1112直线的方程【杨高】
直线的方程知识点
直线的方程知识点直线是平面上最简单的图形之一，其方程的求解对于数学学习非常重要。
直线方程的求解涉及到一些基本的数学概念和技巧。
本文将以“直线的方程知识点”为标题，逐步介绍直线方程的求解过程。
1. 直线的定义与基本属性直线是由一系列无限延伸的点组成，它没有曲线部分，只有两个端点。
直线的基本属性包括长度、斜率和方向。
2. 直线的斜率直线的斜率是直线的倾斜程度的度量。
它定义为直线上任意两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
斜率可以用数学符号表示为m，计算公式为：斜率公式斜率公式其中，y1和y2为直线上两个点的纵坐标，x1和x2为直线上这两个点的横坐标。
3. 直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点。
直线与x轴的交点称为x截距，与y轴的交点称为y截距。
4. 直线的一般方程直线的一般方程是直线方程的一种标准形式。
一般方程通常表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数常数。
5. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程是另一种表示直线方程的形式。
点斜式方程通过直线上的一个已知点和直线的斜率来表示。
点斜式方程的一般形式为y - y1 = m(x - x1)，其中(x1, y1)是直线上的已知点。
6. 直线的截距式方程直线的截距式方程是直线方程的第三种常见形式。
截距式方程通过直线与x轴和y轴的截距来表示。
截距式方程一般形式为x/a + y/b = 1，其中a和b是直线与坐标轴的截距。
7. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程是直线方程的另一种常见形式。
斜截式方程通过直线的斜率和与y轴的截距来表示。
斜截式方程的一般形式为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
8. 求解直线方程的步骤求解直线方程的一般步骤如下： - 收集直线上的点或已知条件。
- 根据给定的点或条件，确定直线的斜率。
- 根据已知的斜率和直线上的一个点，使用点斜式方程或斜截式方程求解直线方程。
- 如果需要，将方程转化为一般方程或截距式方程。
苏教版2019年高中数学 2.1.2直线的方程(3)教案 苏教版必修2
2.1.2 直线的方程（3）教学目标：1．掌握一般式直线方程，能根据条件求出直线方程；2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；3．掌握点斜式、两点式是一般式的特殊情况．教材分析及教材内容的定位：一般式方程是几种形式的化归与统一，要能够理解直线与方程的对应关系．教学重点：直线一般式的应用及与其他四种形式的互化．教学难点：理解直线方程的一般式的含义．教学方法：自主探究．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：（1）直线方程的形式与标准方程；（2）各类标准方程的局限性．2．本节课研究的问题是：如何回避直线标准方程的局限性而表示所有类型的直线方程？二、学生活动探究：直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都是关于x，y的二元一次方程，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程是否都表示直线？（1）平面直角坐标系中，若α为直线l的倾斜角，那么当α≠90︒时，l：y＝kx＋b即kx－y＋b＝0；当α＝90︒时，l：x＝x0即x＋0y－x0＝0；即它们都可变形为Ax＋By＋C＝0的形式，且A，B不同时为0，从而直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程．（2）关于x ，y 的二元一次方程的一般形式为Ax ＋By ＋C ＝0，（A ，B 不同时为0） 当B ≠0时，方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，在y 轴上的截距为C B-的直线；特别地，当A ＝0时，表示垂直于y 轴的直线；当B ＝0时，由A ≠0，方程C x A=-，表示与x 轴垂直的直线． 从而每一个二元一次方程都表示一条直线．三、建构数学一般地，方程）不全为0,(0B A C By Ax =++叫做直线的一般式方程．说明：（1）平面上的直线与二元一次方程是一一对应的；（2）前面的四种形式都是一般式方程的特殊情况．四、数学运用例1 求直线l ：3x ＋5y －15＝0的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图． 例2 设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是－3；（2）直线l 的斜率是1．练习：1．若AC ＜0，BC ＞0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0必不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设直线l 的方程为),2(3+=-x k y 当k 取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点？3．设直线的方程为 (m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是－3；（2）直线l 的斜率是1．4．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (1，2)，求过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线的方程．五、要点归纳与方法小结满足什么样条件的方程是直线方程，反过来，直线方程一般具有什么形式？——二元一次方程．。
高中数学 第二章 2.1.2直线的方程(三)配套课件 苏教版必修2
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
探究点一 直线的一般式方程 问题 1 前面学过的直线方程的几种特殊形式，它们都是关
于 x，y 的二元一次方程吗？为什么？ 答 它们都是关于 x，y 的二元一次方程． 因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角， 在 α≠90°和 α＝90°两种情况下，直线方程可分别写成 y ＝kx＋b 及 x＝x1 这两种形式，它们又都可变形为 Ax＋By ＋C＝0 的形式，且 A，B 不同时为 0， 即直线的方程都是关于 x，y 的二元一次方程．
解2mm2－2＋mm＝－03，＝0，
得 m＝1.
故 m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
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研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
例 3 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围．
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研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
跟踪训练 2 若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0 表 示一条直线，求实数 m 的取值范围． 解 方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0 表示一条直线，
则 2m2＋m－3＝0 与 m2－m＝0 不能同时成立．
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练一练·当堂(dānɡ tánɡ)检测、目标达成落 实处
1．在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选 用公式，使问题的解答变得简捷．
2．直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在 不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用 范围和它们之间的互化，如把一般式 Ax＋By＋C＝0 化为 截距式有两种方法：一是令 x＝0，y＝0，求得直线在 y 轴 上的截距 b 和在 x 轴上的截距 a；二是移常项，得 Ax＋By ＝－C，两边除以－C(C≠0)，再整理即可．
北师大版高中数学必修二第二章1.2直线的方程第2课时.docx
第2课时直线方程的两点式和一般式问题导学1．直线的两点式和截距式方程活动与探究1求满足下列条件的直线的方程：(1)经过点A(－1，－5)和B(2,1)；(2)经过点A(0，－3)和B(4,0)；(3)经过点M(2,6)，且在两坐标轴上的截距相等．迁移与应用1．求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(－2，－3)，B(－5，－6)；(2)过点A(－3，－4)，B(－3,10)；(3)在x轴上的截距为－2，在y轴上的截距为2；(4)在x轴，y轴上的截距都是4.2．求过点A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．1．已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程；若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程；若利用条件能求出x轴、y轴上的截距时，可用截距式表示方程，但不论用何种方法，最后结果通常化为一般式．2．由于直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，所以在利用待定系数法设直线的截距式方程求解时，要注意这一局限性，避免造成丢解．一般地，当直线在两坐标轴上的截距相等、在两坐标轴上的截距互为相反数、在x轴上的截距是在y轴上截距的k(k≠0)倍时，经过原点的直线均符合这些要求，求其方程时应分类讨论．2．直线方程的一般式活动与探究2设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.迁移与应用1．经过点(1，－3)，且斜率是直线3x＋2y－1＝0的斜率的2倍的直线方程的一般式是__________．2．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限把直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．3．直线方程的综合应用活动与探究3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．迁移与应用1．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )．A ．b ＞0，d ＜0，a ＜cB ．b ＞0，d ＜0，a ＞cC ．b ＜0，d ＞0，a ＞cD ．b ＜0，d ＞0，a ＜c2．若直线(3a ＋2)x ＋y ＋8＝0不过第二象限，求a 的取值范围．1．含有一个参数的直线方程一般是过定点的，解决这类问题时对一般式灵活变形后发现定点是解决问题的关键，在变形后特殊点还不明显的情况下可采用方法二的解法．2．直线在坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在y 轴上的截距确定，若直线斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，那么当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过第一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过第二、三、四象限．当堂检测1．过A (1,1)，B (0，－1)两点的直线方程是( )． A ．y ＋11＋1＝x B ．y －1－1＝x －1－1 C ．y －10－1＝x －1－1－1D ．y ＝x 2．在x 轴，y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为( )．A ．x 2＋y 3＝1B ．x 2－y 3＝1 C ．y 3－x2＝1 D ．x 2＋y3＝0 3．若直线mx ＋(m －2)y ＋3＝0的斜率存在，则实数m 的取值范围是( )． A ．m ≠0 B ．m ≠2 C ．m ≠0且m ≠2 D．m ≠34．若直线3x ＋4y ＋m ＝0经过第二、三、四象限，则m 的取值范围是__________． 5．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． 求：(1)边AC 所在直线方程；(2)AC 边上的中线BD 所在直线方程．答案：课前预习导学 预习导引1．y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 预习交流1 提示：不能．当x 1＝x 2或y 1＝y 2时，x 2－x 1＝0或y 2－y 1＝0，此时方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1无意义，因此不能用两点式表示．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.预习交流2 提示：若A ＝B ＝0，则方程变为C ＝0，此时该式不能表示任何直线．故直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0必须加上A ，B 不同时为0这个条件，才能表示一条直线．预习交流3 提示：当B ≠0时，直线的斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB；当B ＝0时，直线的斜率不存在，在y 轴上的截距不存在．课堂合作探究 问题导学活动与探究1 思路分析：(1)直接根据直线方程的两点式写出方程；(2)可利用直线方程的两点式，也可利用截距式直接写出方程；(3)需要对直线在两坐标轴上的截距等于0和不等于0进行分类求解．解：(1)由两点式得：y －(－5)1－(－5)＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x －y －3＝0，此即为所求直线的方程．(2)(方法1)由两点式得：y －(－3)0－(－3)＝x －04－0，整理得3x －4y －12＝0，即直线方程为3x－4y －12＝0.(方法2)由于直线经过点(0，－3)和(4,0)，所以直线在x 轴、y 轴上的截距分别是4和－3，由截距式得x 4＋y－3＝1，整理得3x －4y －12＝0.(3)①当直线在两坐标轴上的截距相等且不等于0时，设其方程为x a ＋y a＝1， 又直线经过点M (2,6)，所以2a ＋6a＝1，解得a ＝8.因此直线方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y －8＝0.②当直线在两坐标轴上的截距相等且均等于0时，设其方程为y ＝kx ，又直线经过点M (2,6)，所以6＝2k ，解得k ＝3.直线方程为y ＝3x .综上，直线的方程为x ＋y －8＝0或y ＝3x .迁移与应用 1．解：(1)y －(－3)－6－(－3)＝x －(－2)－5－(－2)，整理得x －y －1＝0.(2)∵直线与x 轴垂直， ∴方程为x ＝－3.(3)x －2＋y2＝1，整理得x －y ＋2＝0. (4)x 4＋y4＝1，整理得x ＋y －4＝0. 2．解：(1)当直线l 在坐标轴上截距互为相反数且不为0时， 设直线l 的方程为x a ＋y－a＝1. 又l 过点A (3,4)，∴3a ＋4－a ＝1，解得 a ＝－1.∴直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在坐标轴上截距均为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，将(3,4)代入得k ＝43，∴直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＋1＝0或4x －3y ＝0.活动与探究 2 思路分析：(1)要使直线在x 轴上的截距为－3，可令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3＝－3，但需m 2－2m －3≠0；(2)当斜率为－1时，有－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，但需注意2m 2＋m －1≠0.解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ②由①得m ≠－1且m ≠3，由②得m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1， ④由③得m ≠－1且m ≠12，由④得m ＝－1或m ＝－2. ∴m ＝－2.迁移与应用 1．3x ＋y ＝0解析：由3x ＋2y －1＝0得y ＝－32x ＋12，该直线斜率为－32，从而所求直线斜率为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，于是由点斜式可得所求直线方程为y ＋3＝－3(x －1)，整理得3x ＋y ＝0.2．C 解析：因为AC ＜0，BC ＜0，所以AB ＞0，显然B ≠0.将一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式y ＝－AB x －C B ，所以k ＝－A B ＜0，b ＝－C B＞0.所以直线不经过第三象限．活动与探究3 思路分析：先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问；第(2)问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得．(1)证明：方法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限． 方法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0.∵上式对任意的a 总成立，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同方法一．(2)解：直线OA 的斜率为k =305105--=3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x =0时，y =35a --≤0，∴a ≥3.迁移与应用 1．C 解析：由题图形可知，直线l 1的斜率－1a＞0，在y 轴上的截距－ba＜0，因此a ＜0，b ＜0；直线l 2的斜率－1c ＞0，在y 轴上的截距－dc＞0，因此c ＜0，d ＞0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a ＞－1c，因此a ＞c ，故选C.2．解：直线方程化为y ＝－(3a ＋2)x －8，由于该直线不过第二象限，∴－(3a ＋2)≥0，∴a ≤－23.当堂检测1．A 2．B 3．B 4．m ＞05．解：(1)∵A (0,4)，C (－8,0)， ∴由直线的截距式方程，得x －8＋y4＝1，即为x －2y ＋8＝0. ∴边AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0.(2)设中点D (x 0，y 0)，由中点坐标公式，得x 0＝0－82＝－4，y 0＝4＋02＝2.由直线的两点式方程得BD 所在直线的方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即为2x －y ＋10＝0.∴AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.。
2020年高中数学第二章解析几何初步11.2直线的方程(2)课件北师大版必修2
练一练 (2) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 5，－3 的直线的截
距式方程为( )
A.5x＋3y＝1
B．5x－3y＝1
C.3y－5x＝1 答案：B
D．5x＋3y＝0
3．直线方程的一般式：关于 x、y 的二元一次方程A_x_＋__B__y＋__C__＝_ 0 (A、B 不同时为 0)叫做直线方程的一般式．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围． 解：(1)证明：证法一：将直线 l 的方程整理为 y－35＝ax－15， ∴直线 l 的斜率为 a，且过定点 A15，35. 而点 A15，35在第一象限，∴不论 a 为何值时，l 恒过第一象 限．
【正解】 若 a2－a－2 与 2－a 同时为 0， 则方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0 不表示任何直线， 此时 a＝2. 所以当 a≠2 时，方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0 表示某条 直线的方程．
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
知识点一 直线的两点式方程
1．过 P(2,1)，Q(6，－2)两点的直线的两点式方程为( )
练一练 (3) 斜率为－3，且在 x 轴上截距为 2 的直线方程是
() A．3x＋y＋6＝0 C．3x＋y－6＝0
B．3x－y＋2＝＝－3(x－2)，即 3x＋y－6＝0.
答案：C
用直线方程的两点式或截距式解题时应注意什么？ 答：用两点式或截距式表示直线方程时，都有其局限性，不 能表示与坐标轴垂直的直线，截距式还不能表示过原点的直线．平 面内所有直线的方程都可写成一般式，对于所求直线方程，在没 有特殊说明的情况下，应该化为一般式方程．
苏教版2019年年高中数学 2.1.2直线的方程(3)教案 苏教版必修2
2.1.2 直线的方程（3）教学目标：1．掌握一般式直线方程，能根据条件求出直线方程；2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；3．掌握点斜式、两点式是一般式的特殊情况．教材分析及教材内容的定位：一般式方程是几种形式的化归与统一，要能够理解直线与方程的对应关系．教学重点：直线一般式的应用及与其他四种形式的互化．教学难点：理解直线方程的一般式的含义．教学方法：自主探究．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：（1）直线方程的形式与标准方程；（2）各类标准方程的局限性．2．本节课研究的问题是：如何回避直线标准方程的局限性而表示所有类型的直线方程？二、学生活动探究：直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都是关于x，y的二元一次方程，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程是否都表示直线？（1）平面直角坐标系中，若α为直线l的倾斜角，那么当α≠90︒时，l：y＝kx＋b即kx－y＋b＝0；当α＝90︒时，l：x＝x0即x＋0y－x0＝0；即它们都可变形为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，且A ，B 不同时为0，从而直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程．（2）关于x ，y 的二元一次方程的一般形式为Ax ＋By ＋C ＝0，（A ，B 不同时为0）当B ≠0时，方程，表示斜率为，在y 轴上的截距为的直线；特A C y x B B =--A B -C B-别地，当A ＝0时，表示垂直于y 轴的直线；当B ＝0时，由A ≠0，方程，表示与x 轴垂直的直线．C x A=-从而每一个二元一次方程都表示一条直线．三、建构数学一般地，方程叫做直线的一般式方程．）不全为0,(0B A C By Ax =++说明：（1）平面上的直线与二元一次方程是一一对应的；（2）前面的四种形式都是一般式方程的特殊情况．四、数学运用例1 求直线l ：3x ＋5y －15＝0的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图．例2 设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是－3；（2）直线l 的斜率是1．练习：1．若AC ＜0，BC ＞0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0必不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设直线的方程为当取任意实数时，这样的直线具有什么共同l ),2(3+=-x k y k 的特点？3．设直线的方程为 (m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是－3；（2）直线l 的斜率是1．4．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (1，2)，求过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程．五、要点归纳与方法小结满足什么样条件的方程是直线方程，反过来，直线方程一般具有什么形式？——二元一次方程．。
苏教版2019年年高中数学 2.1.2直线的方程(1)教案 苏教版必修2
2.1.2 直线的方程（1）教学目标：1．掌握点斜式直线方程，能根据条件求出直线方程；2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；3．掌握斜截式方程是点斜式的一种特殊情况，并理解其中参数的几何意义．教材分析及教材内容的定位：点斜式方程的推导蕴含了求轨迹方程的思想，应该向学生渗透，这对于后继的学习有帮助；从点斜式到斜截式实际上是从一般到特殊；通过本节课的学习应明确：求直线的方程只需要两个独立的条件．教学重点：本节课的重点是点斜式直线方程的求解．教学难点：理解直线方程与直线的对应关系．教学方法：合作交流．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：(1)直线的斜率；(2)直线的倾斜角．2．问题情境：（1）已知直线l过点A(－1，3)且斜率为－2，试写出直线上另一点B的坐标．（2）问题：这样的点唯一吗？它们的共同点是什么呢？本节课研究的问题是：——如何写出直线方程？——两个要素（点与方向）．——已知直线上的点的坐标和直线的斜率，如何描述直线上点的坐标的关系？练习：1．求下列直线的方程：（1）在y 轴上的截距为－1，斜率为4；（2）过点B (，2)，倾斜角为30°；（3）过点C (4，－2)，倾斜角为0°；（4）过点D (－1，0)，斜率不存在．2．若一直线经过点P (1，2)，且斜率与直线y ＝－2x ＋3的斜率相等，则该直线的方程是 ．3．下列图象，能作为直线y ＝k (x ＋1)( k ＞0)的图象的是（ ）A B C D4．已知直线l 经过点P (1，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．5．已知直线l 的斜率为－，且与两坐标轴所围成的三角形的周长为12，求直线l 34的方程．五、要点归纳与方法小结直线方程的解与直线上的点的关系？——一一对应．如何利用直线上的点和斜率写出直线方程？——点斜式和斜截式．。
21版： 直线的方程（步步高）
§8.1 直线的方程1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角． (2)倾斜角的范围：[0°，180°)． 3．直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．若直线的倾斜角为θ⎝⎛⎭⎫θ≠π2，则k ＝tan_θ. 4．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式y －y 0＝k (x －x 0)不含直线x ＝x 0斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1 (y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1．直线都有倾斜角，是不是直线都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2.当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了． 2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )(4)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) 题组二 教材改编2．若过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.3．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________． 答案 π4或3π4解析 由|k |＝|tan α|＝1知tan α＝±1， ∴α＝π4或3π4.题组三 易错自纠4．已知两点A (－1,2)，B (m ,3)，且m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，2π3C.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎦⎤π6，2π3答案 D解析 ①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 5．(多选)下列说法正确的是( ) A ．有的直线斜率不存在B ．若直线l 的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k ＝tan αC ．若直线l 的斜率为1，则它的倾斜角为3π4D ．截距可以为负值 答案 ABD6．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0. 7．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段总有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案 (－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞) 解析 如图所示，当直线l 过点B 时，k 1＝3－00－1＝－ 3.当直线l 过点A 时，k 2＝1－02－1＝1，∴要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)(2020·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)， ∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，∴－2≤k ≤12.本例(2)直线l 改为y ＝kx ，若l 与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是________________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[3，＋∞) 解析 直线l 过定点P (0,0)， ∴k P A ＝3，k PB ＝12，∴k ≥3或k ≤12.思维升华 (1)倾斜角α与斜率k 的关系 ①当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，k ∈[0，＋∞)． ②当α＝π2时，斜率k 不存在．③当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k ∈(－∞，0)． (2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y ＝tan α的单调性．跟踪训练1 (1)(2020·石家庄模拟)若A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 答案 4解析 由题意知k AB ＝k AC ， 即a －35－4＝5－36－4＝1，解得a ＝4. (2)若直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是______________． 答案 ⎣⎡⎭⎫π4，π2解析 直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α<π2.求直线的方程1．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3，又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 2．直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010的直线方程为________． 答案 x ±3y ＋4＝0解析 由题意知，直线的斜率存在， 设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y ＋4＝0.3．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________________．答案 3x ＋4y ＋15＝0解析 设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.4.过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 思维升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．直线方程的综合应用例2 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )．∵与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k >0，1－2k >0⇒k <0.于是 S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k )＝4. 当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b ＝1.又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1.本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程．解 方法一 由例2知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．∴|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝21＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤(－k )＋1(－k )≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由例2知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.∴|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab ≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.思维升华 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式(或函数)求解最值；(2)求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决问题．跟踪训练2 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小．。
1151坐标平面上的直线拓展直线系方程【杨高】17页PPT
x
交点的直线系方程：
( a 1 x b 1 y c 1 ) m ( a 2 x b 2 y c 2 ) 0 (不含直线 a2xb2yc20)
例1.求与直线 3x4y120垂直，且与坐标轴
围成的三角形周长为24的直线的方程.
解：设所求直线方程为 4x3ym 0
则其与坐标轴交于点 A(m,0),B(0,m)
O
x
测下你的思维是构造性的还是非构造性的？
课外阅读材料
过定直线交点的直线系方程
证：三条直线的法向量分别为 n1,n2,n
显然 n1, n2 不平行，取其为基底，则根据平面向量
基本定理，存在 , 使得nn 1n 2
即 a a 1 a 2 ,b a 1 b 2
代入 a (x x 0 ) b (y y 0 ) 0 中，整理得： [ a 1 ( x x 0 ) b 1 ( y y 0 ) ] [ a 2 ( x x 0 ) b 2 ( y y 0 ) ] 0
第十一章 坐标平面上的直线
11.3.3 两条直线的位置关系
11.5.1 坐标平面上的直线拓展
直线系方程
一、直线系与直线系方程 含有某种共同属性的一类直线的集合，称为
直线系. 直线系所有直线的方程的一般形式称为 直线系方程.
平行系
共点系
二、平行系方程
y
已知直线 A xB yC 0
1.平行于该直线的直线系
4
3
根据条件：|m ||m |(m )2(m )224 43 4 3
解得 m24，因此所求直线方程为：
4x3y240或 4x3y240
例2. 求经过两直线：l1:2x3y30 l2:xy20的交点，且与 l3:3xy10
1112直线的方程【杨高】
过点P(x0 , y0 )，且与 d (u, v) 平行的直线方程
v(x x0 ) u( y y0 )
v0
u0
uv 0
点方向式方程：
y y0 0 x x0 0
x x0 y y0
u
v
例2.已知点 A(4,3), B(2,5) ，求线段 AB 垂直平
分线的直线方程.
解：AB (6, 2)是所求直线的一个法向量.
(1)P(0,3), n (3, 4) (2)经过点 A(2, 0), B(0,3)
(3)过点 P(1,1)且与直线4(x 2) 3( y 1) 0垂直.
3.在ABC中，已知A(3, 6), B(3,1),C(4, 5) (1)求BC 边上的中垂线的方程； (2)求 AC 边上的高BE所在直线的方程.
根据向量垂直的坐标表示，我们有：
3(x 2) 2( y 5) 0 上式就是直线 l 的方程.
思考：能否把(2)的条件一般化？
二、直线的点法向式方程 (附点方向式方程)
过点P(x0 , y0 )，且与 n (a, b) 垂直的直线方程 点法向式方程：a(x x0 ) b( y y0 ) 0
中点坐标为 x 4 (2) 1, y 3 5 4
2
2
因此所求直线的点法向式方程为：
6(x 1) 2( y 4) 0
思考 还有其他写法吗？
课堂练习
1.写出下列直线的一个法向量：
(1) y 2x 3 (2)3x 4y 5 0
(3)
x2
y 1
4 6
2.根据下列条件求直线的点线 l : 3(x 2) 2( y 1) 0 绕点 P 逆时针
旋转90度后所得直线 m的方程.
(1)P(2, 1) (2) P(0, 0) 解: (1)过点P(2, 1) 与n (2, 3) 垂直:
高中数学2.1.2直线的方程(1)教案苏教版必修2
2.1.2 直线的方程（1）教学目标：1•掌握点斜式直线方程，能根据条件求出直线方程；2•感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；3•掌握斜截式方程是点斜式的一种特殊情况，并理解其中参数的几何意义.教材分析及教材内容的定位：点斜式方程的推导蕴含了求轨迹方程的思想，应该向学生渗透，这对于后继的学习有帮助；从点斜式到斜截式实际上是从一般到特殊；通过本节课的学习应明确：求直线的方程只需要两个独立的条件.教学重点：本节课的重点是点斜式直线方程的求解.教学难点：理解直线方程与直线的对应关系.教学方法：合作交流.教学过程：一、问题情境1•复习回顾：（1）直线的斜率；（2）直线的倾斜角.2•问题情境：（1）已知直线I过点A—1, 3）且斜率为一2,试写出直线上另一点B的坐标.（2）问题：这样的点唯一吗？它们的共同点是什么呢？本节课研究的问题是：――如何写出直线方程？一一两个要素（点与方向）.――已知直线上的点的坐标和直线的斜率，如何描述直线上点的坐标的关系？二、学生活动探究：若直线I经过点A—1, 3)，斜率为—2，点P在直线I上运动，那么点P的坐标(x，y)满足什么样条件？当点Rx，y)在直线I上运动时(除点A外)，点P与定点A( —1，3)所确定的直线的斜率等于—2，故有_y_3=—2,即y—3=—2[x—( —1)].x ( 1)显然，点A—1, 3)的坐标也满足此方程.因此，当点P在直线I上运动时，其坐标(x, y)满足2x+ y—1 = 0.反过来，以方程2x+ y—1= 0的解为坐标的点都在直线I 上.三、建构数学直线的点斜式方程.一般地，直线I经过点R(X1，yj，斜率为k，设I上任意一点P的坐标为(x，y).当点Rx，y)(不同于点R)在直线I上运动时，PR的斜率恒等于k，有y y1= k，x x1即y—y1= k(x—X1).方程y—y= k(x —x"叫做直线的点斜式方程.说明：(1)可以验证，直线I上的每个点(包括点R)的坐标都是这个方程的解，反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线I上；(2)此时我们给出直线的一对要素：直线上的一个点和直线的斜率，从而可以写出直线方程；(3)当直线I 与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为I上每一点的横坐标都等于X1，所以它的方程是x = X1.四、数学运用例1已知一直线经过点P( —2, 3)，斜率为2，求这条直线的方程.例2已知直线I的斜率为k，与y轴的交点是P (0, b),求直线I的方程. 直线的斜截式方程y= kx + b：直线I的方程由直线的斜率和它在y轴上的截距确定.练习：1.求下列直线的方程：(1)在y轴上的截距为一1,斜率为4 ； (2)过点耳一•、2 , 2)，倾斜角为30°；(3)过点C(4，—2)，倾斜角为0°; (4)过点D( —1 , 0)，斜率不存在.2.若一直线经过点R1 , 2)，且斜率与直线y=—2x + 3的斜率相等，则该直线的方程是.3.下列图象，能作为直线y = k(x+ 1)( k >0)的图象的是( )A B C D4.已知直线I经过点F(1 , 2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为4，求直线I的方程.35.已知直线I的斜率为一Y ,且与两坐标轴所围成的三角形的周长为12,求直线I的4方程.五、要点归纳与方法小结直线方程的解与直线上的点的关系？——--- 对应.如何利用直线上的点和斜率写出直线方程？点斜式和斜截式.。
2019年高中数学 2.1.2直线的方程(3)教案 苏教版必修2
2.1.2 直线的方程（3）教学目标：1．掌握一般式直线方程，能根据条件求出直线方程；2．感受直线方程与直线图象之间的对应关系，理解直线上的点的坐标满足直线方程，反之也成立；3．掌握点斜式、两点式是一般式的特殊情况．教材分析及教材内容的定位：一般式方程是几种形式的化归与统一，要能够理解直线与方程的对应关系．教学重点：直线一般式的应用及与其他四种形式的互化．教学难点：理解直线方程的一般式的含义．教学方法：自主探究．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：（1）直线方程的形式与标准方程；（2）各类标准方程的局限性．2．本节课研究的问题是：如何回避直线标准方程的局限性而表示所有类型的直线方程？二、学生活动探究：直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）都是关于x，y的二元一次方程，直线的方程是否都是二元一次方程？反之，二元一次方程是否都表示直线？（1）平面直角坐标系中，若α为直线l的倾斜角，那么当α≠90︒时，l：y＝kx＋b即kx－y＋b＝0；当α＝90︒时，l：x＝x0即x＋0y－x0＝0；即它们都可变形为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，且A ，B 不同时为0，从而直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程．（2）关于x ，y 的二元一次方程的一般形式为Ax ＋By ＋C ＝0，（A ，B 不同时为0）当B ≠0时，方程，表示斜率为，在y 轴上的截距为的直线；特A C y x B B =--A B -C B-别地，当A ＝0时，表示垂直于y 轴的直线；当B ＝0时，由A ≠0，方程，表示与x 轴垂直的直线．C x A=-从而每一个二元一次方程都表示一条直线．三、建构数学一般地，方程叫做直线的一般式方程．）不全为0,(0B A C By Ax =++说明：（1）平面上的直线与二元一次方程是一一对应的；（2）前面的四种形式都是一般式方程的特殊情况．四、数学运用例1 求直线l ：3x ＋5y －15＝0的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图．例2 设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是－3；（2）直线l 的斜率是1．练习：1．若AC ＜0，BC ＞0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0必不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设直线的方程为当取任意实数时，这样的直线具有什么共同l ),2(3+=-x k y k 的特点？3．设直线的方程为 (m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在x 轴上的截距是－3；（2）直线l 的斜率是1．4．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (1，2)，求过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程．五、要点归纳与方法小结满足什么样条件的方程是直线方程，反过来，直线方程一般具有什么形式？——二元一次方程．。
高中数学 第二章 2.1.2直线的方程(二)配套课件 苏教版必修2
练一练·当堂检测、目标达成(dáchéng)落实 处
3．强调两个问题：
(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，
但此时不能用截距式方程表示，而应用 y＝kx 表示．不是
每条直线都有横截距和纵截距，如直线 y＝1 没有横截距，
x＝2 没有纵截距．
(2) 方 程
y
－
y1
第十页，共23页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
小结 我们把直线与 x 轴交点(a,0)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距，此时直线在 y 轴上的截距是 b，方程xa＋by＝1 由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 与 b 确定，所以叫做直线 的截距式方程．
第十一课堂(kètáng)更高效
导引 已知直线上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1≠x2, y1≠y2 )，如何求出过这两点的直线方程呢？
问题 2 能不能把上述问题转化成已经解决的问题呢？怎样 转化？
答 能的．可以把已知两点求直线方程的问题转化成用点 斜式方程来求直线的问题，先求出直线的斜率，再选两点 中的一个点，这样就具备了用点斜式求方程的条件．
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研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
小结 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要 判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两 点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式 求出斜率，再用点斜式写方程．
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研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
当 x1＝x2 时，直线 P1P2 平行于 y 轴，直线方程为 x－x1＝0， 或 x＝x1； 当 y1＝y2 时，直线 P1P2 平行于 x 轴，直线方程为 y－y1＝0， 或 y＝y1.
【精品推荐】2019-2020学年高中数学北师大版必修2 第二章 1.2直线的方程 课件(26张)
§1 直线与直线的方程
1.2 直线的方程
学习目标
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式、两点式的过程. 2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式，并能根 据条件灵活选择直线方程的形式求直线的方程. 3.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次 方程来表示.能将直线方程的几种形式进行互相转化，并弄清各种形式 的应用范围. 4.进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相 互转化的观点，使学生能用联系的观点看问题.
2������−6 ������2−2������−3
＝-3，
解得m＝−
5 3
或m＝3（舍去）.故m＝−
5 3
.
（2）因为直线l的斜率为1，即直线l的斜率存在，
所以2m2+m-1≠0，解得m≠-1且m≠1，
2
直线l的斜率k＝−
������2−2������−3 2������2+������−1
，所以−
研究问题，但一定要注意考虑“零截距”的情况.
2.涉及斜率时方程可化为斜截式方程或用k＝−
������ ������
来研究斜率.
小结
直线的倾斜角和斜率
（1）点斜式和斜截式都用于直线的斜率存在，即直线不与x轴垂直的情况；两点式 和截距式都适用于直线不与坐标轴平行，且截距式还要求不过原点；一般式适用于 各种情况. （2）特殊情况：若B＝0，它表示一条与y轴平行或重合的直线；若A＝0，它表示 一条与x轴平行或重合的直线. （3）直线的一般式与直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式之间可以相互转化.
−2−(−4) 0−5
故BC所在直线的方程为2x+5y+10＝0. （2）设BC的中点为M（x0，y0），则x0＝5+20＝52，y0＝−4+2(−2)＝-3.∴ ������(52 , −3). 又BC边上的中线经过点A（-3，2），
11.3.2两条直线的位置关系【杨高】
直线的一般式方程.
3.等腰三角形一腰所在直线方程是 x 2 y 2 0 底边所在直线方程是 x y 1 0 ，点(2, 0)
在另一腰所在直线上，求这条直线的方程.
课堂练习答案
第十一章 坐标平面上的直线
11.3.1 两条直线的位置关系
11.3.2 两条直线的位置关系
两条直线的夹角
一、两条直线的夹角
相交直线的夹角
l1
规定：两条相交直线构成的
l2
四个角中的锐角或直角.
(即较小的角!)
l1
l1
90
l2
平行或重合直线的夹角
规定：夹角为0.
l2
两条直线的夹角的范围是[0, ]
2
求这两条直线夹角 . uur
uur
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：方向向量可以分别为
uur uur
d1
(1, 3), d2
(1, 2)
cos
uur uur d1, d2
|
udur1 duu2r d1 || d2
|
11 (3) 2 12 (3)2 12 22
2 2
uur d1,
uur d2
3
4
则直线
l1, l2
的夹角
4
一般情况是怎么样的？
1.(1)
(2) arccos 10 (3) arccos 5
4
10
5
2.解：所求直线方程为 ax by 0 (a2 b2 0)
cos 30o | a 1 b (1) | a2 4ab b2 0 a2 b2 2
高中数学 2.1.2 直线的方程课件 苏教版必修2
点斜式： y – y1 = k(x – x1) . 斜截式： y = kx + b .
两点式： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
.
截距式： x y 1
.
ab
一般式： Ax + By + C = 0 (A2 + B2≠0) .
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例 1 已知两点 A(–3，4)、B (3，2)，过点 P (2，–1)的直线 l 与线段 AB 有公共点， 求直线 l 的斜率 k 及倾斜角 的取值范围．
该直线的斜率. 记作 k = tan ( ≠90°).
注意：倾斜角为 90°的直线斜率不存在. （2）过两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），（x1≠x2）
直线斜率公式：k y2 y1 . x2 x1
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3．直线方程的几种形式
第九页，共18页。
3．直线方程的几种形式
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【知识要点】
1．直线的倾斜角
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【知识要点】
1．直线的倾斜角 当直线 l 与 x 轴 平行或重合时，规定此
直线的倾斜角为 0°.
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【知识要点】
1．直线的倾斜角 当直线 l 与 x 轴 平行或重合时，规定此
直线的倾斜角为 0°.
在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相 交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时 针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正 角称为这条直线的倾斜角。
第十一页，共18页。
例 1 已知两点 A(–3，4)、B (3，2)，过点 P (2，–1)的直线 l 与线段 AB 有公共点， 求直线 l 的斜率 k 及倾斜角 的取值范