2014年全国高中数学联赛天津预赛试题及答案
2014年全国高考理科数学试题及答案-天津卷
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值为（ （A）15 （C）245 （B）105 （D）945
（4）函数 f ( x) = log 1 x - 4 的单调递增区间是（
2 2
(
)
）
（A） (0, + ¥ （C） (2, + ¥
3
正视图
侧视图
b- c =
1 a ， 2sin B = 3sin C ，则 cos A 的值为_______. 4
俯视图
（13） 在以 O 为极点的极坐标系中，圆 r = 4sin q 和直线 r sin q = a 相 交于 A, B 两点.若 D AOB 是等边三角形，则 a 的值为___________.
x2 随着 a 的减小而增大； x1
x1 + x2 随着 a 的减小而增大.
（Ⅲ）证明
参考答案
一、选择题
题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D ） 5 A 6 D 7 C 8 C
（1） i 是虚数单位，复数
7+ i =（ 3 + 4i
（A） 1 - i
（B） - 1 + i
（C）
17 31 + i 25 25
（D） -
17 25 + i 7 7
解：A
(7 + i)(3 - 4i) 25 - 25i 7+ i = = = 1- i . 3 + 4i (3 + 4i )(3 - 4i ) 25
小值为 （ ）
x y 2 0, （2）设变量 x ， y 满足约束条件 x y 2 0, 则目标函数 z x 2 y 的最 y 1,
2014年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案
20##普通高等学校招生全国统一考试<##卷>理科数学本试卷分第Ⅰ卷〔选择题〕和第Ⅱ卷〔非选择题〕两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页.第Ⅰ卷一、选择题〔本大题共8小题,每小题5分,共40分〕在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位,复数734i i +=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i + D.172577i -+ 2.设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.53.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为A.15B.105C.245D.9454.函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为A.(0,)+∞B.(-∞,0)C.(2,)+∞D.(-∞,2)-5.已知双曲线22221(0x y a a b-=>,0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -= 6.如图,ABC ∆是圆的内接三角形,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ,在上述条件下,给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.设a 、b R ∈,则"a b >〞是"||||a a b b >〞的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E 、F 分别在边BC 、DC 上,BE BC λ=,DF DC μ=.若1=⋅AF AE ,=⋅CF CE 32-,则λμ+= A.12 B.23 C.56 D.712第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取名学生.10.一个几何体的三视图如图所示〔单位：m 〕,则该几何体的体积为3m . 11.设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和,若1S 、2S 、4S 成等比数列,则1a 的值为.12.在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=,2sin 3sin B C =,则cos A 的值为. 13.在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A 、B 两点.若AOB ∆是等边三角形,则a的值为.14.已知函数2()|3|f x x x =+,x R ∈.若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值X围为.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.〔本小题满分13分〕已知函数23()cos sin()3cos 34f x x x x π=+-+,x R ∈. ⑴求()f x 的最小正周期；⑵求()f x 在闭区间[4π-,]4π上的最大值和最小值.16.〔本小题满分13分〕某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动〔每位同学被选到的可能性相同〕.⑴求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；⑵设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.17.〔本小题满分13分〕如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,AD AB ⊥,//AB DC ,2AD DC AP ===,1AB =,点E 为棱PC 的中点. ⑴证明：BE DC ⊥；⑵求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为棱PC 上一点,满足BF AC ⊥,求二面角F AB P --的余弦值.18.〔本小题满分13分〕 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知12||||2AB F F =. ⑴求椭圆的离心率；⑵设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过原点O 的直线l 与该圆相切,求直线l 的斜率.19.〔本小题满分14分〕已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合{0M =,1,2,...,1}q -,集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+,i x M ∈,1i =,2,...,}n .⑴当2q =,3n =时,用列举法表示集合A ；⑵设s 、t A ∈,12s a a q =++...1n n a q -+,12t b b q =++...1n n b q -+,其中i a 、i b M ∈,1i =,2,...,n .证明：若n n a b <,则t s <.20.〔本小题满分14分〕设()()x f x x ae a R =-∈,x R ∈.已知函数()y f x =有两个零点1x ,2x ,且12x x <.⑴求a 的取值X 围； ⑵证明21x x 随着a 的减小而增大； ⑶证明12x x +随着a 的减小而增大.。
2014年全国高中数学联赛A卷真题word版
一试一、填空题1. 若正数b a ,满足()b a b a +=+=+632log log 3log 2，则b a 11+的值为________.2. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+213b a b a 中的最大元素与最小元素分别为m M ,，则m M -的值为__________.3. 若函数()12-+=x a x x f 在[)+∞,0上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.4. 数列{}n a 满足21=a ，()()*+∈++=N n a n n a n n 1221，则=+++2013212014a a a a Λ . 5. 正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是__________.6. 设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,.若212F F PF =，且1143QF PF =,则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I .若点P 满足1=PI ，则APB ∆与APC ∆的面积之比的最大值为__________.8. 设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以21的概率在每对边之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________.二、解答题9. 平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直.设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为R Q ,.（1）证明R 是一个定点； （2）求QR PQ 的最小值. 10. 数列{}n a 满足61π=a ，()n n a a sec arctan 1=+()*∈N n .求正整数m ，使得1001sin sin sin 21=⋅⋅⋅m a a a Λ. 11. 确定所有的复数α，使得对任意复数21,z z ()2121,1,z z z z ≠<，均有 ()()222121z z z z αααα++≠++.二试一、设实数c b a ,,满足1=++c b a ，0>abc .求证：412+<++abc ca bc ab .二、如图，在锐角ABC ∆中，︒≠∠60BAC ，过点B 、C 分别作ABC ∆的外接圆⊙O 的切线BD 、EC ，且满足BC CE BD ==.直线DE 与AB 、AC 的延长线分别交于点F 、G .设CF 与BD 交于点M ，CE 与BG 交于点N .求证：AN AM =.三、设{}100,,3,2,1Λ=S .求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.四、设整数201421,,,x x x Λ模2014互不同余，整数201421,,,y y y Λ模2014也互不同余. 证明：可将201421,,,y y y Λ重新排列为201421,,,z z z Λ，使得201420142211,,,z x z x z x +++Λ模4028互不同余.。
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2014B 10、（本题满分 20 分）设 x1, x2 , x3 是多项式方程 x3 10x 11 0 的三个根.
⑴已知 x1, x2 , x3 都落在区间 5,5 之中，求这三个根的整数部分；（5 分）
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（B 卷） 第 4 页 共 10 页
以得到 an3 an 12 ，说明 a3k1,a3k ,a3k1分别是公差为12 的等差数列，首先分别为 a2 5 ， a3 9 ， a4 13 。又 a1, a2 , a3 , a4 成公差为 4 的等差数列，所有 an 也是公差为 4 的等差数列，
an 4n 3。
由过
AD
，
BE
交点的直线系方程为
x0 (x 2) 2(2 x0 2 y0
)
y
x 2
2y0 ( 2 x0
y 1) 2y0
0
，
把 C(2,1)
代入可得
1，此时直线系就变为
x0 (x 2(2 x0
2) 2y0
)
y
x
2
件 A 共包含 45 C153 。由于在 52 张牌随机抽取 5 张的基本事件个数为 C552 ，于是事件 A 发生的概率
为 45 C153
C
5 52
0.5071，从而 P( A) 1 0.5071 0.4929 。
2014B 8、设 g(x) x(1 x) ，是定义在区间[0,1]上的函数，则函数 y xg (x) 的图像与 x
2014年高中数学联赛试题及其解答
加试
一、（本题满分 40 分）设实数a、b、c满足a + b + c = 1，abc＞0，求证：ab + bc + ca＜ √ + 。
证明方法一：因为abc＞0，故a、b、c全为正数，或一正两负。 （Ⅰ）若a、b、c中一正两负，不妨设a＞0，b、c＜0，则ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(b + c) + bc = [1 − (b + c)](b + c) + bc = (b + c) − b − − ＜0＜ √ + 。
解答：我们考虑存在复数z 、z ，|z |、|z |＜1，z ≠ z ，使得(z + α) + αz =
(z + α) + αz 的充要条件。此时
(z + α) + αz = (z + α) + αz
⇔ α(z − z ) = (z − z )(z + z + 2α)
⇔ α[(z − z ) + 2(z − z )] = (z − z )(z + z )
3、若函数f(x) = x + a|x − 1|在[0， + ∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
。
x − ax + a，x ∈ 0，1
解答：根据条件知f(x) =
。f(x)在 0，1 单调递增的充要
x + ax − a，x ∈ 1， + ∞
条件为 ≤ 0 ⇔ a ≤ 0；f(x)在 1， + ∞ 单调递增的充要条件为− ≤ 1 ⇔ a ≥ −2。故实数
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题(理科)解析版
绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ） （A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 【答案】A 【解析】.∴-12525-2525)4-3)(7(437A i ii i i i 选，==+=++（2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【解析】此题区域不是封闭区域，属于陷阱题.∴2)1,1(B 选代入目标函数取最小值，顶点为画出条件区域为三角形（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（） （A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945 【答案】B【解析】.∴1057*5*3*1B S 选==解：B 1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =.（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）【答案】DED CBA（5）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -=（C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=（6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D【解析】（7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 【答案】C 【解析】.. .|,||||;|||, .-||,-||00≤3.|,||||;|||, 002∴,|,|||;∴|,|||, ||,||0≥012222C b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a b a b b a a b b a a b a b a b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a 选综上，是充要条件则若则若时，，）当（则若则若时，，）当（是必要条件则若是充分条件则若时，，）当（>>>>==<>>>><>>>>>==>（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF?，23CE CF?-，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C 【解析】俯视图侧视图正视图第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学 解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+2．设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ） （A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）9455．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 （ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=6．如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??．则所有正确结论的序号是 （ ）7．设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的 （ ）（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要又不必要条件 【答案】C ．【解析】第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60．【解析】试题分析：应从一年级抽取4604556300?+++名．考点：等概型抽样中的分层抽样方法．10．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．俯视图侧视图正视图【答案】203p． 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为22120142233pp p 鬃+鬃=（3m ）． 考点：1．立体几何三视图；2．几何体体积的计算．11．设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________． 【答案】12-． 【解析】试题分析：依题意得2214S S S =，∴()()21112146a a a -=-，解得112a =-页眉页脚换．考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式． 12．在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______． 【答案】14-． 【解析】试题分析：∵32sin 3sin ,23,,2B C b c b c =\=\=代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与23y x x =+（或()1y a x =--与23y x x =--）相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入23y x x =+，得()231x x a x +=-，即()230x a x a +-+=，由0D =，得()2340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．（方法二）显然1a ¹，∴231x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t=++．∵(][),,444t t ???++，∴(][)45,19,t t?ゥ+++．结合图象可得01a <<或9a >．考点：方程的根与函数的零点．三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．22T pp ==． （Ⅱ）∵()f x 在区间,412pp轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数，144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫，∴函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．16．（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．()()3463100,1,2,3,k k C C P x k k C -×===\随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()12362103050E X ??=+??． 考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．互斥事件；3．离散型随机变量的分布列与数学期望．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．公式121211cos ,n n n n n n ×=×来求二面角F AB P --的余弦值．综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角F AB P --的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值． 试题解析：（方法一）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．C（方法二）（Ⅰ）如图，取PD 中点M ，连结EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，∴//BE AM ．∵PA ^底面ABCD ，故PA CD ^，而CD DA ^，从而CD ^平面PAD ，∵AM Ì平面PAD ，于是CD AM ^，又//BE AM ，∴BE CD ^．（Ⅱ）连结BM ，由（Ⅰ）有CD ^平面PAD ，得CD PD ^，而//EM CD ，故PD EM ^．又∵AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ^，可得PD BE ^，∴PD ^平面BEM ，故平面BEM ^平面PBD ．∴直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ^，可得EBM Ð为锐角，故EBM Ð为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD =，而M 为PD 中点，可得AM =，进而BE =．故在直角三角形BEM中，tan EM AB EBMBEBE ?==，因此in s EMB ?，∴直线BE 与平面PBD 所C18．（本小题满分13分）设椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点为12,F F，右顶点为A，上顶点为B．已知12AB F=．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【答案】（Ⅰ）e=；（Ⅱ）直线l的斜率为4+或4-．标为4,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫．设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径r ==．设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =．由l r，整理得2810kk -+=，解得4k=?l的斜率为4+或4-．考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系． 19．（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M in -+?==++．（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,,1,2,,.i i a b M in ?证明：若n n a b <，则s t <．20．（本小题满分14分） 已知函数()xf x x ae=-()a R Î，x R Î．已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <．（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明21x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明12x x +随着a 的减小而增大．（2）0a >时，由()0f x ¢=，得ln x a =-．当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -?；单调递减区间是()ln ,a -+¥．∴()121ln 1t tx x t ++=-． ①令()()1ln 1x xh x x +=-，()1,x ??，则()()212ln 1x x xh x x -+-¢=-．令()12ln u x x x x=-+-，得()21x u x x 骣-÷ç¢=÷ç÷ç桫．当()1,x ??时，()0u x ¢>．因此，()u x 在()1,+¥上单调递增，故对于任意的()1,x ??，()()10u x u >=，由此可得()0h x ¢>，故()h x 在()1,+¥上单调递增，因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大，而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，∴12x x +随着a 的减小而增大．考点：1．函数的零点；2．导数的运算；3.．利页眉页脚换用导数研究函数的性质．。
2014年全国高中数学联赛试题及解答
全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______． 答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______． 答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种； 长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种 （一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ． （1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差 的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥． 分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=． 答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=， 则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-， 故2α<； 若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意； 另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类． 假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成 立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两 个除1k +外不交，故命题成立． 综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件． 任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个； 首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立； 若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立． 综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．全国高中数学联赛试题及解答加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。
2014年高考真题——数学理(天津卷)word版有答案(精品资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】绝密★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A，B互斥，那么•如果事件A，B相互独立，那么=.P AB P A P BP A B P A P B()()()=+()()()•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13VSh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高.h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734i i（ ）（A ）1i （B ）1i （C ）17312525i （D ）172577i （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y=+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945 （4）函数212log 4f xx 的单调递增区间是（ ）（A ）0, （B ）,0（C ）2,（D ）,2ED CBA （5）已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210yx，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y（D ）2233110025x y（6）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FBFD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF . 则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a bR ，则|“ab ”是“a ab b”的（ ）（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上，BEBC ，DF DC .若1AE AF ，23CECF，则（ ）（A ）12（B ）23（C ）56（D ）712第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.文)含详解
2014天津文第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（同理１）i 是虚数单位,复数13i1i-=-( )． 啊．2i - 不．2i + 才．12i -- D ．12i -+【解】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ． 2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )．A ．4-B ．0C ．43的．4 【解】画出可行域为图中的ABC ∆的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为( )．A ．0.5B ．1C ．2D ．4【解】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--=73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2． 故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解】{}02A B x x x =∈<>R 或，(){}{}2002C x x x x x x =∈->∈<>R R 或所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ． 5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【解】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>．所以a c b >>．故选Ｂ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-，所以4p =．又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =． 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==，焦距2c =7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，ππϕ-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数【解】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 其增区间满足π222332x k k ππππ-+≤+≤+，k ∈Z ． 解得5π6ππ6π2k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 取0k =得5ππ2x -≤≤，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【解】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,B ，()1,1C --，()1,2D --．从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【解】3．解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=． 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m ．【解】4．几何体是由两个长方体组合的．体积为 1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n +∈N ．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【解】110．设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为 ． 【解】18．因为22log log 1a b +≥，则2log 1ab ≥，2ab ≥，24a b ⋅≥3918a b +≥=≥≥=，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【解．因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =． 由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ⋅=⋅==⋅， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE =⋅=⋅=．所以CE =． 14．(同理14) 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【解】5．解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．35PA PB += ，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．解法2 ． 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得()533332P A P B D A D P P C C B D AP CD P +=-++=+-． 又P 是腰DC 上的动点，即与共线，于是可设λ=，有)13(253-+=+λ． 所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⋅⎣⎦即[]213(25)13(DP -+=-+=+λλ．由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 31=时，所以3PA PB +有最小值5．解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB的F中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，于是()22252544PE a b =+-≥ ，于是25PE ≥ ，当且仅当a b =时，等号成立．由式①，325PA PB PE +=≥， 所以3PA PB +有最小值5．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
[精品]2014年全国高考天津省高中数学理科试卷和答案
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绝密★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A，B互斥，那么•如果事件A，B相互独立，那么()()()P A B P A P B=+()()()P AB P A P B=.•圆柱的体积公式V Sh=. •圆锥的体积公式13V Sh =.其中S表示圆柱的底面面积，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆柱的高. h表示圆锥的高.ED CBA 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ） （A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?（5）已知双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BDAB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件（8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF ?，23CE CF ?-，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷 注意事项：1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2014年高考理科数学天津卷-答案
34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，【考点】圆的内接三角形和圆的基本性质，弦切角定理，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即22λμλμ+-同理可得23λμλ---②，①+②得56λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得【考点】平面向量数量积的运算2120ππ4π2233+=m 几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -3(14x -+3cos24x -π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则120337373104960C C C C +=. 346310k k C C -(k =310130346310k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=为平面的法向量，则0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即x-⎧⎨⎩不妨令1y=，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量2cos,||||6n BEn BEn BE==⨯所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，01≤.故()12,2,2BF BC CF BC CPλλλλ=+=+=-.BF AC⊥，得0BF AC=，因此，2(12)2(20λ+-=，解得即12BF⎛=-⎝设()1,,n x y z=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即不妨令z=，可得1(0,3,1)n=-FAB的一个法向量取平面ABP的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==AB P-是锐角，所以其余弦值为31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即00y c +=.又，故有0x +在椭圆上，故1.②由①和②可得20034x cx +不是椭圆的顶点，故4c x =-的坐标为4,c c ⎛⎫- ⎪可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得，利用两点间的距离公式可得圆的半径1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a ()11n n n a b b q --++--()211n n q q --++--1n q -。
全国高中数学联赛天津赛区预赛含解答
00六年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）（9月17日上午9: 00〜11: 00）、选择题（本题共5个小题，每小题6分满分30分） _ 2已知函数f （x ）二x -2ax 2，当时，f （x ）_a 恒成立，则a 的取值范围是、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30 分）2 2(6)已知椭圆 令=1 ( a ab»b > 0），长轴的两个端点为 A 、B ，若椭圆上存在点 Q ，使AQB -120，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（7）在Rt ABC 中，c ，r ，S 分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围S是 ___________ .(1)(2) (3)原点, （4） 底面(5) )(A) 已知 (A) - 2 ：： a ::1(B) b a 1，t 0b x b t (B)2已知一条直线l 与双曲线笃 a-2<a<1=a t ，则b x 与b t 的大小关系是b x ::: b t(C ) b x = b t （b a 0）的两支分别相交于当OP _OQ 时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（）（D ）不确定P 、Q 两点，O 为(A)」—*b 2 _a 2(B)b - a(C )ab.2 2(D)ab已知P 为四面体S-ABC 的侧面SBC 内的一个动点，且点 P 与顶点 ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分， （A ）圆或椭圆（B ）椭圆或双曲线（C ）双曲线或抛物线S 的距离等于点P 到 则该曲线一定是（）（D ）抛物线或椭圆已知集合B 是集合｛1,2，…,100｝的子集，且对任意 B ，都有2x- B ，则集合B 中的元素最多有（ ）（A ） 67 个(B ) 68 个 (C ) 69 个 (D ) 70 个(8)已知集合A B ^｛a1,a2,a3,a4,a5｝，且A ^｛a1,a2｝，则集合A、B、C 所有可能的情况有_________ •(9)已知A(2cos： , .. 3si n：), B(2cos :, .. 3 si n ：), C(「1,0)是平面上三个不同的点，且满足关系式CA「BC，则实数■的取值范围是__________________ •(10)在一个棱长为5的正方体圭寸闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 _________________ •(11)已知a,b, c,d 都是偶数，且0 ■a :: b :: c :: d , d - a = 90,若a, b,c成等差数列，b,c, d成等比数列，则a b c d的值等于_____________________ •三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)(12)已知数列｛a n｝满足a^i = p，a2 = p ■ 1，a n 2 - 2a n d- a n = n - 20，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得a n的值最小.(13)已知〉、1是关于x 的二次方程2x 2 -tx - 2 =0的两个根，且「，若函数4x —tf(x)」论二】x 2 ： x^ x 2 -- (n)对任意的正数 x ,、x 2，求证：|f (二 J)-(」 J)|：：：2|〉—— |. % + X 2Xr + x 2(I)求f(： )- f( J a - P的值;(14)将1, 2，…，16这16个数未填入如图所示的正方形中的小方格内，每个小方格内填一个数，使每一行，每一列的各数之和各不相等且均能被正整数n ( n 1)整除.(I)求n的所有可能的值；(n)给出一种符合题意的具体填法(此填法适用于n的所有可能值).二00四年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)21试题参考答案及评分标准一、 选择题（本题共5个小题，每小题6分满分30分）（1）D （ 2）A（ 3）A （ 4）D（ 5）A二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分），、晶人 l1 3血（6）e ::: 1 （ 7）［2、. 2 - 2,1）（ 8）500 （ 9） 3（ 10）44 - ■333三、 解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（12）【解】令 b n 二a n 1 -a n ，n ^1,2,由题设 a n .2 -2a n 1 ■ a^ n -20，有 b n 彳-b n 二 n 「20，且 b | =1 ...................... 5 分n 二n 』于是' (b i 1 一6)二 ' (i -20)，即 b n —bi =[1 2(n 一 1)] —2n(n -1).i 1 i 吕 ...b nJ n -1)(^40)1. X) ........................ 10 分2又 a 1 = p ， a 2 = p ■ 1，则 a 3 = 2a 2 -a 11 -20 = p —17 ：： a 1 :: a 2.•••当a n 的值最小时，应有 n - 3，a n 乞a * 1，且a *空a *」. 即 b n _ a n 1 — a n -0，bn 1 ~a n ~a n4 -° • 由心式，得卫一帅一40"22）（ n_ 41）—2 _ *n >40 由于n 兰3，且n w N ，解得丿n <40•••当n = 40时，a 40的值最小.(13) 【解】（I ）由书籍，根据韦达容不得有f(：)(11) 19415分20分214 一2（： 「） £ =，-aPf( ■)-t < -2(-f C )— f ( j — 2 一： 2 ： _ 24 x — t在［：•,-］上是增函数••函数f(x) 2/ \ X 0+X 2 卩、小、 X F+X Q G•- f < f (-1 ―) ■■ f (：), f (-■) ■■ f(」 —)住& P +x 2a—f( J —f(」 —P -fG ) •捲+x 2于是-[f( J - for ：： f 口红)_ f (“空)：：：f (i )_ f (：.),X 1 X 2X-I x 2Xp G +x 2 P X t P +X 2G任•I f(」亠)— f(—1亠)卜 f( J-fG ) •X<| +x 2 X<| +x 2而 f ( J - f(〉)=2 1 -2「-2 I - 1 I ,./ x p + x 2P 、 / 捲 P + x 2a . . o . R .•- I f( 1 J) -(」 J)|：：：2|： - - |..........................x^x 2 x^x 2(14)【解】([)设S i , t i ( i =123,4 )分别是第i 行，第i 列各数的和, 由题意得S i = q n , t i = b i n ，其中a i , b i ，是8个彼此不同的正整数，444 x —t(n)已知函数 f (x)二 一L ,x +1••• f (x)「2(2x 2-tx-2)2 2(x i)而且对 X •[二訂,2x 2 _tx -2= 2(x_： )(x - J 岂0，于10分注意到对于任意的正数x 1、 x 2x -i 1 X 2 : ------------- -ax-i x 2x 1 x 2Xi ： X 2 ： _ :二空;「：：) 0x-1 x 2 x 1 x 2即：.：：：" X 21 ,同理:. X^x 2-：i -15分X i X 2X i X 2x 2 1 X 1 x 2 x 1 x 2 20分8) = 36n因为12 16 =136，所以2 136 二：Q tj 二n' (a i b i) _ n(12i =1i d由S i是n的倍数得7 s是n的倍数，即136是n的倍数. i 二即136 =23 17，又n .1, n乞7,因此n的可能值为2或4 . (n)符合题意的一种具体填法如图所示.10分15分20分。
2014年(天津卷)数学(理工类) 试题及答案详解
等边三角形,则 a 的值为
.
【答案】3
【解析】由ρ=4sin θ可得ρ2=4ρsin θ,所以 x2+y2=4y.
所以圆的直角坐标方程为 x2+y2=4y,其圆心为 C(0,2),半径 r=2;
由ρsin θ=a,得直线的直角坐标方程为 y=a,
由于△AOB 是等边三角形,
所以圆心 C 是等边三角形 OAB 的中心,
=-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以 4(λ+μ)-2λμ=3.
由
·
= - 2,得(2-2λ)·(2-2μ)·
1
=
-
2,所以
λμ=λ+μ
-
2
,
2
因此有 4(λ+μ)-2(λ+μ)+ = 3,解得 λ+μ= 5,故选 C.
6
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从
又因为一条渐近线与 l 平行,因此 = 2,可解得 a2=5,b2=20,
2
2
故双曲线方程为
=1,故选 A.
5 20
6.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆
的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB2=FD·FA;
2
2
5.已知双曲线 2
2
2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦
点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ).
2014年高考理数真题试卷(天津卷)及解析
○…………外…………○…………装…学校:___________姓名：_○…………内…………○…………装…2014年高考理数真题试卷（天津卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.i 是虚数单位，复数 7+i3+4i =（ ） A.1﹣i B.﹣1+i C.1725+ 3125 I D.﹣ 177 + 257 i2.设变量x ，y 满足约束条件 {x +y −2≥2x −y −2≤0y ≥1，则目标函数z=x+2y 的最小值为（ ）A.2B.3C.4D.53.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A.15答案第2页，总15页…外…………○…………装…………○………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线…内…………○…………装…………○………C.245 D.9454.函数f （x ）= log 12（x 2﹣4）的单调递增区间为（ ）A.（0，+∞）B.（﹣∞，0）C.（2，+∞）D.（﹣∞，﹣2）5.已知双曲线 x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.x 25﹣ y 220 =1 B.x 220﹣ y 25 =1 C.3x 225﹣ 3y 2100 =1 D.3x 2100﹣ 3y 225 =16.如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分∠CBF； ②FB 2=FD•FA； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（ ） A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④7.设a ，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件…○…………装…………○…学校:___________姓名：___________班级：…○…………装…………○…第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生．9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b ﹣c= 14 a ，2sinB=3sinC ，则cosA 的值为 ．10.已知函数f （x ）=|x 2+3x|，x∈R，若方程f （x ）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根，的取值范围为 ．三、解答题（题型注释）11.已知函数f （x ）=cosx•sin（x+ π3 ）﹣ √3 cos 2x+ √34 ，x∈R． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[﹣ π4 ， π4 ]上的最大值和最小值．12.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF⊥AC，求二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值．13.设椭圆 x 2a 2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2 ， 右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|= √32 |F 1F 2|．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1 ， 经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．14.已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n ﹣1 ， x i ∈M，i=1，2，…n}． （1）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A ；答案第4页，总15页（2）设s ，t∈A，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1 ， t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1 ， 其中a i ， b i ∈M，i=1，2，…，n ．证明：若a n ＜b n ， 则s ＜t ．15.设f （x ）=x ﹣ae x （a∈R），x∈R，已知函数y=f （x ）有两个零点x 1 ， x 2 ， 且x 1＜x 2 ．（1）求a 的取值范围；（2）证明： x2x 1随着a 的减小而增大；（3）证明x 1+x 2随着a 的减小而增大．……装…………○…………订……………………线……_______姓名：___________班级：___________考号：_________……装…………○…………订……………………线……参数答案1.A【解析】1.解：复数 7+i3+4i = (7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i) =25−25i 25=1−i ，故选A ．【考点精析】利用复数的乘法与除法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知设则；．2.B【解析】2.解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y ，得y=﹣ 12x +z2 ，平移直线y=﹣ 12x +z2 ，由图象可知当直线y=﹣ 12x +z2 经过点B （1，1）时，直线y=﹣12x +z2 的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为z=1+2×1=3， 故选：B ．3.B【解析】3.解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值， ∵跳出循环的i 值为4， ∴输出S=1×3×5×7=105． 故选：B ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用程序框图的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明． 4.D【解析】4.解：令t=x 2﹣4＞0，可得 x ＞2，或 x ＜﹣2， 故函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），答案第6页，总15页当x∈（﹣∞，﹣2）时，t 随x 的增大而减小，y= log 12t 随t 的减小而增大，所以y= log 12（x 2﹣4）随x 的增大而增大，即f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D ．【考点精析】利用复合函数单调性的判断方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”． 5.A【解析】5.解：∵双曲线的一个焦点在直线l 上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线 x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2x+10，∴ ba =2， ∵c 2=a 2+b 2 ， ∴a 2=5，b 2=20，∴双曲线的方程为 x 25 ﹣ y 220 =1．故选：A ． 6.D【解析】6.解：∵圆周角∠DBC 对应劣弧CD ，圆周角∠DAC 对应劣弧CD ， ∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD 对应劣弧BD ，圆周角∠BAD 对应劣弧BD ， ∴∠FBD=∠BAF．∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD 平分∠CBF．即结论①正确． 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB． 由 FBFA =FDFB ，FB 2=FD•FA．即结论②成立． 由 BFAF =BDAB，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④． 所以答案是D【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题． 7.C【解析】7.解：若a ＞b ，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a ＞b ，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a 2＜b 2 ， 此时成立． ③a≥0＞b ，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a 2＞﹣b 2 ， 此时成立，即充分性成…外…………○…………装………学校:___________姓名：_______…内…………○…………装………立．若a|a|＞b|b|，①当a ＞0，b ＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a ﹣b ）（a+b ）＞0，因为a+b ＞0，所以a ﹣b ＞0，即a ＞b ．②当a ＞0，b ＜0时，a ＞b ．③当a ＜0，b ＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a ﹣b ）（a+b ）＜0，因为a+b ＜0，所以a ﹣b ＞0，即a ＞b ．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件， 故选：C ． 8.60【解析】8.解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为 44+5+5+6 =15， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300× 15 =60，所以答案是：60． 【考点精析】通过灵活运用分层抽样，掌握先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本即可以解答此题． 9.﹣ 14【解析】9.解：在△ABC 中， ∵b﹣c= 14 a ①，2sinB=3sinC ， ∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c ，b= 3c2 ． 再由余弦定理可得 cosA= b 2+c 2−a 22bc=9c 24+c 2−4c 23c⋅c=﹣ 14 ，所以答案是：﹣ 14 ．【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．10.（0，1）∪（9，+∞）【解析】10.解：由y=f （x ）﹣a|x ﹣1|=0得f （x ）=a|x ﹣1|， 作出函数y=f （x ），y=g （x ）=a|x ﹣1|的图象，答案第8页，总15页则a ＞0，此时g （x ）=a|x ﹣1|= {a(x −1),x ≥1−a(x −1),x ＜1，当﹣3＜x ＜0时，f （x ）=﹣x 2﹣3x ，g （x ）=﹣a （x ﹣1）， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时﹣x 2﹣3x=﹣a （x ﹣1）， 即x 2+（3﹣a ）x+a=0，则由△=（3﹣a ）2﹣4a=0，即a 2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g （x ）=﹣9（x ﹣1），g （0）=9，此时不成立，∴此时a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a ＜1，若a ＞1，此时g （x ）=﹣a （x ﹣1）与f （x ），有两个交点， 此时只需要当x ＞1时，f （x ）=g （x ）有两个不同的零点即可， 即x 2+3x=a （x ﹣1），整理得x 2+（3﹣a ）x+a=0，则由△=（3﹣a ）2﹣4a ＞0，即a 2﹣10a+9＞0，解得a ＜1（舍去）或a ＞9， 综上a 的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f （x ）﹣a|x ﹣1|=0得f （x ）=a|x ﹣1|， 若x=1，则4=0不成立， 故x≠1，则方程等价为a= f(x)|x−1| = |x 2+3x||x−1| =| (x−1)2+5(x−1)+4x−1 |=|x ﹣1+ 4x−1+5|，设g （x ）=x ﹣1+ 4x−1 +5，当x ＞1时，g （x ）=x ﹣1+ 4x−1 +5≥ 2√(x −1)4x−1+5=4+5=9 ，当且仅当x ﹣1=4x−1，即x=3时取等号，当x ＜1时，g （x ）=x ﹣1+ 4x−1 +5 ≤5−2√[−(x −1)⋅−4x−1] =5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣ 4x−1 ，即x=﹣1时取等号，则|g （x ）|的图象如图：若方程f （x ）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根， 则满足a ＞9或0＜a ＜1，所以答案是：（0，1）∪（9，+∞）…○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…11.（1）解：由题意得，f （x ）=cosx•（ 12 sinx+ √32 cosx ） −√3cos 2x +√34= 12sinx ⋅cosx −√32cos 2x +√34= 14sin2x −√34(1+cos2x)+√34= 14sin2x −√34cos2x= 1sin(2x −π)答案第10页，总15页○…………装………※※请※※不※※要※※在※※○…………装………所以，f （x ）的最小正周期 T =2π2=π．（2）解：由（1）得f （x ）= 12sin(2x −π3) ，由x∈[﹣ π4 ， π4 ]得，2x∈[﹣ π2 ， π2 ]，则 2x −π3∈[ −5π6， π6 ]，∴当 2x −π3=﹣ π2 时，即 sin(2x −π3) =﹣1时，函数f （x ）取到最小值是： −12， 当 2x −π3= π6 时，即 sin(2x −π3) = 12 时，f （x ）取到最大值是： 14 ，所以，所求的最大值为 14 ，最小值为- 12【解析】11.（1）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式 T =2π|ω|求出此函数的最小正周期；（2）由（1）化简的函数解析式和条件中x 的范围，求出 2x −π3的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值． 12.（1）证明：∵PA⊥底面ABCD ，AD⊥AB，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点．∴B（1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E （1，1，1） ∴ BE →=（0，1，1）， DC →=（2，0，0） ∵ BE →• DC →=0， ∴BE⊥DC；（2）解：∵ BD →=（﹣1，2，0）， PB →=（1，0，﹣2）， 设平面PBD 的法向量 m →=（x ，y ，z ），由 {Bd →⋅m →=0PB →⋅m →=0，得 {−x +2y =0x −2z =0 ， 令y=1，则 m →=（2，1，1）， 则直线BE 与平面PBD 所成角θ满足： sinθ=BE →⋅m→|BE →|⋅|m →|=√6⋅√2= √33 ，故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为 √33 ．（3）解：∵ BC →=（1，2，0）， CP →=（﹣2，﹣2，2）， AC →=（2，2，0）， 由F 点在棱PC 上，设 CF →=λ CP →=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 故 BF →= BC →+ CF →=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 由BF⊥AC，得 BF →• AC →=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0， 解得λ= 34 ，即 BF →=（﹣ 12 ， 12 ， 32 ），设平面FBA 的法向量为 n →=（a ，b ，c ），由 {AB →⋅n →=0BF →⋅n →=0，得 {a =0−12a +12b +32c =0 令c=1，则 n →=（0，﹣3，1）， 取平面ABP 的法向量 i →=（0，1，0）， 则二面角F ﹣AB ﹣P 的平面角α满足： cosα= |n →⋅i →||n →|⋅|i →|=√10= 3√1010 ，故二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值为：3√1010【解析】12.（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据 BE →• DC →=0，可得BE⊥DC；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）根据BF⊥AC，求出向量 BF →的坐答案第12页，总15页………线…………○………线…………○标，进而求出平面FAB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值．【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，则．13.（1）解：设椭圆的右焦点为F 2（c ，0）， 由|AB|= √32 |F 1F 2|，可得 √a 2+b 2=√32×2c ，化为a 2+b 2=3c 2．又b 2=a 2﹣c 2，∴a 2=2c 2． ∴e= c a =√22．（2）解：由（1）可得b 2=c2．因此椭圆方程为 x 22c 2+y 2c 2=1 ．设P （x 0，y 0），由F 1（﹣c ，0），B （0，c ），可得 F 1P →=（x 0+c ，y 0）， F 1B →=（c ，c ）． ∵ F 1B →⊥F 1P →，∴ F 1B →⋅F 1P →=c （x 0+c ）+cy 0=0， ∴x 0+y 0+c=0， ∵点P在椭圆上，∴ x 022c 2+y 02c 2=1 ．联立 {x 0+y 0+c =0x 02+2y 02=2c 2，化为 3x 02+4cx 0 =0，∵x 0≠0，∴ x 0=−43c ， 代入x 0+y 0+c=0，可得 y 0=c3 ． ∴P (−43c,c3) ．设圆心为T （x 1，y 1），则 x 1=−43c+02=﹣ 23c ， y 1=c 3+c 2= 23c ．∴T (−23c,23c) ，∴圆的半径r= √(−23c)2+(23c −c)2= √53c ．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y=kx ． ∵直线l 与圆相切，…………○…………线：___________…………○…………线∴|−23ck−23c|√1+k 2=√53c ，整理得k 2﹣8k+1=0，解得 4±√15 ． ∴直线l 的斜率为 4±√15 ．【解析】13.（1）设椭圆的右焦点为F 2（c ，0），由|AB|= √32 |F 1F 2|．可得 √a 2+b 2=√32×2c ，再利用b 2=a 2﹣c2， e= ca 即可得出．（2）由（1）可得b 2=c2． 可设椭圆方程为 x 22c 2+y 2c 2=1 ，设P （x 0 ， y 0），由F 1（﹣c ，0），B （0，c ），可得 F 1P →， F 1B →．利用圆的性质可得F 1B →⊥F 1P → ，于是 F 1B →⋅F 1P →=0，得到x 0+y 0+c=0，由于点P 在椭圆上，可得 x 022c 2+y 02c 2=1 ．联立可得 3x 02+4cx 0 =0，解得P (−43c,c 3) ．设圆心为T （x 1 ， y 1），利用中点坐标公式可得T (−23c,23c) ，利用两点间的距离公式可得圆的半径r ．设直线l 的方程为：y=kx ．利用直线与圆相切的性质即可得出．14.（1）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x| x =x 1+x 2⋅2+x 3⋅22 ，x i ∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（2）证明：由设s ，t∈A，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ，∴a n ﹣b n ≤﹣1．可得s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+ (a n−1−b n−1)q n−2 + (a n −b n )q n−1 ≤﹣[1+q+…+q n ﹣2+q n ﹣1] = −q n −1q−1＜0．∴s＜t ．答案第14页，总15页……○…………线………题※※……○…………线………【解析】14.（1）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x| x =x 1+x 2⋅2+x 3⋅22 ，x i ∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A ．（2）由于a i ， b i ∈M，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ， 可得a n ﹣b n ≤﹣1．由题意可得s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+ (a n−1−b n−1)q n−2 + (a n −b n )q n−1 ≤﹣[1+q+…+q n ﹣2+q n ﹣1]，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【考点精析】关于本题考查的数列的前n 项和，需要了解数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n的关系才能得出正确答案．15.（1）解：∵f（x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ； 下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f（x ）在R 上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下，+∞）； ∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立： ①f（﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0； ③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1； 取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0， 取s 2= 2a +ln 2a ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（ 2a ﹣ e 2a ）+（ln 2a ﹣ e 2a ）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（2）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a= xe x ， 设g （x ）= xe x ，由g′（x ）=1−xe x，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x 1、x 2满足a=g （x 1），a=g （x 2），a∈（0，e ﹣1）及g （x ）的单调性，可得x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞）；对于任意的a 1、a 2∈（0，e ﹣1），设a 1＞a 2，g （X 1）=g （X 2）=a 1，其中0＜X 1＜1＜X 2； g （Y 1）=g （Y 2）=a 2，其中0＜Y 1＜1＜Y 2；………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班………○…………装…………○∵g（x ）在（0，1）上是增函数，∴由a 1＞a 2，得g （X i ）＞g （Y i ），可得X 1＞Y 1；类似可得X 2＜Y 2；又由X 、Y ＞0，得 X 2X 1＜ Y 2X 1＜ Y 2Y 1；∴ x2x 1随着a 的减小而增大；（3）证明：∵x 1=a e x 1 ，x 2=a e x 2 ，∴lnx 1=lna+x 1，lnx 2=lna+x 2； ∴x 2﹣x 1=lnx 2﹣lnx 1=ln x 2x 1，设 x2x 1=t ，则t ＞1，∴ {x 2−x 1=lnt x 2=x 1t，解得x 1= lnt t−1 ，x 2= tlntt−1 ，∴x 1+x 2= (t+1)lntt−1…①； 令h （x ）= (x+1)lnxx−1 ，x∈（1，+∞），则h′（x ）=−2lnx+x−1x (x−1)2；令u （x ）=﹣2lnx+x ﹣ 1x ，得u′（x ）= (x−1x )2，当x∈（1，+∞）时，u′（x ）＞0，∴u（x ）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u （x ）＞u （1）=0， ∴h′（x ）＞0，∴h（x ）在（1，+∞）上是增函数； ∴由①得x 1+x 2随着t 的增大而增大． 由（2）知，t 随着a 的减小而增大， ∴x 1+x 2随着a 的减小而增大．【解析】15.（1）对f （x ）求导，讨论f′（x ）的正负以及对应f （x ）的单调性，得出函数y=f （x ）有两个零点的等价条件，从而求出a 的取值范围；（2）由f （x ）=0，得a= xe x ，设g （x ）= xe x ，判定g （x ）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x 1=a e x 1 ，x 2=a e x 2 ，则x 2﹣x 1=lnx 2﹣lnx 1=ln x 2x 1，令 x2x 1=t ，整理得到x 1+x 2=(t+1)lntt−1，令h （x ）=(x+1)lnxx−1，x∈（1，+∞），得到h （x ）在（1，+∞）上是增函数，故得到x 1+x 2随着t 的减小而增大．再由（2）知，t 随着a 的减小而增大，即得证．【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．。
2014年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题及答案
2014 年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准一. 选择题 (每小题 6 分, 共 36 分)1. 在平面直角坐标系中, 方程 x 2+ 2x sin(xy ) + 1 = 0 所表示的图形是(A). 直线(B). 抛物线(C). 一个点(D). 以上都不对解: 易知 x = −1 且 sin xy = 1, 从而该方程所表示的图形由点列 (−1; 2k− 2 ),k ∈ Z 构成. 选 (D).2. 圆柱的底面半径为 r , 高为 h , 体积为 2, 表面积为 24, 则 1r + h 1的值是 (A). 6(B). 8(C). 12 (D). 24解: 由条件可知 r 2h = 2, 2 r 2+ 2 rh = 24, 两式相比即得 1r + h 1= 6. 选 (A). 3. 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 并且对任意正整数 n 成立 S n +2 = 4S n + 3, 则 a 2 的值是(A). 2(B). 6(C). 2 或 6(D). 2 或 −6解: 设公比为 q . 由于 qS n = q (a 1 + a 2 + ·· · + a n ) = a 2 + a 3 + · · · + a n +1, 所以 S n +1 = qS n + a 1. 进而 S n +2 = q (qS n + a 1) + a 1 = q 2S n + a 1(q + 1). 与已知条件比较可知 q 2= 4, a 1(q + 1) = 3. 所以 q = 2, a 1 = 1, 或 q = −2, a 1 = −3.相应地, a 2 = 2 或 6. 选 (C).4. 若关于 x 的不等式 4x + x 1≥ 4 在区间 [1; 2] 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是a(A). (0; 34](B). (1; 34](C). [1; 34](D).[167 ; 34]解: 取 x = 1, 得 4/a ≥ 3, 可知 0 < a ≤ 4/3, a 是正数. 这样原不等式变为4xa ≤; ∀x ∈ [1; 2]:4 − 1/x从而只需求函数 f (x ) = 4x /(4 − 1/x ) 在区间 [1; 2] 的最小值. 易知 f ′(x ) = 8x (2x − 1)/(4x − 1)2在 [1; 2] 上恒为正数, 即 f (x ) 在 [1; 2] 上单调增, 故 f (x ) 的最小值为 f (1) = 4/3. 选 (A).5. 直线 l 在平面 上. 直线 m 平行于平面 , 并与直线 l 异面. 动点 P 在平面上,且到 l 和 m 的距离相等. 则 P 点的轨迹是 (A). 直线(B). 椭圆(C). 抛物线 (D). 双曲线解: 设 m 在平面 上的投影为 m ′, m ′交 l 于 O 点. 在平面 上, 以 O 为原点, l 为 y 轴建立直角坐标系, 则可设 m ′的方程为 y = kx . 又设 P 点的坐标为 (x; y ),参考答案与评分标准第 1 页√则 P 到 l 的距离为 |x|; 它到 m ′的距离为 |y − kx|/ 1 + k 2, 从而 P 到 m 的距离平方等于(y −kx )2+ a 2;1 + k2其中 a 为直线 m 到平面 的距离. 因此, P 点的轨迹方程是(y −kx )2+ a 2 = x 2:1 + k2可见轨迹是双曲线. 选 (D).6. 如果 △ABC 中, tan A , tan B , tan C 都是整数, 且 A > B > C , 则以下说法错误的是 (A). A < 80◦(B). B < 60◦ (C). C < 50◦ (D). A > 65◦解: 由于 A > B > C , 所以 B , C 都是锐角, tan B , tan C 都是正整数, 这样tan A = − tan(B + C ) = tan B + tan C> 0;tan B tan C − 1 可见 A 也是锐角. 这时, tan C ≥ 1, tan B ≥ 2, tan A ≥ 3. 我们有tan A + tan B = tan C ≥ 1; tan A tan B − 1即 (tan A − 1)(tan B − 1) ≤ 2. 但是 tan A − 1 ≥ 2, tan B − 1 ≥ 1, 比较可知只可能 tan A = 3, tan B = 2, tan C = 1. 因此, C = 45◦, 选项 (C) 正确.由 tan B > √3 可知 B > 60◦, 选项 (B) 是错误的. 至于选项 (A) 和 (D), 由 √tan 75◦= 2 +3 > tan A 可知 A < 75◦, 选项 (A) 正确; 由 A + B = 135◦和A >B 可知 A > 65◦, 选项 (D) 正确. 综上可知, 本题答案为 (B).二. 填空题 (每小题 9 分, 共 54 分)1. 若正实数 a , b 满足 log 8 a + log 4 b 2 = 5 和 log 8 b + log 4 a 2= 7, 则 log 4 a + log 8 b 的值是 .解: 令 a = 2x , b = 2y, 则 x /3 + y = 5, y /3 + x = 7, 从而解得 x = 6, y = 3. 因此 log 4 a + log 8 b = x /2 + y /3 = 4 .2. 设 x = sin 2+ sin( + 2 ) sin( + ), 当 = 67 时, x 的小数点后第一位数字201433的是.解: 由于√+ 21+ 3 ;sin(3 )=1−2 sin√ 2 cossin (+) = sin + cos ;3 2 2 参考答案与评分标准第 2 页这两式相乘得 sin( + 23 ) sin( + 3 ) = 34 cos 2 − 14 sin 2 . 因此 x = 34 , 小数点后第一位数字是 7 .3. 数列 {a n } 满足 a n +1 = a n + a n−1, n ≥ 2. 若 a 7 = 8, 则 a 1 + a 2 + · · · + a 10 等于 .解: 由条件可知 a 7 = 8a 2 + 5a 1, 所以 a 1 + a 2 + · · · + a 10 = 88a 2 + 55a 1 = 11a 7 = 88 .√4. 若 a = 1 + i, b = 2 + i, c = 3 + i, x = 12 (−1 +3 i), 则 |a + bx + cx 2| 的值是.解: 注意 x 满足 x 2+ x + 1 = 0, 从而 x 3= 1, |x| = 1, xx = 1. 又注意 a , b , c 的 虚部相等, 结合 x 2+ x + 1 = 0 可知, 只需针对 a = 1, b = 2, c = 3 进行计算即可.这时我们有|a + bx + cx 2|2= (a + bx + cx 2)(a + bx + cx 2)= a 2+ b 2+ c 2+ ab (x + x ) + bc (xx 2+ xx 2) + ac (x 2+ x 2) = a 2+ b 2+ c 2− ab − bc − ca:√将 a = 1, b = 2, c = 3 代入, 得 |a + bx + cx 2|2= 3, 故本题答案为3 .5. 将集合 {2x + 2y + 2z| x; y; z ∈ N ; x < y < z} 中的数从小到大排列, 第 100 个是 (用数字作答).解: 使得 0≤ x < y < z ≤ n 的 (x; y; z ) 组合共有 C n 3+1 个. 注意 C 93= 84 <100 < 120 = C 103, 因此第 100 个数满足 z = 9. 使得 0 ≤ x < y ≤ m 的 (x; y ) 组 合共有 C m 2+1 个, 注意 C 93+ C 62= 99, 因此第 100 个数满足 y = 6, x = 0. 即第100 个数是 29 + 26 + 20= 577.6. 函数 f (x ) 满足 f (x ) = x − 3; x ≥ 1000;则 f (84) 的值是.f (f (x + 5)); x < 1000:解: 记 f(n )(x ) = f (f ( f (x ) · · · )), 其中等号右端有 n 个 f . 那么· · ·f (84) = f (f (89)) = · · · = f(184)(999) = f (185)(1004) = f(184)(1001) = f(183)(998) =f(184)(1003) = f(183)(1000) = f(182)(997) = f(183)(1002) = f(182)(999):注意从 f (184)(999) 到 f(182)(999) 这个过程中, f 的个数减少了 2. 同样的推理可知 f (182)(999) = f(180)(999) = · · · = f(2)(999). 继续此过程, 就有f (2)(999) = f (3)(1004) = f (2)(1001) = f (998) = f (2)(1003) = f (1000) = 997:参考答案与评分标准第 3 页因此本题答案为997 .三. 解答题 (每小题 20 分, 共 60 分. 每小题只设 0 分, 5 分, 10 分, 15 分, 20 分五档)1. A , B 2 + y = 1 , O , −→ ·−−→ .设是椭圆 x 22上两个动点是坐标原点 且 OA OB = 0 又设 P 点在 AB 上, 且 OP ⊥ AB .求 |OP | 的值.::−→ · −−→ ,,−.| |2= (1 + k 2)a 2,解方法一 由 OA OB = 0 不妨设 A (a; ka ) B ( kb; b ) 这样 OA |OB|2 = (1 + k 2)b 2.由 A , B 在椭圆上, 有a 2k 2b 2+ k 2a2= 1;+ b 2= 1:2 2因此 a 2= 1/(k 2+ 1/2), b 2= 1/(1 + k 2/2).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)现在, 在 Rt △OAB 中, |OP |2= |OA|2|OB|2/|AB|2, 所以|OP |2 =(1 + k 2)a 2b 21 + k 22==:a 2 +b 2(1 + k 2/2) + (k 2+ 1/2) 3√因此 |OP | = 36.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)方法二: 不妨设 OA 与 x 轴正向的夹角为 , OB 与 x 轴正向的夹角为 + 2 . 这样,可进一步设 A (a cos ; a sin ), B (−b sin ; b cos ). 代入椭圆方程可得a2(12 cos2+ sin 2)= 1; b 2(12 sin 2 +cos2) = 1:= 12 + 1 = 32 , 也即a 2 + b2= 3 :a 2b22在 Rt △OAB 中, |OP | · |AB| = |OA| · |OB|, 因此 |OP |2= a 2b 2/(a 2+ b 2) = 2/3. 这样√|OP | = 36.2. 在四面体 ABCD 内部有一点 O , 满足 OA = OB = OC = 4, OD = 1, 求四面体 ABCD 体积的最大值.解: 首先, 固定 A , B , C , O 四点时, 要使 ABCD 的体积最大, 则 D 点到平面 ABC 的 距离应最大. 但 D 点在以 O 为球心, 1 为半径的球面上运动, 故取最大值时, OD ⊥ 平面 ABC .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分)参考答案与评分标准第 4 页设 O 在平面 ABC 的投影点为 E , 且 |OE| = x . 那么, D 到 ABC 的距离为 1 + x . 而EA = EB = EC =√, 可知 △ABC 的面积 ≤√(16 − x 2). (注: 这里用到,16 − x 23 34若 A , B , C 是半径为 R 的圆上三点, 则 △ABC 的面积 ≤√R 2.) 3 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)因此, ABCD 的体积 ≤ √(16 − x 2)(1 + x ). 考虑函数 f (x ) = (16 − x 2)(1 + x ), 34x ∈ (0; 4), 易知f ′(x ) = −3x 2− 2x + 16;可见 f (x ) 在 (0; 3) 上有唯一的临界点 x = 2. f (x ) 在 (0; 3) 的最大值为 f (2) = 36. 从而所求最大值为 9√3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分)3. 设函数 f (x ) = 1 − e −x . (1) 证明: 当 x > 0 时, f (x ) > x +1x; (2) 数列 {a n } 满足 a 1 = 1, a n e−a n +1= f (a n ), 证明: 数列 {a n } 递减且 a n < 21n .解: (1) 待证式等价于 e −x < x +11, 即 −x < − ln(x + 1). 令 h (x ) = x − ln(x + 1), 则 h ′(x ) = 1 − x +11, 可见 h (x ) 在 [0; ∞) 上单调增, 因此当 x > 0 时, h (x ) > h (0) = 0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(5 分) , 则 a n +1 = g (a n ). 要证明 {a n } 递减, 只需证明当 x > 0 时,事实上, g (x ) < x 等价于 ln((1 − e −x)/x ) > −x , 也即1 − e −x > x e −x;注意 f (x ) = 1 − e −x, 可见上式也等价于 f (x ) > x (1 − f (x )), 即 f (x ) > x /(x + 1), 这 由 (1) 即证.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分)要证明 a n < 21n , 只需证明当 x > 0 时, g (x ) < x2 . 这等价于1 −e −x> e −x /2;x也即 ex /2− e−x /2> x . 为证此式, 令 F (x ) = e x /2 − e −x /2 − x , 则 F ′(x ) = 12 (e x /2+e −x /2) − 1 ≥ 0, 且等号成立当且仅当 e x /2= e −x /2= 1, 即 x = 0. 因此 F (x ) 在 [0; ∞)上单调增, F (x ) > F (0) = 0. 于是 e x /2− e−x /2> x 得证.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分).参考答案与评分标准第 5 页。
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5. 将集合 {2x + 2y + 2z | x, y, z ∈ N, x < y < z } 中的数从小到大排列, 第 100 个 是 (用数字作答).
3 3 解: 使得 0 ≤ x < y < z ≤ n 的 (x, y, z ) 组合共有 Cn +1 个. 注意 C9 = 84 < 3 , 因此第 100 个数满足 z = 9. 使得 0 ≤ x < y ≤ m 的 (x, y ) 组 100 < 120 = C10 2 3 2 合共有 Cm +1 个, 注意 C9 + C6 = 99, 因此第 100 个数满足 y = 6, x = 0. 即第
解: 由于 A > B > C , 所以 B , C 都是锐角, tan B , tan C 都是正整数, 这样 tan A = − tan(B + C ) =
可见 A 也是锐角. 这时, tan C ≥ 1, tan B ≥ 2, tan A ≥ 3. 我们有 tan A + tan B = tan C ≥ 1, tan A tan B − 1 即 (tan A − 1)(tan B − 1) ≤ 2. 但 是 tan A − 1 ≥ 2, tan B − 1 ≥ 1, 比 较 可 知只可能 tan A = 3, tan B = 2, tan C = 1. 因此, C = 45◦ , 选项 (C) 正确. √ 由 tan B > 3 可知 B > 60◦ , 选项 (B) 是错误的. 至于选项 (A) 和 (D), 由 √ tan 75◦ = 2 + 3 > tan A 可知 A < 75◦ , 选项 (A) 正确; 由 A + B = 135◦ 和 A > B 可知 A > 65◦ , 选项 (D) 正确. 综上可知, 本题答案为 (B). 二. 填空题 (每小题 9 分, 共 54 分) 1. 若正实数 a, b 满足 log8 a + log4 b2 = 5 和 log8 b + log4 a2 = 7, 则 log4 a + log8 b 的值是 .
√ 6 3 .
k 2 b2 + b2 = 1. 2
(1 + k 2 )a2 b2 1 + k2 2 = = . a2 + b2 (1 + k 2 /2) + (k 2 + 1/2) 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20 分) 方法二: 不妨设 OA 与 x 轴正向的夹角为 α, OB 与 x 轴正向的夹角为 α + π 2 . 这样, 可进一步设 A(a cos α, a sin α), B (−b sin α, b cos α). 代入椭圆方程可得 a2 由此可见
解: 设 m 在平面 π 上的投影为 m′ , m′ 交 l 于 O 点. 在平面 π 上, 以 O 为原点, l 为 y 轴建立直角坐标系, 则可设 m′ 的方程为 y = kx. 又设 P 点的坐标为 (x, y ), 参考答案与评分标准第 1 页
√ 则 P 到 l 的距离为 |x|; 它到 m′ 的距离为 |y − kx|/ 1 + k 2 , 从而 P 到 m 的距 离平方等于 (y − kx)2 + a2 , 1 + k2 其中 a 为直线 m 到平面 π 的距离. 因此, P 点的轨迹方程是 (y − kx)2 + a2 = x2 . 1 + k2 可见轨迹是双曲线. 选 (D). 6. 如果 △ABC 中, tan A, tan B , tan C 都是整数, 且 A > B > C , 则以下说法错误 的是 (A). A < 80◦ (C). C < 50◦ (B). B < 60◦ (D). A > 65◦ tan B + tan C > 0, tan B tan C − 1
67π 2014
π 2π 3 ) sin(α + 3 ),
时, x 的小数点后第一位数字
这两式相乘得 sin(α + 后第一位数字是 7
2π 3 ) sin(α
+π 3) =
3 4
cos2 α −
1 4
3 sin2 α. 因此 x = 4 , 小数点
.
3. 数列 {an } 满足 an+1 = an + an−1 , n ≥ 2. 若 a7 = 8, 则 a1 + a2 + · · · + a10 等 于 .
100 个数是 29 + 26 + 20 = 577 . x − 3, x ≥ 1000; 6. 函数 f (x) 满足 f (x) = f (f (x + 5)), x < 1000.
则 f (84) 的值是
.
解: 记 f (n) (x) = f (f (· · · f (x) · · · )), 其中等号右端有 n 个 f . 那么 f (84) = f (f (89)) = · · · = f (184) (999) = f (185) (1004) = f (184) (1001) = f (183) (998) = f (184) (1003) = f (183) (1000) = f (182) (997) = f (183) (1002) = f (182) (999). 注意从 f (184) (999) 到 f (182) (999) 这个过程中, f 的个数减少了 2. 同样的推理可 知 f (182) (999) = f (180) (999) = · · · = f (2) (999). 继续此过程, 就有 f (2) (999) = f (3) (1004) = f (2) (1001) = f (998) = f (2) (1003) = f (1000) = 997. 参考答案与评分标准第 3 页
解: 注意 x 满足 x2 + x + 1 = 0, 从而 x3 = 1, |x| = 1, xx = 1. 又注意 a, b, c 的 虚部相等, 结合 x2 + x + 1 = 0 可知, 只需针对 a = 1, b = 2, c = 3 进行计算即可. 这时我们有 |a + bx + cx2 |2 = (a + bx + cx2 )(a + bx + cx2 ) = a2 + b2 + c2 + ab(x + x) + bc(xx2 + xx2 ) + ac(x2 + x2 ) = a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca. 将 a = 1, b = 2, c = 3 代入, 得 |a + bx + cx2 |2 = 3, 故本题答案为 √ 3 .
解: 由 条 件 可 知 a7 = 8a2 + 5a1 , 所 以 a1 + a2 + · · · + a10 = 88a2 + 55a1 = 11a7 = 88 .
1 2 ( −1
4. 若 a = 1 + i, b = 2 + i, c = 3 + i, x = .
+
√ 3 i), 则 |a + bx + cx2 | 的值是
解: 设公比为 q . 由于 qSn = q (a1 + a2 + · · · + an ) = a2 + a3 + · · · + an+1 , 所以 Sn+1 = qSn + a1 . 进而 Sn+2 = q (qSn + a1 ) + a1 = q 2 Sn + a1 (q + 1). 与已知条件 比较可知 q 2 = 4, a1 (q + 1) = 3. 所以 q = 2, a1 = 1, 或 q = −2, a1 = −3. 相应 地, a2 = 2 或 6. 选 (C).
解: 令 a = 2x , b = 2y , 则 x/3 + y = 5, y /3 + x = 7, 从而解得 x = 6, y = 3. 因此 log4 a + log8 b = x/2 + y /3 = 2. 设 x = sin2 α + sin(α + 的是 解: 由于 . √ 2π ) 1 3 cos α, sin α + = − sin α + 3 2 2 √ ( π) 1 3 sin α + cos α, = sin α + 3 2 2 ( 参考答案与评分标准第 2 页 4 . 当α=
2014 年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准
一. 选择题 (每小题 6 分, 共 36 分) 1. 在平面直角坐标系中, 方程 x2 + 2x sin(xy ) + 1 = 0 所表示的图形是 (A). 直线 (B). 抛物线 (C). 一个点 (D). 以上都不对
解: 易知 x = −1 且 sin xy = 1, 从而该方程所表示的图形由点列 (−1, 2kπ − π 2 ), k ∈ Z 构成. 选 (D). 2. 圆柱的底面半径为 r, 高为 h, 体积为 2, 表面积为 24, 则 (A). 6 (B). 8 (C). 12
因此本题答案为
997
.
三. 解答题 (每小题 20 分, 共 60 分. 每小题只设 0 分, 5 分, 10 分, 15 分, 20 分五档) 2 − → − − → 2 1. 设 A, B 是椭圆 x 2 + y = 1 上两个动点, O 是坐标原点, 且 OA · OB = 0. 又设 P 点在 AB 上, 且 OP ⊥ AB . 求 |OP | 的值. − → − − → 解: 方法一: 由 OA · OB = 0, 不妨设 A(a, ka), B (−kb, b). 这样 |OA|2 = (1 + k 2 )a2 , |OB |2 = (1 + k 2 )b2 . 由 A, B 在椭圆上, 有 a2 + k 2 a2 = 1, 2 因此 a2 = 1/(k 2 + 1/2), b2 = 1/(1 + k 2 /2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10 分) 现在, 在 Rt△OAB 中, |OP |2 = |OA|2 |OB |2 /|AB |2 , 所以 |OP |2 = 因此 |OP | =