高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.3相似三角形的判定及性质第1课时相似三角形的判定练习新人教A

1.3 相似三角形的判定及性质
第1课时 相似三角形的判定
A 级 基础巩固
一、选择题
则有
，BE ＝AE ，13＝AD AC 且，上AB ，AC 分别在E ，D ，中ABC 在正三角形，如图所示1.(
)
A ．△ADE ∽△BED
B ．△AED ∽△CBD
C ．△AE
D ∽△ABD
D ．△BAD ∽△BCD
解析：在△AED 和△CBD 中，
AE ∶BC ＝AD ∶CD ＝1∶2，
∠EAD ＝∠BCD ，所以△AED ∽△CBD .
答案：B
2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
解析：因为等腰三角形底边上的高分这个三角形为两个全等的三角形，全等三角形一定相似，所以这个三角形可以是等腰三角形；又因为直角三角形斜边上的高分这个三角形
为两个相似三角形，所以这个三角形也可以是直角三角形．
答案：D
3．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似
的是( )
解析：首先求得△ABC 三边的长，然后分别求得A 、B 、C 、D 选项中各三角形的三边的
长，然后根据三组对边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．
答案：A
下列结论.BM CN
＝AM AN 且，CN ＝CM ，上AM 在N 点，上BC 在M 点，中ABC △在，如图所示4.正确的是( )
A ．△ABM ∽△ACB
B ．△AN
C ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACM
D ．△CMN ∽△BCA 解析：CM ＝CN ，即∠AMC ＝∠MNC ，
即∠AMB ＝∠ANC .
.
ANC ∽△MB A △即，BM CN ＝AM AN 又 答案：B
5.如图所示，△ABC ∽△AED ∽△AFG ，DE 是△ABC 的中位线，△ABC 与△AFG 的相似比
是3∶2，则△ADE 与△AFG 的相似比是(
)
A ．3∶4
B ．4∶3
C ．8∶9
D ．9∶8 解析：因为△ABC 与△AFG 的相似比是3∶2，所以AB ∶AF ＝3∶2，
又因为△ABC 与△AED 的相似比是2∶1，
即AB ∶AE ＝2∶1.
所以△AED 与△AFG 的相似比
.
34＝12×32＝AE AB ·AB AF ＝AE AF ＝k 答案：A
二、填空题
6.如图所示，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 的中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．
解析：因为E 为AB 的中点，
.
AB 12＝AE ，即12＝AE AB 所以 ，AB 32
＝AC ，°30＝A ∠，中ABC △Rt 在 又因为Rt △AED ∽Rt △ACB ， .13＝
AE AC 所以相似比为 .31∶
的相似比为ABC △与ADE △故 3
1∶答案： 7．如图所示，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的角平分线，若
DC ·AC ＝19，则AD ＝________．
解析：因为∠A ＝36°，AB ＝AC ，
所以∠ABC ＝∠C ＝72°.
又因为BD 平分∠ABC ，
所以∠ABD ＝∠CBD ＝36°.
所以∠BDC ＝72°＝∠C ，
所以AD ＝BD ＝BC ，且△ABC ∽△BCD ，
.AB BC ＝BC CD 所以 .
CD ·AB ＝2BC 所以 .CD ·AC ＝2AD 所以 .
19＝AD 所以，19＝2AD 所以 19答案：
8．△ABC 的三边长分别是3 cm ，4 cm ，5 cm ，与其相似的
△A ′B ′C ′的最大边长是15 cm ，那么S △A ′B ′C ′＝________． 解析：由题意知：△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是1∶3，又因为△ABC 的三边长分别＋2
9又因为15 cm.，12 cm ，cm 9 别为的三边长分′C ′B ′A △所以，5 cm ，4 cm ，cm 3 为．)2
cm 54(＝12×9×1
2＝′C ′B ′A △S 所以，为直角三角形′C ′B ′A △所以，2
15＝212 2
cm
54 答案： 三、解答题 9.如图所示，CD 平分∠ACB ，EF 是CD 的中垂线交AB 的延长线于E ，求证：
△ECB ∽△EAC .
证明：连接EC ，因为EF 是CD 的中垂线，
所以EC ＝ED ，且∠EDC ＝∠ECD .
又因为∠EDC ＝∠A ＋∠ACD ，
且∠ECD ＝∠DCB ＋∠ECB ，
又因为CD 为∠ACB 的平分线，
则∠ACD ＝∠DCB ，
所以∠A ＝∠ECB .又∠CEA 为公共角，
所以△ECB ∽△EAC .
10.如图所示，在△ABC (AB >AC )的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，
.BD CE ＝BP CP 求证：，P 的延长线交于点BC 和DE 直线
证明：过点C 作CM ∥AB ，
交DP 于点M .
因为AD ＝AE ，所以∠ADE ＝∠AED .
又AD ∥CM ，∠ADE ＝∠CME ，
∠AED ＝∠CEM ，
所以∠CEM ＝∠CME ，所以CE ＝CM .
因为CM ∥BD ，所以△CPM ∽△BPD ，
.BD CE ＝BP CP 即，BD CM ＝BP CP 所以 B 级 能力提升
1．若△ABC 与△DEF 相似，∠A ＝60°，∠B ＝40°，∠D ＝80°，则∠E 的度数可以是(
)
A ．60°
B ．40°
C ．80°
D ．40°或60° 解析：根据判定定理，可知∠
E 的度数可以是40°或60°.
答案：D
2．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，对角线BD ⊥DC ，则
．________＝2
BD ，∽________ABD △
解析：因为AD ∥BC ，
所以∠ADB ＝∠DBC .
又因为∠A ＝∠BDC ＝90°，
所以△ABD ∽△DCB .
.BC ·AD ＝2BD 所以.AD
BD ＝BD BC 所以 答案：△DCB AD ·BC
3．如图所示，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形．
(1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，
△ACP ∽△PDB?
(2)当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数．
解：(1)因为△PCD 是等边三角形，
所以∠PCD ＝∠PDC ＝60°，
PD ＝PC ＝CD .
从而∠ACP ＝∠PDB ＝120°.
，
PDB ∽△ACP △，时PC BD ＝AC PD 当，所以 ，
时BD ·AC ＝2CD 即当 △ACP ∽△PDB . (2)当△ACP ∽△PDB 时，
∠APC ＝∠PBD .
所以∠APB ＝∠APC ＋∠CPD ＋∠DPB ＝∠PBD ＋60°＋∠DPB ＝60°＋60°＝120°.。