不动点定理在积分第一中值定理中的应用
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理是函数分析中的一项基本定理，又称为Banach不动点定理。
该定理是由波兰数学家斯蒂芬·巴拿赫于1922年提出的。
巴拿赫不动点定理可以简单地表述为：在完备度量空间中，连续映射必有不动点。
这个定理的意义在于，对于一些映射或者变换，必然存在一个点不会移动，这个点就被称作“不动点”。
而根据巴拿赫不动点定理，只要一个映射是连续的并且作用于完备度量空间，那么它必然存在不动点。
这个定理有很多应用，下面列举一些常见的：
1.在求解微积分方程、微分方程、积分方程时，巴拿赫不动点定理是很重要的工具。
2.在数值分析中，巴拿赫不动点定理可以用于求解线性方程组、优化问题以及非线性方程组的数值解。
3.在动力学系统中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些系统存在定点。
4.在实际应用中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些算法的收敛性以及求解某些不动点问题。
总之，巴拿赫不动点定理是数学中的一项重要定理，它的实际应用十分广泛。
积分第一中值定理的推广研究
积分第一中值定理的推广研究积分第一中值定理是微积分中的重要定理，它描述了定积分在函数连续条件下的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要对函数在某个区间上的平均值进行研究，而积分第一中值定理提供了帮助。
该定理在某些特定情况下可能不适用，因此我们有必要进行进一步的研究，对其进行推广。
我们来回顾一下积分第一中值定理的内容。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么在区间[a, b]上存在一点c，使得定积分∫[a, b] f(x) dx 等于函数f(x)在[c, d]上的平均值，即∫[a, b] f(x) dx = f(c) * (b - a).这个定理是微积分中的重要性质，它告诉我们，如果函数在某个区间上连续，那么在这个区间上的定积分就等于函数在某一点上的值乘以这个区间的长度。
这个性质在实际问题中有很多应用，比如在统计学中，我们经常需要求解某个变量在某个区间上的平均值，而积分第一中值定理提供了一种便捷的方法。
在对积分第一中值定理进行推广研究时，我们可以考虑以下几个方面：1. 函数的可导性：积分第一中值定理要求函数在闭区间上连续，但如果函数在闭区间上可导，我们是否可以得到类似的性质呢？换句话说，在可导的条件下，定积分是否仍然等于函数在某个点上的值乘以区间长度呢？这需要我们对可导函数的性质进行深入研究，寻找可能的推广定理。
2. 函数的间断点：在实际问题中，我们经常遇到函数在某些点上不连续的情况，这时积分第一中值定理是不适用的。
我们可以尝试寻找一种更一般的条件，使得函数在某些点上可以是间断的，但定积分仍然具有某种性质。
这样的推广定理对于实际问题的解决会有很大帮助。
3. 特殊函数的适用性：在实际问题中，我们经常需要研究特殊的函数，比如带有参数的函数或者带有特殊性质的函数。
我们可以尝试将积分第一中值定理推广到这些特殊函数的情况下，研究它们的性质和适用条件。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用不动点定理及其应用1 引言大家都知道，在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题，为了讨论这些方程解的存在性，我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题．本文就这一问题作一下详细阐述．2 背景介绍把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点，并用逐次逼近法求出不动点，这是分析中和代数中常用的一种方法．这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法，19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程．后来，1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach ）将这个方法加以抽象，得到了著名的压缩映射原理，也称为巴拿赫不动点定理．3 基本的定义及定理定义1[1](P4) 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x ，y ，均有一确定的实数，记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件：①非负性：0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ；②对称性：),(y x ρ=),(x y ρ；③三角不等式：),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤，这里z 也是X 中任意一个元素．则称ρ是X 上的一个距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间，记为()ρ,X ．注距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象，事实上，如果对任意的,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ容易看到①、②、③都满足．定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列，是指对任给的,0>ε存在,0>N 使得当N n m >,时，ερ<),(n m x x ．如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点，则称X 为完备的距离空间．定义3[2](P16) 设X 是距离空间，T 是X 到X 中的映射．如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,，不等式),(),(y x a y x ρρ≤T T （1）成立，则称T 是压缩映射．压缩映射必是连续映射，因为当x x n →时，有0),(),(→≤x x a Tx Tx n n ρρ．例设[]10，X =，Tx 是[]10，上的一个可微函数，满足条件：()[][]()1,01,0∈?∈x x T ，以及()[]()1,01∈?<≤'x a x T ，则映射X X T →:是一个压缩映射．证()()[]()()y x a y x a y x y x T Ty Tx Ty Tx ,1,ρθθρ=-≤--+'=-=()10,,<<="">定义4 设X 为一集合，X X T →:为X 到自身的映射（称为自映射），如果存在,0X x ∈使得00x Tx =，则称0x 为映射T 的一个不动点．例如平面上的旋转有一个不动点，即其旋转中心，空间中绕一轴的旋转则有无穷多个不动点，即其旋转轴上的点均是不动点，而平移映射a x Tx +=没有不动点．如果要解方程(),0=x f 其中f 为线性空间X 到自身的映射（一般为非线性的），令,I f T +=其中I 为恒等映射：,x Ix =则方程()0=x f 的解恰好是映射T 的一个不动点．因此可以把解方程的问题转化为求不动点的问题．下面就来介绍关于不动点的定理中最简单而又应用广泛的压缩映射原理：定理1[3](P36) 设X 是完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点．证任取,0X x ∈并令ΛΛ,,,,11201n n Tx x Tx x Tx x ===+ （2）下证()2的迭代序列是收敛的，因T 是压缩映射，所以存在,10<≤a 使得()()y x a Ty Tx ,,ρρ≤，因此 ()()()();,,,,00101021Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=()()()();,,,,002212132Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=…………一般地，可以证明()()()();,,,,00111Tx x a x x a Tx Tx x x nn n n n n n ρρρρ≤≤≤=--+Λ于是对任意自然数p n ,，有()()()+++≤++++Λ211,,,n n n n p n n x x x x x x ρρρ()p n p n x x +-+,1ρ≤()0011,)(Tx x a a a p n n n ρ-++++Λ()()()0000,1,11Tx x aa Tx x a a a n p n ρρ-≤--= （3）由于10<≤a ，因此，当n 充分大时，(),,ερ<+p n n x x 故}{n x 是X 中的基本点列，而X 是完备的，所以存在_0_0,x x X x n →∈使得成立．再证_0x 是T 的不动点．易证，若T 是压缩映射，则T 是连续映射，而,lim _0x x n n =∞→因此,lim _0x T Tx n n =∞→所以_0_0_0,x x x T 即=是T 的一个不动点．最后，我们证明不动点的唯一性，若存在X x ∈*，使得,**x Tx =则,,,,*_0*_0*_0??≤??? ??=??? ??x x a Tx x T x x ρρρ 而_0*_0*,0,,1x x x x a ==??<即所以ρ．证毕．注（i ）由（2）定义的序列收敛，且收敛到T 的唯一不动点，且迭代与初始值0x 的取法无关．（ii ）误差估计式方程x Tx =的不动点*x 在大多数情况下不易求得，用迭代程序,1n n Tx x =+即得到不动点*x 的近似解，在（3）式中令()()00*,1,,Tx x aa x x p nn ρρ-≤∞→得（4）此即误差的先验估计，它指出近似解n x 与精确解* x 之间的误差．如果事先要求精确度为(),,*ερ≤x x n 则由()ερ≤-00,1x Tx aa n，可计算出选代次数n ，在（4）式中取01,1Tx x n ==代入得()()0*0,1,x Tx aTx ρρ-≤．上式对任意初始值均成立，取10-=n x x ，即得()()1*,1,--≤n n n x x aax x ρρ，此式称为后验估计，可从n x 与其前一步迭代结果1-n x 的距离来估计近似解与精确解*x 之间的误差．所以，压缩映射原理，不仅给出了不动点的存在性，而且给出求解方法，同时还指明了收敛速度及误差．（iii ）a 值越小迭代收敛的速度越快．（iv ）在T 满足()()()y x y x Ty Tx ≠<,,ρρ （5）的条件下，T 在X 上不一定存在不动点．如令[)[)()+∞∈++=+∞=,011,,0x xx Tx X ，我们容易证明对一切[)y x y x ≠+∞∈,,0,时，有()()[)∞+<，但0,,,T y x Ty Tx ρρ中没有不动点．又如，若令x arctgx Tx R X +-==2π，，则T 满足条件（5），因任取,,,y x R y x ≠∈则由中值公式()()y x T y x Ty Tx ,,'在ξξ-=-之间，由于()，故得11'22<+=ξξξT ()()y x Ty Tx y x Ty Tx ,,,ρρ<-<-即， Tx 但没有不动点，因任何一个使x Tx =的x 须满足,2=arctgx 在R 内这样的x 不存在．（v ）压缩映射的完备性不能少．如设(]1,0=X ，定义T 如下：2 xTx =，则T 是压缩映射，但T 没有不动点．这是由于(]1,0空间的不完备性导致的．（vi ）压缩映射条件是充分非必要条件．如()[]b a x f ,映为自身，且 ()()y x y f x f -≤- ，（6）任取[],,1b a x ∈令()[]n n n x f x x +=+211 ，（7）该数列有极限**,x x 满足方程()**xxf =，但由（6），（7）可得11-+-≤-n n n n x x a x x ，相当于,1=a 不是10<定理1从应用观点上看还有一个缺点，因为映射T 常常不是定义在整个空间X 上的，而仅定义在X 的子集E 上，而其像可能不在E ，因此要对初值加以限制，有以下结果：定理2 [4]（P193-194）设T 在Banach 空间的闭球()(){}r x x X x r x B B ≤∈==00_,:,ρ上有定义，在X 中取值，即T ：()X r x B →,0_又设[),1,0∈?a 使得()()(),,,,,0_y x a Ty Tx r x B y x ρρ≤∈?有()(),1,00r a Tx x -≤ρ且则迭代序列（2）收敛于T 在B 中的唯一不动点．证只需证明(),,B x B B T ∈?? ()Tx x ,0ρ()()Tx Tx Tx x ,,000ρρ+≤()r a -≤1()x x a ,0ρ+()r ar r a =+-≤1，因此()B ，B T B Tx ?∈所以,由定理1B 在知T 中有唯一的不动点，证毕．有时T 不是压缩映射，但T 的n 次复合映射nT 是压缩映射，为了讨论更多方程解的存在性、唯一性问题，又对定理1进行了推广．定理3[5]（P21）设T 是由完备距离空间X 到自身的映射，如果存在常数10,<≤a a 以及自然0n ，使得()()()X y x y x y T x Tn n ∈≤,,,00ρρ，（8）那么T 在X 中存在唯一的不动点．证由不等式（8），0n T 满足定理1的条件，故0n T存在唯一的不动点，我们证明0x 也是映射T唯一的不动点．其实，由()()()000100Tx x T T x T Tx Tnn n ===+，可知0Tx 是映射0n T 的不动点．由0n T 不动点的唯一性，可得00x Tx =，故0x 是映射T 的不动点，若T 另有不动点1x ，则由,1111100x Tx Tx T x T n n ====-Λ可知1x 也是0n T 的不动点，再由0n T 的不动点的之唯一性，得到,01x x =证毕．4 不动点定理的应用4.1 不动点定理在数学分析中的应用该定理在数学分析中主要用于证明数列的收敛性、方程解的存在性和唯一性及求数列极限．定理4.1.1 ① 对任一数列{}n x 而言，若存在常数r ，使得10,,11<<-≤-∈?-+r x x r x x N n n n n n 恒有 ()A ，则数列{}n x 收敛．② 特别，若数列{}n x 利用递推公式给出：()n n x f x =+1 (),,2,1Λ=n 其中f 为某一可微函数，且()()(),1',B R x r x f R r ∈?<≤∈?使得则{}n x 收敛．证①此时rr x x r r r x x x x rx xx x np n n pn n k k pn n k k kn p n --≤---=-≤-≤-+++=-++=-+∑∑11.0101011111应用Cauchy 准则，知{}n x 收敛，或利用D ，Alenber 判别法，可知级数()1--∑n n x x 绝对收敛，从而数列()()ΛΛ,2,1011=+-=∑=-n x x xx nk k kn 收敛．② 若()B 式成立，利用微分中值定理：()()()()Λ,3,2,1111=-≤-'≤-=----+n x x r x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ即此时()A 式亦成立，故由①知{}n x 收敛．注若()B 式只在某区间I 上成立，则必须验证，{}n x 是否保持在区间I 中．例1 设数列{}n x 满足压缩性条件，,,3,2,10,11Λ=<<-≤--+n k x x k x x n n n n 则{}n x 收敛．证只要证明{}n x 是基本点列即可，首先对一切n ，我们有11-+-≤-n n n n x x k x x ,121212x x k x x k n n n -<<-<---Λn m >设，则 n n m m m m n m x x x x x x x x -++-+-≤-+---1211Λ123122x x k x x k m m -+-<--121x x k n -++-Λ()01121∞→→--<-n x x kk n ，证毕．注该题体现了不动点定理证明数列的收敛性．例2 证明若()x f 在区间[]r a r a I +-≡,上可微，()1<≤'αx f ，且()()r a a f α-≤-1 , （9）任取()()(),,,,,,112010ΛΛ-===∈n n x f x x f x x f x I x 令则**,lim x x x n n =∞-为方程()x f x =的根（即*x 为f 的不动点）证已知I x ∈0，今设I x n ∈，则()()()a a f a f x f a x n n -+-=-+1()()a a f a x f n -+-'≤ξ ()之间与在a x n ξ[由（9）](),1r r r =-+≤ααI x n ∈+1即这就证明了：一切I x n ∈应用微分中值定理，1,+?n n x x 在ξ之间（从而I ∈ξ）()()()()111--+-'=-=-n n n n n n x x f x f x f x x ξ 1--≤n n x x α ()10<<α，这表明()1-=n n x f x 是压缩映射，所以{}n x 收敛．因f 连续，在()1-=n n x f x 里取极限知{}n x 的极限为()x f x =的根．注该题体现了不动点定理证明方程解的存在性．例 3 ()x f 满足()()(),10<<-≤-k y x k y f x f (),,10n n x f x R x =∈?+令取则{}n x 收敛，且此极限为方程()x x f =的唯一解．证① 因为()()01212111x x k x x k x x k x f x f x x nn n n n n n n n -≤≤-≤-≤-=-----+Λ所以 n n p n p n p n p n n p n x x x x x x x x -++-+-≤-+-+-+-+++1211Λ()01121x x k k k k n n p n p n -++++≤+-+-+Λ()10101<<--<="" p="" x="">k n因为01lim01=--∞→x x k k n n ，所以εε<--<->>?+011,,,,0x x kk x x N n p N nn p n 有，由Cauchy 准则，知{}n x 收敛．② 设,lim *x x n n =∞→已知()n n x f x =+1，所以()()**lim x f f x f x n n 连续∞→=，所以()x f x x =是*的解．若另有解*y 是()x f x =的解，即()**yf y =，而()()()10******<<-≤-=-k x y k x f y f x y ．所以**x y =，所以()x f x x =是*的唯一解．注该题既体现了不动点定理证明数列的收敛性又体现了方程解的存在唯一性．定理4.1.2 已知数列{}n x 在区间I 上由()()Λ,2,11==+n x f x n n 给出，f 是I 上连续函数，若f 在I 上有不动点()()***xf x x =即满足()()()()*0*111≥--x x x f x，则此时数列{}n x 必收敛，且极限A 满足()A f A =,若()*式"""">≥改为对任意I ∈1x 成立，则意味着*x 是唯一不动点，并且,*x A =特别，若f 可导，且()(),10I x x f ∈<'<当则f 严增，且不等式()() """"*>≥可该为会自动满足()I x ∈?1，这时f 的不动点存在必唯一从而*x A =，证（分三种情况进行讨论）：① 若*1x x >，则()()**12x x f x f x =≥=，一般地，若已证到*x x n ≥，则()()**1x x f x f x n n =≥=+．根据数学归纳法，这就证明了，一切*:x x n n ≥（即*x 是n x 之下界）另一方面，由()*式条件，已有()112x x f x ≤=，由f 单调增，知()()2123x x f x f x =≤=，…．一般地若已证到1-≤n n x x ，由f 单调增，知()()n n n n x x f x f x =≤=-+11，这就证明了n x 单调减，再由单调有界原理，知{}n x 收敛．在()n n x f x =+1里取极限，因()x f 连续，可知{}n x 的极限A 适合方程()A f A =．② *1x x <的情况，类似可证．③ *1x x =若，则一切n ，*x x n =结论自明．最后，假若()(),10I x x f ∈?<'<由压缩映射原理可知{}n x 收敛．事实上，这时也不难验证()*条件成立，如：对函数()()x f x x F -≡应用微分中值定理，（注意到()()0,0*>'=x F x F ），知*x在ξ?与x 之间，使得()()()()()()(),***x x F x x F xF x F x f x -'=-'+=≡-ξξ可见()()(),0*>--xx x f x 即条件()*严格成立，故*lim x xnn =∞→．例4 设()nn n x c x c x x ++=>+1,011（1>c 为常数），求n n x ∞→lim ．解法一（利用压缩映射）因0>n x ，且0>x 时，0))(()1()1()('2'>-=++=x f c c x c x c x f x ，又由1>c 知111)1()()1()('022<-=-≤+-=x ，故)(1n n x f x =+为压缩映射，{}n x 收敛，在nn n x c x c x ++=+)1(1中取极限，可得c x n n =∞→lim ．法二（利用不动点）显然一切0>n x ，令()()x xc x c x f =++=1，知不动点c x =*，而f 单调增加且0)()()()1(22>-++=-+---=-++-c x x c c x c x x c cx c x cx c x x c xc x ．表明()()()0*111≥--xx x f x 成立，根据不动点方法原理c xnn =∞→lim ．注该题体现了不动点定理用于求数列极限．定理4.1.3 （不动点方法的推广）设),(y x f z =为二元函数，我们约定，将),(x x f z =的不动点，称为f 的不动点（或二元不动点），已知),(y x f z =为0,0>>y x 上定义的正连续函数，z 分别对x ，对y 单调递增，假若：（1）存在点b 是),(x x f 的不动点；（2）当且仅当b x >时有()x x f x ,>，令()()()()()ΛΛ,4,3,,0,,,21121==>==--n a a f a a a a f a a a f a n n n ，（10）则{}n a 单调有界有极限，且其极限A 是f 的不动点．证只需证明{}n a 收敛，因为这样就可在（10）式中取极限，知A 是f 的不动点，下面分两种情况进行讨论：① 若1a a ≤，由f 对x ，对y 的单增性知112),(),(a a a f a a f a =≥=，进而2111123),(),(),(a a a f a a f a a f a =≥≥=，类似：若已推得121,---≥≥n n n n a a a a ，则),4,3(),(),(2111Λ==≥=---+n a a a f a a f a n n n n n n ，如此得{}n a 单调递增．又因a a a f a ≥=),(1，按已知条件这时只能b a ≤（否则b a >按已知条件（2），应有1),(a a a f a =>，产生矛盾），进而),(),(,),(),(121a b f a a f a b b b f a a f a ≤==≤= Λ,),(b b b f =≤，用数学归纳法可得一切b a n ≤，总之n a 单调递增有上界，故{}n a 收敛．② 若a a ≤1，类似可证{}n a 单调递减有下界b ，故{}n a 收敛．注按b 的条件可知b 是f 的最大不动点，b x >时不可能再有不动点，情况②时极限b A ≥是不动点，表明此时b A =．例5 若ΛΛ,)(,,)(,)(,031312131311231311--+=+=+=>n n n a a a a a a a a a a ，试证（1）数列{}n a 为单调有界数列；（2）数列{}n a 收敛于方程313x x x +=的一个正根．证（利用定理 4.1.3）设3131)(),(y x y x f z +==，显然f 当0,0>>y x 是正值连续函数，对y x ,单增，只需证明①b ?使得),(b b f b =；②),(x x f x >当且仅当b x >① 注意到 f 的不动点，亦即是方程0313=--x x x 的根，分析函数313)(x x x x g --=，因0926)(",3113)('35322>+=--=xx x g xx x g （0>x 时），0)1(',)00('>-∞=+g g ，可知g 在（0，1）内有唯一极小点c x c >,时g x g ,0)('>严增，0)2(,0)1(><="" （即f="" ，故g="">② b x >时0)()(=>b g x g ，即),(x x f x >；事实上，在0>x 的范围也只有在b x >时才有),(x x f x >，因为0)(,0)0(==b g g ，在),0(c 上)(x g 严减，),(b c 上)(x g 严增，所以),0(b 上0)(<．证毕．<="" bdsfid="663" f="" g="" p="" x="" ，即),(x="">4．2 不动点定理在积分方程中的应用该定理在积分方程用于证明方程解的存在性、唯一性及连续性．例6 第二类Fredholm 积分方程的解，设有线性积分方程τττμ?d x t k t t x b a )(),()()(?+=，（11）其中[]b a L ,2∈?为一给定的函数，λ为参数，),(τt k 是定义在矩形区域b a b t a ≤≤≤≤τ,内的可测函数，满足+∞a b a 2),(．那么当参数λ的绝对值充分小时，方程（11）有唯一的解[]b a L x ,2∈．证令τττμ?d x t k t t Tx ba )(),()()(?+=．由 []d t d x d t k d x t k ba b a b a ba b a τττττττ222)(),()(),(≤??ττττd x dt d t k ba ba b a 22)(),(=及T 的定义可知，T 是由[]b a L ,2到其自身的映射，取μ充分小，使[]1),(2/12d t k a ba b a ττμ，于是 2/12))()()(,(),(??-??=dt ds s y s x t k Ty Tx b a b a τμρ()()2/122/12)()(),(ds s y s x dtd t k b a b ab a -≤ττμ()),(),(2/12y x dtd t k b a b aρττμ??=),(y x a ρ=故T 为压缩映射，由定理1可知，方程（11）在[]b a L ,2内存在唯一的解．注该题体现了不动点定理证明第二类Fredholm 积分方程解的存在唯一性．例7 设),(τt k 是定义在三角形区域t a b t a ≤≤≤≤τ,上的连续函数，则沃尔泰拉积分方程)()(),()(t d x t k t x t a ?τττμ+?= （12）对任何[]b a C ,∈?以及任何常数μ存在唯一的解[]b a C x ,0∈．证作[]b a C ,到自身的映射()()()()(),,:t f d x t k t Tx T ta+=?τττμ则对任意的[],,,21b a C x x ∈有 ()()()()()()()[]?-=-tad x x t k t Tx t Tx ττττμ2121,()()()t x t x a t M bt a 21max --≤≤≤μ()(),,21x x a t M ρμ-=其中M 表示),(τt k 在t a b t a ≤≤≤≤τ,上的最大值，ρ表示[]b a C ,中的距离，今用归纳法证明),()!/)(()()(21221x x n a t M t x T t x T nnnnρλ-≤- （13）当1=n 时，不等式（13）已经证明，现设当k n =时，不等式（13）成立，则当1+=k n 时，有[]ττττμd x T x T t k t x T t x T k k t a k k )()(),()()(212111-?= -++[]),()(!/2111x x ds a s k M k t a k k ρμ-?≤++[]),()!1/()(21111x x k a t M k k k ρμ+-=+++，故不等式（13）对1+=k n 也成立，从而对一切自然数n 成立．由（13）()!/)()()(m ax ),(2121n a b M t x T t x T x T x T n n nn n bt a n n -≤-=≤≤μρ ),(21x x ρ对任何给定的参数μ，总可以选取足够大的n ，使得1!/)(<-n a b M n n nμ，因此n T 满足定理3的条件，故方程在[]b a C ,中存在唯一的解．注该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在三角形区域上解的存在唯一性．例8 设),(τt k 是[][]b a b a ,,?上的连续函数，()[]b a C t f ,∈，λ是参数，方程)()(),()(t f d x t k t x b a +?=τττλ，（14）当λ充分小时对每一个取定的)(t f 有唯一解．证在[]b a C ,内规定距离)()(max ),(t y t x y x bt a -=≤≤ρ．考虑映射())(),())((t f d x t k t Tx b a +?=τττλ （15）当λ充分小时T 是[][]b a C b a C ,,→的压缩映射．因为()()()()()()()()()?-=-=≤≤≤≤ba bt a bt a d y x t k t Ty t Tx Ty Tx ττττλρ,m ax max ,τττλd t y x t k b a bt a )()(),(max -≤≤≤),(y x M ρλ?≤此处ττd t k M ba bt a ),(max ?=≤≤．故当λ1<="">[]b a C t f ,)(∈解存在唯一，任取初始值逼近，令()()()()t f d x t k t x b a+=?τττλ01,，则),(1)*,(01x x MM x x nnn ρλλρ?-≤，)(t x n 是第n 次的近似，)(*t x 是精确解．注该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在矩形区域上解的存在唯一性．例9 设[]1,0C f ∈，求出积分方程ds s x t f t x to )()()(?+=λ []()1,0∈t 的连续解．解法一据例7方程对一切λ存在唯一解[]1,0)(∈t x ，改写方程))(()(),()()(10t kx ds s x s t k t f t x =?+=λ，其中??≥<=.,1,,0),(s t s t s t k 由逐次逼近法，取0)(0=t x ，得002201,,,x k x x k x kx x nn ===Λ，则)(lim )(t x t x n n ∞→=在[]1,0C 中收敛，即为原方程之解，容易看出,,)(),()()(),()(1021Λds s f s t k t f t x t f t x ?+==λ)(1t x n +()()()∑?=+=nk k k ds s f s t k t f 11,λ，其中),,(),(1s t k s t k =du s u k u t k s t k n t n ),(),(),(10-?= )2(≥n ，从而 ??≥--<=-,,)()!1(10),(1s t s t n s t s t k n n ()()()()()()()ds s f n s t s t s t t f t x tn n n--++-+-++=--+011221!1!21λλλλΛ，故.)()()(lim )()(01ds s f et f t x t x s t t n n -+∞→?+==λλ法二令ds s x t y t)()(0?=，则)()('t x t y =，如果)(t x 满足原方程，则)(t y 必满足方程=+=0)0()()()('y t y t f t y λ （16）易知方程（16）的解为 ds s f e t y s t t )()()(0-?=λ再令 ()()()()()()?-+=+=ts t ds s f et f t y t f t x 0λλλ （17）下面证明)(t x 为原方程之解，事实上，因为()t y 满足（16），则)()()()('t x t y t f t y =+=λ 所以ds s x t y t )()(0?=，由（17）知ds s x t f t x t )()()(0?+=λ，故ds s f e t f t x s t t )()()()(0-?+=λλ为原方程的连续解．4.3 不动点定理在线性代数方程组中的应用该定理在线性代数方程组用于证明方程解的存在性、唯一性．例10 设有线性方程组()n i b x ax i nj j iji ,2,11Λ==-∑=， (18)如对每个1,1<≤∑=a ai nj ij(19)则该方程组有唯一解．证在空间n R 中定义距离()i i ni y x y x -=≤≤11max ,ρ (其中i x 与i y 分别是x 与y 的第i 分量)，则n R 按照1ρ是一个距离空间，且是完备的．在这个空间中，定义Tx y R R T nn =→,:由下式确定()∑==+=nj i j iji n i b x ay 1,,2,1Λ ，如令 ()()()()2211,y Tx y Tx==，则有()()()()()()()()()()()21112112121max max ,,j j nj ij ni iini x x a y yyyTxTx -=-==∑=≤≤≤≤ρρ()()2111max jj nj ij ni x x a -≤∑=≤≤()()∑-≤=≤≤≤≤nj ij n i j j nj a x x 11211max max由条件（19）可得()()()()()()2121,,x x a TxTx ρρ≤，即T 是压缩映射，从而它有唯一的不动点，即方程有唯一解且可用迭代法求得．上述结果可用于方程组(),,,,,21n n R x x x x b Ax ∈==Λ()()'21,,,n nn ijb b b b a A Λ==? （20）可知，当n i a aii nj,2,1,,1Λ=<∑≠=时（19）存在唯一的解x ，且用如下的Jacobi 法求出x ，将（20）改写成+----=+--+-=+---=nn n n nn n nn n nnn n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a ξξξξξξξξξξξξ000221122222221222121111112111211ΛΛΛΛΛΛΛ记=------=nn n nnn nnn n n a b ab a b b a a a a a a aa a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ2221112122222211111112000 即为b x A x +=，任取()()()(),,,,002010nRx ∈'=ξξξΛ用迭代法，令n n b x A x n n ,,2,1,1Λ=+=-，则x x n n =∞→lim ．4.4 不动点定理在微分方程中的应用该定理在微分方程用于证明方程解的存在性、唯一性．例11 考察微分方程()y x f dxdy,=，00y y x =，（21）其中()y x f ,在整个平面上连续，此外还设()y x f ,关于y 满足利普希茨（R ．Lipschtz ）条件：()(),,,,,,2'''R y y x y y k y x f y x f ∈-≤-其中0>k 为常数，那么通过点()00,y x ，微分方程（21）有一条且只有一条积分曲线．证微分方程（21）加上初值条件00 y yx =，等价于下面的积分方程()()()dt t y t f y x y xx ,00?+=．我们取0>δ，使1<δk ，在连续函数空间[]δδ+-00,x x C 内定义映射:T()()()()[]()δδ+-∈+=?000,,0x x x dt t y t f y x Ty xx ，则有()()(()()[]?-=≤-xx x x dt t y t f t y t f Ty Ty 002121,,max,δρ()()?-≤≤-xx x x dt t y t y k 0021max δ()()().,m ax 21210y y k t y t y k x t δρδδ=-≤≤-因,1<δk 由定理1，存在唯一的连续函数()[]()δδ+-∈000,x x x x y 使()()()dt t y t f y x y xx ?+=0000,，由这个等式可以看出，()x y 0是连续可微函数，且()x y y 0=就是微分方程（21）通过点()00,y x 的积分曲线，但只定义在[]δδ+-00,x x 上，考虑初值条件(),000δδ±=±x y yx 并再次应用定理1，使可将解延拓到[]δδ2,200+-x x 上，依次类推，于是可将解延拓到整个直线上．通过上文的论述，我们加深了对不动点定理的理解，了解了求不动点的方法以及相应例题的证明技巧，知道了此定理应用的广泛性，而随着理论和实践的蓬勃发展对不动点定理的研究也将不断深化，所以我们研究的脚步不能停下．。
积分第一中值定理及其应用
后再使用洛必达法则 . 但是对于此题来说，由于无法确定 f ¢(0) 是否存
在 ，因此不能直接用洛必达法则 ，但可以尝试积分第一中值定理来拓宽 思路 .
解令 x - t = u, 则
x
ò0
f
(x
- t ) dt
=
0
òx
f
(u)d (-u)
=
x
ò0
f
(t ) dt.
0
本题的函数极限是 型不定式，先使用洛必达法则，再结合积分中
思 考·探 索
积分第一中值定理及其应用
邹乐强 （河南工业和信息化职业学院基础部，河南 焦作） 摘 要：微积分学是高等数学中极其重要的一部分 . 在积分学中，最重要的理论之一就是积分中值定理，它建立了积分与被积 函数之间的联系。在这篇论文中 ，主要论述了积分第一中值定理的定义 、积分第一中值定理的推广 ，以及他们在解题上的一些应 用 ，比如证明中值点的存在性 、证明函数的单调性 ，比较定积分值大小 、估计积分值等。由此可见积分中值定理不仅有较高的理论 价值 ，在解题应用上 ，也有着优于其它解题方法的作用。 关键词：积分第一中值定理；推广应用
2.4 证明存在中值点
[ ] 例 5 设 f (x) 在 (0,1) 内 可 导 ，在 0,1 上 连 续 ， 且
ò +¥ f ( x)dx 的敛散性等同 . 1 证
ò å ò ( ) ( ) an+1
n
ak +1
f x dx =
f x dx
1
ak
k =0
¥
( ) å = f (xk ) ak+1 - ak
x®0
2.2 判别级数是否收敛
¥
å 例 3 设 f ( x) 为非负函数 ，且单调递减 ，a > 1 ，证明 f (k ) 和 k =1
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用一、不动点定理不动点定理fixed-point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。
（一）、压缩算子:1、定义： 设（1）X距离空间；（2）算子:T X X →的映射。
若(01),..,s t x y X θθ∃≤<∀∈，恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤， 则称T 是X 上的压缩算子。
θ为压缩系数。
2、性质：压缩算子T 是连续的 证 ：若nx x →，即(,)0n x x ρ→，则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→例：11:T R R →，则 ①12Tx x =是压缩算子因为1111(,)(,),2222Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=-==②0Tx x =是压缩算子（0θ= ） ③Tx x =不是压缩算子（1θ= ）（二）、不动点定理1、定义：设（1）X ---- 是完备的距离空间；（2）:T X X →的压缩算子。
则T 在X 上存在唯一的不动点*x ，即***,..x X s t x Tx ∃∈=2、注意（1）定理的证明过程就是求不动点的方法，称为构造性的证明。
（2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。
（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。
但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。
初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。
（4）误差估计①事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。
此方法有时理论上分析困难。
设迭代到第n 步，将*n xx ≈，则误差估计式为*0010(,)(,)(,)11n nn x x Tx x x x θθρρρθθ≤=--②事后（或后验）误差：计算到第n 步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取*n x x ≈。
积分第一中值定理的改进及其应用1.1pdf
C
! " *
在! # J f g "内是严格单调减函数 ) 注& 在文献 $ %仅证明了 5! "是一般的单调函数 # 这里我们将得到更强的结论 & "是严格单调减函数 ) % W 5! W 证明 ! 当 W @ J时有 ! "a h W !!!!!!!!!5
W % !" % !"I LW $ ! LIR ! " J W$J W$J
1
C
(
则必存在某区间 ! ) # 使得在 ! 有 I! )" )"H "# (# 1 )"H " (# (# @! I! )"I ( )"内 # 证明 ! 由于 ’! 不妨假定 ’! 则存在点) ) # 使得 # 考虑到@! 在) )" P ) 5"# )" P ) @"# (# 1 ) )" (# " . ( "" " . ( @! @"# ( (
U U
! " &
C
J
! " 则至少存在两点 W # # "# 使得 W L W R Wa"# W .! J U C
% ! J
! ! L W W aL a") %" !" 证 明 !! 采用反证法 " 若不然 # 则在区间 ! # " 内必存在唯一点 W 使得 L ! ! 因为方程L ! " # " 内至少 J U W W J U a" a" 在 ! %# %"
% ! 积分第一中值定理的改进及其证明
我们现将在条件不变的情况下 # 对积分第一中值定理的结论进行改进和加强 # 把上述定理 % *和定理 ! *分别修改 为 如 下的定理 % 和定理 !" 定理 %! 若函数 5! )上连续 # 则至少存在一点" . ! " # 使得 )"在闭区间 ( (# 1 (# 1
积分第一中值定理的改进及其应用1.1pdf
C
J
U
! "F ! " L W R W ) % J
C
综上可知定理 ! 获证 )
! ! 改进后积分第一中值定理的应用
我 们利用改进的积分中值定理 ! 定理%和定理! " # 可以比较方便地证明一些利用原积分中值定理不易或不能证明的问 题) 例 % ! 设L ! "在 $ # 严格 "单调减函数 # 试证明 W J f g "上连续且为 ! "a W !!!!!!!!!5! % U !" LIR I W$J J
文章编号 ! " # % ’ * %$+ % ! * ! " " # " ’$" " ! !$" (
积分第一中值定理的改进及其应用
王红军 ! 李钓涛
! 河南师范大学 数学与信息科学学院 #河南 新乡 # " ( " " * 摘 ! 要! 对积分第一中值定理在完全相同的条件下进行了改进和加 强 # 并给出了应用举例" 可以看出改进 更有效 " 后定理的应用更广泛 $ 关键词 ! 积分第一中值定理 % 闭区间 % 连续函数 % 介值定理 中图分类号 ! " % * !" !!!!!!! 文献标识码 ! .
+! !+
1
1
" H! )" )" P ) . 5! )" P ) !!!!!!!!!!!! 5! H! "
C
(
C
(
! " !
显然在 ! "式中若令 H! "式 # 所以我们下面只需证明定理 !" ! )"H % 便可得 ! % 证明 !不妨设 H! %" 由于 5! %上连续 # 从而必存在最小值 ’ 和最大值 ! " 这时 )"< "# ). $ (# 1 )"在 $ (# 1 ! " ! " ! " ! " ) ) ) ! ) !!!!!!!!!!!!!!’ H &5 H & H 从而 !!!!!!!!!!!’ H! )" P ) & 5! )" )" P ) & ! H! )" P ) H!
关于积分第一中值定理的证明和推广
关于积分第一中值定理的证明和推广
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
徐秋丽， XU Qiu-li 廊坊师范学院数学系,河北廊坊,065000
长春师范学院学报（自然科学版） JOURNAL OF CHANGCHUN TEACHERS COLLEGE（NATURAL SCIENCE） 2005，24(1) 1次
B中图分类号CF#G!,! B文献标识码CH
B文章编号C#&&IJ#GIK $!&&’%&#J&&&GJ&!
#,积 分 第 一 中 值 定 理 的 证 明
在文 中 B#C 给出了积分第一中值定理及其 证 明@此 定 理 主 要 是 利 用 连 续 函 数 在 闭 区 间 上 的 性 质 及 介
值定理来证明的@下面将借助辅助函数将问题转化为罗尔中值定理的情形对 积分第 一中 值定理 给出了
a7$S!%J7$S#%aQa$S!JS#%J$M$S!%J M$S#%%a[$#Jc%aS!JS#a 从而 7是B2@NC到自身的压缩映象@由 d21295不动点原理@存在唯一一点 OZB2@NC@使得 7OQO@
X
M$;%T;
X
P P 即 M$O%Q
Y
NJ
2
@从 而 Q
M$;%T;Q M$O%$NJ2%
Y
B收 稿 日 期 C!&&"e #&e #! B作者简介C徐秋丽$#fGGJ %@女@黑龙江青冈人@廊坊师范学院数学系助教@哈尔滨师范大学硕士研究生@从事基础数学研究D
g Gg
!"积 分 第 一 中 值 定 理 的 几 个 推 广
数学中不动点理论及其应用分析
数学中不动点理论及其应用分析不动点理论是数学中一个重要的概念和工具，被广泛应用于不同的学科和领域，例如动力系统、函数方程、微分方程、经济学等。
本文将对不动点理论进行详细分析，并探讨其在数学中的应用。
不动点是指一个函数中的某个点，在施加函数变换后，其值保持不变。
即对于函数f(x)，若存在x使得f(x) = x，则x即为f的不动点。
不动点理论主要关注寻找函数的不动点，并研究其性质和存在条件。
在数学分析中，不动点理论由Banach不动点定理和Brouwer不动点定理两大支柱构成。
Banach不动点定理也被称为压缩映射原理，它是20世纪最重要的数学发现之一，为数学中不动点理论的研究奠定了基础。
Banach不动点定理的核心思想是基于完备度的概念。
如果在某个度量空间中，存在一个压缩映射，即满足d(f(x), f(y)) ≤ q · d(x, y)(0＜q＜1)，其中d(x, y)代表x和y之间的距离，则这个压缩映射必有一个不动点。
换句话说，如果将一个空间的点映射到自身，并且映射过程中距离会不断缩小，那么必然存在一个点保持不变，这个点即为不动点。
Brouwer不动点定理则更加普遍，它适用于拓扑空间中的紧集合。
该定理表明，任何连续映射都至少有一个不动点。
虽然定理的证明相对复杂，但其结论确实深刻而重要。
不动点理论在数学的各个领域都有广泛的应用。
其中，动力系统是其中之一。
动力系统研究的是在时间推移下，系统如何演化的数学模型。
通过不动点理论，我们可以确定系统演化的稳定状态，即系统的不动点。
不动点的稳定性分析在动力系统研究中起着至关重要的作用。
不动点理论还被应用于函数方程和微分方程的研究。
对于给定的方程，通过找到方程的不动点，可以解决方程的存在性及唯一性问题。
这对于数学建模和分析具有重要意义。
此外，不动点理论还在经济学、物理学等学科中有广泛的应用。
在经济学中，通过构建经济模型的不动点，可以研究经济系统的平衡状态和稳定性。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用一、不动点定理不动点定理fixed —point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。
（一）、压缩算子:1、定义： 设（1)X距离空间；（2）算子:T X X →的映射。
若(01),..,s t x y X θθ∃≤<∀∈，恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤， 则称T 是X 上的压缩算子.θ为压缩系数.2、性质：压缩算子T 是连续的 证 ：若nx x →，即(,)0n x x ρ→，则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→例:11:T R R →，则 ①12Tx x =是压缩算子因为1111(,)(,),2222Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=-==②0Tx x =是压缩算子（0θ= ） ③Tx x =不是压缩算子（1θ= )（二）、不动点定理1、定义：设（1）X --—— 是完备的距离空间；（2):T X X →的压缩算子.则T 在X 上存在唯一的不动点*x ，即***,..x X s t x Tx ∃∈=2、注意（1）定理的证明过程就是求不动点的方法,称为构造性的证明. （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。
（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。
但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。
初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。
（4）误差估计①事前(或先验）误差:根据预先给出的精确度,确定计算步数。
此方法有时理论上分析困难。
设迭代到第n 步，将*n xx ≈，则误差估计式为*0010(,)(,)(,)11n nn x x Tx x x x θθρρρθθ≤=--②事后(或后验）误差：计算到第n 步后,估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取*n x x ≈。
积分中值定理的原理和应用
积分中值定理的原理和应用1. 积分中值定理的原理积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在某个区间上的平均值与该函数在同一区间上的某个点的函数值之间的关系。
具体而言，积分中值定理表述如下：定理 1（积分中值定理）:若f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，并且F(x)是f(x)的一个原函数，则存在 $c \\in (a,b)$，使得：$$\\int_a^b f(x)dx = (b-a)F(c)$$其中，$\\int_a^b f(x)dx$ 表示函数f(x)在闭区间[a,b]上的积分，(b−a)表示区间[a,b]的长度。
从定理 1 可以看出，对于具有原函数的连续函数来说，其在某个区间上的积分值与此函数在该区间上的某个点函数值成正比。
2. 积分中值定理的应用积分中值定理是微积分中很常用的工具之一，它在数学和科学的各个领域都有重要的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
2.1 函数平均值的计算根据积分中值定理，我们可以计算函数f(x)在区间[a,b]上的平均值。
根据定理 1，可以得到：$$\\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)dx = F(c)$$其中F(c)为函数f(x)在区间[a,b]上某个点的函数值。
因此，可以通过求函数f(x)在区间[a,b]上的积分来计算函数的平均值。
2.2 曲线长度的计算另一个应用积分中值定理的例子是计算曲线的长度。
设有一条曲线C，其方程为y=f(x)，其中f(x)在闭区间[a,b]上连续并具有连续的导数。
我们可以将曲线划分成若干小段，然后计算每个小段的长度，再将所有小段长度相加即可得到整条曲线的长度。
如果我们设 $\\Delta x$ 为小段的长度，根据微积分的概念，可以得到：$$\\Delta L = \\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \\Delta x$$其中f′(x)表示f(x)的导数。
由积分中值定理可知，存在 $c \\in (a,b)$，使得：$$\\int_a^b \\sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx = (b-a)\\sqrt{1 + [f'(c)]^2}$$这样，我们就可以通过计算积分来求得整条曲线的长度。
不动点定理及应用毕业论文
不动点定理及应用毕业论文不动点定理是数学中的一个重要定理，它在很多领域中有着广泛的应用。
本文将介绍不动点定理的概念、证明及其在不同领域中的应用，并分析其对毕业论文的可能帮助。
不动点定理是由德国数学家孟德尔逊（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）于1913年提出的。
它是一个关于映射的定理，指出在某些特定条件下，一个映射必然存在一个不动点。
所谓不动点，即是在映射下保持自身不变的点。
具体来说，对于一个映射f(x)，若存在一个x使得f(x) = x，那么x就是f的一个不动点。
下面我们给出不动点定理的详细证明。
首先，假设f是一个定义在[a, b]区间上的连续函数，并且满足f(a) >= a及f(b) <= b这两个条件。
根据这个假设，我们可以构造一个数列x0, x1, x2, ...，其中x0 = a,x1 = f(x0), x2 = f(x1)，以此类推，我们可以得到xn = f(xn-1)。
根据归纳法，我们可以证明这个数列是一个单调递增的数列，并且有一个上界b。
根据实数完备性定理，我们可以知道这个数列收敛到一个值x。
由于f是一个连续函数，我们可以计算出f(x) = x，即x就是f的一个不动点。
因此，根据孟德尔逊不动点定理的证明，我们可以得出在一定条件下，存在一个不动点。
不动点定理在实际问题中有着广泛的应用。
首先，它在函数逼近问题中起到重要作用。
对于一个复杂函数，如果我们可以构造一个映射将其逼近到一个简单的不动点，这样对于问题的求解会更加简便。
例如，在数值计算中，我们可以使用迭代法求解方程f(x) = x的根，这就是通过不动点定理将方程的求解转化为对应映射的不动点求解。
另外，在优化问题中，不动点定理也可以用来找到函数极小值的点。
其次，不动点定理在经济学和博弈论中也有着重要应用。
例如，在经济学中，通常会遇到某个映射代表市场供求关系或者经济变量之间的关系。
通过不动点定理，我们可以找到这个映射的不动点，从而分析经济系统的稳定状态。
积分第一中值定理应用
积分第一中值定理应用
条件：连续，或有有限个间断点，有界。
若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，则在积分区间（a，b）上至少存在一个点ξ，使∫（b，a）f（x）dx=f（ξ）（b-a）成立。
其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b。
对于积分中值定理的第一个证明，也可以增加一些步骤，使得结论在（a，b）上成立。
但是对于这本书来说，因为有了第二个证明，书的严谨性和完整性已经具备了，所以第一
个证明只写了较弱的结论。
分数发展的动力源自实际应用领域中的市场需求。
实际操作中，有时候可以用粗略的
方式展开估计一些未知量，但随着科技的发展，很多时候须要晓得准确的数值。
建议直观
几何形体的面积或体积，可以套用未知的公式。
比如说一个长方体状的游泳池的容积可以
松省×阔×高求出来。
但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。
物理
学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这
时也需要用到积分。
拉格朗日中值定理 不动点 关系
拉格朗日中值定理不动点关系嘿，朋友们！咱们今天来聊聊拉格朗日中值定理和不动点，这俩看似高深莫测的家伙，其实也没那么可怕。
先来说说拉格朗日中值定理，这就好比你在一条蜿蜒的山路上开车。
你从起点出发，到了终点，那在这中间的某个地方，车子的速度就一定有那么一刻正好等于整个行程的平均速度。
这难道不神奇吗？就像你走在人生的道路上，总有那么一个时刻，你的进步速度恰好等于你一段时间以来的平均进步速度。
那不动点又是什么呢？想象一下，你有一面神奇的镜子，当你站在镜子前，镜子里的像和你本人重合的那个点，就是不动点。
是不是有点玄乎？其实在数学里，不动点就是一个函数，经过一系列操作后，某个值始终不变，就像一个坚守阵地的战士，不管风吹雨打，就是不动摇。
那拉格朗日中值定理和不动点有啥关系呢？这就好比是两个性格不同但又相互关联的朋友。
拉格朗日中值定理能帮助我们找到函数在某一段区间内的变化情况，而不动点则是函数中那个稳定的存在。
比如说，在研究一些复杂的函数变化时，拉格朗日中值定理就像是一盏明灯，给我们指引方向。
而当我们想要找到那个不变的核心，不动点就跳出来发挥作用啦。
你看，数学世界里的这些概念，就像我们生活中的各种角色。
拉格朗日中值定理像是那个勇敢的探险家，带着我们在函数的世界里冒险；不动点则像是那个安静的守护者，坚守着函数的某些秘密。
咱们再深入想想，如果没有拉格朗日中值定理，那很多函数的性质我们怎么能搞清楚呢？那不就像在黑暗中摸索，找不到方向？而没有不动点，我们又怎么能找到函数中那些稳定的因素，就像在大海中没有灯塔，迷失方向。
所以说，拉格朗日中值定理和不动点，它们可是数学世界里的好伙伴，相互配合，为我们揭示函数的奥秘。
咱们可不能小瞧了它们，得好好琢磨，才能在数学的海洋里畅游啊！总之，拉格朗日中值定理和不动点，虽然看似抽象，但只要我们用心去理解，就会发现它们就像我们身边的朋友，一直在帮助我们探索数学的奇妙世界。
【豆丁推荐】-不动点理论在解一类积分方程中的应用
-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆 丁 推 荐↓精 品 文 档The Best Literature----------------------------------The Best Literature不动点理论在解一类积分方程中的应用霍玉洪1，韩仁基2（1.淮南师范学院数学与计算科学系，安徽淮南232001；2.安徽大学数学与计算科学学院，安徽合肥230039）[摘要]利用不动点定理研究一类非线性积分方程x(t)-λ∫Gk(t，s，x（s）)ds=φ（t）的解的存在与唯一性问题[1]。
[关键词]不动点；积分方程；压缩映射[中图分类号]O177.2[文献标识码]A[文章编号]1009-9530（2008）05-0003-021引言不动点理论是泛函分析的重要研究课题之一，在微分方程、非线性分析、数理经济学等学科中都有许多重要应用。
把一些方程的求解问题化为求映射的不动点，以及用逐次逼近法来求不动点，1922年，S.Banach给出了依赖于空间所用的度量的Ba-nach压缩映象原理[2]，近年来，对于不动点问题的研究已经引起了人们的极大关注。
文献[4]中利用Altman不动点定理获得了一类非线性积分方程准（x）=∫Gk（x，y，准（y））dy（G奂R n）（1）（其中G为R n中的有界闭集）连续解存在的充分条件,但所得结果不易验证。
本文利用Banach不动点定理研究了如下一类非线性积分方程x(t)-λ∫Gk(t，s，x（s）)ds=φ（t）（G奂R n）（2）（其中G为R n中的有界闭集，φ∈C（G），K（t，s，ω）是G×G×R→R上的连续函数）解的存在与唯一性问题，并获得了一个简单的判据且所得结果易于验证。
2预备知识为了更好地研究（2）的解的存在与唯一性问题，我们引进有关不动点的2个定理。
不动点原理及应用 毕业论文.
不动点原理及应用院－系：数学学院专业：数学与应用数学年级：学生姓名：学号：导师及职称：200 年5月The Principle and Application of Immovable point Department:Mathematics and Applied MathematicsGrade:Student’s Name:Student No.:Tutor:摘要：介绍了banach不动点原理即压缩影射原理，及其在求一些数列极限、方程近似解中的应用；然后讲述了不动点原理在微分方程、积分方程解的存在性、和唯一性方面的重要应用即逐次逼近法；再讲述不动点原理在线性方程组方面的应用；简述不动点原理在积分中值定理、隐函数存在定理方面的应用。
关键词：Banach不动点原理；压缩影射；应用。
The Principle and Application of Immovable pointAbstract: The banach fixed point compression insinuate that the principle of principle, and for some of the series limit, equations approximate solution of and then on a fixed point in the principle of differential equations, integral equations of the existence of, and uniqueness of The important applications that successive approximation method; again on the fixed point of principle-the application of equations; briefly fixed point principle in the integral value theorem, the implicit function theorem the application.Key words: Banach fixed point principle; compression insinuate; application.目录第一章引入……………………………………1 前言……………………2 预备知识…………………………第二章不动点的应用1“不动点原理”在数列极限中的应用……………………2“不动点原理”在求方程近似解中的应用………………………………3“不动点原理”在积分方程的应用………………………………4不动点定理在常微分方程中的应用………………………………5不动点在解线性方程组方面的应用………………………………6“不动点原理”在积分第一中值定理的应用………………………………7“不动点原理”在隐函数存在定理的应用………………………………第三章结论…………………………参考文献……………………致谢……………………第一章 引入1 前言我在这篇文章主要是归纳不动点原理的应用，别人做的只是用不动点原理在某一方面的应用，而我是在他们的基础上归纳综述。
积分第一中值定理
积分第一中值定理《积分第一中值定理》是一个重要且有趣的数学定理，它具有实用价值，能够帮助人们解决许多日常应用问题。
该定理关于求解某积分的计算原理，可以帮助人们以最有效的方式计算某函数的定积分。
简称第一中值定理，是指在一个积分的范围内，只要采用积分的第一中值作为积分的分隔点，即可以将积分的范围分为两个子区间，并将原积分分解为两个子积分；另外，在两个子区间中找到第二中值，反复进行这一步骤，可以将原来的积分分解为多个小积分，而每个小积分的解可通过简单的方法求出，并相加得到整个积分的结果。
积分第一中值定理的应用非常广泛，从解决各种积分的方法上来看，积分第一中值定理可以作为最重要的一种解法，以其有效的方法求解各种积分，在数学计算中得到广泛应用，尤其在求解复杂函数积分时，第一中值定理发挥了其独特的优势。
首先，为了更好地理解积分第一中值定理，让我们从简单的例子说起。
假设在[a，b]区间内求函数f(x)的定积分，则可以将区间[a，b]按第一中值点c分解为[a，c]和[c，b]两个子区间。
细心的人可能发现，如果将[a，b]的第一中值点c作为分解点，可以将定积分分解为积分f(x)dx的两部分，分别是[a，c]区间内的积分为F1和[c，b]区间内的积分为F2。
此时，利用积分第一中值定理，F(a,b)=F1+F2，即可以求得F(a,b)，从而完成定积分的计算。
积分第一中值定理的另一方面，它可以帮助理解函数的性质，特别是函数的连续性、单调性及极值点的位置。
例如，通过一阶导数的值，可以判断函数的单调性；同时，通过积分的结果，可以判断函数的极大值、极小值等。
总之，积分第一中值定理在数学中具有重要的应用，可以用来解决各类定积分问题，并且能够帮助人们更好地理解函数的性质。
另外，积分第一中值定理也可以用来解决一些实际应用问题，例如机械工程中的圆弧曲线拟合、航空空气动力学中的热力学和动力学流体模型建模及控制、热传导中的热量散发模型等等。
积分第一中分定理
积分第一中分定理积分第一中值定理是微积分中的重要定理之一，它与积分和导数之间的关系密切相关。
该定理为我们提供了一种有效的方法来计算函数的平均值。
在本文中，我们将详细介绍积分第一中值定理的基本概念、原理以及应用。
让我们来了解一下积分第一中值定理的背景和基本概念。
积分第一中值定理是微积分中的一个基本定理，它与定积分和原函数之间的关系密切相关。
该定理表明，如果函数在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得函数在点c处的导数等于函数在闭区间[a, b]上的平均值。
接下来，让我们来理解积分第一中值定理的原理。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导。
根据极限的定义，我们可以选择一个区间[a, b]内的分点x0，使得函数的导数f'(x)在点x0的邻域内连续。
根据导数的定义，我们知道函数在点x0处的导数f'(x0)等于函数在闭区间[a, b]上的平均值。
因此，我们可以得出结论，在闭区间[a, b]上，存在一个点c ∈ (a, b)，使得函数在点c处的导数等于函数在闭区间[a, b]上的平均值。
积分第一中值定理的应用非常广泛。
例如，我们可以使用积分第一中值定理来计算函数在闭区间[a, b]上的平均值。
具体来说，我们可以通过求函数在闭区间[a, b]上的原函数的差值，再除以闭区间[a, b]的长度，来计算函数在闭区间[a, b]上的平均值。
这种方法可以将一个复杂的积分问题转化为一个简单的导数问题，从而简化计算过程。
除了计算函数的平均值，积分第一中值定理还可以用于证明其他数学定理。
例如，我们可以使用积分第一中值定理来证明函数的单调性、极值以及零点的存在性。
通过将函数的导数和原函数联系起来，我们可以得出一系列重要的结论，从而深入理解函数的性质和行为。
总结起来，积分第一中值定理是微积分中的重要定理之一，它与积分和导数之间的关系密切相关。
积分第一中值定理的推广研究
积分第一中值定理的推广研究积分第一中值定理是微积分学中的一个基本定理，它建立了函数在一定区间内的平均值与某一点的关系。
根据第一中值定理，对于区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$，存在$c\in[a,b]$，使得$$\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$$其中 $f(c)$ 表示 $f(x)$ 在$[a,b]$ 中的平均值。
在实际应用中，有许多特殊情况需要对积分第一中值定理进行推广研究，以适应更复杂的情形。
下面我们将介绍一些常见的推广形式。
1. 有界函数的积分中值定理对于区间 $[a,b]$ 上的有界函数 $f(x)$，仍然存在 $c\in[a,b]$，使得$$\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$$证明如下：设 $M$ 和 $m$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，即$$m\leq f(x) \leq M \quad (a\leq x \leq b)$$则$$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$$因此$$m\leq \frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}\leq M$$由有界函数的最小上界公理，$\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}$ 存在最小上界和最大下界 $m'$ 和 $M'$，满足$$m\leq m' \leq \frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}\leq M'\leq M$$则对于 $m'$ 和 $M'$，存在 $c_1\in[a,b]$ 和 $c_2\in[a,b]$，使得$$f(c_1)=m', \qquad f(c_2)=M'$$则由连续函数的介值定理可知，存在 $c\in[a,b]$，使得$$m'\leq f(c) \leq M'$$因此$$\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$$对于曲线 $C$ 上的连续函数 $f(x,y)$，设弧长参数为 $s$，切向量为 $\vec{T}$，则存在 $s_1$ 和 $s_2$，使得$$\int_C f(x,y)ds=f(s_2)-f(s_1)$$其中 $f(s)$ 表示$f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上的平均值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
要 由以下两个 定 理组成 。
定理 １’ （ 分第 一 中值定理 ） ｌ 积 ｊ 若 ， － 在 ［ ， ］ 连续 ， 在 ［ ｂ 中至少存 ’ ） ａ ｂ上 （ ｚ 则 ａ， ］
在一 点 ， 使得
ｒ ｂ
２ 预 备 知 识
定义 １ 设 厂 －） ［ ｂ 上 有 定 义 ， 称 方 （ 在 ａ， ］ ｚ 则 程 ｆ －） ｚ在 ［ ｂ 上 的 解 为 ｆ（ ） ［ ｂ 上 （ ＝－ ｚ ａ， ］ － 在 ａ， ］ ｚ
关键词 ： 分 第一 中值 定理 ；压缩 映照 ；不 动点定 理 积 中 图分 类号 ： ７ Ｏ １７ 文献标 志码 ： Ａ
Ａｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｏ ｘ ｄ ＰｏｉｔＴｈ ｒ ｍ ｏ Ｆｉ ｔ Ｉｔ ｇｒ ｌ ｐ ｔｏ ｆＦｉ ｅ ｉ ｃ ｎ ｅｏ ｅ ｔ ｒ ｎ ｅ ａ ｓ
Ａｂ ｔａｃ ： Ｓ ｍ ｅ ｒ ｓ ｌｓｏ ｈ ｉｓ ｎｔｇｒ ｌｍ ｅ ｎ ｖ ｌ ｅｔ ｅ ｅ ｗｅ ｅｐｒ ｖ ｄ．Ｗ ｉｈ ｔ ｅａ ｄ ｔｏ ａ ｏ ｄｉｉｎ ｏ ｓ ｒ ｔ ｏ ｅ ｕ ｔ ｆｔ ｅ ｆｒ ｔｉ ｅ ａ ａ ａ ｕ ｈ ｏｒ ｍ ｒ ｏ ｅ ｔ ｈ ｄ ｉｉｎ ｌｃ ｎ ｔｏ ｆ
摘 要 ：利 用不动 点定理证 明 了积分 第一 中值 定理 的有 关结论 。在加 强一 个条件 ０ ｋ －） ＜ ＜ｆ （ ＜ ｚ １ 情况 下 ， 的 通过 构造 闭 区间［ ｂ 上 的一 个 压 缩 映照 Ｔ（ ） 证 明 了积分 第一 中值 定 理 中的 ａ， ］ － ， ｚ
是唯一 的 。
ｍａｐｎ Ｉ） ｎｔｅ［ ｂ ． ｐ ｉｇＴ（ ｏ ｈ ａ， ］ ｚ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｆｒ ｔｉ ｔ ｇ ａ ａ ａ ｕ ｈ ｏ ｅ ；ｃ ｎ ｒ ｃ ｉｎ ｍａ ｐ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ｉｓ ｎ ｅ ｒ ｌｍｅ ｎ ｖ ｌ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍ ｏ ｔａ ｔｏ ｐ ｉ ｇ；ｆｘｅ ｏ ｎ ｈ ｏ ｅ ｉ ｄ ｐ ｉ ｔｔ ｅ ｒ ｍ
２ Ｖｏ ａｉ ａ ａ ｄＴｅｈ ｉ ｌ ｏｌ ｅ ｈ ｎ ｈ ｉ ｉ ｒ ｔ ｆ ｎ ｉｅｒ ｇ Ｓ ｉ ｃ ， ｈ ｎ ｈ ｉ ０ ４ ７ ｈｎ ） ． ｃｔ ｎ ｌ ｎ ｃ ｎｃ ｌ ｇ ，Ｓ ａ ｇ ａ Ｕｎｖ ｓ ｙｏ ｇｎ ｅｉ ｃ ｎ ｅ Ｓ ａ ｇ ａ ２ ０ ３ ，Ｃ ｉａ ｏ ａＣ ｅ ｅｉ Ｅ ｎ ｅ
Ｍ ｅ ｎ Ｖａｌｅ Ｔｈ ｒ ｍ ａ ｅｏ ｅ ｕ
ＸＩ ｉ ｇ ， Ｉ ｉ ａ Ｚ ＡＮＧ Ｚｈ ｕ ＡＯ Ｘａ Ｌ Ｕ Ｒｕ ｎ ， Ｈ ｎ ｊ ｕ ｉ ｏ
（ ． ｌ ｇ ｆＦｕ ｄ ｍｅ ａ ｔ ｄ ｅ ，Ｓｈ ｎ ｈ ｉＵｎｖ ｒ ｉｙ ｏ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ Ｓ ｉｎ ｅ １ ｉ ｅＯ ｎ ａ ｎｔｌＳ ｕ ｉｓ ｅ பைடு நூலகம்ｇ ａ ｉｅ ｓｔ ｆ Ｅｎ ｉ ｅ ｒ ｃ ｅ ｃ ，Ｓｈ ｎ ｈ ｉ ０１ ２ ｎ ａ ｇ ａ ２ ６ ０，Ｃｈ ｎ ； ｉ ａ
引 理 １ 设 ｆ（ ） ［ ｂ］ 连 续 ， ［ ｂ］ 在 ａ， 上 在 ａ， 内
若 ＿ － 和 ｇ ｘ 在 ［ ｂ 上连续 ， ｇ ｘ 在［ ， ，ｚ ’ ） （ ） ｎ， ］ （ 且 （ ） ｎ
ｂ 上不变号 ， ］ 则在 ［ ， ］ ａ ｂ 中至少存在一点 ， 使得
ｒｂ ｒｂ
Ｊｎ ２ ０ ｕ ０ ８
文章 编 号 ：１ ０ ０ ９—４ ４ ２ ０ ） ２ ４ Ｘ（ ０ ８ ０ 一叭 ８ ０—０ ２
不 动 点 定 理 在 积 分 第 一 中值 定 理 中 的 应 用
肖 翔 ，刘 瑞 娟 ，张子 厚。
（ ． 海 工 程 技 术 大学 基 础 教 学 学 院 ，上 海 ２ １２ ；２ 上 海 工程 技 术 大学 高 等 职 业技 术 学 院 ，上 海 ２ ０ ３ ） １上 ０６０ ． ０ ４ ７
的不动 点 。
Ｉ，－ ｄ ＿ ｚ ｘ＝ ｆ ）ｂ—ｎ ’ ） （ （ （ ）
√ ｎ
定 理 ２１ （ 广 的积分第 一 中值定理 ） … 推
定 义 ２ 若 存在 一个 常数 ｋ， ０ ｋ 且 ≤ ＜１ 使得 ， 任意 － Ｙ ａ， ］ 有 ｌ （ ） ｚ， ∈［ ｂ ， － 一ｆ Ｙ ｌ ｋｌ —Ｙｌ ｆ ｚ （ ） ≤ － ｚ 成立 ， 则称 ｆ ｚ） ［ ｂ 上 的一个 压缩 映照 。 （ 是 ａ， ］
上述定理 中满足等式的 称 为中值 点 ， 对于中值
１ 概 述
积 分 第 一 中值 定 理 是 积 分 学 中 的 重 要 定 理 ， 主
点 的性质有很多研究成果 ， 参见文献 ［ ，］而本文 ２３ ， 的主要结论是在加强一个条件下 ， 用不动 点定 理证明
了中值点 是唯一 的。
Ｉ （ ）（）ｘ＝ｆ ｌ （ ）ｘ ｘ ｇｘｄ ｆ （）ｇｘ ｄ
可导 ， 且存 在常 数 ｋ满足 ：≤ ｋ＜１ 对 于 任 意 的 － ０ ， ｚ
收 稿 日期 ： ０ ８—０ ２０ ２—２ １
０＜ ｋ＜ｆ （ ＜ １ ｉ ｓ ｏ ｈ ｔｔ ｅｕ ｉｕ Ｉ ｚ） ，ｔ ｈ ｗｓｔ ａ ｈ ｎｑ ｅ∈ｓ ｔ ｆ ｓｔ ｅｆ ｓ ｉ ｔｇ ａ ａ ａｕ ｈ ｏ ｅ ｂ ｈ ｏ ｔａ ｔ ｎ ａｉ ｉ ｈ ｉ ｔ ｎ ｅ ｒｌ ｓｅ ｒ ｍｅ ｎｖ ｌｅｔ ｅ ｒ ｍ ｙｔ ｅｃ ｎ ｒｃｉ ｏ
维普资讯
第２ ２卷 第 ２期
２０ ０ ８年 ６月
上
海
工
程
技
术
大
学
学
报
Ｖ Ｏ ２ ＮＯ． ｌ２ ２
Ｊ ＯＵＲ ＬＯＦＳ ＮＧ ＮＡ ＨＡ ＨＡＩ ＵＮＩ ＥＲ Ｉ Ｙ ＯＦＥ Ｖ ＳＴ ＮＧＩ Ｅ Ｉ Ｃ Ｅ Ｃ ＮＥ Ｒ ＮＧ Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ