18.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝33x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O 2落在直线y ＝33x 上，依次进行下去…. 若点A 的坐标是(0，1)，点B 的坐标是(3，1)，则点A 8的横坐标．．．是________．答案与解析：类型一 数字规律探索1. D 【解析】根据题意，7的幂次方最终结果的末位数字是7，9，3，1这样的循环，其和的末位数字是0，因为2016＝504×4，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0.2. 1 【解析】将原来的一列数变形为12，33，55，□，911，1113，1317，…通过观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 1 【解析】从前几个3的幂次方结果来看，它的个位数字依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数字相同，于是3的整数次幂是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数字与34的个位数字相同，即为1.类型二 数式规律探索4. A 【解析】由H 的下标可得第1个是4，第二个为6，第三个为8，所以第n 个为2n ＋2，由C 的下标可得第1个是1，第二个是2，…，所以碳原子的数目为n 时，化学式为C n H 2n ＋2.5. (n ＋1)2或n 2＋2n ＋1 【解析】∵x 1＋x 2＝1＋3＝4＝22，x 2＋x 3＝3＋6＝9＝32，x 3＋x 4＝6＋10＝16＝42，x 4＋x 5＝10＋15＝25＝52，x 5＋x 6＝15＋21＝36＝62，∴x n ＋x n ＋1＝(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋1.6.1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) 【解析】观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数为12＝1×12，因式为n(n ＋1)；第二个等式的右边系数为16＝12×13，因式为n(n ＋1)(n＋2)；第三个等式的右边系数为124＝16×14，因式为n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，所以第四个等式的右边系数为124×15＝1120，因式为n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)，结果为1120n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)．类型三 图形规律探索7. A 【解析】由题意得：S 1＝22＝(12)－2，S 2＝(2)2＝(12)－1，S 3＝(1)2＝(12)0，S 4＝(12)2＝(12)1，…，S 9＝(12)9－3＝(12)6.故选A.8. D 【解析】本题考查旋转规律探索和弧长公式．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，由勾股定理得：AC ＝AB 2＋BC 2＝5，画出经过旋转六次后点A 经过的路线，由题图可知经过第①次旋转，点A 运动过的路程是以B 为圆心，AB 长为半径，圆心角为90°的AA 1︵；经过第②次旋转，点A 运动过的路程是以AC 长为半径，圆心角为90°的A 1A 2︵；经过第③次旋转，点A 运动过的路程是以AD 长为半径，圆心角为90°的A 2A 3︵；第④次旋转，点A 在直线上不变化；经过第⑤次旋转，点A 运动过的路程与第①次旋转运动过的路程一致. 故点A 每经过四次旋转后，重复前四次旋转的路程．∵2015÷4＝503……3，∴点A 经过的路程正好是503个前四次运动的路程和再加上一个前三次运动的路程和，即一共是504个前三次运动的路程和．由弧长公式得AA 1︵的长为12πAB ＝2π，A 1A 2︵的长为12πAC ＝52π；A 2A 3︵的长为12πAD ＝32π，∴经过2015次旋转后，点A 经过的路程为504×(2π＋52π＋32π)＝3024π.9. 16 【解析】根据题意得：第1个图形中小圆的个数为5，第2个图形中小圆的个数为7，第3个图形中小圆的个数为11，得出第n 个图形中小圆的个数为n(n －1)＋5.据此可以求出“龟图”中有245个“○”时n 的值．方法①：第1个图形有：5个○，第2个图形有：2×(2－1)＋5＝7个○，第3个图形有：3×(3－1)＋5＝11个○，第4个图形有：4×(4－1)＋5＝17个○，…，据此得出：第n 个图形有：n(n －1)＋5个○，则可得方程n(n －1)＋5＝245，解得n 1＝16，n 2＝－15(不合题意，舍去)．故答案为：16.方法②：设y ＝an 2＋bn ＋c ，根据题意得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝54a ＋2b ＋c ＝79a ＋3b ＋c ＝11，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1c ＝5，∴y ＝n 2－n ＋5.当y ＝245时，可得：n 2－n ＋5＝245.10. 四 【解析】△ABC 与△A 1BB 1的底相等(AB ＝A 1B)，高为1∶2(BB 1＝2BC)，故面积比为1∶2，∵S △ABC ＝1，∴S △A 1BB 1＝2.同理可得，S △C 1B 1C ＝2，S △AA 1C 1＝2，∴S △A 1B 1C 1＝S △C 1B 1C ＋S △AA 1C 1＋S △A 1B 1B ＋S △ABC ＝2＋2＋2＋1＝7，同理可证：S △A 2B 2C 2＝7S △A 1B 1C 1＝49，第三次操作后的面积为7×49＝343，第四次操作后的面积为7×343＝2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过四次操作．11. 3n －13 【解析】由题可知，∠MON ＝60°，不妨设B n 到ON 的距离为h n ，∵正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，则A 1B 1＝1，易知△A 1OF 1为等边三角形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴OB 1＝2，则h 1＝2×32＝3，又OA 2＝A 2F 2＝A 2B 2＝3，∴OB 2＝6，则h 2＝6×32＝33，同理可求：OB 3＝18，则h 3＝18×32＝93，…，依此可求：OB n ＝2×3n －1，则h n ＝2×3n －1×32＝3n －13，∴B n 到ON 的距离h n ＝3n －1 3.类型四 坐标中的图形规律探索12. B 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，点B 的坐标是(2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB 的中点，∴点D 的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D 关于原点O 成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为(－1，－1)．13. (21008，0) 【解析】点B 的位置依次落在第一象限、y 轴正半轴、第二象限、x 轴负半轴、第三象限、y 轴负半轴、第四象限、x 轴正半轴，…，每8次一循环.2016÷8＝252，所以点B 2016落在x 轴正半轴，故B 2016的纵坐标是0；OB n 是正方形的对角线，OB 1＝2，OB 2＝2＝(2)2，OB 3＝22＝(2)3，…，所以OB 2016＝(2)2016＝21008，所以点B 2016的坐标为(21008，0)．14. －310073 【解析】∵A 1(1，0)，∠A 1A 2O ＝30°，∴A 2(0，3)，∵A 3A 2⊥A 1A 2 ，∴∠A 3A 2O ＝60°，∴∠A 2A 3O ＝30°， ∴A 3(－3，0)，同理：A 4(0，－33)，A 5(9，0)，A 6(0，93)，A 7(－27，0)，A 8(0，－273)，…，即：A 2(0，3)，A 4(0，－33)，A 6(0，93)，A 8(0，－273)，列表如下：∴n ＝1007，∴A 2016的纵坐标是－31007 3.15. (－3n 2n ，3n2n ＋1) 【解析】在矩形OABC 中，OA ＝2，OC ＝1，∴A(－2，0)，C(0，1)，∴对角线的交点为(－1，12)，将矩形OABC 以原点O 为位似中心，放大为原来的32倍，∴矩形A 1OC 1B 1对角线的交点为(－32，34)，即(－32，12×32)，继续放大为原来的32倍，∴矩形A 2OC 2B 2对角线的交点为(－94，98)，即(－3222，12×3222)，…，依次类推，∴矩形AnOCnBn对角线的交点为(－3n 2n ，3n2n＋1)．第16题解图16. (52，－5132) 【解析】如解图，继续排列图形如下，观察发现，A1、A5、A9、…、A4n－3在点(2，0)的右侧，A3、A7、A11、…、A4n－1在点(2，0)的左侧，A2、A6、A10、…、A4n－2在第一象限，A4、A8、A12、…、A4n在第四象限，∴A100在第四象限，进一步观察发现：①A4、A8、A12、A4n的横坐标都为52，②A4n所在等边三角形边长为2n＋1，可求得A100所在等边三角形边长为2×25＋1＝51，进一步可求点A100的纵坐标为－(32×51)＝－5132，从而解得A100的坐标为(52，－5132)．类型五与函数图象相关的规律探索17. (2×3n－1，0) 【解析】∵A1(2，0)＝(2×30，0)，且A1B1⊥x轴，与直线y＝2x交于点B1，∴B1(2，4)，∵作等腰直角三角形△A1B1A2是等腰直角三角形，∴A2(6，0)＝(2×31，0)，∵A2B2⊥x轴，且与直线y＝2x交于点B2，∴B2(6，12)，∴A3(18，0)＝(2×32，0)，如此反复作等腰直角三角形，An(2×3n－1，0)．18. 63＋6【解析】由A点的坐标得OA＝1，由B点的坐标得OB＝2，则AB＝3，由图象得直线OB与x轴的正方向的夹角为30°，于是A1的横坐标为：OA1·cos30°＝(2＋3)×32；A2的横坐标为：OO2·cos30°＝(2＋3＋1)×32；A3的横坐标为：OA3·cos30°＝(2＋3＋1＋2＋3)×32；A4的横坐标为：(2＋3＋1＋2＋3＋1)×32；…，于是A8的横坐标为：(2＋3＋1＋2＋3＋1＋2＋3＋1＋2＋3＋1)×32＝63＋6.。
人教版中考复习数学练习专题一：规律题探索专题含试卷分析答题技巧
第二部分专题复习专题一规律题探索专题考纲要求探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．常见的类型有三种：(1)数与式变化规律型；(2)图形变化规律型；(3)猜想论证型．这种类型的解题方法和步骤有三步：(1)通过对几个特例的观察与分析，寻找规律并进行归纳；(2)猜想符合规律的一般性结论；(3)对一般性结论进行【课堂精讲】例1观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是＿＿．数字的变化类，观察已知一组数发现：分子为从1开始的连线奇数，分母为从2开始的连线正整数的平方，写出第n个数即可．解答：解：根据题意得：这一组数的第n个数是．故答案为：．点评：此题考查了数字规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．例2.如图，是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴________根．分析：图形规律，观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭1条金鱼，需要多用6根火柴．则搭n条“金鱼”需要火柴8+6（n-1）=6n+2．点评：此题考查了图形规律型：图形的变化类，弄清题中的递增规律是解本题的关键．例3. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是．解答：解：∵直线y=x+1，x=0时，y=1，∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，即点A4的坐标为（7，8）．据此可以得到A n的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．即点A n的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）．∴点A6的坐标为（25﹣1，25）．∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）．故答案为：（63，32）．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．②42－4×2＝22＋4；③52－4×3＝32＋4；…则第n个等式可以表示为__________________2.阅读下列材料：1×2＝13(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝13(2×3×4－1×2×3)， 3×4＝13(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20. 读完以上材料，请你计算下各题：(1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)；(2)1×2＋2×3＋3×4＋…＋n ×(n ＋1)＝________；(3)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________.3.如下图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n (n 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是________4.如图，在等腰Rt △OAA 1中，∠OAA 1=90°，OA =1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…则OA 4的长度为 ．5. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （，0），B （0，4），则点B 2014的横坐标为 ．6.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是．【高效作业本】专题一规律题探究专题1如图，按此规律，第6行最后一个数字是，第行最后一个数是2014．2.观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）．3.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成．4.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是（）A．31B．46C．51D．66)．A ．38B ．52C ．66D ．746．如右图，物体从点A 出发，按照A →B (第1步)→C (第2步)→D →A →E →F →G →A →B →…的 顺序循环运动．则第2011步到达的点处是( )A ．A 点B ．B 点C ．D 点 D ．F 点7.为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S ﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值．【答案】专题一 规律题探索专题1.：(n ＋2)2－4n ＝n2＋42. 解析：(1)∵1×2＝13(1×2×3－0×1×2) 2×3＝13(2×3×4－1×2×3) ⋮10×11＝13(10×11×12－9×10×11) ∴以上各式相加得1×2＋2×3＋…＋10×11＝13×10×11×12＝440. (2)13n (n ＋1)(n ＋2)． (3)14×7×8×9×10＝1 260.3. n(n ＋2)解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，∴AA1=OA=1，OA1=OA=；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．故答案为：8．点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题5.解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．2.解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，（﹣1）2+1，…（﹣1n+1），故答案为：．3.解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；故答案为：3n+1．4..解：第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．故选：B．5. D6. C7.解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①，①式两边都乘以3，得3M=3+32+33+…+32015 ②．②﹣①得2M=32015﹣1，两边都除以2，得M=，故答案为：．。
中考数学 精讲篇 压轴题重难点突破一 规律探索题
7．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二
个正方形 ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，依
此下去，第 n 个正方形的面积为
( B)
A．( 2)n－1 B．2n－1 C．( 2)n D．2n
8．★(2021·东营)如图，正方形 ABCB1中，AB＝ 3，AB 与直线 l 所夹锐 角为 60°，延长 CB1 交直线 l 于点 A1，作正方形 A1B1C1B2，延长 C1B2 交直 线 l 于点 A2，作正方形 A2B2C2B3，延长 C2B3 交直线 l 于点 A3，作正方形
的值等于
( D)
A．－23
B.13
C．－12
D.23
3．★(2021·黄冈)人们把 52－1这个数叫做黄金分割数．著名数学家华
5－1 5＋1 罗庚优选法中的 0.618 法就应用了黄金分割数．设 a＝ 2 ，b＝ 2 ，
11
11
11
得 ab＝1，记 S1＝1＋a＋1＋b，S2＝1＋a2＋1＋b2，…，S10＝1＋a10＋1＋b10，
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时
针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2 019 次
得到正方形 OA2 B019 2 C019 2 019，那么点 A2 019 的坐标是
（ A）
A.
22，－
2
2
C.－
22，－
2
2
分圆圈的个数等于 2×图形序数，故第○10 个图形中圆圈的个数为 10×11
＋2×10＝130.
1．解答图形累加规律的方法： 第一步：标序号——按图号标序； 第二步：数图形个数——观察(计算)每个图中所求量的个数； 第三步：找规律——将后一个图形的个数与前一个图形个数进行对比， 对求出的结果进行一定的变形(变换成与序数 n 有关的式子)，使其呈现 一定的规律，得到第 n 个图中所求量的个数；
2024年中考数学总复习 专题突破课件 专题一 规律探索问题
命题点1
等差(或等比)数列型
1.(2023牡丹江)观察下面两行数:
1,5,11,19,29,…;
1,3,6,10,15,….
取每行数的第7个数,计算这两个数的和是( C
A.92 B.87 C.83 D.78
)
2.(2023恩施)观察下列两行数,探究第②行数与第①行数的关系:
在同一象限内递推变化;另一种是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环
变化.解决方法如下:
(1)定类型:根据图形中点坐标的变换特点判断属于哪一种类型(递推型
或循环型);
(2)找规律:根据图形的递变规律分别求出第1,2,3,4个点的横坐标和纵
坐标,用含n的代数式表示出第n个点的坐标.
结合图形变化求线段长、图形面积问题与求点的坐标类似,注意对含n
第一步:写序号,记每组图形的序数为“1,2,3,…,n”;
第二步:在简单的图形中,求出问题的结果;
第三步:探究所求结果与序数的关系,将这个关系用含n的式子表示;
第四步:代入n的具体数值,求出第n个图形的相关量的值.
命题点1
图形个数累加型
16.(2023重庆A卷)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案,其中第
排列,第 n 个数记为 an,且满足 +
=
+ +
,则 a2 023=
.
图形的变化规律
(1)该类问题常见的解法有三种:一是根据几何图形的变化规律直接求
解;二是数一数各图案中所求图形的具体个数,把图形规律转化成数字
规律求解;三是借助函数知识求解.
(2)解图形规律探索题的一般步骤
2022年中考数学总复习第二部分专题培优指导 专题一规律探索专题
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12.如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 OA1B1C1 的两边 在坐标轴上，以它的对角线 OB1 为边作正方形 OB1B2C2，再以正方形 OB1B2C2 的对角线 OB2 为边作正方形 OB2B3C3，……，以此类推，正 方形 OB2021B2022C2022 的顶点 B2022 的坐标是 （0，-21012）.
1 2 2 2 21 2 1 2 2 2 2 4 22 2 1 44 8 23 2
…… 22022
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11. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合， AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转 60°，当n＝2017时，顶点A的坐标为 (2，2 3 ) .
2.坐标规律通常会涉及特殊四边形、特殊三角形的相关知识，在分析 时要善于利用“数形结合”的思想方法，以数助形、以形解数.
专题一 规律探索专题
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1 专题解读
2 类型一 数式规律型
目
3 类型二 图形规律型
录
4 类型三 坐标规律型
专题解读
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规律探索是中考数学中的常见题型，一般在选择题或填 空题中呈现，主要考查观察、分析、推理的能力，体现了 “从特殊到一般、从一般到特殊”及“数形结合”“转化” 等数学思想方法.常见的类型有数式规律型、图形规律型、坐 标规律型等，解决问题的关键是准确找出题目中隐含的规律.
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10.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿 x 轴正半轴滚动并且按一定 规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后 A1（0，2） 变换到点 A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点 A2 变换到点 A3（6，
中考数学复习难题突破专题一：规律归纳探索问题
难题突破专题一规律归纳探索问题近年来有关规律探索性题目在浙江省初中数学考试题中频繁出现，这类题目要求学生能根据给出的一组具有某种特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程，通过观察、分析、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自主探索、创新精神的培养．规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等．类型1 数字规律1 2019·淮安将从1开始的连续自然数按以下规律排列：图Z1－1则2019在第________行．例题分层分析(1)观察发现，前5行中最大的数分别为________，________，________，________，________；(2)可知第n行中最大的数是_______，n＝44时，最大数为_______；n＝45时，_____．因此2019在第_______行解题方法点析解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等．类型2 数式规律2 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图Z1－2，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a＋b)3展开式中的系数等．(1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式；(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.图Z1－2例题分层分析(1)你能写出(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？(2)25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1和(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5中哪个的展开式比较类似？此时a等于什么？b等于什么？解题方法点析数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键．类型3 图形规律3 [2019·衢州] 如图Z1－3，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________，翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为__________．图Z1－3例题分层分析(1)首先求出B点坐标________，(2)根据图形变换规律，每三次翻滚一周，翻滚前后对应点横坐标加________，纵坐标________，故B点变换后对应点坐标为________；(3)追踪M点的变化在每个周期中，点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动，如图Z1－4，三个扇形半径分别为3、1、1，又2019÷3＝672……1，故其运动路径长为________．图Z1－44[ 2019·酒泉] 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为________，第2019个图形的周长为________．图Z1－5例题分层分析(1)根据图形变化规律可知：图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是________形；当图形的个数是偶数个时，正好构成____________；(2)第2个图形为平行四边形，它水平边长是________，斜边长是________，所以周长是8.(3)第2019个图形构成的图形是________，这个梯形的上底是________，下底是________，腰长是________，故周长是________．专题训练1．[2019·自贡] 填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为( )图Z1－6A．180 B．182C．184 D．1862．[2019·重庆A] 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )图Z1－7A．73 B．81C．91 D．1093．[2019·温州] 我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径做90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线(如图Z1－8)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上点P9的坐标为( )图Z1－8A．(－6，24) B．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)4．[2019·宁波] 用同样大小的黑色棋子按如图Z1－9所示的规律摆放：图Z1－9则第⑦个图案有________个黑色棋子．5．[2019·郴州] 已知a1＝－32，a2＝55，a3＝－710，a4＝917，a5＝－1126，…，则a8＝________．6．[2019·潍坊] 如图Z1－10，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；……按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．图Z1－107．[2019·菏泽] 如图Z1－11，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－33x上，依次进行下去，若点B的坐标是(0，1)，则O12的纵坐标为________．图Z1－118．[2019·衡阳] 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图Z1－12的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2019的纵坐标是________．图Z1－129．[2019·天门] 如图Z1－13，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)．点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……则点P2019的坐标为________．图Z1－1310．[2019·内江] 观察下列等式：第一个等式：a1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－122＋1；第二个等式：a2＝221＋3×22＋2×（22）2＝122＋1－123＋1；第三个等式：a3＝231＋3×23＋2×（23）2＝123＋1－124＋1；第四个等式：a4＝241＋3×24＋2×（24）2＝124＋1－125＋1.按上述规律，回答下列问题：(1)请写出第六个等式：a6＝________＝________；(2)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝________＝________；(3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________(得出最简结果)；(4)计算：a1＋a2＋…＋a n.参考答案类型1 数字规律例1 【例题分层分析】(1)1 4 9 16 25(2)n21936 最大数为2025 45[答案] 45类型2 数式规律例2 【例题分层分析】(1)(a＋b)1＝a＋b；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.(2)(a＋b)5，a＝2，b＝－1.解：(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1.类型3 图形规律例3 【例题分层分析】(1)(－1，3) (2)6 不变(5，3) (3)(1346 33＋896)π[答案] (5，3) (1346 33＋896)π例4 【例题分层分析】梯平行四边形 3 1 梯形3025 3026 1 6053[答案] 8 6053专题训练1．C [解析] 观察所给四个正方形可知，1＋14＝3×5，3＋32＝5×7，5＋58＝7×9，故11＋m＝(11＋2)×(11＋4)，解得m＝184.2．C [解析] 整个图形可以看作是由两部分组成的，各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现：由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为：n2＋n＋1.当n＝9时，n2＋n＋1＝92＋9＋1＝91，∴第⑨个图形中菱形的个数为91.3．B4．19 [解析] 第①个图形中共有1个黑色棋子；第2个图形中共有(1＋3)个黑色棋子；第3个图形中共有(1＋2×3)个黑色棋子；第4个图形中共有(1＋3×3)个黑色棋子……按此规律可知，第n个图形共有[3(n－1)＋1]＝(3n－2)个黑色棋子，所以第⑦个图形中黑色棋子的个数为3×7－2＝19.故填19.5.17 656．9n＋3 [解析] 由图形及数字规律可知，第n个图中正方形的个数为5n＋1，等边三角形的个数为4n＋2，所以其和为5n＋1＋4n＋2＝9n＋3.7．(－9 3－9，9＋3 3) [解析] 过点O2作O2C⊥x轴于点C，∵AB⊥y轴，点B的坐标是(0，1)，且点A在直线y＝－33x上，∴点A的坐标为(－3，1)，即OB＝1，AB＝3，∴OA＝2.由题意知，AB1＝AB＝3，AO1＝OA＝2，O2B1＝OB＝1，∴OO2＝3＋3，∵tan∠O2OC＝33，∴∠O2OC＝30°，∴OC＝O2Ocos∠O2OC＝(3＋3)×32＝3 3＋32，O2C＝O2Osin∠O2OC＝(3＋3)×12＝3＋32，∴O2(－3 3＋32，3＋32)，O4(－2×（3 3＋3）2，2×（3＋3）2)，O6(－3×（3 3＋3）2，3×（3＋3）2)，…，O12(－6×（3 3＋3）2，6×（3＋3）2)，即O12(－9 3－9，9＋3 3)．8．22019[解析] 由图知，点B1的坐标为(1，1)；点A2的坐标为(1，2)；点B2的坐标为(3，2)；点A3的坐标为(3，4)；点B3的坐标为(7，4)；点A4的坐标为(7，8)，……寻找规律知B2019的纵坐标为22019.9．(－2，0) [解析] 根据旋转可得P1(－2，0)，P2(2，－4)，P3(0，4)，P4(－2，－2)，P5(2，－2)，P6(0，2)，故6个循环一次，2019÷6＝336…1，故P2019(－2，0)．10．解：(1)a6＝261＋3×26＋2×（26）2＝126＋1－127＋1.(2)a n＝2n1＋3×2n＋2×（2n）2＝12n＋1－12n＋1＋1.(3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋126＋1－127＋1＝12＋1－127＋1＝1443.(4)a1＋a2＋…＋a n＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n＋1－12n＋1＋1＝12＋1－12n＋1＋1＝2（2n－1）3（2n＋1＋1）.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A.3：4B.9：16C.9：1D.3：12．已知关于x 的不等式组314(1)x x x m --⎧⎨⎩无解，则m 的取值范围是（ ）A ．m≤3B ．m ＞3C ．m ＜3D ．m≥33．如图是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列关于向量的等式中，不正确的是( )A ．OE ED OD +=B ．AB BC CA -= C ．AB AC CB -=D ．0AB BA +=5．在百度搜索引擎中输入“合肥”二字，能搜索到与之相关的结果个数约为41300000，数41300000用科学记数法表示正确的为：( )A.B.C.D.6．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶15千米．若设甲车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是( )A ．304015x x =+ B ．304015x x =- C ．304015x x =- D ．304015x x=+ 7．如图，已知在ABCD 中，BD BC =,点E 是AB 的中点，连结DE 并延长，与CB 的延长线相交于点F ，连接AF ，若5AD =，tan 2BDC ∠=，则四边形AFBD 的面积是（ ）A ．20B C ．10 D ．1038．据统计，2018年无锡市商品房待售面积（报告期末已竣工的可供销售或出租的商品房屋建筑面积）约为758万平方米，这个数据用科学记数法可表示为（ ） A ．758×104m 2B ．7.58×102m 2C ．7.58×104m 2D ．7.58×106m 29．下列四个点中，有三个点在同一条直线上，不在这条直线上的点是（ ） A ．（﹣3，﹣1）B ．（1，1）C ．（3，2）D ．（4，3）10．已知，二次函数()22y x k =++向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到二次函数()2+h 1y x =-，则h 和k 的值分别为（ ）A.3，-4B.1，-4C.1, 2D.3, 211．如图，在△ABC 中，∠C=50°，∠B=35°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．则∠DAC 的度数为（ ）A ．85°B ．70°C ．60°D ．25°12．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过点(0,2)，且关于直线1x =-对称，()1,0x 是抛物线与x 轴的一个交点.有下列结论：①方程22ax bx c ++=的一个根是x=-2；②若112x <<，则2134a -<<-；③若4m =时，方程2ax bx c m ++=有两个相等的实数根，则2a =-；④若302x -≤≤时，23y ≤≤，则1a =-.其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝ ．D 为BC 边一点，且BD ：DC ＝1：2．以D 为一个点作等边△DEF ，且DE ＝DC 连接AE ，将等边△DEF 绕点D 旋转一周，在整个旋转过程中，当AE 取得最大值时AF 的长为_____．14．如图，直线y 1=kx+b 与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），则不等式mx ＞kx+b 的解集是 ______15．为参加2018年“宜宾市初中毕业生升学体育考试”，小聪同学每天进行立定跳远练习，并记录下其中7天的最好成绩（单位：m ）分别为：2.21，2.12，2.43，2.39，2.43，2.40，2.43．这组数据的中位数和众数分别是_____．16．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（-1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是 ．17．将直线1y x =-+向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为__________________.18．如图，将正方形ABCD 沿EF 折叠，使得AD 的中点落在点C 处，若正方形边长为2，则折痕EF 的长为___．三、解答题19．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN 是装订机的底座，AB 是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE 的D 点固定，点E 从A 向B 处滑动，压柄BC 可绕着转轴B 旋转．已知压柄BC 的长度为15cm ，BD ＝5cm ，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC ＝37°时，如图①点E 从A 点滑动了2cm ，求连接杆DE 的长度； （2）当压柄BC 从（1）中的位置旋转到与底座AB 的夹角∠ABC ＝127°，如图②．求这个过程中点E 滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）20．如图1，AB 是曲线，BC 是线段，点P 从点A 出发以不变的速度沿A ﹣B ﹣C 运动，到终点C 停止，过点P分别作x轴、y轴的垂线分别交x轴、y轴于点M、点N，设矩形MONP的面积为S运动时间为（秒），S与t的函数关系如图2所示，（FD为平行x轴的线段）（1）直接写出k、a的值．（2）求曲线AB的长l．（3）求当2≤t≤5时关于的函数解析式．21．先化简再求值：22211221x x x xx x x++--÷++-,其中x=()011260-20162π--︒++-22．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣3、2、3，它们除了数字不同外，其它都完全相同（1）若随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）若小明先从布袋中随机摸出一个小球，记下该数字作为k的值，再把此小球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下该数字作为b的值，请用树状图或列表格写出k、b的所有可能的值，并求出直线y＝kx+b不经过第四象限的概率．23．材料1：经济学家将家庭或个人在食品消费上的支出与总消费支出的比值称作恩格尔系数．即：恩格尔系数＝食品消费支出总额消费支出总额×100%．恩格尔系数可以用来刻划不同的消费结构，也能间接反映一个国家(地区)不同的发展阶段．联合国粮农组织的规定如表所示：(注：在50%﹣60%之间是指含50%，不含60% 的所有数据，以此类推)材料2：2014年2月22日国家统计局上海调查总队报道：2013年上海市居民家庭生活消费总支出人均13425元．其中食品支出人均5334元(包括粮食支出450元，蔬菜及制品支出438元，肉禽蛋奶及制品支出1393元，水产品支出581元)，衣着支出人均771元，居住支出人均2260元，公用事业支出人均694元，交通通信支出人均1719元，文化教育支出人均964元，医疗保健支出人均1181元，其它支出人均502元．根据上述材料，(1)分别计算出“食品”、“衣着”、“居住”、“公用事业”、“交通通信”、“文化教育”和“医疗保健”占家庭生活消费总支出的百分比，并补充完成下列扇形统计图．(百分号前保留一位小数，圆心角精确到1°)(2)计算上海市居民的恩格尔系数，并判断2013年上海市居民的生活水平．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF 的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．25．如图所示，一次函数y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB向下平移与反比例函数m yx（x＞0）交于点C、D，连接BC交x轴于点E，连接AC，已知BE＝3CE，且S△ACE＝94．（1）求直线BC和反比例函数解析式；（2）连接BD，求△BCD的面积．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题1314．x>1 15．40，2.43． 16．-12（a+3）． 17．4y x =-+18三、解答题19．（1）连接杆DE 的长度为cm （2）这个过程中点E 滑动的距离为（16）cm 【解析】 【分析】（1）作DH ⊥BE 于H ，在Rt △BDH 中用三角函数算出DH 和BH ，再求出EH ，在三角形DEH 中用勾股定理即可求得DE ；（2）作DH ⊥AB 的延长线于点H ，在Rt △DBH 和Rt △DEH 中，用三角函数分别求出BH ，DH ，EB 的长，从而可求得 点E 滑动的距离． 【详解】（1）如图①，作DH ⊥BE 于H ，在Rt △BDH 中，∠DHB ＝90°，BD ＝5，∠ABC ＝37°， ∴5DH = sin37°，5BH＝cos37°， ∴DH ＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm ），BH ＝5cos37°＝5×0.8＝4（cm ）． ∵AB ＝BC ＝15cm ，AE ＝2cm ，∴EH ＝AB ﹣AE ﹣BH ＝15﹣2﹣4＝9（cm ），∴DE ==答：连接杆DE 的长度为．（2）如图②，作DH ⊥AB 的延长线于点H ，∵∠ABC ＝127°，∴∠DBH ＝53°，∠BDH ＝37°， 在Rt △DBH 中，5BH BHBD =＝sin37°＝0.6， ∴BH ＝3cm ， ∴DH ＝4cm ，在Rt △DEH 中，EH 2+DH 2＝DE 2， ∴（EB+3）2+16＝90， ∴EB3）（cm ），∴点E 滑动的距离为：153）﹣2＝（16）（cm ）． 答：这个过程中点E 滑动的距离为（16）cm ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键.20．（1）k ＝6，a ＝5；（2）曲线AB 的长l ＝12x x ；（3）2,(25)S t t t =+≤≤.【解析】 【分析】（1）设P 点坐标为（x ，y ）由图象可知，图2中B 点与图1中D 点对应，在B 点时，S ＝6，故得k ＝6，图2中E 点与图1中C 点对应，在E 点时，S ＝30，故得6a ＝30，可求a ＝5．（2）通过勾股定理可计算BC放入长度＝BC 段用时3秒，故可知P，由A 到B 用时可得曲线AB 的长l ．（3）由图（1）可知B （3，2），C 坐标（6，5），由B 到C 是从第2秒后开始到第5秒用时3秒，故P 的坐标可设为（1+t ，t ），即可得S 与t 的函数关系． 【详解】解：（1）∵B 点与图1中D 点对应， ∴k ＝2×3＝6，∵图2中E 点与图1中C 点对应，故P 在C 点时，S ＝30． ∴a ＝306＝5． 故：k ＝6，a ＝5；（2）∵BC ，∴P ，∴曲线AB 的长l ×2＝．（3）由图（1）可知B （3，2），C 坐标（6，5），P 点由B 到C 用时3秒，故可设P 点坐标为（t+1，t ）， 矩形MONP 的面积为S ＝t （t+1）＝t 2+t ，（2≤t≤5）． 【点睛】本题涉及了直角坐标系的意义和动点构成的几何意义，该题在分析上较为复杂，要求在图1和图2中时间t 与P 坐标之间变化关系，结合线段长与速度及时间的关系和面积的几何意义加以分析是解题关键． 21．12x -+,-1 【解析】 【分析】先把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，再按分式的加减法化简，然后把x 化简后代入计算即可. 【详解】22211221x x x x x x x ++--÷++- =()()()2112211x x x x x x x +--⨯++-+ =122x x x x +-++ =12x x x --+ =12x -+，x=()011260-20162π--︒++-=11122+ =-1， 当x=-1时， 原式=1=112---+. 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的混合运算.22．（1）13；（2）49． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表或画树状图，列出k 、b 的所有可能的值，进而得到直线y ＝kx+b 不经过第四象限的概率． 【详解】解：（1）摸出的球为标有数字2的小球的概率为13， 故答案为：13； （2）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中k b 、均为正数的有4种可能性， 所以直线y kx b =+不经过第四象限的概率为49． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．23．(1)食品”、“衣着”、“居住”、“公用事业”、“交通通信”、“文化教育”和“医疗保健”占家庭生活消费总支出的百分比分别为：39.7%，5.7%，16.8%，5.3%，12.8%，7.2%，8.8%；补图见解析；(2)恩格尔系数是39.7%，是富裕生活． 【解析】 【分析】(1)分别计算出“食品”、“衣着”、“居住”、“公用事业”、“交通通信”、“文化教育”和“医疗保健”占家庭生活消费总支出的百分比,再补充完成扇形统计图即可求解; (2)根据上海市居民的恩格尔系数即可作出判断. 【详解】解：(1)“食品”、“衣着”、“居住”、“公用事业”、“交通通信”、“文化教育”和“医疗保健”占家庭生活消费总支出的百分比分别为： 5334÷13425×100%＝39.7%， 771÷13425×100%＝5.7%， 2260÷13425×100%＝16.8%， 694÷13425×100%＝5.3%， 1719÷13425×100%＝12.8% 964÷13425×100%＝7.2%，1181÷13425×100%＝8.8%，扇形统计图如图：(2) 恩格尔系数＝食品消费支出总额消费支出总额×100%=39.7%，上海市居民的恩格尔系数是39.7%，是富裕生活．【点睛】本题考查的是统计，熟练掌握扇形统计图是解题的关键.24．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）DE+DF有最大值为132；（3）①存在，P的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t＜83．【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），根据系数的关系，即可解答（2）先求出当x=0时，C的坐标，设直线AC的解析式为y=px+q，把A,C的坐标代入即可求出AC的解析式，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），得出DE+DF=﹣x2（x-1）=﹣x2+（），即可解答（3）①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，求出直线PC的解析式，再结合抛物线的解析式可求出P1，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，再利用A的坐标求出P2，即可解答②观察函数图象与△ACQ为锐角三角形时的情况，即可解答【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3，如答图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），∵DF∥AC，∴∠DFG=∠ACO，易知抛物线对称轴为x=1，∴DG=x-1，（x-1），∴DE+DF=﹣x2+2x+3+x-1）=﹣x2+（），∴当x=12+，DE+DF有最大值为132；答图1 答图2（3）①存在；如答图2，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=13-x+m，把C（0，3）代入得m=3，∴直线P1C的解析式为y=13-x+3，解方程组223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P1点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，直线AP2的解析式可设为y=13-x+n，把A（﹣1，0）代入得n=13-，∴直线PC的解析式为y=1133x--，解方程组2231133y x xy x⎧=-++⎪⎨=--⎪⎩，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P2点坐标为（103，139-），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t＜83．【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式求值和作辅助线.25．（1）BC=，2yx=-；（2）S△BCD＝32.【解析】【分析】（1）作CF⊥x轴于F，根据BE＝3CE，且S△ACE＝94求得S△ABE＝274，根据三角形面积求得AE，从而求得OE和CF，由三角形相似求得EF，得到C点的坐标，即可根据勾股定理求得BC，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得反比例函数的解析式；（2）设直线CD的解析式为y＝x+b，令直线CD交y轴于H，根据待定系数法求得解析式，从而求得H点的坐标，联立方程求得D点的坐标，然后根据S△BCD＝S△BCH﹣S△BDH求得即可．【详解】（1）作CF⊥x轴于F，由直线y＝x+3可知，A（﹣3，0），B（0，3），∵BE＝3CE，且S△ACE＝94，∴S△ABE＝274，∴12AE•OB＝274，即12AE•3＝274，∴AE＝92，∴OE＝32，∵S△ACE＝12AE•CF＝94，∴CF＝1，∵CF∥OB，∴△ECF∽△EBO，∴EF CFOE OB=，即32EF＝13，∴EF＝12，∴OF＝OE+DF＝2，∴C（2，﹣1），∴BC=，∵反比例函数y＝mx（x＞0）经过点C，∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，∴反比例函数解析式为y＝﹣2x；（2）∵将直线AB向下平移与反比例函数y＝mx（x＞0）交于点C、D，∴设直线CD的解析式为y＝x+b，令直线CD交y轴于H，把C（2，﹣1）代入得，﹣1＝2+b，∴b＝﹣3，∴直线CD的解析式为y＝x﹣3，∴H（0，﹣3），解321212y xx xy yyx=-⎧==⎧⎧⎪⎨⎨⎨=-=-=⎩⎩⎪⎩得或，∴D（1，﹣2），∴S△BCD＝S△BCH﹣S△BDH＝12×3×2﹣12×3×1＝32．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于作辅助线2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为（ ） A.10000x ﹣90005x -=100 B.90005x -﹣10000x =100 C.100005x -﹣9000x =100 D.9000x ﹣100005x -=100 2．某种速冻水饺的储藏温度是－18℃±2℃，四个冷藏室的温度如下，则不适合储藏此种水饺的是( )A ．－17℃B ．－22℃C ．－18℃D ．－19℃ 3．如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．121x y x y -=-⎧⎨-=-⎩C ．121x y x y -=-⎧⎨-=⎩D ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩ 4．浙江广厦篮球队5名场上队员的身高（单位：cm ）是：184，188，190，192，194．现用一名身高为170cm 的队员换下场上身高为190cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）A.平均数变小，方差变小B.平均数变小，方差变大C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大5．向东行驶5km ，记作+5km ，向西行驶2km 记作（ ）A ．+2kmB ．﹣2kmC ．+5kmD ．﹣5km6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，OP ⊥AC 交于点P ，OP ＝43，则⊙O 的半径为( )A ．8B ．123C ．83D ．127．计算()15-3÷的结果等于( )A ．-5B ．5C ．1-5 D ．158．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识。
中考数学总复型突破一规律探索问题
1×2
1
1 1
=1- = ;
2 2
+
1
1×2 2×3
1
+
1
1 1 1 2
=1- + - = ;
2 2 3 3
+
1
1×2 2×3 3×4
1 1 1 1 1 3
=1- + - + - = ;
2 2 3 3 4 4
…
+1
按以上规律,写出第 n 个式子的计算结果(n 为正整数)
1
1
3
3
4.[2017·巴中] 观察下列各式: 1 + =2
2
(+2)
1 1 1
1
1 2 3
20162
(3)设 M 表示 2 , 2 , 2 ,…,
1
1
1
1
1
2
3
20162
M= 2 + 2 + 2 +…+
2016
求证:
2017
4031
<M<
12/9/2021
2016
.
这 2016 个数的和,即
.
.
第七页，共四十一页。
类型(lèixíng)1
数式规律
证明: (3)∵n2<n2+n=n(n+1),即 n(n+1)>n2(n 为正整数),∴
1
3×4
5 6
;…
对任何正整数 n,第 n 个数与第(n+1)个数的和等于
2
(+2)
(1)经过探究,我们发现:
1
1 1
= - ;
中考数学复习难题突破题型一规律归纳探索问题
图 Z1-1
2021/12/13
第七页，共三十页。
类型(lèixíng)2
数式规律
【分层分析】
(1)观察图Z1-1不难看出:除第一行外,两边(liǎngbiān)的数都是1,其余的数均为其“肩”上两数之和,而且各行数的个数与行数
相同.由于(a+b)5的指数是5,所以用到第六行的六个数:1,5,10,10,5,1,进而可写出展开式;
类型(lèixíng)2 数式规律
例 2 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图 Z1-1,这个三角形的构
造法则:两腰上的数都是 1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(a+b)n(n 为正整数)的展开式(按 a
的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数 1,2,1,恰好对应
已知点 P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),则该折线上点 P9 的坐标为 (
A.(-6,24)
B.(-6,25)
C.(-5,24)
D.(-5,25)
图 Z1-6
2021/12/13
第十七页，共三十页。
B
)
类型(lèixíng)3
图形规律
4.[2018·遵义] 每一层三角形的个数与层数的关系如图 Z1-7,则第 [答案] 4035
A3B3C3,依此类推……△An-1Bn-1Cn-1 经 γ(n,180°)变换后得△AnBnCn,则点 A1 的坐标是
是2021/12/13.
第九页，共三十页。
,点 A2018 的坐标
类型3
图形(túxíng)规律
3
3
2017
[答案](- ,- ) (2
中考数学 复习难题突破专题十讲：中考数学复习难题突破专题一：规律归纳探索问题
难题突破专题一规律归纳探索问题规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
类型1 数字规律例题：观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】根据已知数据得出规律，再求出即可．【解答】解：0=﹣（1﹣1）2，1=（2﹣1）2，﹣4=﹣（3﹣1）2，9=（4﹣1）2，﹣16=﹣（5﹣1）2，∴第11个数是﹣（11﹣1）2=﹣100，故选B．同步练习：观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．139【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为21，22，23，…26，由此可得a，b．【解答】解：∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23，…，∴b=26=64，∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，∴a=11+64=75，故选B．解题方法点析解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等．类型2 数式规律例题：我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．2017 B．2016 C．191 D．190【考点】4C：完全平方公式．【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，故选D．同步练习：（2017毕节）观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017=．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．【解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018两式相减得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案为：．解题方法点析数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键．类型3 图形规律例题：在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．16【考点】RA：几何变换的类型；KQ：勾股定理．【分析】根据从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换，计算出按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后点M的位置，再根据点N的位置进行适当的变换，即可得到变换总次数．【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF=3，∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，又∵MN=20，∴20÷3=，（不是整数）∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格，此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，故选：B．同步练习：如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．【分析】先根据直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到A n的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标．【解答】解：由直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（﹣，0），∴OB1=1，∠OB1D=30°，如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，即A1的横坐标为=，由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1==，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，由此可得，A n的横坐标为，∴点A2017的横坐标是，故答案为：．【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得A n的横坐标为．专题训练1.观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】根据题目中的式子可以知道，末尾数字出现的2、4、8、6的顺序出现，从而可以求得21+22+23+24+…+22017的末位数字．本题得以解决．【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，∴2017÷4=506…1，∵（2+4+8+6）×506+2=10122，∴21+22+23+24+…+22017的末位数字是2，故选B．【点评】本题考查尾数特征，解答本题的关键是发现题目中的尾数的变化规律，求出相应的式子的末位数字．2.在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为（2，0）．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】求得点P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．【解答】解：P1坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（﹣3，3），P4坐标为（﹣2，﹣1），P5坐标为（2，0），∴P n的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，∵2017=2016+1=4×504+1，∴P2017坐标与P1点重合，故答案为（2，0）．3.观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…．则第2017个图形中有8065个三角形．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4．【解答】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3，当n=2017时，4n﹣3=8065，故答案为：8065．【点评】此题考查图形的变化规律，由特殊到一般的归纳方法，找出规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4解决问题．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为2n+1﹣2．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．【解答】解：由题意得OA=OA1=2，∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…∴B n的横坐标为2n+1﹣2．故答案为2n+1﹣2．5.我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24） B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）【考点】D2：规律型：点的坐标．【专题】17 ：推理填空题．【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，所以P9的坐标为（﹣6，25），故选B．【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．6.如图，过点A0（2，0）作直线l：y=x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2107的长为（）A．（）2015B．（）2016C．（）2017D．（）2018【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OA n=（）n OA=2（）n，依此规律即可解决问题．【解答】解：由y=x，得l的倾斜角为30°，点A坐标为（2，0），∴OA=2，∴OA1=OA=，OA2=OA1═，OA3=OA2═，OA4=OA3═，…，∴OA n=（）n OA=2（）n．∴OA2016=2×（）2016，A2016A2107的长×2×（）2016=（）2016，故选：B．。
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专题1 探索规律问题常考类型分析专题类型突破类型1 数式规律一、数与数阵规律【例1】观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为( )A．23 B．75 C．77 D．139【解析】∵上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11，左边的数为21,22,23，…，∴b＝26＝64.∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，∴a＝11＋64＝75.满分技法►通过所给的特例所列举的数字或数字本身的变化，或者在数表、数轴、坐标、图形中的变化，找出共性或者与自然序数的关系确定变化后的结果，列出通式，再代入求值．二、算式变化规律【例2】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是( )A．13＝3＋10 B．25＝9＋16C．36＝15＋21 D．49＝18＋31【解析】按照以下环节进行思考：(1)从“形”的角度来看，“正方形数”依次为：1＝12,4＝22,9＝32,16＝42,25＝52，…，即从1开始的正整数的平方；斜线上方的点数表示较小的“三角形数”，依次为：1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10,1＋2＋3＋4＋5＝15，…，即从1开始的连续正整数相加的和；(2)从“数”的角度来看，等式规律用字母表示出来：如果用n2表示“正方形数”，则等式表示为(3)对以上结论进行证明：(4)对照图示规律或者等式特征，可知选C.满分技法►探索算式或等式的规律，一般要将每个式子中相同位置上的数字进行比较，发现其变化特征，用表示算式序号的字母表示出来，通常以选择题或填空题的形式出现．满分变式必练►1.按照一定规律排列的n个数：－2,4，－8,16，－32,64，…，若最后三个数的和为768，则n为( )A．9 B．10 C．11 D．12解析：B ，由题意，得第n个数为(－2)n，那么(－2)n－2＋(－2)n－1＋(－2)n＝768.当n为偶数时，整理，得3×2n－2＝768.解得n＝10；当n为奇数时，整理，得－3×2n－2＝768，无解．∴n＝10.2.如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1＝a2＋a3，则a1的最小值为( )A．32 B．36 C．38 D．40解析：D ，∵a1＝a2＋a3＝a4＋a5＋a5＋a6＝a7＋a8＋a8＋a9＋a8＋a9＋a9＋a10＝a7＋3(a8＋a9)＋a10，∴要使a1取得最小值，则a8＋a9应尽可能的小，取a8＝2，a9＝4.∵a5＝a8＋a9＝6，则a7，a10中不能有6.若a10＝8，则a6＝a9＋a10＝12.∴a7＝14，则a4＝14＋2＝16，a2＝16＋6＝22，a3＝6＋12＝18，a1＝18＋22＝40.综上，a1的最小值为40.3.如图，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是.解析：3。
若小宇从编号为2的顶点开始，第1次“移位”他应走2个边长，到达编号为4的顶点；第2次“移位”应走4个边长，到达编号为3的顶点；第3次“移位”应走3个边长，到达编号为1的顶点；第4次“移位”应走1个边长，到达编号为2的顶点，依此类推，4次“移位”为一个循环组，返回编号为2的顶点.10÷4＝2……2.所以第10次“移位”为第3个循环组的第2次“移位”到达编号为3的顶点．4.已知则a8＝ .解析：由题意给出的5个数可知，5.观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；……可猜想第2016个式子为(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2.解析：。
观察发现，第n个等式可以表示为(3n－2)×3n＋1＝(3n－1)2，当n＝2016时，(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2.6.将从1开始的连续自然数按以下规律排列：……则2017在第行．解析：45。
由观察可知第n行最大一个数为n2.∵442＝1936,452＝2025，∴2017在第45行．7.观察下列各个等式的规律：第一个等式：第二个等式：第三个等式：请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的．类型2 图形变化规律【例3】下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )A．73 B．81 C．91 D．109【解析】第①个图形中共有3个菱形，3＝12＋2；第②个图形中共有7个菱形，7＝22＋3；第③个图形中共有13个菱形，13＝32＋4；…；第n个图形中菱形的个数为n2＋n＋1.∴第⑨个图形中菱形的个数为92＋9＋1＝91.满分技法►解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，列出通式，最后确定相应图形的元素特征．满分变式必练►1.用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为( )A．3n B．6n C．3n＋6 D．3n＋3解析：D ∵第一个图需棋子3＋3＝6；第二个图需棋子3×2＋3＝9；第三个图需棋子3×3＋3＝12；….∴第n个图需棋子(3n＋3)个．2.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…，将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( )A．121 B．362 C．364 D．729解析：C。
图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…，则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形．3.将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )A．6 B．5 C．3 D．2解析：B 。
由观察可知，从开始每3次变换完成后，正方体骰子就恢复到初始位置．因此，连续完成9次变换后，正方体骰子恢复到初始位置．∵10÷3＝3……1，∴第10次的情况如题中图所示，可见骰子朝上一面的点数是5.4.将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是( )A．11 B．12 C．13 D．14解析：B。
第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；…；第n个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝个小圆．∵第n个图形中“○”的个数是78，∴78＝解得n1＝12，n2＝－13(不合题意，舍去)．类型3 图象变化规律【例4】如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；…；如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝ .【解析】 C1：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)；C2：y＝(x－3)(x－6)(3≤x≤6)；C3：y＝－(x－6)(x－9)(6≤x≤9)；C4：y＝(x－9)(x－12)(9≤x≤12)；…；C13：y＝－(x－36)(x－39)(36≤x≤39)，当x＝37时，y＝2，则m＝2.满分技法►从图象的变化或者变换方式与次数中，寻找规律，一般要利用数形结合的思想进行研究，通常以选择题或填空题的形式出现．满分变式必练►1.如图，过点A0(2,0)作直线l：y＝的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为( )2.如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P2016A2015A2016是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…都在函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A2015A2016都在x轴上，则A2016的坐标为 .3.二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A100在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B100在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A99B100A100都为等边三角形，则△A99B100A100的边长为.。