内蒙古包头市高三数学第四次模拟考试试题 理

内蒙古包头市2017届高三数学第四次模拟考试试题 理一.选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1.设i 为虚数单位，若()i1ia z a R -=∈+是纯虚数，则a 的值是 A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 2.设全集U ＝R ，集合2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，， 则图中阴影部分所表示的集合为A. {}|13x x ≤-≥或xB. {}|13x x <≥或x C.{|1}x x ≤ D. {|1}x x ≤- 3. 已知F 是抛物线24y x =的焦点，过点F 且斜率为的直线交抛物线于A ， B 两点，则22||FA FB -的值为A. 283B. 1289 D. 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球的表面积为 A.B.C.D.5.我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》 中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法 求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的 是A .5432222221+++++ B.5432222225+++++ C.654322222221++++++ D.43222221++++6. 已知等比数列{}n a 的公比0q >，2211,6n n n a a a a ++=+=，则{}n a 的前4项和4S = A ．152 B ．152- C. 15 D ．30A7. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a的值是A. 0B. 1C. 1±D. 1-8．已知函数()sin cos f x a x b x =+（x R ∈），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 3x =，则点(),a b 所在的直线为A ．30x y -=B ．30x y +=C ．30x y -=D ．30x y +=9．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是 A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π 10.动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A Py 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是A . B. C. D. 11.2017年高考前第二次适应性训练结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布()2~95,8N 的密度曲线非常拟和，据此估计:在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2 名同学的英语成绩超过95分的概率是A ．16 B ．13 C.12D ．38 12. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是 A.(],1-∞B.1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C.[)1,+∞D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦BD二.填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分).错误！未找到引用源。

13. 已知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值 是 ．14.过定点M 的直线：120kx y k -+-=与圆：()()22159x y ++-=相切于点N ，则MN = . 15.在中，,若为内一点，且满足，则的值是 .16.如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=，30ADB ∠=，1BC =，2DC =，1cos 4BCD ∠=， 则三角形ABD 的面积为___三.解答题（共70分，把每题的解答过程填在答卷纸的相应位置）. 17. （本小题满分12分）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项和公差均为12的等差数列.（Ⅰ）.求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）.若222112n n n n n a a b a a +++++=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .18. （本小题满分12分）.大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：（Ⅰ）.设表示在这块地种植此水果一季的利润，求的分布列及期望； （Ⅱ）.在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．19. （本小题满分12分如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，四边形11B C CB 为矩形，过1A C 做与直线1BC 平行的平面1A CD 交AB 于点D ． （Ⅰ）.证明：CD AB ⊥；（Ⅱ）.若1AA 与底面111A B C 所成角为60o ，求二面角11B A C C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若圆22:1O x y +=的切线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，求OM 的最大值．21．（本小题满分12分）.已知函数2()e x f x x x =+-， 2(),g x x ax b =++,a b ÎR ．（Ⅰ）.当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）.若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单位长度，已知直线l 的参数方程为12(2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数), 圆C 的极坐标方程为2ρ=.（Ⅰ）.写出直线l 的一般方程及圆C 标准方程；（Ⅱ）.设()1,1P - ，直线l 和圆C 相交于,A B 两点，求PA PB -的值.BC 1ACA 1B 1D23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()()R f x x a a =-∈. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()11133x f x -+≥； （Ⅱ）若不等式()1133x f x x -+≤的解集包含11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.校四模理数答案一．选择题 CDBBA ， DBAAC ， DD二．1三．17. 解：(1)易知()2111111,122222n n S n n S n n n =+-=∴=++，当1n =时，1222n S a ==，即11a =，当()2N n n *≥∈时，()2212211n n S n n S n n -⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩，两式相减得()()()()222122112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦，即n a n =，经检验：11a =满足n a n =，综上所述，数列{}n a 的通项公式为()Nn a n n *=∈. 6分(2)由(1)知22121212211221n n n n n n n n n a a a a n n b a a a a n n +++++++++++==+=+++， 7分121111112212112n n n b n n n n n n ++∴=+=-++=+-++++++. 10分 12311111111...222...223244512n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=+-++-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222n T n n ∴=+-+. 12分三．18.∴的分布列为：0.26分（万元）．8分（Ⅱ）设表示事件“在销售收入超过5万元的情况下利润超过5万元”，则． 12分19.解：（Ⅰ）连接1AC交AC于点E，连接DE.因为1BC∥平面1A CD，1BC⊂平面1ABC，平面1ABC I平面1ACD DE=，所以1BC DE∥．··························2分又因为四边形11ACC A为平行四边形，所以E为1AC的中点，所以ED为1AC B△的中位线，所以D为AB的中点．又因为ABC△为等边三角形，所以CD AB⊥. ·············4分（Ⅱ）过A作AO⊥平面111A B C垂足为O，连接1A O，设2AB=．因为1AA与底面111A B C所成角为60o，所以160AAO=o∠在1RT AAO△中，因为1A A=所以1AO=，3AO=因为AO⊥平面111A B C，11B C⊂平面111A B C，所以AO⊥11B C. 又因为四边形11B C CB为矩形，所以1BB⊥11B C，因为11BB AA∥，所以11B C⊥1AA. 因为1AA AO A=I，1AA⊂平面1AA O，AO⊂平面1AAO，所以11B C⊥平面1AAO．因为1A O⊂平面1AAO，所以11B C⊥1A O.又因为1AO=，所以O为11B C的中点． 7分以O为原点，以11,,OA OB OAu u u r u u u r u u r的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.则)1A，()10,1,0C-，()0,0,3A，()10,1,0B.BC1A CA1B1DE因为()11AB A B ==uu u r uuu u r ，所以()B，1,322D ⎛⎫⎪⎝⎭，因为()111,0AC AC ==-uuu r uuu u r，所以()1,3C -,()1A B =-uuu r ，()110,2,0BC B C ==-uu u r uuu u r，()11,3AC =--uuu r，11,,322A D ⎛⎫-= ⎪⎝⎭uuu r . ·············· 8分 设平面1BA C 的法向量为(),,x y z =n ，由100A B BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu ruu u r ，n n得300y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，，令x =2z =，所以平面1BA C的一个法向量为)=n ．设平面11A CC 的法向量为(),,a b c =m ，由1110,0AC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m uuu u ruuu r得030b b c +=+-=⎪⎩，，令a =3,1b c =-=，所以平面11A CC的一个法向量为)3,1=-m ．10分所以cos ,⋅==n m n m n m 因为所求二面角为钝角，所以二面角11B A C C --的余弦值为91-． · 12分 20解：（I ）22b =，所以1b =,=2a =． 所以椭圆C 的标准方程2214x y +=． ··················4分 （II ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，易知直线l 的斜率不为0，则设:l x my t =+． 因为l 与圆O1=，即221t m =+； ··········· 6分由2244x y x my t⎧+=⎨=+⎩消去x ，得222(4)240m y mty t +++-=，则222222=44(4)(4)16(4)480m t t m m t ∆--+=-+=>，12224mty y m +=-+，024mt y m =-+，00244tx my t m =+=+，即224(,)44t mt M m m -++， ······ 8分 22222222222224(16)(1)(16)()()44(4)(4)t mt t m m m OM m m m m +++=+==++++， ······ 9分 设24x m =+，则4x ≥，2222(3)(12)369112525136()81616x x OM x x x x -+==-++=--+≤， 当8x =时等号成立，所以OM 的最大值等于54． ··········· 12分 21.解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2xF x '=-.令()e 20,xF x '=->得ln2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增.令()e 20,xF x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. …………4分（Ⅱ）因为()e 21xf x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.依题意，12a-=，1c =.于是l 与抛物线2()2g x x x b =-+切于点(1,1)， 由2121b -+=得2b =.所以 2,2, 1.a b c =-==…8分（Ⅲ）设()()()e (1)xh x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()e (1).xh x a '=-+（1）当10a +≤时，因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增.①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01,1bx a -<+ 此时0001()e (1)1(1)01xbh x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立． 不满足条件；（2）当10a +>时，令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+；由()0h x '<，得ln(1).x a <+所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增.要使得“()e (1)0xh x a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=- 令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减,所以，当e x =时，max ()e 1.G x =-从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-. 综上，a b +的最大值为e 1-. ………22. 解：(1)由直线l 的参数方程消去参数t 可得()122x y -=-，化简并整理可得直线l 的一般方程为230x y -+=，由2ρ=可得24ρ=，即224x y +=，所以圆C 的标准方程为224x y +=.4分(2)易知点P 在圆内，且直线l 上，联立圆的方程和直线l 的参数方程方程组22241258102x y x t t t y t⎧+=⎪=+⇒++=⎨⎪=+⎩，设()(),,,A A B B A x y B x y ，所以81,055A B A Bt t t t +=-=>，所以()1821(1)110555A B A B A B t t t t t t ++=+++=-+=-<，则1A PA ===+，同理1B PB +，8112255A B A B PA PB t t ∴-=+-+=++=+=. 23. 解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥. ①当13x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥,解得0x ≤，此时得不等式的解集为{}|0x x ≤.② 当123x <<时，原不等式可化为3123x x ++-≥,解得1x ≥，此时得不等式的解集为{}|12x x ≤≤.③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x ---≥,解得32x ≥，此时得不等式的解集为{}|2x x ≥.综上所述，当2a =时，不等式可化为()11133x f x -+≥，的解集为{|0x x ≤或}1x ≥.（2）不等式()1131333x f x x x x a x -+≤⇔-+-≤，因为不等式的解集包含11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以不等式313x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以不等式313313x x a x x x a x -+-≤⇔-+-≤，所以11 可得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。