2019届湘教版数学中考专项训练(四)锐角三角函数(含答案)
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数测试卷含答案详解
湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数测试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．已知在R t △ABC 中，∠C = 90°，∠A =α，AB = 2，那么BC 的长等于 A ．2sin αB ．2cos αC ．2sin αD ．2cos α2．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC =3, AC =4，则sinA 的值为（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．453．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,3，那么sin α的值是（ ）A ．34B ．43C ．45D ．354．△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AB=13，那么sinA 的值等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．1255．在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC BC=2，则sin∠ACD 的值为（）A B C D．2 37．小明沿着坡比为1600m，则他升高了（）A．B．C．300 m D．200m8．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，cosA=35，BE=2，则tan∠DBE的值是（）A．2 B．12C D9．在△ABC中，若|sinA﹣12|+tanB）2=0，则∠C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．已知α是锐角，且点A（12，a），B（sinα＋cosα，b），C（－m2＋2m－2，c）都在二次函数y＝－x2＋x＋3的图象上，那么a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜ b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 二、填空题11．ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=34，则BC的长_____．12．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____．13．某人沿着坡度为1:3的山坡向上走了200m，则他升高了________米．14．已知α、β是锐角，且cotα＜cotβ，则α、β中较小的角是________．15．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=34， 则sinA=________ ．16．小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A 处测得点D 的俯角α为30°，测得点C 的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC 为30米，则图书大厦CD 的高度为________米．17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将△ADE 沿DE 翻折，使点A 落在点A′处，当A′E ⊥AC 时，A′B ＝____．18．如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM=13AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ．若AC=2，△AMH 的面积是112，则1tan ACH ∠的值是_______．三、解答题19．计算：0112sin 45()2π--︒++．20．如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A ，再在河的这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC 的长为40m ，求河的宽度（结果保留根号）．21．五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向．小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）22．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan∠B=cos∠DAC，（1）求证：AC=BD；（2）若sinC=1213，BC=36，求AD的长．23．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？24．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向B航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B 处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考≈1.41≈2.45）25．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：512，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．26．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．27．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除．（参考≈1.414）参考答案1．A【分析】根据正弦的定义解答即可.【详解】∵在R t △ABC中，∠C = 90°，∴AB为斜边，BC为∠A所对直角边，∵∠A=α，∴sinα =BC AB，∴BC=AB sinα =2sinα，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，正弦是锐角的对边与斜边的比；余弦是锐角的邻边与斜边的比；正切是锐角的对边与邻边的比；余切是锐角的邻边与对边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键.2．C【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA=BCAB求解即可.【详解】∵∠C=90°，BC=3,AC=4∴5 AB=∴3 sin5BCAAB==故选C.【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可.3．D【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，∵A的坐标为(4,3) ∴OB=4，AB=3，在Rt△AOB中，∴AB3 sin==OA5α故选：D．【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．4．B【分析】根据正弦的定义：正弦=对边/斜边即可解答.【详解】由题意得sinA=BCAB=1213，故选B.【点睛】掌握正弦公式是解答本题的关键.5．C【分析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C．6．A在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sin B．【详解】在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB==3．∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠BAC==．AB故选A．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．7．C【详解】试题分析：首先根据题意画出图形，由坡度为，可求得坡角∠A=30°，又由小明沿着坡度为600m，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i=1∴tan∠∴∠A=30°，=1000m，∴BE=1AB=300（m）．2∴他升高了300m．故选C考点：解直角三角形的应用点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应8．A在直角三角形ADE 中，cosA=35=AE AB BEAD AD -= ,可以求得AB ，再利用勾股定理求得DE ，即可求得tan DEDBE BE∠= . 【详解】解：设菱形的边长为t2BE =2AE t ∴=-352AE AB BE t AD D tco A sA --==== 5t ∴=4DE ∴=4tan 22DE DBE BE ∴∠=== 故选A 【点睛】本题考查了菱形的性质和解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 9．D 【详解】试题解析：∵|sinA-12|+）2=0，∴|sinA-12|=0，-tanB ）2=0，∴sinA-12=0-tanB=0，sinA=12，∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C=120°． 故选D ．考点：1.特殊角的三角函数值；2.非负数的性质：绝对值；3.非负数的性质：偶次方． 10．D 【分析】先计算对称轴为直线x=12，抛物线开口向下，可知A点为顶点（最高点)，a最大；再根据B、C两点与对称轴的远近，比较纵坐标的大小．【详解】抛物线y=-x2+x+3的对称轴是直线x=12，开口向下，点A（12，a)为顶点，即最高点，所以，a最大，A、B错误；又1＜sinα+cosα＜2，-m2+2m-2=-（m-1)2-1≤-1，可知，B点离对称轴近，C点离对称轴远，由于抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，c＜b，C错误；故选D．【点睛】比较抛物线上点的纵坐标大小，需要结合对称轴，开口方向，点与对称轴的远近，来比较大小.11．【详解】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长：∵△ABC中，∠C=90°，AB=8，，∴3AC AB cosA864=⋅=⨯=．∴BC=故答案为12．1 3【详解】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴，在Rt△BEF中，tan∠EBF=EFBF=13，即∠EBC=13．故答案为13．13．【详解】【分析】根据坡度等于坡角的正切值，以及正切的定义可设升高了xm，则水平距离为3xm，再根据勾股定理求得答案．【详解】设升高了xm，根据坡比为1：3，则可得水平距离为3xm，∴由勾股定理得x2+（3x）2=2002，解得故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，熟练掌握坡比等于坡角的正切是解题的关键.14．β【分析】锐角三角函数值都是正值，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．【详解】∵α、β是锐角，且cotα＜cotβ，∴α＞β，故α、β中较小的角是β．故答案为β．【点睛】考查了锐角三角函数的增减性．①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；④余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．15．4 5 .【详解】试题分析：根据正切函数可设tanA=43=BCAC=43aa，根据勾股定理，可得AB=5a，再根据正弦函数可得sinA=BCAB=45aa=45.故答案为4 5 .考点：同角三角函数的关系．16．【分析】作DH⊥AB于H，根据正切的概念分别求出AB、AH，计算即可．【详解】作DH⊥AB于H，则DH=BC=30，在Rt△ADH中，AH=DH×tanα=10 ，在Rt △ABC 中，AB=BC tan30︒ =30 ，则CD=AB ﹣AH=20（米），故答案为20． 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17【分析】分两种情况:①如图1, 作辅助线, 构建矩形, 先由勾股定理求斜边AB=10, 由中点的定义求出AD 和BD 的长, 证明四边形HFGB 是矩形, 根据同角的三角函数列式可以求DG 和DF 的长,并由翻折的性质得: ∠DA' E=∠A,A' D=AD=5, 由矩形性质和勾股定理可以得出结论②如图2, 作辅助线, 构建矩形A' MNF,同理可以求出A' B 的长.【详解】解：分两种情况:如图1,过D 作DG ⊥BC 与G, 交A' E 与F, 过B 作BH ⊥A' E 与H,D 为AB 的中点,∴BD=12AB=AD,∠C=90o ,AC=8,BC=6,∴AB=10,∴BD=AD=5, sin ∠ABC=DG AC BD AB =,8510DG ∴= ∴DG=4, 由翻折得: ∠DA' E=∠A, A' D=AD=5,∴sin ∠DA' E=sin ∠A=BC DF AB A D='.∴6105DFA=∴DF=3,∴FG=4-3=1,A'E⊥AC,BC⊥AC,∴A'E//BC,∴∠HFG+∠DGB=180o,∠DGB=90o,∴∠HFG=90o,∴∠EHB=90o,∴四边形HFGB是矩形,∴BH=FG=1,同理得: A' E=AE=8 -1=7,∴A'H=A'E-EH=7-6=1,在Rt△AHB中, 由勾股定理得如图2,过D作MN//AC, 交BC与于N,过A' 作A' F//AC, 交BC的延长线于F,延长A' E交直线DN 于M, A'E⊥AC,∴A' M⊥MN, A' E⊥A'F,∴∠M=∠MA'F=90o,∠ACB=90o,∴∠F=∠ACB=90o,∴四边形MA' FN県矩形,∴MN=A'F,FN=A'M,由翻折得: A' D=AD=5,Rt△A'MD中,DM=3,A'M=4,∴FN=A'M=4,Rt△BDN中,BD=5,∴DN=4, BN=3,A' F=MN=DM+DN=3+4=7,BF=BN+FN=3+4=7,Rt△ABF中, 由勾股定理得=综上所述,A'B故答案为或【点睛】本题主要考查三角形翻转后的性质，注意不同的情况需分情况讨论.18．．【详解】试题分析：过点H作HG⊥AC于点G，∵AF平分∠CAE，DE∥BF，∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，∴AC=CF=2，∵AM=AF，∴，∵DE∥CF，∴△AHM∽△FCM，∴，∴AH=1，设△AHM中，AH边上的高为m，△FCM中CF边上的高为n，∴=，∵△AMH的面积为：，∴=AH•m∴m=，∴n=，设△AHC的面积为S，∴=3，∴S=3S△AHM=，∴AC•HG=，∴HG=，∴由勾股定理可知：AG=，∴CG=AC﹣AG=2﹣，∴==.故答案为．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形；综合题．19．3．【详解】试题分析：根据二次根式、绝对值意义、特殊角的三角函数值、零指数幂法则、负整数指数幂法则计算即可得到结果．试题解析：原式=212-+=3．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．20．20)m ．【分析】如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，设AD =x m ，通过锐角三角函数可知：BD ＝x m ，DC m ；根据BC 的长为40m 即可建立方程，解之即可求出河宽.【详解】解：作AD ⊥BC,垂足为D .设AD = x m ，∵∠ABC =45°，∴BD ＝AD = x m ，∵∠ACB =30°，∴DC ＝tan 30AD︒m ，∵AD+DC=BC ,且BC ＝40m ，∴40x =，解得，20x =，答：则河的宽度为20)m.【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用. 通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键. 21．AB=2.88千米．【详解】试题分析：作OC ⊥AB ．在在Rt △AOC 中，求出AC 、OC 的长，从而求出BC 的长，于是将AC 、BC 相加即可．试题解析：作OC ⊥AB ．∵AB ∥OF ，∴∠A=72°，∠B=40°，∴在Rt△AOC中，AC=2×cos72°≈2×0.31=0.62（千米），OC=2×sin72°≈2×0.95=1.9（千米），在Rt△BOC中，=tan40°，即≈0.84，BC≈=2.26（千米），∴AB=0.62+2.26=2.88（千米）．点睛：本题考查了方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．22．（1）证明见解析（2）8【分析】（1）由于tan B=cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC=BD；（2）设AD=12k，AC=13k，然后利用题目已知条件解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B=ADBD，cos∠DAC=ADAC，tan B=cos∠DAC，∴ADBD=ADAC，∴AC=BD．（2）在Rt△ADC中，sin C=1213，故可设AD=12k，AC=13k，∴CD k，∵BC=BD+CD，AC=BD，∴BC=13k+5k=18k．由已知BC=12，∴18k=12，∴k=23，∴AD=12k=12×23=8．点睛：此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．23．如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区【分析】问输水线路是否会穿过居民区，其实就是求A到MN的距离是否大于圆形居民区的半径，如果大于则不会穿过，反之则会．【详解】作AC⊥MN于点C，∵∠AMC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝75°－30°＝45°，∴设AC为xm，则AC＝BC＝x，在Rt△ACM中，MC＝400＋x，∴tan∠AMC＝，即＝，解得x ＝200＋200＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共的直角边时，利用这条公共边来求解是解决此类题目的基本出发点．24．小岛A与小岛B之间的距离是100km．【分析】先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．【详解】解：过点C作CP⊥AB于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h ，轮船航行2小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴∵∠CAP=60°，∴tan60°=CP AP∴，∴（km ）．答：小岛A 与小岛B 之间的距离是100km ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．25．（1）改造前坡顶与地面的距离BE 为24米；（2）BF 至少是8米【详解】整体分析：（1）Rt △ABE 中，根据斜坡AB 的坡比为i=1：512，且AB=26米解直角三角形；（2）过点F 作FG ⊥AD 于点G ，用∠FAG 的余切求出AG 即可.解：（1）在Rt △ABE 中，AB=26，i=BE AE =125， 设BE=12k ，AE=5k ，则AB=13k=26，k=2，∴AE=10（米），BE=24（米）；（2）过点F 作FG ⊥AD 于点G ，由题意可知：FG=BE=24，∠FAD=53°，在Rt △AFG 中，cot53°=24AG =0.75， ∴AG=18， ∴BF=GE=AG ﹣AE=8米，答：改造前坡顶与地面的距离BE 为24米；BF 至少是8米．26．拦截点D 处到公路的距离是(500＋)米．【详解】试题分析：过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E=∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF ．解Rt △BCE ，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt △CDF ，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．试题解析：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E=∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF ．在Rt △BCE 中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=×1000=500米；在Rt △CDF 中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，∴CF=CD=500米，∴DA=BE+CF=（500+500）米，故拦截点D 处到公路的距离是（500+500）米．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．27．需要拆除．【分析】由题意得到△ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在Rt△BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC=30°，得到DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，再比较AD+3与10的大小即可．【详解】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，=∴AD=BD﹣AB=（10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题；属于应用题．。
完整版湘教版九年级上册数学第4章 锐角三角函数含答案
湘教版九年级上册数学第4章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。
如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为。
已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（）A. B. C. D.2、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A. B. C. D.3、如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（）A. B. C. D.4、如图，某建筑物上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅，王同学利用测倾器在斜坡的底部处测得条幅底部的仰角为60°，沿斜坡AB走到B处测得条幅顶部C的仰角为50°.已知斜坡的坡度米，米（点在同平面内，，测倾器的高度忽略不计），则条幅的长度约为（）（参考数据：）A.12.5米B.12.8米C.13.1米D.13.4米5、在正方形网格中，如图放置，则等于（）A. B. C. D.6、如图所示,CD是Rt△ABC斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos∠BCD的值是( )A. B. C. D.7、如图，击打台球时小球反弹前后的运动路线遵循对称原理，即小球反弹前后的运动路线与台球案边缘的夹角相等（α=β），在一次击打台球时，把位于点P处的小球沿所示方向击出，小球经过5次反弹后正好回到点P，若台球案的边AD的长度为4，则小球从P点被击出到回到点P，运动的总路程为（）A.16B.16C.20D.208、如图，直线y＝x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是( )A. B. C. D.9、若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（）A.小于30°B.大于30°C.大于60°D.大于60°10、在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A. B. C. D.211、如图，的三个项点均在格点上，则的值为（）A. B. C.2 D.12、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.13、下列选项错误的是（）A. B. C. D.14、如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C 处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A.20海里B.40海里C. 海里D. 海里15、在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（）A.都扩大到原来的3倍B.都缩小为原来的3倍C.都保持原来的数值都不变D.有的变大，有的缩小二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C 在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为________．17、△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长________18、如图，把两张宽度都是3cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则重叠部分的面积为________．19、小颖家住在甲楼，她所居住的楼房前面有一座乙楼。
2019年湘教版数学九年级上册第四章 锐角三角函数单元测试题(含答案)
第四章单元检测卷[时间：90 分钟 分值：150 分]一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) △1．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则 sin A 的值是()512 5 13 A.13B.13C.12D. 52．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为 300 m ，250 m ，200 m ，线与地面所成的角度分别为 30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放风筝()A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．乙的最低3．如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为 D.若 AC ＝ 6，BC ＝2，则 sin ∠ACD 的值为()15 2 5 5 6 A. 5B. 5C. 2D. 2第 3 题图第 4 题图△4．如图， ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sin B 的值为()12 3 A.2 B. 2 C. 2D ．135．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知 cos A ＝5，那么 tan A 等于()4 3 45 A.3 B.4 C.5 D.46．如图，为测量河两岸相对的两电线杆 A ，B 之间的距离，在距 A 点 16 m的 C 处(AC ⊥AB)测得∠ACB ＝52°，则 A ，B 两点间的距离为()16m A．16sin52°m B．16cos52°m C．16tan52°mD.tan52°7．如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A 到旗杆的距离AB＝12m，则旗杆的高度为()A．63m B．6m C．123m D．12m第7题图第8题图8．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是()A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里9．若α，β都是锐角，且cosα＞cosβ，则下列式子正确的是()A．α＞βB．sinα<sinβC．tanα＞tanβD．以上式子都不正确△10．如图，在ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝62，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于()A．2B．3C．32D．23二、填空题(每小题4分，共32分)11．计算：cos245°＋tan30°·sin60°＝_______．△12．在ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sin A＝________，tan BAB于点D，E.如果BC＝8，tan 4＝___________．13．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比(指坡面的铅直高度BC与水平宽度CA的比)是1∶3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长度是_________m.4 14．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cos B＝5，则AC＝________．315．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝2，a＝3，那么b＝______．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，A＝3，那么BD＝________．,)17．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于_________海里．,第17题图),第18题图) 18．如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1∶2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过________米．三、解答题(共7小题，满分78分)3319．(10分)计算：2sin60°－2cos45°－3tan30°·cos60°.20．(10分)如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫作角α的余切，记作cotα＝角α的邻边AC角α的对边＝BC.根据上述角的余切的定义，解答下列问题：(1)cot30°＝___________；(5分)3(2)如图，已知tan A＝4，其中∠A为锐角，试求cot A的值．21．(10分)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5m的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22m，求旗杆CD的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan32°≈0.62)1 22．(10分△)如图，在ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝3，AD＝1，求BC的长．23．(12分)某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相24．(12分)如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝ 2.求：关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚好在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情的渔船的俯角为30°，请问此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)1232(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．25．(14分)如图所示，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1∶3，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．参考答案[时间：90 分钟 分值：150 分]一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)1． A 2． B 3． A 4． B 5． A 6． C 7． C 8． C 9． B10．A【解析】 ∵AC ＝6 2，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，2∴AD ＝AC ·sin 45°＝6 2× 2 ＝6.AD AD∵tan ∠ABC ＝3，∴BD ＝3，∴BD ＝ 3 ＝2.二、填空题(每小题 4 分，共 32 分)3411．1 12．53 13．1014．5【解析】 ∵△ABC 为直角三角形，AD ⊥BC 于点 D ，∴∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∠B ＋∠BAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠B ，AD 4∴cos B ＝cos ∠CAD ＝AC ＝5.又∵AD ＝4，∴AC ＝5.2515．116． 417．10 3【解析】 根据题意可知∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°.∵∠CBD ＝∠CAD ＋∠ACB ，∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∴AB ＝BC ＝20 海里．在 Rt △CBD 中，∠BDC ＝90°，∠CBD ＝60°，CD∴sin 60°＝ B C ，3∴CD ＝BC ·sin 60°＝20× 2 ＝10 3海里．18． 2.4三、解答题(共 7 小题，满分 78 分)3 3 2 3 3 119．解：原式＝ 2 × 2 － 2× 2 － 3 × 3 ×2(4 分)31＝4－1－6(8分)5＝－12.(10分)20(1)3BC3解：(2)∵tan A＝AC＝4，AC4∴cot A＝BC＝3.(10分)DE 21．解：在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，BE＝AC＝22m，tan32°＝BE，(5分)∴DE＝BE·tan32°≈22×0.62＝13.64(m)．(8分)∵CE＝AB＝1.5m，∴CD＝CE＋DE≈1.5＋13.64≈15.1(m)．答：旗杆CD的高度约为15.1m．(10分)AD122．解：在Rt△ABD中，∵AD＝1，∴sin B＝AB＝3，∴AB＝3，(4分)∴BD＝AB2－AD2＝2 2.(6分)在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1，(8分)∴BC＝BD＋CD＝22＋1.(10分)23．解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000m，∴AD＝CD·tan∠ACD＝10003m．(4分)在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CD·tan∠BCD＝30003m，(8分)∴AB＝BD－AD＝20003m.答：此时渔政船和渔船相距20003m．(12分)24．答图解：(1)如答图，过点A作AE⊥BC于点E.2∵cos C＝2，∴∠C＝45°.(1分)在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，∴AE＝CE＝1.(3分)1AE1在Rt△ABE中，tan B＝3，即BE＝3，∴BE＝3AE＝3，(5分)∴BC＝BE＋CE＝4.(6分)(2)∵AD是△ABC的中线，1∴CD＝2BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.(8分)∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，(10分)2.(12分)∴sin∠ADC＝225．答图解：如答图，过点E作EF⊥BC于点F，EN⊥AB于点N.(2分)∵假山的坡度为i＝1∶3，∴设EF＝x米，则FC＝3x米．(4分)∵CE＝20米，∴x2＋(3x)2＝400，解得x＝10，则FC＝103米．(8分)∵BC＝25米，∴BF＝NE＝(25＋103)米．(10分)∵∠AEN＝45°，∴AN＝EN＝(25＋103)米，(12分)∴AB＝AN＋BN＝NE＋EF＝25＋103＋10＝(35＋103)米．答：建筑物AB的高为(35＋103)米．(14分)。
湘教版九年级上册数学第4章 锐角三角函数含答案
湘教版九年级上册数学第4章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A. B. C. D.2、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.3、如图，在中，，沿的中线，将折叠，使点A落在点D处，若恰好与垂直，则的值为( )A. B. C. D.4、已知AB和CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC的夹角为ａ，则S△CDE: S△ABE等于（）A.Sin 2ａB.cos 2ａC.tan 2ａD.sinａ5、如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A. B.1 C. D.6、若，则的值为（）A.1B.C.D.27、在中，，若，则的值为（）A. B. C. D.8、如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米9、在Rt△ABC中,如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A.都扩大2倍B.都缩小2倍C.都不变D.不能确定10、三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A. B. C. D.11、如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A.100mB.120mC.50 mD.100 m12、如图，在菱形中，，，，则的值是（）A. B.2 C.10 D.13、如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ACB值为（）A. B. C. D.14、如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A.AB：AD=3：4B.当△BPQ是等边三角形时，t=5秒C.当△ABE∽△QBP时，t=7秒D.当△BPQ的面积为4cm 2时，t的值是或秒15、如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCO的边长为3,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在第一象限内直线y=kx+1分别与x轴、y轴、线段BC交于点F、D、G,AE⊥FG,下列结论:①△GCD和△FOD的面积比为3:1:②AE的最大长度为:③tan∠FEO= ④当DA平分∠EAO时,CG= ，其中正确的结论有（）A.①②③B.②③C.②③④D.③④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝6cm，则BC＝________．17、△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是________．18、如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部A处的仰角为，则教学楼的高度是________ .19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是________cm．21、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________.22、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是________.23、如图所示的网格是正方形网格，∠BAC________∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）24、如图，测量河宽AB（河的两岸平行），在C点测得∠ACB=32°，BC=60m，则河宽AB约为________m．（用科学计算器计算，结果精确到0.1）25、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan A的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、先化简，再求代数式÷（x﹣）的值，其中x=2sin60°+tan45°．27、如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）28、某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得，，求出点D到AB的距离.（参考数据，，）29、某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0.lm.温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）30、如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、B4、B5、B6、C7、D8、B9、C10、A11、A12、B13、C14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、30、。
中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含详细答案
中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含详细答案一、锐角三角函数1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或33.【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴''DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°， ∴tan ∠DBF′=33.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.4．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，3、D(0，3)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60º．(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标为；(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2）()()()()243x430x3331333x x3x5S{23x1235x93543x9+≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解：（1）（6，23）． 30．（3，33）．（2）当0≤x≤3时，如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，可得EF PE DC31==OQ PO DO333==，∴EF=13（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：EFQO14343S S EF OQ OC 3x x 43233==+⋅=+=+梯形（）（） 当3＜x≤5时，如图2，()HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ 243331333 x 43x 3=x x 32232∆=-=-⋅⋅=+---+-梯形梯形。
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)
中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（）A．√102B．√153C．√64D．√1042．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=35,那么tanB=()A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sinA=√32B．tanA=12C．cosB=√32 D．tanB=√34．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（）A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1cos2α，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在Rt△ABC 中△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）A ．sinA=√32B ．cosA=√32C ．tanA=12D ．cotA=√3310．已知：如图，正方形网格中∠AOB 如图放置，则cos∠AOB 的值为（ ）A ．2√55B ．2C ．12D ．√5511．如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE△AB ，垂足为E ，cosA=45，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD =15cm 2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．如图，在Rt △ABC 中 ∠ABC =90°，以其三边为边向外作正方形，连接EH ，交AC 于点P ，过点P 作PR ⊥FG 于点R.若tan∠AHE =12，EH =8√5，则PR 的值为（ ）A．10B．11C．4√5D．5√5二、填空题13．如图，在RtΔABC中∠B=90°，AB=3 ，BC=4 ，点M、N分别在AC、AB两边上，将ΔAMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ΔDCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为.14．如图，在△ABC中∠ABC=60°，AB=6，BC=10将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1，A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．15．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.16．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．17．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A 测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：√3，大楼底端B 到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝米．18．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）三、综合题19．（1）已知Rt△ABC中△C=90°，△A=30°，BC= √3，解直角三角形.（2）已知△ABC中△A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.20．如图1，已知∠PAQ=60°．请阅读下列作图过程，并解答所提出的问题．△如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AP，AQ交于B，C两点；△如图3，分别以B，C两点为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D；△如图4，作射线AD，连接BC，与AD交于点E．问题：（1）∠ABC的度数为．（2）若AB=4，求AE的长．21．如图，在△ABC中△C=60°，△O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB=2 √3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中在OA的位置时俯角△EOA=30°，在OB的位置时俯角△FOB=60°，若OC△EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（√3≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．已知：如图，AB是△O的直径，C是△O上一点，OD△BC于点D，过点C作△O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与△O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin△ABC= 23，求BF的长．24．如图，AB是△O的直径，OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交△O于点D，且△CBE=2△C.（1）求证：BE与△O相切；（2）若DF=9，tanC= 34，求直径AB的长.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】1或214．【答案】1415．【答案】(20√3−20)16．【答案】√31817．【答案】（25﹣5 √3）18．【答案】45.8米19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中△C=90°，△A=30°∴△B=90°-△A=60°，AB=2BC=2 √3∴AC= √AB2−BC2=√(2√3)2−(√3)2=3；（2）解：如图，过点B作BD△AC于D∵△A=45°∴△ABD=△A=45°∴AD=BD∵AB=4，AD2+BD2=AB2∴AD=BD= 2√2在Rt△BCD中BC=3∴CD=√BC2−BD2=1∴AC=AD+CD= 2√2+1.20．【答案】（1）60°（2）由作图可知AB=AC，AD平分∠PAQ∴AE⊥BC．∵∠PAQ=60°∴∠BAE=30°．在Rt△ABC中AE=AB⋅cos30°=4×√32=2√3．答：AE的长为2√3．21．【答案】（1）解：如图，连接OA；∵△C=60°∴△AOB=120°；而OA=OB∴△OAB=△OBA=30°；而AB=AP∴△P=△ABO=30°；∵△AOB=△OAP+△P∴△OAP=120°﹣30°=90°∴PA是△O的切线．（2）解：如图，过点O作OM△AB，则AM=BM= √3∵tan30°= OMAM sin30°=OMAO∴OM=1，OA=2；∴S△AOB=12·AB·OM= 12× 2√3×1= √3S扇形OAB =120π⋅22360= 4π3∴图中阴影部分的面积= 4π3−√3．22．【答案】（1）解：如图，过点A作AP△OC于点P，过点B作BQ△OC于点Q∵△EOA=30°、△FOB=60°，且OC△EF∴△AOP=60°、△BOQ=30°设OA=OB=x则在Rt△AOP中OP=OAcos△AOP= 1 2x在Rt△BOQ中OQ=OBcos△BOQ= √32x由PQ=OQ﹣OP可得√32x﹣12x=7解得：x=7+7 √3≈18.9（cm）答：单摆的长度约为18.9cm（2）解：由（1）知，△AOP=60°、△BOQ=30°，且OA=OB=7+7 √3∴△AOB=90°则从点A摆动到点B经过的路径长为90⋅π⋅(7+7√3)180≈29.295答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 23．【答案】（1）证明：连接OC∵OD△BC∴△COE=△BOE在△OCE和△OBE中∵{OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE∴△OCE△△OBE∴△OBE=△OCE=90°，即OB△BE∵OB 是△O 半径∴BE 与△O 相切．（2）解：过点D 作DH△AB ，连接AD 并延长交BE 于点F∵△DOH=△BOD ，△DHO=△BDO=90°∴△ODH△△OBD∴OD OB =OH OD =DH BD又∵sin△ABC= 23，OB=9 ∴OD=6易得△ABC=△ODH∴sin△ODH= 23 ，即 OH OD = 23∴OH=4∴DH= √OD 2−OH 2 =2 √5又∵△ADH△△AFB∴AH AB = DH FB 1318 = 2√5FB∴FB= 36√51324．【答案】（1）证明：∵OE 垂直于弦BC∴△BOE+△OBF=90°∵△CBE=2△C ， △BOE=2△C∴△CBE=△BOE∴△CBE+△OBF=90°∴△OBE=90°∴BE 与△O 相切；（2）解：∵OE 垂直于弦BC∴△CFD=△BFO=90°，CF=BF.∵DF=9，tanC= 34∴CF=BF=12.设半径长是x，则OF=x-9在Rt△BOF中∵x2=(x-9)2+122∴x= 25 2∴直径AB=25.。
2019—2020年最新湘教版九年级数学上学期《锐角三角函数》综合测试题及答案解析精品同步练习.docx
检测内容：第4章得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共24分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列等式中正确的是( D )A ．cos A ＝a cB ．sin B ＝c bC ．tan B ＝abD ．以上都不正确2．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则sin ∠AOB 的值是( D ) A.23 B.32 C.21313 D.313133．下列等式成立的是( C )A ．sin 45°＋cos 45°＝1B ．2tan 30°＝tan 60°C ．2 sin 30°＝ tan 45° D. sin 230°＝12cos 60°4．如图，王师傅在楼顶上A 点处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60°，若水平距离BD ＝10 m ，楼高AB ＝24 m ，则树CD 的高约为( C )A ．5 mB ．6 mC ．7 mD ．8 m5．(2014·巴中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( D )A.1213B.512C.1312D.1256．如图，∠AOB 的顶点在坐标原点，边OB 与x 轴正半轴重合，边OA 落在第一象限，P 为OA 上一点，OP ＝m ，∠AOB ＝β，则点P 的坐标为( D )A ．(m ＋tan β，mtan β) B ．(msin β，mcos β) C ．(mtan β，mtan β) D ．(mcos β，msin β)第6题图第7题图第8题图7．某舰艇以28海里/小时的速度向东航行，在A 处测得灯塔M 在北偏东60°方向，半小时后到达B 处，又测得灯塔M 在北偏东45°方向，此时灯塔与舰艇的距离MB 是( C )A ．7(3＋1)海里B ．142海里C ．7(2＋6)海里D ．14海里8．(2014·安顺)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于( C )A.33B.233 C.533 D ．5 3二、填空题(每小题3分，共24分)9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则a ∶b ＝__2∶5__．10．在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin B －222＝0，则∠C ＝__75°__． 11．一个小球由地面沿着坡度i ＝1∶1.5的坡面前进了10米，此时小球距离地面的高度为__201313__米(结果保留根号)．12．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝2，BC ＝1＋3，则∠ACB 的度数为__45°__．第12题图第13题图第14题图第15题图13．学校校园内有块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园以美化环境，预计花园每平方米的造价为30元，则学校建这个花园至少需要投资__6_750__元．14．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为__9__米．15．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tanE ＝__23__．16．在△ABC 中，已知AC ＝1，AB 与BC 所在直线所成的角中锐角为45°角，AC 与BC 所在直线形成的夹角的余弦值为255(即cos C ＝255)，则BC 边的长是__355或55__．三、解答题(共72分) 17．(8分)计算：(1)cos 245°＋tan 30°·sin 60°； (2)4sin 30°－2cos 45°＋6tan 60°；解：原式＝1; 解：原式＝1＋32；(3)2sin 260°－cos 60°tan 260°－4sin 45°＋2cos 230°； (4)sin 30°sin 60°－cos 45°－（tan 30°－1）2＋tan45°.解：原式＝9＋422； 解：原式＝433＋ 2.18．(6分)(2014·宁夏)在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C ＝45°，sinB ＝13，AD ＝1.求BC 的长．解：在Rt △ABD 中，∵sin B ＝AD AB ＝13，又∵AD ＝1，∴AB ＝3.∵BD 2＝AB 2－AD 2，∴BD ＝32－12＝2 2.在Rt △ADC 中，∵∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝1.∴BC ＝BD ＋DC ＝22＋1.19．(7分)如图，已知四边形ABCD 为矩形，AB ＝4，BC ＝6，M 为BC 的中点，DE ⊥AM 于点E ，求∠ADE 的正切值．解：易知△ABM ∽△DEA ，∴AEDE ＝BM AB ，又AB ＝4 cm ，BM ＝3 cm ，∴tan ∠ADE ＝AE DE ＝BMAB ＝34.20．(7分)(2014·三明)如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB 是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC 在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36)解：Rt△ACB中，AB＝6米，∠A＝20°，∴AC＝AB·cos∠A≈6×0.94＝5.64米．∵5.64米在5.3～5.7米范围内，∴小明种植的这两棵树符合要求．21．(8分)一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 2 ，试求CD的长．解：作BM⊥DF于点M，BM＝BC·sin45°＝12，∴CM＝BM＝12，DM＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－DM＝12－4 3.22．(8分)(2014·淮安)为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24 m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数)(参考数据：2≈1.41，sin 66.5°≈0.92，cos 66.5°≈0.40，tan 66.5°≈2.30)解：过B 点作BD ⊥AC 于D.∵∠ACB ＝45°，∠BAC ＝66.5°.∴在Rt △ADB 中，AD ＝BDtan 66.5°.在Rt △CDB 中，CD ＝BD ，∵AC ＝AD ＋CD ＝24 m ，∴BDtan 66.5°＋BD ＝24，解得BD ≈17 m ．又∵sin ∠BAC ＝BD AB ，∴AB ＝BDsin 66.5°≈18 m ．故这棵古杉树AB 的长度大约为18 m.23．(9分)(2014·北海)如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE 的长度．(结果保留小数点后两位；参考数据：sin 22°≈0.3746，cos 22°≈0.9272，tan 22°≈0.4040)解：由已知有：∠BAE ＝22°，∠ABC ＝90°，∠CED ＝∠AEC ＝90°，∴∠BCE ＝158°，∴∠DCE ＝22°，又∵tan ∠BAE ＝BD AB，∴BD ＝AB ·tan ∠BAE ，又∵cos ∠BAE ＝cos ∠DCE ＝CE CD，∴CE ＝CD ·cos ∠BAE ＝(BD －BC)·cos ∠BAE ＝( AB ·tan ∠BAE －BC)·cos ∠BAE ＝(10×0.404 0－0.5)×0.927 2≈3.28(m)．故CE 的长约为3.28 m.24．(9分)(2014·南充)马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A ，B 同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P 在救助船A 的北偏东53.50°方向上，在救助船B 的西北方向上，船B 在船A 正东方向140海里处．(参考数据：sin 36.5°≈0.6，cos 36.5°≈0.8，tan 36.5°≈0.75)(1)求可疑漂浮物P 到A ，B 两船所在直线的距离；(2)若救助船A 、救助船B 分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P 处．解：(1)过点P 作PE ⊥AB 于点E ，由题意得，∠PAE ＝36.5°，∠PBA ＝45，设PE 为x 海里，则BE ＝PE ＝x 海里，∵AB ＝140海里，∴AE ＝(140－x)海里，在Rt △PAE 中，PEAE＝tan ∠PAE ，即x140－x ＝0.75，解得：x ＝60海里，∴可疑漂浮物P 到A ，B 两船所在直线的距离为60海里；(2)在Rt △PBE 中，PE ＝60海里，∠PBE ＝45°，则BP ＝2PE ＝602≈84.8海里，B 船到达P 处需要的时间为：84.830≈2.83小时．在Rt △PAE 中，PEAP ＝sin ∠PAE ，∴AP ＝PE ÷sin ∠PAE ＝60÷0.6＝100海里，∴A 船到达P 处需要的时间为：100÷40＝2.5小时．∵2.83＞2.5，∴A 船先到达P 处．25．(10分)(2014·抚州)如图①所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图②，晾衣架伸缩时，点G 在射线DP 上滑动，∠CED 的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20 cm ，且AH ＝DE ＝EG ＝20 cm.(1)当∠CED ＝60°时，求C ，D 两点间的距离；(2)当∠CED 由60°变为120°时，点A 向左移动了多少cm ？(结果精确到0.1 cm) (3)设DG ＝x cm ，当∠CED 的变化范围为60°～120°(包括端点值)时，求x 的取值范围．(结果精确到0.1 cm)(参考数据3≈1.732，可使用科学计算器)解：(1)连接CD.∵CE ＝DE ，∠CED ＝60°，∴△CED 是等边三角形，∴CD ＝DE ＝20 cm ；(2)根据题意得：AB ＝BC ＝CD ，当∠CED ＝60°时，AD ＝3CD ＝60 cm ，当∠CED ＝120°时，过点E 作EH ⊥CD 于H ，则∠CEH ＝60°，CH ＝HD.在直角△CHE 中，sin ∠CEH ＝CHCE，∴CH＝20·sin60°＝20×32＝103(cm)，∴CD ＝203 cm ，∴AD ＝3×203＝603≈103.9(cm)，即点A 向左移动了103.9－60＝43.9 cm ；(3)当∠CED ＝120°时，∠DEG ＝60°，∵DE ＝EG ，∴△DEG 是等边三角形，∴DG ＝DE ＝20 cm ，当∠CED ＝60°时，则有∠DEG ＝120°，过点E 作EI ⊥DG 于点I ，∵DE ＝EG ，∴∠DEI ＝∠GEI ＝60°，DI ＝IG ，在直角△DIE 中，sin ∠DEI ＝DIDE ，∴DI ＝DE ·sin ∠DEI ＝20×sin 60°＝20×32＝103cm.∴DG ＝2DI ＝203≈34.6 cm.故x 的范围是20 cm ≤x ≤34.6 cm.。
湘教版初中数学九年级下册专项训练四 锐角三角函数
（ ）
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
2.（2016·乐山中考）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点 D，则下列结
论不正确的是（ ）
AD A.sinB＝
AB
AC
AD
B.sinB＝
C.sinB＝
BC
AC
CD D.sinB＝
AC
第 2 题图
第 4 题图
3.在△ABC 中，若三边 BC，CA，AB 满足 BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则 cosB 的值为
湘教版初中数学
1
2
17.如图，AD 是△ABC 的中线，tanB＝ ，cosC＝ ，AC＝ 2.求：
3
2
（1）BC 的长；
（2）sin∠ADC 的值.
18.（2016·衡阳中考）在某次海上军事演习期间，我军为确保△OBC 海域内的安全， 特派遣三艘军舰分别在 O，B，C 处监控△OBC 海域，在雷达显示图上，军舰 B 在军舰 O 的正东方向 80 海里处，军舰 C 在军舰 B 的正北方向 60 海里处，三艘军舰上装载有相同的 探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为 r 的圆形区域（只考虑在海平面上的探测）.
5
1
55
A. B.2 C. D.
2
25
7.（2016·长沙中考）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的
仰角为 30°，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60°，热气球 A 处与楼的水平距离为 120m，则这
栋楼的高度为（ ）
A.160 3m B.120 3m C.300m D.160 2m
（3）若敌舰 A 沿最短距离的路线以 20 2海里/时的速度靠近△OBC 海域，我军军舰 B 沿北偏东 15°的方向行进拦截，问 B 军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰 A？
湘教版九年级上册数学第4章 锐角三角函数含答案(名校卷)
湘教版九年级上册数学第4章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、计算2cos60° -sin245°+cot60°的结果是（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，∠1的正切值为（）A. B. C.3 D.24、如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD=8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为（）A. B. C. D.5、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A. B. C. D.6、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OA、OB、OC.若∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，AC＝4，则⊙O的直径为（）A. B.4 C. D.87、在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则∠B为（）A.30°B.45°C.60°D.90°8、如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（）A. B. C. D.9、如图，点A，B，C，D都在半径为1的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A.2B.C.D.10、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）A. B. C. D.11、如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（）A.8°B.10°C.12°D.24°12、如果a是锐角，且cosa= ，那么sina的值是（）A. B. C. D.13、如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过，，三点作圆，点在第一象限部分的圆上运动，连结，过点作的垂线交的延长线于点，下列说法：①；② ；③ 的最大值为10.其中正确的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③14、如图，在平行四边形中，，，那么的值等于（）A. B. C. D.15、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，某游乐场的摩天轮（圆形转盘）上的点距离地面最大高度为160米，转盘直径为153米，旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，此时，他离地面的高度是________米．17、如图,林林在A时测得某树的影长为2 m,B时又测得该树的影长为8 m,若两次日照的光线互相垂直,则该树的高度为________18、如图，矩形纸片中，，，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形对折，折痕为，如图（1）所示；第二步：再把点叠在折痕线上，折痕为，点在上的对应点为，得，如图（2）所示；第三步：沿折叠折痕为，且交的延长线于点，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，为________.19、计算：________．20、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）．21、科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是________千米．22、如图，四边形ABCD为矩形，以A为圆心，AD为半径的弧交AB的延长线于点E，连接BD，若AD=2AB=4，则图中阴影部分的面积为________.23、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是________．24、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB上的高,若BC=4,sinA= ,则BD 的长为________.25、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CB于点F．交CD于点E．若AC＝6，sinB＝，则DE的长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：2cos245°+ ﹣tan45°．27、在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）28、如图，电信部门计划修建一条连接B、C两地电缆，测量人员在山脚A处测得B、C两处的仰角分别是37°和45°，在B处测得C处的仰角为67°．已知C地比A地髙330米（图中各点均在同一平面内），求电缆BC长至少多少米？（精确到米，参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ，sin67°≈ ，tan67°≈ ）29、某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角为”改造后的斜坡式自动扶梯的坡角为，若国标规定自动扶梯的速度一般是，请你计算乘坐改造后的斜坡式自动扶梯比乘坐阶梯式自动扶梯多用的时间.(结果保留整数，参考数据：，，.)30、五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向；然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1米）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、A4、B5、D6、C7、C9、C10、C11、C12、C13、C14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、30、。
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专项训练四 锐角三角函数
一、选择题
1.（2016·怀化中考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4
5，AC ＝6cm ，则BC 的长度为
（ ）
A.6cm
B.7cm
C.8cm
D.9cm 2.（2016·乐山中考）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）
A.sin B ＝AD AB
B.sin B ＝AC BC
C.sin B ＝AD AC
D.sin B ＝CD
AC
第2题图 第4题图
3.在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ∶CA ∶AB ＝5∶12∶13，则cos B 的值为（ ）
A.512
B.125
C.513
D.1213
4.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，尺寸如图.如果两个三角形的面积分别记作S △ABC ，S △DEF ，那么它们的大小关系是（ ）
A.S △ABC ＞S △DEF
B.S △ABC ＜S △DEF
C.S △ABC ＝S △DEF
D.不能确定 5.（2016·金华中考）一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A.4sin θ米2
B.4cos θ
米2
C.⎝⎛⎭
⎫4＋4tan θ米2 D.（4＋4tan θ）米2
第5题图 第6题图
6.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝3
5，BE ＝2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A.12 B.2 C.52 D.55
7.（2016·长沙中考）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度为（ ）
A.1603m
B.1203m
C.300m
D.1602m
第7题图 第8题图
8.（2016·攀枝花中考）如图，点D （0，3），O （0，0），C （4，0）在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD 的值为（ ）
A.12
B.34
C.45
D.35 二、填空题
9.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且⎝⎛⎭⎫cos A －1
22
＋|1－tan B |＝0，则∠C ＝ . 10.（2016·岳阳中考）如图，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向
上走了200米到达点B ，则小辰上升了 米.
第10题图 第11题图 第12题图
11.（2016·娄底新化县一模）如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C ＝ .
12.如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值为 .
13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝3
5
，则DE ＝ .
第13题图 第14题图
14.（2016·西宁中考）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A 处修建通往百米观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC .若∠B ＝56°，∠C ＝45°，BC ＝100米，则游客中心A 到观景长廊BC 的距离AD 的长约为 米（参考数据：sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）.
15.（2016·盐城中考）已知△ABC 中，tan B ＝2
3，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足
为点D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，则△ABC 的面积为 .
三、解答题 16.计算：
（1）2（2cos45°－sin60°）＋
24
4
；
（2）（－2）0－3tan30°＋|3－2|.
17.如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝2
2，AC ＝ 2.求： （1）BC 的长；
（2）sin ∠ADC 的值.
18.（2016·衡阳中考）在某次海上军事演习期间，我军为确保△OBC 海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O ，B ，C 处监控△OBC 海域，在雷达显示图上，军舰B 在军舰O 的正东方向80海里处，军舰C 在军舰B 的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r 的圆形区域（只考虑在海平面上的探测）.
（1）若三艘军舰要对△OBC 海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r 至少为多少海里？
（2）现有一艘敌舰A 从东部接近△OBC 海域，在某一时刻军舰B 测得A 位于北偏东60°方向上，同时军舰C 测得A 位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A 离△OBC 海域的最短距离为多少海里？
（3）若敌舰A 沿最短距离的路线以202海里/时的速度靠近△OBC 海域，我军军舰B 沿北偏东15°的方向行进拦截，问B 军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A ？
参考答案与解析
1．C 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.A
8．D 解析：∵D (0，3)，C (4，0)，∴OD ＝3，OC ＝4.∵∠COD ＝90°，∴CD ＝32＋42
＝5.连接CD ，如图所示．∵∠OBD ＝∠OCD ，∴sin ∠OBD ＝sin ∠OCD ＝OD CD ＝3
5
.故选D.
9．75° 10.100 11.255 12.12 13.15
4
14.60
15．8或24 解析：可分两种情况：如图①，△ABC 为锐角三角形时，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD ＝BD ·tan B ＝4×23＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝
1
2×6×8
3＝8；如图②，△ABC 为钝角三角形时，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝
12.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD ＝BD ·tan B ＝12×23＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝1
2×6×8＝24.综
上所述，△ABC 的面积为8或24.
16．解：(1)原式＝2； (2)原式＝3－2 3.
17．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E .在Rt △ACE 中，∵cos C ＝2
2
，∴CE ＝AC ·cos C ＝2×
22＝1，∴AE ＝CE ＝1.在Rt △ABE 中，∵tan B ＝13，∴BE ＝AE tan B
＝3×1＝3，∴BC ＝BE ＋CE ＝4；
(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝1
2BC ＝2，∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE
＝1，∴∠DAE ＝∠ADC ＝45°，∴sin ∠ADC ＝
2
2
. 18．解：(1)在Rt △OBC 中，∵BO ＝80海里，BC ＝60海里，∠OBC ＝90°，∴OC ＝OB 2＋BC 2＝802＋602＝100(海里)．∵12OC ＝1
2×100＝50(海里)，∴雷达的有效探测半径
r 至少为50海里；
(2)作AM ⊥BC 于M .∵∠ACB ＝30°，∠CBA ＝60°，∴∠CAB ＝90°，∴AB ＝1
2BC ＝30海
里．在Rt △ABM 中，∵∠AMB ＝90°，AB ＝30海里，∠BAM ＝30°，∴BM ＝1
2AB ＝15海里，
AM ＝AB ·cos ∠BAM ＝153海里，∴此时敌舰A 离△OBC 海域的最短距离为153海里；
(3)假设B 军舰在点N 处拦截到敌舰．在BM 上取一点H ，使得HB ＝HN .设MN ＝x 海里．∵∠HBN ＝∠HNB ＝15°，∴∠MHN ＝∠HBN ＋∠HNB ＝30°，∴HN ＝HB ＝2x 海里，MH ＝3x 海里．∵BM ＝15海里，∴15＝3x ＋2x ，x ＝30－153，∴AN ＝AM －MN ＝(303－30)海里，BN ＝MN 2＋BM 2＝15(6－2)海里．设B 军舰速度为a 海里/时，由题意15（6－2）a ≤303－30
202，解得a ≥20.∴B 军舰速度至少为20海里/时，才能在此方向上
拦截到敌舰A .。